历年高考数学真题(全国卷整理版)43964
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(数列)汇编(附答案)
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(数列)汇编考点01 数列的增减性1.(2022∙全国乙卷∙高考真题)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列{}n b :1111b α=+,212111b αα=++,31231111b ααα=+++,…,依此类推,其中(1,2,)k k α*∈=N .则( ) A .15b b < B .38b b <C .62b b <D .47b b <2.(2022∙北京∙高考真题)已知数列{}n a 各项均为正数,其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== .给出下列四个结论:①{}n a 的第2项小于3; ②{}n a 为等比数列; ③{}n a 为递减数列; ④{}n a 中存在小于1100的项. 其中所有正确结论的序号是 .3.(2021∙全国甲卷∙高考真题)等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,设甲:0q >,乙:{}n S 是递增数列,则( )A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件4.(2020∙北京∙高考真题)在等差数列{}n a 中,19a =-,51a =-.记12(1,2,)n n T a a a n ==……,则数列{}n T ( ). A .有最大项,有最小项 B .有最大项,无最小项 C .无最大项,有最小项D .无最大项,无最小项考点02 递推数列及数列的通项公式1.(2023∙北京∙高考真题)已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+= ,则( ) A .当13a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立 B .当15a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数6M ≤,使得n a M <恒成立 C .当17a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数6M >,使得n a M >恒成立 D .当19a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数0M >,使得n a M <恒成立2.(2022∙北京∙高考真题)已知数列{}n a 各项均为正数,其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== .给出下列四个结论:①{}n a 的第2项小于3; ②{}n a 为等比数列; ③{}n a 为递减数列; ④{}n a 中存在小于1100的项. 其中所有正确结论的序号是 .3.(2022∙浙江∙高考真题)已知数列{}n a 满足()21111,3n n n a a a a n *+==-∈N ,则( )A .100521002a <<B .100510032a << C .100731002a <<D .100710042a << 4.(2021∙浙江∙高考真题)已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )A .100332S << B .10034S << C .100942S <<D .100952S << 5.(2020∙浙江∙高考真题)我国古代数学家杨辉,朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列,数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈ 的前3项和是 .6.(2020∙全国∙高考真题)数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-,前16项和为540,则1a = .7.(2019∙浙江∙高考真题)设,a b R ∈,数列{}n a 中,211,n n a a a a b +==+,N n *∈ ,则A .当101,102b a =>B .当101,104b a =>C .当102,10b a =->D .当104,10b a =->考点03 等差数列及其前n 项和一、单选题 1.(2024∙全国甲卷∙高考真题)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知510S S =,51a =,则1a =( ) A .72B .73 C .13-D .711-2.(2024∙全国甲卷∙高考真题)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若91S =,则37a a +=( ) A .2-B .73C .1D .293.(2023∙全国甲卷∙高考真题)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若264810,45a a a a +==,则5S =( ) A .25B .22C .20D .154.(2023∙全国乙卷∙高考真题)已知等差数列{}n a 的公差为23π,集合{}*cos N n S a n =∈,若{},S a b =,则ab =( )A .-1B .12-C .0D .125.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,设甲:{}n a 为等差数列;乙:{}nS n为等差数列,则( )A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6.(2022∙北京∙高考真题)设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列,则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.(2020∙浙江∙高考真题)已知等差数列{an }的前n 项和Sn ,公差d ≠0,11a d≤.记b 1=S 2,bn+1=S2n+2–S 2n ,n N *∈,下列等式不可能...成立的是( ) A .2a 4=a 2+a 6B .2b 4=b 2+b 6C .2428a a a = D .2428b b b =8.(2019∙全国∙高考真题)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则 A .25n a n =-B . 310n a n =-C .228n S n n =-D .2122n S n n =-二、填空题 15.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若347a a +=,2535a a +=,则10S = .16.(2022∙全国乙卷∙高考真题)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若32236S S =+,则公差d = . 17.(2020∙山东∙高考真题)将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{an },则{an }的前n 项和为 .18.(2020∙全国∙高考真题)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若1262,2a a a =-+=,则10S = .19.(2019∙江苏∙高考真题)已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列,n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==,则8S 的值是 .20.(2019∙北京∙高考真题)设等差数列{an }的前n 项和为Sn ,若a 2=−3,S 5=−10,则a 5= ,Sn 的最小值为 .21.(2019∙全国∙高考真题)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若375,13a a ==,则10S = . 22.(2019∙全国∙高考真题)记Sn 为等差数列{an }的前n 项和,12103a a a =≠,,则105S S = .考点04 等比数列及其前n 项和一、单选题 1.(2023∙全国甲卷∙高考真题)设等比数列{}n a 的各项均为正数,前n 项和n S ,若11a =,5354S S =-,则4S =( ) A .158B .658C .15D .402.(2023∙天津∙高考真题)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()112,22N n n a a S n *+==+∈,则4a =( )A .16B .32C .54D .1623.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若45S =-,6221S S =,则8S =( ). A .120B .85C .85-D .120-4.(2022∙全国乙卷∙高考真题)已知等比数列{}n a 的前3项和为168,2542a a -=,则6a =( ) A .14B .12C .6D .35.(2021∙全国甲卷∙高考真题)记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =,46S =,则6S =( ) A .7B .8C .9D .106.(2020∙全国∙高考真题)设{}n a 是等比数列,且1231a a a ++=,234+2a a a +=,则678a a a ++=( ) A .12B .24C .30D .327.(2020∙全国∙高考真题)记Sn 为等比数列{an }的前n 项和.若a 5–a 3=12,a 6–a 4=24,则n nS a =( )A .2n –1B .2–21–nC .2–2n –1D .21–n –18.(2020∙全国∙高考真题)数列{}n a 中,12a =,对任意 ,,m n m n m n N a a a ++∈=,若155121022k k k a a a ++++++=- ,则 k =( ) A .2B .3C .4D .5二、填空题 11.(2023∙全国甲卷∙高考真题)记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若6387S S =,则{}n a 的公比为 . 12.(2023∙全国乙卷∙高考真题)已知{}n a 为等比数列,24536a a a a a =,9108a a =-,则7a = . 13.(2019∙全国∙高考真题)记Sn 为等比数列{an }的前n 项和.若13314a S ==,,则S 4= . 14.(2019∙全国∙高考真题)记Sn 为等比数列{an }的前n 项和.若214613a a a ==,,则S 5= .考点05 数列中的数学文化1.(2023∙北京∙高考真题)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{}n a ,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且1591,12,192a a a ===,则7a = ;数列{}n a 所有项的和为 .2.(2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)图1是中国古代建筑中的举架结构,,,,AA BB CC DD ''''是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中1111,,,DD CC BB AA 是举,1111,,,OD DC CB BA 是相等的步,相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====.已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列,且直线OA 的斜率为0.725,则3k =( )A .0.75B .0.8C .0.85D .0.93.(2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸,对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯,20dm 6dm ⨯两种规格的图形,它们的面积之和21240dm S =,对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯,10dm 6dm ⨯,20dm 3dm ⨯三种规格的图形,它们的面积之和22180dm S =,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ;如果对折n次,那么1nk k S ==∑ 2dm .4.(2020∙浙江∙高考真题)我国古代数学家杨辉,朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列,数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈ 的前3项和是 .5.(2020∙全国∙高考真题)0‐1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈= ,且存在正整数m ,使得(1,2,)i m i a a i +== 成立,则称其为0‐1周期序列,并称满足(1,2,)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0‐1序列12n a a a ,11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑ 是描述其性质的重要指标,下列周期为5的0‐1序列中,满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是( ) A .11010B .11011C .10001D .110016.(2020∙全国∙高考真题)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A .3699块B .3474块C .3402块D .3339块考点06 数列求和1.(2021∙浙江∙高考真题)已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )A .100332S << B .10034S << C .100942S <<D .100952S << 2.(2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)(多选)设正整数010112222k kk k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ,其中{}0,1i a ∈,记()01k n a a a ω=+++ .则( ) A .()()2n n ωω= B .()()231n n ωω+=+C .()()8543n n ωω+=+D .()21nn ω-=3.(2020∙江苏∙高考真题)设{an }是公差为d 的等差数列,{bn }是公比为q 的等比数列.已知数列{an +bn }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ,则d +q 的值是 .参考答案考点01 数列的增减性1.(2022∙全国乙卷∙高考真题)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列{}n b :1111b α=+,212111b αα=++,31231111b ααα=+++,…,依此类推,其中(1,2,)k k α*∈=N .则( ) A .15b b < B .38b b <C .62b b <D .47b b <【答案】D【详细分析】根据()*1,2,k k α∈=N …,再利用数列{}n b 与k α的关系判断{}n b 中各项的大小,即可求解.【答案详解】[方法一]:常规解法因为()*1,2,k k α∈=N ,所以1121ααα<+,112111ααα>+,得到12b b >,同理11223111ααααα+>++,可得23b b <,13b b >又因为223411,11αααα>++112233411111ααααααα++<+++,故24b b <,34b b >;以此类推,可得1357b b b b >>>>…,78b b >,故A 错误; 178b b b >>,故B 错误;26231111αααα>++…,得26b b <,故C 错误;11237264111111αααααααα>++++++…,得47b b <,故D 正确.[方法二]:特值法不妨设1,n a =则1234567835813213455b 2,b b ,b b ,b b ,b 2358132134========,,,47b b <故D 正确.2.(2022∙北京∙高考真题)已知数列{}n a 各项均为正数,其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== .给出下列四个结论:①{}n a 的第2项小于3; ②{}n a 为等比数列; ③{}n a 为递减数列; ④{}n a 中存在小于1100的项. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【详细分析】推导出199n n n a a a -=-,求出1a 、2a 的值,可判断①;利用反证法可判断②④;利用数列单调性的定义可判断③.【答案详解】由题意可知,N n *∀∈,0n a >,当1n =时,219a =,可得13a =;当2n ≥时,由9n nS a =可得119n n S a --=,两式作差可得199n n n a a a -=-,所以,199n n n a a a -=-,则2293a a -=,整理可得222390a a +-=, 因为20a >,解得2332a =<,①对;假设数列{}n a 为等比数列,设其公比为q ,则2213a a a =,即2213981S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以,2213S S S =,可得()()22221111a q a q q +=++,解得0q =,不合乎题意,故数列{}n a 不是等比数列,②错; 当2n ≥时,()1119990n n n n n n n a a a a a a a ----=-=>,可得1n n a a -<,所以,数列{}n a 为递减数列,③对; 假设对任意的N n *∈,1100n a ≥,则10000011000001000100S ≥⨯=, 所以,1000001000009911000100a S =≤<,与假设矛盾,假设不成立,④对. 故答案为:①③④.【名师点评】关键点名师点评:本题在推断②④的正误时,利用正面推理较为复杂时,可采用反证法来进行推导.3.(2021∙全国甲卷∙高考真题)等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,设甲:0q >,乙:{}n S 是递增数列,则( )A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【详细分析】当0q >时,通过举反例说明甲不是乙的充分条件;当{}n S 是递增数列时,必有0n a >成立即可说明0q >成立,则甲是乙的必要条件,即可选出答案. 【答案详解】由题,当数列为2,4,8,--- 时,满足0q >, 但是{}n S 不是递增数列,所以甲不是乙的充分条件.若{}n S 是递增数列,则必有0n a >成立,若0q >不成立,则会出现一正一负的情况,是矛盾的,则0q >成立,所以甲是乙的必要条件. 故选:B .【名师点评】在不成立的情况下,我们可以通过举反例说明,但是在成立的情况下,我们必须要给予其证明过程.4.(2020∙北京∙高考真题)在等差数列{}n a 中,19a =-,51a =-.记12(1,2,)n n T a a a n ==……,则数列{}n T ( ).A .有最大项,有最小项B .有最大项,无最小项C .无最大项,有最小项D .无最大项,无最小项【答案】B【详细分析】首先求得数列的通项公式,然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【答案详解】由题意可知,等差数列的公差511925151a a d --+===--, 则其通项公式为:()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-, 注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<< , 且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈, 由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项, 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=,故数列{}n T 中的正项只有有限项:263T =,46315945T =⨯=. 故数列{}n T 中存在最大项,且最大项为4T . 故选:B.【名师点评】本题主要考查等差数列的通项公式,等差数列中项的符号问题,分类讨论的数学思想等知识,属于中等题.考点02 递推数列及数列的通项公式1.(2023∙北京∙高考真题)已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+= ,则( ) A .当13a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立 B .当15a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数6M ≤,使得n a M <恒成立 C .当17a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数6M >,使得n a M >恒成立 D .当19a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数0M >,使得n a M <恒成立【答案】B【详细分析】法1:利用数列归纳法可判断ACD 正误,利用递推可判断数列的性质,故可判断B 的正误. 法2:构造()()31664x f x x =-+-,利用导数求得()f x 的正负情况,再利用数学归纳法判断得各选项n a 所在区间,从而判断{}n a 的单调性;对于A ,构造()()32192647342h x x x x x =-+-≤,判断得11n n a a +<-,进而取[]4m M =-+推得n a M >不恒成立;对于B ,证明n a 所在区间同时证得后续结论;对于C ,记()0143log 2log 61m M ⎡⎤⎢⎥⎣=+⎦-,取[]01m m =+推得n a M >不恒成立;对于D ,构造()()32192649942g x x x x x =-+-≥,判断得11n n a a +>+,进而取[]1m M =+推得n a M <不恒成立. 【答案详解】法1:因为()311664n n a a +=-+,故()311646n n a a +=--,对于A ,若13a =,可用数学归纳法证明:63n a -≤-即3n a ≤, 证明:当1n =时,1363a -=≤--,此时不等关系3n a ≤成立; 设当n k =时,63k a -≤-成立, 则()3162514764,4k k a a +⎛⎫-∈--- ⎝=⎪⎭,故136k a +≤--成立, 由数学归纳法可得3n a ≤成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦, ()20144651149n a --=-≥>,60n a -<,故10n n a a +-<,故1n n a a +<, 故{}n a 为减数列,注意1063k a +-≤-< 故()()()()23111666649644n n n n n a a a a a +-=≤-=-⨯--,结合160n a +-<,所以()16694n n a a +--≥,故19634n n a +⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,故19634nn a +⎛⎫≤- ⎪⎝⎭,若存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立,则9634nM ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,故6934nM -⎛⎫> ⎪⎝⎭,故946log 3M n -<,故n a M >恒成立仅对部分n 成立, 故A 不成立.对于B ,若15,a =可用数学归纳法证明:106n a --≤<即56n a ≤<, 证明:当1n =时,10611a ---≤≤=,此时不等关系56n a ≤<成立; 设当n k =时,56k a ≤<成立, 则()31164416,0k k a a +⎛⎫-∈-⎪⎝=⎭-,故1106k a +--≤<成立即 由数学归纳法可得156k a +≤<成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦, ()201416n a --<,60n a -<,故10n n a a +->,故1n n a a +>,故{}n a 为增数列, 若6M =,则6n a <恒成立,故B 正确.对于C ,当17a =时, 可用数学归纳法证明:061n a <-≤即67n a <≤, 证明:当1n =时,1061a <-≤,此时不等关系成立; 设当n k =时,67k a <≤成立, 则()31160,4164k k a a +⎛⎤-∈ ⎥⎝=⎦-,故1061k a +<-≤成立即167k a +<≤ 由数学归纳法可得67n a <≤成立.而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=--<⎢⎥⎣⎦--,故1n n a a +<,故{}n a 为减数列,又()()()2111666644n n n n a a a a +-=-⨯-≤-,结合160n a +->可得:()111664n n a a +⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭,所以1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭, 若1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,若存在常数6M >,使得n a M >恒成立,则164nM ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立,故()14log 6n M ≤-,n 的个数有限,矛盾,故C 错误.对于D ,当19a =时, 可用数学归纳法证明:63n a -≥即9n a ≥, 证明:当1n =时,1633a -=≥,此时不等关系成立; 设当n k =时,9k a ≥成立,则()3162764143k k a a +-≥=>-,故19k a +≥成立 由数学归纳法可得9n a ≥成立.而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=-->⎢⎥⎣⎦--,故1n n a a +>,故{}n a 为增数列,又()()()2119666446n n n n a a a a +->=-⨯--,结合60n a ->可得:()11116396449n n n a a --+⎭-⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎝⎭> ,所以114963n n a -+⎛⎫⎪⎭≥+⎝,若存在常数0M >,使得n a M <恒成立,则19643n M -⎛⎫⎪⎝>+⎭,故19643n M -⎛⎫⎪⎝>+⎭,故946log 13M n -⎛⎫<+ ⎪⎝⎭,这与n 的个数有限矛盾,故D 错误.故选:B.法2:因为()3321119662648442n n n n n n n a a a a a a a +-=-+-=-+-, 令()3219264842f x x x x =-+-,则()239264f x x x =-+',令()0f x ¢>,得06x <<6x >+;令()0f x '<,得66x << 所以()f x在,6⎛-∞ ⎝⎭和63⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,在633⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减, 令()0f x =,则32192648042x x x -+-=,即()()()146804x x x ---=,解得4x =或6x =或8x =,注意到465<<,768<<, 所以结合()f x 的单调性可知在(),4-∞和()6,8上()0f x <,在()4,6和()8,+∞上()0f x >, 对于A ,因为()311664n n a a +=-+,则()311646n n a a +=--,当1n =时,13a =,()32116643a a =--<-,则23a <, 假设当n k =时,3k a <, 当1n k =+时,()()331311646364k k a a +<---<-=,则13k a +<, 综上:3n a ≤,即(),4n a ∈-∞,因为在(),4-∞上()0f x <,所以1n n a a +<,则{}n a 为递减数列, 因为()332111916612647442n n n n n n n a a a a a a a +-+=-+-+=-+-, 令()()32192647342h x x x x x =-+-≤,则()239264h x x x '=-+,因为()h x '开口向上,对称轴为96324x -=-=⨯, 所以()h x '在(],3-∞上单调递减,故()()2333932604h x h ''≥=⨯-⨯+>,所以()h x 在(],3-∞上单调递增,故()()321933326347042h x h ≤=⨯-⨯+⨯-<,故110n n a a +-+<,即11n n a a +<-, 假设存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立,取[]14m M =-+,其中[]1M M M -<≤,且[]Z M ∈,因为11n n a a +<-,所以[][]2132431,1,,1M M a a a a a a -+-+<-<-<- , 上式相加得,[][]()14333M a a M M M -+<--+≤+-=, 则[]14m M a a M +=<,与n a M >恒成立矛盾,故A 错误; 对于B ,因为15a =, 当1n =时,156a =<,()()33211166566644a a =-+=⨯-+<, 假设当n k =时,6k a <,当1n k =+时,因为6k a <,所以60k a -<,则()360k a -<, 所以()3116664k k a a +=-+<, 又当1n =时,()()332111615610445a a =-+=⨯+-->,即25a >, 假设当n k =时,5k a ≥,当1n k =+时,因为5k a ≥,所以61k a -≥-,则()361k a -≥-, 所以()3116654k k a a +=-+≥, 综上:56n a ≤<,因为在()4,6上()0f x >,所以1n n a a +>,所以{}n a 为递增数列, 此时,取6M =,满足题意,故B 正确;对于C ,因为()311664n n a a +=-+,则()311646n n a a +=--,注意到当17a =时,()3216617644a =-+=+,3341166441664a ⎪⎛⎫⎫+=+ ⎪⎝+-⎭⎭⎛= ⎝,143346166144416a ⎢⎛⎫+=⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝+ ⎪⎭⎭⎥⎦⎝⎣猜想当2n ≥时,)1312164k k a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭,当2n =与3n =时,2164a =+与43164a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足()1312164nn a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭,假设当n k =时,)1312164k k a -⎛⎫+ ⎪=⎝⎭,当1n k =+时,所以()())13113131122311666116664444k k k k a a +-+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-+=+=, 综上:()()13121624n n a n - =⎛⎫+≥⎪⎝⎭,易知310n->,则)13121014n -⎛⎫<< ⎪⎝⎭,故()()()1312166,724n n a n -⎛⎪=⎫+∈≥ ⎝⎭,所以(],67n a ∈,因为在()6,8上()0f x <,所以1n n a a +<,则{}n a 为递减数列, 假设存在常数6M >,使得n a M >恒成立,记()0143log 2log 61m M ⎡⎤⎢⎥⎣=+⎦-,取[]01m m =+,其中[]*00001,N m m m m -<≤∈,则()0142log 6133m mM ->=+, 故()()14log 61312m M ->-,所以()1312614m M -⎛⎫ ⎪<⎝-⎭,即)1312164m M -⎛⎫+ ⎪⎭<⎝, 所以m a M <,故n a M >不恒成立,故C 错误; 对于D ,因为19a =, 当1n =时,()32116427634a a ==->-,则29a >, 假设当n k =时,3k a ≥, 当1n k =+时,()()331116936644k k a a +≥=-->-,则19k a +>,综上:9n a ≥,因为在()8,+∞上()0f x >,所以1n n a a +>,所以{}n a 为递增数列, 因为()332111916612649442n n n n n n n a a a a a a a +--=-+--=-+-, 令()()32192649942g x x x x x =-+-≥,则()239264g x x x '=-+, 因为()g x '开口向上,对称轴为96324x -=-=⨯, 所以()g x '在[)9,+∞上单调递增,故()()2399992604g x g ≥=⨯-⨯+'>',所以()()321999926949042g x g ≥=⨯-⨯+⨯->, 故110n n a a +-->,即11n n a a +>+, 假设存在常数0M >,使得n a M <恒成立, 取[]21m M =+,其中[]1M M M -<≤,且[]Z M ∈,因为11n n a a +>+,所以[][]213211,1,,1M M a a a a a a +>+>+>+ , 上式相加得,[][]1191M a a M M M +>+>+->, 则[]21m M a a M +=>,与n a M <恒成立矛盾,故D 错误. 故选:B.【名师点评】关键名师点评:本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题,再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系,从而可判断数列的上界或下界是否成立.2.(2022∙北京∙高考真题)已知数列{}n a 各项均为正数,其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== .给出下列四个结论:①{}n a 的第2项小于3; ②{}n a 为等比数列; ③{}n a 为递减数列; ④{}n a 中存在小于1100的项. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【详细分析】推导出199n n n a a a -=-,求出1a 、2a 的值,可判断①;利用反证法可判断②④;利用数列单调性的定义可判断③.【答案详解】由题意可知,N n *∀∈,0n a >,当1n =时,219a =,可得13a =;当2n ≥时,由9n n S a =可得119n n S a --=,两式作差可得199n n n a a a -=-,所以,199n n n a a a -=-,则2293a a -=,整理可得222390a a +-=, 因为20a >,解得2332a =<,①对;假设数列{}n a 为等比数列,设其公比为q ,则2213a a a =,即2213981S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以,2213S S S =,可得()()22221111a q a q q +=++,解得0q =,不合乎题意,故数列{}n a 不是等比数列,②错; 当2n ≥时,()1119990n n n n n n n a a a a a a a ----=-=>,可得1n n a a -<,所以,数列{}n a 为递减数列,③对; 假设对任意的N n *∈,1100n a ≥,则10000011000001000100S ≥⨯=, 所以,1000001000009911000100a S =≤<,与假设矛盾,假设不成立,④对. 故答案为:①③④.【名师点评】关键点名师点评:本题在推断②④的正误时,利用正面推理较为复杂时,可采用反证法来进行推导.3.(2022∙浙江∙高考真题)已知数列{}n a 满足()21111,3n n n a a a a n *+==-∈N ,则( )A .100521002a <<B .100510032a << C .100731002a <<D .100710042a << 【答案】B【详细分析】先通过递推关系式确定{}n a 除去1a ,其他项都在()0,1范围内,再利用递推公式变形得到1111133n n n a a a +-=>-,累加可求出11(2)3n n a >+,得出1001003a <,再利用11111111333132n n n a a a n n +⎛⎫-=<=+ ⎪-+⎝⎭-+,累加可求出()111111113323nn a n ⎛⎫-<-++++ ⎪⎝⎭ ,再次放缩可得出10051002a >. 【答案详解】∵11a =,易得()220,13a =∈,依次类推可得()0,1n a ∈ 由题意,1113n n n a a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即()1131133n n n n na a a a a +==+--,∴1111133n n n a a a +-=>-, 即211113a a ->,321113a a ->,431113a a ->,…,1111,(2)3n n n a a -->≥, 累加可得()11113n n a ->-,即11(2),(2)3n n n a >+≥, ∴()3,22n a n n <≥+,即100134a <,100100100334a <<, 又11111111,(2)333132n n n n a a a n n +⎛⎫-=<=+≥ ⎪-+⎝⎭-+, ∴211111132a a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,321111133a a ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭,431111134a a ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭,…,111111,(3)3n n n a a n -⎛⎫-<+≥ ⎪⎝⎭, 累加可得()11111111,(3)3323n n n a n ⎛⎫-<-++++≥ ⎪⎝⎭ ,∴100111111111333349639323100326a ⎛⎫⎛⎫-<++++<+⨯+⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ , 即100140a <,∴100140a >,即10051002a >; 综上:100510032a <<. 故选:B .【名师点评】关键点名师点评:解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩. 4.(2021∙浙江∙高考真题)已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )A .100332S << B .10034S << C .100942S <<D .100952S << 【答案】A【详细分析】显然可知,10032S >,利用倒数法得到21111124n n a a +⎛⎫==+-⎪⎪⎭,再放缩可得12<,由累加法可得24(1)n a n ≥+,进而由1n a +=113n n a n a n ++≤+,然后利用累乘法求得6(1)(2)n a n n ≤++,最后根据裂项相消法即可得到1003S <,从而得解.【答案详解】因为)111,N n a a n *+==∈,所以0n a >,10032S >.由211111124n n n a a a ++⎛⎫=⇒=+=+-⎪⎪⎭2111122n a +⎛⎫∴<⇒<⎪⎪⎭12<()111,222n n n -+<+=≥,当1n =112+=,12n +≤,当且仅当1n =时等号成立,12412(1)311n n n n a n a a a n n n ++∴≥∴=≤=++++ 113n n a n a n ++∴≤+, 由累乘法可得()6,2(1)(2)n a n n n ≤≥++,且16(11)(12)a =++,则6(1)(2)n a n n ≤++,当且仅当1n =时取等号,由裂项求和法得:所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即100332S <<. 故选:A .【名师点评】的不等关系,再由累加法可求得24(1)n a n ≥+,由题目条件可知要证100S 小于某数,从而通过局部放缩得到1,n n a a +的不等关系,改变不等式的方向得到6(1)(2)n a n n ≤++,最后由裂项相消法求得1003S <.5.(2020∙浙江∙高考真题)我国古代数学家杨辉,朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列,数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈ 的前3项和是 .【答案】10【详细分析】根据通项公式可求出数列{}n a 的前三项,即可求出. 【答案详解】因为()12n n n a +=,所以1231,3,6a a a ===. 即312313610S a a a =++=++=. 故答案为:10.【名师点评】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和,属于容易题.6.(2020∙全国∙高考真题)数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-,前16项和为540,则1a = .【答案】7【详细分析】对n 为奇偶数分类讨论,分别得出奇数项、偶数项的递推关系,由奇数项递推公式将奇数项用1a 表示,由偶数项递推公式得出偶数项的和,建立1a 方程,求解即可得出结论.【答案详解】2(1)31nn n a a n ++-=-,当n 为奇数时,231n n a a n +=+-;当n 为偶数时,231n n a a n ++=-. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,16123416S a a a a a =+++++135********()()a a a a a a a a =+++++++111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++ 11(102)(140)(5172941)a a ++++++++ 118392928484540a a =++=+=,17a ∴=.故答案为:7.【名师点评】本题考查数列的递推公式的应用,以及数列的并项求和,考查分类讨论思想和数学计算能力,属于较难题.7.(2019∙浙江∙高考真题)设,a b R ∈,数列{}n a 中,211,n n a a a a b +==+,N n *∈ ,则A .当101,102b a =>B .当101,104b a =>C .当102,10b a =->D .当104,10b a =->【答案】A【解析】若数列{}n a 为常数列,101a a a ==,则只需使10a ≤,选项的结论就会不成立.将每个选项的b 的取值代入方程20x x b -+=,看其是否有小于等于10的解.选项B 、C 、D 均有小于10的解,故选项B 、C 、D 错误.而选项A 对应的方程没有解,又根据不等式性质,以及基本不等式,可证得A 选项正确.【答案详解】若数列{}n a 为常数列,则1n a a a ==,由21n n a a b +=+,可设方程20x x b -+= 选项A :12b =时,2112n n a a +=+,2102x x -+=, 1210∆=-=-<, 故此时{}n a 不为常数列,222112n n n n a a a +=+=+≥ ,且2211122a a =+≥,792a a ∴≥≥21091610a a >≥>, 故选项A 正确; 选项B :14b =时,2114n n a a +=+,2104x x -+=,则该方程的解为12x =, 即当12a =时,数列{}n a 为常数列,12n a =,则101102a =<,故选项B 错误; 选项C :2b =-时,212n n a a +=-,220x x --=该方程的解为=1x -或2,即当1a =-或2时,数列{}n a 为常数列,1n a =-或2, 同样不满足1010a >,则选项C 也错误;选项D :4b =-时,214n n a a +=-,240x x --=该方程的解为12x =, 同理可知,此时的常数列{}n a 也不能使1010a >, 则选项D 错误. 故选:A.【名师点评】遇到此类问题,不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想,通过研究函数的不动点,进一步讨论a 的可能取值,利用“排除法”求解.考点03 等差数列及其前n 项和一、单选题 1.(2024∙全国甲卷∙高考真题)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知510S S =,51a =,则1a =( ) A .72B .73 C .13-D .711-【答案】B【详细分析】由510S S =结合等差中项的性质可得80a =,即可计算出公差,即可得1a 的值. 【答案详解】由105678910850S S a a a a a a -=++++==,则80a =, 则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-,故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选:B.2.(2024∙全国甲卷∙高考真题)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若91S =,则37a a +=( ) A .2-B .73C .1D .29【答案】D【详细分析】可以根据等差数列的基本量,即将题目条件全转化成1a 和d 来处理,亦可用等差数列的性质进行处理,或者特殊值法处理.【答案详解】方法一:利用等差数列的基本量 由91S =,根据等差数列的求和公式,911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=, 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=. 故选:D方法二:利用等差数列的性质根据等差数列的性质,1937a a a a +=+,由91S =,根据等差数列的求和公式, 193799()9()122a a a a S ++===,故3729a a +=.故选:D方法三:特殊值法不妨取等差数列公差0d =,则9111199S a a ==⇒=,则371229a a a +==. 故选:D3.(2023∙全国甲卷∙高考真题)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若264810,45a a a a +==,则5S =( ) A .25B .22C .20D .15【答案】C【详细分析】方法一:根据题意直接求出等差数列{}n a 的公差和首项,再根据前n 项和公式即可解出; 方法二:根据等差数列的性质求出等差数列{}n a 的公差,再根据前n 项和公式的性质即可解出. 【答案详解】方法一:设等差数列{}n a 的公差为d ,首项为1a ,依题意可得,2611510a a a d a d +=+++=,即135a d +=,又()()48113745a a a d a d =++=,解得:11,2d a ==, 所以515455210202S a d ⨯=+⨯=⨯+=. 故选:C.方法二:264210a a a +==,4845a a =,所以45a =,89a =,从而84184a a d -==-,于是34514a a d =-=-=, 所以53520S a ==. 故选:C.4.(2023∙全国乙卷∙高考真题)已知等差数列{}n a 的公差为23π,集合{}*cos N n S a n =∈,若{},S a b =,则ab =( ) A .-1B .12-C .0D .12【答案】B【详细分析】根据给定的等差数列,写出通项公式,再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素详细分析、推理作答.【答案详解】依题意,等差数列{}n a 中,112π2π2π(1)()333n a a n n a =+-⋅=+-, 显然函数12π2πcos[()]33y n a =+-的周期为3,而N n *∈,即cos n a 最多3个不同取值,又{cos |N }{,}n a n a b *∈=,则在123cos ,cos ,cos a a a 中,123cos cos cos a a a =≠或123cos cos cos a a a ≠=, 于是有2πcos cos()3θθ=+,即有2π()2π,Z 3k k θθ++=∈,解得ππ,Z 3k k θ=-∈, 所以Z k ∈,2ππ4πππ1cos(π)cos[(π)]cos(π)cos πcos πcos 333332ab k k k k k =--+=--=-=-.故选:B5.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,设甲:{}n a 为等差数列;乙:{}nS n为等差数列,则( )A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【详细分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义,再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.,【答案详解】方法1,甲:{}n a 为等差数列,设其首项为1a ,公差为d , 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a nn n +--=+=+=+--=+,因此{}nS n为等差数列,则甲是乙的充分条件; 反之,乙:{}nS n为等差数列,即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数,设为t ,即1(1)n nna S t n n +-=+,则1(1)n n S na t n n +=-⋅+,有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥,两式相减得:1(1)2n n n a na n a tn +=---,即12n n a a t +-=,对1n =也成立, 因此{}n a 为等差数列,则甲是乙的必要条件, 所以甲是乙的充要条件,C 正确.方法2,甲:{}n a 为等差数列,设数列{}n a 的首项1a ,公差为d ,即1(1)2n n n S na d -=+, 则11(1)222n S n d d a d n a n-=+=+-,因此{}n S n 为等差数列,即甲是乙的充分条件;反之,乙:{}nS n 为等差数列,即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+, 即1(1)n S nS n n D =+-,11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--,当2n ≥时,上两式相减得:112(1)n n S S S n D --=+-,当1n =时,上式成立, 于是12(1)n a a n D =+-,又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数, 因此{}n a 为等差数列,则甲是乙的必要条件, 所以甲是乙的充要条件. 故选:C6.(2022∙北京∙高考真题)设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列,则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,则0d ≠,利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【答案详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则0d ≠,记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列,则0d >,若10a ≥,则当2n ≥时,10n a a >≥;若10a <,则()11n a a n d +-=, 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-,取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦,则当0n N >时,0n a >, 所以,“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”;若存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >,取N k *∈且0k N >,0k a >, 假设0d <,令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-,且k ak k d->, 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时,0n a <,与题设矛盾,假设不成立,则0d >,即数列{}n a 是递增数列.所以,“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”.所以,“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”的充分必要条件. 故选:C.7.(2020∙浙江∙高考真题)已知等差数列{an }的前n 项和Sn ,公差d ≠0,11a d≤.记b 1=S 2,bn+1=S2n+2–S 2n ,n N *∈,下列等式不可能...成立的是( ) A .2a 4=a 2+a 6B .2b 4=b 2+b 6C .2428a a a = D .2428b b b =【答案】D【详细分析】根据题意可得,21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-,而1212b S a a ==+,即可表示出题中2468,,,b b b b ,再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立.【答案详解】对于A ,因为数列{}n a 为等差数列,所以根据等差数列的下标和性质,由4426+=+可得,4262a a a =+,A 正确;对于B ,由题意可知,21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-,1212b S a a ==+,∴234b a a =+,478b a a =+,61112b a a =+,81516b a a =+. ∴()47822b a a =+,26341112b b a a a a +=+++.根据等差数列的下标和性质,由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++,B 正确;对于C ,()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-, 当1a d =时,2428a a a =,C 正确; 对于D ,()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++,()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++, ()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-.当0d >时,1a d ≤,∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->;当0d <时,1a d ≥,∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->,所以24280b b b ->,D 不正确.故选:D.【名师点评】本题主要考查等差数列的性质应用,属于基础题.8.(2019∙全国∙高考真题)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编考点01 集合间的基本关系1.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)设集合{}0,A a =-,{}1,2,22B a a =--,若A B ⊆,则=a ( ). A .2 B .1 C .23 D .1-2.(2020全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知a ∈R ,若集合{}1,M a =,{}1,0,1N =-,则“0a =”是“M N ⊆”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件考点02 交集1.(2024∙全国新Ⅰ卷高考真题)已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣,则A B = ( ) A .{1,0}- B .{2,3} C .{3,1,0}-- D .{1,0,2}-2.(2024年全国甲卷高考真题)若集合{}1,2,3,4,5,9A =,{}1B x x A =+∈,则A B = ( ) A .{}1,3,4 B .{}2,3,4 C .{}1,2,3,4 D .{}0,1,2,3,4,93.(2023∙北京∙高考真题)已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣,则M N ⋂=( ) A .{21}x x -≤<∣ B .{21}xx -<≤∣ C .{2}xx ≥-∣ D .{1}x x <∣ 4.(2023全国新Ⅰ卷高考真题)已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=( ) A .{}2,1,0,1-- B .{}0,1,2 C .{}2- D .{}25.(2022∙全国新Ⅱ卷高考真题)已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤,则A B = ( ) A .{1,2}- B .{1,2} C .{1,4} D .{1,4}- 6.(2022年全国乙卷∙高考真题)集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<,则M N ⋂=( ) A .{2,4} B .{2,4,6} C .{2,4,6,8} D .{2,4,6,8,10}7.(2022年全国甲卷∙高考真题)设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣,则A B = ( ) A .{}0,1,2 B .{2,1,0}-- C .{0,1} D .{1,2}8.(2022全国新Ⅰ卷∙高考真题)若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣,则M N ⋂=( ) A .{}02x x ≤< B .123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C .{}316x x ≤< D .1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭9.(2021年全国乙卷∙高考真题)已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ,{}41,T t t n n ==+∈Z ,则S T?( )A .∅B .SC .TD .Z10.(2021年全国甲卷∙高考真题)设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>,则M N ⋂=( )A .{}7,9B .{}5,7,9C .{}3,5,7,9D .{}1,3,5,7,911.(2021年全国甲卷∙高考真题)设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭,则M N ⋂=( )A .103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B .143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C .{}45x x ≤<D .{}05x x <≤12.(2021全国新Ⅰ卷∙高考真题)设集合{}24A x x =-<<,{}2,3,4,5B =,则A B = ( )A .{}2B .{}2,3C .{}3,4D .{}2,3,4考点03 并集1.(2024∙北京∙高考真题)已知集合{|31}M x x =-<<,{|14}N x x =-≤<,则M N ⋃=( ) A .{}11x x -≤< B .{}3x x >-C .{}|34x x -<<D .{}4x x <2.(2022∙浙江∙高考真题)设集合{1,2},{2,4,6}A B ==,则A B ⋃=( )A .{2}B .{1,2}C .{2,4,6}D .{1,2,4,6}3.(2021∙北京∙高考真题)已知集合{}|11A x x =-<<,{}|02B x x =≤≤,则A B ⋃=( )A .{}|12x x -<<B .{}|12x x -<≤C .{}|01x x ≤<D .{}|02x x ≤≤4.(2020∙山东∙高考真题)设集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2<x <4},则A ∪B =( )A .{x |2<x ≤3}B .{x |2≤x ≤3}C .{x |1≤x <4}D .{x |1<x <4}考点04 补集1.(2024年全国甲卷∙高考真题)已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==,则()A A B ⋂=ð( ) A .{}1,4,9 B .{}3,4,9 C .{}1,2,3 D .{}2,3,52.(2023年全国乙卷∙高考真题)设全集{}0,1,2,4,6,8U =,集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==,则U M N ⋃=ð( ) A .{}0,2,4,6,8 B .{}0,1,4,6,8 C .{}1,2,4,6,8 D .U3.(2023年全国乙卷∙高考真题)设集合U =R ,集合{}1M x x =<,{}12N x x =-<<,则{}2x x ≥=( )A .()U M N ðB .U N M ðC .()U M N ðD .U M N ⋃ð4.(2022∙全国乙卷∙高考真题)设全集{1,2,3,4,5}U =,集合M 满足{1,3}U M =ð,则( )A .2M ∈B .3M ∈C .4M ∉D .5M ∉5.(2022∙北京∙高考真题)已知全集{33}U x x =-<<,集合{21}A x x =-<≤,则U A =ð( ) A .(2,1]- B .(3,2)[1,3)-- C .[2,1)- D .(3,2](1,3)--6.(2021全国新Ⅱ卷∙高考真题)设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===,则()U A B = ð( )A .{3}B .{1,6}C .{5,6}D .{1,3}7.(2020全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知全集{},,,U a b c d =,集合{},M a c =,则U M ð等于( ) A .∅ B .{},a c C .{},b d D .{},,,a b c d考点05 充分条件与必要条件1.(2024∙全国甲卷∙高考真题)设向量()()1,,,2a x x b x =+= ,则( )A .“3x =-”是“a b ⊥ ”的必要条件B .“3x =-”是“//a b ”的必要条件C .“0x =”是“a b ⊥ ”的充分条件D .“1x =-”是“//a b ”的充分条件2.(2024∙天津∙高考真题)设,a b ∈R ,则“33a b =”是“33a b =”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.(2024∙北京∙高考真题)设 a ,b 是向量,则“()()ꞏ0a b a b +-= ”是“a b =- 或a b = ”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.(2023∙北京∙高考真题)若0xy ≠,则“0x y +=”是“2yxx y +=-”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.(2023∙全国甲卷∙高考真题)设甲:22sin sin 1αβ+=,乙:sin cos 0αβ+=,则( )A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6.(2023∙天津∙高考真题)已知,R a b ∈,“22a b =”是“222a b ab +=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件7.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,设甲:{}n a 为等差数列;乙:{}n S n为等差数列,则( )A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.(2022∙浙江∙高考真题)设x ∈R ,则“sin 1x =”是“cos 0x =”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件9.(2022∙北京∙高考真题)设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列,则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件10.(2021∙全国甲卷∙高考真题)等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,设甲:0q >,乙:{}n S 是递增数列,则( )A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件考点06 全称量词与存在量词1.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知命题p :x ∀∈R ,|1|1x +>;命题q :0x ∃>,3x x =,则( ) A .p 和q 都是真命题B .p ⌝和q 都是真命题C .p 和q ⌝都是真命题D .p ⌝和q ⌝都是真命题2.(2020∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)下列命题为真命题的是( )A .10>且34>B .12>或45>C .x R ∃∈,cos 1x >D .x ∀∈R ,20x ≥参考答案考点01 集合间的基本关系1.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)设集合{}0,A a =-,{}1,2,22B a a =--,若A B ⊆,则=a ( ). A .2 B .1 C .23 D .1-【答案】B【详细分析】根据包含关系分20a -=和220a -=两种情况讨论,运算求解即可.【答案详解】因为A B ⊆,则有:若20a -=,解得2a =,此时{}0,2A =-,{}1,0,2B =,不符合题意;若220a -=,解得1a =,此时{}0,1A =-,{}1,1,0B =-,符合题意;综上所述:1a =.故选:B.2.(2020全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知a ∈R ,若集合{}1,M a =,{}1,0,1N =-,则“0a =”是“M N ⊆”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【详细分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【答案详解】当0a =时,集合{}1,0M =,{}1,0,1N =-,可得M N ⊆,满足充分性,若M N ⊆,则0a =或1a =-,不满足必要性,所以“0a =”是“M N ⊆”的充分不必要条件,故选:A.考点02 交集1.(2024∙全国新Ⅰ卷高考真题)已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x x B =-<<=--∣,则A B = ( ) A .{1,0}- B .{2,3} C .{3,1,0}-- D .{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ,由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--,且注意到12<<,从而A B = {}1,0-.故选:A.2.(2024年全国甲卷高考真题)若集合{}1,2,3,4,5,9A =,{}1B x x A =+∈,则A B = ( )A .{}1,3,4B .{}2,3,4C .{}1,2,3,4D .{}0,1,2,3,4,9【答案】C 【详细分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素,然后根据交集的定义计算.【答案详解】依题意得,对于集合B 中的元素x ,满足11,2,3,4,5,9x +=,则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8,即{0,1,2,3,4,8}B =,于是{1,2,3,4}A B ⋂=.故选:C3.(2023∙北京∙高考真题)已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣,则M N ⋂=( ) A .{21}x x -≤<∣ B .{21}xx -<≤∣ C .{2}xx ≥-∣ D .{1}x x <∣ 【答案】A【详细分析】先化简集合,M N ,然后根据交集的定义计算.【答案详解】由题意,{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣,{10}{|1}N x x x x =-<=<∣, 根据交集的运算可知,{|21}M N x x =-≤< .故选:A4.(2023全国新Ⅰ卷高考真题)已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=( ) A .{}2,1,0,1--B .{}0,1,2C .{}2-D .{}2【答案】C 【详细分析】方法一:由一元二次不等式的解法求出集合N ,即可根据交集的运算解出.方法二:将集合M 中的元素逐个代入不等式验证,即可解出. 【答案详解】方法一:因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+,而{}2,1,0,1,2M =--, 所以M N ⋂={}2-.故选:C .方法二:因为{}2,1,0,1,2M =--,将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥,只有2-使不等式成立,所以M N ⋂={}2-.故选:C .5.(2022∙全国新Ⅱ卷高考真题)已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤,则A B = ( )A .{1,2}-B .{1,2}C .{1,4}D .{1,4}- 【答案】B【详细分析】方法一:求出集合B 后可求A B ⋂.【答案详解】[方法一]:直接法因为{}|02B x x =≤≤,故{}1,2A B = ,故选:B.[方法二]:【最优解】代入排除法=1x -代入集合{}11B x x =-≤,可得21≤,不满足,排除A 、D ;4x =代入集合{}11B x x =-≤,可得31≤,不满足,排除C.故选:B.【整体点评】方法一:直接解不等式,利用交集运算求出,是通性通法;方法二:根据选择题特征,利用特殊值代入验证,是该题的最优解.6.(2022年全国乙卷∙高考真题)集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<,则M N ⋂=( ) A .{2,4} B .{2,4,6} C .{2,4,6,8} D .{2,4,6,8,10}【答案】A【详细分析】根据集合的交集运算即可解出.【答案详解】因为{}2,4,6,8,10M =,{}|16N x x =-<<,所以{}2,4M N = .故选:A.7.(2022年全国甲卷∙高考真题)设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣,则A B = ( )A .{}0,1,2B .{2,1,0}--C .{0,1}D .{1,2}【答案】A【详细分析】根据集合的交集运算即可解出.【答案详解】因为{}2,1,0,1,2A =--,502B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣,所以{}0,1,2A B = .故选:A.8.(2022全国新Ⅰ卷∙高考真题)若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣,则M N ⋂=( )A .{}02x x ≤<B .123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C .{}316x x ≤< D .1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【详细分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂. 【答案详解】1{16},{}3M x x N x x =≤<=≥∣0∣,故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选:D9.(2021年全国乙卷∙高考真题)已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ,{}41,T t t n n ==+∈Z ,则S T ?( )A .∅B .SC .TD .Z【答案】C【详细分析】详细分析可得T S ⊆,由此可得出结论.【答案详解】任取t T ∈,则()41221t n n =+=⋅+,其中Z n ∈,所以,t S ∈,故T S ⊆,因此,S T T = .故选:C.10.(2021年全国甲卷∙高考真题)设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>,则M N ⋂=( )A .{}7,9B .{}5,7,9C .{}3,5,7,9D .{}1,3,5,7,9【答案】B【详细分析】求出集合N 后可求M N ⋂. 【答案详解】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭,故{}5,7,9M N ⋂=, 故选:B.11.(2021年全国甲卷∙高考真题)设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭,则M N ⋂=( ) A .103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B .143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C .{}45x x ≤<D .{}05x x <≤【答案】B【详细分析】根据交集定义运算即可 【答案详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤,所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭, 故选:B.【名师点评】本题考查集合的运算,属基础题,在高考中要求不高,掌握集合的交并补的基本概念即可求解.12.(2021全国新Ⅰ卷∙高考真题)设集合{}24A x x =-<<,{}2,3,4,5B =,则A B = ( )A .{}2B .{}2,3C .{}3,4D .{}2,3,4 【答案】B【详细分析】利用交集的定义可求A B ⋂.【答案详解】由题设有{}2,3A B ⋂=,故选:B .考点03 并集1.(2024∙北京∙高考真题)已知集合{|31}M x x =-<<,{|14}N x x =-≤<,则M N ⋃=( ) A .{}11x x -≤< B .{}3x x >-C .{}|34x x -<<D .{}4x x <【答案】C【详细分析】直接根据并集含义即可得到答案.【答案详解】由题意得{}|34M x x N ⋃=-<<.故选:C.2.(2022∙浙江∙高考真题)设集合{1,2},{2,4,6}A B ==,则A B ⋃=( )A .{2}B .{1,2}C .{2,4,6}D .{1,2,4,6}【答案】D【详细分析】利用并集的定义可得正确的选项.【答案详解】{}1,2,4,6A B = ,故选:D.3.(2021∙北京∙高考真题)已知集合{}|11A x x =-<<,{}|02B x x =≤≤,则A B ⋃=( ) A .{}|12x x -<< B .{}|12x x -<≤C .{}|01x x ≤<D .{}|02x x ≤≤【答案】B【详细分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【答案详解】由题意可得:{}|12A B x x =-<≤ .故选:B.4.(2020∙山东∙高考真题)设集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2<x <4},则A ∪B =( ) A .{x |2<x ≤3} B .{x |2≤x ≤3}C .{x |1≤x <4}D .{x |1<x <4}【答案】C【详细分析】根据集合并集概念求解.【答案详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U故选:C【名师点评】本题考查集合并集,考查基本详细分析求解能力,属基础题.考点04 补集1.(2024年全国甲卷∙高考真题)已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==,则()A A B ⋂=ð( )A .{}1,4,9B .{}3,4,9C .{}1,2,3D .{}2,3,5【答案】D【详细分析】由集合B 的定义求出B ,结合交集与补集运算即可求解.【答案详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==,所以{}1,4,9,16,25,81B =, 则{}1,4,9A B = ,(){}2,3,5A A B = ð故选:D 2.(2023年全国乙卷∙高考真题)设全集{}0,1,2,4,6,8U =,集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==,则U M N ⋃=ð( ) A .{}0,2,4,6,8 B .{}0,1,4,6,8 C .{}1,2,4,6,8 D .U【答案】A【详细分析】由题意可得U N ð的值,然后计算U M N ⋃ð即可.【答案详解】由题意可得{}2,4,8U N =ð,则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选:A.3.(2023年全国乙卷∙高考真题)设集合U =R ,集合{}1M x x =<,{}12N x x =-<<,则{}2x x ≥=( ) A .()U M N ð B .U N M ðC .()U M N ðD .U M N ⋃ð【答案】A【详细分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{}|2x x ≥即可.【答案详解】由题意可得{}|2M N x x =< ,则(){}|2U M N x x =≥ ð,选项A 正确; {}|1U M x x =≥ð,则{}|1U N M x x =>- ð,选项B 错误;{}|11M N x x =-<< ,则(){|1U M N x x ⋂=≤-ð或}1x ≥,选项C 错误;{|1U N x x =≤-ð或}2x ≥,则U M N = ð{|1x x <或}2x ≥,选项D 错误;故选:A.4.(2022∙全国乙卷∙高考真题)设全集{1,2,3,4,5}U =,集合M 满足{1,3}U M =ð,则( ) A .2M ∈ B .3M ∈ C .4M ∉ D .5M ∉【答案】A【详细分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【答案详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知,A 正确,BCD 错误故选:A5.(2022∙北京∙高考真题)已知全集{33}U x x =-<<,集合{21}A x x =-<≤,则U A =ð( ) A .(2,1]- B .(3,2)[1,3)-- C .[2,1)- D .(3,2](1,3)--【答案】D【详细分析】利用补集的定义可得正确的选项.【答案详解】由补集定义可知:{|32U A x x =-<≤-ð或13}x <<,即(3,2](1,3)U A =-- ð,故选:D .6.(2021全国新Ⅱ卷∙高考真题)设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===,则()U A B = ð( ) A .{3} B .{1,6}C .{5,6}D .{1,3}【答案】B【详细分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【答案详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð,故(){}U 1,6A B ⋂=ð, 故选:B.7.(2020全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知全集{},,,U a b c d =,集合{},M a c =,则U M ð等于( ) A .∅ B .{},a cC .{},b dD .{},,,a b c d【答案】C【详细分析】利用补集概念求解即可. 【答案详解】{},U M b d =ð. 故选:C考点05 充分条件与必要条件1.(2024∙全国甲卷∙高考真题)设向量()()1,,,2a x x b x =+= ,则( )A .“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B .“3x =-”是“//a b ”的必要条件C .“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D .“1x =-”是“//a b ”的充分条件 【答案】C【详细分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程,解出即可.【答案详解】对A ,当a b ⊥ 时,则0a b ⋅=,所以(1)20x x x ⋅++=,解得0x =或3-,即必要性不成立,故A 错误;对C ,当0x =时,()()1,0,0,2a b == ,故0a b ⋅=,所以a b ⊥,即充分性成立,故C 正确;对B ,当//a b时,则22(1)x x +=,解得1x =±B 错误;对D ,当1x =-时,不满足22(1)x x +=,所以//a b不成立,即充分性不立,故D 错误. 故选:C.2.(2024∙天津∙高考真题)设,a b ∈R ,则“33a b =”是“33a b =”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】说明二者与同一个命题等价,再得到二者等价,即是充分必要条件.【答案详解】根据立方的性质和指数函数的性质,33a b =和33a b =都当且仅当a b =,所以二者互为充要条件. 故选:C.3.(2024∙北京∙高考真题)设 a ,b 是向量,则“()()ꞏ0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B【详细分析】根据向量数量积详细分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =,结合充分、必要条件详细分析判断.【答案详解】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ,可得22a b = ,即a b = ,可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = , 若a b = 或a b =- ,可得a b = ,即()()0a b a b +⋅-=,可知必要性成立;若()()0a b a b +⋅-= ,即a b =,无法得出a b = 或a b =- , 例如()()1,0,0,1a b ==,满足a b = ,但a b ≠ 且a b ≠- ,可知充分性不成立;综上所述,“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选:B.4.(2023∙北京∙高考真题)若0xy ≠,则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】解法一:由2xyy x +=-化简得到0x y +=即可判断;解法二:证明充分性可由0x y +=得到x y =-,代入x y y x+化简即可,证明必要性可由2x yy x +=-去分母,再用完全平方公式即可;解法三:证明充分性可由x y y x +通分后用配凑法得到完全平方公式,再把0x y +=代入即可,证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式,再把0x y +=代入,解方程即可. 【答案详解】解法一: 因为0xy ≠,且2x yy x +=-,所以222x y xy +=-,即2220x y xy ++=,即()20x y +=,所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x +=-”的充要条件. 解法二:充分性:因为0xy ≠,且0x y +=,所以x y =-, 所以112x y y yy x y y -+=+=--=--, 所以充分性成立;必要性:因为0xy ≠,且2x yy x +=-,所以222x y xy +=-,即2220x y xy ++=,即()20x y +=,所以0x y +=. 所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x +=-”的充要条件. 解法三:充分性:因为0xy ≠,且0x y +=,所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xyy x xy xy xy xy+-+++--+=====-, 所以充分性成立;必要性:因为0xy ≠,且2x yy x +=-,所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-, 所以()20x y xy+=,所以()20x y +=,所以0x y +=,所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2xyy x +=-”的充要条件. 故选:C5.(2023∙全国甲卷∙高考真题)设甲:22sin sin 1αβ+=,乙:sin cos 0αβ+=,则( ) A .甲是乙的充分条件但不是必要条件 B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【详细分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【答案详解】当22sin sin 1αβ+=时,例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠, 即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=;当sin cos 0αβ+=时,2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=,即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=. 综上可知,甲是乙的必要不充分条件. 故选:B6.(2023∙天津∙高考真题)已知,R a b ∈,“22a b =”是“222a b ab +=”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分又不必要条件【答案】B【详细分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系,即可得答案.【答案详解】由22a b =,则a b =±,当0a b =-≠时222a b ab +=不成立,充分性不成立; 由222a b ab +=,则2()0a b -=,即a b =,显然22a b =成立,必要性成立; 所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件. 故选:B7.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,设甲:{}n a 为等差数列;乙:{}nS n为等差数列,则( )A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C【详细分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义,再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.,【答案详解】方法1,甲:{}n a 为等差数列,设其首项为1a ,公差为d , 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+, 因此{}nS n为等差数列,则甲是乙的充分条件; 反之,乙:{}nS n为等差数列,即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数,设为t ,即1(1)n nna S t n n +-=+,则1(1)n n S na t n n +=-⋅+,有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥,两式相减得:1(1)2n n n a na n a tn +=---,即12n n a a t +-=,对1n =也成立, 因此{}n a 为等差数列,则甲是乙的必要条件, 所以甲是乙的充要条件,C 正确.方法2,甲:{}n a 为等差数列,设数列{}n a 的首项1a ,公差为d ,即1(1)2n n n S na d -=+, 则11(1)222n S n d d a d n a n-=+=+-,因此{}n S n 为等差数列,即甲是乙的充分条件;反之,乙:{}nS n 为等差数列,即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+, 即1(1)n S nS n n D =+-,11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--,当2n ≥时,上两式相减得:112(1)n n S S S n D --=+-,当1n =时,上式成立, 于是12(1)n a a n D =+-,又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数, 因此{}n a 为等差数列,则甲是乙的必要条件, 所以甲是乙的充要条件. 故选:C8.(2022∙浙江∙高考真题)设x ∈R ,则“sin 1x =”是“cos 0x =”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】A【详细分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【答案详解】因为22sin cos 1x x +=可得: 当sin 1x =时,cos 0x =,充分性成立; 当cos 0x =时,sin 1x =±,必要性不成立; 所以当x ∈R ,sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选:A.9.(2022∙北京∙高考真题)设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列,则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,则0d ≠,利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【答案详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则0d ≠,记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列,则0d >,若10a ≥,则当2n ≥时,10n a a >≥;若10a <,则()11n a a n d +-=, 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-,取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦,则当0n N >时,0n a >,所以,“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”; 若存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >,取N k *∈且0k N >,0k a >, 假设0d <,令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-,且k ak k d->, 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时,0n a <,与题设矛盾,假设不成立,则0d >,即数列{}n a 是递增数列.所以,“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”.所以,“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ,当0n N >时,0n a >”的充分必要条件. 故选:C.10.(2021∙全国甲卷∙高考真题)等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,设甲:0q >,乙:{}n S 是递增数列,则( )A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B【详细分析】当0q >时,通过举反例说明甲不是乙的充分条件;当{}n S 是递增数列时,必有0n a >成立即可说明0q >成立,则甲是乙的必要条件,即可选出答案. 【答案详解】由题,当数列为2,4,8,--- 时,满足0q >, 但是{}n S 不是递增数列,所以甲不是乙的充分条件.若{}n S 是递增数列,则必有0n a >成立,若0q >不成立,则会出现一正一负的情况,是矛盾的,则0q >成立,所以甲是乙的必要条件. 故选:B .【名师点评】在不成立的情况下,我们可以通过举反例说明,但是在成立的情况下,我们必须要给予其证明过程.考点06 全称量词与存在量词1.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知命题p :x ∀∈R ,|1|1x +>;命题q :0x ∃>,3x x =,则( ) A .p 和q 都是真命题 B .p ⌝和q 都是真命题 C .p 和q ⌝都是真命题 D .p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B【详细分析】对于两个命题而言,可分别取=1x -、1x =,再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【答案详解】对于p 而言,取=1x -,则有101x +=<,故p 是假命题,p ⌝是真命题,对于q 而言,取1x =,则有3311x x ===,故q 是真命题,q ⌝是假命题, 综上,p ⌝和q 都是真命题. 故选:B.2.(2020∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)下列命题为真命题的是( ) A .10>且34> B .12>或45> C .x R ∃∈,cos 1x > D .x ∀∈R ,20x ≥【答案】D【详细分析】本题可通过43>、12<、45<、cos 1≤x 、20x ≥得出结果. 【答案详解】A 项:因为43>,所以10>且34>是假命题,A 错误; B 项:根据12<、45<易知B 错误; C 项:由余弦函数性质易知cos 1≤x ,C 错误; D 项:2x 恒大于等于0,D 正确, 故选:D.。
高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题 原卷版
2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣,则A B = ()A .{1,0}-B .{2,3}C .{3,1,0}--D .{1,0,2}-2.若1i 1zz =+-,则z =()A .1i --B .1i -+C .1i-D .1i+3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ,若(4)b b a ⊥-,则x =()A .2-B .1-C .1D .24.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==,则cos()αβ-=()A .3m-B .3m -C .3m D .3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,3则圆锥的体积为()A .3πB .33πC .3πD .93π6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩,在R 上单调递增,则a 取值的范围是()A .(,0]-∞B .[1,0]-C .[1,1]-D .[0,)+∞7.当[0,2]x πÎ时,曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为()A .3B .4C .6D .88.已知函数为()f x 的定义域为R ,()(1)(2)f x f x f x >-+-,且当3x <时()f x x =,则下列结论中一定正确的是()A .(10)100f >B .(20)1000f >C .(10)1000f <D .(20)10000f <二、多选题9.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =,样本方差20.01s =,已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ,假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2N x s ,则()(若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ,()0.8413P Z u σ<+≈)A .(2)0.2P X >>B .(2)0.5P X ><C .(2)0.5P Y >>D .(2)0.8P Y ><10.设函数2()(1)(4)f x x x =--,则()A .3x =是()f x 的极小值点B .当01x <<时,()2()f x f x <C .当12x <<时,4(21)0f x -<-<D .当10x -<<时,(2)()f x f x ->11.造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-,到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4,则()A .2a =-B.点在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,x y 在C 上时,0042y x ≤+三、填空题12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、,过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ,B 两点,若1||13,||10F A AB ==,则C 的离心率为.13.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线,则=a .14.甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为.四、解答题15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin C B =,222a b c +-=(1)求B ;(2)若ABC 的面积为3c .16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ,且ABP 的面积为9,求l 的方程.17.如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,2PA AC ==,1,BC AB =.(1)若AD PB ⊥,证明://AD 平面PBC ;(2)若AD DC ⊥,且二面角A CP D --的正弦值为7,求AD .18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--(1)若0b =,且()0f x '≥,求a 的最小值;(2)证明:曲线()y f x =是中心对称图形;(3)若()2f x >-当且仅当12x <<,求b 的取值范围.19.设m 为正整数,数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列,若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列.(1)写出所有的(),i j ,16i j ≤<≤,使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列;(2)当3m ≥时,证明:数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列;(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <,记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ,证明:18m P >.。
(完整版)历年高考数学真题(全国卷整理版)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013大纲全国,理1)设集合A ={1,2,3},B ={4,5},M ={x |x =a +b ,a ∈A ,b ∈B },则M 中元素的个数为( ).A .3B .4C .5D .62.(2013大纲全国,理2)3=( ).A .-8B .8C .-8iD .8i3.(2013大纲全国,理3)已知向量m =(λ+1,1),n =(λ+2,2),若(m +n )⊥(m -n ),则λ=( ).A .-4B .-3C .-2D .-14.(2013大纲全国,理4)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( ).A .(-1,1)B .11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C .(-1,0) D .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5.(2013大纲全国,理5)函数f (x )=21log 1x ⎛⎫+⎪⎝⎭(x >0)的反函数f -1(x )=( ). A .121x -(x >0) B .121x-(x≠0) C .2x -1(x ∈R) D .2x -1(x >0)6.(2013大纲全国,理6)已知数列{a n }满足3a n +1+a n =0,a 2=43-,则{a n }的前10项和等于( ). A .-6(1-3-10) B .19(1-310) C .3(1-3-10) D .3(1+3-10)7.(2013大纲全国,理7)(1+x )8(1+y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ).A .56B .84C .112D .1688.(2013大纲全国,理8)椭圆C :22=143x y +的左、右顶点分别为A 1,A 2,点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA 1斜率的取值范围是( ).A .13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B .33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C .1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D .3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9.(2013大纲全国,理9)若函数f (x )=x 2+ax +1x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是( ). A .[-1,0] B .[-1,+∞) C .[0,3] D .[3,+∞)10.(2013大纲全国,理10)已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( ).A .23 B.3 C.3 D .1311.(2013大纲全国,理11)已知抛物线C :y 2=8x 与点M (-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若0MA MB ⋅=,则k =( ).A .12 B.2 CD .212.(2013大纲全国,理12)已知函数f (x )=cos x sin 2x ,下列结论中错误的是( ).A .y =f(x)的图像关于点(π,0)中心对称B .y =f(x)的图像关于直线π=2x 对称C .f(x)的最大值为2 D .f(x)既是奇函数,又是周期函数二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013大纲全国,理13)已知α是第三象限角,sin α=13-,则cot α=__________. 14.(2013大纲全国,理14)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种.(用数字作答)15.(2013大纲全国,理15)记不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D .若直线y =a (x +1)与D 有公共点,则a 的取值范围是__________.16.(2013大纲全国,理16)已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,OK =32,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°,则球O 的表面积等于__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013大纲全国,理17)(本小题满分10分)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3=22a ,且S 1,S 2,S 4成等比数列,求{a n }的通项公式.18.(2013大纲全国,理18)(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,(a +b +c )(a -b +c )=ac . (1)求B ; (2)若sin A sin C=14,求C .19.(2013大纲全国,理19)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△PAD都是等边三角形.(1)证明:PB⊥CD;(2)求二面角A-PD-C的大小.20.(2013大纲全国,理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.(1)求第4局甲当裁判的概率;(2)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.21.(2013大纲全国,理21)(本小题满分12分)已知双曲线C:2222=1x ya b(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C.(1)求a,b;(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.22.(2013大纲全国,理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)=1ln(1+)1x xxxλ(+)-+.(1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;(2)设数列{a n}的通项111=1+23nan+++,证明:a2n-a n+14n>ln 2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 答案:B解析:由题意知x =a +b ,a ∈A ,b ∈B ,则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素.故选B. 2. 答案:A解析:323=13=8-.故选A.3. 答案:B解析:由(m +n )⊥(m -n )⇒|m |2-|n |2=0⇒(λ+1)2+1-[(λ+2)2+4]=0⇒λ=-3.故选B. 4. 答案:B解析:由题意知-1<2x +1<0,则-1<x <12-.故选B. 5. 答案:A解析:由题意知11+x=2y⇒x =121y -(y >0),因此f -1(x )=121x -(x >0).故选A. 6. 答案:C解析:∵3a n +1+a n =0,∴a n +1=13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列.∵a 2=43-,∴a 1=4. ∴S 10=101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+=3(1-3-10).故选C.7.答案:D解析:因为(1+x )8的展开式中x 2的系数为28C ,(1+y )4的展开式中y 2的系数为24C ,所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D. 8. 答案:B解析:设P 点坐标为(x 0,y 0),则2200=143x y +, 2002PA y k x =-,1002PA y k x =+,于是12220222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---.故12314PA PA k k =-. ∵2PA k ∈[-2,-1], ∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.9. 答案:D解析:由条件知f ′(x )=2x +a -21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立,即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立.∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数,∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D. 10. 答案:A解析:如下图,连结AC 交BD 于点O ,连结C 1O ,过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11=CH BDCH C O BD C O O ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭CH ⊥平面C 1BD ,∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角.设AA 1=2AB =2,则=2AC OC,1C O =由等面积法,得C 1O ·CH =OC ·CC 12CH , ∴2=3CH . ∴sin ∠HDC =223==13HC DC .故选A.11. 答案:D解析:由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0),则直线AB 的方程为y =k (x -2),将其代入y 2=8x ,得k 2x 2-4(k2+2)x +4k 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2242k k (+),x 1x 2=4.①由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∵0MA MB ⋅=,∴(x 1+2,y 1-2)·(x 2+2,y 2-2)=0. ∴(x 1+2)(x 2+2)+(y 1-2)(y 2-2)=0, 即x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2-2(y 1+y 2)+4=0.④ 由①②③④解得k =2.故选D. 12. 答案:C解析:由题意知f (x )=2cos 2x ·sin x =2(1-sin 2x )sin x . 令t =sin x ,t ∈[-1,1], 则g (t )=2(1-t 2)t =2t -2t 3. 令g ′(t )=2-6t 2=0,得=t ±. 当t =±1时,函数值为0;当t =;当t =.∴g (t )max ,即f (x )的最大值为9.故选C. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.答案:解析:由题意知cos α=3==-.故cot α=cos sin αα14.答案:480解析:先排除甲、乙外的4人,方法有44A 种,再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中,有25A 种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种).15.答案:1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示. ∵直线y =a (x +1)过定点C (-1,0),由图并结合题意可知12BC k =,k AC =4,∴要使直线y =a (x +1)与平面区域D 有公共点, 则12≤a ≤4. 16.答案:16π解析:如下图,设MN 为两圆的公共弦,E 为MN 的中点, 则OE ⊥MN ,KE ⊥MN ,结合题意可知∠OEK =60°.又MN =R ,∴△OMN 为正三角形.∴OE =2R .又OK ⊥EK ,∴32=OE ·sin 60°=22R ⋅∴R =2.∴S =4πR 2=16π.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解:设{a n }的公差为d .由S 3=22a 得3a 2=22a ,故a 2=0或a 2=3. 由S 1,S 2,S 4成等比数列得22S =S 1S 4. 又S 1=a 2-d ,S 2=2a 2-d ,S 4=4a 2+2d , 故(2a 2-d )2=(a 2-d )(4a 2+2d ).若a 2=0,则d 2=-2d 2,所以d =0,此时S n =0,不合题意; 若a 2=3,则(6-d )2=(3-d )(12+2d ),解得d =0或d =2. 因此{a n }的通项公式为a n =3或a n =2n -1. 18.解:(1)因为(a +b +c )(a -b +c )=ac ,所以a 2+c 2-b 2=-ac .由余弦定理得cos B =222122a cb ac +-=-, 因此B =120°.(2)由(1)知A +C =60°,所以cos(A -C )=cos A cos C +sin A sin C =cos A cos C -sin A sin C +2sin A sin C =cos(A +C )+2sin A sin C=11+2242⨯=, 故A -C =30°或A -C =-30°, 因此C =15°或C =45°. 19.(1)证明:取BC 的中点E ,连结DE ,则ABED 为正方形. 过P 作PO ⊥平面ABCD ,垂足为O .连结OA ,OB ,OD ,OE .由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA =PB =PD , 所以OA =OB =OD ,即点O 为正方形ABED 对角线的交点, 故OE ⊥BD ,从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点,E 是BC 的中点,所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)解法一:由(1)知CD ⊥PB ,CD ⊥PO ,PB ∩PO =P ,故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ,所以CD ⊥PD .取PD 的中点F ,PC 的中点G ,连结FG ,则FG ∥CD ,FG ⊥PD .连结AF ,由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD .所以∠AFG 为二面角A -PD -C 的平面角.连结AG ,EG ,则EG ∥PB .又PB ⊥AE ,所以EG ⊥AE .设AB =2,则AE =,EG =12PB =1,故AG 3.在△AFG 中,FG =12CD =,AF =AG =3,所以cos ∠AFG =22223FG AF AG FG AF +-=-⨯⨯因此二面角A -PD -C 的大小为π-解法二:由(1)知,OE ,OB ,OP 两两垂直.以O 为坐标原点,OE 的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .设|AB |=2,则A (,0,0),D (0,,0),C (,0),P (0,0).PC =(,),PD =(0,,).AP =,0),AD =,,0).设平面PCD 的法向量为n 1=(x ,y ,z ),则n 1·PC =(x ,y ,z )·(,)=0,n 1·PD =(x ,y ,z )·(0,,)=0,可得2x -y -z =0,y +z =0.取y =-1,得x =0,z =1,故n 1=(0,-1,1).设平面PAD 的法向量为n 2=(m ,p ,q ),则n 2·AP =(m ,p ,q ,0)=0,n 2·AD =(m ,p ,q ,,0)=0,可得m+q=0,m-p=0.取m=1,得p=1,q=-1,故n2=(1,1,-1).于是cos〈n1,n2〉=1212||||3=-·n nn n.由于〈n1,n2〉等于二面角A-PD-C的平面角,所以二面角A-PD-C的大小为π-20.解:(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”,A2表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”,A表示事件“第4局甲当裁判”.则A=A1·A2.P(A)=P(A1·A2)=P(A1)P(A2)=14.(2)X的可能取值为0,1,2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”,B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”,B2表示事件“第2局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”,B3表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙负”.则P(X=0)=P(B1·B2·A3)=P(B1)P(B2)·P(A3)=18,P(X=2)=P(1B·B3)=P(1B)P(B3)=14,P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1151848--=,EX=0·P(X=0)+1·P(X=1)+2·P(X=2)=98.21.(1)解:由题设知ca=3,即222a ba+=9,故b2=8a2.所以C的方程为8x2-y2=8a2.将y=2代入上式,求得x=由题设知,=a2=1.所以a=1,b=(2)证明:由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为8x2-y2=8.①由题意可设l的方程为y=k(x-3),k(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≤-1,x2≥1,x1+x2=2268kk-,x1·x2=22988kk+-.于是|AF1|=-(3x1+1),|BF1|3x2+1.由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,即x1+x2=23 -.故226283kk=--,解得k2=45,从而x1·x2=199-.由于|AF2|=1-3x1,|BF2|3x2-1,故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,|AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16. 因而|AF2|·|BF2|=|AB|2,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.22.(1)解:由已知f(0)=0,f′(x)=22121x xxλλ(-)-(+),f′(0)=0.若12λ<,则当0<x<2(1-2λ)时,f′(x)>0,所以f(x)>0.若12λ≥,则当x>0时,f′(x)<0,所以当x>0时,f(x)<0.综上,λ的最小值是12.(2)证明:令12λ=.由(1)知,当x>0时,f(x)<0,即2ln(1) 22x xxx(+)>++.取1xk=,则211>ln21k kk k k++(+).于是212111 422(1)n n n k n a a n k k -=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑ =2121211ln 21n n k n k n k k k k k --==++>(+)∑∑ =ln 2n -ln n =ln 2.所以21ln 24n n a a n-+>. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013课标全国Ⅰ,理1)已知集合A ={x |x 2-2x >0},B ={x |-5<x <5},则( ).A .A ∩B = B .A ∪B =RC .B ⊆AD .A ⊆B2.(2013课标全国Ⅰ,理2)若复数z 满足(3-4i)z =|4+3i|,则z 的虚部为( ).A .-4B .45-C .4 D .45 3.(2013课标全国Ⅰ,理3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ).A .简单随机抽样B .按性别分层抽样C .按学段分层抽样D .系统抽样4.(2013课标全国Ⅰ,理4)已知双曲线C :2222=1x y a b-(a >0,b >0)的离心率为52,则C 的渐近线方程为( ).A .y =14x ±B .y =13x ±C .y =12x± D .y =±x 5.(2013课标全国Ⅰ,理5)执行下面的程序框图,如果输入的t ∈[-1,3],则输出的s 属于( ).A .[-3,4]B .[-5,2]C .[-4,3]D .[-2,5]6.(2013课标全国Ⅰ,理6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ).A .500π3cm3B .866π3cm3C .1372π3cm3D .2048π3cm37.(2013课标全国Ⅰ,理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,则m =( ).A .3B .4C .5D .68.(2013课标全国Ⅰ,理8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A .16+8πB .8+8πC .16+16πD .8+16π9.(2013课标全国Ⅰ,理9)设m 为正整数,(x +y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ,(x +y )2m +1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a =7b ,则m =( ).A .5B .6C .7D .8 10.(2013课标全国Ⅰ,理10)已知椭圆E :2222=1x y a b+(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为( ).A .22=14536x y +B .22=13627x y +C .22=12718x y +D .22=1189x y +11.(2013课标全国Ⅰ,理11)已知函数f (x )=220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,,,若|f (x )|≥ax ,则a 的取值范围是( ).A .(-∞,0]B .(-∞,1]C .[-2,1]D .[-2,0]12.(2013课标全国Ⅰ,理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ,△A n B n C n 的面积为S n ,n =1,2,3,….若b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n +1=a n ,b n +1=2n n c a +,c n +1=2n n b a +,则( ). A .{Sn}为递减数列 B .{Sn}为递增数列C .{S2n -1}为递增数列,{S2n}为递减数列D .{S2n -1}为递减数列,{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013课标全国Ⅰ,理13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t =__________.14.(2013课标全国Ⅰ,理14)若数列{an}的前n项和2133n nS a=+,则{an}的通项公式是an=_______.15.(2013课标全国Ⅰ,理15)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=__________.16.(2013课标全国Ⅰ,理16)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013课标全国Ⅰ,理17)(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.18.(2013课标全国Ⅰ,理18)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明:AB⊥A1C;(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.19.(2013课标全国Ⅰ,理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.20.(2013课标全国Ⅰ,理20)(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.21.(2013课标全国Ⅰ,理21)(本小题满分12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(2013课标全国Ⅰ,理22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.(1)证明:DB=DC;(2)设圆的半径为1,BC CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.(2013课标全国Ⅰ,理23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.(2013课标全国Ⅰ,理24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲:已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.答案:B解析:∵x (x -2)>0,∴x <0或x >2.∴集合A 与B 可用图象表示为:由图象可以看出A ∪B =R ,故选B.2.答案:D解析:∵(3-4i)z =|4+3i|, ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45,选D. 3.答案:C 解析:因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样.4.答案:C解析:∵c e a ==,∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2=4b 2,1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±. 5.答案:A解析:若t ∈[-1,1),则执行s =3t ,故s ∈[-3,3).若t ∈[1,3],则执行s =4t -t 2,其对称轴为t =2.故当t =2时,s 取得最大值4.当t =1或3时,s 取得最小值3,则s ∈[3,4].综上可知,输出的s ∈[-3,4].故选A.6.答案:A解析:设球半径为R ,由题可知R ,R -2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即△OBA 为直角三角形,如图.BC =2,BA =4,OB =R -2,OA =R ,由R 2=(R -2)2+42,得R =5, 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3),故选A. 7.答案:C解析:∵S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,∴a m =S m -S m -1=0-(-2)=2,a m +1=S m +1-S m =3-0=3.∴d =a m +1-a m =3-2=1.∵S m =ma 1+12m m (-)×1=0,∴112m a -=-. 又∵a m +1=a 1+m ×1=3,∴132m m --+=. ∴m =5.故选C.8.答案:A 解析:由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图中数据可知圆柱底面半径r =2,长为4,在长方体中,长为4,宽为2,高为2,所以几何体的体积为πr 2×4×12+4×2×2=8π+16.故选A. 9.答案:B解析:由题意可知,a =2C m m ,b =21C m m +,又∵13a =7b ,∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+),即132171m m +=+.解得m =6.故选B. 10.答案:D解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵A ,B 在椭圆上, ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①-②,得1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+, 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-), ∵AB 的中点为(1,-1),∴y 1+y 2=-2,x 1+x 2=2, 而1212y y x x --=k AB =011=312-(-)-,∴221=2b a . 又∵a 2-b 2=9,∴a 2=18,b 2=9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11.答案:D解析:由y =|f (x )|的图象知:①当x >0时,y =ax 只有a ≤0时,才能满足|f (x )|≥ax ,可排除B ,C.②当x ≤0时,y =|f (x )|=|-x 2+2x |=x 2-2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2-2x ≥ax .当x =0时,不等式为0≥0成立.当x <0时,不等式等价于x -2≤a .∵x -2<-2,∴a ≥-2.综上可知:a ∈[-2,0].12.答案:B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.答案:2解析:∵c =t a +(1-t )b ,∴b ·c =t a ·b +(1-t )|b |2.又∵|a |=|b |=1,且a 与b 夹角为60°,b ⊥c ,∴0=t |a ||b |cos 60°+(1-t ),0=12t +1-t . ∴t =2.14.答案:(-2)n -1 解析:∵2133n n S a =+,① ∴当n ≥2时,112133n n S a --=+.② ①-②,得12233n n n a a a -=-, 即1n n a a -=-2. ∵a 1=S 1=12133a +, ∴a 1=1. ∴{a n }是以1为首项,-2为公比的等比数列,a n =(-2)n -1. 15.答案:5- 解析:f (x )=sin x -2cos xx x ⎫⎪⎭, 令cos αsin α=则f (x )α+x ),当x =2k π+π2-α(k ∈Z )时,sin(α+x )有最大值1,f (x ) 即θ=2k π+π2-α(k ∈Z ),所以cos θ=πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭=πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin α=5=-. 16.答案:16解析:∵函数f (x )的图像关于直线x =-2对称,∴f (x )满足f (0)=f (-4),f (-1)=f (-3),即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )=-x 4-8x 3-14x 2+8x +15.由f ′(x )=-4x 3-24x 2-28x +8=0,得x 1=-2x 2=-2,x 3=-2易知,f (x )在(-∞,-2上为增函数,在(-2,-2)上为减函数,在(-2,-2)上为增函数,在(-2∴f (-2=[1-(-22][(-2)2+8(-2+15]=(-8--=80-64=16.f (-2)=[1-(-2)2][(-2)2+8×(-2)+15]=-3(4-16+15)=-9.f (-2=[1-(-22][(-22+8(-2)+15]=(-8++=80-64=16.故f (x )的最大值为16.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解:(1)由已知得∠PBC =60°,所以∠PBA =30°.在△PBA 中,由余弦定理得PA 2=11732cos 30424+-︒=. 故PA=2. (2)设∠PBA =α,由已知得PB =sin α.在△PBA中,由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-,cos α=4sin α.所以tan α=4,即tan ∠PBA=4. 18. (1)证明:取AB 的中点O ,连结OC ,OA 1,A 1B .因为CA =CB ,所以OC ⊥AB .由于AB =AA 1,∠BAA 1=60°,故△AA 1B 为等边三角形,所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1=O ,所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ,故AB ⊥A 1C .(2)解:由(1)知OC ⊥AB ,OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ,交线为AB ,所以OC ⊥平面AA 1B 1B ,故OA ,OA 1,OC 两两相互垂直.以O 为坐标原点,OA 的方向为x 轴的正方向,|OA |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz . 由题设知A (1,0,0),A 1(0,0),C (0,0,B (-1,0,0).则BC =(1,0,1BB =1AA =(-10),1AC =(0,. 设n =(x ,y ,z )是平面BB 1C 1C 的法向量,则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩可取n =,1,-1).故cos 〈n ,1AC 〉=11A CA C⋅n n =. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 19.解:(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2,这批产品通过检验为事件A ,依题意有A =(A 1B 1)∪(A 2B 2),且A 1B 1与A 2B 2互斥,所以P (A )=P (A 1B 1)+P (A 2B 2)=P (A 1)P (B 1|A 1)+P (A 2)P (B 2|A 2)=41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800,并且 P (X =400)=41111161616--=,P (X =500)=116,P (X =800)=14. 所以X 的分布列为EX =1111400+500+80016164⨯⨯⨯=506.25. 20. 解:由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径r 1=1;圆N 的圆心为N (1,0),半径r 2=3.设圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以|PM |+|PN |=(R +r 1)+(r 2-R )=r 1+r 2=4.由椭圆的定义可知,曲线C 是以M ,N 为左、右焦点,长半轴长为2的椭圆(左顶点除外),其方程为22=143x y +(x ≠-2). (2)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM |-|PN |=2R -2≤2,所以R ≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R =2.所以当圆P 的半径最长时,其方程为(x -2)2+y 2=4.若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,可得|AB |=若l 的倾斜角不为90°,由r 1≠R 知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q ,则1||||QP R QM r =,可求得Q (-4,0),所以可设l :y =k (x +4).由l 与圆M,解得k=4±. 当k=4时,将4y x =代入22=143x y +, 并整理得7x 2+8x -8=0,解得x 1,2=47-±. 所以|AB |2118|7x x -=.当k =时,由图形的对称性可知|AB |=187. 综上,|AB |=|AB |=187. 21. 解:(1)由已知得f (0)=2,g (0)=2,f ′(0)=4,g ′(0)=4.而f ′(x )=2x +a ,g ′(x )=e x (cx +d +c ),故b =2,d =2,a =4,d +c =4.从而a =4,b =2,c =2,d =2.(2)由(1)知,f (x )=x 2+4x +2,g (x )=2e x (x +1).设函数F (x )=kg (x )-f (x )=2k e x (x +1)-x 2-4x -2,则F ′(x )=2k e x (x +2)-2x -4=2(x +2)(k e x-1).由题设可得F (0)≥0,即k ≥1.令F ′(x )=0得x 1=-ln k ,x 2=-2.①若1≤k <e 2,则-2<x 1≤0.从而当x ∈(-2,x 1)时,F ′(x )<0;当x ∈(x 1,+∞)时,F ′(x )>0.即F (x )在(-2,x 1)单调递减,在(x 1,+∞)单调递增.故F (x )在[-2,+∞)的最小值为F (x 1).而F (x 1)=2x 1+2-21x -4x 1-2=-x 1(x 1+2)≥0.故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.②若k=e2,则F′(x)=2e2(x+2)(e x-e-2).从而当x>-2时,F′(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)单调递增.而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.③若k>e2,则F(-2)=-2k e-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值范围是[1,e2].请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(1)证明:连结DE,交BC于点G.由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=2.设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于2.23.解:(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.(2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y =0. 由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭,π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24.解:(1)当a =-2时,不等式f (x )<g (x )化为|2x -1|+|2x -2|-x -3<0. 设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3,则y =15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x ∈(0,2)时,y <0.所以原不等式的解集是{x |0<x <2}.(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时,f (x )=1+a . 不等式f (x )≤g (x )化为1+a ≤x +3.所以x ≥a -2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立. 故2a -≥a -2,即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013课标全国Ⅱ,理1)已知集合M ={x |(x -1)2<4,x ∈R },N ={-1,0,1,2,3},则M ∩N =( ).A .{0,1,2}B .{-1,0,1,2}C .{-1,0,2,3}D .{0,1,2,3} 2.(2013课标全国Ⅱ,理2)设复数z 满足(1-i)z =2i ,则z =( ).A .-1+iB .-1-IC .1+iD .1-i3.(2013课标全国Ⅱ,理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ).A .13B .13-C .19D .19-4.(2013课标全国Ⅱ,理4)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,lα,l β,则( ).A .α∥β且l ∥αB .α⊥β且l ⊥βC .α与β相交,且交线垂直于lD .α与β相交,且交线平行于l5.(2013课标全国Ⅱ,理5)已知(1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5,则a =( ).A .-4B .-3C .-2D .-16.(2013课标全国Ⅱ,理6)执行下面的程序框图,如果输入的N =10,那么输出的S =( ).A .1111+2310+++B .1111+2!3!10!+++C .1111+2311+++D .1111+2!3!11!+++7.(2013课标全国Ⅱ,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( ). 8.(2013课标全国Ⅱ,理8)设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则( ).A .c >b >aB .b >c >aC .a >c >bD .a >b >c9.(2013课标全国Ⅱ,理9)已知a >0,x ,y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z =2x +y 的最小值为1,则a =( ).A.14 B.12 C.1 D.210.(2013课标全国Ⅱ,理10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ).A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=011.(2013课标全国Ⅱ,理11)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( ).A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x12.(2013课标全国Ⅱ,理12)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( ).A.(0,1) B.1122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C.1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D.11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(统计与数字特征)汇编(附答案)
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(统计与数字特征)汇编考点01 随机抽样1.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有( ).A .4515400200C C ⋅种B .2040400200C C ⋅种 C .3030400200C C ⋅种D .4020400200C C ⋅种考点02 图表类统计图综合1.(2022∙天津∙高考真题)为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa )的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )A .8B .12C .16D .182.(2021∙天津∙高考真题)从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部,统计其评分数据,将所得400个评分数据分为8组:[)66,70、[)70,74、L 、[]94,98,并整理得到如下的频率分布直方图,则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是( )A.20 B.40 C.64 D.804.(2021∙全国甲卷∙高考真题)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是()A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间5.(2020∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)(多选)我国新冠肺炎疫情进入常态化,各地有序推进复工复产,下面是某地连续11天复工复产指数折线图,下列说法正确的是A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B.这11天期间,复产指数增量大于复工指数的增量;C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;5.(2020∙天津∙高考真题)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:[)[)[)[],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,5.31,5.33,5.33,5.35,,5.45,5.47,5.47,5.49直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()A.10 B.18 C.20 D.36考点03 样本的数字特征一、单选题1.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理如下表亩产[900,950) [950,1000) [1000,1050) [1050,1100) [1100,1150) [1150,1200) 量频数 6 12 18 30 24 10根据表中数据,下列结论中正确的是()A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间2.(2022∙全国乙卷∙高考真题)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图:则下列结论中错误的是()A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C .甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D .乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.63.(2022∙全国甲卷∙高考真题)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:则( )A .讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B .讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C .讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D .讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差4.(2020∙全国∙高考真题)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为1234,,,p p p p ,且411i i p ==∑,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是( )A .14230.1,0.4p p p p ====B .14230.4,0.1p p p p ====C .14230.2,0.3p p p p ====D .14230.3,0.2p p p p ====5.(2020∙全国∙高考真题)设一组样本数据x 1,x 2,…,xn 的方差为0.01,则数据10x 1,10x 2,…,10xn 的方差为( )A .0.01B .0.1C .1D .106.(2019∙全国∙高考真题)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是A .中位数B .平均数C .方差D .极差二、多选题9.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅,其中1x 是最小值,6x 是最大值,则( ) A .2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B .2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C .2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D .2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差10.(2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)下列统计量中,能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是( )A .样本12,,,n x x x 的标准差B .样本12,,,n x x x 的中位数C .样本12,,,n x x x 的极差D .样本12,,,n x x x 的平均数11.(2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)有一组样本数据1x ,2x ,…,n x ,由这组数据得到新样本数据1y ,2y ,…,n y ,其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数,则( )A .两组样本数据的样本平均数相同B .两组样本数据的样本中位数相同C .两组样本数据的样本标准差相同D .两组样本数据的样本极差相同三、填空题12.(2020∙江苏∙高考真题)已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4,则a 的值是 .13.(2019∙江苏∙高考真题)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 .考点04 变量间的相关关系1.(2024∙天津∙高考真题)下列图中,线性相关性系数最大的是( )A .B .C .D .2.(2023∙天津∙高考真题)鸢是鹰科的一种鸟,《诗经∙大雅∙旱麓》曰:“鸢飞戾天,鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名,寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样,收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度(单位:cm ),绘制散点图如图所示,计算得样本相关系数为0.8642r =,利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为 0.75010.6105y x =+,根据以上信息,如下判断正确的为( )A .花瓣长度和花萼长度不存在相关关系B .花瓣长度和花萼长度负相关C .花萼长度为7cm 的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cmD .若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系数一定是0.86423.(2020∙全国∙高考真题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位:°C )的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i = 得到下面的散点图:由此散点图,在10°C 至40°C 之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A .y a bx =+B .2y a bx =+C .e x y a b =+D .ln y a b x =+参考答案考点01 随机抽样1.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有( ).A .4515400200C C ⋅种B .2040400200C C ⋅种 C .3030400200C C ⋅种 D .4020400200C C ⋅种【答案】D【详细分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【答案详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取4006040600⨯=人,高中部共抽取2006020600⨯=, 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有4020400200C C ⋅种.故选:D.考点02 图表类统计图综合1.(2022∙天津∙高考真题)为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa )的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )A .8B .12C .16D .18【答案】B 【详细分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数,进而求出第三组的总人数,从而可以求得结果. 【答案详解】志愿者的总人数为20(0.240.16)1+⨯=50, 所以第三组人数为50×0.36=18,有疗效的人数为18-6=12.故选:B.2.(2021∙天津∙高考真题)从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部,统计其评分数据,将所得400个评分数据分为8组:[)66,70、[)70,74、L 、[]94,98,并整理得到如下的频率分布直方图,则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是( )A .20B .40C .64D .80【答案】D 【详细分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间[)82,86内的影视作品数量.【答案详解】由频率分布直方图可知,评分在区间[)82,86内的影视作品数量为4000.05480⨯⨯=.故选:D.4.(2021∙全国甲卷∙高考真题)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( )A .该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B .该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C .估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D .估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【详细分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率,即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率,然后求和即得到样本的平均数的估计值,也就是总体平均值的估计值,计算后即可判定C.【答案详解】因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确;该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确;该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确;该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.68⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元),超过6.5万元,故C 错误.综上,给出结论中不正确的是C.故选:C.【名师点评】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值,属基础题,样本的频率可作为总体的频率的估计值,样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值,可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距. 5.(2020∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)(多选)我国新冠肺炎疫情进入常态化,各地有序推进复工复产,下面是某地连续11天复工复产指数折线图,下列说法正确的是A .这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B .这11天期间,复产指数增量大于复工指数的增量;C .第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D .第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【详细分析】注意到折线图中有递减部分,可判定A 错误;注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小,可判定B 错误;根据图象,结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【答案详解】由图可知,第1天到第2天复工指数减少,第7天到第8天复工指数减少,第10天到第11复工指数减少,第8天到第9天复产指数减少,故A 错误;由图可知,第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差,所以这11天期间,复产指数增量小于复工指数的增量,故B 错误;由图可知,第3天至第11天复工复产指数均超过80%,故C 正确;由图可知,第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量,故D 正确;【名师点评】本题考查折线图表示的函数的认知与理解,考查理解能力,识图能力,推理能力,难点在于指数增量的理解与观测,属中档题.5.(2020∙天津∙高考真题)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm ),将所得数据分为9组:[)[)[)[]5.31,5.33,5.33,5.35,,5.45,5.47,5.47,5.49 ,并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )A .10B .18C .20D .36【答案】B 【详细分析】根据直方图确定直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率,然后结合样本总数计算其个数即可. 【答案详解】根据直方图,直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为:()6.25 5.000.020.225+⨯=, 则区间[)5.43,5.47内零件的个数为:800.22518⨯=.故选:B.【名师点评】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用,属于中等题.考点03 样本的数字特征一、单选题1.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg )并整理如下表 亩产量[900,950) [950,1000) [1000,1050) [1050,1100) [1100,1150) [1150,1200) 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据,下列结论中正确的是( )A .100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB .100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C .100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D .100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间【答案】C【详细分析】计算出前三段频数即可判断A ;计算出低于1100kg 的频数,再计算比例即可判断B ;根据极差计算方法即可判断C ;根据平均值计算公式即可判断D.【答案详解】对于 A, 根据频数分布表可知, 612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于 1050kg , 故 A 错误;对于B ,亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+,所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=,故B 错误; 对于C ,稻田亩产量的极差最大为1200900300-=,最小为1150950200-=,故C 正确;对于D ,由频数分布表可得,平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,故D 错误. 故选;C.2.(2022∙全国乙卷∙高考真题)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h ),得如下茎叶图:则下列结论中错误的是( )A .甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B .乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C .甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D .乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6【答案】C【详细分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.【答案详解】对于A 选项,甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.37.57.42+=,A 选项结论正确.对于B 选项,乙同学课外体育运动时长的样本平均数为:6.37.47.68.18.28.28.58.68.68.68.69.09.29.39.810.18.50625816+++++++++++++++=>, B 选项结论正确.对于C 选项,甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值60.3750.416=<, C 选项结论错误.对于D 选项,乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值130.81250.616=>, D 选项结论正确.故选:C3.(2022∙全国甲卷∙高考真题)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:则( )A .讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B .讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C .讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D .讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【详细分析】由图表信息,结合中位数、平均数、标准差、极差的概念,逐项判断即可得解. 【答案详解】讲座前中位数为70%75%70%2+>,所以A 错; 讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B 对;讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C 错;讲座后问卷答题的正确率的极差为100%80%20%-=,讲座前问卷答题的正确率的极差为95%60%35%20%-=>,所以D 错.故选:B.4.(2020∙全国∙高考真题)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为1234,,,p p p p ,且411i i p ==∑,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是( )A .14230.1,0.4p p p p ====B .14230.4,0.1p p p p ====C .14230.2,0.3p p p p ====D .14230.3,0.2p p p p ====【答案】B【详细分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差,由此可得出标准差最大的一组.【答案详解】对于A 选项,该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=; 对于B 选项,该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=; 对于C 选项,该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=; 对于D 选项,该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=. 因此,B 选项这一组的标准差最大.故选:B.【名师点评】本题考查标准差的大小比较,考查方差公式的应用,考查计算能力,属于基础题. 5.(2020∙全国∙高考真题)设一组样本数据x 1,x 2,…,xn 的方差为0.01,则数据10x 1,10x 2,…,10xn 的方差为( )A .0.01B .0.1C .1D .10【答案】C【详细分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系,即得结果. 【答案详解】因为数据(1,2,,)i ax b i n +=L ,的方差是数据(1,2,,)i x i n =L ,的方差的2a 倍, 所以所求数据方差为2100.01=1⨯故选:C【名师点评】本题考查方差,考查基本详细分析求解能力,属基础题.6.(2019∙全国∙高考真题)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是A .中位数B .平均数C .方差D .极差【答案】A【详细分析】可不用动笔,直接得到答案,亦可采用特殊数据,特值法筛选答案.【答案详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤ .则①原始中位数为5x ,去掉最低分1x ,最高分9x ,后剩余2348x x x x ≤≤≤ ,中位数仍为5x ,∴A 正确. ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++ ,后来平均数234817x x x x x '=+++ () 平均数受极端值影响较大,∴x 与x '不一定相同,B 不正确 ③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦ 由②易知,C 不正确. ④原极差91=x -x ,后来极差82=x -x 可能相等可能变小,D 不正确.【名师点评】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.考点04 变量间的相关关系1.(2024∙天津∙高考真题)下列图中,线性相关性系数最大的是( )A .B .C .D .【答案】A【详细分析】由点的分布特征可直接判断【答案详解】观察4幅图可知,A 图散点分布比较集中,且大体接近某一条直线,线性回归模型拟合效果比较好,呈现明显的正相关,r 值相比于其他3图更接近1.故选:A2.(2023∙天津∙高考真题)鸢是鹰科的一种鸟,《诗经∙大雅∙旱麓》曰:“鸢飞戾天,鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名,寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样,收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度(单位:cm ),绘制散点图如图所示,计算得样本相关系数为0.8642r =,利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为 0.75010.6105y x =+,根据以上信息,如下判断正确的为( )A .花瓣长度和花萼长度不存在相关关系B .花瓣长度和花萼长度负相关C .花萼长度为7cm 的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cmD .若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系数一定是0.8642【答案】C【详细分析】根据散点图的特点及经验回归方程可判断ABC 选项,根据相关系数的定义可以判断D 选项.【答案详解】根据散点的集中程度可知,花瓣长度和花萼长度有相关性,A 选项错误散点的分布是从左下到右上,从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性,B 选项错误,把7x =代入 0.75010.6105y x =+可得 5.8612cm y =,C 选项正确;由于0.8642r =是全部数据的相关系数,取出来一部分数据,相关性可能变强,可能变弱,即取出的数据的相关系数不一定是0.8642,D 选项错误故选:C3.(2020∙全国∙高考真题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位:°C )的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i = 得到下面的散点图:由此散点图,在10°C 至40°C 之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A .y a bx =+B .2y a bx =+C .e x y a b =+D .ln y a b x =+ 【答案】D【详细分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【答案详解】由散点图分布可知,散点图分布在一个对数函数的图象附近, 因此,最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+. 故选:D.【名师点评】本题考查函数模型的选择,主要观察散点图的分布,属于基础题.。
历年高考数学真题全国卷版精编WORD版
历年高考数学真题全国卷版精编W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013大纲全国,理1)设集合A ={1,2,3},B ={4,5},M ={x |x =a +b ,a ∈A ,b ∈B },则M 中元素的个数为( ).A .3B .4C .5D .62.(2013大纲全国,理2)3=( ).A .-8B .8C .-8iD .8i3.(2013大纲全国,理3)已知向量m =(λ+1,1),n =(λ+2,2),若(m +n )⊥(m -n ),则λ=( ).A .-4B .-3C .-2D .-14.(2013大纲全国,理4)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( ).A .(-1,1)B .11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C .(-1,0) D .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5.(2013大纲全国,理5)函数f (x )=21log 1x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x >0)的反函数f -1(x )=( ).A.121x-(x>0) B.121x-(x≠0) C.2x-1(x∈R) D.2x-1(x>0)6.(2013大纲全国,理6)已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=43-,则{a n}的前10项和等于( ).A.-6(1-3-10) B.19(1-310) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)7.(2013大纲全国,理7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是( ).A.56 B.84 C.112 D.1688.(2013大纲全国,理8)椭圆C:22=143x y+的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是( ).A.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.(2013大纲全国,理9)若函数f(x)=x2+ax+1x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭是增函数,则a的取值范围是( ).A.[-1,0] B.[-1,+∞) C.[0,3] D.[3,+∞)10.(2013大纲全国,理10)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( ).A .23 B. C. D .1311.(2013大纲全国,理11)已知抛物线C :y 2=8x 与点M (-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若0MA MB ⋅=,则k =( ).A .12 B. C.212.(2013大纲全国,理12)已知函数f (x )=cos x sin 2x ,下列结论中错误的是( ).A .y =f(x)的图像关于点(π,0)中心对称B .y =f(x)的图像关于直线π=2x 对称C .f(x)的最大值为 D .f(x)既是奇函数,又是周期函数二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013大纲全国,理13)已知α是第三象限角,sin α=13-,则cot α=__________.14.(2013大纲全国,理14)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种.(用数字作答)15.(2013大纲全国,理15)记不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D .若直线y =a (x +1)与D 有公共点,则a 的取值范围是__________.16.(2013大纲全国,理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于,且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°,则球O的球O的半径,OK=32表面积等于__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013大纲全国,理17)(本小题满分10分)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=2a,2且S1,S2,S4成等比数列,求{a n}的通项公式.18.(2013大纲全国,理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.(1)求B;(2)若sin A sin C,求C19.(2013大纲全国,理19)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△PAD都是等边三角形.(1)证明:PB⊥CD;(2)求二面角A-PD-C的大小.20.(2013大纲全国,理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.(1)求第4局甲当裁判的概率;(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数,求X 的数学期望.21.(2013大纲全国,理21)(本小题满分12分)已知双曲线C :2222=1x y a b-(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为3,直线y =2与C . (1)求a ,b ;(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ,B 两点,且|AF 1|=|BF 1|,证明:|AF 2|,|AB |,|BF 2|成等比数列.22.(2013大纲全国,理22)(本小题满分12分)已知函数f (x )=1ln(1+)1x x x xλ(+)-+. (1)若x ≥0时,f (x )≤0,求λ的最小值;(2)设数列{a n }的通项111=1+23n a n+++,证明:a 2n -a n +14n >ln 2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.答案:B解析:由题意知x=a+b,a∈A,b∈B,则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素.故选B.2.答案:A解析:323-.故选A.=13=83.答案:B解析:由(m+n)⊥(m-n)?|m|2-|n|2=0?(λ+1)2+1-[(λ+2)2+4]=0?λ=-3.故选B.4.答案:B解析:由题意知-1<2x +1<0,则-1<x <12-.故选B.5.答案:A解析:由题意知11+x =2y ?x =121y -(y >0),因此f -1(x )=121x-(x >0).故选A. 6.答案:C解析:∵3a n +1+a n =0,∴a n +1=13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列.∵a 2=43-,∴a 1=4.∴S 10=101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+=3(1-3-10).故选C. 7.答案:D解析:因为(1+x )8的展开式中x 2的系数为28C ,(1+y )4的展开式中y 2的系数为24C ,所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D.8.答案:B解析:设P 点坐标为(x 0,y 0),则2200=143x y +, 2002PA y k x =-,1002PA y k x =+,于是12220222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---. 故12314PA PA k k =-. ∵2PA k ∈[-2,-1],∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.9.答案:D解析:由条件知f ′(x )=2x +a -21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立,即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立.∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数,∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D. 10.答案:A解析:如下图,连结AC 交BD 于点O ,连结C 1O ,过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11=CH BD CH C OBD C O O ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭CH ⊥平面C 1BD ,∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角.设AA 1=2AB =2,则2==22AC OC ,222211293=22222C O OC CC ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭由等面积法,得C 1O ·CH =OC ·CC 1,即322222CH ⋅⋅, ∴2=3CH .∴sin ∠HDC =223==13HC DC .故选A.11.答案:D解析:由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0),则直线AB 的方程为y =k (x -2),将其代入y 2=8x ,得k 2x 2-4(k 2+2)x +4k 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2242k k (+),x 1x 2=4.①由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∵0MA MB ⋅=,∴(x 1+2,y 1-2)·(x 2+2,y 2-2)=0. ∴(x 1+2)(x 2+2)+(y 1-2)(y 2-2)=0, 即x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2-2(y 1+y 2)+4=0.④ 由①②③④解得k =2.故选D.12.答案:C解析:由题意知f (x )=2cos 2x ·sin x =2(1-sin 2x )sin x .令t =sin x ,t ∈[-1,1],则g (t )=2(1-t 2)t =2t -2t 3.令g ′(t )=2-6t 2=0,得=3t ±. 当t =±1时,函数值为0;当t =;当t =.∴g (t )max ,即f (x )的最大值为9.故选C. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.答案:解析:由题意知cos α===.故cot α=cos sin αα14.答案:480解析:先排除甲、乙外的4人,方法有44A 种,再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中,有25A 种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种).15.答案:1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.∵直线y =a (x +1)过定点C (-1,0),由图并结合题意可知12BC k =,k AC =4, ∴要使直线y =a (x +1)与平面区域D 有公共点,则12≤a ≤4. 16.答案:16π解析:如下图,设MN 为两圆的公共弦,E 为MN 的中点,则OE ⊥MN ,KE ⊥MN ,结合题意可知∠OEK =60°.又MN =R ,∴△OMN 为正三角形.∴OE R .又OK ⊥EK ,∴32=OE ∴R =2.∴S =4πR 2=16π.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解:设{a n }的公差为d .由S 3=22a 得3a 2=22a ,故a 2=0或a 2=3.由S 1,S 2,S 4成等比数列得22S =S 1S 4. 又S 1=a 2-d ,S 2=2a 2-d ,S 4=4a 2+2d , 故(2a 2-d )2=(a 2-d )(4a 2+2d ).若a 2=0,则d 2=-2d 2,所以d =0,此时S n =0,不合题意; 若a 2=3,则(6-d )2=(3-d )(12+2d ),解得d =0或d =2. 因此{a n }的通项公式为a n =3或a n =2n -1. 18.解:(1)因为(a +b +c )(a -b +c )=ac ,所以a 2+c 2-b 2=-ac .由余弦定理得cos B =222122a cb ac +-=-, 因此B =120°.(2)由(1)知A +C =60°,所以cos(A -C )=cos A cos C +sin A sin C =cos A cos C -sin A sin C +2sin A sin C =cos(A +C )+2sin A sin C =1+22=,故A -C =30°或A -C =-30°,因此C =15°或C =45°.19.(1)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,故OE⊥BD,从而PB⊥OE.因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE∥CD.因此PB⊥CD.(2)解法一:由(1)知CD⊥PB,CD⊥PO,PB∩PO=P,故CD⊥平面PBD.又PD 平面PBD,所以CD⊥PD.取PD的中点F,PC的中点G,连结FG,则FG∥CD,FG⊥PD.连结AF,由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.所以∠AFG 为二面角A -PD -C 的平面角.连结AG ,EG ,则EG ∥PB .又PB ⊥AE ,所以EG ⊥AE .设AB =2,则AE =EG =12PB =1,故AG 3.在△AFG 中,FG =12CD =AF =AG =3,所以cos ∠AFG =22223FG AF AG FG AF +-=-⨯⨯.因此二面角A -PD -C 的大小为π- 解法二:由(1)知,OE ,OB ,OP 两两垂直.以O 为坐标原点,OE 的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .设|AB |=2,则A (,0,0),D (0,,0),C (,0),P (0,0.PC =(,,),PD =(0,,).AP =(0,AD =,0).设平面PCD 的法向量为n 1=(x ,y ,z ),则n 1·PC =(x ,y ,z)·(,)=0,n 1·PD =(x ,y ,z)·(0,,)=0, 可得2x -y -z =0,y +z =0.取y =-1,得x =0,z =1,故n 1=(0,-1,1).设平面PAD 的法向量为n 2=(m ,p ,q ),则n 2·AP =(m ,p ,q)=0,n 2·AD =(m ,p ,q,0)=0,可得m +q =0,m -p =0. 取m =1,得p =1,q =-1,故n 2=(1,1,-1).于是cos 〈n 1,n 2〉=1212||||=·n n n n . 由于〈n 1,n 2〉等于二面角A -PD -C 的平面角,所以二面角A -PD -C的大小为π- 20.解:(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”,A 2表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”,A 表示事件“第4局甲当裁判”. 则A =A 1·A 2.P (A )=P (A 1·A 2)=P (A 1)P (A 2)=14.(2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”,B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”,B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”,B 3表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙负”.则P (X =0)=P (B 1·B 2·A 3)=P (B 1)P (B 2)·P (A 3)=18,P (X =2)=P (1B ·B 3)=P (1B )P (B 3)=14,P (X =1)=1-P (X =0)-P (X =2)=1151848--=,EX =0·P (X =0)+1·P (X =1)+2·P (X =2)=98.21.(1)解:由题设知ca=3,即222a b a +=9,故b 2=8a 2. 所以C 的方程为8x 2-y 2=8a 2.将y =2代入上式,求得x =由题设知,=a 2=1.所以a =1,b =(2)证明:由(1)知,F 1(-3,0),F 2(3,0),C 的方程为8x 2-y 2=8.①由题意可设l 的方程为y =k (x -3),k (k 2-8)x 2-6k 2x +9k 2+8=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1≤-1,x 2≥1,x 1+x 2=2268k k -,x 1·x 2=22988k k +-.于是|AF 1|(3x 1+1),|BF 1|3x 2+1.由|AF 1|=|BF 1|得-(3x 1+1)=3x 2+1,即x 1+x 2=23-.故226283k k =--,解得k 2=45,从而x 1·x 2=199-.由于|AF 2|1-3x 1,|BF 2|3x 2-1,故|AB |=|AF 2|-|BF 2|=2-3(x 1+x 2)=4,|AF 2|·|BF 2|=3(x 1+x 2)-9x 1x 2-1=16. 因而|AF 2|·|BF 2|=|AB |2,所以|AF 2|,|AB |,|BF 2|成等比数列. 22.(1)解:由已知f (0)=0,f ′(x )=22121x x x λλ(-)-(+),f ′(0)=0.若12λ<,则当0<x <2(1-2λ)时,f ′(x )>0,所以f (x )>0. 若12λ≥,则当x >0时,f ′(x )<0,所以当x >0时,f (x )<0. 综上,λ的最小值是12. (2)证明:令12λ=.由(1)知,当x >0时,f (x )<0, 即2ln(1)22x x x x(+)>++. 取1x k=,则211>ln 21k k k k k ++(+).于是212111 422(1)n n n k n a a n k k -=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑ =2121211ln 21n n k n k nk k k k k --==++>(+)∑∑=ln 2n-ln n=ln 2.所以21ln24n na an-+>.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013课标全国Ⅰ,理1)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-5<x<5},则( ).A.A∩B= B.A∪B=R C.B⊆A D.A⊆B2.(2013课标全国Ⅰ,理2)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为( ).A.-4 B.45-C.4 D.453.(2013课标全国Ⅰ,理3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ).A .简单随机抽样B .按性别分层抽样C .按学段分层抽样D .系统抽样4.(2013课标全国Ⅰ,理4)已知双曲线C :2222=1x y a b-(a >0,b >0)的离心率为2,则C 的渐近线方程为( ). A .y =14x ±B .y =13x ±C .y =12x± D .y =±x5.(2013课标全国Ⅰ,理5)执行下面的程序框图,如果输入的t ∈[-1,3],则输出的s 属于( ).A .[-3,4]B .[-5,2]C .[-4,3]D .[-2,5]6.(2013课标全国Ⅰ,理6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ).A .500π3cm3B .866π3cm3C .1372π3cm3D .2048π3cm37.(2013课标全国Ⅰ,理7)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m=( ).A.3 B.4 C.5 D.68.(2013课标全国Ⅰ,理8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π9.(2013课标全国Ⅰ,理9)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x +y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=( ).A.5 B.6 C.7 D.810.(2013课标全国Ⅰ,理10)已知椭圆E:2222=1x ya b+(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( ).A.22=14536x y+B.22=13627x y+C.22=12718x y+D.22=1189x y+11.(2013课标全国Ⅰ,理11)已知函数f(x)=220ln(1)0.x x xx x⎧-+≤⎨+>⎩,,,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( ).A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0]12.(2013课标全国Ⅰ,理12)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,b n+1=2n nc a+,cn+1=2n nb a+,则( ).A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013课标全国Ⅰ,理13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=__________.14.(2013课标全国Ⅰ,理14)若数列{an}的前n项和2133n nS a=+,则{an}的通项公式是an=_______.15.(2013课标全国Ⅰ,理15)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=__________.16.(2013课标全国Ⅰ,理16)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013课标全国Ⅰ,理17)(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=1,求PA;2(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.18.(2013课标全国Ⅰ,理18)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA,∠BAA1=60°.1(1)证明:AB⊥A1C;(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.19.(2013课标全国Ⅰ,理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.,且各件产品假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.20.(2013课标全国Ⅰ,理20)(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.21.(2013课标全国Ⅰ,理21)(本小题满分12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(2013课标全国Ⅰ,理22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB 为圆的切线,切点为B ,点C 在圆上,∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ,DB 垂直BE 交圆于点D . (1)证明:DB =DC ;(2)设圆的半径为1,BC ,延长CE 交AB 于点F ,求△BCF 外接圆的半径.23.(2013课标全国Ⅰ,理23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程; (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.(2013课标全国Ⅰ,理24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲:已知函数f (x )=|2x -1|+|2x +a |,g (x )=x +3.(1)当a =-2时,求不等式f (x )<g (x )的解集;(2)设a >-1,且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时,f (x )≤g (x ),求a 的取值范围.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.答案:B解析:∵x (x -2)>0,∴x <0或x >2.∴集合A 与B 可用图象表示为:由图象可以看出A ∪B =R ,故选B.2.答案:D解析:∵(3-4i)z =|4+3i|,∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45,选D.3.答案:C解析:因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样.4.答案:C解析:∵2c e a ==,∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2=4b 2,1=2b a ±.∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5.答案:A解析:若t ∈[-1,1),则执行s =3t ,故s ∈[-3,3).若t ∈[1,3],则执行s =4t -t 2,其对称轴为t =2.故当t =2时,s 取得最大值4.当t =1或3时,s 取得最小值3,则s ∈[3,4].综上可知,输出的s ∈[-3,4].故选A.答案:A解析:设球半径为R ,由题可知R ,R -2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即△OBA 为直角三角形,如图.BC =2,BA =4,OB =R -2,OA =R , 由R 2=(R -2)2+42,得R =5,所以球的体积为34500π5π33=(cm 3),故选A.7.答案:C解析:∵S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,∴a m =S m -S m -1=0-(-2)=2,a m +1=S m +1-S m =3-0=3. ∴d =a m +1-a m =3-2=1.∵S m =ma 1+12m m (-)×1=0,∴112m a -=-. 又∵a m +1=a 1+m ×1=3,∴132m m --+=. ∴m =5.故选C.答案:A解析:由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图中数据可知圆柱底面半径r =2,长为4,在长方体中,长为4,宽为2,高为2,所以几何体的体积为πr 2×4×12+4×2×2=8π+16.故选A.9.答案:B解析:由题意可知,a =2C m m ,b =21C mm +,又∵13a =7b ,∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+), 即132171m m +=+.解得m =6.故选B. 10.答案:D解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵A ,B 在椭圆上,∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①-②,得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+,即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-), ∵AB 的中点为(1,-1),∴y 1+y 2=-2,x 1+x 2=2,而1212y y x x --=k AB =011=312-(-)-,∴221=2b a . 又∵a 2-b 2=9,∴a 2=18,b 2=9.∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D.11.答案:D解析:由y =|f (x )|的图象知:①当x >0时,y =ax 只有a ≤0时,才能满足|f (x )|≥ax ,可排除B ,C.②当x ≤0时,y =|f (x )|=|-x 2+2x |=x 2-2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2-2x ≥ax .当x=0时,不等式为0≥0成立.当x<0时,不等式等价于x-2≤a.∵x-2<-2,∴a≥-2.综上可知:a∈[-2,0].12.答案:B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.答案:2解析:∵c=t a+(1-t)b,∴b·c=t a·b+(1-t)|b|2.又∵|a|=|b|=1,且a与b夹角为60°,b⊥c,∴0=t|a||b|cos 60°+(1-t),0=12t +1-t .∴t =2.14.答案:(-2)n -1解析:∵2133n n S a =+,①∴当n ≥2时,112133n n S a --=+.②①-②,得12233n n n a a a -=-, 即1nn a a -=-2. ∵a 1=S 1=12133a +,∴a 1=1.∴{a n }是以1为首项,-2为公比的等比数列,a n =(-2)n -1.15.答案:-解析:f (x )=sin x -2cos xx x ⎫⎪⎭,令cos αsin α=则f (x )α+x ),当x =2k π+π2-α(k ∈Z )时,sin(α+x )有最大值1,f (x )即θ=2k π+π2-α(k ∈Z ),所以cos θ=πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭=πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin α==. 16.答案:16解析:∵函数f (x )的图像关于直线x =-2对称,∴f (x )满足f (0)=f (-4),f (-1)=f (-3),即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )=-x 4-8x 3-14x 2+8x +15.由f ′(x )=-4x 3-24x 2-28x +8=0,得x 1=-2x 2=-2,x 3=-2易知,f(x)在(-∞,-2上为增函数,在(-22)上为减函数,在(-2,-2+上为增函数,在(-2∴f(-2)=[1-(-22][(-2-)2+8(-2+15]=(-8--=80-64=16.f(-2)=[1-(-2)2][(-2)2+8×(-2)+15]=-3(4-16+15)=-9.f(-2)=[1-(-22][(-2)2+8(-2+15]=(-8++=80-64=16.故f(x)的最大值为16.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解:(1)由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.在△PBA 中,由余弦定理得PA 2=11732cos 30424+-︒=.故PA =2. (2)设∠PBA =α,由已知得PB =sin α.在△PBA 中,由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-,α=4sin α.所以tan α=4,即tan ∠PBA =4. 18.(1)证明:取AB 的中点O ,连结OC ,OA 1,A 1B . 因为CA =CB ,所以OC ⊥AB .由于AB =AA 1,∠BAA 1=60°, 故△AA 1B 为等边三角形, 所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1=O ,所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ,故AB ⊥A 1C .(2)解:由(1)知OC ⊥AB ,OA 1⊥AB . 又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ,交线为AB , 所以OC ⊥平面AA 1B 1B , 故OA ,OA 1,OC 两两相互垂直.以O 为坐标原点,OA 的方向为x 轴的正方向,|OA |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .由题设知A (1,0,0),A 1(00),C (0,0),B (-1,0,0).则BC =(1,0,1BB =1AA =(-10),1AC =(0,). 设n =(x ,y ,z )是平面BB 1C 1C 的法向量,则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n =1,-1). 故cos 〈n ,1AC 〉=11A C A C⋅n n =. 所以A 1C 与平面BB 1C1C 19.解:(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2,这批产品通过检验为事件A ,依题意有A =(A 1B 1)∪(A 2B 2),且A 1B 1与A 2B 2互斥,所以 P (A )=P (A 1B 1)+P (A 2B 2) =P (A 1)P (B 1|A 1)+P (A 2)P (B 2|A 2)=41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800,并且P (X =400)=41111161616--=,P (X =500)=116,P (X =800)=14.所以X 的分布列为EX =1111400+500+80016164⨯⨯⨯=506.25. 20.解:由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径r 1=1;圆N 的圆心为N (1,0),半径r 2=3. 设圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以|PM |+|PN |=(R +r 1)+(r 2-R )=r 1+r 2=4.由椭圆的定义可知,曲线C 是以M ,N 为左、右焦点,长半轴长为2椭圆(左顶点除外),其方程为22=143x y +(x ≠-2).(2)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM |-|PN |=2R -2≤2,所以R ≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R =2.所以当圆P 的半径最长时,其方程为(x -2)2+y 2=4.若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,可得|AB |=若l 的倾斜角不为90°,由r 1≠R 知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q ,则1||||QP RQM r =,可求得Q (-4,0),所以可设l :y =k (x +4). 由l 与圆M,解得k=4±. 当k时,将y x =代入22=143x y +, 并整理得7x 2+8x -8=0,解得x 1,2所以|AB |2118|7x x -=.当4k =-时,由图形的对称性可知|AB |=187.综上,|AB |=|AB |=187. 21.解:(1)由已知得f (0)=2,g (0)=2,f ′(0)=4,g ′(0)=4.而f ′(x )=2x +a ,g ′(x )=e x (cx +d +c ),故b =2,d =2,a =4,d +c =4.从而a =4,b =2,c =2,d =2.(2)由(1)知,f (x )=x 2+4x +2,g (x )=2e x (x +1).设函数F (x )=kg (x )-f (x )=2k e x (x +1)-x 2-4x -2,则F ′(x )=2k e x (x +2)-2x -4=2(x +2)(k e x -1).由题设可得F (0)≥0,即k ≥1.令F ′(x )=0得x 1=-ln k ,x 2=-2.①若1≤k<e2,则-2<x1≤0.从而当x∈(-2,x1)时,F′(x)<0;当x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0.即F(x)在(-2,x)单调递减,在(x1,+∞)单调递增.故F(x)在[-2,+∞)的最小1值为F(x1).而F(x1)=2x1+2-2x-4x1-2=-x1(x1+2)≥0.1故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.②若k=e2,则F′(x)=2e2(x+2)(e x-e-2).从而当x>-2时,F′(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)单调递增.而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.③若k>e2,则F(-2)=-2k e-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值范围是[1,e2].请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(1)证明:连结DE,交BC于点G.由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=2.设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于2. 23.解:(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由2222810160,20x y x yx y y⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭,π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.24.解:(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=1 5,,212,1,236, 1.x xx xx x⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x |0<x <2}.(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时,f (x )=1+a .不等式f (x )≤g (x )化为1+a ≤x +3.所以x ≥a -2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立.故2a-≥a -2,即43a ≤.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013课标全国Ⅱ,理1)已知集合M ={x |(x -1)2<4,x ∈R },N ={-1,0,1,2,3},则M ∩N =( ).A .{0,1,2}B .{-1,0,1,2}C .{-1,0,2,3}D .{0,1,2,3}2.(2013课标全国Ⅱ,理2)设复数z 满足(1-i)z =2i ,则z =( ).A.-1+i B.-1-I C.1+i D.1-i3.(2013课标全国Ⅱ,理3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( ).A.13 B.13-C.19 D.19-4.(2013课标全国Ⅱ,理4)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,lα,lβ,则( ).A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于l D.α与β相交,且交线平行于l5.(2013课标全国Ⅱ,理5)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( ).A.-4 B.-3 C.-2 D.-16.(2013课标全国Ⅱ,理6)执行下面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的S=( ).A.111 1+2310+++B.111 1+2!3!10!+++C.111 1+2311+++D.111 1+2!3!11!+++7.(2013课标全国Ⅱ,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为( ).8.(2013课标全国Ⅱ,理8)设a=log36,b=log510,c=log714,则( ).A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c9.(2013课标全国Ⅱ,理9)已知a>0,x,y满足约束条件1,3,3.xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z=2x+y的最小值为1,则a=( ).A.14 B.12 C.1 D.210.(2013课标全国Ⅱ,理10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ).A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=011.(2013课标全国Ⅱ,理11)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( ).A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x12.(2013课标全国Ⅱ,理12)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( ).A.(0,1) B.112⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C.113⎛⎤⎥⎝⎦ D.11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(复数)汇编(附答案)
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(复数)汇编考点01 求复数的实部与虚部1.(2020∙全国∙高考真题)复数113i-的虚部是( ) A .310-B .110-C .110D .3102.(2020∙江苏∙高考真题)已知i 是虚数单位,则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 .考点02 复数相等1.(2023∙全国甲卷∙高考真题)设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=,则=a ( ) A .‐1B .0 ∙C .1D .22.(2022∙浙江∙高考真题)已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R (i 为虚数单位),则( ) A .1,3a b ==-B .1,3a b =-=C .1,3a b =-=-D .1,3a b ==3.(2022∙全国乙卷∙高考真题)设(12i)2i a b ++=,其中,a b 为实数,则( ) A .1,1a b ==-B .1,1a b ==C .1,1a b =-=D .1,1a b =-=-4.(2022∙全国乙卷∙高考真题)已知12z i =-,且0z az b ++=,其中a ,b 为实数,则( ) A .1,2a b ==-B .1,2a b =-=C .1,2a b ==D .1,2a b =-=-5.(2021∙全国乙卷∙高考真题)设()()2346i z z z z ++-=+,则z =( ) A .12i -B .12i +C .1i +D .1i -考点03 共轭复数1.(2024∙全国甲卷∙高考真题)设z ,则z z ⋅=( )A .2-BC .D .22.(2024∙全国甲卷∙高考真题)若5i z =+,则()i z z +=( ) A .10iB .2iC .10D .23.(2023∙北京∙高考真题)在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(-,则z 的共轭复数z =( )A .1B .1C .1-D .1-4.(2023∙全国乙卷∙高考真题)设252i1i i z +=++,则z =( )A .12i -B .12i +C .2i -D .2i +5.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知1i22iz -=+,则z z -=( ) A .i -B .iC .0D .16.(2022∙全国甲卷∙高考真题)若1i z =+.则|i 3|z z +=( )A .B .C .D .7.(2022∙全国甲卷∙高考真题)若1z =-,则1zzz =-( )A .1-B .1-C .13-D .13-8.(2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)若i(1)1z -=,则z z +=( ) A .2-B .1-C .1D .29.(2021∙全国乙卷∙高考真题)设()()2346i z z z z ++-=+,则z =( ) A .12i -B .12i +C .1i +D .1i -10.(2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知2i z =-,则()i z z +=( )A .62i -B .42i -C .62i +D .42i +考点04 复数的模1.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知1i z =--,则z =( )A .0B .1C D .22.(2023∙全国乙卷∙高考真题)232i 2i ++=( )A .1B .2CD .53.(2022∙全国甲卷∙高考真题)若1i z =+.则|i 3|z z +=( )A .B .C .D .4.(2022∙北京∙高考真题)若复数z 满足i 34i z ⋅=-,则z =( ) A .1B .5C .7D .255.(2020∙全国∙高考真题)若312i i z =++,则||=z ( ) A .0 B .1CD .26.(2020∙全国∙高考真题)若z=1+i ,则|z 2–2z |=( )A .0B .1CD .27.(2020∙全国∙高考真题)设复数1z ,2z 满足12||=||=2z z ,12i z z +=,则12||z z -= . 8.(2019∙全国∙高考真题)设3i12iz -=+,则z =A .2 BC D .19.(2019∙天津∙高考真题)i 是虚数单位,则51ii-+的值为 . 10.(2019∙浙江∙高考真题)复数11iz =+(i 为虚数单位),则||z = .考点05 复数的几何意义1.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)在复平面内,()()13i 3i +-对应的点位于( ). A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.(2023∙北京∙高考真题)在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(-,则z 的共轭复数z =( )A .1B .1C .1-D .1-3.(2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限4.(2020∙北京∙高考真题)在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(1,2),则i z ⋅=( ). A .12i +B .2i -+C .12i -D .2i --5.(2019∙全国∙高考真题)设z =‐3+2i ,则在复平面内z 对应的点位于 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限6.(2019∙全国∙高考真题)设复数z 满足=1i z -,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则 A .22+11()x y += B .22(1)1x y -+=C .22(1)1y x +-=D .22(+1)1y x +=参考答案考点01 求复数的实部与虚部1.(2020∙全国∙高考真题)复数113i-的虚部是( ) A .310-B .110-C .110D .310【答案】D【详细分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【答案详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+, 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选:D.【名师点评】本题主要考查复数的除法运算,涉及到复数的虚部的定义,是一道基础题. 2.(2020∙江苏∙高考真题)已知i 是虚数单位,则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 . 【答案】3【详细分析】根据复数的运算法则,化简即可求得实部的值. 【答案详解】∵复数()()12z i i =+-∴2223z i i i i =-+-=+ ∴复数的实部为3.故答案为:3.【名师点评】本题考查复数的基本概念,是基础题.考点02 复数相等1.(2023∙全国甲卷∙高考真题)设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=,则=a ( ) A .‐1 B .0 ∙ C .1 D .2【答案】C【详细分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.【答案详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=,所以22210a a =⎧⎨-=⎩,解得:1a =. 故选:C.2.(2022∙浙江∙高考真题)已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R (i 为虚数单位),则( ) A .1,3a b ==-B .1,3a b =-=C .1,3a b =-=-D .1,3a b ==【详细分析】利用复数相等的条件可求,a b .【答案详解】3i 1i a b +=-+,而,a b 为实数,故1,3a b =-=, 故选:B.3.(2022∙全国乙卷∙高考真题)设(12i)2i a b ++=,其中,a b 为实数,则( ) A .1,1a b ==- B .1,1a b == C .1,1a b =-= D .1,1a b =-=-【答案】A【详细分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出.【答案详解】因为,a b ÎR ,()2i 2i a b a ++=,所以0,22a b a +==,解得:1,1a b ==-. 故选:A.4.(2022∙全国乙卷∙高考真题)已知12z i =-,且0z az b ++=,其中a ,b 为实数,则( ) A .1,2a b ==- B .1,2a b =-= C .1,2a b == D .1,2a b =-=-【答案】A【详细分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【答案详解】12z i =-12i (12i)(1)(22)i z az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等,得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩ 故选:A5.(2021∙全国乙卷∙高考真题)设()()2346i z z z z ++-=+,则z =( ) A .12i - B .12i + C .1i + D .1i -【答案】C【详细分析】设i z a b =+,利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式,解出这两个未知数的值,即可得出复数z .【答案详解】设i z a b =+,则i z a b =-,则()()2346i 46i z z z z a b ++-=+=+, 所以,4466a b =⎧⎨=⎩,解得1a b ==,因此,1i z =+. 故选:C.考点03 共轭复数1.(2024∙全国甲卷∙高考真题)设z ,则z z ⋅=( )A .2-BC .D .2【详细分析】先根据共轭复数的定义写出z ,然后根据复数的乘法计算.【答案详解】依题意得,z =,故22i 2zz =-=. 故选:D2.(2024∙全国甲卷∙高考真题)若5i z =+,则()i z z +=( ) A .10i B .2i C .10 D .2【答案】A【详细分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【答案详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=,则()i 10i z z +=. 故选:A3.(2023∙北京∙高考真题)在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(-,则z 的共轭复数z =( )A .1B .1C .1- D .1-【答案】D【详细分析】根据复数的几何意义先求出复数z ,然后利用共轭复数的定义计算.【答案详解】z 在复平面对应的点是(-,根据复数的几何意义,1z =-,由共轭复数的定义可知,1z =-. 故选:D4.(2023∙全国乙卷∙高考真题)设252i1i i z +=++,则z =( )A .12i -B .12i +C .2i -D .2i +【答案】B【详细分析】由题意首先计算复数z 的值,然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【答案详解】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-,则12i z =+. 故选:B.5.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知1i22iz -=+,则z z -=( ) A .i - B .i C .0D .1【答案】A【详细分析】根据复数的除法运算求出z ,再由共轭复数的概念得到z ,从而解出. 【答案详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-,所以1i 2z =,即i z z -=-.6.(2022∙全国甲卷∙高考真题)若1i z =+.则|i 3|z z +=( )A .B .C .D .【答案】D【详细分析】根据复数代数形式的运算法则,共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出.【答案详解】因为1i z =+,所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-,所以i 3z z += 故选:D.7.(2022∙全国甲卷∙高考真题)若1z =-,则1zzz =-( )A .1- B .1- C .13-D .13-【答案】C【详细分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【答案详解】1(1113 4.z zz =-=--=+=113z zz ==-- 故选 :C8.(2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)若i(1)1z -=,则z z +=( ) A .2- B .1- C .1 D .2【答案】D【详细分析】利用复数的除法可求z ,从而可求z z +.【答案详解】由题设有21i1i i iz -===-,故1+i z =,故()()1i 1i 2z z +=++-=,故选:D9.(2021∙全国乙卷∙高考真题)设()()2346i z z z z ++-=+,则z =( ) A .12i - B .12i + C .1i + D .1i -【答案】C【详细分析】设i z a b =+,利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式,解出这两个未知数的值,即可得出复数z .【答案详解】设i z a b =+,则i z a b =-,则()()2346i 46i z z z z a b ++-=+=+, 所以,4466a b =⎧⎨=⎩,解得1a b ==,因此,1i z =+. 故选:C.10.(2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知2i z =-,则()i z z +=( )A .62i -B .42i -C .62i +D .42i +【答案】C【详细分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【答案详解】因为2z i =-,故2z i =+,故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选:C.考点04 复数的模1.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知1i z =--,则z =( )A .0B .1CD .2【答案】C【详细分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【答案详解】若1i z =--,则z ==故选:C.2.(2023∙全国乙卷∙高考真题)232i 2i ++=( )A .1B .2CD .5【答案】C【详细分析】由题意首先化简232i 2i ++,然后计算其模即可. 【答案详解】由题意可得232i 2i 212i 12i ++=--=-,则232i 2i 12i ++=-=故选:C.3.(2022∙全国甲卷∙高考真题)若1i z =+.则|i 3|z z +=( )A .B .C .D .【答案】D【详细分析】根据复数代数形式的运算法则,共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出.【答案详解】因为1i z =+,所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-,所以i 3z z += 故选:D.4.(2022∙北京∙高考真题)若复数z 满足i 34i z ⋅=-,则z =( ) A .1 B .5C .7D .25【答案】B【详细分析】利用复数四则运算,先求出z ,再计算复数的模.【答案详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-,故|5|z ==.故选:B .5.(2020∙全国∙高考真题)若312i i z =++,则||=z ( ) A .0 B .1C D .2【答案】C【详细分析】先根据2i 1=-将z 化简,再根据复数的模的计算公式即可求出.【答案详解】因为31+2i i 1+2i i 1i z =+=-=+,所以 z ==. 故选:C .【名师点评】本题主要考查复数的模的计算公式的应用,属于容易题.6.(2020∙全国∙高考真题)若z=1+i ,则|z 2–2z |=( )A .0B .1CD .2【答案】D【详细分析】由题意首先求得22z z -的值,然后计算其模即可.【答案详解】由题意可得:()2212z i i =+=,则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选:D.【名师点评】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识,属于基础题.7.(2020∙全国∙高考真题)设复数1z ,2z 满足12||=||=2z z ,12i z z +=,则12||z z -= .【答案】【详细分析】方法一:令1,(,)z a bi a R b R =+∈∈,2,(,)z c di c R d R =+∈∈,根据复数的相等可求得2ac bd +=-,代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二:设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 根据复数的几何意义及复数的模,判定平行四边形12OZ PZ 为菱形,12OZ OZ 2OP ===,进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算12z z -. 【答案详解】方法一:设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈,2,(,)z c di c R d R =+∈∈,12()z z a c b d i i ∴+=+++=+,1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ,所以224a b +=,224cd +=, 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-===.故答案为:方法二:如图所示,设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+,由已知122OZ OZ OP ====,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形,且12,OPZ OPZ 都是正三角形,∴12Z 120OZ ∠=︒,222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==.【名师点评】方法一:本题考查复数模长的求解,涉及到复数相等的应用;考查学生的数学运算求解能力,是一道中档题.方法二:关键是利用复数及其运算的几何意义,转化为几何问题求解 8.(2019∙全国∙高考真题)设3i12iz -=+,则z =A .2 BC D .1【答案】C【详细分析】先由复数的除法运算(分母实数化),求得z ,再求z .【答案详解】因为312iz i -=+,所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-,所以z =,故选C . 【名师点评】本题主要考查复数的乘法运算,复数模的计算.本题也可以运用复数模的运算性质直接求解. 9.(2019∙天津∙高考真题)i 是虚数单位,则51ii-+的值为 .【详细分析】先化简复数,再利用复数模的定义求所给复数的模.【答案详解】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-. 【名师点评】本题考查了复数模的运算,是基础题. 10.(2019∙浙江∙高考真题)复数11iz =+(i 为虚数单位),则||z = .【答案】2【详细分析】本题先计算z ,而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题,注重基础知识、运算求解能力的考查.【答案详解】1|||1|2z i ==+.【名师点评】本题考查了复数模的运算,属于简单题.考点05 复数的几何意义1.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)在复平面内,()()13i 3i +-对应的点位于( ).A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】A【详细分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义详细分析判断.【答案详解】因为()()213i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+,则所求复数对应的点为()6,8,位于第一象限.故选:A.2.(2023∙北京∙高考真题)在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(-,则z 的共轭复数z =( )A .1B .1C .1- D .1-【答案】D【详细分析】根据复数的几何意义先求出复数z ,然后利用共轭复数的定义计算.【答案详解】z 在复平面对应的点是(-,根据复数的几何意义,1z =-,由共轭复数的定义可知,1z =-.故选:D3.(2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)复数2i13i --在复平面内对应的点所在的象限为( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】A 【详细分析】利用复数的除法可化简2i13i --,从而可求对应的点的位置. 【答案详解】()()2i 13i 2i 55i 1i 13i 10102-+-++===-,所以该复数对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭,该点在第一象限,故选:A.4.(2020∙北京∙高考真题)在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(1,2),则i z ⋅=( ).A .12i +B .2i -+C .12i -D .2i -- 【答案】B【详细分析】先根据复数几何意义得z ,再根据复数乘法法则得结果.【答案详解】由题意得12z i =+,2iz i ∴=-.故选:B.【名师点评】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则,考查基本详细分析求解能力,属基础题. 5.(2019∙全国∙高考真题)设z =‐3+2i ,则在复平面内z 对应的点位于A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 【答案】C【详细分析】先求出共轭复数再判断结果.【答案详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点(‐3,‐2)位于第三象限.故选C .【名师点评】本题考点为共轭复数,为基础题目.6.(2019∙全国∙高考真题)设复数z 满足=1i z -,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则A .22+11()x y +=B .22(1)1x y -+=C .22(1)1y x +-=D .22(+1)1y x += 【答案】C【详细分析】本题考点为复数的运算,为基础题目,难度偏易.此题可采用几何法,根据点(x ,y )和点(0,1)之间的距离为1,可选正确答案C .【答案详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -==则22(1)1y x +-=.故选C .【名师点评】本题考查复数的几何意义和模的运算,渗透了直观想象和数学运算素养.采取公式法或几何法,利用方程思想解题.。
(word完整版)历年高考数学真题(全国卷整理版)43964.doc
实用文档参考公式:如果事件 A、B互斥,那么P( A B) P( A)P( B)如果事件 A、B相互独立,那么P(AgB)P( A)gP( B)如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率P n (k ) C n k p k (1 p)n k (k 0,1,2,⋯n) 球的表面积公式S 4R2其中 R 表示球的半径球的体积公式V 3 R34其中 R表示球的半径普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、复数 1 3i =1 iA 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合 A= {1.3. m },B={1,m} ,A U B=A, 则 m=A 0 或3B 0 或 3C 1或3D 1 或 33 椭圆的中心在原点,焦距为4 一条准线为 x=-4 ,则该椭圆的方程为A x2 + y2 =1B x2 + y2 =116 12 12 8C x2 + y2 =1D x2 + y2 =18 4 12 44 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中, AB=2, CC= 2 2 E 为 CC的中点,则直线AC与平面1 1 1 BED的距离为A 2B 3C 2D 1(5)已知等差数列{a n} 的前 n 项和为 S n,a5=5, S5=15,则数列的前100项和为(A) 100(B)99(C)99(D)101 101101100100(6)△ ABC中, AB边的高为 CD,若a· b=0, |a|=1 , |b|=2 ,则(A)( B)(C)(D)3(7)已知α为第二象限角, sin α+ sin β =3,则 cos2α =555 5--9(D) 3(A) 3 (B ) 9 (C)(8)已知 F1、 F2 为双曲线 C : x2 -y 2 =2 的左、右焦点,点 P 在 C 上, |PF1|=|2PF2| ,则 cos ∠ F1PF2=1 334(A) 4( B ) 5(C)4(D)51( 9)已知 x=ln π, y=log52 , z=e 2,则 (A)x < y < z ( B ) z < x <y (C)z < y < x (D)y< z < x(10) 已知函数 y = x2 -3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点,则 c =(A ) -2 或 2 ( B ) -9 或 3 (C ) -1 或 1 ( D )-3 或 1( 11)将字母 a,a,b,b,c,c, 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有( A ) 12 种( B ) 18 种( C ) 24 种( D ) 36 种7(12)正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上, AE = BF = 3。
2024年高考真题汇编(数学)(新课标卷+全国卷)PDF版含答案
2024年高考真题汇编数学(新课标卷+全国卷)目录2024年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I卷)数学2024年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II卷)数学2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)文科数学(部分)参考答案2024年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I 卷)数学一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣,则A B = ()A.{1,0}-B.{2,3}C.{3,1,0}--D.{1,0,2}-2.若1i 1zz =+-,则z =()A.1i -- B.1i -+ C.1i- D.1i+3.已知向量(0,1),(2,)a b x == ,若(4)b b a ⊥-,则x =()A.2- B.1- C.1D.24.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==,则cos()αβ-=()A.3m- B.3m -C.3m D.3m5.,则圆锥的体积为()A. B. C. D.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩,在R 上单调递增,则a 取值的范围是()A.(,0]-∞B.[1,0]-C.[1,1]- D.[0,)+∞7.当[0,2]x πÎ时,曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为()A.3B.4C.6D.88.已知函数为()f x 的定义域为R ,()(1)(2)f x f x f x >-+-,且当3x <时()f x x =,则下列结论中一定正确的是()A.(10)100f > B.(20)1000f >C.(10)1000f <D.(20)10000f <二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =,样本方差20.01s =,已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ,假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ,则()(若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ,()0.8413P Z u σ<+≈)A.(2)0.2P X >>B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >> D.(2)0.8P Y ><10.设函数2()(1)(4)f x x x =--,则()A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时,()2()f x f x<C.当12x <<时,4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时,(2)()f x f x ->11.造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-,到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4,则()A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时,0042y x ≤+三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、,过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ,B 两点,若1||13,||10F A AB ==,则C 的离心率为___________.13.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线,则=a __________.14.甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin C B =,222a b c +-=(1)求B ;(2)若ABC 的面积为3c .16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ,且ABP 的面积为9,求l 的方程.17.如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,2PA AC ==,1,BC AB ==.(1)若AD PB ⊥,证明://AD 平面PBC ;(2)若AD DC ⊥,且二面角A CP D --的正弦值为427,求AD .18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--(1)若0b =,且()0f x '≥,求a 的最小值;(2)证明:曲线()y f x =是中心对称图形;(3)若()2f x >-当且仅当12x <<,求b 的取值范围.19.设m 为正整数,数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列,若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列.(1)写出所有的(),i j ,16i j ≤<≤,使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列;(2)当3m ≥时,证明:数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列;(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <,记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ,证明:18m P >.2024年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II 卷)数学一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知1i z =--,则z =()A.0B.1C.D.22.已知命题p :x ∀∈R ,|1|1x +>;命题q :0x ∃>,3x x =,则()A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.已知向量,a b满足1,22a a b =+= ,且()2b a b -⊥ ,则b = ()A.12B.22C.32D.14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg )并部分整理下表亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)频数612182410据表中数据,结论中正确的是()A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5.已知曲线C :2216x y +=(0y >),从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ',P '为垂足,则线段PP '的中点M 的轨迹方程为()A.221164x y +=(0y >)B.221168x y +=(0y >)C.221164y x +=(0y >)D.221168y x +=(0y >)6.设函数2()(1)1f x a x =+-,()cos 2g x x ax =+,当(1,1)x ∈-时,曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点,则=a ()A.1- B.12C.1D.27.已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523,6AB =,112A B =,则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为()A.12B.1C.2D.38.设函数()()ln()f x x a x b =++,若()0f x ≥,则22a b +的最小值为()A.18B.14C.12D.1二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-,下列正确的有()A.()f x 与()g x 有相同零点B.()f x 与()g x 有相同最大值C.()f x 与()g x 有相同的最小正周期D.()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10.抛物线C :24y x =的准线为l ,P 为C 上的动点,过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线,Q 为切点,过P 作l 的垂线,垂足为B ,则()A.l 与A 相切B.当P ,A ,B 三点共线时,||PQ =C.当||2PB =时,PA AB ⊥D.满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个11.设函数32()231f x x ax =-+,则()A.当1a >时,()f x 有三个零点B.当0a <时,0x =是()f x 的极大值点C.存在a ,b ,使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D.存在a ,使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若347a a +=,2535a a +=,则10S =________.13.已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan tan 4αβ+=,tan tan 1αβ=+,则sin()αβ+=_______.14.在如图的4×4方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有________种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin 2A A =.(1)求A .(2)若2a =,sin sin 2C c B =,求ABC 的周长.16.已知函数3()e x f x ax a =--.(1)当1a =时,求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程;(2)若()f x 有极小值,且极小值小于0,求a 的取值范围.17.如图,平面四边形ABCD 中,8AB =,3CD =,AD =,90ADC ︒∠=,30BAD ︒∠=,点E ,F 满足25AE AD = ,12AF AB =,将AEF △沿EF 对折至PEF !,使得PC =.(1)证明:EF PD ⊥;(2)求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值.18.某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成员为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p ,乙每次投中的概率为q ,各次投中与否相互独立.(1)若0.4p =,0.5q =,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.(2)假设0p q <<,(i )为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛?(ii )为使得甲、乙,所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?19.已知双曲线()22:0C x y m m -=>,点()15,4P 在C 上,k 为常数,01k <<.按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =,过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -,令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点,记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =,求22,x y ;(2)证明:数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列;(3)设n S 为12n n n P P P ++ 的面积,证明:对任意的正整数n ,1n n S S +=.2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设5i z =+,则()i z z +=()A.10iB.2iC.10D.2-2.集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==,则()A A B ⋂=ð()A.{}1,4,9 B.{}3,4,9C.{}1,2,3 D.{}2,3,53.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩,则5z x y =-的最小值为()A.5B.12C.2- D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若510S S =,51a =,则1a =()A.2- B.73C.1D.25.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-,点(6,4)-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.6.设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+,则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.16B.13C.12D.237.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为()A.B.C. D.8.已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()A.1+ B.1- C.32D.19.已知向量()()1,,,2a x x b x =+=,则()A.“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B.“3x =-”是“//a b”的必要条件C.“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D.“1x =-+”是“//a b”的充分条件10.设αβ、是两个平面,m n 、是两条直线,且m αβ= .下列四个命题:①若//m n ,则//n α或//n β②若m n ⊥,则,n n αβ⊥⊥③若//n α,且//n β,则//m n ④若n 与α和β所成的角相等,则m n⊥其中所有真命题的编号是()A.①③ B.②④C.①②③D.①③④11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,若π3B =,294b ac =,则sin sin A C +=()A.32B.C.72D.212.已知b 是,a c 的等差中项,直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点,则AB 的最小值为()A.2B.3C.4D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,各项系数的最大值是______.14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ,母线长分别为()212r r -和()213r r -,则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______.15.已知1a >,8115log log 42a a -=-,则=a ______.16.有6个相同的球,分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次,每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值,n 为取出的三个球上数字的平均值,则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:优级品合格品不合格品总计甲车间262450乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表:优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=,设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+则认为该工厂产品的优级品率提高了,根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?12.247≈)附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.82818.记n S为数列{}n a的前n项和,且434n nS a=+.(1)求{}n a的通项公式;(2)设1(1)nn nb na-=-,求数列{}n b的前n项和为n T.19.如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形,//,//BC AD EF AD,4,2AD AB BC EF====,ED FB==M为AD的中点.(1)证明://BM 平面CDE ;(2)求二面角F BM E --的正弦值.20.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上,且MF x ⊥轴.(1)求C 的方程;(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线MF 于点Q ,证明:AQ y ⊥轴.21.已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-.(1)当2a =-时,求()f x 的极值;(2)当0x ≥时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围.(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程;(2)设直线l :x ty t a =⎧⎨=+⎩(t 为参数),若C 与l 相交于A B 、两点,若2AB =,求a 的值.[选修4-5:不等式选讲]23.实数,a b 满足3a b +≥.(1)证明:2222a b a b +>+;(2)证明:22226a b b a -+-≥.2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)文科数学(部分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}1,2,3,4,5,9A =,{}1B x x A =+∈,则A B = ()A.{}1,2,3,4 B.{}1,2,3C.{}3,4 D.{}1,2,92.设z =,则z z ⋅=()A.-iB.1C.-1D.23.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩,则5z x y =-的最小值为()A.5B.12C.2- D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若91S =,37a a +=()A.2- B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是()A.14B.13C.12D.236.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-,点(6,4)-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.7.曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为()A.16B.32C.12D.8.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为()A.B.C.D.9.已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()A.1+B.1- C.32D.1原10题略10.设αβ、是两个平面,m n 、是两条直线,且m αβ= .下列四个命题:①若//m n ,则//n α或//n β②若m n ⊥,则,n n αβ⊥⊥③若//n α,且//n β,则//m n ④若n 与α和β所成的角相等,则m n⊥其中所有真命题的编号是()A.①③ B.②④C.①②③D.①③④11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,若π3B =,294b ac =,则sin sin A C +=()A.32B.C.72D.2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.原13题略12.函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______.13.已知1a >,8115log log 42a a -=-,则=a ______.14.曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点,则a 的取值范围为______.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1233n n S a +=-.(1)求{}n a 的通项公式;(2)求数列{}n S 的通项公式.16.如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形,//,//BC AD EF AD ,4,2AD AB BC EF ====,ED FB ==M 为AD 的中点.(1)证明://BM 平面CDE ;(2)求点M 到ABF 的距离.17.已知函数()()1ln 1f x a x x =--+.(1)求()f x 的单调区间;(2)若2a ≤时,证明:当1x >时,()1ex f x -<恒成立.18.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上,且MF x ⊥轴.(1)求C 的方程;(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线MF 于点Q ,证明:AQ y ⊥轴.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多做,则按所做的第一题计分.19.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程;(2)设直线l :x ty t a =⎧⎨=+⎩(t 为参数),若C 与l 相交于A B 、两点,若2AB =,求a 的值.20.实数,a b 满足3a b +≥.(1)证明:2222a b a b +>+;(2)证明:22226a b b a -+-≥.参考答案2024年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I 卷)数学参考答案一、单项选择题【答案】1.A 【解析】【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--,且注意到12<<,从而A B = {}1,0-.故选:A.【答案】2.C 【解析】【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---,所以111i i z =+=-.故选:C.【答案】3.D 【解析】【详解】因为()4b b a ⊥- ,所以()40b b a ⋅-=,所以240b a b -⋅=即2440x x +-=,故2x =,故选:D.【答案】4.A 【解析】【详解】因为()cos m αβ+=,所以cos cos sin sin m αβαβ-=,而tan tan 2αβ=,所以sin sin 2cos cos αβαβ=,故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-,从而sin sin 2m αβ=-,故()cos 3m αβ-=-,故选:A.【答案】5.B 【解析】【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等,所以2ππr r=即=,故3r=,故圆锥的体积为1π93⨯=.故选:B.【答案】6.B【解析】【详解】因为()f x在R上单调递增,且0x≥时,()()e ln1xf x x=++单调递增,则需满足()2021e ln1aa-⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩,解得10a-≤≤,即a的范围是[1,0]-.故选:B.【答案】7.C【解析】【详解】因为函数siny x=的的最小正周期为2πT=,函数π2sin36y x⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T=,所以在[]0,2πx∈上函数π2sin36y x⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象,在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示:由图可知,两函数图象有6个交点.故选:C【答案】8.B【解析】【详解】因为当3x<时()f x x=,所以(1)1,(2)2f f==,又因为()(1)(2)f x f x f x>-+-,则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f>+=>+>,(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f>+>>+>>+>,(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>,(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>,(16)(15)(14)15971000f f f >+>>,则依次下去可知(20)1000f >,则B 正确;且无证据表明ACD 一定正确.故选:B.二、多项选择题【答案】9.BC 【解析】【详解】依题可知,22.1,0.01x s ==,所以()2.1,0.1Y N ,故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>,C 正确,D 错误;因为()1.8,0.1X N ,所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯,因为()1.80.10.8413P X <+≈,所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<,而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<,B 正确,A 错误,故选:BC .【答案】10.ACD 【解析】【详解】对A ,因为函数()f x 的定义域为R ,而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--',易知当()1,3x ∈时,()0f x '<,当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时,()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增,在()1,3上单调递减,在()3,∞+上单调递增,故3x =是函数()f x 的极小值点,正确;对B ,当01x <<时,()210x x x x -=->,所以210x x >>>,而由上可知,函数()f x 在()0,1上单调递增,所以()()2f x f x>,错误;对C ,当12x <<时,1213x <-<,而由上可知,函数()f x 在()1,3上单调递减,所以()()()1213f f x f >->,即()4210f x -<-<,正确;对D,当10x -<<时,()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->,所以(2)()f x f x ->,正确;故选:ACD.【答案】11.ABD 【解析】【详解】对于A :设曲线上的动点(),P x y ,则2x >-4x a -=,04a -=,解得2a =-,故A 正确.对于B24x +=,而2x >-,()24x+=.当0x y ==()2844=-=,故()在曲线上,故B 正确.对于C :由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+,取32x =,则2641494y =-,而64164525624510494494494---=-=>⨯,故此时21y >,故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C 错误.对于D :当点()00,x y 在曲线上时,由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++,故0004422y x x -≤≤++,故D 正确.故选:ABD.三、填空题【答案】12.32【解析】【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等,设A 在第一象限,将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±,即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故2210b AB a ==,225b AF a ==,又122AF AF a -=,得1222513AF AF a a =+=+=,解得4a =,代入25ba=得220b =,故22236,c a b =+=,即6c =,所以6342c e a ===.故答案为:32【答案】13.ln 2【解析】【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+,00|e 12x y ='=+=,故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+;由()ln 1y x a =++得11y x '=+,设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++,由两曲线有公切线得0121y x '==+,解得012x =-,则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭,根据两切线重合,所以ln 20a -=,解得ln 2a =.故答案为:ln 2【答案】14.12【解析】【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ,四轮的总得分为X .对于任意一轮,甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等,其中使得甲获胜的出牌组合有六种,从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯,所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分,则组合方式是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8,所以04411A 24p ==;如果甲得3分,则组合方式也是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6,所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0,1,2,3,故01231p p p p +++=,()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=,1213282p p ++=,两式相减即得211242p +=,故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为:12.四、解答题【答案】15.(1)由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=,对比已知222a b c +-=,可得22222cos 222a b c C ab ab +-===,因为()0,πC ∈,所以sin 0C >,从而sin 2C ==,又因为sin C B =,即cos 2B =,注意到()0,πB ∈,所以π3B =.(2)由(1)可得π3B =,2cos 2C =,()0,πC ∈,从而π4C =,ππ5ππ3412A =--=,而5πππ232162sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==,从而623136,4222a c b c +====,由三角形面积公式可知,ABC 的面积可表示为211316233sin 222228ABC S ab C c c c +==⋅⋅= ,由已知ABC 的面积为3+,可得2338c =,所以c =【答案】16.(1)由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得22912b a ⎧=⎨=⎩,所以12e ==.(2)法一:3312032APk -==--,则直线AP 的方程为132y x =-+,即260x y +-=,352AP ==,由(1)知22:1129x y C +=,设点B 到直线AP 的距离为d ,则1255352d ==,则将直线AP 沿着与AP 垂直的方向平移1255单位即可,此时该平行线与椭圆的交点即为点B ,设该平行线的方程为:20x y C ++=,1255=,解得6C =或18C =-,当6C =时,联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩,解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭,当()0,3B -时,此时32l k =,直线l 的方程为332y x =-,即3260x y --=,当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时,此时12lk =,直线l 的方程为12y x =,即20x y -=,当18C =-时,联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=,227421172070∆=-⨯⨯=-<,此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二:同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=,点B 到直线AP 的距离1255d =,设()00,B x y,则220012551129x y =⎪+=⎪⎩,解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩,即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭,以下同法一.法三:同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=,点B 到直线AP的距离5d =,设(),3sin B θθ,其中[)0,2θ∈π1255=,联立22cos sin 1θθ+=,解得cos 21sin 2θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩,即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭,以下同法一;法四:当直线AB 的斜率不存在时,此时()0,3B -,16392PAB S =⨯⨯= ,符合题意,此时32l k =,直线l 的方程为332y x =-,即3260x y --=,当线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为3y kx =+,联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,则()2243240k x kx ++=,其中AP k k ≠,即12k ≠-,解得0x =或22443k x k -=+,0k ≠,12k ≠-,令22443k x k -=+,则2212943k y k -+=+,则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=,点B 到直线AP 的距离1255d =,5=,解得32k =,此时33,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,则得到此时12lk =,直线l 的方程为12y x =,即20x y -=,综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五:当l 的斜率不存在时,3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =,此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时,设3:(3)2PB y k x -=-,令()()1122,,,P x y B x y ,223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=,()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->,且AP k k ≠,即12k ≠-,21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩,A 到直线PB距离192PAB d S ==⋅ ,12k ∴=或32,均满足题意,1:2l y x ∴=或332y x =-,即3260x y --=或20x y -=.法六:当l 的斜率不存在时,3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =,此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时,设3:(3)2l y k x =-+,设l 与y 轴的交点为Q ,令0x =,则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭,联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩,则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭,()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭,其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭,且12k ≠-,则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k ----==++,则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+,解的12k =或32k =,经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-,即3260x y --=或20x y -=.【答案】17.(1)因为PA ⊥平面ABCD ,而AD ⊂平面ABCD ,所以PA AD ⊥,又AD PB ⊥,PB PA P = ,,PB PA ⊂平面PAB ,所以AD ⊥平面PAB ,而AB ⊂平面PAB ,所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=,所以BC AB ⊥,根据平面知识可知//AD BC ,又AD ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,所以//AD 平面PBC .(2)如图所示,过点D 作DE AC ⊥于E ,再过点E 作EF CP ⊥于F ,连接DF ,因为PA ⊥平面ABCD ,所以平面PAC ⊥平面ABCD ,而平面PAC 平面ABCD AC =,所以DE ⊥平面PAC ,又EF CP ⊥,所以⊥CP 平面DEF ,根据二面角的定义可知,DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角,即sin 7DFE ∠=,即tan DFE ∠=因为AD DC ⊥,设AD x =,则CD =,由等面积法可得,2DE =,又242xCE -==,而EFC 为等腰直角三角形,所以2EF =,故242tan 4DFE x∠==x =AD =.【答案】18.(1)0b =时,()ln 2xf x ax x=+-,其中()0,2x ∈,则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--',因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭,当且仅当1x =时等号成立,故()min 2f x a '=+,而()0f x '≥成立,故20a +≥即2a ≥-,所以a 的最小值为2-.,(2)()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2,设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点,(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --,因为(),P m n 在()y f x =图象上,故()3ln 12m n am b m m=++--,而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦,2n a =-+,所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上,由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形,且对称中心为()1,a .(3)因为()2f x >-当且仅当12x <<,故1x =为()2f x =-的一个解,所以()12f =-即2a =-,先考虑12x <<时,()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立,设()10,1t x =-∈,则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立,设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-,则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-,当0b ≥,232332320bt b b b -++≥-++=>,故()0g t '>恒成立,故()g t 在()0,1上为增函数,故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时,2323230bt b b -++≥+≥,故()0g t '≥恒成立,故()g t 在()0,1上为增函数,故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-,则当01t <<<时,()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数,故()()00g t g <=,不合题意,舍;综上,()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时,而23b ≥-时,由上述过程可得()g t 在()0,1递增,故()0g t >的解为()0,1,即()2f x >-的解为()1,2.综上,23b ≥-.【答案】19.(1)首先,我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ,则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列,当且仅当该数列是等差数列,故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+',得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+',然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之,我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+,此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题,第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <,使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4,或2,3,4,5,或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.(2)由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后,剩余的4m 个数可以分为以下两个部分,共m 组,使得每组成等差数列:①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14,共3组;②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++,共3m -组.(如果30m -=,则忽略②)故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.(3)定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+,{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明,对142i j m ≤<≤+,如果下面两个命题同时成立,则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列:命题1:,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈;命题2:3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况:如果,i A j B ∈∈,且3j i -≠.此时设141i k =+,242j k =+,{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+,即2114k k ->-,故21k k ≥.此时,由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后,剩余的4m 个数可以分为以下三个部分,共m 组,使得每组成等差数列:①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---,共1k 组;②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+,共21k k -组;③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++,共2m k -组.(如果某一部分的组数为0,则忽略之)故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况:如果,i B j A ∈∈,且3j i -≠.此时设142i k =+,241j k =+,{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+,即2114k k ->,故21k k >.由于3j i -≠,故()()2141423k k +-+≠,从而211k k -≠,这就意味着212k k -≥.此时,由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后,剩余的4m 个数可以分为以下四个部分,共m 组,使得每组成等差数列:①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---,共1k 组;②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++,{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++,共2组;③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++,其中213,4,...,p k k =-,共212k k --组;④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++,共2m k -组.(如果某一部分的组数为0,则忽略之)这里对②和③进行一下解释:将③中的每一组作为一个横排,排成一个包含212k k --个行,4个列的数表以后,4个列分别是下面这些数:{}111243,44,...,3k k k k +++,{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++,{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++,{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数,它们再取并以后,将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++,{}121231,32k k k k ++++,{}1212221,222k k k k ++++,{}121231,32k k k k ++++,{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中,除开已经去掉的142k +和241k +以外,剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求,故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此,我们证明了:对142i j m ≤<≤+,如果前述命题1和命题2同时成立,则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先,由于A B ⋂=∅,A 和B 各有1m +个元素,故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个;而如果3j i -=,假设,i A j B ∈∈,则可设141i k =+,242j k =+,代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=,矛盾,所以,i B j A ∈∈.设142i k =+,241j k =+,{}12,0,1,2,...,k k m ∈,则()()2141423k k +-+=,即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -,对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+,总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中,不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时,总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论,使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>=++++++++.这就证明了结论.2024年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II 卷)数学参考答案一、单项选择题【答案】1.C 【解析】【详解】若1i z =--,则z ==.故选:C.【答案】2.B 【解析】【详解】对于p 而言,取=1x -,则有101x +=<,故p 是假命题,p ⌝是真命题,对于q 而言,取1x =,则有3311x x ===,故q 是真命题,q ⌝是假命题,综上,p ⌝和q 都是真命题.故选:B.【答案】3.B 【解析】【详解】因为()2b a b -⊥ ,所以()20b a b -⋅= ,即22b a b =⋅,又因为1,22a a b =+=,所以22144164a b b b +⋅+=+= ,从而22=b .故选:B.【答案】4.C 【解析】【详解】对于A,根据频数分布表可知,612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于1050kg ,故A 错误;对于B ,亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+,所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=,故B 错误;对于C ,稻田亩产量的极差最大为1200900300-=,最小为1150950200-=,故C 正确;对于D ,由频数分布表可得,亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=,所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,故D 错误.故选;C.【答案】5.A 【解析】【详解】设点(,)M x y ,则0(,),(,0)P x y P x ',因为M 为PP '的中点,所以02y y =,即(,2)P x y ,又P 在圆2216(0)x y y +=>上,所以22416(0)x y y +=>,即221(0)164x y y +=>,即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选:A 【答案】6.D 【解析】【详解】解法一:令()()f x g x =,即2(1)1cos 2a x x ax +-=+,可得21cos a x ax -=+,令()()21,cos a x F x ax G x =-=+,原题意等价于当(1,1)x ∈-时,曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点,注意到()(),F x G x 均为偶函数,可知该交点只能在y 轴上,可得()()00F G =,即11a -=,解得2a =,若2a =,令()()F x G x =,可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-,则220,1cos 0x x ≥-≥,当且仅当0x =时,等号成立,可得221cos 0x x +-≥,当且仅当0x =时,等号成立,则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0,即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点,所以2a =符合题意;综上所述:2a =.解法二:令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-,原题意等价于()h x 有且仅有一个零点,因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=,则()h x 为偶函数,根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0,即()020h a =-=,解得2a =,若2a =,则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-,又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时,等号成立,可得()0h x ≥,当且仅当0x =时,等号成立,即()h x 有且仅有一个零点0,所以2a =符合题意;故选:D.【答案】7.B 【解析】【详解】解法一:分别取11,BC B C 的中点1,D D ,则11AD A D ==可知111131662222ABC A B C S S =⨯⨯⨯==⨯= 设正三棱台111ABC A B C -的为h ,则(11115233ABC A B C V h -=++=,解得433h =,如图,分别过11,A D 作底面垂线,垂足为,M N ,设AM x =,。
高考数学真题全国卷(汇总5篇)
高考数学真题全国卷(汇总5篇)1.高考数学真题全国卷第1篇一、正余弦定理正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆的半径余弦定理:a2=b2+c2-2bc*cosA二、两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)三、倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a四、半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))五、和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB2.高考数学真题全国卷第2篇集合与函数内容子交并补集,还有幂指对函数。
2024高考数学真题分类汇编(解析)
一.复数1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)若1i 1zz =+-,则z =()A .1i --B .1i-+C .1i -D .1i+【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---,所以111i i z =+=-.故选:C.2.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知1i z =--,则z =()A .0B .1C D .2【详解】若1i z =--,则z ==故选:C.3.(2024年高考全国甲卷数学(理))设5i z =+,则()i z z +=()A .10iB .2iC .10D .2-【详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=,则()i 10i z z +=.故选:A二.集合1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x x B =-<<=--∣,则A B = ()A .{1,0}-B .{2,3}C .{3,1,0}--D .{1,0,2}-【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<=--,且注意到12<<,从而A B ={}1,0-.故选:A.2.(2024年高考全国甲卷数学(理))集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==∈,则()A A B ⋂=ð()A .{}1,4,9B .{}3,4,9C .{}1,2,3D .{}2,3,5【详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==∈,所以{}1,4,9,16,25,81B =,则{}1,4,9A B = ,(){}2,3,5A A B = ð故选:D三.命题与逻辑1.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知命题p :x ∀∈R ,|1|1x +>;命题q :0x ∃>,3x x =,则()A .p 和q 都是真命题B .p ⌝和q 都是真命题C .p 和q ⌝都是真命题D .p ⌝和q ⌝都是真命题【详解】对于p 而言,取=1x -,则有101x +=<,故p 是假命题,p ⌝是真命题,对于q 而言,取1x =,则有3311x x ===,故q 是真命题,q ⌝是假命题,综上,p ⌝和q 都是真命题.故选:B.2.(2024年高考全国甲卷数学(理))设αβ、是两个平面,m n 、是两条直线,且m αβ= .下列四个命题:①若//m n ,则//n α或//n β②若m n ⊥,则,n n αβ⊥⊥③若//n α,且//n β,则//m n ④若n 与α和β所成的角相等,则m n⊥其中所有真命题的编号是()A .①③B .②④C .①②③D .①③④【详解】对①,当n ⊂α,因为//m n ,m β⊂,则//n β,当n β⊂,因为//m n ,m α⊂,则//n α,当n 既不在α也不在β内,因为//m n ,,m m αβ⊂⊂,则//n α且//n β,故①正确;对②,若m n ⊥,则n 与,αβ不一定垂直,故②错误;对③,过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ,因为//n α,过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ,则根据线面平行的性质定理知//n s ,同理可得//n t ,则//s t ,因为s ⊄平面β,t ⊂平面β,则//s 平面β,因为s ⊂平面α,m αβ= ,则//s m ,又因为//n s ,则//m n ,故③正确;对④,若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等,如果//,//αβn n ,则//m n ,故④错误;综上只有①③正确,故选:A.四.向量1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知向量(0,1),(2,)a b x == ,若(4)b b a ⊥- ,则x =()A .2-B .1-C .1D .2【详解】因为()4b b a ⊥- ,所以()40b b a ⋅-= ,所以240b a b -⋅=即2440x x +-=,故2x =,故选:D.2.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知向量,a b满足1,22a a b =+= ,且()2b a b -⊥ ,则b = ()A .12B C D .1【详解】因为()2b a b -⊥ ,所以()20b a b -⋅= ,即22b a b =⋅,又因为1,22a a b =+= ,所以22144164a b b b +⋅+=+= ,从而2=b 故选:B.3.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知向量()()1,,,2a x x b x =+=,则()A .“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B .“3x =-”是“//a b”的必要条件C .“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D .“1x =-+”是“//a b ”的充分条件【详解】对A ,当a b ⊥时,则0a b ⋅= ,所以(1)20x x x ⋅++=,解得0x =或3-,即必要性不成立,故A 错误;对C ,当0x =时,()()1,0,0,2a b == ,故0a b ⋅= ,所以a b ⊥,即充分性成立,故C 正确;对B ,当//a b时,则22(1)x x +=,解得1x =B 错误;对D ,当1x =-时,不满足22(1)x x +=,所以//a b不成立,即充分性不立,故D 错误.故选:C.5.解三角形1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin C B =,222a b c +-(1)求B ;(2)若ABC 的面积为3c .【详解】(1)由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=,对比已知222a b c +-=,可得222cos 222a b c C ab ab +-===,因为()0,πC ∈,所以sin 0C >,从而sin2C==,又因为sin C B=,即1cos2B=,注意到()0,πB∈,所以π3B=.(2)由(1)可得π3B=,cos2C=,()0,πC∈,从而π4C=,ππ5ππ3412A=--=,而5πππ1sin sin sin124622224A⎛⎫⎛⎫==+=⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c==,从而,a b====,由三角形面积公式可知,ABC的面积可表示为21113sin222228ABCS ab C c c c==⋅=,由已知ABC的面积为32338c+=c=2.(2024年新课标全国Ⅱ卷)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin2A A+=.(1)求A.(2)若2a=sin sin2C c B=,求ABC的周长.【详解】(1)方法一:常规方法(辅助角公式)由sin2A A=可得1sin122A A+=,即sin()1π3A+=,由于ππ4π(0,π)(,333A A∈⇒+∈,故ππ32A+=,解得π6A=方法二:常规方法(同角三角函数的基本关系)由sin2A A=,又22sin cos1A A+=,消去sin A得到:24cos30(2cos0A A A-+=⇔-=,解得cos A=又(0,π)A∈,故π6A=方法三:利用极值点求解设()sin(0π)f x x x x=<<,则π()2sin(0π)3f x x x⎛⎫=+<<⎪⎝⎭,显然π6x=时,max()2f x=,注意到π()sin22sin(3f A A A A=+==+,max ()()f x f A =,在开区间(0,π)上取到最大值,于是x A =必定是极值点,即()0cos sin f A A A '==,即tan A =,又(0,π)A ∈,故π6A =方法四:利用向量数量积公式(柯西不等式)设(sin ,cos )a b A A ==,由题意,sin 2a b A A ⋅=+=,根据向量的数量积公式,cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==,则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ,此时,0a b =,即,a b 同向共线,根据向量共线条件,1cos sin tan A A A ⋅=⇔=又(0,π)A ∈,故π6A =方法五:利用万能公式求解设tan 2A t =,根据万能公式,22sin 21tA A t ==+整理可得,222(2(20((2t t t --+-==--,解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-,又(0,π)A ∈,故π6A =(2)由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=,又,(0,π)B C ∈,则sin sin 0B C ≠,进而cos 2B =,得到π4B =,于是7ππ12C A B =--=,sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=由正弦定理可得,sin sin sin a b cA B C ==,即2ππ7πsin sin sin6412bc==,解得b c ==故ABC的周长为2+3.(2024年高考全国甲卷数学(理))在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,若π3B =,294b ac =,则sin sin A C +=()A .32B C D 【详解】因为29,34B b ac π==,则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=,即:22134a c ac +=,根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==,所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=,因为,A C 为三角形内角,则sin sin 0A C +>,则sin sin A C +=.故选:C.6.概率统计1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =,样本方差20.01s =,已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ,假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ,则()(若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ,()0.8413P Z u σ<+≈)A .(2)0.2P X >>B .(2)0.5P X ><C .(2)0.5P Y >>D .(2)0.8P Y ><【详解】依题可知,22.1,0.01x s ==,所以()2.1,0.1Y N ,故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>,C 正确,D 错误;因为()1.8,0.1X N ,所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯,因为()1.80.10.8413P X <+≈,所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<,而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<,B 正确,A 错误,故选:BC .2.(2024年新课标全国Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ,四轮的总得分为X .对于任意一轮,甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等,其中使得甲获胜的出牌组合有六种,从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯,所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382k k k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分,则组合方式是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8,所以04411A 24p ==;如果甲得3分,则组合方式也是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6,所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0,1,2,3,故01231p p p p +++=,()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=,1213282p p ++=,两式相减即得211242p +=,故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为:12.3.(2024年新课标全国Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg )并部分整理下表亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)频数612182410据表中数据,结论中正确的是()A .100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB .100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C .100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D .100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间【详解】对于A,根据频数分布表可知,612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于1050kg ,故A 错误;对于B ,亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+,所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=,故B 错误;对于C ,稻田亩产量的极差最大为1200900300-=,最小为1150950200-=,故C 正确;对于D ,由频数分布表可得,亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=,所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,故D 错误.故选;C.4.(2024年新课标全国Ⅱ卷)在如图的4×4方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是.【详解】由题意知,选4个方格,每行和每列均恰有一个方格被选中,则第一列有4个方格可选,第二列有3个方格可选,第三列有2个方格可选,第四列有1个方格可选,所以共有432124⨯⨯⨯=种选法;每种选法可标记为(,,,)a b c d ,a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字,则所有的可能结果为:(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),所以选中的方格中,(15,21,33,43)的4个数之和最大,为152********+++=.故答案为:24;1125.(2024年高考全国甲卷数学(理))1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,各项系数的最大值是.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭,010r ≤≤且r ∈Z ,设展开式中第1r +项系数最大,则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩,294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩,即293344r ≤≤,又r ∈Z ,故8r =,所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为:5.6.(2024年高考全国甲卷数学(理))有6个相同的球,分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次,每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值,n 为取出的三个球上数字的平均值,则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次,共有36A 120=种,设前两个球的号码为,a b ,第三个球的号码为c ,则1322a b c a b +++-≤,故2()3c a b -+≤,故32()3c a b -≤-+≤,故323a b c a b +-≤≤++,若1c =,则5a b +≤,则(),a b 为:()()2,3,3,2,故有2种,若2c =,则17a b ≤+≤,则(),a b 为:()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4,()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3,故有10种,当3c =,则39a b ≤+≤,则(),a b 为:()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5,()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4,故有16种,当4c =,则511a b ≤+≤,同理有16种,当5c =,则713a b ≤+≤,同理有10种,当6c =,则915a b ≤+≤,同理有2种,共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=,故所求概率为56712015=.故答案为:7157.(2024年高考全国甲卷数学(理))某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表:优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =,设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?12.247≈)附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【详解】(1)根据题意可得列联表:优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯-⨯===⨯⨯⨯,因为3.841 4.6875 6.635<<,所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异.(2)由题意可知:生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品的频率为960.64150=,用频率估计概率可得0.64p =,又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =,则0.50.50.5 1.650.56812.247p +++⨯≈,可知p p >+所以可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了.8.(2024年新课标全国Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成员为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p ,乙每次投中的概率为q ,各次投中与否相互独立.(1)若0.4p =,0.5q =,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.(2)假设0p q <<,(i )为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛?(ii )为使得甲、乙,所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?【详解】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次,∴比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.(2)(i )若甲先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲,若乙先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙,0p q << ,3333()()P P q q pq p p pq ∴-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq ⎡⎤=-+++-⋅-+-+--⎣⎦()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->,P P ∴>甲乙,应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛,数学成绩X 的所有可能取值为0,5,10,15,333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ⎡⎤==-+--⋅-⎣⎦,32123(5)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦,3223(10)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦,33(15)1(1)P X p q ⎡⎤==--⋅⎣⎦,()332()151(1)1533E X p q p p p q⎡⎤∴=--=-+⋅⎣⎦记乙先参加第一阶段比赛,数学成绩Y 的所有可能取值为0,5,10,15,同理()32()1533E Y q q q p=-+⋅()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q ∴-=+---15()(3)p q pq p q =-+-,因为0p q <<,则0p q -<,31130p q +-<+-<,则()(3)0p q pq p q -+->,∴应该由甲参加第一阶段比赛.7.立体几何1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高)A .B .C .D .【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等,所以2ππr r =即=,故3r =,故圆锥的体积为1π93⨯=.故选:B.2.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523,6AB =,112A B =,则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为()A .12B .1C .2D .3【详解】解法一:分别取11,BC B C 的中点1,D D ,则11AD A D ==可知11111662222ABC A B C S S =⨯⨯⨯==⨯⨯ 设正三棱台111ABC A B C -的为h ,则(11115233ABC A B C V h -==,解得h =如图,分别过11,A D 作底面垂线,垂足为,M N ,设AM x =,则1AA=DN AD AM MN x=--=,可得1DD==结合等腰梯形11BCC B可得22211622BB DD-⎛⎫=+⎪⎝⎭,即()221616433x x+=++,解得x=所以1A A与平面ABC所成角的正切值为11tan1A MA ADAMÐ==;解法二:将正三棱台111ABC AB C-补成正三棱锥-P ABC,则1A A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角,因为11113PA A BPA AB==,则111127P A B CP ABCVV--=,可知1112652273ABC A B C P ABCV V--==,则18P ABCV-=,设正三棱锥-P ABC的高为d,则116618322P ABCV d-=⨯⨯⨯⨯,解得d=,取底面ABC的中心为O,则PO⊥底面ABC,且AO=所以PA与平面ABC所成角的正切值tan1POPAOAO∠==.故选:B.3.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r和2r,母线长分别为()212r r-和()213r r-,则两个圆台的体积之比=VV甲乙.【详解】由题可得两个圆台的高分别为)12h r r==-甲,)12h r r==-乙,所以((21211313S S h V h V h S S h ++-==++甲甲甲乙乙乙4.(2024年新课标全国Ⅰ卷)如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,2PA AC ==,1,BC AB =.(1)若AD PB ⊥,证明://AD 平面PBC ;(2)若AD DC ⊥,且二面角A CP D --的正弦值为7,求AD .【详解】(1)(1)因为PA ⊥平面ABCD ,而AD ⊂平面ABCD ,所以PA AD ⊥,又AD PB ⊥,PB PA P = ,,PB PA ⊂平面PAB ,所以AD ⊥平面PAB ,而AB ⊂平面PAB ,所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=,所以BC AB ⊥,根据平面知识可知//AD BC ,又AD ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,所以//AD 平面PBC .(2)如图所示,过点D 作DE AC ⊥于E ,再过点E 作EF CP ⊥于F ,连接DF ,因为PA ⊥平面ABCD ,所以平面PAC ⊥平面ABCD ,而平面PAC 平面ABCD AC =,所以DE ⊥平面PAC ,又EF CP ⊥,所以⊥CP 平面DEF ,根据二面角的定义可知,DFE ∠即为二面角ACP D --的平面角,即sin 7DFE ∠=,即tan DFE ∠=因为AD DC⊥,设AD x =,则CD=DE =,又242xCE -==,而EFC 为等腰直角三角形,所以2EF =,故22tan4DFEx∠==x=AD=5.(2024年新课标全国Ⅱ卷)如图,平面四边形ABCD中,8AB=,3CD=,AD=,90ADC︒∠=,30BAD︒∠=,点E,F满足25AE AD=,12AF AB=,将AEF△沿EF对折至PEF!,使得PC=.(1)证明:EF PD⊥;(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.【详解】(1)由218,,52AB AD AE AD AF AB====,得4AE AF==,又30BAD︒∠=,在AEF△中,由余弦定理得2EF,所以222AE EF AF+=,则AE EF⊥,即EF AD⊥,所以,EF PE EF DE⊥⊥,又,PE DE E PE DE=⊂、平面PDE,所以EF⊥平面PDE,又PD⊂平面PDE,故EF⊥PD;(2)连接CE,由90,3ADC ED CD︒∠===,则22236CE ED CD=+=,在PEC中,6PC PE EC===,得222EC PE PC+=,所以PE EC ⊥,由(1)知PE EF ⊥,又,EC EF E EC EF =⊂ 、平面ABCD ,所以PE ⊥平面ABCD ,又ED ⊂平面ABCD ,所以PE ED ⊥,则,,PE EF ED 两两垂直,建立如图空间直角坐标系E xyz -,则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D C F A -,由F 是AB的中点,得(4,B ,所以(4,22(2,0,2PC PD PB PF =-===-,设平面PCD 和平面PBF 的一个法向量分别为111222(,,),(,,)n x y z m x y z ==,则11111300n PC x n PD ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,222224020m PB x m PF x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,令122,y x =11220,3,1,1x z y z ===-=,所以(0,2,3),1,1)n m ==-,所以cos ,m nm n m n ⋅===设平面PCD 和平面PBF 所成角为θ,则sin 65θ==,即平面PCD 和平面PBF所成角的正弦值为65.6.(2024年高考全国甲卷数学(理))如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形,//,//BC AD EF AD ,4,2AD AB BC EF ====,ED FB ==M 为AD的中点.(1)证明://BM 平面CDE ;(2)求二面角F BM E --的正弦值.【详解】(1)因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点,所以//,BC MD BC MD =,四边形BCDM 为平行四边形,所以//BM CD ,又因为BM ⊄平面CDE ,CD ⊂平面CDE ,所以//BM 平面CDE ;(2)如图所示,作BO AD ⊥交AD 于O ,连接OF ,因为四边形ABCD 为等腰梯形,//,4,BC AD AD =2AB BC ==,所以2CD =,结合(1)BCDM 为平行四边形,可得2BM CD ==,又2AM =,所以ABM 为等边三角形,O 为AM中点,所以OB =又因为四边形ADEF 为等腰梯形,M 为AD 中点,所以,//EF MD EF MD =,四边形EFMD 为平行四边形,FM ED AF ==,所以AFM △为等腰三角形,ABM 与AFM △底边上中点O 重合,OF AM ⊥,3OF =,因为222OB OF BF +=,所以OB OF ⊥,所以,,OB OD OF 互相垂直,以OB 方向为x 轴,OD 方向为y 轴,OF 方向为z 轴,建立O xyz -空间直角坐标系,()0,0,3F,)()(),0,1,0,0,2,3BM E,()(),BM BF ==,()2,3BE = ,设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =,平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =,则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,令1x =113,1y z ==,即)m = ,则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩,令2x =,得223,1y z ==-,即)1n =-,11cos ,13m n m n m n ⋅===⋅,则sin ,m n =故二面角F BM E --8.解析几何1.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-,点(6,4)-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为()A .4B .3C .2D .2【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ,则1228F F c ==,()22164410PF =++=,()2226446PF =+-=,则1221064a PF PF =-=-=,则28224c e a ===.故选:C.2.(2024年新课标全国Ⅰ卷)造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O.且C 上的点满足横坐标大于2-,到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4,则()A .2a =-B .点(22,0)在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,x y 在C 上时,0042y x ≤+【详解】对于A :设曲线上的动点(),P x y ,则2x >-且()2224x y x a -+⨯-=,因为曲线过坐标原点,故()2202004a -+⨯-=,解得2a =-,故A 正确.对于B :又曲线方程为()22224x y x -+⨯+=,而2x >-,5.(2024年高考全国甲卷数学(理)22410++-=交于Ax y yA.2B.3C.4a b c成等差数列,所以【详解】因为,,++-=,即aax by b a20故选:C.(202427.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知(1)求C的离心率;(2)若过P的直线l交C于另一点⎧⎪⎪8.(2024年高考全国甲卷数学在C上,且MF x⊥轴.(1)求C的方程;由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得(34+故()(42Δ102443464k k =-+23264k由已知有22549m =-=,故当12k =时,过()15,4P 且斜率为22392x x +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.解得3x =-或5x =,所以该直线与9.函数与导数1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==,则cos()αβ-=()A .3m -B .3m -C .3mD .3m【详解】因为()cos m αβ+=,所以cos cos sin sin m αβαβ-=,而tan tan 2αβ=,所以sin sin 2cos cos αβαβ=,故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-,从而sin sin 2m αβ=-,故()cos 3m αβ-=-,故选:A.2.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩,在R 上单调递增,则a 取值的范围是()A .(,0]-∞B .[1,0]-C .[1,1]-D .[0,)+∞【详解】因为()f x 在R 上单调递增,且0x ≥时,()()e ln 1xf x x =++单调递增,则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩,解得10a -≤≤,即a 的范围是[1,0]-.故选:B.3.(2024年新课标全国Ⅰ卷)当[0,2]x πÎ时,曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为()A .3B .4C .6D .8【详解】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =,函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =,所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有三个周期的图象,在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示:由图可知,两函数图象有6个交点.故选:C4.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知函数为()f x 的定义域为R ,()(1)(2)f x f x f x >-+-,且当3x <时()f x x =,则下列结论中一定正确的是()A .(10)100f >B .(20)1000f >C .(10)1000f <D .(20)10000f <【详解】因为当3x <时()f x x =,所以(1)1,(2)2f f ==,又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-,则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>,(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>,(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>,(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>,(16)(15)(14)15971000f f f >+>>,则依次下去可知(20)1000f >,则B 正确;且无证据表明ACD 一定正确.故选:B.5.(2024年新课标全国Ⅰ卷)设函数2()(1)(4)f x x x =--,则()A .3x =是()f x 的极小值点B .当01x <<时,()2()f x f x <C .当12x <<时,4(21)0f x -<-<D .当10x -<<时,(2)()f x f x ->【详解】对A ,因为函数()f x 的定义域为R ,而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--',易知当()1,3x ∈时,()0f x '<,当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时,()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增,在()1,3上单调递减,在()3,∞+上单调递增,故3x =是函数()f x 的极小值点,正确;对B ,当01x <<时,()210x x x x -=->,所以210x x >>>,而由上可知,函数()f x 在()0,1上单调递增,所以()()2f x f x >,错误;对C ,当12x <<时,1213x <-<,而由上可知,函数()f x 在()1,3上单调递减,所以()()()1213f f x f >->,即()4210f x -<-<,正确;对D ,当10x -<<时,()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->,所以(2)()f x f x ->,正确;故选:ACD.6.(2024年新课标全国Ⅰ卷)若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线,则=a .【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+,00|e 12x y ='=+=,故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+;由()ln 1y x a =++得11y x '=+,设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++,由两曲线有公切线得0121y x '==+,解得012x =-,则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭,根据两切线重合,所以ln 20a -=,解得ln 2a =.故答案为:ln 27.(2024年新课标全国Ⅱ卷)设函数2()(1)1f x a x =+-,()cos 2g x x ax =+,当(1,1)x ∈-时,曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点,则=a ()A .1-B .12C .1D .2【详解】解法一:令()()f x g x =,即2(1)1cos 2a x x ax +-=+,可得21cos a x ax -=+,令()()21,cos a x F x ax G x =-=+,原题意等价于当(1,1)x ∈-时,曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点,注意到()(),F x G x 均为偶函数,可知该交点只能在y 轴上,可得()()00F G =,即11a -=,解得2a =,若2a =,令()()F x G x =,可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-,则220,1cos 0x x ≥-≥,当且仅当0x =时,等号成立,可得221cos 0x x +-≥,当且仅当0x =时,等号成立,则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0,即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点,所以2a =符合题意;综上所述:2a =.解法二:令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-,原题意等价于()h x 有且仅有一个零点,因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=,则()h x 为偶函数,根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0,即()020h a =-=,解得2a =,若2a =,则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-,又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时,等号成立,可得()0h x ≥,当且仅当0x =时,等号成立,即()h x 有且仅有一个零点0,所以2a =符合题意;故选:D.8.(2024年新课标全国Ⅱ卷)设函数()()ln()f x x a x b =++,若()0f x ≥,则22a b +的最小值为()A .18B .14C .12D .1【详解】解法一:由题意可知:()f x 的定义域为(),b -+∞,令0x a +=解得x a =-;令ln()0x b +=解得1x b =-;若-≤-a b ,当(),1x b b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +>+<,此时()0f x <,不合题意;若1b a b -<-<-,当(),1x a b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +>+<,此时()0f x <,不合题意;若1a b -=-,当(),1x b b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +<+<,此时()0f x >;当[)1,x b ∈-+∞时,可知()0,ln 0x a x b +≥+≥,此时()0f x ≥;可知若1a b -=-,符合题意;若1a b ->-,当()1,x b a ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +<+>,此时()0f x <,不合题意;综上所述:1a b -=-,即1b a =+,则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+,当且仅当11,22a b =-=时,等号成立,所以22a b +的最小值为12;解法二:由题意可知:()f x 的定义域为(),b -+∞,令0x a +=解得x a =-;令ln()0x b +=解得1x b =-;则当(),1x b b ∈--时,()ln 0x b +<,故0x a +≤,所以10b a -+≤;()1,x b ∈-+∞时,()ln 0x b +>,故0x a +≥,所以10b a -+≥;故10b a -+=,则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭+,当且仅当11,22a b =-=时,等号成立,所以22a b +的最小值为12.故选:C.9.(2024年新课标全国Ⅱ卷)对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-,下列正确的有()A .()f x 与()g x 有相同零点B .()f x 与()g x 有相同最大值C .()f x 与()g x 有相同的最小正周期D .()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴【详解】A 选项,令()sin 20f x x ==,解得π,2k x k =∈Z ,即为()f x 零点,令π()sin(204g x x =-=,解得ππ,28k x k =+∈Z ,即为()g x 零点,显然(),()f x g x 零点不同,A 选项错误;B 选项,显然max max ()()1f x g x ==,B 选项正确;C 选项,根据周期公式,(),()f x g x 的周期均为2ππ2=,C 选项正确;D 选项,根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ,()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ,显然(),()f x g x 图像的对称轴不同,D 选项错误.故选:BC10.(2024年新课标全国Ⅱ卷)设函数32()231f x x ax =-+,则()A .当1a >时,()f x 有三个零点B .当0a <时,0x =是()f x 的极大值点C .存在a ,b ,使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D .存在a ,使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心【详解】A 选项,2()666()f x x ax x x a '=-=-,由于1a >,故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>,故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增,(0,)x a ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减,则()f x 在0x =处取到极大值,在x a =处取到极小值,由(0)10=>f ,3()10f a a =-<,则(0)()0f f a <,根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点,又(1)130f a -=--<,3(2)410f a a =+>,则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<,则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点,于是1a >时,()f x 有三个零点,A 选项正确;B 选项,()6()f x x x a '=-,a<0时,(,0),()0x a f x '∈<,()f x 单调递减,,()0x ∈+∞时()0f x '>,()f x 单调递增,此时()f x 在0x =处取到极小值,B 选项错误;C 选项,假设存在这样的,a b ,使得x b =为()f x 的对称轴,即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-,即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+,根据二项式定理,等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-,于是等式左右两边3x 的系数都不相等,原等式不可能恒成立,于是不存在这样的,a b ,使得x b =为()f x 的对称轴,C 选项错误;D 选项,方法一:利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-,若存在这样的a ,使得(1,33)a -为()f x 的对称中心,则()(2)66f x f x a +-=-,事实上,32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-,于是266(126)(1224)1812a a x a x a-=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩,解得2a =,即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心,D 选项正确.方法二:直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心,对称中心的横坐标是二阶导数的零点,32()231f x x ax =-+,2()66f x x ax '=-,()126f x x a ''=-,由()02af x x ''=⇔=,于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由题意(1,(1))f 也是对称中心,故122aa =⇔=,即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心,D 选项正确.故选:AD11.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan tan 4αβ+=,tan tan 1αβ=,则sin()αβ+=.【详解】法一:由题意得()tan tan tan1tan tan αβαβαβ++===--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪⎝⎭⎝⎭,,Z k m ∈,则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++,,Z k m ∈,又因为()tan 0αβ+=-,则()()3π22π,22π2π2m k m k αβ⎛⎫+∈++++ ⎪⎝⎭,,Z k m ∈,则()sin 0αβ+<,则()()sin cos αβαβ+=-+()()22sin cos 1αβαβ+++=,解得()sin 3αβ+=-.法二:因为α为第一象限角,β为第三象限角,则cos 0,cos 0αβ><,cos α==cos β==则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )αβαβαβαβαβ+=+=+4cos cos αβ=====故答案为:3-.12.(2024年高考全国甲卷数学(理))设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+,则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A .16B .13C .12D .23【详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+,则()()()()()02e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+,即该切线方程为13y x -=,即31y x =+,令0x =,则1y =,令0y =,则13x =-,故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故选:A.13.(2024年高考全国甲卷数学(理))函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为()A .B .C .D .【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x ---=-+--=-+-=,又函数定义域为[]2.8,2.8-,故该函数为偶函数,可排除A 、C ,又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故可排除D.故选:B.14.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()A .1B .1C .2D .1【详解】因为cos cos sin ααα=-所以11tan =-α,tan 13⇒α=-,所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+ ⎪-α⎝⎭,故选:B.15.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知1a >,8115log log 42a a -=-,则=a .【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-,整理得()2225log 60log a a --=,2log 1a ⇒=-或2log 6a =,又1a >,所以622log 6log 2a ==,故6264a ==故答案为:64.16.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知函数3()ln (1)2xf x ax b x x=++--(1)若0b =,且()0f x '≥,求a 的最小值;(2)证明:曲线()y f x =是中心对称图形;(3)若()2f x >-当且仅当12x <<,求b 的取值范围.【详解】(1)0b =时,()ln 2xf x ax x=+-,其中()0,2x ∈,则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--',因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭,当且仅当1x =时等号成立,故()min 2f x a '=+,而()0f x '≥成立,故20a +≥即2a ≥-,所以a 的最小值为2-.,(2)()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2,设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点,(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --,因为(),P m n 在()y f x =图象上,故()3ln 12m n am b m m=++--,而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦,2n a =-+,所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上,由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形,且对称中心为()1,a .(3)因为()2f x >-当且仅当12x <<,故1x =为()2f x =-的一个解,所以()12f =-即2a =-,先考虑12x <<时,()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln 21102x x b x x+-+->-在()1,2上恒成立,设()10,1t x =-∈,则31ln201t t bt t +-+>-在()0,1上恒成立,设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-,则()()2222232322311t bt b g t bt t t -++=-+=-'-,当0b ≥,232332320bt b b b -++≥-++=>,故()0g t '>恒成立,故()g t 在()0,1上为增函数,故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时,2323230bt b b -++≥+≥,故()0g t '≥恒成立,故()g t 在()0,1上为增函数,故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-,则当01t <<时,()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数,故()()00g t g <=,不合题意,舍;综上,()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时,而23b ≥-时,由上述过程可得()g t 在()0,1递增,故()0g t >的解为()0,1,即()2f x >-的解为()1,2.综上,23b ≥-.17.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知函数3()e x f x ax a =--.(1)当1a =时,求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程;(2)若()f x 有极小值,且极小值小于0,求a 的取值范围.【详解】(1)当1a =时,则()e 1x f x x =--,()e 1x f x '=-,可得(1)e 2f =-,(1)e 1f '=-,即切点坐标为()1,e 2-,切线斜率e 1k =-,所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--,即()e 110x y ---=.(2)解法一:因为()f x 的定义域为R ,且()e '=-x f x a ,若0a ≤,则()0f x '≥对任意x ∈R 恒成立,可知()f x 在R 上单调递增,无极值,不合题意;若0a >,令()0f x '>,解得ln x a >;令()0f x '<,解得ln x a <;可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减,在()ln ,a +∞内单调递增,则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--,无极大值,由题意可得:()3ln ln 0f a a a a a =--<,即2ln 10a a +->,构建()2ln 1,0g a a a a =+->,则()120g a a a'=+>,可知()g a 在()0,∞+内单调递增,且()10g =,不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >,解得1a >,所以a 的取值范围为()1,+∞;解法二:因为()f x 的定义域为R ,且()e '=-x f x a ,若()f x 有极小值,则()e '=-x f x a 有零点,令()e 0x f x a '=-=,可得e x a =,可知e x y =与y a =有交点,则0a >,若0a >,令()0f x '>,解得ln x a >;令()0f x '<,解得ln x a <;。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(解三角形大题)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(解三角形大题)汇编考点01 求面积的值及范围或最值1.(2024∙北京∙高考真题)在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,A ∠为钝角,7a =,sin 2cos B B =.(1)求A ∠;(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得ABC 存在,求ABC 的面积.条件①:7b =;条件②:13cos 14B =;条件③:sin c A =注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.2.(2023∙全国甲卷∙高考真题)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2222cos b c aA+-=.(1)求bc ; (2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+,求ABC 面积.3.(2023∙全国乙卷∙高考真题)在ABC 中,已知120BAC ∠=︒,2AB =,1AC =. (1)求sin ABC ∠;(2)若D 为BC 上一点,且90BAD ∠=︒,求ADC △的面积.4.(2022∙浙江∙高考真题)在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知34,cos 5a C ==. (1)求sin A 的值;(2)若11b =,求ABC 的面积.考点02 求边长、周长的值及范围或最值1.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin 2A A =. (1)求A .(2)若2a =sin sin 2C c B =,求ABC 的周长.2.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin C B =,222a b c +-=(1)求B ;(2)若ABC 的面积为3c .3.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知ABCD 为BC 中点,且1AD =.(1)若π3ADC ∠=,求tan B ; (2)若228b c +=,求,b c .4.(2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,分别以a ,b ,c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ,已知123123S S S B -+==. (1)求ABC 的面积;(2)若sin sin 3A C =,求b . 5.(2022∙全国乙卷∙高考真题)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-.(1)证明:2222a b c =+; (2)若255,cos 31a A ==,求ABC 的周长.6.(2022∙北京∙高考真题)在ABC 中,sin 2C C =. (1)求C ∠;(2)若6b =,且ABC 的面积为ABC 的周长.7.(2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++.(1)若23C π=,求B ; (2)求222a b c +的最小值.8.(2020∙全国∙高考真题)ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知B =150°.(1)若a,b ,求ABC 的面积;(2)若sin AC C . 9.(2020∙全国∙高考真题)ABC 中,sin 2A -sin 2B -sin 2C =sin B sin .C(1)求A ;(2)若BC =3,求ABC 周长的最大值.考点03 求角和三角函数的值及范围或最值1.(2024∙天津∙高考真题)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知92cos 5163a Bbc ===,,. (1)求a ; (2)求sin A ;(3)求()cos 2B A -的值.2.(2023∙天津∙高考真题)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知2,120a b A ==∠= . (1)求sin B 的值; (2)求c 的值; (3)求()sin B C -的值.3.(2022∙天津∙高考真题)在ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值; (2)求sin B 的值; (3)求sin(2)A B -的值.4.(2021∙天津∙高考真题)在ABC ,角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin :sin :sin 2A B C =b =. (I )求a 的值; (II )求cos C 的值;(III )求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.5.(2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)记ABC 是内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2b ac =,点D 在边AC 上,sin sin BD ABC a C ∠=. (1)证明:BD b =;(2)若2AD DC =,求cos ABC ∠.6.(2020∙天津∙高考真题)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知 5,a b c === (Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)求sin A 的值;(Ⅲ)求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.7.(2020∙浙江∙高考真题)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2sin 0b A =. (I )求角B 的大小;(II )求cos A +cos B +cos C 的取值范围.8.(2020∙江苏∙高考真题)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3,45a c B ==︒.(1)求sin C 的值;(2)在边BC 上取一点D ,使得4cos 5ADC ∠=-,求tan DAC ∠的值.考点04 求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长1.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知在ABC 中,()3,2sin sin A B C A C B +=-=. (1)求sin A ;(2)设5AB =,求AB 边上的高.考点05 三角形中的证明问题1.(2022∙全国乙卷∙高考真题)记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-.(1)若2A B =,求C ; (2)证明:2222a b c =+2.(2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)记ABC 是内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2b ac =,点D 在边AC 上,sin sin BD ABC a C ∠=. (1)证明:BD b =;(2)若2AD DC =,求cos ABC ∠.参考答案考点01 求面积的值及范围或最值1.(2024∙北京∙高考真题)在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,A ∠为钝角,7a =,sin 2cos B B =.(1)求A ∠;(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得ABC 存在,求ABC 的面积. 条件①:7b =;条件②:13cos 14B =;条件③:sin c A =注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分. 【答案】(1)2π3A =; (2)选择①无解;选择②和③△ABC【详细分析】(1)利用正弦定理即可求出答案; (2)选择①,利用正弦定理得3B π=,结合(1)问答案即可排除;选择②,首先求出sin 14B =,再代入式子得3b =,再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ,最后利用三角形面积公式即可;选择③,首先得到5c =,再利用正弦定理得到sin 14C =,再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ,最后利用三角形面积公式即可;【答案详解】(1)由题意得2sin cos cos B B B =,因为A 为钝角, 则cos 0B ≠,则2sin 7B b =,则7sin sin sin b a BA A ===,解得sin 2A =, 因为A 为钝角,则2π3A =. (2)选择①7b =,则sin 7B ===2π3A =,则B 为锐角,则3B π=, 此时πA B +=,不合题意,舍弃;选择②13cos 14B =,因为B为三角形内角,则sin 14B ==,则代入2sin 7B =得2147⨯=,解得3b =,()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131********⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯=选择③sin c A =2c ⨯=5c =,则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C ,解得sin C =,因为C 为三角形内角,则11cos 14C ==, 则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭11121421414⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭,则11sin 7522144ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 2.(2023∙全国甲卷∙高考真题)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2222cos b c a A+-=.(1)求bc ; (2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+,求ABC 面积.【答案】(1)1(2)4【详细分析】(1)根据余弦定理即可解出;(2)由(1)可知,只需求出sin A 即可得到三角形面积,对等式恒等变换,即可解出.【答案详解】(1)因为2222cos a b c bc A =+-,所以2222cos 22cos cos b c a bc Abc A A+-===,解得:1bc =.(2)由正弦定理可得cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A Ba Bb Ac A B B A C---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B BA B A B A B ---=-==+++,变形可得:()()sin sin sin A B A B B --+=,即2cos sin sin A B B -=,而0sin 1B <≤,所以1cos 2A =-,又0πA <<,所以sin 2A =,故ABC的面积为11sin 122ABC S bc A ==⨯△.3.(2023∙全国乙卷∙高考真题)在ABC 中,已知120BAC ∠=︒,2AB =,1AC =. (1)求sin ABC ∠;(2)若D 为BC 上一点,且90BAD ∠=︒,求ADC △的面积. 【答案】(1)14;【详细分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BCcos 14B =,最后由同角三角函数基本关系可得sin 14B =; (2)由题意可得4ABDACD S S =△△,则15ACD ABC S S =△△,据此即可求得ADC △的面积. 【答案详解】(1)由余弦定理可得:22222cos BC a b c bc A ==+-41221cos1207=+-⨯⨯⨯= ,则BC =222cos 214a c b B ac +-===,sin ABC ∠==(2)由三角形面积公式可得1sin 90241sin 302ABD ACDAB AD S S AC AD ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ △△,则11121sin12055210ACD ABC S S ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭△△. 4.(2022∙浙江∙高考真题)在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知34,cos 5a C ==. (1)求sin A 的值;(2)若11b =,求ABC 的面积. 【答案】;(2)22.【详细分析】(1)先由平方关系求出sin C ,再根据正弦定理即可解出;(2)根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab +-=以及4a =可解出a ,即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积.【答案详解】(1)由于3cos 5C =, 0πC <<,则4sin 5C =.因为4a =,由正弦定理知4sin A C =,则sin 45A C ==. (2)因为4a ,由余弦定理,得2222221612111355cos 22225a a aa b c C ab a a +--+-====, 即26550a a +-=,解得5a =,而4sin 5C =,11b =, 所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=.5.(2019∙全国∙高考真题)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin sin 2A Ca b A +=. (1)求B ;(2)若ABC ∆为锐角三角形,且1c =,求ABC ∆面积的取值范围. 【答案】(1) 3B π=;(2). 【详细分析】(1)利用正弦定理化简题中等式,得到关于B 的三角方程,最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅ ,又根据正弦定理和1c =得到ABC S 关于C 的函数,由于ABC 是锐角三角形,所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域,最后求解()ABC S C 的值域.【答案详解】(1)[方法一]【最优解:利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得222A C Bπ+=-, 此时sinsin 2A C a b A +=就变为sin sin 22B a b A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 由诱导公式得sin cos 222B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以cos sin 2B a b A =.在ABC 中,由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==, 此时就有sin cossin sin 2BA AB =,即cos sin 2B B =,再由二倍角的正弦公式得cos2sin cos 222B B B=,解得3B π=. [方法二]【利用正弦定理解方程求得cos B 的值可得B ∠的值】 由解法1得sin sin 2A CB +=, 两边平方得22sinsin 2A CB +=,即21cos()sin 2A CB -+=. 又180A BC ++=︒,即cos()cos A C B +=-,所以21cos 2sin B B +=, 进一步整理得22cos cos 10B B +-=, 解得1cos 2B =,因此3B π=. [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得,,A BC 的比例关系】 根据题意sinsin 2A Ca b A +=,由正弦定理得sin sin sin sin 2A C A B A +=, 因为0A π<<,故sin 0A >, 消去sin A 得sin sin 2A CB +=. 0<B π<,02A C π+<<,因为故2A C B +=或者2A CB π++=, 而根据题意A BC π++=,故2A C B π++=不成立,所以2A CB +=, 又因为A BC π++=,代入得3B π=,所以3B π=.(2)[方法一]【最优解:利用锐角三角形求得C 的范围,然后由面积函数求面积的取值范围】 因为ABC 是锐角三角形,又3B π=,所以,6262A C ππππ<<<<, 则1sin 2ABCS ac B ==V 22sin 1sin 3sin 24sin 4sin C a A c B c C Cπ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅⋅=⋅=⋅=22sincos cos sin 333sin 8tan C CC C ππ-=. 因为,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭,则1tan C ∈,从而ABC S ⎝⎭∈ ,故ABC面积的取值范围是82⎫⎪⎪⎝⎭. [方法二]【由题意求得边a 的取值范围,然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及(1)知ABC的面积4ABC S a =△. 因为ABC 为锐角三角形,且1,3c B π==,所以22221cos 0,21cos 0,2b a A bb a C ab ⎧+-=>⎪⎪⎨+-⎪=>⎪⎩即22221010.b a b a ⎧+->⎨+->⎩, 又由余弦定理得221b a a =+-,所以220,20,a a a ->⎧⎨->⎩即122a <<,所以82ABC S << ,故ABC面积的取值范围是⎝⎭. [方法三]【数形结合,利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图,在ABC 中,过点A 作1AC BC ⊥,垂足为1C ,作2AC AB ⊥与BC 交于点2C . 由题设及(1)知ABC的面积ABC S =△,因为ABC 为锐角三角形,且1,3c B π==,所以点C 位于在线段12C C 上且不含端点,从而cos cos cc B a B⋅<<, 即1cos3cos 3a ππ<<,即122a <<,所以82ABC S << , 故ABC面积的取值范围是82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【整体点评】(1)方法一:正弦定理是解三角形的核心定理,与三角形内角和相结合是常用的方法; 方法二:方程思想是解题的关键,解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值; 方法三:由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系,从而确定角的大小. (2)方法一:由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法;方法二:将面积问题转化为边长的问题,然后求解边长的范围可得面积的范围;方法三:极限思想和数形结合体现了思维的灵活性,要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.6.(2017∙全国∙高考真题)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.(1)求角A 和边长c ;(2)设D 为BC 边上一点,且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积. 【答案】(1)23π,4;(2【答案详解】试题详细分析:(1)先根据同角的三角函数的关系求出tan A = 从而可得A 的值,再根据余弦定理列方程即可求出边长c 的值;(2)先根据余弦定理求出cos C ,求出CD 的长,可得12CD BC =,从而得到12ABD ABC S S ∆∆=,进而可得结果. 试题解析:(1)sin 0,tan A A A =∴= 20,3A A ππ<<∴=,由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-,即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,即22240c c +-=,解得6c =-(舍去)或4c =,故4c =. (2)2222cos c b a ab C =+-Q,1628422cos C ∴=+-⨯⨯,2cos 2cos AC C CD C ∴=∴===12CD BC ∴=,1142222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=12ABD ABC S S ∆∆∴==7.(2016∙全国∙高考真题)ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. (1)求角C ;(2)若c =2ABC S ∆=,求ABC ∆的周长. 【答案】(1)3C π=(2)5【答案详解】试题详细分析:(1)根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=,利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ;(2)根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =,由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析:(1)由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C (2)11sin 6222∆=⇒=⇒=ABC S ab C ab ab又2222cos +-= a b ab C c2213a b ∴+=,2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5考点:正余弦定理解三角形.8.(2015∙浙江∙高考真题)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c .已知tan()24A π+=.(1)求2sin 2sin 2cos AA A+的值;(2)若,34B a π==,求ABC ∆的面积. 【答案】(1)25;(2)9 【答案详解】(1)利用两角和与差的正切公式,得到1tan 3A =,利用同角三角函数基本函数关系式得到结论;(2)利用正弦定理得到边b 的值,根据三角形,两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析:(1)由tan()24A π+=,得1tan 3A =,所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.(2)由1tan 3A =可得,sin A A ==3,4a B π==,由正弦定理知:b =又sin sin()sin cos cos sin 5C A B A B A B =+=+=,所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 考点:1.同角三角函数基本关系式;2.正弦定理;3.三角形面积公式.9.(2015∙全国∙高考真题)已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边, 2sin 2sin sin B A C =. (1)若a b =,求cos ;B(2)若90B = ,且a =求ABC ∆的面积. 【答案】(1)14;(2)1 【答案详解】试题详细分析:(1)由2sin 2sin sin B A C =,结合正弦定理可得:22b ac =,再利用余弦定理即可得出cos ;B(2)利用(1)及勾股定理可得c ,再利用三角形面积计算公式即可得出 试题解析:(1)由题设及正弦定理可得22b ac = 又a b =,可得2,2b c a c ==由余弦定理可得2221cos 24a c b B ac +-==(2)由(1)知22b ac =因为90B = ,由勾股定理得222a c b += 故222a c ac +=,得c a == 所以的面积为1考点:正弦定理,余弦定理解三角形10.(2015∙山东∙高考真题)设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ)在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】(Ⅰ)单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦;单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(Ⅱ)ABC ∆【答案详解】试题详细分析:(Ⅰ)首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式,再利用正弦函数的单调性求其单调区间;(Ⅱ)首先由02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭结合(Ⅰ)的结果,确定角A 的值,然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值. 试题解析:解:(Ⅰ)由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦;单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ (Ⅱ)由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得1sin 2A =由题意知A 为锐角,所以cos 2A =由余弦定理:2222cos a b c bc A =+-可得:2212b c bc =+≥即:2bc ≤ 当且仅当b c =时等号成立.因此1sin 2bc A ≤所以ABC ∆面积的最大值为24考点:1、诱导公式;2、三角函数的二倍角公式;3、余弦定理;4、基本不等式.考点02 求边长、周长的值及范围或最值1.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin 2A A =. (1)求A .(2)若2a =sin sin 2C c B =,求ABC 的周长. 【答案】(1)π6A =(2)2+【详细分析】(1)根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解,常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组,亦可利用导数,向量数量积公式,万能公式解决; (2)先根据正弦定理边角互化算出B ,然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长. 【答案详解】(1)方法一:常规方法(辅助角公式)由sin 2A A =可得1sin 12A A =,即sin()1π3A +=,由于ππ4π(0,π)(,333A A ∈⇒+∈,故ππ32A +=,解得π6A = 方法二:常规方法(同角三角函数的基本关系)由sin 2A A =,又22sin cos 1A A +=,消去sin A 得到:224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=,解得cos A = 又(0,π)A ∈,故π6A =方法三:利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<,则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,显然π6x =时,max ()2f x =,注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+,max ()()f x f A =,在开区间(0,π)上取到最大值,于是x A =必定是极值点,即()0cos f A A A '==,即tan A = 又(0,π)A ∈,故π6A =方法四:利用向量数量积公式(柯西不等式)设(sin ,cos )a b A A == ,由题意,sin 2a b A A ⋅==,根据向量的数量积公式,cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==, 则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ,此时,0a b =,即,a b 同向共线,根据向量共线条件,1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=, 又(0,π)A ∈,故π6A =方法五:利用万能公式求解设tan 2A t =,根据万能公式,22sin 21t A A t ==+整理可得,2222(2(20((2t t t -+==-,解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-, 又(0,π)A ∈,故π6A =(2)由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=,又,(0,π)B C ∈,则sin sin 0B C ≠,进而cos B =π4B =,于是7ππ12C A B =--=,sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=, 由正弦定理可得,sin sin sin a b cA B C ==,即2ππ7πsin sin sin6412b c==,解得b c == 故ABC的周长为2+2.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c,已知sin C B =,222a b c +-=(1)求B ;(2)若ABC的面积为3c . 【答案】(1)π3B =(2)【详细分析】(1)由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C,最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可;(2)首先求出,,A B C ,然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示,结合三角形面积公式即可列方程求解.【答案详解】(1)由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=,对比已知222a b c +-=,可得222cos 222a b c C ab ab +-===, 因为()0,πC ∈,所以sin 0C >,从而sin 2C ===,又因为sin C B =,即1cos 2B =, 注意到()0,πB ∈, 所以π3B =. (2)由(1)可得π3B =,cos 2C =,()0,πC ∈,从而π4C =,ππ5ππ3412A =--=,而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==,从而1,4222a cbc +====, 由三角形面积公式可知,ABC 的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c ==⋅⋅= , 由已知ABC的面积为323=所以c =3.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知ABCD 为BC 中点,且1AD =. (1)若π3ADC ∠=,求tan B ; (2)若228b c +=,求,b c . 【答案】(2)2b c ==.【详细分析】(1)方法1,利用三角形面积公式求出a ,再利用余弦定理求解作答;方法2,利用三角形面积公式求出a ,作出BC 边上的高,利用直角三角形求解作答.(2)方法1,利用余弦定理求出a ,再利用三角形面积公式求出ADC ∠即可求解作答;方法2,利用向量运算律建立关系求出a ,再利用三角形面积公式求出ADC ∠即可求解作答. 【答案详解】(1)方法1:在ABC 中,因为D 为BC 中点,π3ADC ∠=,1AD =,则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=⨯⨯===,解得4a =, 在ABD △中,2π3ADB ∠=,由余弦定理得2222cos c BD AD BD AD ADB =+-⋅∠, 即2141221()72c =+-⨯⨯⨯-=,解得c =cos 14B ==,sin B ===,所以sin tan cos 5B B B ==. 方法2:在ABC 中,因为D 为BC 中点,π3ADC ∠=,1AD =,则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=⨯⨯===,解得4a =, 在ACD 中,由余弦定理得2222cos b CD AD CD AD ADC =+-⋅∠,即214122132b =+-⨯⨯⨯=,解得b =,有2224AC AD CD +==,则π2CAD ∠=,π6C =,过A 作AE BC ⊥于E,于是3cos ,sin 2CE AC C AE AC C ====,52BE =,所以tan 5AE B BE ==. (2)方法1:在ABD △与ACD 中,由余弦定理得222211121cos(π)4211121cos 42c a a ADC b a a ADC ⎧=+-⨯⨯⨯-∠⎪⎪⎨⎪=+-⨯⨯⨯∠⎪⎩,整理得222122a b c +=+,而228b c +=,则a =,又11sin 22ADC S ADC =⨯∠=,解得sin 1ADC ∠=,而0πADC <∠<,于是π2ADC ∠=,所以2b c ===.方法2:在ABC 中,因为D 为BC 中点,则2AD AB AC =+ ,又CB AB AC =-,于是2222224()()2()16AD CB AB AC AB AC b c +=++-=+= ,即2416a +=,解得a =,又11sin 2ADC S ADC =⨯∠ sin 1ADC ∠=,而0πADC <∠<,于是π2ADC ∠=,所以2b c ===.4.(2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,分别以a ,b ,c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S,已知123123S S S B -+==. (1)求ABC 的面积; (2)若sin sin 3A C =,求b . 【答案】(2)12【详细分析】(1)先表示出123,,S S S,再由1232S S S -+=求得2222a c b +-=,结合余弦定理及平方关系求得ac ,再由面积公式求解即可;(2)由正弦定理得22sin sin sin b acB AC =,即可求解.【答案详解】(1)由题意得22221231,,22444S a a S b S c =⋅⋅===,则222123S S S -+==, 即2222a c b +-=,由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=,整理得cos 1ac B =,则cos 0B >,又1sin 3B =,则cos 3B ==,1cos 4ac B ==,则1sin 28ABC S ac B == ; (2)由正弦定理得:sin sin sin b a c B A C ==,则229sin sin sin sin sin 43b ac ac B A C A C =⋅==,则3sin 2b B =,31sin 22b B ==. 5.(2022∙全国乙卷∙高考真题)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-.(1)证明:2222a b c =+; (2)若255,cos 31a A ==,求ABC 的周长. 【答案】(1)见解析 (2)14【详细分析】(1)利用两角差的正弦公式化简,再根据正弦定理和余弦定理化角为边,从而即可得证; (2)根据(1)的结论结合余弦定理求出bc ,从而可求得b c +,即可得解. 【答案详解】(1)证明:因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-, 所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-,所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅, 即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-, 所以2222a b c =+;(2)解:因为255,cos 31a A ==, 由(1)得2250bc +=,由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-, 则50502531bc -=, 所以312bc =, 故()2222503181b c b c bc +=++=+=, 所以9b c +=,所以ABC 的周长为14a b c ++=.6.(2022∙北京∙高考真题)在ABC 中,sin 2C C =. (1)求C ∠;(2)若6b =,且ABC 的面积为ABC 的周长. 【答案】(1)6π(2)6+【详细分析】(1)利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值,结合角C 的取值范围可求得角C 的值; (2)利用三角形的面积公式可求得a 的值,由余弦定理可求得c 的值,即可求得ABC 的周长.【答案详解】(1)解:因为()0,C π∈,则sin 0C >2sin cos C C C =,可得cos 2C =,因此,6C π=.(2)解:由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a === ,解得a =.由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=,c ∴=所以,ABC 的周长为6a b c ++=.7.(2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++.(1)若23C π=,求B ; (2)求222a b c +的最小值.【答案】(1)π6;(2)5.【详细分析】(1)根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=,再结合π02B <<,即可求出; (2)由(1)知,π2C B =+,π22A B =-,再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-,然后利用基本不等式即可解出. 【答案详解】(1)因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++,即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=, 而π02B <<,所以π6B =;(2)由(1)知,sin cos 0B C =->,所以πππ,022C B <<<<, 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以π2C B =+,即有π22A B =-,所以30,,,424B C πππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B +++-==()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB-+-==+-≥=.当且仅当2cos B =222a b c +的最小值为5. 8.(2020∙全国∙高考真题)ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知B =150°.(1)若a,b ,求ABC 的面积;(2)若sin AC =2,求C . 【答案】(1(2)15︒.【详细分析】(1)已知角B 和b 边,结合,a c 关系,由余弦定理建立c 的方程,求解得出,a c ,利用面积公式,即可得出结论;(2)方法一 :将30A C =︒-代入已知等式,由两角差的正弦和辅助角公式,化简得出有关C 角的三角函数值,结合C 的范围,即可求解.【答案详解】(1)由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=,2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B == (2)[方法一]:多角换一角 30A C +=︒ ,sin sin(30)A C C C ∴=︒-1cos sin(30)22C C C ==+︒=, 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ,3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒. [方法二]:正弦角化边由正弦定理及150B =︒得22sin sin sin ====a c bR b A C B.故sin ,sin 22==a c A C b b .由sin 2A C =,得a +=.又由余弦定理得22222cos =+-⋅=+b a c ac B a 2+c ,所以()222()2=++a a c ,解得a c =.所以15=︒C .【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形,熟记公式是解题的关键,考查计算求解能力,属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形,法二则是通过余弦定理找到三边的关系,进而求角.9.(2020∙全国∙高考真题)ABC 中,sin 2A -sin 2B -sin 2C =sin B sin .C(1)求A ;(2)若BC =3,求ABC 周长的最大值.【答案】(1)23π;(2)3+【详细分析】(1)利用正弦定理角化边,配凑出cos A 的形式,进而求得A ;(2)方法一:利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=,利用基本不等式可求得AC AB +的最大值,进而得到结果.【答案详解】(1)由正弦定理可得:222BC AC AB AC AB --=⋅,2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅,()0,A π∈ ,23A π∴=. (2)[方法一]【最优解】:余弦+不等式由余弦定理得:2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=, 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭(当且仅当AC AB =时取等号), ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭,解得:AC AB +≤AC AB =时取等号),ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+[方法二]:正弦化角(通性通法)设,66ππαα=+=-B C ,则66ππα-<<,根据正弦定理可知sin sin sin a b cA B C===,所以sin )b c B C +=+sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦α=≤,当且仅当0α=,即6B C π==时,等号成立.此时ABC周长的最大值为3+ [方法三]:余弦与三角换元结合在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .由余弦定理得229b c bc =++,即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c .令13sin ,20,2b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩,得3sin b c θθ+=6πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭,易知当6C π=时,max ()b c +=所以ABC周长的最大值为3+【整体点评】本题考查解三角形的相关知识,涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题;方法一:求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中,结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角,利用三角函数的范围进行求解最值,如果三角形是锐角三角形或有限制条件的,则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元,实现边化角,进而转化为正弦函数求最值问题.10.(2018∙全国∙高考真题)在平面四边形ABCD 中,90ADC ∠= ,45A ∠= ,2AB =,5BD =.(1)求cos ADB ∠; (2)若DC =,求BC . 【答案】(1)5;(2)5. 【详细分析】(1)方法一:根据正弦定理得到sin sin BD AB A ADB =∠∠,求得sin 5ADB ∠=,结合角的范围,利用同角三角函数关系式,求得cos 5ADB ∠==;(2)方法一:根据第一问的结论可以求得cos sin 5BDC ADB ∠=∠=,在BCD △中,根据余弦定理即可求出.【答案详解】(1)[方法1]:正弦定理+平方关系在ABD △中,由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠∠,代入数值并解得sin 5ADB ∠=.又因为BD AB >,所以A ADB ∠>∠,即ADB ∠为锐角,所以cos 5ADB ∠=. [方法2]:余弦定理在ABD △中,2222cos 45BD AB AD AB AD =+-⋅ ,即2254222AD AD =+-⨯⨯⨯,解得:AD =所以,2254cos5ADB +-∠==. [方法3]:【最优解】利用平面几何知识如图,过B 点作BE AD ⊥,垂足为E ,BF CD ⊥,垂足为F .在Rt AEB 中,因为45A ∠=︒,=2AB ,所以AE BE ==.在Rt BED △中,因为5BD =,则DE ===.所以cos ADB ∠=[方法4]:坐标法以D 为坐标原点,DC 为x 轴,DA为y 轴正方向,建立平面直角坐标系(图略).设BDC α∠=,则(5cos ,5sin )B αα.因为45A ∠=︒,所以(0,5sin A α.从而2AB ==,又α是锐角,所以cos 5α=,cos sin ADB α∠===(2)[方法1]:【通性通法】余弦定理在BCD △,由(1)得,cos 5ADB ∠=,()2222cos 90BC BD DC BD DC ADB︒=+-⋅-∠2252525ADB =+-⨯⨯∠=,所以=5BC .[方法2]:【最优解】利用平面几何知识作BF DC ⊥,垂足为F ,易求,BF =FC =,由勾股定理得=5BC .【整体点评】(1)方法一:根据题目条件已知两边和一边对角,利用正弦定理和平方关系解三角形,属于通性通法;方法二:根据题目条件已知两边和一边对角,利用余弦定理解三角形,也属于通性通法; 方法三:根据题意利用几何知识,解直角三角形,简单易算.方法四:建立坐标系,通过两点间的距离公式,将几何问题转化为代数问题,这是解析思想的体现. (2)方法一:已知两边及夹角,利用余弦定理解三角形,是通性通法. 方法二:利用几何知识,解直角三角形,简单易算.11.(2017∙全国∙高考真题)△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2) 3【答案详解】试题详细分析:(1)由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=,再利用正弦定理将边化成角,从而得出sin sin B C 的值;(2)由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-,从而求出角A ,根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值,从而求出ABC 的周长为3+试题解析:(1)由题设得21sin 23sin a ac B A=,即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =. 故2sin sin 3B C =. (2)由题设及(1)得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-,即()1cos 2B C +=-.所以23B C π+=,故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=,即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=,即()239b c bc +-=,得b c +故ABC 的周长为3+点睛:在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题的通法思路是:全部转化为角的关系,建立函数关系式,如sin()y A x b ωϕ=++,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.12.(2017∙山东∙高考真题)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .【答案】34A π=,a =【答案详解】试题详细分析:先由数量积公式及三角形面积公式得3cos 613sin 32c A c A =-⎧⎪⎨⨯=⎪⎩,由此求A ,再利用余弦定理求a .试题解析:因为6AB AC ⋅=-, 所以cos 6bc A =-, 又3ABC S =△, 所以sin 6bc A =,因此tan 1A =-,又0πA <<, 所以3π4A =, 又3b =,所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-,得29823(a =+-⨯⨯,所以a = 【考点】解三角形【名师点评】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据.其主要方法有:化角法,化边法,面积法,运用初等几何法.注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想.13.(2017∙全国∙高考真题)△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin2B AC +=.(1)求cos B ;(2)若6a c +=,△ABC 的面积为2,求b . 【答案】(1)1517;(2)2. 【答案详解】试题详细分析:(1)利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-,再利用诱导公式化简()sin A C +,利用降幂公式化简28sin 2B,结合22sin cos 1B B +=,求出cos B ;(2)由(1)可知8sin 17B =,利用三角形面积公式求出ac ,再利用余弦定理即可求出b . 试题解析:(1)()2sin 8sin2BA C +=,∴()sin 41cosB B =-,∵22sin cos 1B B +=, ∴()22161cos cos 1B B -+=,∴()()17cos 15cos 10B B --=,∴15cos 17B =; (2)由(1)可知8sin 17B =, ∵1sin 22ABC S ac B =⋅=,∴172ac =, ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=, ∴2b =.14.(2016∙全国∙高考真题)ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.(1)求角C ;(2)若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长.【答案】(1)3C π=(2)5【答案详解】试题详细分析:(1)根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=,利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ;(2)根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =,由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析:(1)由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C(2)11sin 622∆=⇒=⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-= a b ab C c2213a b ∴+=,2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5考点:正余弦定理解三角形.15.(2015∙浙江∙高考真题)在ABC ∆中,内角 A ,B , C 所对的边分别为a , b ,c ,已知 4A π=,22b a -=122c .(1)求tan C 的值;(2)若ABC ∆的面积为3,求 b 的值. 【答案】(1)2;(2)3b =.【答案详解】(1)根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系,再将式 子作三角恒等变形即可求解;(2)根据条件首先求得sin B 的值,再结合正弦定理以及三角 形面积的计算公式即可求解.试题解析:(1)由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=, ∴2cos 2sin B C -=,又由4A π=,即34B C π+=,得cos 2sin 22sin cos B C C C -==,解得tan 2C =;(2)由tan 2C =,(0,)C π∈得sin 5C =,cos 5C =,又∵sin sin()sin()4B A C C π=+=+,∴sin B =3c b =,又∵4A π=,1sin 32bc A =,∴bc =3b =. 考点:1.三角恒等变形;2.正弦定理.16.(2015∙山东∙高考真题)ABC 中,角A B C ,,所对的边分别为,,a b c .已知cos ()39B A B ac =+==求sin A 和c 的值.【答案】,1.3【详细分析】由条件先求得sin sin C A ,,再由正弦定理即可求解.【答案详解】在ABC 中,由cos 3B =,得sin 3B =.因为A B C π++=,所以sin sin()9C A B =+=,因为sin sin C B <,所以C B <,C 为锐角,cos 9C =,因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+39393=⨯+⨯=.由sin sin a c A C =,可得sin sin 9cc A a C ===,又ac =1c =.考点03 求角和三角函数的值及范围或最值1.(2024∙天津∙高考真题)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知92cos 5163a Bbc ===,,. (1)求a ; (2)求sin A ;(3)求()cos 2B A -的值.【答案】(1)4(2)4 (3)5764【详细分析】(1)2,3a t c t ==,利用余弦定理即可得到方程,解出即可;(2)法一:求出sin B ,再利用正弦定理即可;法二:利用余弦定理求出cos A ,则得到sin A ;(3)法一:根据大边对大角确定A 为锐角,则得到cos A ,再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可;法二:直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【答案详解】(1)设2,3a t c t ==,0t >,则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯,解得2t =(负舍); 则4,6a c ==.(2)法一:因为B为三角形内角,所以sin B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =,即4sin A =sin A =法二:由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯,因为()0,πA ∈,则sin A ==(3)法一:因为9cos 016B =>,且()0,πB ∈,所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 由(2)法一知sin 16B =,。
历年高考数学真题(全国卷整理版)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013大纲全国,理1)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( ).A2.A3.( ).A4.( ).A5.A6.( ).A.-6(1-3-10)B.(1-310)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)7.(2013大纲全国,理7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是( ).A.56B.84C.112D.1688.(2013大纲全国,理8)椭圆C:22=143x y+的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是( ).A.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.(2013大纲全国,理9)若函数f(x)=x2+ax+1x在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭是增函数,则a的取值范围是( ).A.[-1,0]B.[-1,+∞)C.[0,3]D.[3,+∞)10.(2013大纲全国,理10)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( ).A11.的直线与CA12.AC1314种.(15.(2013大纲全国,理15)记不等式组0,34,34xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是__________.16.(2013大纲全国,理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,OK=32,且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°,则球O的表面积等于__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013大纲全国,理17)(本小题满分10分)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=22a,且S1,S2,S4成等比数列,求{a n}的通项公式.18.(2013大纲全国,理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.(1)求B;(2)若19.(1)(2)20.甲、乙、其中两人比赛,另一局当比赛(1)求第(2)X21.(1)求a,b;(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.22.(2013大纲全国,理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)=1ln(1+)1x xxxλ(+)-+.(1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;(2)设数列{a n}的通项111=1+23nan+++,证明:a2n-a n+14n>ln2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.答案:B解析:选B.2.答案:A解析:3.答案:B解析:4.答案:B解析:5.答案:A解析:由题意知1+x =2?x=21y-(y>0),因此f-1(x)=121x-(x>0).故选A.6.答案:C解析:∵3a n +1+a n =0,∴a n +1=13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列.∵a 2=43-,∴a 1=4.∴S 10=101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+=3(1-3-10).故选C. 7.2y 2的系数为8. 2PA k =故1PA k ∵2PA k ∴1PA k 9. 答案:D解析:由条件知f ′(x )=2x +a -21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立,即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立.∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数,∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D.10. 答案:A解析:如下图,连结AC 交BD 于点O ,连结C 1O ,过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面CH CH BD CH ∴∠设1C O∴∴11.解析:由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0),则直线AB 的方程为y =k (x -2),将其代入y 2=8x ,得k 2x 2-4(k 2+2)x +4k 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2242k k(+),x 1x 2=4.① 由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∵0MA MB ⋅=,∴(x 1+2,y 1-2)·(x 2+2,y 2-2)=0. ∴(x 1+2)(x 2+2)+(y 1-2)(y 2-2)=0, 即x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2-2(y 1+y 2)+4=0.④ 由①②③④解得k =2.故选D. 12.令t 则g (令g 当t 当t =当t =∴g (即f (13.答案:解析:由题意知cos α=3==-.故cot α=cos sin αα14.答案:480解析:先排除甲、乙外的4人,方法有44A 种,再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中,有25A 种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种).15.答案:1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.∵直线y 12BC k =则12≤a 16.解析:则OE ⊥又MN =R 又OK ⊥∴R =∴S =4π17.解:设{a n }的公差为d .由S 3=22a 得3a 2=22a ,故a 2=0或a 2=3. 由S 1,S 2,S 4成等比数列得22S =S 1S 4. 又S 1=a 2-d ,S 2=2a 2-d ,S 4=4a 2+2d , 故(2a 2-d )2=(a 2-d )(4a 2+2d ).若a2=0,则d2=-2d2,所以d=0,此时S n=0,不合题意;若a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),解得d=0或d=2.因此{a n}的通项公式为a n=3或a n=2n-1.18.解:(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以a2+c2-b2=-ac.由余弦定理得cos B=2221a c b+-=-,因此B=(2)由所以+C)+2sin A故A-C因此C=19.(1)过P作连结OA由△PAB所以OA点,故OE⊥因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE∥CD.因此PB⊥CD.(2)解法一:由(1)知CD⊥PB,CD⊥PO,PB∩PO=P,故CD⊥平面PBD.又PD⊂平面PBD,所以CD⊥PD.取PD的中点F,PC的中点G,连结FG,则FG∥CD,FG⊥PD.连结AF,由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.所以∠AFG为二面角A-PD-C的平面角.连结AG,EG,则EG∥PB.又PB⊥AE,所以EG⊥AE.设AB故AG在△所以以O为坐标原点,OE的方向为-,0,0)设|AB(2PC=AP=,AD=(2,-设平面n1=(x,yz)·(,,2)=0,n·PD=(x,y,z)·(0,,)=0,1可得2x-y-z=0,y+z=0.取y=-1,得x=0,z=1,故n1=(0,-1,1).设平面PAD的法向量为n2=(m,p,q),则n2·AP=(m,p,q)·,0)=0,n2·AD=(m,p,q)·,,0)=0,可得m+q=0,m-p=0.取m =1,得p =1,q =-1,故n 2=(1,1,-1). 于是cos 〈n 1,n 2〉=1212||||3=-·n n n n . 由于〈n 1,n 2〉等于二面角A -PD -C 的平面角,所以二面角A -PD -C的大小为π-20.解:(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”,A 2则A =A 1P (A )=P(2)X记A 3”,B 2负”.则P (X =14,P (X=1)=198.21.(1)所以C 将y =2代入上式,求得x =由题设知,=a 2=1. 所以a =1,b =(2)证明:由(1)知,F 1(-3,0),F 2(3,0),C 的方程为8x 2-y 2=8.①由题意可设l的方程为y=k(x-3),k(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≤-1,x2≥1,x1+x2=2268kk-,x1·x2=22988kk+-.于是|AF1|(3x1+1),||(1)解:由已知f(0)=0,f′(x)=21x(+),f′(0)=0.若12λ<,则当0<x<2(1-2λ)时,f′(x)>0,所以f(x)>0.若12λ≥,则当x>0时,f′(x)<0,所以当x>0时,f(x)<0.综上,λ的最小值是12.(2)证明:令12λ=.由(1)知,当x >0时,f (x )<0, 即2ln(1)22x x x x(+)>++.取1x k=,则211>ln 21k k k k k ++(+).于是212111 422(1)n n n a a n k k -⎡⎤-+=+⎢⎥+∑=2n k n -=∑=所以1.).A =B 2.A 3.(2013课标全国Ⅰ,理3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ).A .简单随机抽样B .按性别分层抽样C .按学段分层抽样D .系统抽样4.(2013课标全国Ⅰ,理4)已知双曲线C :2222=1x y a b-(a >0,b >0)的离心率为2,则C 的渐近线方程为( ). A .y =14x ±B .y =13x ±C .y =12x±D .y =±x5.(2013课标全国Ⅰ,理5)执行下面的程序框图,如果输入的t ∈[-1,3],则输出的s 属于( ).A B C D 6.,将一果不A C 7.,S m =0,S m +3,则m =( A .8.则该A .16+8πB .8+8πC .16+16πD .8+16π9.(2013课标全国Ⅰ,理9)设m 为正整数,(x +y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ,(x +y )2m+1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a =7b ,则m =( ). A .5B .6C .7D .810.(2013课标全国Ⅰ,理10)已知椭圆E :2222=1x y a b+(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为( ).A .22=14536x y +B .22=13627x y +C .22=12718x y +D .22=1189x y +11.是( A .(12.,….若b 1>c 1A .C .第(22)题~第13.若b ·c =0,则14.(2013课标全国Ⅰ,理14)若数列{an}的前n 项和33n n ,则{an}的通项公式是an =_______.15.(2013课标全国Ⅰ,理15)设当x =θ时,函数f(x)=sinx -2cosx 取得最大值,则cos θ=__________.16.(2013课标全国Ⅰ,理16)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax +b)的图像关于直线x =-2对称,则f(x)的最大值为__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013课标全国Ⅰ,理17)(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,AB BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC =90°. (1)若PB =12,求PA ; (2)若∠APB =150°,求tan ∠PBA .18.(2013课标全国Ⅰ,理18)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CA =CB ,AB =AA 1,∠BAA 1=(1)(2)19.先从4(1)(2)20.1)2+y 2=9(1)求C (2)l 求|AB |. 21.(2013课标全国Ⅰ,理21)(本小题满分12分)设函数f (x )=x 2+ax +b ,g (x )=e x (cx +d ).若曲线y =f (x )和曲线y =g (x )都过点P (0,2),且在点P 处有相同的切线y =4x +2. (1)求a ,b ,c ,d 的值;(2)若x ≥-2时,f (x )≤kg (x ),求k 的取值范围.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(2013课标全国Ⅰ,理22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE 交圆于点D.(1)证明:DB=DC;(2)设圆的半径为1,BC,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.(1)把C1(2)求C124.x)=|2x -1|+(1)当a(2)设a2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.2. ∴z =故z 3. 4. 答案:C解析:∵2c e a ==,∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2=4b 2,1=2b a ±.∴渐近线方程为12by x xa=±±.5.答案:A解析:若t∈[-1,1),则执行s=3t,故s∈[-3,3).若t∈[1,3],则执行s=4t-t2,其对称轴为t=2.故当t=6.答案:A解析:BC=2,由R2=(7.答案:C解析:∴a m=S m∴d=a m+∵S m=ma1+12m m(-)×1=0,∴112ma-=-.又∵a m+1=a1+m×1=3,∴132mm--+=.∴m=5.故选C. 8.答案:A解析:由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图中数据可知圆柱底面半径r =2,长为4,在长方体中,长为4,宽为2,高为2,所以几何体的体积为πr 2×4×12+4×2×2=8π+16.故选A. 9. 答案:B1212∵AB 的中点为(1,-1),∴y 1+y 2=-2,x 1+x 2=2,而1212y y x x --=k AB =011=312-(-)-,∴221=2b a . 又∵a 2-b 2=9,∴a 2=18,b 2=9.∴椭圆E的方程为22=1189x y.故选D.11.答案:D解析:由y=|f(x)|的图象知:①当x>0时,y=ax只有a≤0时,才能满足|f(x)|≥ax,可排除B,C.②当x≤22故由|f(当x=0当x<0∵x-212.答案:B第(22)题~第13.解析:∴b·c又∵|a|=|b|=1,且a与b夹角为60°,b⊥c,∴0=t|a||b|cos60°+(1-t),0=12t+1-t.∴t=2.14.答案:(-2)n -1解析:∵2133n n S a =+,①∴当n ≥2时,112133n n S a --=+.②①-②,得12233n n n a a a -=-, 即1nn a a -∵a 1=∴a 1=∴{a n }15.令cos 则f (x 当x =即θ=2k π+π2-α(k ∈Z ), 所以cos θ=πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭=πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin α==16.答案:16解析:∵函数f (x )的图像关于直线x =-2对称,∴f (x )满足f (0)=f (-4),f (-1)=f (-3),即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )=-x 4-8x 3-14x 2+8x +15. 由f ′(32得x 1易知,f 2)∴f (-=(-8=80-f (-2)=-=-f (-2=(-8=80-故f (x )三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解:(1)由已知得∠PBC =60°,所以∠PBA =30°.在△PBA 中,由余弦定理得PA 2=11732cos 30424+-︒=.故PA =2. (2)设∠PBA =α,由已知得PB =sin α.在△PBA sin sin(30)αα=︒-,α=4sin α. 所以tan 18.(1)因为CA 由于AB 故△AA 1B 所以OA 1因为OC 又A 1C ⊂(2)又平面所以OC 故OA ,以O 为坐标原点,OA 的方向为O -xyz .由题设知A (1,0,0),A 1(0,0),C (0,03),B (-1,0,0).则BC =(1,0,1BB =1AA =(-10),1AC =(0,). 设n =(x ,y ,z )是平面BB 1C 1C 的法向量,则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩可取n =,1,-1). 故cos 〈n ,1AC 〉=11A C A C⋅n n =5-. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为5. 19.解:B 2P (A )=P (A 1=416(2)X P (X =所以X EX =20.解:由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径r 1=1;圆N 的圆心为N (1,0),半径r 2=3. 设圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R . (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切, 所以|PM |+|PN |=(R +r 1)+(r 2-R )=r 1+r 2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2的椭圆(左顶点除外),其方程为22=143x y+(x≠-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=若l1Rr,可求得由l解得当k解得所以|当k=综上,|AB|=|AB|=187.21.解:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4.而f′(x)=2x+a,g′(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1).设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2k e x(x+1)-x2-4x-2,则F′(x)=2k e x(x+2)-2x-4=2(x+2)(k e x-1).由题设可得F(0)≥0,即k≥1.令F′(x)=0得x1=-ln k,x2=-2.①若1≤F′(x)>0.即F F(x1).而F(x1)故当x≥②若k=从而当x而F(-③若k>从而当x综上,k22.(1)由弦切角定理得,∠=∠.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(2)解:由(1)知,∠CDE =∠BDE ,DB =DC ,故DG 是BC 的中垂线,所以BG . 设DE 的中点为O ,连结BO ,则∠BOG =60°. 从而∠ABE =∠BCE =∠CBE =30°,所以CF ⊥BF ,故Rt △BCF 外接圆的半径等于2.23.解:(1)即C 1:x 2将x y ρρ=⎧⎨=⎩ρ2-8ρ所以C 1ρ2-8ρ(2)C 2由22x x ⎧+⎨+⎩解得x y ⎧⎨⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为4⎪⎭,2,2 ⎪⎝⎭.24.解:(1)当a =-2时,不等式f (x )<g (x )化为|2x -1|+|2x -2|-x -3<0. 设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3,则y =15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x ∈(0,2)时,y <0. 所以原不等式的解集是{x |0<x <2}.(2)当x不等式f 所以x ≥故2a -≥从而a 1.M ∩N =( )A .{0,1,2}B .{-1,0,1,2}C .{-1,0,2,3}D .{0,1,2,3}2.(2013课标全国Ⅱ,理2)设复数z 满足(1-i)z =2i ,则z =( ).A .-1+iB .-1-IC .1+iD .1-i3.(2013课标全国Ⅱ,理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ).A .13B .13-C .19D .19-4.(2013课标全国Ⅱ,理4)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,lα,lβ,则( ).A .α∥β且l ∥αB .α⊥β且l ⊥βC .α与β相交,且交线垂直于lD .α与β相交,且交线平行于l 5.(2013课标全国Ⅱ,理5)已知(1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5,则a=( A 6.输出的S =( A .10++B .110!++C .111++D .111!++7.(2013,(1,1,0)8.A .c >b>aB .b >c >aC .a >c >bD .a >b >c9.(2013课标全国Ⅱ,理9)已知a >0,x ,y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z =2x +y 的最小值为1,则a =( ).A .14B .12C .1D .210.(2013课标全国Ⅱ,理10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ).A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=011.(2013课标全国Ⅱ,理11)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MFA.C.12.将△ABC A.22题~第13.BD⋅=14.15.(2013课标全国Ⅱ,理15)设θ为第二象限角,若π1tan42θ⎛⎫+=⎪⎝⎭,则sinθ+cosθ=__________.16.(2013课标全国Ⅱ,理16)等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S10=0,S15=25,则nS n的最小值为__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013课标全国Ⅱ,理17)(本小题满分12分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a =b cos C +c sin B . (1)求B ;(2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.18.(2013课标全国Ⅱ,理18)(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E 分别是AB ,BB1的中点,AA 1=AC =CB =2AB . (1)(2)19.产品,品,每1t 分布X ≤150) (1)将T (2)(3)若需求量X 的概数学期望.20.分)>b>0)(1)求M 的方程;(2)C ,D 为M 上两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 面积的最大值. 21.(2013课标全国Ⅱ,理21)(本小题满分12分)已知函数f (x )=e x -ln(x +m ). (1)设x =0是f (x )的极值点,求m ,并讨论f (x )的单调性; (2)当m ≤2时,证明f (x )>0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.22.(2013课标全国Ⅱ,理22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.23.P,Q都在曲线C PQ的中点.(1)求M(2)将M24.设a,b(1)ab+2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.答案:A 解析:M ∩N =2. 答案:A 解析:z 3. 答案:C 解析:99,不∵q ≠1∴311q q--∵a 5=a 1·q 4=9,即81a 1=9,∴a 1=9.4. 答案:D解析:因为m ⊥α,l ⊥m ,lα,所以l ∥α.同理可得l ∥β.又因为m ,n 为异面直线,所以α与β相交,且l 平行于它们的交线.故选D.5. 答案:D解析:因为(1+x )5的二项展开式的通项为5C r r x (0≤r ≤5,r ∈Z ),则含x 2的项为225C x +ax ·15C x =(10+5a )x 2,所以10+5a =5,a =-1. 6. 答案:B解析:当k =2当k =3当k =4当k =10110!++,k S ,所以B 7. 答案:A 解析:8. 答案:D解析:根据公式变形,lg 6lg 21lg 3lg 3a ==+,lg10lg 21lg 5lg 5b ==+,lg14lg 21lg 7lg 7c ==+,因为lg7>lg5>lg3,所以lg2lg2lg2lg7lg5lg3<<,即c<b<a.故选D. 9.答案:B解析:由题意作出1,3xx y≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示,作直线2x+y=1,因为直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线y=a(x-3)10.答案:C解析:示,则在(-11.答案:C解析:又点F将x=0由2y=所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.12.答案:B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。
历高考数学真题全国卷版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013大纲全国,理1)设集合A ={1,2,3},B ={4,5},M ={x |x =a +b ,a ∈A ,b ∈B },则M 中元素的个数为( ).A .3B .4C .5D .6 2.(2013大纲全国,理2)3=( ).A .-8B .8C .-8iD .8i3.(2013大纲全国,理3)已知向量m =(λ+1,1),n =(λ+2,2),若(m +n )⊥(m -n ),则λ=( ).A .-4B .-3C .-2D .-14.(2013大纲全国,理4)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( ).A .(-1,1)B .11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C .(-1,0) D .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5.(2013大纲全国,理5)函数f (x )=21log 1x⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x >0)的反函数f -1(x )=( ).A .121x -(x >0)B .121x-(x≠0) C .2x -1(x ∈R) D .2x-1(x >0)6.(2013大纲全国,理6)已知数列{a n }满足3a n +1+a n =0,a 2=43-,则{a n }的前10项和等于( ).A .-6(1-3-10)B .19(1-310) C .3(1-3-10) D .3(1+3-10)7.(2013大纲全国,理7)(1+x )8(1+y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ).A .56B .84C .112D .1688.(2013大纲全国,理8)椭圆C :22=143x y+的左、右顶点分别为A 1,A 2,点P在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA 1斜率的取值范围是( ).A .13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B .33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C .1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D .3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9.(2013大纲全国,理9)若函数f (x )=x 2+ax +1x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是( ).A .[-1,0]B .[-1,+∞)C .[0,3]D .[3,+∞) 10.(2013大纲全国,理10)已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( ).A .23 B.3 C.3 D .1311.(2013大纲全国,理11)已知抛物线C :y 2=8x 与点M (-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若0MA MB ⋅=,则k =( ).A .12 B. C.212.(2013大纲全国,理12)已知函数f (x )=cos x sin 2x ,下列结论中错误的是( ).A .y =f(x)的图像关于点(π,0)中心对称B .y =f(x)的图像关于直线π=2x 对称C .f(x)的最大值为 D .f(x)既是奇函数,又是周期函数二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013大纲全国,理13)已知α是第三象限角,sin α=3-,则cot α=__________.14.(2013大纲全国,理14)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种.(用数字作答)15.(2013大纲全国,理15)记不等式组0,34,34xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是__________.16.(2013大纲全国,理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,OK=32,且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°,则球O的表面积等于__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013大纲全国,理17)(本小题满分10分)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=22a,且S1,S2,S4成等比数列,求{a n}的通项公式.18.(2013大纲全国,理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.(1)求B;(2)若sin A sin C=14,求C19.(2013大纲全国,理19)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△PAD都是等边三角形.(1)证明:PB⊥CD;(2)求二面角A-PD-C的大小.20.(2013大纲全国,理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为2,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判. (1)求第4局甲当裁判的概率;(2)X 表示前4局中乙当裁判的次数,求X 的数学期望.21.(2013大纲全国,理21)(本小题满分12分)已知双曲线C :2222=1x y a b-(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为3,直线y =2与C 的两个交点间的距离为(1)求a ,b ;(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ,B 两点,且|AF 1|=|BF 1|,证明:|AF 2|,|AB |,|BF 2|成等比数列.22.(2013大纲全国,理22)(本小题满分12分)已知函数f (x )=1ln(1+)1x x x xλ(+)-+. (1)若x ≥0时,f (x )≤0,求λ的最小值; (2)设数列{a n }的通项111=1+23n a n+++,证明:a 2n -a n +14n >ln 2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 答案:B解析:由题意知x =a +b ,a ∈A ,b ∈B ,则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素.故选B. 2. 答案:A解析:323=13=8-.故选A. 3. 答案:B解析:由(m +n )⊥(m -n )?|m |2-|n |2=0?(λ+1)2+1-[(λ+2)2+4]=0?λ=-3.故选B. 4. 答案:B解析:由题意知-1<2x +1<0,则-1<x <12-.故选B. 5. 答案:A解析:由题意知11+x=2y ?x =121y -(y >0), 因此f -1(x )=121x-(x >0).故选A. 6.答案:C解析:∵3a n +1+a n =0,∴a n +1=13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列.∵a 2=43-,∴a 1=4.∴S 10=101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+=3(1-3-10).故选C.7. 答案:D解析:因为(1+x )8的展开式中x 2的系数为28C ,(1+y )4的展开式中y 2的系数为24C ,所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D.8. 答案:B解析:设P 点坐标为(x 0,y 0),则2200=143x y +, 2002PA y k x =-,1002PA y k x =+,于是12220222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---. 故12314PA PA k k =-. ∵2PA k ∈[-2,-1],∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.9. 答案:D解析:由条件知f ′(x )=2x +a -21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立,即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立.∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数,∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D. 10. 答案:A解析:如下图,连结AC 交BD 于点O ,连结C 1O ,过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11=CH BD CH C OBD C O O ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭CH ⊥平面C 1BD ,∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角. 设AA 1=2AB =2,则2==22AC OC,222211293=22222C O OC CC ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭由等面积法,得C 1O ·CH =OC ·CC 1,即322222CH ⋅, ∴2=3CH .∴sin ∠HDC =223==13HC DC .故选A.11. 答案:D解析:由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0),则直线AB 的方程为y =k (x -2),将其代入y 2=8x ,得k 2x 2-4(k 2+2)x +4k 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2242k k(+),x 1x 2=4.① 由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∵0MA MB ⋅=,∴(x 1+2,y 1-2)·(x 2+2,y 2-2)=0. ∴(x 1+2)(x 2+2)+(y 1-2)(y 2-2)=0, 即x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2-2(y 1+y 2)+4=0.④ 由①②③④解得k =2.故选D. 12. 答案:C解析:由题意知f (x )=2cos 2x ·sin x =2(1-sin 2x )sin x . 令t =sin x ,t ∈[-1,1], 则g (t )=2(1-t 2)t =2t -2t 3. 令g ′(t )=2-6t 2=0,得=t ±. 当t =±1时,函数值为0;当t =时,函数值为;当t =. ∴g (t )max=9, 即f (x )的最大值为9.故选C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.答案:解析:由题意知cos α===.故cot α=cos sin αα. 14.答案:480解析:先排除甲、乙外的4人,方法有44A 种,再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中,有25A 种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种).15.答案:1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.∵直线y =a (x +1)过定点C (-1,0),由图并结合题意可知12BC k =,k AC =4, ∴要使直线y =a (x +1)与平面区域D 有公共点, 则12≤a ≤4. 16.答案:16π解析:如下图,设MN 为两圆的公共弦,E 为MN 的中点, 则OE ⊥MN ,KE ⊥MN ,结合题意可知∠OEK =60°.又MN =R ,∴△OMN 为正三角形.∴OE .又OK ⊥EK ,∴32=OE R ∴R =2.∴S=4πR2=16π.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解:设{a n}的公差为d.由S3=22a得3a2=22a,故a2=0或a2=3.由S1,S2,S4成等比数列得22S=S1S4.又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d,故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d).若a2=0,则d2=-2d2,所以d=0,此时S n=0,不合题意;若a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),解得d=0或d=2.因此{a n}的通项公式为a n=3或a n=2n-1.18.解:(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以a2+c2-b2=-ac.由余弦定理得cos B=222122a c bac+-=-,因此B=120°.(2)由(1)知A+C=60°,所以cos(A-C)=cos A cos C+sin A sin C=cos A cos C-sin A sin C+2sin A sinC=cos(A+C)+2sin A sin C=11+2242⨯=,故A-C=30°或A-C=-30°,因此C=15°或C=45°.19.(1)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.连结OA ,OB ,OD ,OE .由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA =PB =PD , 所以OA =OB =OD ,即点O 为正方形ABED 对角线的交点, 故OE ⊥BD ,从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点,E 是BC 的中点, 所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)解法一:由(1)知CD ⊥PB ,CD ⊥PO ,PB ∩PO =P , 故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ,所以CD ⊥PD . 取PD 的中点F ,PC 的中点G ,连结FG , 则FG ∥CD ,FG ⊥PD .连结AF ,由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD . 所以∠AFG 为二面角A -PD -C 的平面角. 连结AG ,EG ,则EG ∥PB . 又PB ⊥AE ,所以EG ⊥AE .设AB =2,则AE =,EG =12PB =1,故AG 3.在△AFG 中,FG =12CD =,AF =,AG =3,所以cos ∠AFG =22223FG AF AG FG AF +-=-⨯⨯因此二面角A -PD -C 的大小为π-解法二:由(1)知,OE ,OB ,OP 两两垂直.以O 为坐标原点,OE 的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .设|AB |=2,则A(0,0),D (0,,0),C(,0),P (0,0.PC =(),PD =(0,,).AP =(0,,AD =,0).设平面PCD 的法向量为n 1=(x ,y ,z ),则n 1·PC =(x ,y ,z)·(,)=0,n 1·PD =(x ,y ,z)·(0,,)=0,可得2x -y -z =0,y +z =0.取y =-1,得x =0,z =1,故n 1=(0,-1,1).设平面PAD 的法向量为n 2=(m ,p ,q ),则n 2·AP =(m ,p ,q=0,n 2·AD =(m ,p ,q,0)=0,可得m +q =0,m -p =0. 取m =1,得p =1,q =-1,故n 2=(1,1,-1). 于是cos 〈n 1,n 2〉=1212||||3=-·n n n n . 由于〈n 1,n 2〉等于二面角A -PD -C 的平面角,所以二面角A -PD -C的大小为πarccos3-. 20.解:(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”,A 2表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”,A 表示事件“第4局甲当裁判”.则A =A 1·A 2.P (A )=P (A 1·A 2)=P (A 1)P (A 2)=14.(2)X 的可能取值为0,1,2.记A 3表示事件“第3局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”,B 1表示事件“第1局结果为乙胜丙”,B 2表示事件“第2局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”,B 3表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙负”.则P (X =0)=P (B 1·B 2·A 3)=P (B 1)P (B 2)·P (A 3)=18,P (X =2)=P (1B ·B 3)=P (1B )P (B 3)=14,P (X =1)=1-P (X =0)-P (X =2)=1151848--=,EX =0·P (X =0)+1·P (X =1)+2·P (X =2)=98. 21.(1)解:由题设知c a=3,即222a b a +=9,故b 2=8a 2. 所以C 的方程为8x 2-y 2=8a 2.将y =2代入上式,求得x =由题设知,=a 2=1.所以a =1,b =(2)证明:由(1)知,F 1(-3,0),F 2(3,0),C 的方程为8x 2-y 2=8.①由题意可设l 的方程为y =k (x -3),k (k 2-8)x 2-6k 2x +9k 2+8=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1≤-1,x 2≥1,x 1+x 2=2268k k -,x 1·x 2=22988k k +-.于是|AF 1|==(3x 1+1),|BF 1|=3x 2+1.由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,即x1+x2=23-.故226283kk=--,解得k2=45,从而x1·x2=199-.由于|AF2|==1-3x1,|BF2|=3x2-1,故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,|AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.因而|AF2|·|BF2|=|AB|2,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.22.(1)解:由已知f(0)=0,f′(x)=22121x xxλλ(-)-(+),f′(0)=0.若12λ<,则当0<x<2(1-2λ)时,f′(x)>0,所以f(x)>0.若12λ≥,则当x>0时,f′(x)<0,所以当x>0时,f(x)<0.综上,λ的最小值是12.(2)证明:令12λ=.由(1)知,当x>0时,f(x)<0,即2ln(1) 22x xxx(+)>++.取1xk=,则211>ln21k kk k k++(+).于是212111422(1)nn nk na an k k-=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑=2121211ln 21n n k n k nk k k k k --==++>(+)∑∑=ln 2n -ln n =ln 2. 所以21ln 24n n a a n-+>. 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013课标全国Ⅰ,理1)已知集合A ={x |x 2-2x >0},B ={x |-5<x <5},则( ).A .A ∩B =B .A ∪B =RC .B ⊆AD .A ⊆B2.(2013课标全国Ⅰ,理2)若复数z 满足(3-4i)z =|4+3i|,则z 的虚部为( ).A .-4B .45-C .4D .453.(2013课标全国Ⅰ,理3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ).A .简单随机抽样B .按性别分层抽样C .按学段分层抽样D .系统抽样4.(2013课标全国Ⅰ,理4)已知双曲线C :2222=1x y a b-(a >0,b >0)的离心率为5C 的渐近线方程为( ).A .y =14x ±B .y =13x ±C .y =12x± D .y =±x5.(2013课标全国Ⅰ,理5)执行下面的程序框图,如果输入的t ∈[-1,3],则输出的s 属于( ).A .[-3,4]B .[-5,2]C .[-4,3]D .[-2,5]6.(2013课标全国Ⅰ,理6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ).A .500π3cm3B .866π3cm3C .1372π3cm3D .2048π3cm37.(2013课标全国Ⅰ,理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,则m =( ).A .3B .4C .5D .68.(2013课标全国Ⅰ,理8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A .16+8πB .8+8πC .16+16πD .8+16π9.(2013课标全国Ⅰ,理9)设m 为正整数,(x +y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ,(x +y )2m +1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a =7b ,则m =( ).A .5B .6C .7D .810.(2013课标全国Ⅰ,理10)已知椭圆E :2222=1x y a b+(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( ).A .22=14536x y +B .22=13627x y +C .22=12718x y + D .22=1189x y +11.(2013课标全国Ⅰ,理11)已知函数f (x )=220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,,,若|f (x )|≥ax ,则a 的取值范围是( ).A .(-∞,0]B .(-∞,1]C .[-2,1]D .[-2,0] 12.(2013课标全国Ⅰ,理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ,△A n B n C n 的面积为S n ,n =1,2,3,….若b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n +1=a n ,b n +1=2n nc a +,c n+1=2n nb a +,则( ). A .{Sn}为递减数列 B .{Sn}为递增数列 C .{S2n -1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D .{S2n -1}为递减数列,{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013课标全国Ⅰ,理13)已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =ta +(1-t )b .若b ·c =0,则t =__________.14.(2013课标全国Ⅰ,理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+,则{an}的通项公式是an =_______.15.(2013课标全国Ⅰ,理15)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则cos θ=__________.16.(2013课标全国Ⅰ,理16)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013课标全国Ⅰ,理17)(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.18.(2013课标全国Ⅰ,理18)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明:AB⊥A1C;(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.19.(2013课标全国Ⅰ,理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.20.(2013课标全国Ⅰ,理20)(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.21.(2013课标全国Ⅰ,理21)(本小题满分12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(2013课标全国Ⅰ,理22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.(1)证明:DB=DC;(2)设圆的半径为1,BC,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.(2013课标全国Ⅰ,理23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.(2013课标全国Ⅰ,理24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲:已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a >-1,且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时,f (x )≤g (x ),求a 的取值范围.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 答案:B解析:∵x (x -2)>0,∴x <0或x >2.∴集合A 与B 可用图象表示为: 由图象可以看出A ∪B =R ,故选B. 2. 答案:D解析:∵(3-4i)z =|4+3i|, ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45,选D. 3. 答案:C解析:因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样. 4. 答案:C解析:∵c e a ==22222254c a b e a a +===. ∴a 2=4b 2,1=2b a ±.∴渐近线方程为12b y x x a =±±. 5. 答案:A解析:若t ∈[-1,1),则执行s =3t ,故s ∈[-3,3). 若t ∈[1,3],则执行s =4t -t 2,其对称轴为t =2.故当t =2时,s 取得最大值4.当t =1或3时,s 取得最小值3,则s ∈[3,4]. 综上可知,输出的s ∈[-3,4].故选A. 6. 答案:A解析:设球半径为R ,由题可知R ,R -2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即△OBA 为直角三角形,如图.BC =2,BA =4,OB =R -2,OA =R ,由R 2=(R -2)2+42,得R =5, 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3),故选A. 7. 答案:C解析:∵S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,∴a m =S m -S m -1=0-(-2)=2,a m +1=S m +1-S m =3-0=3. ∴d =a m +1-a m =3-2=1. ∵S m =ma 1+12m m (-)×1=0,∴112m a -=-. 又∵a m +1=a 1+m ×1=3,∴132m m --+=. ∴m =5.故选C.8. 答案:A解析:由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图中数据可知圆柱底面半径r =2,长为4,在长方体中,长为4,宽为2,高为2,所以几何体的体积为πr 2×4×12+4×2×2=8π+16.故选A. 9. 答案:B解析:由题意可知,a =2C m m ,b =21C mm +,又∵13a =7b ,∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+), 即132171m m +=+.解得m =6.故选B. 10. 答案:D解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵A ,B 在椭圆上,∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①-②,得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+,即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-), ∵AB 的中点为(1,-1),∴y 1+y 2=-2,x 1+x 2=2,而1212y y x x --=k AB =011=312-(-)-,∴221=2b a .又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.∴椭圆E的方程为22=1189x y.故选D.11.答案:D解析:由y=|f(x)|的图象知:①当x>0时,y=ax只有a≤0时,才能满足|f(x)|≥ax,可排除B,C.②当x≤0时,y=|f(x)|=|-x2+2x|=x2-2x.故由|f(x)|≥ax得x2-2x≥ax.当x=0时,不等式为0≥0成立.当x<0时,不等式等价于x-2≤a.∵x-2<-2,∴a≥-2.综上可知:a∈[-2,0].12.答案:B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.答案:2解析:∵c=t a+(1-t)b,∴b·c=t a·b+(1-t)|b|2.又∵|a|=|b|=1,且a与b夹角为60°,b⊥c,∴0=t|a||b|cos 60°+(1-t),0=12t +1-t . ∴t =2. 14.答案:(-2)n -1解析:∵2133n n S a =+,① ∴当n ≥2时,112133n n S a --=+.② ①-②,得12233n n n a a a -=-, 即1nn a a -=-2. ∵a 1=S 1=12133a +, ∴a 1=1.∴{a n }是以1为首项,-2为公比的等比数列,a n =(-2)n -1. 15.答案:解析:f (x )=sin x -2cos x=x x ⎫⎪⎭,令cos α=,sin α=则f (x )α+x ),当x =2k π+π2-α(k ∈Z )时,sin(α+x )有最大值1,f (x )即θ=2k π+π2-α(k ∈Z ),所以cos θ=πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭=πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin α==16.答案:16解析:∵函数f (x )的图像关于直线x =-2对称, ∴f (x )满足f (0)=f (-4),f (-1)=f (-3), 即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )=-x 4-8x 3-14x 2+8x +15. 由f ′(x )=-4x 3-24x 2-28x +8=0,得x 1=-2x 2=-2,x 3=-2+.易知,f (x )在(-∞,-2)上为增函数,在(-2,-2)上为减函数,在(-2,-2上为增函数,在(-2+,+∞)上为减函数.∴f (-2=[1-(-2-)2][(-22+8(-2-)+15]=(-8--=80-64=16.f (-2)=[1-(-2)2][(-2)2+8×(-2)+15]=-3(4-16+15) =-9.f (-2=[1-(-22][(-22+8(-2+15]=(-8++=80-64=16. 故f (x )的最大值为16.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解:(1)由已知得∠PBC =60°,所以∠PBA =30°.在△PBA 中,由余弦定理得PA 2=11732cos 30424+-︒=.故PA =2. (2)设∠PBA =α,由已知得PB =sin α.在△PBA 中,由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-,化简得cos α=4sin α.所以tan α=4,即tan ∠PBA =4. 18.(1)证明:取AB 的中点O ,连结OC ,OA 1,A 1B . 因为CA =CB ,所以OC ⊥AB .由于AB =AA 1,∠BAA 1=60°, 故△AA 1B 为等边三角形, 所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1=O ,所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ,故AB ⊥A 1C . (2)解:由(1)知OC ⊥AB ,OA 1⊥AB . 又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ,交线为AB , 所以OC ⊥平面AA 1B 1B , 故OA ,OA 1,OC 两两相互垂直.以O 为坐标原点,OA 的方向为x 轴的正方向,|OA |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .由题设知A (1,0,0),A 1(00),C (0,0),B (-1,0,0).则BC =(1,0,),1BB =1AA =(-10),1AC =(0,. 设n =(x ,y ,z )是平面BB 1C 1C 的法向量,则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n =1,-1). 故cos 〈n ,1AC 〉=11A C A C⋅n n =5-. 所以A 1C 与平面BB1C 1C 所成角的正弦值为5. 19.解:(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2,这批产品通过检验为事件A ,依题意有A =(A 1B 1)∪(A 2B 2),且A 1B 1与A 2B 2互斥,所以P (A )=P (A 1B 1)+P (A 2B 2)=P (A 1)P (B 1|A 1)+P (A 2)P (B 2|A 2) =41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800,并且P (X =400)=41111161616--=,P (X =500)=116,P (X =800)=14.所以X 的分布列为EX =1111400+500+80016164⨯⨯⨯=506.25. 20.解:由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径r 1=1;圆N 的圆心为N (1,0),半径r 2=3.设圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R . (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切, 所以|PM |+|PN |=(R +r 1)+(r 2-R )=r 1+r 2=4.由椭圆的定义可知,曲线C 是以M ,N 为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长(左顶点除外),其方程为22=143x y +(x ≠-2).(2)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM |-|PN |=2R -2≤2, 所以R ≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R =2. 所以当圆P 的半径最长时,其方程为(x -2)2+y 2=4. 若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,可得|AB |=若l 的倾斜角不为90°,由r 1≠R 知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q ,则1||||QP RQM r =,可求得Q (-4,0),所以可设l :y =k (x +4). 由l 与圆M,解得k=4±. 当k=4时,将4y x =+22=143x y +, 并整理得7x 2+8x -8=0, 解得x 1,2=47-±.所以|AB |=2118||7x x -=.当k =|AB |=187.综上,|AB |=|AB |=187. 21.解:(1)由已知得f (0)=2,g (0)=2,f ′(0)=4,g ′(0)=4. 而f ′(x )=2x +a ,g ′(x )=e x (cx +d +c ), 故b =2,d =2,a =4,d +c =4. 从而a =4,b =2,c =2,d =2.(2)由(1)知,f (x )=x 2+4x +2,g (x )=2e x (x +1). 设函数F (x )=kg (x )-f (x )=2k e x (x +1)-x 2-4x -2, 则F ′(x )=2k e x (x +2)-2x -4=2(x +2)(k e x -1). 由题设可得F (0)≥0,即k ≥1. 令F ′(x )=0得x 1=-ln k ,x 2=-2.①若1≤k <e 2,则-2<x 1≤0.从而当x ∈(-2,x 1)时,F ′(x )<0;当x ∈(x 1,+∞)时,F ′(x )>0.即F (x )在(-2,x 1)单调递减,在(x 1,+∞)单调递增.故F (x )在[-2,+∞)的最小值为F (x 1).而F (x 1)=2x 1+2-21x -4x 1-2=-x 1(x 1+2)≥0. 故当x ≥-2时,F (x )≥0,即f (x )≤kg (x )恒成立. ②若k =e 2,则F ′(x )=2e 2(x +2)(e x -e -2).从而当x >-2时,F ′(x )>0,即F (x )在(-2,+∞)单调递增. 而F (-2)=0,故当x ≥-2时,F (x )≥0,即f (x )≤kg (x )恒成立. ③若k >e 2,则F (-2)=-2k e -2+2=-2e -2(k -e 2)<0.从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值范围是[1,e2].请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(1)证明:连结DE,交BC于点G.由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于.23.解:(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.所以C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.(2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y =0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭,π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.24.解:(1)当a =-2时,不等式f (x )<g (x )化为|2x -1|+|2x -2|-x -3<0. 设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3,则y =15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x ∈(0,2)时,y <0. 所以原不等式的解集是{x |0<x <2}. (2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时,f (x )=1+a .不等式f (x )≤g (x )化为1+a ≤x +3. 所以x ≥a -2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立.故2a -≥a -2,即43a ≤.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013课标全国Ⅱ,理1)已知集合M ={x |(x -1)2<4,x ∈R },N ={-1,0,1,2,3},则M ∩N =( ).A .{0,1,2}B .{-1,0,1,2}C .{-1,0,2,3}D .{0,1,2,3}2.(2013课标全国Ⅱ,理2)设复数z 满足(1-i)z =2i ,则z =( ).A .-1+iB .-1-IC .1+iD .1-i3.(2013课标全国Ⅱ,理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ).A .13B .13-C .19D .19-4.(2013课标全国Ⅱ,理4)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l α,l β,则( ).A .α∥β且l ∥αB .α⊥β且l ⊥βC .α与β相交,且交线垂直于lD .α与β相交,且交线平行于l5.(2013课标全国Ⅱ,理5)已知(1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5,则a =( ).A .-4B .-3C .-2D .-16.(2013课标全国Ⅱ,理6)执行下面的程序框图,如果输入的N =10,那么输出的S=( ).A.111 1+2310+++B.111 1+2!3!10!+++C.111 1+2311+++D.111 1+2!3!11!+++7.(2013课标全国Ⅱ,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为( ).8.(2013课标全国Ⅱ,理8)设a=log36,b=log510,c=log714,则( ).A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c9.(2013课标全国Ⅱ,理9)已知a>0,x,y满足约束条件1,3,3.xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z=2x+y的最小值为1,则a=( ).A.14 B.12 C.1 D.210.(2013课标全国Ⅱ,理10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ).A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=011.(2013课标全国Ⅱ,理11)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( ).A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x12.(2013课标全国Ⅱ,理12)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax +b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( ).A.(0,1) B.1122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭C.11,23⎛⎤-⎥⎝⎦D.11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。
十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)-专题06 统计
专题06 统计小题考点01 随机抽样1.(2023·全国新Ⅱ卷·高考真题)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有( ).A .4515400200C C ⋅种 B .2040400200C C ⋅种 C .3030400200C C ⋅种D .4020400200C C ⋅种2.(2017·江苏·高考真题)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件.3.(2015·四川·高考真题)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是 A .抽签法B .系统抽样法C .分层抽样法D .随机数法4.(2015·福建·高考真题)某校高一年级有900名学生,其中女生400名,按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为 .考点02 图表类统计图综合1.(2022·天津·高考真题)为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa )的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( ) A .8B .12C .16D .182.(2021·天津·高考真题)从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部,统计其评分数据,将所得400个评分数据分为8组:[)66,70、[)70,74、L 、[]94,98,并整理得到如下的频率分布直方图,则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是( ) A .20B .40C .64D .804.(2021·全国甲卷·高考真题)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( ) A .该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B .该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C .估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D .估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间5.(2020·全国新Ⅱ卷·高考真题)(多选)我国新冠肺炎疫情进入常态化,各地有序推进复工复产,下面是某地连续11天复工复产指数折线图,下列说法正确的是A .这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B .这11天期间,复产指数增量大于复工指数的增量;C .第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D .第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量; 5.(2020·天津·高考真题)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm ),将所得数据分为9组:[)[)[)[]5.31,5.33,5.33,5.35,,5.45,5.47,5.47,5.49,并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )A.10B.18C.20D.366.(2018·全国·高考真题)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:则下面结论中不正确的是A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半7.(2017·全国·高考真题)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了如图所示的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳8.(2015·北京·高考真题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油考点03 样本的数字特征一、单选题1.(2024·全国新Ⅱ卷·高考真题)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理如下表A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间2.(2022·全国乙卷·高考真题)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图:则下列结论中错误的是()A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.63.(2022·全国甲卷·高考真题)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:则()A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B .讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C .讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D .讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差4.(2020·全国·高考真题)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为1234,,,p p p p ,且411i i p ==∑,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是( ) A .14230.1,0.4p p p p ==== B .14230.4,0.1p p p p ==== C .14230.2,0.3p p p p ====D .14230.3,0.2p p p p ====5.(2020·全国·高考真题)设一组样本数据x 1,x 2,…,xn 的方差为0.01,则数据10x 1,10x 2,…,10xn 的方差为( ) A .0.01B .0.1C .1D .106.(2019·全国·高考真题)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是 A .中位数 B .平均数 C .方差D .极差7.(2017·全国·高考真题)为评估一种农作物的种植效果,选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量(单位:kg )分别为x 1,x 2,…,xn ,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A .x 1,x 2,…,xn 的平均数 B .x 1,x 2,…,xn 的标准差 C .x 1,x 2,…,xn 的最大值D .x 1,x 2,…,xn 的中位数8.(2015·安徽·高考真题)若样本数据1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为8,则数据121x −,221x −,⋅⋅⋅,1021x −的标准差为 A .8B .15C .16D .32二、多选题 9.(2023·全国新Ⅰ卷·高考真题)有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅,其中1x 是最小值,6x 是最大值,则( ) A .2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B .2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C .2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D .2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差10.(2021·全国新Ⅱ卷·高考真题)下列统计量中,能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是( )A .样本12,,,n x x x 的标准差B .样本12,,,n x x x 的中位数C .样本12,,,n x x x 的极差D .样本12,,,n x x x 的平均数11.(2021·全国新Ⅰ卷·高考真题)有一组样本数据1x ,2x ,…,n x ,由这组数据得到新样本数据1y ,2y ,…,n y ,其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数,则( )A .两组样本数据的样本平均数相同B .两组样本数据的样本中位数相同C .两组样本数据的样本标准差相同D .两组样本数据的样本极差相同三、填空题 12.(2020·江苏·高考真题)已知一组数据4,2,3,5,6a a −的平均数为4,则a 的值是 . 13.(2019·江苏·高考真题)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 .14.(2016·上海·高考真题)某次体检,5位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76,则这组数据的中位数是 (米).15.(2016·江苏·高考真题)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是 .16.(2016·上海·高考真题)某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是 (米).17.(2015·江苏·高考真题)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为 . 18.(2015·陕西·高考真题)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该数列的首项为 .19.(2015·山东·高考真题)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论:①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温; ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差; ④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为 .20.(2015·广东·高考真题)已知样本数据1x ,2x ,⋅⋅⋅,n x 的均值5x =,则样本数据121x +,221x +,⋅⋅⋅,21n x +的均值为 .考点04 变量间的相关关系1.(2024·天津·高考真题)下列图中,线性相关性系数最大的是( )A .B .C .D .2.(2023·天津·高考真题)鸢是鹰科的一种鸟,《诗经·大雅·旱麓》曰:“鸢飞戾天,鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名,寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样,收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度(单位:cm ),绘制散点图如图所示,计算得样本相关系数为0.8642r =,利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为0.75010.6105y x =+,根据以上信息,如下判断正确的为( )A .花瓣长度和花萼长度不存在相关关系B .花瓣长度和花萼长度负相关C .花萼长度为7cm 的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cmD .若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系数一定是0.86423.(2020·全国·高考真题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位:°C )的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图:由此散点图,在10°C 至40°C 之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( ) A .y a bx =+ B .2y a bx =+ C .e x y a b =+D .ln y a b x=+答案解析专题06 统计小题考点01 随机抽样1.(2023·全国新Ⅱ卷·高考真题)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有( ).A .4515400200C C ⋅种B .2040400200C C ⋅种C .3030400200C C ⋅种D .4020400200C C ⋅种【答案】D【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取4006040600⨯=人,高中部共抽取2006020600⨯=, 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有4020400200C C ⋅种. 故选:D.2.(2017·江苏·高考真题)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 件. 【答案】18【详解】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件,故答案为18. 3.(2015·四川·高考真题)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是 A .抽签法 B .系统抽样法 C .分层抽样法 D .随机数法【答案】C【详解】按照各种抽样方法的适用范围可知,应使用分层抽样.选C考点:本题考查几种抽样方法的概念、适用范围的判断,考查应用数学方法解决实际问题的能力.4.(2015·福建·高考真题)某校高一年级有900名学生,其中女生400名,按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为 . 【答案】25【详解】试题分析:设应抽取的男生人数为为x ,所以有4525900900400x x =∴=+,应抽取25人 考点:分层抽样考点02 图表类统计图综合1.(2022·天津·高考真题)为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa )的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )A .8B .12C .16D .18【答案】B【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数,进而求出第三组的总人数,从而可以求得结果. 【详解】志愿者的总人数为20(0.240.16)1+⨯=50,所以第三组人数为50×0.36=18, 有疗效的人数为18-6=12. 故选:B.2.(2021·天津·高考真题)从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部,统计其评分数据,将所得400个评分数据分为8组:[)66,70、[)70,74、L 、[]94,98,并整理得到如下的频率分布直方图,则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是( )A .20B .40C .64D .80【答案】D【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间[)82,86内的影视作品数量.【详解】由频率分布直方图可知,评分在区间[)82,86内的影视作品数量为4000.05480⨯⨯=. 故选:D.4.(2021·全国甲卷·高考真题)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是( ) A .该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B .该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C .估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D .估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率,即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率,然后求和即得到样本的平均数的估计值,也就是总体平均值的估计值,计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1,所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确; 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确;该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确;该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.68⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元),超过6.5万元,故C 错误. 综上,给出结论中不正确的是C. 故选:C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值,属基础题,样本的频率可作为总体的频率的估计值,样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值,可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距. 5.(2020·全国新Ⅱ卷·高考真题)(多选)我国新冠肺炎疫情进入常态化,各地有序推进复工复产,下面是某地连续11天复工复产指数折线图,下列说法正确的是A .这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B .这11天期间,复产指数增量大于复工指数的增量;C .第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D .第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量; 【答案】CD【分析】注意到折线图中有递减部分,可判定A 错误;注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小,可判定B 错误;根据图象,结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【详解】由图可知,第1天到第2天复工指数减少,第7天到第8天复工指数减少,第10天到第11复工指数减少,第8天到第9天复产指数减少,故A 错误;由图可知,第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差,所以这11天期间,复产指数增量小于复工指数的增量,故B 错误;由图可知,第3天至第11天复工复产指数均超过80%,故C 正确;由图可知,第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量,故D 正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解,考查理解能力,识图能力,推理能力,难点在于指数增量的理解与观测,属中档题.5.(2020·天津·高考真题)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm ),将所得数据分为9组:[)[)[)[]5.31,5.33,5.33,5.35,,5.45,5.47,5.47,5.49,并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )A .10B .18C .20D .36【答案】B【分析】根据直方图确定直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率,然后结合样本总数计算其个数即可. 【详解】根据直方图,直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为:()6.25 5.000.020.225+⨯=, 则区间[)5.43,5.47内零件的个数为:800.22518⨯=. 故选:B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用,属于中等题.6.(2018·全国·高考真题)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:则下面结论中不正确的是A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M,根据题意,得到新农村建设后的经济收入为2M,之后从图中各项收入所占的比例,得到其对应的收入是多少,从而可以比较其大小,并且得到其相应的关系,从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M,而新农村建设后的收入为2M,则新农村建设前种植收入为0.6M,而新农村建设后的种植收入为0.74M,所以种植收入增加了,所以A项不正确;新农村建设前其他收入我0.04M,新农村建设后其他收入为0.1M,故增加了一倍以上,所以B项正确;新农村建设前,养殖收入为0.3M,新农村建设后为0.6M,所以增加了一倍,所以C项正确;+=>,所以超过了经济收入新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的30%28%58%50%的一半,所以D正确;故选A.点睛:该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图,要会从图中读出相应的信息即可得结果.7.(2017·全国·高考真题)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了如图所示的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳【答案】A【分析】观察折线图,结合选项逐一判断即可【详解】对于选项A,由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份,故A错;对于选项B,观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加,故B正确;对于选项C,观察折线图,各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份,故C正确;对于D选项,观察折线图,各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳,故D正确.故选:A8.(2015·北京·高考真题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【详解】解:对于A,由图象可知当速度大于40km/h时,乙车的燃油效率大于5km/L,∴当速度大于40km/h时,消耗1升汽油,乙车的行驶距离大于5km,故A错误;对于B,由图象可知当速度相同时,甲车的燃油效率最高,即当速度相同时,消耗1升汽油,甲车的行驶路程最远,∴以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最少,故B错误;对于C,由图象可知当速度为80km/h时,甲车的燃油效率为10km/L,即甲车行驶10km时,耗油1升,故行驶1小时,路程为80km,燃油为8升,故C错误;对于D,由图象可知当速度小于80km/h时,丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,∴用丙车比用乙车更省油,故D正确故选D.考点:1、数学建模能力;2、阅读能力及化归思想.考点03 样本的数字特征一、单选题1.(2024·全国新Ⅱ卷·高考真题)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg )并整理如下表A .100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB .100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C .100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D .100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间 【答案】C【分析】计算出前三段频数即可判断A ;计算出低于1100kg 的频数,再计算比例即可判断B ;根据极差计算方法即可判断C ;根据平均值计算公式即可判断D.【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, 612183650++=<, 所以亩产量的中位数不小于 1050kg , 故 A 错误; 对于B ,亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+, 所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100−=,故B 错误; 对于C ,稻田亩产量的极差最大为1200900300−=,最小为1150950200−=,故C 正确; 对于D ,由频数分布表可得,平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,故D 错误. 故选;C.2.(2022·全国乙卷·高考真题)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h ),得如下茎叶图:则下列结论中错误的是( )A .甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B .乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C .甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D .乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6 【答案】C【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案. 【详解】对于A 选项,甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.37.57.42+=,A 选项结论正确. 对于B 选项,乙同学课外体育运动时长的样本平均数为:6.37.47.68.18.28.28.58.68.68.68.69.09.29.39.810.18.50625816+++++++++++++++=>,B 选项结论正确.对于C 选项,甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值60.3750.416=<, C 选项结论错误.对于D 选项,乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值130.81250.616=>, D 选项结论正确. 故选:C3.(2022·全国甲卷·高考真题)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:则( )A .讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B .讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C .讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D .讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 【答案】B【分析】由图表信息,结合中位数、平均数、标准差、极差的概念,逐项判断即可得解. 【详解】讲座前中位数为70%75%70%2+>,所以A 错; 讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B 对;讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C。
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参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i2、已知集合A ={1.3. m },B ={1,m} ,A U B =A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或33 椭圆的中心在原点,焦距为4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ,AB=2,CC 1=22 E 为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B 3C 2D 1(5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100(6)△ABC 中,AB 边的高为CD ,若a ·b=0,|a|=1,|b|=2,则(A) (B ) (C) (D)(7)已知α为第二象限角,sinα+sinβ=3,则cos2α=(A)5-(B )5-(C)5(D)5(8)已知F1、F2为双曲线C:x²-y²=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cos∠F1PF2=(A)14(B)35 (C)34 (D)45(9)已知x=lnπ,y=log52,12z=e,则(A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x(10) 已知函数y=x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c=(A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1(11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种(12)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=73。
动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为(A)16(B)14(C)12(D)10二。
填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上。
(注意:在试题卷上作答无效)(13)若x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。
(14)当函数取得最大值时,x=___________。
(15)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为_________。
(16)三菱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等, BAA1=CAA1=50°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。
三.解答题:(17)(本小题满分10分)(注意:在试卷上作答无效)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求c。
(18)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=22,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.(Ⅰ)证明:PC⊥平面BED;(Ⅱ)设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小。
19. (本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换。
每次发球,胜方得1分,负方得0分。
设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立。
甲、乙的一局比赛中,甲先发球。
(Ⅰ)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(Ⅱ)表示开始第4次发球时乙的得分,求的期望。
(20)设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π]。
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围。
21.(本小题满分12分)(注意:在试卷上作答无效)已知抛物线C:y=(x+1)2与圆M:(x-1)2+(12y-)2=r2(r>0)有一个公共点,且在A处两曲线的切线为同一直线l.(Ⅰ)求r;(Ⅱ)设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m、n的交点为D,求D到l的距离。
22(本小题满分12分)(注意:在试卷上作答无效........)函数f(x)=x2-2x-3,定义数列{x n}如下:x1=2,x n+1是过两点P(4,5)、Q n(x n,f(x n))的直线PQ n与x轴交点的横坐标。
(Ⅰ)证明:2≤ x n<x n+1<3;(Ⅱ)求数列{x n}的通项公式。
高考数学(全国卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。
1.复数1z i =+,z 为z 的共轭复数,则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数)0y x =≥的反函数为(A)()24x y x R =∈ (B) ()204x y x =≥(C)()24y xx R =∈ (D) ()240y x x =≥3.下面四个条件中,使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11a =,公差22,24k k d S S +=-=,则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>,将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于 (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--,点,,A AC l C α∈⊥为垂足,,,B BD l D β∈⊥为垂足,若2,1AB AC BD ===,则D 到平面ABC 的距离等于7.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4为朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线21xy e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为(A)13 (B) 12 (C) 23(D) 1 9.设()f x 是周期为2的奇函数,当01x ≤≤时,()()21f x x x =-,则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 1210.已知抛物线C :24y x =的焦点为F ,直线24y x =-与C 交于A 、B 两点,则cos AFB ∠=(A)45 (B) 35(C) 35- (D) 45-11.已知平面α截一球面得圆M ,过圆心M 且与α成60o 二面角的平面β截该球面得圆N ,脱该球面的半径为4.圆M 的面积为4π,则圆N 的面积为(A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π12. 设向量,,a b c r r r 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=or r r r r r r r g ,则c r 的最大值对于(D) 1二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.13. (201的二项展开式中,x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,sin α=,则tan 2α= . 15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点,点A C ∈,点M 的坐标为()2,0,AM 为12F AF ∠的角平分线,则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D - 的棱11BB CC 、上,且12B E EB =,12CF FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题:本大题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。
已知90,A C a c -=+=o ,求C18.(本小题满分12分)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立。
(Ⅰ)求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;(Ⅱ)X 表示该地的100为车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求X 的期望。
19.(本小题满分12分)如图,四棱锥S-ABCD 中,//,AB CD BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1. (Ⅰ)证明:SD SAB ⊥平面;(Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成的角的大小。
20.(本小题满分12分)设数列{}n a 满足11110,111n na a a +=-=--(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设11n n a b n+-=1nn kk S b==∑,证明:1n S <。
21.(本小题满分12分)已知O 为坐标原点,F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点,过F 且斜率为2-的直线l 与C 交于A 、B 两点,点P 满足0.OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r(Ⅰ)证明:点P 在C 上;(Ⅱ)设点P 关于点O 的对称点为Q ,证明:A 、P 、B 、Q 四点在同一个圆上。
22.(本小题满分12分)(Ⅰ)设函数()()2ln 12xf x x x =+-+,证明:当0x >时,()0f x > (Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽到的20个号码互不相同的概率为p ,证明:1929110p e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭普通高等学校招生全国统一考试一.选择题(1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i(2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=A.21k k -B. -21k k - C. 21k k - D. -21k k-(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1(4)已知各项均为正数的等比数列{n a },123a a a =5,789a a a =10,则456a a a = (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42 (5)353(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6)某校开设A 类选修课3门,B 类选择课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种(7)正方体ABCD-1111A B C D 中,B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A23 B 3 C 23D 6(8)设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点,点p 在C 上,∠1F p 2F =060,则P到x 轴的距离为 (A)32 (B)6236 (10)已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是 (A)(22,)+∞ (B)[22,)+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞(11)已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为俩切点,那么PA PB •u u u v u u u v的最小值为(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+(12)已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A)233 (B)433 (C) 23 (D) 833二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上. (注意:在试题卷上作答无效)(13)不等式2211x x +-≤的解集是 . (14)已知α为第三象限的角,3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= . (15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点,则a 的取值范围是 . (16)已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D ,且BF 2FD =uu r uu r,则C 的离心率为 .三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)已知ABC V 的内角A ,B 及其对边a ,b 满足cot cot a b a A b B +=+,求内角C .(18) 投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5,复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审.(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数,求X 的分布列及期望. (19)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 如图,四棱锥S-ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB//DC ,AD ⊥DC ,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱SB 上的一点,平面EDC ⊥平面SBC .(Ⅰ)证明:SE=2EB ;(Ⅱ)求二面角A-DE-C 的大小 .(20)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.(Ⅰ)若2'()1xf x x ax ≤++,求a 的取值范围; (Ⅱ)证明:(1)()0x f x -≥ .(21)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D .(Ⅰ)证明:点F 在直线BD 上;(Ⅱ)设89FA FB =u u u r u u u r g ,求BDK ∆的内切圆M 的方程 .(22)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 已知数列{}n a 中,1111,n na a c a +==-. (Ⅰ)设51,22n n c b a ==-,求数列{}n b 的通项公式; (Ⅱ)求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .普通高等学校招生全国统一考试一、选择题(1)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A U B ,则集合[u (A I B )中的元素共有(A )3个 (B )4个 (C )5个 (D )6个(2)已知1iZ+=2+I,则复数z= (A )-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i (3) 不等式11X X +-<1的解集为 (A ){x }{}011x x x 〈〈〉U (B){}01x x 〈〈(C ){}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈(4)设双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y=x 2+1相切,则该双曲线的离心率等于(A (B )2 (C (D(5) 甲组有5名同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学。