近三年高考全国卷理科立体几何真题

新课标卷高考真题

1、（2016年全国I 高考）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D AF E 与二面角C BE F

都是60．

（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；

（II ）求二面角E BC A 的余弦值．

2、（2016年全国II 高考）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到'D EF ∆位置，10OD '=．

（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．

3【2015高考新课标1，理18】

如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；

（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

4、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-3，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)设二面角D-AE-C为E-ACD的体积．

5、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-5，三棱柱ABC -A1B1C1中，侧面BB1C1C 为菱形，AB⊥B1C.

图1-5

(1)证明：AC＝AB1；

(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A -A1B1­C1的余弦值．

6、（2017•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面

ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．

（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；

（Ⅱ）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．

7、（2017•新课标Ⅲ）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

8、（2017•新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12

分）

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

1【解析】

⑴ ∵ABEF 为正方形 ∴AF EF ⊥∵90AFD ∠=︒ ∴AF DF ⊥

∵=DF EF F ∴AF ⊥面EFDC AF ⊥面ABEF ∴平面ABEF ⊥平面EFDC

⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=︒

∵AB EF ∥ AB ⊄平面EFDC

EF ⊂平面EFDC ∴AB ∥平面ABCD

AB ⊂平面ABCD

∵面ABCD 面EFDC CD =

∴AB CD ∥,∴CD EF ∥

∴四边形EFDC 为等腰梯形

以E 为原点，如图建立坐标系，FD a =

()()000020E B a ，，，， ()302202a C A a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，，

()020EB a =，，，322a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭

，，，()200AB a =-，， 设面BEC 法向量为()m x y z =，，.

00m EB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111203202a y a x ay z ⋅=⎧⎪⎨⋅-⋅=⎪⎩ 111301x y z ===-，()

301m =-，， 设面ABC 法向量为()222n x y z =，，

=00n BC n AB ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩.即2222

320220a x ay ax ⎧-=⎪⎨⎪=⎩ 222034x y z ===， ()

034n =， 设二面角E BC A --的大小为θ.219cos 31316m n m n θ⋅=

==+⋅+⋅ ∴二面角E BC A --的余弦值为219

2【解析】⑴证明：∵54AE CF ==，∴AE CF AD CD

=， ∴EF AC ∥．∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥， ∴EF BD ⊥，∴EF DH ⊥，∴EF D H '⊥． ∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =， ∴1AE OH OD AO =⋅=，∴3DH D H '==，∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥．又∵OH EF H =，∴'D H ⊥面ABCD ． ⑵建立如图坐标系H xyz -．

()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，， ()430AB =，，，()'133AD =-，，，()060AC =，，， 设面'ABD 法向量()1n x y z =，，，

由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩

，∴()1345n =-，，． 同理可得面'AD C 的法向量()2301n =，，，

∴12129575cos 255210n n n n θ⋅+=

=⋅，∴295sin 25

θ=

3，【答案】33