双曲线的简单几何性质PPT教学课件
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《双曲线的简单几何性质》ppt课件
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0） B1（0，-b），B2（0，b）
e c (0 e 1) a
无
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
用“类比学习法”和“数形结合法”
导出双曲线 y2 a2
焦点坐标,离心率.渐近线方程。并画出它的草图。
解：把方程化为标准方程
y2 42
x2 32
1
y
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
4
半焦距c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
-3 o 3 x
离心率: e c 5
-4
渐近线方程:
y
a
4
4
x
(或
y
x
0)
3
43
小结： 一、双曲线的简单几何性质
x2 b2
1(a 0,b 0)
y
的简单几何性质
a
（1）范围: y a, y a
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称 -b （3）顶点: (0,-a)、(0,a)
o bx -a
（4）渐近线:
yax b
或y x 0 ab
（5）离心率:
e
c a
练一练： 求双曲线 9y2 16x2 144的实半轴长,虚半轴长,
2 2
y2 b2
1
k
b a
B2
k
y
(a,b)
b a
b
yb x a
b
A1
a
o
A2
x
xy
双曲线-完整版PPT课件可编辑全文
∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
双曲线的简单几何性质课件
1(λ≠0，－b2<λ<a2).
x2 y2
x2 y2
(4) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 具 有 相 同 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2 － b2 ＝
λ(λ≠0).
(5)渐近线为 ax±by＝0 的双曲线方程可设为 a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)以直线 2x±3y＝0 为渐近线，过点(1，2)；
b
b
b2
程求解，另一种方法是消去 c 转化成含a 的方程，求出a 后利用 e＝ 1＋a2 求
离心率．
2．求离心率的范围技巧 (1)根据条件建立 a，b，c 的不等式． (2)通过解不等式得ca 或ba 的范围，求得离心率的范围．
(2)双曲线离心率对曲线形状有何影响？ x2 y2
提示：以双曲线a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)为例．
c
a2＋b2
b2
b
b
e＝a ＝ a ＝ 1＋a2 ，故当a 的值越大，渐近线 y＝a x 的斜率越大，双
曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心
率越大，它的开口就越大．
巧设双曲线方程的方法与技巧
x2 y2 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
y2 x2 (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
x2
y2
x2
y2
(3) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 共 焦 点 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2－λ － b2＋λ ＝
B．y＝±34 x
3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)
2
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
3.2.2双曲线的简单几何性质(第1课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
双曲线的渐近线方程？
=−
2 2
对于双曲线 2 − 2 = 1和它的渐近线 = ± ，
=
y
(, )
将方程中的与互换，就得到双曲线
即 = ± ．
− 2 = 1 的渐近线方程 = ± ，
2
2
2
(−, )
规律方法：由双曲线方程求渐近线方程，只需把1变成0,
∴当 ∈
2
+
2
2
> 1.
=
(1, +∞)时，
∈
1+
2
(0, +∞),且增大, 也增大
b
离心率越大, 渐近线y x的斜率越大 双曲线的“张口”越大
a
新知探究
方程
2 2
− 2=1
2
2 2
− 2=1
2
图像
范围
对称性
≤ −，或 ≥
≤ −，或 ≥
≤ −，或 ≥
关于轴、轴、原点对称
（ − ，），（，） （， − ），（，）
a
b
y x
y x
渐近线
b
a
= >
离心率
顶点
1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程.
2
2
x
y
2
2
2
2
2
2
(1) x 8 y 32; (2) 9 x y 81; (3) x y 4; (4)
=−
2 2
对于双曲线 2 − 2 = 1和它的渐近线 = ± ，
=
y
(, )
将方程中的与互换，就得到双曲线
即 = ± ．
− 2 = 1 的渐近线方程 = ± ，
2
2
2
(−, )
规律方法：由双曲线方程求渐近线方程，只需把1变成0,
∴当 ∈
2
+
2
2
> 1.
=
(1, +∞)时，
∈
1+
2
(0, +∞),且增大, 也增大
b
离心率越大, 渐近线y x的斜率越大 双曲线的“张口”越大
a
新知探究
方程
2 2
− 2=1
2
2 2
− 2=1
2
图像
范围
对称性
≤ −，或 ≥
≤ −，或 ≥
≤ −，或 ≥
关于轴、轴、原点对称
（ − ，），（，） （， − ），（，）
a
b
y x
y x
渐近线
b
a
= >
离心率
顶点
1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程.
2
2
x
y
2
2
2
2
2
2
(1) x 8 y 32; (2) 9 x y 81; (3) x y 4; (4)
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)(第3课时)课件(人教版)
当1-k2≠0即k≠±1时，若直线与双曲线只有一个公共点
5
2
则 20 16k 0, 即 k
2
5
综上，k 1 或 k
2
例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1.
(3)若直线l与双曲线C的右支有2个公共点，求k的取值范围.
y kx 1
2
A. － ＝1
3
6
x2 y2
B. － ＝1
4
5
x2 y2
C. － ＝1
6
3
)
x2 y2
D. － ＝1
5
4
x2 y2
解：设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，由题意知 c＝3，a2＋b2＝9，
a
b
x12 y12
－ 2 ＝1，
2
a
b
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x22 y22
第 3 章圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
复 焦点位置
习 方程
x轴
x2
y2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
图形
范围
对称性
顶点
y轴
y2
x2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
M(x,y)
F2
F1 O
F2
x
即x a或x a , y R
O
x
即y a或y a , x R
两式作差，
－
＝1，
a2
b2
y1－y2 b2（x 1＋x2） －12b2 4b2
5
2
则 20 16k 0, 即 k
2
5
综上，k 1 或 k
2
例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1.
(3)若直线l与双曲线C的右支有2个公共点，求k的取值范围.
y kx 1
2
A. － ＝1
3
6
x2 y2
B. － ＝1
4
5
x2 y2
C. － ＝1
6
3
)
x2 y2
D. － ＝1
5
4
x2 y2
解：设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，由题意知 c＝3，a2＋b2＝9，
a
b
x12 y12
－ 2 ＝1，
2
a
b
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x22 y22
第 3 章圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
复 焦点位置
习 方程
x轴
x2
y2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
图形
范围
对称性
顶点
y轴
y2
x2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
M(x,y)
F2
F1 O
F2
x
即x a或x a , y R
O
x
即y a或y a , x R
两式作差，
－
＝1，
a2
b2
y1－y2 b2（x 1＋x2） －12b2 4b2
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)
= 上一点，F1，F2是其左
右焦点，且∠F1PF2=60°，则三角形ΔF1PF2的面积为________
练习2
已知点PQ是经过双曲线C： −
= 左焦点F1的一条
28
弦，且|PQ|=4，则三角形ΔF2PQ的周长为________
二、求双曲线方程
1.过两个已知点的双曲线的方程，可表示为___________
2.已知焦点和双曲线上一点A，则可计算____________
练习巩固
例1 求与双曲线
方程
【法一】
−
= 有相同焦点，且过点(-3,)的双曲线
练习巩固
例1 求与双曲线
方程
【法二】
−
= 有相同焦点，且过点(-3,)的双曲线
练习巩固
练习 求与双曲线
线方程
= ，则以A(2,1)为中点的弦所在直线
练习巩固
练习 已知双曲线 − = ，则以A(2,3)为中点的弦所在直
4x-3y+1=0
线的方程是________________
• 焦点三角形：S PF1F2
b2
tan
P
2
• 若PQ=m，则 CPQF1 4a 2m
F1 O
焦点位置
x轴
y轴
y
y
B2
图像
• F2
A2
•
F1 A1 O
A2
•
F2
x
B1
B2
B1 O
A1
x
• F1
焦点
F1(-c,0) F2(c,0)
双曲线的简单性质课件ppt课件
04 双曲线的标准方程的推导
推导过程
设双曲线上任意一点为$P(x,y)$， 根据双曲线的定义，点$P$到两 个焦点的距离之差为常数，即 $2a$。
利用距离公式和双曲线的定义， 可以得到点$P$到两个焦点的距 离分别为$sqrt{(x+a)^2+y^2}$ 和$sqrt{(x-a)^2+y^2}$。
对称性
01
02
03
对称性
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
总结词
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
详细描述
双曲线上的任意一点关于 x轴和y轴的对称点都在双 曲线上。
顶点
顶点
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
总结词
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
详细描述
顶点是双曲线与对称轴的 交点，也是双曲线离准线 最远的点。
比例常数。
性质
双曲线的焦点到任意一点的距离之 差等于常数2a，即|PF1| - |PF2| = 2a。
应用
通过焦点可以计算出双曲线的离心 率和准线方程。
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记作2c。
性质
焦距与半主轴长a和半次轴长b有 关，关系为c^2 = a^2 + b^2。
应用
通过焦距可以计算出双曲线的离 心率和准线方程。
双曲线的简单性质课件ppt课件
目录
• 双曲线的定义与标准方程 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的焦点与焦距 • 双曲线的标准方程的推导 • 双曲线的应用
01 双曲线的定义与标准方程
定义
总结词
双曲线是由两个无限延伸的分支组成的，其形状类似于开口 的抛物线。
《双曲线几何性质》课件
生活中的双曲线应用
总结词
双曲线在日常生活中也有很多应用，如建筑设计、工程制造和艺术创作等。
详细描述
在建筑设计中，双曲线用于构建优美的曲线形状，如桥梁、建筑物的外观和内部结构。在工程制造中 ，双曲线用于制造各种零部件和工具，如机械零件、光学仪器等。在艺术创作中，双曲线用于创作优 美的图案和造型，如绘画、雕塑和音乐作品等。
双曲线的轴对称性
总结词
双曲线的轴对称性是指以通过双曲线中心的直线为对称轴，双曲线上的任意一 点关于该对称轴的对称点也在双曲线上。
详细描述
对于双曲线上的任意一点P，关于通过双曲线中心的直线（称为对称轴）的对称 点P'也在双曲线上。这种对称性使得双曲线在对称轴两侧保持一致的形状和方 向。
04
双曲线的面积与周长
这两个定点称为双曲线的焦点，焦点之间的距离称为焦距。
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ ，其中$a > 0$，$b > 0$，$c = sqrt{a^2 + b^2}$。
VS
焦点在y轴上
$frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$ ，其中$a > 0$，$b > 0$，$c = sqrt{a^2 + b^2}$。
双曲线的面积
总结词
详细描述
总结词
详细描述
双曲线的面积可以通过特定 的公式进行计算，该公式基 于双曲线的参数方程和定义 域。
双曲线的面积计算公式为 (A = piab)，其中 (a) 和 (b) 分 别是双曲线的实半轴和虚半 轴长度。这个公式基于双曲 线的参数方程和定义域，通 过积分运算得出。
第三章3.2.2第1课时双曲线的简单几何性质PPT课件(人教版)
4.双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于
A.12
√B.
2 2
C.1
D. 2
解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(1,0) 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 25，则双曲线 C 的渐近线方
∴b＝2，∴－m1 ＝b2＝4， ∴m＝－41，故选 C.
12345
3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲
线的方程是
√A.x2－y2＝8
B.x2－y2＝4
C.y2－x2＝8
D.y2－x2＝4
解析 令y＝0，得x＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， ∴c＝4，a2＝b2＝21c2＝21×16＝8，故选 A.
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率 e＝ac＝ 313， 渐近线方程为 y＝±bax＝±23x.
延伸探究 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心 率、顶点坐标和渐近线方程.
解 把方程 nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为xm2－yn2＝1(m>0，n>0)， 由此可知，实半轴长 a＝ m，
所以双曲线的离心率为 1＋ 2.
3 随堂演练
PART THREE
1.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则
√A.实轴长为 8 2
√B.虚轴长为 4
C.焦距为 6
√D.离心率为3 4 2
解析 双曲线方程 x2－8y2＝32 化为标准方程为3x22 －y42＝1， 可得 a＝4 2，b＝2，c＝6，
双曲线的简单几何性质优质通用课件课时
双曲线的离心率
总结词
双曲线的离心率是用来描述双曲线形状的参数，等于焦距除以顶点到原点的距 离。
详细描述
双曲线的离心率是用来描述双曲线形状的参数，通常用e表示。离心率等于焦距 c除以顶点到原点的距离a，即e = c/a。离心率越大，双曲线的开口越大，形状 越扁平。
双曲线的渐近线
总结词
双曲线的渐近线是双曲线上的直线，与双曲线无限接近但不 相交。
双曲线的标准方程
01
中心在原点，焦点在x轴上的双曲
线标准方程为 $frac{x^2}{a^2} -
frac{y^2}{b^2} = 1$ ，其中 $a$
和$b$是常数，且$a > 0$，$b >
0$。
02
中心在原点，焦点在y轴上的双曲 线标准方程为 $frac{y^2}{a^2} frac{x^2}{b^2} = 1$ ，其中 $a$ 和$b$是常数，且$a > 0$，$b > 0$。
详细描述
双曲线的顶点是双曲线与x轴的交 点，通常用大写字母A和B表示。 它们位于双曲线的两侧，是双曲 线上的两个特殊点。
双曲线的焦点
总结词
双曲线的焦点是双曲线上的点，到双 曲线的两个顶点的距离相等。
详细描述
双曲线的焦点是双曲线上的两个特殊 点，通常用大写字母F1和F2表示。它 们位于双曲线的两侧，到双曲线的两 个顶点的距离相等。
确定焦点位置
根据双曲线的性质，确定 焦点位置，并确定双曲线 的开口方向。
绘制双曲线
根据焦点位置和开口方向， 使用平滑曲线绘制双曲线 的图像。
双曲线图像的特点
无限延伸
双曲线的图像在两个方向 上无限延伸，没有边界。
中心对称
双曲线的性质ppt课件
双曲线的渐近线方程为 y 3 x
b3， 而 c2a2b 2， 3a2b 28 a3
解出 a26， b22
双 曲 线 方 程 为x2
y2
1
6 2 完整版ppt课件
18
小结
x2 a2
y2 b2
1（ a＞ b ＞0）
x2 a2
y2 b2
1
(
a＞
0
b＞0)
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0) c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
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7
二、导出 y2双 x2曲 1(a线 0,b0) a2 b2
的简单几何性质 y
（1）范围: ya,ya
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
a
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
（4）渐近线: y a x
b
（5）离心率: e c a
-b o b x -a
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A1
A2
o a
x
它与yybx的x位置的变化:趋势
a
B1
（3）利画用出慢渐双慢近曲靠线线近可的草以图较准确的
ybx
a
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y b x a
5
5、离心率
（1）定义：双曲线的焦距与 的实 比 e轴c,长 叫做 a
双曲线离的 心率。
（2）e的范围： c>a>0 e >1
（3）e的含义：
b c2a2 (c)21 e21
20
备选练习:
1. 过点（1，2），且渐近线为 y 3 x 4
的双曲线方程是__1_6_y__2__.9x2 55
2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点
3.2.2双曲线的简单几何性质课件可编辑图片版共54张PPT
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)共焦点的双曲线系方程可设为
a2x－2 λ－λ－y2b2＝1(b2<λ<a2)．
题型二 由双曲线方程研究其几何性质
探究 1 利用方程求解几何性质
例 1 (多选)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点
分别为
F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线
y2 64
－
x2 16
＝
λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)． 综上可知，所求双曲线的标准方程为x42－y2＝1. 答案：x42－y2＝1
4．与椭圆
x2 25
＋
y2 16
＝1有公共焦点，离心率为32
的双曲线方程为
________.
解析：方法一 由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±
n m
x的双曲线方程可设为
x2 m2
－
y2 n2
＝λ(λ≠0，
m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的
方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)．
(2)与双曲线
x2 a2
－ by22
＝1或
y2 a2
－
x2 b2
系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和
c a
＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用
到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.
双曲线的离心率常以渐近线为载体进行命题，注意二者参数
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（1）定义：双曲线的焦距与 的实 比 e轴 c,长 叫做 a
双曲线离的 心率。
（2）e的范围： c>a>0 e >1
（3）e的含义：
bc2 a 2(c)2 1e2 1
aa
a
当 e (1 ,)时 b (， 0 ,) 且 ,e 增 ,b 也 大增大
a
a
e增大时，渐近线的与夹实角轴增大
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
的离心率为
。
y
4 3
x,
则双曲线
2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的夹角
为
。
2020/10/16
12
例题讲解
例3 :求下列双曲线的标准方程：
⑴与双曲线x2 y2 1有共同渐近线，且过点(3,2 3) ； 9 16
⑵与双曲线x2 y2 1有公共焦点，且过点(3 2,2) 16 4
2020/10/16
2020/10/16
3
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶 点 是 A 1 ( a , 0 ) 、 A 2 ( a , 0 ) 只 有 两 个 ！
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长
xa
或
xa
关于 坐标 轴和
(a,0) yb x
a
e
c a
原点
(其中
ya
或
都对 称
(0,a) y a x c2 a2b2)
ya
b
2020/10/16
9
例题讲解
例1 :求双曲线 9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
y2 42
x2 32
1
可得:实半轴长a=4
c2a2b2
2
课堂新授
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
的简单几何性质
1、范围
x2 a2
1,即x2
a2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x a, x a
(-x,y)
y (x,y)
-a o a
x
2、对称性
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
9 16
1 4 2020/10/16
双 曲 线 的 方 程 为 x2y21 94 4
14
根据下列条件，求双曲线方程:
⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) . 16 4
法一:直接设标准方程,运用待定系数法
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
y N(x,y’)
Q
b B2
M(x,y)
（2）等 (在 my轴 a0ba)的 x双 的渐 下 曲 x2方 近 线 y线 2 m 为
A1
A2
o a
x
它与 yybx的x位置的变化: 趋势
a
B1
（3）利画用出慢渐 双慢近 曲靠线 线近可 的以草较图准确的
y b x
a
ybx a
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5
5、离心率
13
⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3 ) ； 9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)
解:双曲线 x2 y2 1 的渐近线为 y 4 x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 ,
9 16
3
故点 (3, 2 3) 在射线 y 4 x （x≤0）及 x 轴负半轴之间, 3
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
a
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
（4）渐近线: y a x
b
（5）离心率: e c a
-b o b x -a
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小结
双 曲
性 质 图象
范围
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
线
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
y2 x2 1 a2 b2 (a 0,b 0)
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6
（4）等轴双曲线的离心率e= ?2
离心率e 2的双曲线是等轴双曲线
(5) e c a
c2a2b2
在a、b、c、e四个参数中，知二二可求
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二、导出双曲线 y2 x2 1(a 0,b 0) a2 b2
的简单几何性质
y
（1）范围: y a ,y a
2a1， 6 a即 8
又 ec5, c10 a4
b 2 c 2 a 2 1 2 0 8 2 36
双曲线的方 x2程 y2为 1 64 36
渐近线方y程 3为 x 4
焦 F 1 ( 1 点 ,0 ) 0 F 2 ,( 1 ,0 ) 0
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课堂练习
1、若双曲线的渐近线方程为
2.3.2 双曲线简单的几何性质 (一)
2020/10/16
1
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关系
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x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
a2 b2 20
则
(3 2)2 22 a2 b2
1
解之得
a b
2 2
12 8
或设x2 m2
y2 20m2
1,
∴双曲线方程为 x2 y2 1 12 8
求得m2 12(30舍去)
法二：设双曲线方程为
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x 2 y 2 m (m 0 )
2020/10/16
y
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
4
4、渐近线
动画演示
双曲线在第一象分 限的 内方 部程为
（1） y
b双x2曲 aax2线 22(xby220)1(a0,b0)
a的渐近y线 b为 x
它与 ybx的位置 a 关 : 系
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率: e c 5
a4
4
渐近线方程: y x
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3
10
例2:已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e 5 ，
4 焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：依题意可的 设方 双程 ax曲 22 为 线 by22 1
∴
双曲线焦点在
x
轴上,∴设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0),
∴
b4 a3 (3)2
a2
(2
3 b2
)2
解之得
a2
9 4
,∴
1
b2 4
双曲线方程为 x2 9 4
y2 4
1
法二：巧设方程,运用待定系数法.
⑴设双曲线方程为
x2
y2
(0)
,
(3)2 (2
3)2
9 16
双曲线离的 心率。
（2）e的范围： c>a>0 e >1
（3）e的含义：
bc2 a 2(c)2 1e2 1
aa
a
当 e (1 ,)时 b (， 0 ,) 且 ,e 增 ,b 也 大增大
a
a
e增大时，渐近线的与夹实角轴增大
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
的离心率为
。
y
4 3
x,
则双曲线
2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的夹角
为
。
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例题讲解
例3 :求下列双曲线的标准方程：
⑴与双曲线x2 y2 1有共同渐近线，且过点(3,2 3) ； 9 16
⑵与双曲线x2 y2 1有公共焦点，且过点(3 2,2) 16 4
2020/10/16
2020/10/16
3
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶 点 是 A 1 ( a , 0 ) 、 A 2 ( a , 0 ) 只 有 两 个 ！
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长
xa
或
xa
关于 坐标 轴和
(a,0) yb x
a
e
c a
原点
(其中
ya
或
都对 称
(0,a) y a x c2 a2b2)
ya
b
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例题讲解
例1 :求双曲线 9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
y2 42
x2 32
1
可得:实半轴长a=4
c2a2b2
2
课堂新授
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
的简单几何性质
1、范围
x2 a2
1,即x2
a2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x a, x a
(-x,y)
y (x,y)
-a o a
x
2、对称性
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
9 16
1 4 2020/10/16
双 曲 线 的 方 程 为 x2y21 94 4
14
根据下列条件，求双曲线方程:
⑵与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) . 16 4
法一:直接设标准方程,运用待定系数法
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
y N(x,y’)
Q
b B2
M(x,y)
（2）等 (在 my轴 a0ba)的 x双 的渐 下 曲 x2方 近 线 y线 2 m 为
A1
A2
o a
x
它与 yybx的x位置的变化: 趋势
a
B1
（3）利画用出慢渐 双慢近 曲靠线 线近可 的以草较图准确的
y b x
a
ybx a
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5
5、离心率
13
⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3 ) ； 9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)
解:双曲线 x2 y2 1 的渐近线为 y 4 x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 ,
9 16
3
故点 (3, 2 3) 在射线 y 4 x （x≤0）及 x 轴负半轴之间, 3
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
a
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
（4）渐近线: y a x
b
（5）离心率: e c a
-b o b x -a
2020/10/16
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小结
双 曲
性 质 图象
范围
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
线
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
y2 x2 1 a2 b2 (a 0,b 0)
2020/10/16
6
（4）等轴双曲线的离心率e= ?2
离心率e 2的双曲线是等轴双曲线
(5) e c a
c2a2b2
在a、b、c、e四个参数中，知二二可求
2020/10/16
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二、导出双曲线 y2 x2 1(a 0,b 0) a2 b2
的简单几何性质
y
（1）范围: y a ,y a
2a1， 6 a即 8
又 ec5, c10 a4
b 2 c 2 a 2 1 2 0 8 2 36
双曲线的方 x2程 y2为 1 64 36
渐近线方y程 3为 x 4
焦 F 1 ( 1 点 ,0 ) 0 F 2 ,( 1 ,0 ) 0
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课堂练习
1、若双曲线的渐近线方程为
2.3.2 双曲线简单的几何性质 (一)
2020/10/16
1
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关系
2020/10/16
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
a2 b2 20
则
(3 2)2 22 a2 b2
1
解之得
a b
2 2
12 8
或设x2 m2
y2 20m2
1,
∴双曲线方程为 x2 y2 1 12 8
求得m2 12(30舍去)
法二：设双曲线方程为
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x 2 y 2 m (m 0 )
2020/10/16
y
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
4
4、渐近线
动画演示
双曲线在第一象分 限的 内方 部程为
（1） y
b双x2曲 aax2线 22(xby220)1(a0,b0)
a的渐近y线 b为 x
它与 ybx的位置 a 关 : 系
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率: e c 5
a4
4
渐近线方程: y x
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例2:已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e 5 ，
4 焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：依题意可的 设方 双程 ax曲 22 为 线 by22 1
∴
双曲线焦点在
x
轴上,∴设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0),
∴
b4 a3 (3)2
a2
(2
3 b2
)2
解之得
a2
9 4
,∴
1
b2 4
双曲线方程为 x2 9 4
y2 4
1
法二：巧设方程,运用待定系数法.
⑴设双曲线方程为
x2
y2
(0)
,
(3)2 (2
3)2
9 16