常微分方程练习题及答案(复习题)

常微分方程练习试卷

一、

填空题。

1. 方程23

2

10d x

x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程

()x dy

f xy y dx

=经变换_______，可以化为变量分离方程 .

3. 微分方程

3230d y

y x dx

--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程

x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x

y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .

5. 朗斯基行列式

()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的

条件.

6. 方程

22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .

7. 已知

()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .

8. 方程组

20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

x x 的基解矩阵为 ．

9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.

10 .是满足方程

251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.

11.方程

的待定特解可取 的形式:

12. 三阶常系数齐线性方程

20y y y '''''-+=的特征根是

二、

计算题

1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.

2．求解方程13

dy x y dx x y +-=-+.

3. 求解方程

222()0d x dx

x dt dt

+= 。

4．用比较系数法解方程. .

5．求方程

sin y y x

'=+的通解.

6．验证微分方程

22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

7．设

3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵

)(t Φ，求

X A dt

dX

=满足初始条件

η=)0(x 的解.

8. 求方程

2213dy

x y dx

=-- 通过点

(1,0) 的第二次近似解.

9.求

的通解

试求方程组

x Ax '=的解

(),t ϕ

12(0),

ηϕηη⎡

⎤==⎢⎥⎣⎦

并求expAt

10.若

三、证明题

1. 若

(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.

2. 设

),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程

]

,[,,

])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y x

x

的皮卡逐步逼近函数序列

)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.

3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:

(i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);

(ii) 和 没有共同的零点;

(iii) 和 没有共同的零点.

4.试证：如果

)(t ϕ是

AX dt

dX

=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -=

.

答案 一.填空题。

1. 二，非线性

2.

u xy

=，

11

(()1)du dx u f u x

=+ 3.无穷多 4.3,2,1αβγ=-==-

5.必要

6.

3

y

7.1()()t t -'ΦΦ 8. 25 00t At

t e e e ⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦

9.

10.

11.

2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦

32()480dy dy

xy y dx dx

-+=

12. 1,

二、计算题

1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.

解: 设曲线方程为 , 切点为(x ,y ), 切点到点(1,0)的连线的斜率为 , 则由题意

可得如下初值问题:

. 分离变量, 积分并整理后可得 .

代入初始条件可得 , 因此得所求曲线为 .

2.求解方程13

dy x y dx x y +-=-+.

解：由

10,

30x y x y +-=⎧⎨

-+=⎩

求得1,2

x y =-= 令

1,

2,x y ξη=-⎧⎨

=+⎩

则有

.d d ηξηξξη+=-令z η

ξ=，解得

2

(1)1z dz d z ξ

ξ-=+,积分得

21

arctan ln(1)ln ||2

z z C ξ-+=+,

故原方程的解为

222

arctan

ln (1)(2)1

y x y C x -=++-++.

3. 求解方程

222()0d x dx

x dt dt

+=

解 令，直接计算可得，于是原方程化为 ，故有或，积分后得，

即

，所以 就是原方程的通解，这里为任意常数。

4.用比较系数法解方程. .

解：特征方程为 , 特征根为 .

对应齐方程的通解为 .

设原方程的特解有形如

代如原方程可得