平面向量极化恒等式
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平面向量
巧用极化恒等式，妙解 一类向量题
如图， AB a, AD b， 试证明平行四边形四边 和对角线性质。
AC AC a b a 2a b b
DB DB
2 2 2 2
2
2
a b a
2
2 2
2
2
（1）
（2）
2a b b
2
2 2 2 2 （1）+（2）得： AC DB 2 a b 2 AB AD
（1）—（2）得：
2 2 1 a b a b ————极化恒等式 ab＝ 4
应用一：求值
例1.(2012 浙江15)在ABC中，M是BC的中点， AM 3, BC 10, 则 AB AC
A
B
M
C
应用二：求范围
例2.已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O， 点P是圆O上的一个动点，则 PA PB的取值 范围是 ____;
C
P
A
D
B
跟踪练习： o AB 4, AC 2, BAC 60 , AP 2, 则( PB PC) max _______
跟踪练Βιβλιοθήκη Baidu：
AB 上一定点， 例 3. （2013 浙江理 7） 在 ABC 中, P 0 是边
1 满 足 P0 B AB ， 且 对 于 边 AB 上 任 一 点 P ， 恒 有 4
圆内且满足 OC OA (1 )OB (0 1) , 则 CM CN 的 最小值为 A．-2 B．-1 C．-3 D．-4
4
跟踪练习： 1.正ABC边长为4，P为AC上一点，则( BP CP ) min 3.在RtABC中，AC 2, BC 2, 已知点P是ABC 内一点，则PC ( PA PB)的最小值是 _______
PB PC P 0 B PC 0 。则(
A.
)
ABC 90
B. BAC 90 D. AC BC
C. AB AC
变 （浙江省五校联盟 2013 第二次联考）已知圆 O 的半径为 4. 3 ．
2 2, A、B 是圆上两点且 AOB , MN 是一条直径 , 点 C 在 3
巧用极化恒等式，妙解 一类向量题
如图， AB a, AD b， 试证明平行四边形四边 和对角线性质。
AC AC a b a 2a b b
DB DB
2 2 2 2
2
2
a b a
2
2 2
2
2
（1）
（2）
2a b b
2
2 2 2 2 （1）+（2）得： AC DB 2 a b 2 AB AD
（1）—（2）得：
2 2 1 a b a b ————极化恒等式 ab＝ 4
应用一：求值
例1.(2012 浙江15)在ABC中，M是BC的中点， AM 3, BC 10, 则 AB AC
A
B
M
C
应用二：求范围
例2.已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O， 点P是圆O上的一个动点，则 PA PB的取值 范围是 ____;
C
P
A
D
B
跟踪练习： o AB 4, AC 2, BAC 60 , AP 2, 则( PB PC) max _______
跟踪练Βιβλιοθήκη Baidu：
AB 上一定点， 例 3. （2013 浙江理 7） 在 ABC 中, P 0 是边
1 满 足 P0 B AB ， 且 对 于 边 AB 上 任 一 点 P ， 恒 有 4
圆内且满足 OC OA (1 )OB (0 1) , 则 CM CN 的 最小值为 A．-2 B．-1 C．-3 D．-4
4
跟踪练习： 1.正ABC边长为4，P为AC上一点，则( BP CP ) min 3.在RtABC中，AC 2, BC 2, 已知点P是ABC 内一点，则PC ( PA PB)的最小值是 _______
PB PC P 0 B PC 0 。则(
A.
)
ABC 90
B. BAC 90 D. AC BC
C. AB AC
变 （浙江省五校联盟 2013 第二次联考）已知圆 O 的半径为 4. 3 ．
2 2, A、B 是圆上两点且 AOB , MN 是一条直径 , 点 C 在 3