2基本概念

二、统计量和抽样分布
1. 统计量(statistic)
由样本去推断总体情况，需要对样本进行“ 加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本 中所含的（某一方面）的信息集中起来. 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统 计量. 它是完全由样本决定的量.
1. 统计量(statistic)
定义6.1.2 （统计量） 设X 1 , 本空间中点( x1 , T T ( X1 , T ( X1 , T 或T ( X 1 , , X n为总体X的样本，T 为样 , xn )。若
1、总体与个体
•我们研究总体时，所关心的往往是总体某方面的特性
，这些特性又常常可以用一个或多个数量指标来反映．
•例如，在研究某高校学生生活消费状况时，关心的可
能是学生们每月的生活消费额，在研究某厂生产的灯泡 的质量时，关心的可能是这些灯泡的寿命和光亮度等． •这时总体指一个或多个数量指标，这些数量指标对我 们来说是不了解或者说是未知的，我们可以用一个或多
解：计算结果见下表： X(1) X(2) 1 3 X(3) 5 X(4) X(5) 6 10
x
s2 9.2
Dn* 9
5
2
3
2
5
6
8
7
9
8
10
5
7
6.4
6.8
6
7
2. 抽样分布(sampling distribution)
统计量是样本的函数，是随机变量，统计量的 分布称为抽样分布。 抽样分布是我们对总体X的分布函数或数字特 征进行估计与推断的最重要的工具。因此求出统计 量T(X1 , … , Xn)的分布函数是数理统计学的基本问 题之一。
2
2 1 2
1
2 1 2
2
1 1 2
1
1 1 2
2
2 1 2
2
2 1 2
1. 统计量(statistic)
由此可得 X(1) , X (2) , X (3) 的分布列如下:
X(1)
0
19/27
1
7/27
2
1/27
X(2)
0
7/27
1
13/27
2
7/27
p
X(3)
p
0
1/27
1
7/27
2
19/27
p
进而可得 X(1)与 X (2) 的联合分布如下:
X(2) 0 X(1) 0 7/27 9/27 3/27 1 2
1
2
0
0
4/27
0
3/27
1/27
P ( x(1) 0) P ( x(2)
19 7 7 0) ,而P ( x(1) 0, x(2) 0) 27 27 27
X (1)与X (2)并不独立
, xn )的实值函数，作样本函数
, X n )，T的取值记为t T ( x1 , , X n )为统计量。
, X n )也是一随机变量，且不带未知参数，则称
注：若无特别说明，本课程中所涉及到的样本的各种函 数T ( X 1 , 故T ( X 1 , , X n )一般均为多维连续函数， , X n )也是随机变量。
x1
0 0 0 1 0
x2 x3 x(1) x(2) x(3)
0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2
x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3)
1 0 0 1 2 1 1 2 0 0 0 2 1 2 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
个随机变量来表示它们．
也就是说，总体可以用一个随机变量及其分布来描述.
1、总体与个体
例如，研究某批灯泡的寿命时，这批灯泡中每个 灯泡的寿命是我们所关心的指标. 用X表示这个指标 后，此总体就可以用随机变量X或其分布函数F(x)表 示. 类似地，在研究某地区中学生的营养状况时， 若关心的数量指标是身高和体重，我们用X和Y分 别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变 量(X,Y)或其联合分布函数F(x,y)来表示.
2、样本(sample)
抽样的目的是为了对总体进行统计推断， 为了使抽取的样本能很好地反映总体，必须考 虑抽样方法. 最自然的想法是，从总体中抽取的样本应 该是随机的，即每个个体都有同等概率被抽取 ，且具有代表性。
2、样本(sample)
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，
它要求抽取的样本满足下面两点:
第六章 抽样分布
内容提要
1.总体、个体、简单随机样本的概念 2.统计量的概念 3.经验分布与格列汶科定理 4.样本数字特征的分布 5.抽样分布定理
一、总体、个体和简单随机样本 1.总体和个体 总体(母体)：某个问题研究对象的全体构成的集合。 个体：组成总体的每个基本单元。 例如，在研究某高校学生生活消费状况时，该校全体 学生就是一个总体，其中每一个学生是一个个体；在 人口普查中，总体是某地区的全体人口，个体就是该 地区的每一个人．
总体的要旨：总体就是一个 概率分布.
1、总体与个体
当总体分布为指数分布时，称为指数分布总体； 当总体分布为正态分布时，称为正态分布总体或简称 正态总体等等. 两个总体即使其所含个体的性质根本
不同，只要有同一的概率分布，则在统计学中就视为
是同类总体.
1、总体与个体
根据总体中包含个体的数量，可以将总体分为
1. 统计量(statistic)
例6.1.2 设X 1 , 观察值。
X x 1 2 3 3 2 8 1 6 3 10 7 9 5 2 10 6 8 5 X1 X2 X3 X4 X5
, X n为总体X的容量为5的样本，现对这
个样本作了三次观察，其值如下表，求 X , S 2 及Dn 的
1. 统计量(statistic)
抽到哪5辆是随机的
但是，一旦取定一组样本，得到的是5个具体 的数 (x1,x2,…,x5)，称为样本的一次观察值，简称 样本值 .
2、样本(sample)
我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的 值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高， 得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变 量.
1. 统计量(statistic)
【例】设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，X～
N(，
2)，其中
1 2 、 为未知参数，则X1，
X1
min{ X1，X2，…，Xn }均为统计量，
1 n 但诸如 ( X i ) 2 , n i 1
1 X1 X 2 2 3

等均不是统计量。
1. 统计量(statistic)
定义6.1.4 （极差)设X 1 ,
n
, X n为总体X的样本，则称统计
量D X ( n ) X (1)为样本的极差。
注（1）极差是样本中最大值与最小值之差，反映 了样本观察值的波动幅度。
（2）极差同方差一样是反映观察值离散程度的数 量指标，且计算方便。 思考：“方差”与“极差”的优劣？
1. 统计量(statistic)
注： X (1) min( X 1 , X ( n ) max( X 1 , , X n ), 称为最小项统计量 , X n ), 称为最大项统计量
n 1 ( ) 2 n ( 1) 2
若n为奇数，则称X 若n为偶数，则称X
为样本的中值， 为样本的中值。
2、样本(sample)
（2）若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机 样本的联合分布函数为
F ( x1 , , xn ) F x1 F x2 F xn
3. 总体、样本、样本值的关系
总体（理论分布） ？
样本
样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总 体的情况---总体分布F(x)的性质. 样本是联系二者的桥梁 总体分布决定了样本取值的概率分布，因而可 以由样本值去推断总体.
其分布 各不相同
x1 0
x2 x3 x(1) x(2) x(3) 0 0 0 0 0
x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) 1 1 0 0 1 1
x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) 2 2 0 0 2 2
0
0 1
0
1 0
1
0 0
0
0 0
0
0 0
1Βιβλιοθήκη Baidu
1 1
0
0 1
1
2 0
2
1 2
0
0 0
1
1 1
2
2 2
1
1 2
1
2 1
2
1 1
1
1 1
1
1 1
2
2 2
0
0 2 0
0
2 0 1
2
0 0 1
0
0 0 0
0
0 0 1
2
2 2 1
2
1 2
0
2 1
1
0 0
0
0 0
1
1 1
2
2 2
1
2 2
2
1 2
2
2 1
1
1 1
2
2 2
2
2 2
0
2
2
0
2
2
0
0
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
1
0
1
1
1. 统计量(statistic)
有限总体和无限总体，当总体中包含个体的数量很大
时，我们可以把有限总体看成是无限总体.
例如，将一个啤酒厂某天生产的啤酒视为一个 总体，它是有限的. 而将一枚硬币连续不断地抛掷下去得到的所 有结果（正面、反面）视为一个总体，那么它是无 限的.
2、样本(sample)
在实际问题中，要考察整个总体往往是不可能 的，因为它需要耗费太多的资源和太多的时间. 有 些破坏性的试验更是不允许对整个总体进行考察.
样本，若X1,X2,…,Xn相互独立且每一个都是与总
体X有相同分布的随机变量，则称X1,X2,…,Xn为
总体X的容量为n的简单随机样本。
简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，
当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若
不特别说明，就指简单随机样本.
2、样本(sample)
注： （1）样本X1,X2, …,Xn也可用n维随机向量 (X1,X2,…,Xn )表示。记xi为Xi的一次观察值，并称 (x1 ,x2 , …,xn )为样本的一次观察值。 样本（ X1,X2,…,Xn ）的所有可能取值的全体称为 样本空间，它是n维空间，记作Ω。样本的一次观测 值(x1 ,x2 , …,xn )就是样本空间Ω 中的一个点，即 (x1 ,x2 , …,xn )∈ Ω
1. 统计量(statistic)
例6.1.1 设X 1 , , X n为总体X的样本，其容量为n，记
n 1 n 1 2 2 X X i ，S ( X i X ) n i 1 n i 1
则 X 及S 2都是统计量，
称 X 及S 分别为样本X1 ,
样本的观察值为x1 ,
2
, X n的平均值及方差，
x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3)
2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1 1 2 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2
0 2
0 1
2 0
1 0
0 0
1 1
0 0
0 0
0 0
1 1
2 2
1 1
1
2 0 2
2
1 2 0
0
0 2 2
0
0 0 0
1
1 2 2
2
2 2 2
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体 有相同的分布. 2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
2、样本(sample)
由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样
本，它可以用与总体独立同分布的n个相互独立
的随机变量X1,X2,…,Xn表示. 定义6.1.1 设X1,X2,…,Xn为来自总体X的容量为n的
一个可行的办法是从该总体中，按一定的规则 抽取若干个个体进行观察和试验，以获得有关总体 的信息. 这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部 分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样 本容量.
2、样本(sample)
从国产轿车中抽5辆进行油耗试验，样 本容量为5.
2、样本(sample)
注意： 样本是随机变量.
, xn， X 及S 2的观察值分别记作
n 1 n 1 2 2 x xi ， s ( xi x ) n i 1 n i 1
1. 统计量(statistic)
注：一般，大写的S 2表示统计量，小写的s 2表示统计 量S 2的观察值。
1. 统计量(statistic)
定义6.1.3 （顺序统计量)设X 1 , 由样本建立n个函数 X (k ) X (k ) ( X1 , , X n ), k 1, 2, ,n 其中X ( k )为这样的统计量，它的观察值为x( k ) , x( k )为样本 X 1， ，X n的观察值x1， ，xn中由小至大排列 （即x(1) x( k ) x( n ) )后的第k 位数值，则称X (1)， X (2)， ，X ( n )为顺序统计量 , X n为总体X的样本，现
1. 统计量(statistic)
思考：
若X1 , X 2 , , X n是来自总体X的样本，那么X (1) , X (2) , , X ( n)
是否相互独立呢？
1. 统计量(statistic)
例 设总体 X 的分布如下:
X p 0 1/3 1 1/3 2 1/3
现抽取容量为 3 的样本, 共有 27 种可能取值, 列表如下