金融数学专业实变函数考题

金融数学专业实变函数考题

一 叙述题与问答题(40分)

1, 叙述π类, 半环, 代数, 单调类以及Dynkin 类的定义.

2, 叙述度量空间上测度的正则性的定义

3, 叙述Tietze 扩张定理以及Lusin 定理的两种形式.

4, 叙述集合形式的单调类定理以及函数形式的单调类定理

5, 叙述选择公理与Zorn 引理

6, 叙述Lebesgue 积分与黎曼积分之间的关系.

7, 叙述乘积测度空间的定义,

8, 叙述n R 上Lebesgue-Stieltjes 测度的定义

二 判断题(20分)

1 任何两个互不相交的闭集之间的距离大于0 .( )

2 设黎曼广义可积则一定Lebesgue 可积.( )

3 几乎处处收敛一定是依测度收敛.( )

4 如果M 是一个单调类, 并且M 包含所有的开集与闭集, ⊃M B , 这里B 是Borel 代数 ( )

三 (10分) 设μν和是(,)R B 上的有限测度, B 是R 上的Borel 代数. 如果对于R 上任意的有界连续函数()f x , 都有()()()()f x dx f x dx μν=⎰⎰R R

, 证明对于R 上任意的有界Borel 可测函数()f x , 都有()()()()f x dx f x dx μν=⎰⎰R R

.

四(10分) 设(,)μΩF,是一个测度空间, (),1,2,n f x n =是(,)μΩF,上的一列可测函数, 并且()()f x g x ≥, ()g x 是(,)μΩF,上的可积函数, 证明:

lim ()()lim ()()n n n n f x dx f x dx μμΩΩ

→∞→∞≤⎰

⎰.

五(10分)设()f x 是[,a ]b 上的有界的右连续函数, 证明

11()lim (())n b k n a n k b a f x dx f a b a n

+→∞=-=+-∑⎰

.

六 (10分) 设E ⊂R ，可测集X E ⊃，满足：mX <∞与**(\)mX m E m X E =+，证明E 是可测集。

附加题: 设()f x 是R 上的连续函数, 并且对于()f x 的任意极小值点x , 存在一个区间((),())x x x x δδ-+使得()()f y f x >,((),()),y x x x x δδ∀∈-+ y x ≠这里()x δ是一个与x 有关的正常数. 证明()f x 的极小值点至多有可数个.