高中数学必修二--直线的方程

名称 点斜式
方程 y y1 k(x x1)
适用范围 不含垂直于x轴的直线
斜截式
y kx b
不含垂直于x轴的直线
两点式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
不含直线x=x1 （x1≠x2） 和直线y=y1 （y1≠y2）
截距式
x y 1 ab
不含垂直于坐标轴和过原 点的直线
∴ 1 |a|·|b|=1
②
2
由①②可得
(1)aabb
2
1或(2)aabb
1 .
2
由（1）解得
a b
12或ba
1，方程组（2）无解.
2
故所求的直线方程为 x y 1或 x y 1，
2 1 1 2
即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程.
答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0
∪［5，+∞）.
探究提高 方法一 运用了数形结合思想.当直线
的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，
需根据正切函数y=tan 的单调性求k的范围，数
形结合是解析几何中的重要方法.解题时，借助图
形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快
捷解题的目的.方法二则巧妙利用了不等式所表示
的平面区域的性质使问题得以解决.
B两点的坐标，表示出△ABO的面积，然后利用
相关的数学知识求最值.
解 方法一 设直线的方程为
x y 1(a 2,b 1), ab
由已知可得2 1 1.
1分
ab
(1) 2 2 1 2 1 1,ab 8.
3分
ab a b
SΔ AOB
1 ab 2
4.
当且仅当
211 ab2
,即a=4,b=2时，S△AOB取最
∴其斜率k=- A＜0,在y轴上的截距b=- C ＞0,
B
B
∴直线过第一、二、四象限.
5.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴 围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 .
解析 设所求直线的方程为 x y 1, ab
∵A（-2，2）在直线上，∴ 2 2 1
①
ab
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，
,
1 2
5,.
方法二 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为
y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0. ∵A、B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上， ∴（-2k+3+k+2）（3k-0+k+2）≤0，
即（k-5）（4k+2）≥0，∴k≥5或k≤-
1 2
.
即直线l的斜率k的取值范围是
,
1 2
(2)直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角 的 正切值 叫做这条
直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k= tan ，
倾斜角是90°的直线斜率不存在.
②过两点的直线的斜率公式
经过两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线 y2 y1 .
的斜率公式为k= x2 x1
2.直线方程的五种形式
是消去变量 得到。
知能迁移1 直线xsin -y+1=0的倾斜角的变化范
围是
（ D）
A.
0,
π 2
B.(0,π)
C.
π 4
,
π 4
D.
0,
π 4
3 4
π,
π
解析 直线x·sin -y+1=0的斜率是k=sin ,
又∵-1≤sin ≤1，∴-1≤k≤1，
∴当0≤k≤1时，倾斜角的范围是
对B过两点的直线斜率 k 1 0 3 0, 30 3
对C过两点的直线斜率 k 2 1 1 0, 30
对D过两点的直线斜率 k 1 (1) 1 0. 40 2
∴过D中两点的直线的倾斜角是钝角. 答案 D
3.下列四个命题中，假命题是
（ D）
A.经过定点P（x0，y0）的直线不一定都可以用
3
若a≠0，则设l的方程为
x a
y a
1,
∵l过点（3，2），∴ 3 2 1, aa
∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0,
综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.
方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0,
设直线方程为y-2=k(x-3),
令y=0，得x=3- 2 ,令x=0,得y=2-3k,
解 方法一 如图所示，直线PA的
斜率
kPA
2 (3) 1 (2)
5,
直线PB的斜率
kPB
02 3 (1)
1. 2
当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC
时，它的斜率变化范围是［5，+∞）；
当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜
率的变化范围是
,
1 2
∴直线l的斜率的取值范围是
D.1或4
解析
∵kMN=
m4 2m
=1，∴m=1.
2.经过下列两点的直线的倾斜角是钝角的是（ ） A.（18，8），（4，-4） B.（0，0），（ 3 ，1） C.（0，-1），（3，2） D.（-4，1），（0，-1）
解析 对A过两点的直线斜率 k 8 (4) 6 0, 18 4 7
一般式
Ax By C 0 ( A2 B2 0)
平面直角坐标系内的直线 都适用
3.过P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程 （1）若x1=x2,且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程 为 x=x1 ;
(2)若x1≠x2,且y1=y2时，直线垂直于y轴，方程为 y=y1 ;
(3)若x1=x2=0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程 为 x=0 ; (4)若x1≠x2,且y1=y2=0时，直线即为x轴，方程 为 y=0 .
4.线段的中点坐标公式 若点P1、P2的坐标分别为（x1，y1），
（x2，y2），且线段P1P2的中点M的坐标为（x,y），
则
x
x1
2
x2
坐标公 y式 .y1
2
y2
，此公式为线段P1P2的中点
基础自测
1.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等
于1，则m的值为
（ A）
A.1
B.4
C.1或3
0,
π 4
；
当-1≤k＜0时，倾斜角的范围是
3 4
π,
π
.
题型二 直线的斜率 【例2】 已知直线l过点P（-1，2），且与以 A（-2，-3），B（3，0）为端点的线段相交， 求直线l的斜率的取值范围. 思维启迪 分别求出PA、PB的斜率，直线l处 于直线PA、PB之间，根据斜率的几何意义利 用数形结合即可求.
2x x23yy320,0,得 xy
5，
4.
即两条直线的交点为（-5，-4）.
由两点式得 y 1 x 2 , 41 5 2
即5x-7y-3=0.
题型四 直线方程的应用 【例4】 （12分）过点P（2，1）的直线l交x轴、y
轴正半轴于A、B两点，求使： （1）△AOB面积最小时l的方程； （2）|PA|·|PB|最小时l的方程. 思维启迪 先求出AB所在的直线方程，再求出A，
=-
2 3
cos
,
又∵
∈
π 6
,
π 2
，∴0＜cos
2 3
cos
＜0
≤3 2
,∴ 3 ≤ 3
即- 3 ≤tan ＜0,注意到0≤ ＜ π ,
3
∴5π ≤ ＜π .
6
答案 B
探究提高 （1）求一个角的范围，是先求这个角 某一个函数值的范围，再确定角的范围. （2）在已知两个变量之间的关系式要求其中一 个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得 到另一个变量的范围，解决本题时，可以利用余 弦函数的单调性放缩倾斜角的取植范围，其目的
=± x+2,
3 4
,
即3x-4y+8=0或3x+44y-8=0.
（2）设直线l和l1的倾斜角分别为 、 ，
则
源自文库
2
0,
π 2
, 又tan
3 ,则 4
3 4
1
2
tan tan2
,
解得tan =3或tan =- 1（舍去）.
3
由点斜式得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.
（3）解方程组
题型分类 深度剖析
题型一 直线的倾斜角
【例1】
若
π 6
,
π 2
，则直线2xcos
+3y+1=0
的倾斜角的取值范围是
（）
A.
π 6
,
π 2
C.
0,
π 6
B.
5 π 6
,
π
D.
π 2
,
5π 6
思维启迪 从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的
范围，再确定倾斜角范围.
解析
设直线的倾斜角为 ,则tan
小值4，
4分
此时直线l的方程为
x 4
y 2
1,即x
2y
4
0.
6分
(2)由2 1 1,得ab a 2b 0, ab
变形得(a 2)(b 1) 2, PA PB (2 a)2 (1 0)2 (2 0)2 (1 b)2 [(2 a)2 1][(1 b)2 4] 2(a 2) 4(b 1).
1， 2
∴-2≤k≤ 1 .
2
题型三 求直线的方程 【例3】 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距 相等； （2）经过点A（-1，-3），且倾斜角等于直线y=
3x的倾斜角的2倍. 思维启迪 选择适当的直线方程形式，把所需要 的条件求出即可. 解 （1）方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a, 若a=0，即l过点（0，0）和（3，2）， ∴l的方程为y= 2 x，即2x-3y=0.
因此所求直线方程为y+3=- 3 (x+1), 4
即3x+4y+15=0.
探究提高 在求直线方程时，应先选择适当的直 线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用 斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两 点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能 表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题 时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距 是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在 的情况.
知能迁移3 求下列直线l的方程： （1）过点A（0，2），它的倾斜角的正弦值是 3 ；
5 （2）过点A（2，1），它的倾斜角是直线l1：
3x+4y+5=0的倾斜角的一半；
（3）过点A（2，1）和直线x-2y-3=0与
2x-3y-2=0的交点.
解 （1）设直线l的倾斜角为 ，
则由斜si截n 式=得53y=,±tan3
由已知3-
2
k =2-3k，解得k=-1或k=
2
,
k
3
∴直线l的方程为
y-2=-（x-3）或y-2=
2 3
(x-3),
即x+y-5=0或2x-3y=0.
（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为 ，
则所求直线的倾斜角为2 .
∵tan =3,∴tan
2 =
2 tan 1 tan2
3. 4
又直线经过点A（-1，-3），
8 4,
10分
=4k2,即k=-1时取得最小值,此时直
线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.
8分 10分
当且仅当a-2=1,b-1=2, 即a=3,b=3时，|PA|·|PB|取最小值4. 此时直线l的方程为x+y-3=0.
12分
方法二 设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k＜0),
则l与x轴、y轴正半轴分别交于
A(2 1 ,0)、B(0,1 2k).
1分
k
(1)SΔ
AOB
1 (2 2
正确；C不能表示过原点的直线即截距为0的直
线，故也正确；D不能表示斜率不存在的直线，
不正确.
4.如果A·C＜0,且B·C＜0,那么直线Ax+By+C=0
不通过 A.第一象限
B.第二象限
（ C）
C.第三象限
D.第四象限
解析 由题意知A·B·C≠0.
直线方程变为y=- A x- C ， BB
∵A·C＜0，B·C＜0，∴A·B＞0，
1 )(1 k
2k )
1 [4 (4k) ( 1)]
2
k
1 (4 4) 4.
3分
当线2且l的仅方当程-为4ky=--1=k1-,即1 k(=x--212)时,即取x最+2小y-值4=，0.此时6直分
2
（2）|PA|·|PB|= (1)2 1 4 4k 2 k
当且仅k42当 4kk422
第九编 解析几何
§9.1 直线的方程
基础知识 自主学习
要点梳理 1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基
准，x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角 叫
做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时， 规定它的倾斜角为 0°.
②倾斜角的范围为 0°≤ ＜180°.
知能迁移2 已知点A（1，3），B（-2，-1）.若直
线l：y=k（x-2）+1
与线段AB相交，则k的取值范围是
A.k≥
1 2
B.k≤-2
C.k≥ 1 或k≤-2 2
D.-2≤k≤ 1 2
（ D）
解析 由已知直线l恒过定点P（2，1），如图.
若l与线段AB相交，
则kPA≤k≤kPB，
∵kPA=-2，kPB=
方程y-y0=k(x-x0)表示
B.经过两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）
的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=
(x-x1)(y2-y1)来表示
C.与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方 程 x y 1 表示 ab
D.经过点Q（0，b）的直线都可以表示为y=kx+b
解析 A不能表示垂直于x轴的直线，故正确；B