上高中教师资格证数学真题及答案

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4.三次函数 y ax3 bx2 cx d 的导函数图像如图 1,
则此三次函数的图像是( )。 y
A. y
x 0 B.
0
x
C.
D.
5.设 x 是代数方程 f (x) =0 的根,则下列结论不.正.确.的是( )。
A. x 是 f (x) 的因式
B. x 整除 f (x)
C. ( , 0) 是函数 y f (x) 的图像与 x 轴的交点
10
最小,并计算此概率。
图2
11. x p 是整系数方程 3x3 bx2 cx 8 0 的根,其中 p,q 互素,证明:p 整除 8,q 整 q
除 3。 12.举例说明运用分析法证明数学结论的思维过程和特点。 13.简述“尺规作图”的基本要求,并写出古希腊时期“几何作图三大问题”的具体内容。
二、简答题
x
9.【答案】解析:(1)第 1 个投资周期后资金为 A(1+ )元,
n
第 2 个投资周期后资金总额为 A(1+ x )2 元, n
......
第 n 个投资周期后,即一年后资金总额为 A(1+ x )n 元。 n
(2) lim A(1
x )n
A lim[(1
x
)
n x
]x
Aex
n
n
n
n
x
在每个投资周期中,利率均为 ;(3)总是连本带息滚动投资。
n
回答下列问题: (1)一年后的资金总额?
(2)当 n 时,资金总额是否趋于无穷?
10.某人从 A 处开车到 D 处上班,若各路段发生堵车事件是相互独立的,发生堵车的概率如图
源自文库
1
2 所示(例如路段 AC 发生堵车的概率是 )。请选择一条由 A 到 D 的路线,使得发生堵车的概率
16.方式 1.实数有加法运算,那么下列集合的关系呢? 方式 2.班里有会弹钢琴的,会打拳击的,会……(给出集合的并集的定义) 方式 3.前面学习了集合,集合的表示、基本关系,接下来呢…… (1)分析三种引入方式的特点;(6 分) (2)对于方式 3,教师可以引导学生进一步提出哪些问题;(6 分) (3)数学概念引入的关键点是什么?(4 分)如何使数学概念的引入更加自然?(4 分)
A.对任意数列 {xn} ,
xn
x0
,有
lim
n
f
(xn )
f
(x0 )
B. 0, 0 ,使得 | x x0 | ,有 | f (x) f (x0 ) |
C.存在数列{xn} , xn
x0
,有
lim
n
f (xn )
f
(x0 )
D.对任意数列 {xn} , xn x0 , 0,N,n N 有 | f (xn ) f (x0 ) |
n
即当 n 时,资金总额趋于 Aex 元,不会趋于无穷。
10.【答案】解析:由 A 到 D 的线路有两条分别是 A-B-D,A-C-D。

A-B-D
发生堵车的概率为
P1
1
(1
1 )(1 5
1) 12
1
4 5
11 12
4 15


A-C-D
发生堵车的概率为 P2
1 (1 1 )(1 10
1) 6
分析法证明的特点:从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是寻找使 结论成立的充分条件。
例如:对于任意的 a 0,b 0 ,满足基本不等式 a b ab 的证明过程。 2
分析法证明:要证 a b ab 2
只需证: a b 2 ab 只需证: a b 2 ab 0 只需证: ( a b)2 0 因为 ( a b)2 0 成立 所以 a b ab(a 0,b 0) 成立。
2015 年上半年中小学教师资格考试
数学学科知识与教学能力试题(高级中学)参考答案及解析
一、单项选择题
1.【答案】B。解析:集合 M {y | y [1,1]} , N {y | y 1},所以 M N ={1} 。
2.【答案】B。(1)当 a 0,b 0 时, a b a4 b4 a3 a b3 b ;(2) a 0,b 0 时,
③数学学习的评价重在学习过程,对于学习结果不必看重
④数学学习的评价重在激励学生学习,而不是改进教师教学
其中,不正确的为( )。
A.③④
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
二、简答题(本大题共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分)
1
9.某投资人本金为 A 元。投资策略为:(1)一年连续投资 n 次,每个投资周期为 年;(2)
0、小于 0、大于 0,因此原函数图象从左到右变化趋势依次是单调递增、单调递减、单调递增。因 此选 B。
5.【答案】D。解析:由于 x 是代数方程 f (x) 0 的根,固有 f ( ) 0 , x 是 f (x) 的
因式, x 整除 f (x) , ( , 0) 是函数 y f (x) 的图像与 x 轴的交点,但是不一定有 f '( ) 0 ,
比如 f (x) x 2。
6.【答案】A。解析:由旋转变换的矩阵表示,设 ,y 为原坐标系中坐标, ,y 为旋转后 坐标系中的坐标。则
cos sin sin cos
( α 为 逆 时 针 旋 转 的 角 度 ), 当 α =45° 时 ,
,可得


。将
‴ 代入原方程 ‴ ‴
t,可得t ‴
t。
故 ‴ ‴ t 表示的曲线是椭圆。 7.【答案】D。解析:A 选项是起止框(终端框),B 选项是输入、输出框,C 选项是处理框(执 行框),D 选项是判断框。 8.【答案】D。解析:学生数学学习评价的基本理念:“评价的主要目的是全面了解学生的数学 学习历程,激励学生的学习和改进教师的教学;应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。 对数学学习的评价要关注学生的学习结果,更要关注他们学习的过程;要关注学生数学学习的水平, 更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度,帮助学生认识自我,建立信心。”
xn
1 2

lim
n
f
( xn)
f
( 1) 2
1 ,但是
f
( x) 处处不连续。
4.【答案】B。解析: f (x) 在某个区间 I 内有导数,则 f '(x) 0(x I) f '(x) 0 在 I 内为
增函数; f '(x) 0(x I) f (x) 在 I 内为减函数。结合图 1 中导函数的函数值从左到右依次大于
2015 年上半年中小学教师资格证考试
数学学科知识与教学能力试题(高中数学)
一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)在每小题列出 的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请用 2B 铅笔把答题卡上对 应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。
1
1.已知集合 M {y | y x3 , x [1,1]}, N {y | y 3x , x 0},则集合 M N =( )。
六、教学设计题(本大题 1 小题,30 分)
17.“两角差的余弦公式”是高中数学必修 4 中的内容“经历用向量的数量积推出两角差的余弦 公式的过程,进一步体会向量方法的作用”请完成“两角差的余弦公式推导过程”教学设计中的下 列任务:
(1)分析学生已有的知识基础; (2)确定学生学习的难点; (3)写出推导过程。
r 1 ( px qy)2 1 ( p2 q2 )(x2 y2 ) 1 p2 q2 ,当且仅当 py=qx 时,取等号。 故椭圆的短半轴长为 1,长半轴长为 1 p2 q2 。
四、论述题(本大题 1 小题,15 分)
15.【参考答案】 数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程,逐步理解和掌握的,如 函数、概率、数形结合、逻辑推理、模型思想等。因此,教材在呈现相应的数学内容与思想方法时, 应根据学生的年龄特征与知识积累,在遵循科学性的前提下,采用逐级递进、螺旋上升的原则。螺 旋上升是指在深度、广度等方面都要有实质性的变化,即体现出明显的阶段性要求。 例如,函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依 赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。因此, 教材对函数内容的编排应体现螺旋上升的原则,分阶段逐渐深化。依据内容标准的要求,教材可以 将函数内容的学习分为三个主要阶段: 第一阶段,通过一些具体实例,体会数集之间的一种特殊的对应关系。从学生已掌握的具体函
1 9 10
5 6
1 4

显然 P2
P1 ,所以走
A-C-D
1
线路发生堵车概率最小,概率为
4

11.【答案】证明:由已知可得,整系数方程 3x3 bx2 cx 8 0 可分解为
qx - p lx2 mx n 0 ,其中 l,m,n 均为整数,
展开后,得 lqx3 mq - lp x2 nq - mp x-np 0
与原方程比较得, lp 3, np 8 。
因为 l,n 均为整数,所以 p 整除 8,q 整除 3。 12.【参考答案】 从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的 条件,或者归结为定义、公理、定理等,这种思维方法称为分析法。 分析法证明的思维过程:用 Q 表示要证明的结论,则分析法的思维过程可用框图表示为:
a b a4 b4 a3 a b3 b ;(3)当 a 0,b 0 时,显然有 a b a3 a b3 b 成立,
因此 a b 是 a3 a b3 b 成立的充分必要条件。
3 .【 答 案 】 C 。 解 析 : 设 函 数
f
(
x)
1
,
x为有理数

0 ,其他
xn
n ;则有 2n 1
2
13.【参考答案】 尺规作图的基本要求: (1)尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质,跟现实中的并非完全相同;
(2)直尺必须没有刻度,无限长,且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一 起,不可以在上画刻度。
(3)圆规可以开至无限宽,但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度。 古希腊时期“几何作图三大问题”:这是三个作图题,只使用圆规和直尺求出下列问题的解,直 到十九世纪被证实这是不可能的: (1)立方倍积,即求作一立方体的边,使该立方体的体积为给定立方体的两倍。 (2)化圆为方,即作一正方形,使其与一给定的圆面积相等。 (3)三等分角,即分一个给定的任意角为三个相等的部分。
三、解答题
14.【答案】已知椭圆即为柱面 x2 y2 1 与平面π:px+qy+z=0 的交线。
平面π经过坐标原点,椭圆的中心在坐标原点。设椭圆上任一点 P(x,y,z),则原点 O 与 P 的距离 r 的最大、小值即为椭圆的长半轴与短半轴长。
r x2 y2 z2 1 z2 ,当 z=0 时, rmin 1 而 r x2 y2 z2 1 z2 1 ( px qy)2 ,由柯西不等式得
A. (,1]
B. {1}
C.
D. (1,1]
2. a, b R ,“ a b ”是“ a3 | a | b3 | b | ”成立的( )。
A.充分条件但不是必要条件 C.必要条件但不是充分条件
B.充分必要条件 D.以上都不是
3.与命题“ y f (x) 在 x0 连续”不.等.价.的命题是( )。
数和函数的描述性定义入手,引导学生联系自己的生活经历和实际问题,尝试列举各种各样的函数, 构建函数的一般概念。
第二阶段,再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究,加深学生对函数概念的理解。引 导学生不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,体验指数函数、对数函数等函数与 现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。
三、解答题(本大题 1 小题,10 分)
x2 y2 1,
14.已知方程
px
qy
z
0
表示的几何图形是椭圆,求出其短半轴与长半轴的长度。
四、论述题(本大题 1 小题,15 分)
15.以高中阶段的函数概念为例,阐述数学课程内容的呈现如何体现螺旋上升的原则?
五、案例分析题(本大题 1 小题,20 分)阅读案例,并回答问题。
D. f ( ) 0
6. x2 xy y2 1表示的曲线是( )。
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
7.下列图形符号中表示算法程序“判断框”的是( )。
D.两条相交直线
A.
B.
C.
D.
8.下面是关于学生数学学习评价的认识:
①通过考查学生的知识技能就可以对学生的数学学习进行全面评价
②通过考查学生的情感与态度就可以对学生的数学学习水平进行评价
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