高等数学应用案例(上)

v
2s s s 30 v

2 1 1 30 v
• 问题 一个人从A地出发，以每小时30km的速度到达B地，问他从B地回到 A地的速度要达到多少，才能使得往返路程的平均速度达到每小时 60km？
• 模型求解 显然，平均速度 是返回速度v的单调增 加函数，而且 2 lim v lim 60 v v 1 1 30 v 因此，有任何有限的返回速度情况下，往 返的平均速度都达不到每小时60km，除非 v .
• 模型假设 1 油罐水平放置，无倾斜发生。 2 标尺插入油罐时与铅直线无偏差。 3 上端油也位于油罐最高点即椭圆短轴上。 4 以h表示剩余油量的高度，V表示剩余油 量的体积。
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问题 在石油的生产地和加工厂，为储存原油，常使用大量的水平安置的椭圆柱储 油罐，其横向长度为L，而底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆，上端有一注油 孔，由于经常注油和取油，有时很难知道油罐中的余油量。因此，希望设计 一个精确的标尺，工人只需将该尺垂直插入至油罐的最底部，就可根据标尺 上的油痕位置的刻度获知剩油量的多少（剩油量用剩油体积表示）．
• 模型建立 2 2 x ( y b) 设截面椭圆方程为 2 1 2 a b 则高度为y处的水平截面面积为
( y b)2 2aL 2 2 A( y ) 2aL 1 b ( y b ) 2 b b 则高度为y处的水平截面面积为 2aL h 2 2 V ( h) b ( y b ) dy b 0
• 模型求解 令 y 202.5 1.5 x 0，得唯一驻点x 135 由 y 1.5 0，知y达到最大值. 由此时入住率r 67.5%，故一天的最大收
入为 y 135 [150 67.5%] 13635元.
考虑到入住房间数应为整数，故定价设在 130元到140元均比较合适.
标尺的设计
• 问题 在石油的生产地和加工厂，为储存原油， 常使用大量的水平安置的椭圆柱储油罐， 其横向长度为L，而底面是长轴为2a，短轴 为2b的椭圆，上端有一注油孔，由于经常 注油和取油，有时很难知道油罐中的余油 量。因此，希望设计一个精确的标尺，工 人只需将该尺垂直插入至油罐的最底部， 就可根据标尺上的油痕位置的刻度获知剩 油量的多少（剩油量用剩油体积表示）．
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问题 在石油的生产地和加工厂，为储存原油，常使用大量的水平安置的椭圆柱储 油罐，其横向长度为L，而底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆，上端有一注油 孔，由于经常注油和取油，有时很难知道油罐中的余油量。因此，希望设计 一个精确的标尺，工人只需将该尺垂直插入至油罐的最底部，就可根据标尺 上的油痕位置的刻度获知剩油量的多少（剩油量用剩油体积表示）．
• 模型假设 1 每间客房的最高定价为160元。 2 根据题目提供的数据，设随着房价的下 降，住房率呈线性增长。 3 宾馆每间客房定价相等。 4 以x表示客房的定价，r表示宾馆的入住 率，y表示宾馆一天的总收入。
• 问题 一个星级宾馆有150间客房，经过一段时间的经营实践，该宾馆经理 得到一些数据：如果每间客房定价为160元，住房率为55%；定价为 140元，住房率为65%；定价为120元，住房率为75%；定价为100元， 住房率为85%。欲使每天收入最高，问每间客房的定价应是多少？
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问题 在石油的生产地和加工厂，为储存原油，常使用大量的水平安置的椭圆柱储 油罐，其横向长度为L，而底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆，上端有一注油 孔，由于经常注油和取油，有时很难知道油罐中的余油量。因此，希望设计 一个精确的标尺，工人只需将该尺垂直插入至油罐的最底部，就可根据标尺 上的油痕位置的刻度获知剩油量的多少（剩油量用剩油体积表示）．
• 模型求解 计算定积分，得
hb hb 2 2 V (h) abL arcsin 2 b ( h b) b 2 b 令h 2b, 得油罐容积为V abL. 由此h-V函数关系式，可以在标尺上按高度 直接做成体积从0至abL刻度（按体积值取整 数及均匀步长更为方便）
• 模型建立 根据条件，宾馆的入住率为 r 0.005x 1.35(70 x 160) 因而宾馆一天的总收入为 y 150 x(0.005 x 1.35) 202.5 x 0.75 x 2
• 问题 一个星级宾馆有150间客房，经过一段时间的经营实践，该宾馆经理 得到一些数据：如果每间客房定价为160元，住房率为55%；定价为 140元，住房率为65%；定价为120元，住房率为75%；定价为100元， 住房率为85%。欲使每天收入最高，问每间客房的定价应是多少？
高等数学应用案例（上）
高速问题
• 问题 一个人从A地出发，以每小时30km的速 度到达B地，问他从B地回到A地的速度要 达到多少，才能使得往返路程的平均速度 达到每小时60km？
• 问题 一个人从A地出发，以每小时30km的速度到达B地，问他从B地回到 A地的速度要达到多少，才能使得往返路程的平均速度达到每小时 60km？
星级宾馆的定价
• 问题 一个星级宾馆有150间客房，经过一段时 间的经营实践，该宾馆经理得到一些数据： 如果每间客房定价为160元，住房率为55%； 定价为140元，住房率为65%；定价为120 元，住房率为75%；定价为100元，住房率 为85%。欲使每天收入最高，问每间客房 的定价应是多少？
• 问题 一个星级宾馆有150间客房，经过一段时间的经营实践，该宾馆经理 得到一些数据：如果每间客房定价为160元，住房率为55%；定价为 140元，住房率为65%；定价为120元，住房率为75%；定价为100元， 住房率为85%。欲使每天收入最高，问每间客房的定价应是多少？
ห้องสมุดไป่ตู้
• 模型假设 假设A、B两地的距离为s，从B地到A地 的速度为v，往返的平均速度为 v 。
• 问题 一个人从A地出发，以每小时30km的速度到达B地，问他从B地回到 A地的速度要达到多少，才能使得往返路程的平均速度达到每小时 60km？
• 模型建立 s 根据条件，从A到B所花费的时间为 t1 30 s 从B回到A所花费的时间为 t2 v 往返A、B的平均速度为