勾股定理讲义(一)

勾股定理（一）姓名_________

【知识储备】

一、直角三角形的性质：

角关系：内角和180°、两锐角互余；

边关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即：勾股定理。→

设三边长分别为a、b、c(c为斜边)，则：

a2+b2=c2c=

c2- a2=b2b

c2-b2=a2a

边角关系：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

二、直角三角形的判定：

1、有一个角是900的三角形是直角三角形；

2、两锐角互余的三角形是直角三角形；

3、勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边满足“两边的平方和等于第三边的平方”，那么这个三角形是直角三角形。

三、常用解题模型：

1、常见勾股数：①3、4、5；②6、8、10；③5、1

2、13；④7、24、25；

⑤8、15、17；⑥9、12、15；⑦9、40、41。

2、直角三角形已知两边求第三边：直接算；已知两边关系和第三边长：列方程；

3、常见三角形及其比例关系：

4、面积关系：以直角三角形三边为标准作同种同形，较小两图形的面积之和等于最大图形的面积。

【基本功训练】

1、如图是一个育苗棚，棚宽a=6m，棚高b=2．5m，棚长d=10m，则覆盖在棚斜面上的塑

m。

料薄膜的面积为_________2

（第1题） （第2题） （第5题）

2、已知在Rt △ABC 中有两边分别为3和4，则第三边的长是_____________。

3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB 比AC 多2，BC=6，求AB 、AC 的值。

4、(福建莆田中考)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A ，B ，C ，D 的面积分别为 2, 5, 1, 2. 则最大的正方形E 的面积是________。

5、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，已知AB ＝10，AC ＝8，则CD 的长为______。

6、如图，已知四边形ABCD 中，90B ∠= ，3AB =，4BC =，12CD =，13AD =；求四边形ABCD 的面积。

【专题讲解】

一、实际应用中的一题多解 例、（潍坊中考）如图，路边路灯的灯柱BC 垂直于地面，灯杆AB 的长为2米，灯杆与灯柱BC 成120°角，锥形灯罩的轴线AD 与灯杆AB 垂直，且灯罩轴线AD 正好通过道路路面的中心线（点D 在中心线上）。已知点C 与点D 之间的距离为12米，求灯柱BC 的高。（结果保留根号）

(备用图)

(备用图)

练习：（2002.天津）某片绿地的形状如图所示，其中∠A ＝60°，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB=200m ，CD=100m ，求AD 、BC 的长。（精确到1m ，3≈1.732）。

(备用图) (备用图)

方法指导：见直角和特殊角→构Rt △、构矩形或正方形。

二、小综合考题 1、与完全平方公式综合

例、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，14=+b a ，10=c ，

则Rt △ABC 的面积是（ ）。 A 、24 B 、36 C 、48 D 、60

练习：“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古

代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形

和一个小正方形拼成的一个大正方形。设直角三角形较长的直角边长

为a ，较短的直角边长为b 。若21)(2=+b a ，大正方形的面积为13，

则小正方形的面积为（ ）。

A 、3

B 、4

C 、5

D 、6

2、与全等三角形综合

例、如图，已知△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线1l 、2l 、3l 上，且相邻两平行线之间的距离均为1，则AC 的长是_________。

（例题） （练习1） （练习2）

练习：

1、如图，已知△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直

例、已知0>a ，0>b ，求以22b a +，224b a +，224b a +为三边长的三角形的

面积。

练习：

1、以12+m 、42+m 、142+m 为三边的三角形的面积为_________。

2、求代数式)40(4)4(122≤≤+-++x x x 的最小值。