平面向量极化恒等式

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高三数学复习微专题之平面向量篇极化恒等式问题教师

极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及，但在处理一类向量数量积时有奇效，备受师生喜爱.1. 极化恒等式： 221()()4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣⎦ 2. 极化恒等式三角形模型：在中，D 为BC 的中点，则ABC ∆221||||4AB AC AD BC ⋅=- 3. 极化恒等式平行四边形模型：在平行四边形ABCD 中，221(||||)4AB AD AD BD ⋅=-类型一利用极化恒等式求值典例1.如图在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，E,F 是AD 上的两个三等分点，则4,1,BA CA BF CF ⋅=⋅=-值为______.BE CE ⋅【答案】78【解析】设2222,,||||94DC a DF b BA CA AD BD b a ==⋅=-=-= 2222||||1BF CF FD BD b a ⋅=-=-=- 解得22513,88b a == 22227||||48BE CE ED BD b a ∴⋅=-=-=高三数学复习微专题之平面向量篇第二讲：极化恒等式问题类型二利用极化恒等式求最值或范围典例2 在三角形ABC 中，D 为AB 中点，，E,F 分别为BC,AC 上的动点，且90,4,3C AC BC ︒∠===EF=1，则最小值为______DE DF ⋅【答案】154【解析】设EF 的中点为M ，连接CM ，则 1||2CM =即点M 在如图所示的圆弧上，则222211115||||||||4244DE DF DM EM DM CD ⋅=-=---= ≧类型三利用极化恒等式求参数典例3 设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B=AB,且对于边AB 上任一点P ，恒有14,则三角形ABC 形状为_______.00PB PC P B P C ⋅≥⋅【答案】C 为顶角的等腰三角形. 【解析】取BC 的中点D ，连接PD,P 0D.00PB PC P B P C ⋅⋅ …2222011||||||44PD BC P b BC ∴-- …,设O 为BC 的中点，0||PD P D ∴…0P D AB ∴⊥OC AB AC BC ∴⊥∴=即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.模拟：1.已知是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则的最小值是_____ABC ∆()PA PB PC ⋅+【答案】 32-【解析】设BC 的中点为O ，OC 的中点为M,连接OP,PM,当且仅当M 与P 重合时取等号222133()22||||2||222PA PB PC PO PA PM AO PM ∴⋅+=⋅=-=-≥-2．直线与圆相交于两点M,N,若，P 为圆O 上任意一点，则0ax by c ++=220:16x y +=222c a b =+的取值范围为_______PM PN ⋅【答案】【解析】[6,10]-圆心O 到直线的距离为0ax by c ++=1d ==设MN 的中点为A ，222||||||15PM PN PA MA PA ⋅=-=-||||||||||OP OA PA OP OA -+ (2)3||5,||15[6,10]PA PM PN PA ∴⋅=-∈- ……3．如图，已知B,D 是直角C 两边上的动点，12,||,()6AD BD AD BAD CM CA CB π⊥=∠==+，则的最大值为______1()2CN CD CA =+CM CN ⋅【答案】【解析】14)4+设MN 的中点为G ，BD 的中点为H ，21||4CM CN CG ⋅=- 221||||16MN CG =-21111||||||4)22164CG CH HG CM CN ⎛+=+⋅+-= ⎝……所以的最大值为CM CN ⋅14)4+4.如图在同一平面内，点A 位于两平行直线m,n 的同侧，且A 到m,n 的距离分别为1，3，点B,C 分别在m,n上，且，则的最大值为______||5AB AC +=AB AC ⋅【答案】【解析】连接BC ，取BC 的中点D ，则，21422AB AC AD BD ⋅=- 又故15||22AD AB AC =+= 2225251444AB AC BD BC ⋅=-=- 又因为所以min312BC =-=21()4max AB AC ⋅= 5.在半径为1的扇形AOB 中，,C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则的最小值为60AOB ︒∠=OP BP ⋅_____【答案】 41-【解析】取OB 的中点D ，连接PD ，则于是只要求求PD 的最小值即可，22214OP BP PD OD PD ⋅=-=-由图可知，当时，即所求最小值为 PD AB ⊥ min PD =41-6.已知线段AB 的长为2，动点C 满足（为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，为半径的CA CB λ⋅= λ12圆内，则负数的最大值为______ λ【答案】 43-【解析】如图取AB 的中点为D ，连接CD,则21CA CB CD λ⋅=-=又由点C 总不在以点B 为圆心，为半径的圆内，，则负数的最大10CD λ=-< (1212)λ值为43-7.已知A(0,1)，曲线横过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且的最小值为2，则4:log C y x =AB AP ⋅α=______ 【答案】 e 【解析】如图，B （1，0），则，连接BP ，取BP 的中点C ，连接AC,AB =因为的最小值为2，则有上式等价于，AB AP ⋅ ()2222max2AC BCAB -===222AB BC AC +…即当且仅当P 与B 重合时取等号，此时曲线C 在B 处的切线斜率等于1，90ABP ︒∠…即11n ,e l a α==8.若平面向量满足，则的最小值为_____,a b |2|3a b -≤a b ⋅ 【答案】98-【解析】222222(2)(2)|2||2|0398888a b a b a b a b a b +--+---⋅==≥=-当且仅当，即时取最小值|2|0,|2|3a b a b +=-=33||,||,,42a b a b π==<>= a b ⋅ 98-9.在正方形ABCD 中，AB=1，A,D 分别在x,y 轴的非负半轴上滑动，则的最大值为_____OC OB ⋅【答案】 2【解析】如图取BC 的中点E ，取AD 的中点F ，所以222224()()(2)(2)41OC OB OC OB OC OB OE BE OE ⋅=+--=-=- 214OC OB OE ⋅=- 而，113|||||||||||1222OE OF FE AD FE ≤+=+=+= 当且仅当时取等号，所以的最大值为2,OF AD OA OD ⊥=OC OB ⋅10.已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点，以A 为圆心,AE 为半径作弧交AD 于F ，若P 为劣弧EF上的动点，则的最小值为______PC PD ⋅【答案】5-【解析】如图取CD 的中点M.222224()()(2)(2)44PC PD PC PD PC PD PM DM PM ⋅=+--=-=- 所以21PC PD PM ⋅=-而，当且仅当P,Q 重合时等号成立||1||||||PM PM AP AE +=+≥=所以的最小值为PC PD ⋅21)15--=-11.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，求的范围.PM PN ⋅【答案】 [0,2]【解析】如图当弦MN 的长度最大时，为内切球的直径，此时O 为MN 的中点，所以222224()()(2)(2)44PM PN PM PN PM PN PO OM PO ⋅=+--=-=- 21PM PN PO ⋅=-而，所以的范围为1||PO ≤≤PM PN ⋅ [0,2]。

平面向量的极化恒等式及其应用

平面向量的极化恒等式及其应用2AB22AC2BC2则动点P的轨迹一定通过ABC的------A.外心B.内心C.重心D.垂心平面向量的极化恒等式及其应用一、极化恒等式的由来定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍。

证法1（向量法）：设 $AB=a,AD=b$，则$AC=a+b,DB=a-b$，$AC+DB=2(a+b)=2(AB+AD)$。

证法2（解析法）：证法3（余弦定理）：推论1：由 $AC+DB=2(AB+AD)$ 知，$2AO+2OB=2(AB+AD)$，即 $AB+AD=2(AO+OB)$。

推论2：$a\cdot b=\dfrac{1}{4}(a+b)^2-\dfrac{1}{4}(a-b)^2$，即 $AB\cdot AD=AO-OB$。

推论3：在 $\triangle ABC$ 中，$O$ 是边 $BC$ 的中点，则 $AB\cdot AC=AO-OB$，即极化恒等式的几何意义。

二、平行四边形的一个重要结论平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍。

AC+DB=2(AB+AD)$。

三、三角形中线的一个性质AB+AC=2(AO+OB)$。

推论1：$AO=\dfrac{1}{2}(AB+AC)-OB$。

推论2：$AO=\dfrac{1}{2}(AB+AC)-BC$。

应用】已知点 $P$ 是直角三角形 $ABC$ 斜边 $AB$ 上中线 $CD$ 的中点，则 $\dfrac{PA+PB}{PC^2}=-\dfrac{1}{2}$。

四、三角形“四心”的向量形态1.$O$ 是平面上一定点，$A,B,C$ 是平面上不同的三点，动点 $P$ 满足 $\dfrac{AP}{AB}+\dfrac{AP}{AC}=\infty$，则动点 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的外心 $O$，即$OP=OA+\lambda\cdot\overrightarrow{AB}+\mu\cdot\overrighta rrow{AC}$，$\lambda,\mu\in\mathbb{R}$。

平面向量的极化恒等式(解析版)

专题八平面向量的极化恒等式利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决．1．极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．2．平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD ，O 是对角线交点．则：(1)AB →·AD →＝14[|AC |2－|BD |2]．3．三角形模式：如图(2)，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，则AB →·AC →＝|AD |2－|BD |2．三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．考点一平面向量数量积的定值问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值．【例题选讲】[例1] (1)(2014·全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A 解析通法由条件可得，(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减得4a·b ＝4，所以a ·b ＝1．极化恒等式 a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14(10－6)＝1．(2) (2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________．AABC图(2)答案－16 解析因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：AB →·AC →＝|AM |2－14|BC |2＝9－14×100＝－16．(3)如图所示，AB 是圆O 的直径，P 是AB 上的点，M ，N 是直径AB 上关于点O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →＝( )A ．13B ．7C ．5D ．3答案 C 解析连接AP ，BP ，则PM →＝P A →＋AM →，PN →＝PB →＋BN →＝PB →－AM →，所以PM →·PN →＝(P A →＋AM →)·(PB →－AM →)＝P A →·PB →－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝AM →·AB →－|AM →|2＝1×6－1＝5．(4)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________．答案 32 解析连结EG ，FH ，交于点O ，则EF →·FG →＝EF →·EH →＝EO →2－OH →2＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，GH →·HE →＝GH →·GF →＝GO →2－OH →2＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32．(5) (2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________．答案 78 解析极化恒等式法设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n ．根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4， FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1．联立解得n 2＝58，m 2＝138．因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78．即BE →·CE →＝78．坐标法以直线BC 为x 轴，过点D 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy ，如图：设A (3a ，3b )，B (－c ，0)，C (－c ，0)，则有E (2a ，2b )，F (a ，b ) BA →·CA →＝(3a ＋c ，3b )·(3a －c ，3b )＝9a 2－c 2＋9b 2＝4 BF →·CF →＝(a ＋c ，b )·(a －c ，b )＝a 2－c 2＋b 2＝－1，则a 2＋b 2＝58，c 2＝138BE →·CE →＝()2a －c ，2b ·()2a －c ，2b ＝4a 2－c 2＋4b 2＝78．基向量 BA →·CA →＝(DA →－DB →)(DA →－DC →)＝4AD →2－BC →24＝36FD →2－BC →24＝4，BF →·CF →＝(DF →－DB →)(DF →－DC →)＝4FD →2－BC →24＝－1，因此FD →2＝58，BC →＝132，BE →·CE →＝(DE →－DB →)(DE →－DC →)＝4ED →2－BC →24＝16FD →2－BC →24＝78．(6)在梯形ABCD 中，满足AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3，AB →·DC →＝2，则AC →·BD →的值为________．BC答案 4 解析过A 点作AE 平行于DC ，交BC 于E ，取BE 中点F ，连接AF ，过D 点作DH 平行于AC ，交BC 延长线于H ，E 为BH 中点，连接DE ，22212AB DC AB AE AF BF AF ⋅=⋅=-=-=，AC ⋅ 2224BD DB DH BE DE DE =-⋅=-=-，又1FE BE BF =-=，AD ∥BC ，则四边形ADEF 为平行四边形，AF DE =，1AC BD ∴⋅=．B【对点训练】1．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________．1．答案 1 解析取AE 中点O ，设|AE |＝x (0≤x ≤1)，则|AO |＝12x ，∴DE →·DA →＝|DO |2－|AO |2＝12＋⎝⎛⎭⎫12x 2 －14x 2＝1． 2．如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP →＝ ( )A ．1B ．116C ．14D ．－122．答案 B 解析取AO 中点Q ，连接PQ ，AP →·OP →＝P A →·PO →＝PQ 2－AQ 2＝516－14＝116．3．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →的值是________．3．答案 9 解析因为AB →·AD →＝AO →2－OD →2＝9－OD →2＝－7⇒OD →2＝16，所以BC →·DC →＝CO →2－OD →2＝25 －16＝9．4．已知点A ，B 分别在直线x ＝3，x ＝1上，|OA →－OB →|＝4，当|OA →＋OB →|取最小值时，OA →·OB →的值是_____． A ．0 B ．2 C ．3 D ．64．答案 C 解析如图，点A ，B 分别在直线x ＝1，x ＝3上，|AB →|＝4，当|OA →＋OB →|取最小值时，AB 的中点在x 轴上，OA →·OB →＝OM →2－BM →2＝4－4＝0．5．在边长为1的正三角形ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于( ) A ．16 B ．29 C ．1318 D ．135．答案 C 解析解法一：因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以BD ＝DE ＝CE ＝13，在△ABD 中，AD 2＝BD 2＋AB 2－2BD ·AB ·cos60°＝⎝⎛⎭⎫132＋12－2×13×1×12＝79，即AD ＝73，同理可得AE ＝73，在△ADE 中，由余弦定理得cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 22AD ·AE ＝79＋79－⎝⎛⎭⎫1322×73×73＝1314，所以AD →·AE →＝|AD →|·|AE →|cos ∠DAE ＝73×73×1314＝1318．解法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A ⎝⎛⎭⎫0，32，D ⎝⎛⎭⎫－16，0，E ⎝⎛⎭⎫16，0，所以AD →＝(－16，－32)，AE →＝⎝⎛⎭⎫16，－32，所以AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫－16，－32·⎝⎛⎭⎫16，－32＝－136＋34＝1318．极化恒等式法取DE 中点F ，连接AF ，则AD →·AE →＝|AF |2－|DF |2＝34－136＝1318．6．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( )A ．89B ．109C ．259D ．2696．答案 B 解析坐标法由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝⎛⎭⎫23，23，F ⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23，AF →＝⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109．极化恒等式法取EF 中点M ，连接AM ，则AE →·AF →＝|AM |2－|EM |2＝54－536＝109．7．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是( )A ．44B ．22C ．24D ．727．答案 B 解析如图，取AB 中点E ，连接EP 并延长，交AD 延长线于F ，AP →·BP →＝EP 2－AE 2＝EP 2－16＝2，∴EP ＝32，又∵CP →＝3PD →，AE →＝EB →，AB →＝DC →，∴AE ＝2DP ，即△F AE 中，DP 为中位线，AF ＝2AD ＝10，AE ＝12AB ＝4，FE ＝2PE ＝62，AP 2＝40，AD →·AB →＝AF →·AE →＝AP 2－EP 2＝40－(32)2＝22．8．如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠A ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝2AE →，若F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为________．A BD CE F8．答案 4 解析取BD 的中点N ，连接NF ，EB ，则BE ⊥AE ，∴BE ＝23．在△DEB 中．FN ∥12EB ．∴FN＝3．BF →·DE →＝2FB →·FD →＝2(FN 2－DN 2)＝4．AB DCE FN9．如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，D 为边BC 的中点，若CD ⊥AD ，垂足为E ，则EB →·EC →＝________．9．答案－277 解析由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2 AB ·AC ·cos120°＝19，即BC ＝19，因为AB →·AC →AD 2－CD 2＝|AB |·|AC |·cos120°＝－3，所以|AD |＝72，因为S △ABC ＝2S △ADC ，则12|AB |·|AC |·sin120°＝2·12|AD ||CE |，解得|CE |＝3217，在Rt △DEC 中，|DE |＝CD 2－CE 2＝5714，所以EB →·EC →＝|ED |2－|CD |2＝－277．B10．在平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB ＝1，EF ＝2，CD ＝5，若AD →·BC →＝15．则AC →·BD →的值为________．10．答案解析极化恒等式如图，取, , , AB AC CD BD 中点, , , H I J K ，四边形ABCD 中，易知, , EF KI HJ 三线共点于O ，2215154AD BC HK HI HO IO ⋅=⇒⋅==-，又4AC BD HE HF ⋅=⋅=()224HO FO -，在EFI ∆中，12,2EF EI FI ===，由中线长公式知214IO =,从而24HO =，AC BD ⋅=14(4)142-=．基向量法2EF AB DC =+，22242EF AB DC AB DC ∴=++⋅， 5, 2AB DC EF =又=1,=， 1AB DC ∴⋅=，15 ()()15AD BC AC CD BD DC ⋅=∴+⋅+=，，则2AC BD AC DC CD BD DC ⋅+⋅+⋅-15=，可化为()()515AC BD AB BC DC CD BC CD ⋅++⋅+⋅+-=，15, AC BD AB DC ⋅+⋅= AC BD ⋅故=14．BCADE O考点二平面向量数量积的最值(范围)问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的最值(范围)问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线长的最值(范围)，通过观察或用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．【例题选讲】[例1](1)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________．答案－98 解析 a ·b ＝18[(2a ＋b )2－(2a －b )2]＝18[|2a ＋b |2－|2a －b |2]≥02－328＝－98．当且仅当|2a ＋b |＝0，|2a －b |＝3，即|a |＝34，|b |＝32，< a ，b >＝π时，a ·b 取最小值－98．(2)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________．答案214解析坐标法以直线n 为x 轴，过点A 且垂直于n 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，如图：则A ()0，3，C ()c ，0，B ()b ，2，则AB →＝()b ，－1，AC →＝()c ，－3，从而()b ＋c 2＋()－42＝52，即()b ＋c 2＝9，又AC →·AB →＝bc ＋3≤()b ＋c 24＋3＝214，当且仅当b ＝c 时，等号成立．极化恒等式连接BC ，取BC 的中点D ，AB →·AC →＝AD 2－BD 2，又AD ＝12||AB →＋AC →＝52，故AB →·AC →＝254－BD 2＝254－14BC 2，又因为BC min ＝3－1＝2，所以(AB →·AC →) max ＝214．(3)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1答案 B 解析方法一 (解析法) 建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P 点的坐标为(x ，y )，图①则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32．当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32．故选B ．方法二 (几何法) 如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →．图②要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又当点P 在线段AD 上时，|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32．故选B ．极化恒等式法设BC 的中点为D ，AD 的中点为M ，连接DP ，PM ，∴P A →·(PB →＋PC →)＝2PD →·P A →＝2|PM→|2－12|AD →|2＝2|PM →|2－32≥－32．当且仅当M 与P 重合时取等号．BC(4)已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB →的取值范围是________．答案 [－2，6] 解析取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝23．又由极化恒等式得：P A →·PB →＝|PD |2－14|AB |2＝|PD |2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD |max ＝3，当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，|PD |min ＝1，所以P A →·PB →∈[－2，6]．(5)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为_____．答案 5－213 解析通法以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，设P (2cos θ，2sin θ)⎝⎛⎭⎫π3≤θ≤2π3，则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0<tan φ＝36<33，所以0<φ<π6，当θ＝π2－φ时，PC →·P A →取得最小值，为5－213．极化恒等式法设圆心为O ，由题得AB ＝2，∴AC ＝3．取AC 的中点M ，由极化恒等式得PC →·P A →＝PM →2－AM →2＝PM →2－94，要使PC →·P A →取最小值，则需PM 最小，当圆弧AB ︵的圆心与点P ，M 共线时，PM 最小．易知DM ＝12，∴OM ＝⎝⎛⎭⎫122＋(3)2＝132，所以PM 有最小值为2－132，代入求得PC →·P A →的最小值为5－213．(6)在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________．答案 23 解析取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2＝PD →2－BC →24＋BC→2＝PD →2＋3BC →24≥AD →24＋3BC →24，此时当且仅当AD →⊥BC →时取等号，PC →·PB →＋BC →2≥AD →24＋3BC →24≥2AD →24·3BC →24＝23．另解取BC 边的中点M ，连接PM ，设点P 到BC 边的距离为h ．则S △ABC ＝12·||BC →·2h ＝2⇒||BC→＝2h，PM ≥h ，所以PB →·PC →＋BC →2＝⎝⎛⎭⎫PM →2－14BC →2＋BC →2＝PM →2＋34BC →2＝PM →2＋3h 2≥h 2＋3h2≥23(当且仅当||PM →＝h ，h 2＝3时，等号成立)【对点训练】1．已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为( )A ．－14B ．－13C ．－12D ．－11．答案 C 解析 P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，取OC 中点D ，由极化恒等式得，PO →·PC →＝|PD |2－|CD |2＝|PD |2－14，又|PD |2min ＝0，∴(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－12．2．如图，设A ，B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO →·CB →的取值范围是( )A ．[－1，3]B ．[1，3]C ．[－3，－1]D ．[－3，1]2．答案 A 解析建立平面直角坐标系如图所示，可得O (0，0)，A (－2，0)，C (－1，0)，设B (2cos θ， 2sin θ)．θ∈[0，2π)．则CO →·CB →＝(1，0)·(2cos θ＋1，2sinθ)＝2cos θ＋1∈[－1，3]．故选A ．极化恒等式法连接OB ，取OB 的中D ，连接CD ，则CO →·CB →＝|CD |2－|BD |2＝CD 2－1，又|CD |2min ＝0，∴CO →·CB →的最小值为－1．|CD |2max ＝2，∴CO →·CB →的最大值为3．3．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值为________．3．答案－116 解析取OB 的中点D ，连接PD ，则OP →·BP →＝|PD →|2－|OD →|2＝|PD →|2－14，于是只要求求PD 的最小值即可，由图可知，当PD ⊥AB ，时，PD ＝34，即所求最小值为－116．4．(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．4．答案 16 132 解析第1空因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1．因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16．第2空通法在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332．以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a ，0)，不妨设点N 在点M 右侧，则N (a ＋1，0)，且－32≤a ≤72．又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN→＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132．所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132．极化恒等式法如图，取MN 的中点P ，连接PD ，则DM →·DN →＝PD →2－MP →2＝PD →2－14，当PD →⊥BC →时，|PD→|2取最小值274，所以DM →·DN →的最小值为132．BC5．在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM CN ⋅的最小值为34，则cos ∠ACB ＝________．5．答案解析取MN 的中点P ，则由极化恒等式得2221144CM CN CP MN CP ⋅=-=-，∵ CM CN ⋅的最小值为34，∴min 1CP =，由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小，如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH ＝1，又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o ，sin A =14，所以cos ∠ACB ＝cos （150o －A ）6．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是________． 6．答案 [－9，0] 解析如图，MA →·MB →＝MO →2－AO →2＝MO →2－16，∵|OG →|≤|OM →|≤|OC →|，∴7≤|OM →|≤4，∴MA →·MB →的取值范围是[－9，0]．7．如图，设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的弧APB 上，则PC →·PD →的取值范围为______． 7．答案 [0，16] 解析如图取CD 的中点E ，连接PE ，PC →·PD →＝PE →2－DE →2＝OE →2－2，2≤|PE →|≤25，所以PC →·PD →的取值范围为[0，16]．8．已知正△ABC 内接于半径为2的圆O ，AE 交圆O 于点F ，则F A →·FB →的取值范围是________．8．答案 [0，6] 解析取AB 的中点D 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝23．又由极化恒等式得：F A →·FB →＝|FD |2－|AD |2＝|FD |2－3，因为F 在劣弧BC 上，所以当F 在点C 处时，|FD |max ＝3，当F 在点B 处时， |PD |min ＝3，所以P A →·PB →∈[0，6]．9．已知AB 是半径为4的圆O 的一条弦，圆心O 到弦AB 的距离为1，P 是圆O 上的动点，则P A →·PB →的取值范围为_________．9．答案 [－6，10] 解析极化恒等式法设AB 的中点为C ，连接CP ，则P A →·PB →＝|PC →|2－|AC →|2＝|PC →|2－15．|PC →|2－15≥25－15＝10，|PC →|2－15≤9－15＝－6．10．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，且MN ＝2，则AM →·AN →的最小值为________．10．答案 15 解析取K 为MN 中点，由极化恒等式，AM →·AN →＝|AK |2－1，显然K 的轨迹是以点C 为圆心，1为半径的圆周在矩形内部的圆弧，所以|AK |min ＝5－1＝4，所以AM →·AN →的最小值为15．AD11．在△ABC 中，已知AB ＝3，C ＝π3，则CA →·CB →的最大值为________．11．答案 32解析设D 是AB 的中点，连接CD ，点O 是△ABC 的外心，连接DO 并延长交圆O 于C ´，由△ABC ´是等边三角形，∵AD ＝32，∴C ´D ＝32，则CA →·CB →＝|CD →|2－|DA →|2＝|CD →|2－(32)2≤|C ´D →|2－34＝(32)2－34＝32．∴(CA →·CB →)max ＝32．12．已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC12．答案 D 解析如图所示，取AB 的中点E ，因为P 0B ＝14AB ，所以P 0为EB 的中点，取BC 的中点D ，则DP 0为△CEB 的中位线，DP 0∥CE ．根据向量的极化恒等式，有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2．又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则|PD→|≥|P 0D →|恒成立，必有DP 0⊥AB ．因此CE ⊥AB ，又E 为AB 的中点，所以AC ＝BC ．13．在正方形ABCD 中，AB ＝1，A ，D 分别在x ，y 轴的非负半轴上滑动，则OC →·OB →的最大值为______．13．答案 2 解析如图取BC 的中点E ，取AD 的中点F ，OC →·OB →＝OE →2－BE →2＝OE →2－14，而|OE →|≤|OF →|＋|FE →|＝12||AD →|＋|FE →||＝12＋1＝32，当且仅当O ，F ，E 三点共线时取等号．，所以OC →·OB →的最大值为2．14．在三角形ABC 中，D 为AB 中点，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为BC ，AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →最小值为________． 14．答案154 解析设EF 的中点为M ，连接CM ，则|CM →|＝12，即点M 在如图所示的圆弧上，则DE →·DF → ＝|DM →|2－|EM →|2＝|DM →|2－14≥||CD |－12|2－14＝154．ABC DE FM15．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，若点A ，B 分别在x ，y 轴的非负半轴上滑动，则OA →·OC →的最大值为________．15．答案 18 解析如图取AC 的中点M ，取AB 的中点N ，则OA →·OC →＝OM →2－AM →2＝OM →2－(32)2≤(ON →2－NM →2)－(32)2＝(2＋52)2－(32)2＝18．16．已知正方形ABCD 的边长为2，点F 为AB 的中点，以A 为圆心，AF 为半径作弧交AD 于E ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC →·PD →的最小值为______．16．答案 5－25 解析如图取CD 的中点M ，PC →·PD →＝PM 2－DM 2＝PM 2－1，而|PM |＋1＝|PM |＋|AP |≥|AM |＝5，当且仅当P ，Q 重合时等号成立，所以PC →·PD →的最小值为(5－1)2－1＝5－25．17．如图，已知B ，D 是直角C 两边上的动点，AD ⊥BD ，|AD →|＝3，∠BAD ＝π6，CM →＝12(CA →＋CB →)，CN →＝12(CD →＋CA →)，则CM →·CN →的最大值为________． ABCDMN17．答案13＋44 解析设MN 的中点为G ，BD 的中点为H ，CM →·CN →＝|CG →|2－|GN →|2＝|CG →|2－116， ∵|CG →|≤|CH →|＋|HG →|＝12＋134，∴CM →·CN →≤(12＋134)2－116＝13＋44．所以CM →·CN →的最大值为13＋44．AB CD MNG H18．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝23．若点M 为边BC上的动点，则AM →·DM →的最小值为________．B18．答案214解析设E 是AD 的中点，作EN ⊥BC 于N ，延长CB 交DA 的延长线于F ，由题意可得： FD ＝3CD ＝6，FC ＝2CD ＝43，∴BF ＝23，∴AB ＝2，F A ＝4，∴AD ＝2，EN AB ＝EF F A ＝54，EN ＝52．则AM →·DM →＝MA →·MD →＝|ME →|2－|EA →|2＝|ME →|2－1≥EN 2－1＝(52)2－1＝214．∴AM →·DM →＝214．另解设E 是AD 的中点，作EF ⊥BC 于F ，作AG ⊥EF 于G ，∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∴四边形ABCD 共圆，如图，由圆的对称性及∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝23，可知∠BCA ＝∠DCA ＝30°，∴AB ＝2，∵∠GAE ＝30°，∴GE ＝12，∴EF ＝2＋12＝52，则AM →·DM →＝MA →·MD →＝|ME →|2－|EA →|2＝|ME →|2－1≥EN 2－1＝(52)2－1＝214．∴AM →·DM →＝214．C19．(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为________．19．答案2116解析通法如图，以D 为坐标原点建立直角坐标系．连接AC ，由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°，则D (0，0)，A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)，则AE →＝(－1，y )，BE →＝⎝⎛⎭⎫－32，y －32，所以AE →·BE →＝32＋y 2－32y ＝⎝⎛⎭⎫y －342＋2116，所以当y ＝34时，AE →·BE→有最小值2116．极化恒等式法如图，取AB 的中点P ，连接PE ，则AE →·BE →＝PE →2－AP →2＝PE →2－14，当PE →⊥CD →时，|PE→|取最小值，由几何关系可知，此时，PE →2＝2516，所以DM →·DN →的最小值为2116．20．如图，圆O 为Rt △ABC 的内切圆，已知AC ＝3，BC ＝4，C ＝π2，过圆心O 的直线l 交圆于P ，Q 两点，则BP →·CQ →的取值范围为________．20．答案 [－7，1] 解析易知，圆的半径为1，BP →·CQ →＝(BC →＋CP →)·CQ →＝BC →·CQ →＋CP →·CQ →＝CP →·CQ →－CB →·CQ →，CP →·CQ →＝CO →2－OP →2＝2－1＝1．CB →·CQ →＝|CB →||CQ →|cos ∠BCQ ＝2|CQ →|cos ∠BCQ ，(|CQ →|cos ∠BCQ )min ＝0，(|CQ →|cos ∠BCQ )max ＝4．所以BP →·CQ →的取值范围为[－7，1]．21．在三棱锥S －ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ＝2，点M 为三棱锥S －ABC 的外接球面上任意一点，则MA →·MB →的最大值为________．21．答案 23＋2 解析如图，MA →·MB →＝MO 1→2－2．当M ，A ，B 在同一个大圆上且MO 1⊥AB ，点M 与线段AB 在球心的异侧时，|MO 1→|最大，又2R ＝22＋22＋22＝23，所以R ＝3．|MO 1→|max ＝3＋1，MO 1→2－2的最大值为23＋2．A22．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM →·PN →的取值范围是________．22．答案 [0，2] 解析由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为23．当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径．设内切球的球心为O ，则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO →2－1．由于P 为正方体表面上的动点，故OP ∈[1，3]，所以PM →·PN →∈[0，2]．23．已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ（λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值为________．23．答案－34解析如图取AB 的中点为D ，连接CD ，则CA →·CB →＝|CD →|2－1＝λ，|CD →|＝1＋λ，()－1≤λ<0，又由点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，故1＋λ≤12，则负数λ的最大值为－34．24．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．824．答案 C 解析如图，由已知|OF |＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得：OP →·FP →＝|PE |2－14|OF |2＝|PE |2－14，∵|PE |2max ＝254，∴OP →·FP →的最大值为6．。

2025年高考数学一轮复习(新高考版) 第5章培优点7 极化恒等式

所以B→A·C→A＝(3a＋c,3b)·(3a－c,3b)＝9a2－c2＋ 9b2＝4，B→F·C→F＝(a＋c，b)·(a－c，b)＝a2－c2＋
b2＝－1，则 a2＋b2＝58，c2＝183，所以B→E·C→E＝(2a＋c,2b)·(2a－c,2b)＝4a2－c2＋
4b2＝78.
方法三(基向量法)
连接 HF，EG，交于点 O，则 O 为 HF，GE 的中点，则E→F·F→G＝E→F·E→H＝E→O2－O→F2＝1－122＝34， G→H·H→E＝G→H·G→F＝G→O2－O→H2＝1－122＝34，因此 E→F·F→G＋G→H·H→E＝32.
题型二利用极化恒等式求最值(范围)
例 2 (1)已知△OAB 的面积为 1，AB＝2，动点 P，Q 在线段 AB 上滑动，且 PQ＝1，则O→P·O→Q的最小值为____34____.
O→A〉＋16 ＝2－8cos〈O→P，O→A〉∈[－6,10]，故P→M·P→N的取值范围为[－6,10].
方法二(极化恒等式法) 圆心 O 到直线 ax＋by＋c＝0 的距离 d＝ a2|c＋| b2＝1，如图③，
设 MN 的中点为 A，P→M·P→N＝|P→A|2－|A→M|2＝|P→A|2－15.
BD＝ AB2＋AD2＝12，∴AO＝6，OE＝3，
∴由极化恒等式知 A→E·A→F＝A→O2－O→E2＝36－9＝27.
(2)如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝1，AD＝2，点 E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，AD 边上的中点，则E→F·F→G＋G→H·H→E＝____32____.
因为|O→P|－|O→A|≤|P→A|≤|O→P|＋|O→A|，所以 3≤|P→A|≤5，则P→M·P→N＝|P→A|2－15∈[－6,10]，故P→M·P→N的取值范围为[－6,10].

平面向量极化恒等式PPT讲稿

2.在四边形ABCD中，AB BC, AD DC,| AB | a, | AD | b, 则AC DB
应用二：求范围
例2.已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P 是圆O上的一个动点，则PA PB的取值范围是____;
C
P
A
D
B
跟踪练习： 1.正ABC边长为4，P为AC上一点，则(BPCP)min
平面向量极化恒等式课件
如图，AB a, AD b，试证明平行四边形四边和对角线性质。
2
2
2
2
2
AC AC a b a 2a b b
2
2
2
2
2
DB DB a b a 2a b b
（1）（2）
（1）+（2）得：
2
AC
2
DB
2
2
a
b 2
2
2
AB
AD 2
3
圆内且满足 OC OA (1 )OB (0 1) ,则 CM CN 的
最小值为 A．-2
B．-1
C．-3
D．-4
4
（1）—（2）得：
a b＝ 1 4
ab
2
ab
2
————极化恒等式
应用一：求值
例1.(2012浙江15)在ABC中，M是BC的中点， AM 3, BC 10,则AB 用一：求值
跟踪练习： 1.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点, 则DE DA ________;
2.AB 4, AC 2, BAC 60o , AP 2, 则(PB PC)max _______
3.在RtABC中，AC 2, BC 2,已知点P是ABC 内一点，则PC (PA PB)的最小值是_______

平面向量中的极化恒等式-高考数学一轮复习测试

平面向量中的极化恒等式【专题解读】1.极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2].几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线〞与“差对角线〞平方差的14. 2.平行四边形PMQN ，O 是对角线交点.那么： (1)PM →·PN →＝14[PQ 2－NM 2](平行四边形模式)； (2)PM →·PN →＝PO 2－14NM 2(三角形模式). 【例1】 (1)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，那么AB →·AC →＝________.(2)正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，那么P A →·PB→的取值范围是________. 解析 (1)因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得AB →·AC →＝AM 2－14BC 2＝9－14×100＝－16.(2)取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝2 3.又由极化恒等式得P A →·PB →＝PD 2－14AB 2＝PD 2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，PD max ＝3，当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，PD min ＝1，所以P A →·PB →∈[－2，6]. 答案 (1)－16 (2)[－2，6]【微点训练】 (1)正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，那么DE→·DA →的值为________. (2)假设点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，那么OP →·FP →的最大值为( ) A.2 B.3 C.6D.8解析 (1)取AE 中点O ，设AE ＝x (0≤x ≤1)，那么AO ＝12x ，∴DE→·DA →＝DO 2－14AE 2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－14x 2＝1.(2)如图，由|OF |＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得 OP →·FP →＝|PE |2－14|OF |2＝|PE |2－14，∵|PE |2max＝254，∴OP →·FP →的最大值为6.答案 (1)1 (2)C 【专题集训】1.(2021·浙江卷)在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，那么( ) A.∠ABC ＝90° B.∠BAC ＝90° C.AB ＝ACD.AC ＝BC解析取BC 边中点D ，由极化恒等式得PB →·PC →＝PD →2－14BC →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－14BC →2，由PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，得PD →2≥P 0D →2，即|PD →|≥|P 0D →|，D 到AB 的最短距离为P 0D ，∴DP 0→⊥AB →，设AB 的中点为P ′，又P 0B ＝14AB ，∴DP ∥CP ，∴CP ⊥AB ，故AB ＝AC . 答案 C2.(2021·诸暨适应性考试)AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，那么(P A →＋PB →)·PC →的最小值为( ) A.－14B.－13C.－12D.－1解析 P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，取OC 中点D ，由极化恒等式得PO →·PC →＝PD 2－14OC 2＝PD 2－14，又PD 2min ＝0，∴(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－12. 答案 C3.(一题多解)如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF→＝2FO →，那么FD→·FE →＝( )A.－34B.－89C.－14D.－49解析法一 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD→·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.法二 OF ＝13，由极化恒等式得 FD →·FE →＝OF 2－14DE 2＝19－1＝－89. 答案 B4.在△ABC 中，BC ＝3，AB →·AC →＝4，那么BC 边上的中线AM 的长是________.解析因为AB →·AC →＝14[(2AM →)2－BC →2]， AM →2＝14(4AB →·AC →＋BC →2)＝254，即|AM →|＝52，所以BC 边上的中线AM 的长为52. 答案 525.在面积S ＝2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，那么PC→·PB →＋BC →2的最小值是________. 解析取BC 的中点为D ，连接PD ，那么由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2＝PD →2－BC →24＋BC →2＝PD →2＋34BC →2≥h 24＋34BC →2(其中h 为A 点向BC 边作的高)，当且仅当PD→⊥BC →时取等号. 由上可知PC →·PB →＋BC →2≥h 24＋34BC →2 ≥2h 24·34BC →2≥3S ＝2 3.答案 236.在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，那么CM→·CN →的取值范围是________. 解析取MN 的中点为P ，由极化恒等式得CM →·CN →＝14[(2CP →)2－MN →2]＝CP →2－12.问题转化为求|CP→|的取值范围，当P 为AB 的中点时，|CP →|取最小值为2，那么CM →·CN →的最小值为32；当M 与A (或N 与B )重合时，|CP →|取最大值为102，那么CM →·CN →的最大值为2，所以CM →·CN →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2。

微专题妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题(学生版)

妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题【题型归纳目录】题型一：定值问题题型二：范围与最值问题题型三：求参问题以及其它问题【方法技巧与总结】(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2 ②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2 =2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2 ----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)【典型例题】题型一：定值问题1(2024·全国·高三专题练习)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AD 上的两个三等分点，BA ·CA =4，BF ·CF =-1，则BE ·CE 的值是()A.4B.8C.78D.342(2024·贵州毕节·统考三模)如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD 的两个三等分点，若BA ⋅CA =7，BE ⋅CE =2，则BF ⋅CF =()A.-2B.-1C.1D.23(2024·湖南长沙·长郡中学校考一模)如图，在平行四边形ABCD 中，AB =1,AD =2，点E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,AD 边上的中点，则EF ⋅FG +GH ⋅HE=A.32B.-32C.34D.-34题型二：范围与最值问题1(2024·山东潍坊·高三统考期末)已知正方形ABCD 的边长为2，MN 是它的内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是()A.[0，1]B.0,2C.[1，2]D.-1,12(2024·陕西榆林·统考三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为()A.-30B.-27C.-15D.-93(2024·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型三：求参问题以及其它问题1(2024·浙江杭州·高一校联考期中)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C.则()A.∠ABC =90°B.∠BAC =90°C.AB =ACD.AC =BC2(2024·辽宁·高一东港市第二中学校联考期中)在△ABC 中，AC =2BC =6，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN =2，若CM ⋅CN的最小值为3，则cos ∠ACB =．3(2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测)在△ABC 中，AC =2BC =4，∠ACB 为钝角，M ,N 是边AB 上的两个动点，且MN =1，若CM ⋅CN 的最小值为34，则cos ∠ACB =．【过关测试】一、单选题1(2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)在△ABC 中，A =90°，AB =4，AC =43，P ，Q 是平面上的动点，AP =AQ =PQ =2，M 是边BC 上的一点，则MP ⋅MQ的最小值为()A.1B.2C.3D.42(2024·湖北武汉·高三武钢三中校考阶段练习)已知点P 在棱长为2的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA ⋅PB的最小值为()A.-2B.-8C.-1D.03(2024·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中)已知点P 在棱长为4的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA ⋅PB的最小值为( )．A.-8B.-4C.-1D.04(2024·贵州贵阳·统考一模)如图，在△ABC 中，AB =6,AC =3,∠BAC =π2,BD=2DC ，则AB ⋅AD=()A.9B.18C.6D.125(2024·贵州贵阳·统考模拟预测)如图，在△ABC 中，AB =6,AC =3,∠BAC =2π3,BD=2DC ，则AB ⋅AD =()A.18B.9C.12D.66(2024·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习)八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形(如△ACD )为等腰直角三角形，点O 为圆心，中间部分是正方形且边长为2，定点A ，B 所在位置如图所示，则AB ⋅AO的值为()A.14B.12C.10D.87(2024·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末)如图，在四边形ABCD 中，AC=4，BA⋅BC =12，E 为AC 中点.BE =2ED ，求DA ⋅DC 的值()A.0B.12C.2D.68(2023·贵州·校联考二模)如图，在平面四边形ABCD 中，AC =4，BA ⋅BC=12，E 为AC 的中点，BE =λED ，DA ⋅DC =-209，则λ的值为()A.2B.3C.43D.329(2024·浙江·永嘉中学校联考模拟预测)已知△ABC 是边长为1的正三角形，BD =2DC ，AB +AC =2AE ，则AE ⋅AD =()A.34B.32C.38D.110(2024·四川绵阳·统考二模)如图，在边长为2的等边△ABC 中，点E 为中线BD 的三等分点(靠近点B )，点F 为BC 的中点，则FE ⋅EC=()A.-34B.-56C.34D.1211(2024·江西南昌·高一南昌二中校考开学考试)已知A ，B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且∠AOB =120°，MN 是圆O 的一条直径，点C 在线段AB 上(不包含两个端点)，则CM ⋅CN的取值范围是()A.-12,1B.-1,1C.-34,0D.-1,0二、填空题12(2024·黑龙江大庆·高一大庆一中校考期末)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点BA ⋅CA =5，BF ⋅CF =-2，则BE ⋅CE的值是.13(2024·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 、F 是AD 上两个三等分点,BA ⋅CA =15，BE ⋅CE =5，则BF ⋅CF=.14(2024·江苏盐城·统考一模)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BE ⋅CE =2，BC =2，则BF ⋅CF =．15(2024·山东·山东师范大学附中校考模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是.16(2024·湖北省直辖县级单位·湖北省仙桃中学校考模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为.17(2024·全国·高三专题练习)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的最小值为，最大值为.18(2024·浙江杭州·高二校联考期中)在△ABC 中，AB =4,BC =5,AC =6，点M 为△ABC 三边上的动点，PQ 是△ABC 外接圆的直径，则MP ⋅MQ的取值范围是19(2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知正△ABC 的边长为2，PQ 为△ABC 内切圆O 的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为.20(2024·全国·高一假期作业)设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C，则三角形ABC 形状为.21(2024·江苏常州·常州高级中学校考模拟预测)设直角△ABC ，P 0是斜边AB 上一定点．满足P 0B =16AB =1，则对于边AB 上任一点P ，恒有PB ⋅PC ≥P 0B ⋅P 0C ，则斜边AB 上的高是．22(2024·河北保定·高一校联考期中)已知点P 在棱长为1的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA ⋅PB的最小值为．23(2024·天津和平·统考二模)在平行四边形ABCD 中，∠BAD =π3，边AB ,AD 的长分别为2与1，则AD +AB 在AB 上的投影向量为(用AB 表示)；若点M ,N 分别是边BC ,CD 上的点，且满足BM BC =CNCD ，则AM ⋅AN 的取值范围是.24(2024·天津南开·高三校考阶段练习)如图在△ABC 中，∠ABC =90°，BC =8，AB =12，F 为AB 中点，E 为CF 上一点.若CE =3，则EA ⋅EB =；若CE =λCF 0≤λ≤1 ，则EA ⋅EB的最小值为.。

妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题(三大题型)(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)

．
4
9
）
= 7，
2
1
16 2 − 2
4
= 2，
2
− 3 ⋅ − 2 − 3
2
=
⋅ =
1
2
4 2 − 2
4
4×1−8
4
=
故选：B．
1
− ⋅ − 2 − =
= −1.
典型例题
题型一：定值问题
【变式1-1】（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）如图，在平行四边形中， = 1, = 2，点
, , , 分别是 , , , 边上的中点，则 ⋅ + ⋅ = （
3
3
A． 2
3
B．− 2
C． 4
【答案】A
【解析】取HF中点O，
则 ⋅ = ⋅ = 2 − 2
1
= 1 − ( 2) 2 =
3
4
，
⋅ = ⋅
重难点专题03
妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题
目录
C
O
N
T
E
N
T
S
01
02
03
题型归纳
方法技巧
典型例题
01
题型归纳
题型归纳
02
方法技巧
方法技巧
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
| + | + | − | = (|| + || )
证明：不妨设 = , = ，则 = + ， = −
【答案】 2−2
10
2 2
，
3
9

平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题

平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题知识拓展1.极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2].几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.2.平行四边形PMQN ，O 是对角线交点.则：(1)PM →·PN →＝14[PQ 2－NM 2](平行四边形模式)；(2)PM →·PN →＝PO 2－14NM 2(三角形模式).3.平面向量中的最值(范围)问题(1)向量数量积投影、向量的模、夹角的最值(或范围)；(2)向量表达式中字母参数的最值(或范围).题型突破题型一极化恒等式的应用【例1】 (1)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC→＝________.(2)已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB→的取值范围是________.解析 (1)因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得AB →·AC →＝AM 2－14BC 2＝9－14×100＝－16.(2)取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝2 3.又由极化恒等式得P A →·PB →＝PD 2－14AB 2＝PD 2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，PD max ＝3，当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，PD min ＝1，所以P A →·PB→∈[－2，6]. 答案 (1)－16 (2)[－2，6]【训练1】 (1)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA→的值为________. (2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A.2B.3C.6D.8解析 (1)取AE 中点O ，设AE ＝x (0≤x ≤1)，则AO ＝12x ，∴DE →·DA→＝DO 2－14AE 2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－14x 2＝1. (2)如图，由已知|OF |＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得OP →·FP →＝|PE |2－14|OF |2＝|PE |2－14，∵|PE |2max ＝254，∴OP →·FP →的最大值为6. 答案 (1)1 (2)C题型二平面向量中的最值(范围)问题类型1 利用函数型【例2－1】 (1)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b －t a |的最小值为1，则( )A.若θ确定，则|a |唯一确定B.若θ确定，则|b |唯一确定C.若|a |确定，则θ唯一确定D.若|b |确定，则θ唯一确定(2)已知m ，n 是两个非零向量，且|m |＝1，|m ＋2n |＝3，则|m ＋n|＋|n|的最大值为( )A. 5B.10C.4D.5解析 (1)由|b －t a |的最小值为1知(b －t a )2的最小值为1，令f (t )＝(b －t a )2，即f (t )＝b 2－2t a ·b ＋t 2a 2，则对于任意实数t ，f (t )的最小值为4a 2·b 2－（2a ·b ）24a 2＝4a 2b 2－（2|a ||b |cos θ）24a2＝1，化简得b 2(1－cos 2θ)＝1，观察此式可知，当θ确定时，|b |唯一确定，选B.(2)因为(m ＋2n )2＝4n 2＋4m ·n ＋1＝9，所以n 2＋m ·n ＝2，所以(m ＋n )2＝m 2＋2m ·n ＋n 2＝5－n 2，所以|m ＋n |＋|n |＝5－|n |2＋|n |.令|n |＝x (0<x ≤5)，f (x )＝5－x 2＋x ，则f ′(x )＝－2x 25－x 2＋1.由f ′(x )＝0，得x ＝102，所以当0<x <102时，f ′(x )>0时，当102<x ≤5时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，102上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤102，5上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫102＝10，故选B. 答案 (1)B (2)B【训练2－1】 (1)(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.(2)如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，则AP →·BP→的取值范围是________；若向量AC →＝λDE →＋μAP →，则λ＋μ的最小值为________.解析 (1)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))，则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ).令y ＝|a ＋b |＋|a －b | ＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25，(|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.(2)以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则易得A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，P (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，则AP →·BP →＝(cos θ，sin θ)·(cos θ－1，sin θ)＝cos 2θ－cos θ＋sin 2θ＝1－cosθ，又因为0≤θ≤π2，所以AP →·BP →＝1－cos θ∈[0，1].由AC→＝λDE →＋μAP →得(1，1)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1＋μ(cos θ，sin θ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μcos θ，－λ＋μsin θ，所以⎩⎨⎧12λ＋μcos θ＝1，－λ＋μsin θ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ，μ＝32cos θ＋sin θ，则λ＋μ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ＋32cos θ＋sin θ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ，当θ＝π2时，λ＋μ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ＝5，当θ≠π2时，λ＋μ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ＝2tan θ－2＋3tan 2θ＋12＋tan θ，设f (x )＝2x －2＋3x 2＋12＋x(x ≥0)，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋3x x 2＋1（2＋x ）－（2x －2＋3x 2＋1）（2＋x ）2＝6x 2＋1＋6x －3（2＋x ）2x 2＋1>0(x ≥0)，所以函数f (x )＝2x －2＋3x 2＋12＋x 在[0，＋∞)上单调递增，则当tan θ＝0时，λ＋μ＝2tan θ－2＋3tan 2θ＋12＋tan θ取得最小值12.综上所述，λ＋μ的最小值为12.答案 (1)4 25 (2)[0，1] 12类型2 利用不等式型【例2－2】 (1)(2020·浙江名校新高考研究联盟三联)已知边长为1的正方形ABCD ，E ，F 分别是边BC ，DC 上的两个动点，AE→＋AF →＝xAB →＋yAD→，若x ＋y ＝3，则|EF →|的最小值为________. (2)(一题多解)(2019·七彩阳光联盟三联)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝0，则|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b 的最小值为( ) A.172B.2C.52D. 5(3)(2016·浙江卷)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________.解析 (1)因为四边形ABCD 是正方形，以C 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (1，1)，B (1，0)，C (0，0).设E (a ，0)，F (0，b )，则0≤a ，b ≤1.所以AE→＝(a －1，－1)，AF →＝(－1，b －1)，因为AE →＋AF →＝xAB →＋yAD→，所以有y ＝2－a ，x ＝2－b .因为x ＋y ＝3，所以a ＋b ＝1.所以|EF →|＝a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝22，所以|EF →|min ＝22，当且仅当a ＝b ＝12时取到最小值.(2)法一因为|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ⊥b .所以通过计算有|2c －a |＝|c －2a |，⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －12b ，所以|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝|c －2a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －12b ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －12b ＝172，故选A. 法二因为|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ⊥b ，所以可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )，则有x 2＋y 2＝1，所以|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝（2x －1）2＋4y 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y －12＝4x 2－4x ＋1＋4y2＋14x 2＋14y 2－y ＋1＝x 2－4x ＋4＋y 2＋x 2＋y 2－y ＋14＝（x －2）2＋y 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122≥22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝172，故选A. (3)由已知可得6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12. 答案 (1)22 (2)A (3)12【训练2－2】 (1)(2020·杭州四中仿真)若非零向量a ，b 满足a 2＝(5a －4b )·b ，则cos 〈a ，b 〉的最小值为________.(2)(2019·浙江名师预测卷一)已知向量a ，b 满足|b |＝1，|a ＋b |＝2|a －b |，则|a |2－|b |2的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－19，8 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，19 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－19，19 (3)(2020·温州适应性测试)已知平面向量a ，b ，c 满足：a ·b ＝0，|c |＝1，|a －c |＝|b －c |＝5，则|a －b |的最小值为( )A.5B.6C.7D.8解析 (1)由a 2＝(5a －4b )·b 得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)≥15×2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |时等号成立，所以cos 〈a ，b 〉的最小值为45.(2)因为|b |＝1，所以|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |＝2.两边平方得|a ＋b |2＋|a －b |2－2(|a |2－|b |2)＝4，又|a ＋b |＝2|a －b |，所以|a |2－|b |2＝5|a －b |2－42，又因为|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )－(a －b )|≤|a ＋b |＋|a －b |，即|a －b |≤2≤3|a－b |，故23≤|a －b |≤2，所以|a |2－|b |2＝5|a －b |2－42的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，8，故选A.(3)|a －b |2＝|(a －c )－(b －c )|2＝(a －c )2－2(a －c )(b －c )＋(b －c )2＝50－2(a ·b －a ·c －b ·c ＋1)＝48＋2(a ＋b )·c ＝48＋2|a ＋b |cos θ(其中θ为a ＋b 与c 的夹角)，因为|a －b |＝|a ＋b |，所以|a －b |2＝48＋2|a －b |cos θ，则由cos θ∈[－1，1]，得48－2|a －b |≤|a －b |2≤48＋2|a －b |，解得6≤|a －b |≤8，即|a －b |的最小值为6，此时向量a －b 的方向与向量c 的方向相反，故选B.答案 (1)45 (2)A (3)B类型3 利用向量平行(垂直)、向量的投影型【例2－3】 (1)如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”.若A ，B ，C ，D 四点均位于图中的“晶格点”处，且A ，B 的位置如图所示，则AB →·CD→的最大值为________.(2)已知|a |＝2，|b |＝|c |＝1，则(a －b )·(c －b )的最大值为________，最小值为________.解析 (1)先建立平面直角坐标系如图，因为正六边形的边长均为1，所以B (0，0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，92，当CD →在AB →方向上的投影最大时，AB →·CD →最大，此时取C (0，5)，D (－3，0)，即(AB →·CD →)max ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32，－92·(－3，－5)＝32＋452＝24.(2)设M ＝a ·c －a ·b －b ·c ，则(a －b )(c －b )＝a ·c －a ·b －b ·c ＋b 2＝1＋a ·c－a ·b －b ·c ＝1＋M .而(b －a －c )2＝6＋2M ，M ＝－3＋12(b －a －c )2，∴当(b －a －c )2＝0时，M min ＝－3，∴[(a －b )(c －b )]min ＝1－3＝－2；当b ，－a ，－c 共线且同向时，M max ＝－3＋12(1＋2＋1)2＝5，∴[(a －b )·(c －b )]max ＝1＋5＝6.答案 (1)24 (2)6 －2【训练2－3】 (1)已知向量a ，b ，c 满足|b |＝|c |＝2|a |＝1，则(c －a )·(c －b )的最大值是________，最小值是________.(2)已知|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2，|OP →|＝1，且OA →＝BO →，记P A →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·P A →的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A.6B.4C.－2D.－4解析 (1)由题意得|a |＝12，|b |＝|c |＝1，则(c －a )·(c －b )＝|c |2－c ·b －c ·a＋a ·b ＝|c |2＋12(－a －b ＋c )2－12(|a |2＋|b |2＋|c |2)＝－18＋12(－a －b ＋c )2，则当向量－a ，－b ，c 同向共线时，(c －a )·(c －b )取得最大值－18＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＋12＝3，当－a －b ＋c ＝0时，(c －a )·(c －b )取得最小值－18. (2)因为P A →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·P A →＝(OA →－OP →)·(OB →－OP →)＋(OB →－OP →)·(OC →－OP →)＋(OC →－OP →)·(OA →－OP →)＝3OP →2－2OP →·OC →－4，令3OP →＝OQ →，2OC →＝OM →，P A →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·P A →＝OP →·MQ →－4，如图，设OC →与OP→夹角为θ(θ∈[0，π]).因为MQ →＝OQ →－OM →.所以MQ →·OP →|OP →|＝OP →(3OP →－2OC→)＝3－4cos θ，又因为cos θ∈[－1，1]，所以MQ →在OP →方向上的投影d ∈[－1，7]，即M ＝3，m ＝－5，所以M ＋m ＝－2，故选C.答案 (1)3 －18 (2)C类型4 利用轨迹图形性质(数形结合)型【例2－4】 (1)(一题多解)(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C.2D.2－ 3(2)已知向量|a |＝3，|b |＝6，a ·b ＝9，则|a ＋t (b －a )|＋|(1－t )(b －a )－13b |(其中t ∈[0，1])的最小值是________.解析 (1)法一设O 为坐标原点，a ＝OA→，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA→|－|CB →|＝3－1.故选A.法二由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0. 设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图，设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA→|－|BC →|≥3－1.故选A.(2)由cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12得a ，b 的夹角为60°，又因为|a |＝3，|b |＝6，所以△OAB 为直角三角形，B ＝30°.如图，令a ＝OA →，b ＝OB →，∠BOA ＝60°，AC→＝tAB →，DB →＝13OB →，则|OA →＋tAB →|＝|OC →|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪(1－t )AB →－13OB →＝|CD →|，问题转化为当点C 在线段AB 上运动时，求|OC→|＋|CD →|的最小值.作点D 关于线段AB 对称的点G ，连接OG ，则OG 即为所求的最小值.在Rt △BDE 中，∠BED ＝90°，BD ＝2，B ＝30°，则DE ＝1，DG ＝2DE ＝2，在△ODG 中，OD ＝4，∠ODG ＝120°，DG ＝2，由余弦定理得OG ＝OD 2＋DG 2－2OD ·DG cos ∠ODG ＝27. 答案 (1)A (2)27【训练2－4】 (1)已知|a |＝|b |＝1，向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |，则|c |的最大值为________.(2)(一题多解)(2019·宁波模拟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c －b |＝1，则|a ＋c |的取值范围为________.解析 (1)由|c －(a ＋b )|＝|a －b |得向量c 的终点的轨迹为以向量a ＋b 的终点为圆心，|a －b |为半径的圆，则|c |的最大值为|a ＋b |＋|a －b |，又因为|a ＋b |＋|a －b |≤2[（a ＋b ）2＋（a －b ）2] ＝2（|a |2＋2a ·b ＋|b |2＋|a |2－2a ·b ＋|b |2）＝22，当且仅当|a ＋b |＝|a －b |，即a ⊥b 时等号成立，所以|c |的最大值为2 2. (2)法一令m ＝a ＋c ，则问题转化为|m |的取值范围.由三角不等式有||m |－|a ＋b ||≤|m －(a ＋b )|，则|a ＋b |－1≤|m |≤1＋|a ＋b |，又||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，即1≤|a ＋b |≤3，故0≤|m |≤4，即|a ＋c |的取值范围为[0，4].法二如图，由已知，作OB→＝b ，分别以点O ，B 为圆心作单位圆，则－a 的终点A 在圆O 上，c 的终点C 在圆B 上，则AC→＝c －(－a )＝c ＋a ，故|a ＋c |＝|AC →|表示两圆上两点连线的长，因此，由圆的性质得0≤|AC →|≤4，即|a ＋c |的取值范围为[0，4].答案 (1)22 (2)[0，4] 补偿训练一、选择题1.(2013·浙江卷)在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A.∠ABC ＝90° B.∠BAC ＝90° C.AB ＝ACD.AC ＝BC解析取BC 边中点D ，由极化恒等式得PB →·PC →＝PD →2－14BC →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－14BC →2，由PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，得PD →2≥P 0D →2，即|PD →|≥|P 0D →|，D 到AB 的最短距离为P 0D ，∴DP 0→⊥AB →，设AB 的中点为P ′，又P 0B ＝14AB ，∴DP ∥CP ，∴CP ⊥AB ，故AB ＝AC . 答案 C2.(2020·诸暨适应性考试)已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为( )A.－14B.－13C.－12D.－1解析 P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，取OC 中点D ，由极化恒等式得PO →·PC →＝PD 2－14OC 2＝PD 2－14，又PD 2min ＝0，∴(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－12. 答案 C3.(一题多解)如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE→＝( )A.－34B.－89C.－14D.－49解析法一 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13， ∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.法二 OF ＝13，由极化恒等式得 FD →·FE →＝OF 2－14DE 2＝19－1＝－89. 答案 B4.如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋4y的最小值为( )A.32 B.2 C.52D.92解析由图可设AD→＝λAB →＋(1－λ)AC →，AE →＝μAB →＋(1－μ)AC →，其中λ，μ∈(0，1)，则AD→＋AE →＝(λ＋μ)AB →＋(2－λ－μ)AC →.由题知，x ＝λ＋μ，y ＝2－λ－μ，所以有x ＋y ＝2，所以1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ×4x y ＝92，当且仅当y ＝2x ，即x ＝23，y ＝43时，取等号，故选D. 答案 D5.在△ABC 中，BC ＝2，A ＝45°，B 为锐角，点O 是△ABC 外接圆的圆心，则OA →·BC →的取值范围是( ) A.(]－2，22 B.(]－22，2 C.[]－22，22D.()－2，2解析依题意得△ABC 的外接圆半径R ＝12·BCsin 45°＝2，|OA→|＝2，如图所示，A 在弧A 1C 上(端点除外)，OA 2→与BC →同向，此时OA →·BC →有最大值22，又OA 1→·BC →＝－2，故OA →·BC →∈(]－2，22.故选A. 答案 A6.记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b .在△AOB 中，∠AOB ＝90°，P 为斜边AB上一动点.设M ＝max{OP →·OA →，OP →·OB →}，则当M 取最小值时，AP PB ＝( )A.OAOBB.OA OBC.⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 3 解析 M 取最小值时，OP →·OA →＝OP →·OB →，即OP →·AB →＝0，亦即OP ⊥AB .根据直角三角形的射影定理可得|AP ||PB |＝AP ·PB PB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OP PB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 2，故选C.答案 C7.(2019·浙江名师预测卷四)已知a ，b 是单位向量，向量c 满足|c －b ＋a |＝|a ＋b |，则|c |的最大值为( ) A.2 B.2 2 C.3D.3 2解析由|c －(b －a )|＝|a ＋b |得向量c 的终点的轨迹为以向量b －a 的终点为圆心，|a ＋b |为半径的圆，则|c |的最大值为|a ＋b |＋|b －a |. 又因为|a ＋b |＋|b －a |≤2[（a ＋b ）2＋（b －a ）2]＝2（|a |2＋2a ·b ＋|b |2＋|b |2－2a ·b ＋|a |2）＝2 2.当且仅当|a ＋b |＝|b －a |，即a ⊥b 时等号成立，所以|c |的最大值为2 2. 答案 B8.(2020·浙江教育绿色评价联盟适考)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，若BP →＝λBA →＋μBC→，设λ＋2μ的最大值为M ，最小值为N ，则M －N 的值为( )A.2105B.3105C.4105D.10解析如图，以C 为坐标原点，分别以直线BC ，CD 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则B (－2，0)，A (－2，1)，由已知，圆C 的方程为x 2＋y 2＝45，设P⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ，25sin θ，又BP →＝λBA →＋μBC →，则⎩⎨⎧25cos θ＋2＝2μ， 25sin θ＝λ，即λ＋2μ＝25(sin θ＋cos θ)＋2＝225sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋2，故M －N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫225＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－225＋2＝4105，故选C.答案 C9.(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A.2116B.32C.2516D.3解析以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以A (0，0)，B (1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设C (1，m )，E (x ，y )，所以DC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，因为AD ⊥CD ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＝0，则32×(－12)＋32⎝⎛⎭⎪⎫m －32＝0，解得m ＝3，即C (1，3).因为E 在CD 上，所以32≤y ≤3，由k CE ＝k CD ，得3－y 1－x ＝3－321＋12，即x ＝3y －2，因为AE →＝(x ，y )，BE →＝(x －1，y )，所以AE →·BE →＝(x ，y )·(x －1，y )＝x 2－x ＋y 2＝(3y －2)2－3y ＋2＋y 2＝4y 2－53y ＋6，令f (y )＝4y 2－53y ＋6，y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.因为函数f (y )＝4y 2－53y ＋6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，538上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤538，3上单调递增，所以f (y )min ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫538 2－53×538＋6＝2116.所以AE →·BE →的最小值为2116，故选A. 答案 A 二、填空题10.在△ABC 中，BC ＝3，AB →·AC →＝4，则BC 边上的中线AM 的长是________.解析因为AB →·AC →＝14[(2AM →)2－BC →2]， AM →2＝14(4AB →·AC →＋BC →2)＝254，即|AM →|＝52，所以BC 边上的中线AM 的长为52. 答案 5211.在面积S ＝2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________. 解析取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2＝PD →2－BC →24＋BC →2＝PD →2＋34BC →2≥h 24＋34BC→2(其中h 为A 点向BC 边作的高)，当且仅当PD→⊥BC →时取等号. 由上可知PC →·PB →＋BC →2≥h 24＋34BC →2≥2h 24·34BC →2≥3S ＝2 3.答案 2 312.在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN→的取值范围是________. 解析取MN 的中点为P ，由极化恒等式得CM →·CN →＝14[(2CP →)2－MN →2]＝CP →2－12.问题转化为求|CP→|的取值范围，当P 为AB 的中点时，|CP →|取最小值为2，则CM →·CN →的最小值为32；当M 与A (或N 与B )重合时，|CP →|取最大值为102，则CM →·CN →的最大值为2，所以CM →·CN →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2 13.(2020·浙江新高考仿真卷二)在△ABC 中，A ＝120°，BC ＝213，AC＝2，则AB ＝________；当|CB→＋λCA →|取到最小值时，则λ＝________. 解析在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，即(213)2＝22＋AB 2－2×2AB cos 120°，解得AB ＝6，则cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝（213）2＋22－622×213×2＝51326，则|CB →＋λCA →|2＝|CB →|2＋λ2|CA →|2＋2λCB →·CA →＝(213)2＋λ2×22＋2λ×213×2×51326＝4λ2＋20λ＋52，则当λ＝－202×4＝－52时，|CB →＋λCA →|取得最小值.答案 6 －5214.若非零向量a 和b 满足|a ＋b |＝|b |＝2，则|a |的取值范围是________，|a －b |的取值范围是________.解析因为||a ＋b |－|b ||≤|a |＝|a ＋b －b |≤|a ＋b |＋|b |＝4，又a 是非零向量，所以|a |的取值范围是(0，4]，因为|a －b |＋|a ＋b |≥2|b |＝|(a ＋b )－(a －b )|≥||a －b |－|a ＋b ||，所以－4≤|a －b |－|a ＋b |≤4，|a －b |＋|a ＋b |≥4，又|a ＋b |＝2，解得|a －b |的取值范围是[2，6].答案 (0，4) [2，6]15.(2020·杭州三校三联)如图，圆O 是半径为1的圆，OA ＝12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC →·BC→的取值范围是________.解析设a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，则有|a |＝12，|b |＝|c |＝1，则AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )≤|c －a |·|c －b |≤(|c |＋|a |)·(|c |＋|b |)＝32×2＝3，当且仅当a ，b 同向共线，且与c 反向共线时，等号成立，所以AC →·BC→的最大值为3.AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )＝1－c ·(a ＋b )＋a ·b ≥1－|c |·|a ＋b |＋a ·b ＝1－|a ＋b |＋a ·b ＝1－54＋2a ·b ＋a ·b ，令a ·b ＝t ，则易得t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )≥1－54＋2t ＋t ，设f (t )＝1－54＋2t ＋t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤t ≤12，则f ′(t )＝1－154＋2t .易得当t ＝－18时，f (t )＝1－54＋2t ＋t 取得最小值－18.综上所述，AC →·BC →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3 16.已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c －a |＝|c －b |，则|c |的最小值为________，此时a ·b ＝________.解析由|c －a |＝|c －b |，得c 2－2a ·c ＋a 2＝c 2－2b ·c ＋b 2，即2b ·c －2a ·c＝b 2－a 2＝3，则(b －a )·c ＝32≤|b －a |·|c |≤(|b |＋|a |)·|c |＝3|c |，所以|c |≥12，当且仅当a 与b 方向相反且a ，b ，c 共线时等号成立，所以|c |的最小值为12，此时a ·b ＝|a ||b |cos π＝－2.答案 12 －217.已知正三角形ABC 的边长为4，O 是平面ABC 内的动点，且∠AOB ＝π3，则OC →·AB→的最大值为________. 解析如图，圆E 2为△ABC 的外接圆，圆E 1与圆E 2关于直线AB 对称，由题意知O 在圆E 1，E 2的优弧AB ︵上(圆E 1，E 2半径相等)，设AB 的中点为D ，OC →·AB →＝(DC →－DO →)·AB →＝BA →·DO →＝|BA →|·|DO →|·cos ∠ADO ，易知当∠ADO为锐角，且DO →在BA →方向上的射影最大时，OC →·AB →取得最大值，易知DO→在BA→方向上射影的最大值为△ABO 外接圆的半径，故所求最大值为4×42sin π3＝1633.答案 1633 18.(2019·浙江卷)已知正方形ABCD 的边长为1，当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________.解析如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则AB→＝(1，0)，AD →＝(0，1). 设a ＝λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD → ＝λ1AB →＋λ2AD →－λ3AB →－λ4AD →＋λ5(AB →＋AD →)＋λ6(AD →－AB →) ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)AB →＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)AD → ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6).故|a|＝（λ1－λ3＋λ5－λ6）2＋（λ2－λ4＋λ5＋λ6）2.∵λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1，∴当λ1－λ3＋λ5－λ6＝0，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0. 考虑到λ5－λ6，λ5＋λ6有相关性，要确保所求模最大，只需使|λ1－λ3＋λ5－λ6|，|λ2－λ4＋λ5＋λ6|尽可能取到最大值，即当λ1－λ3＋λ5－λ6＝2，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝4时可取到最大值，∴|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最大值为4＋16＝2 5. 答案 0 2 5。

平面向量：极化恒等式应用

平面向量：极化恒等式应用【学习目标】1.理解极化恒等式处理向量数量积问题的关键信息【知识梳理】一公式推导AC a b=+ BD a b=- 平方可得：2222()()=()()+2AC a b a b a b =++⋅ ①2222()()()()2BD a b a b a b =-=+-⋅ ②有①+②得：()2222+2+AC DB AB AD = 结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于邻边平方和的两倍思考1：①-②得：()()()22221=224a b a b a b a b a b⎛⎫⎛⎫+-⋅=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （极化恒等式）及221()4a b AC DB ⋅=- 思考2：在ABC ∆中，M 为BC 中点三角式()()22AB AC AM BM ⋅=- 三角形中的数量积问题核心是中线【经典例题】【例1】已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA AN PC ⋅+ 的最小值是（）A.2- B.32- C.43- D.1-【答案】B a M【例2】（2016江苏）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅= ，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是________【答案】87【例3】设ABC 中0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒00PB PC P B P C ⋅≥⋅ ，则（）A.=90ABC ︒∠ B.=90BAC ︒∠ C.AB AC = D.AC BC =【答案】D【例4】（2014全国二卷）设向量a 、b 满足10a b += ,6a b -= →→⋅b a =（）A.1B.2C.3D.5【答案】A 【例5】.已知向量,a b 满足231a b += ，求a b ⋅ 的最大值【答案】124【课后练习】练1.已知AB 为圆221x y +=的一条直径，点P 为直线20x y -+=上任意一点，则PA PB⋅ 的最小值为（）A.1 B.2 C.2 D.22【答案】B 练2.（2012浙江）在ABC 中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=【答案】16-。

平面向量等和线与极化恒等式及答案

等和线与极化恒等式知识点1 三点共线结论根据平面向量基本定理，如果P A →，PB →为同一平面内两个不共线的向量，那么这个平面内的任意向量PC →都可以由P A →，PB →唯一线性表示：PC →=xP A →＋yPB →．特殊地，如果点C 正好在直线AB 上，那么x ＋y =1，反之如果x ＋y =1，那么点C 一定在直线AB 上．于是有三点共线结论：已知P A →，PB →为平面内两个不共线的向量，设PC →=xP A →＋yPB →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y =1．知识点2 等和线的定义及性质以上讨论了点C 在直线AB 上的特殊情况，得到了平面向量中的三点共线结论．下面讨论点C 不在直线AB 上的情况．如图所示，直线DE ∥AB ，C 为直线DE 上任一点，设PC →=xP A →＋yPB →(x ，y ∈R )．1．平面向量等和线定义(1)当直线DE 经过点P 时，容易得到x ＋y =0．(2)当直线DE 不过点P 时，直线PC 与直线AB 的交点记为F ，因为点F 在直线AB 上，所以由三点共线结论可知，若PF →=λP A →＋μPB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ=1．由△P AB 与△PED 相似，知必存在一个常数k ∈R ，使得PC →=kPF →(其中k =|PC ||PF |=|PE ||P A |=|PD ||PB |)，则PC →=kPF →=kλP A →＋kμPB →．又PC →=xP A →＋yPB →(x ，y ∈R )，所以x ＋y =kλ＋kμ=k ．以上过程可逆．在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”．2．平面向量等和线定理平面内一组基底PA →，PB →及任一向量PF →满足：PF →=λPA →＋μPB →(λ，μ∈R )，若点F 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ＋μ=k （定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．3．平面向量等和线性质(1)当等和线恰为直线AB 时，k =1；(2)当等和线在点P 和直线AB 之间时，k ∈(0，1)； (3)当直线AB 在点P 和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过点P 时，k =0；(5)若两等和线关于点P 对称，则定值k 互为相反数．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP →=xAB →＋yAC →，则有点P 在直线BC 上⇔x ＋y =1；点P 与点A 在直线BC 异侧⇔x ＋y >1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越大；点P 与点A 在直线BC 同侧⇔x ＋y < 1，且x ＋y 的值随点P 到直线BC 的距离越远而越小．平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和．考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数和．知识点3 极化恒等式a ·b =14[(a ＋b )2－(a －b )2]1.公式推导：()()()()222222222142a b a ab b ab a b a b a b a ab b ⎫+=++⎪⎡⎤⇒=+−−⎬⎢⎥⎣⎦⎪−=−+⎭2.几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．4.三角形模式：如图，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，则AB →·AC →=|AD |2－|BD |2．（1）推导过程：由()()222222111222AB AC AB AC AB AC AD CB AD DB ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+−−=−=− ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭.（2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．考点一根据等和线求基底系数和的值(1)确定值为1的等和线；A B C图(2)(2)平移(旋转或伸缩)该线，作出满足条件的等和线；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值．例1（2022·河南高三月考）在平行四边形中ABCD 中，E 和F 分别是CD 和BC 边上的中点，且AC AE AF λμ=+,其中λμ∈R ，，则=λμ+___________.例2 （2022·陕西·交大附中模拟预测）在平行四边形ABCD 中，点E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →=λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ=__________．【跟踪精练】1. （2022·山东·山师附中模拟预测）直角梯形中ABCD ,ABD BC AD CD CB ∆⊥，，//是边长为2的正三角形，P 是平面上的动点，1||=CP ，),(R AB AD AP ∈+=μλμλ设，则μλ+的值可以为（）A. 0B.1C.2D.32. （2022·云南玉溪·高三月考）如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →=λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A ．1B ．34C ．23D ．123. (2013江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD =12AB ，BE =23BC ，若DE →=λ1AB→＋λ2AC →(λ1，λ2∈R )，则λ1＋λ2的值为________．考点二根据等和线求基底的系数和的最值（范围）(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； (3)从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值．例3给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3，如图所示，点C 在以O 为圆心的弧AB 上运动，若OC →=xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是________．例4（2022·福建泉州·模拟预测）在△ABC 中，AC AB ⊥，AB =3，AC =1，点P 是△ABC 所在平面内一点， 2||||AB ACAP AB AC =+，且满足||2PM =，若AM xAB y AC =+，则3x ＋y 的最小值是( )．A ．3+BC ．1D ．3− 【跟踪精练】1.(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →=λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．22C ．5D ．22. （2022·苏州中学高三月考）如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →=mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．考点三极化恒等式处理数量积的定值问题(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．例5（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）如图，在△ABC 中，D 是BC的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →=4，BF →·CF →=－1则BE →·CE →的值是____．例6（2022·山东日照市·高三二模）如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB =8，AD =5，CP →=3PD →，AP →·BP →=2，则AB →·AD →的值是( )A ．44B ．22C ．24D ．72 【题型精练】 1．（2022·河北武强中学高三月考）如图，在平面四边形ABCD中，O 为BD 的中点，且OA =3，OC =5，若AB →·AD →=－7，则BC →·DC →的值是________．2. (2022·全国福建省漳州市高三期末) 在△ABC 中，|AB →＋AC →|=|AB →－AC →|，AB =2，AC =1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( )A ．89B ．109C ．259D ．269考点四极化恒等式处理数量积中的最值范围问题(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．例7 (全国Ⅱ高考)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1例8 （2022·海南海口·二模）在正三角形ABC 中，点E ，F 是线段AB,AC 的中点，点P 在直线EF 上，若三角形ABC 的面积为2，则2PC PB BC ⋅+的最小值是【题型精练】1. （2022•南通期末）在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________．2. (天津高考)如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD →=λBC →，AD →·AB →=－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|=1，则DM →·DN →的最小值为________．培优专题2 等和线与极化恒等式答案考点一根据等和线求基底系数和的值例1.【答案】43【解析】连接EF ，交AC 于G∵E ，F ，G 共线，则AG xAE y AF =+，且=1x y + 记t AC AG =，则tx ty t λμ+=+=，4t =3AGAC =例2 【答案】43 【解析】如图，EF 为值是1的等和线，过C 作EF 的平行线，设λ＋μ=k ，则k =|AC ||AM |．由图易知，|AC ||AM |=43，故选B ．A【跟踪精练】 1.【答案】BC 【解析】如图 2.【答案】B【解析】如图，AD 为值是1的等和线，过E 作AD 的平行线，设λ＋μ=k ，则k =|BE ||BF |．由图易知，|BE ||BF |=34，故选B ．A3.答案 12解析如图，过点A 作AF →=DE →，设AF 与BC 的延长线交于点H ，易知AF =FH ，∴DF =12BH ，因此λ1＋λ2=12．考点二根据等和线求基底的系数和的最值（范围）例3【答案】2【解析】令x ＋y =k ，所有与直线AB 平行的直线中，切线离圆心最远，即此时k 取得最大值，结合角度，不难得到k =|DO ||OE |=2．1，2），M 在以P 为圆心，半径为2的圆上xAD y AC +，，则有3=x y t +max =111AM MN MG t AN AN AH =+=+≥++min =1113AM MN MG t AN AN AH =−=−≥=−【跟踪精练】1.答案 A 解析建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2，1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD ．因为CD =1，BC =2，所以BD =12＋22=5，EC =BC ·CD BD =25=255，所以P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2=45．设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →=(x 0，y 0)，AB →=(0，1)，AD→BB=(2，0)．因为AP →=λAB →＋μAD →=λ(0，1)＋μ(2，0)=(2μ，λ)，所以μ=12x 0=1＋55cos θ，λ=y 0=1＋255 sin θ．两式相加，得λ＋μ=1＋255 sin θ＋1＋55cos θ=2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ=π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3．故选A ．等和线法过动点P 作等和线，设x ＋y =k ，则k =|AM ||AB |．由图易知，当等和线与EF 重合时，k 取最大值，由EF ∥BD ，可求得|AE ||AB |=3，∴λ＋μ取得最大值3．故选A ．2.【答案】 (－1，0)【解析】如图，作OA →，OB →的相反向量OA 1→，OB 1→，则AB ∥A 1B 1，过O 作直线l ∥AB ，则直线l ，A 1B 1分别为以OA →，OB →为基底的值为0，－1的等和线，由题意线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，所以点C 在直线l 与直线A 1B 1之间，所以m ＋n ∈(－1，0)．考点三极化恒等式处理数量积的定值问题例5【解析】78【解析】极化恒等式法设BD =DC =m ，AE =EF =FD =n ，则AD =3n ．根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →=AD →2－DB →2=9n 2－m 2=4，FB →·FC →=FD →2－DB →2=n 2－m 2=－1．联立解得n 2=58，m 2=138．因此EB →·EC →=ED →2－DB →2=4n 2－m 2=78．即BE →·CE →=78．例6【答案】B 【解析】如图，取AB 中点E ，连接EP 并延长，交AD 延长线于F ， AP →·BP →=EP 2－AE 2=EP 2－16=2，∴EP =32，又∵CP →=3PD →，AE →=EB →，AB →=DC →，∴AE =2DP ，即△F AE 中，DP 为中位线，AF =2AD =10，AE =12AB =4，FE =2PE =62，AP 2=40，AD →·AB →=AF →·AE →=AP 2－EP 2=40－(32)2=22．【题型精练】1．【答案】9 【解析】因为AB →·AD →=AO →2－OD →2=9－OD →2=－7⇒OD →2=16，所以BC →·DC →=CO →2－OD →2=25－16=9．2.【答案】B 【解析】取EF 中点M ，连接AM ，则AE →·AF →=|AM |2－|EM |2=54－536=109．考点四极化恒等式处理数量积中的最值范围问题例7 【答案】B【解析】解析法: 建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P 点的坐标为(x ，y )，图①则P A →=(－x ，3－y )，PB →=(－1－x ，－y )，PC →=(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)=(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )=2(x 2＋y 2－3y )=2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34=－32．当且仅当x =0，y=32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32．故选B ．极化恒等式法: 设BC 的中点为D ，AD 的中点为M ，连接DP ，PM ，∴P A →·(PB →＋PC →)=2PD →·P A →=2|PM →|2－12|AD →|2=2|PM →|2－32≥－32．当且仅当M 与P 重合时取等号．BC例8 【答案】2【解析】取BC 中点D ，由三角形ABC 的面积为2，所以边长BC 的平方为3 ，PD 的最小值为高的一半，所以22316=PD BC ，所以22222213=44⋅+−+=+PC PB BC PD BC BC PD BC23383158353==16431632=+⨯⨯BC . 【题型精练】 1.【答案】23【解析】取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2=PD →2－BC →24＋BC →2=PD →2＋3BC →24≥AD→24＋3BC →24，此时当且仅当AD →⊥BC →时取等号，PC →·PB →＋BC →2≥AD →24＋3BC→24≥2AD →24·3BC →24=23．2.【答案】16 132【解析】因为AD →=λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD =120°，所以AD →·AB →=|AD →|·|AB →|·cos 120°=－32，解得|AD →|=1．因为AD →，BC →同向，且BC =6，所以AD →=16BC →，即λ=16．如图，取MN的中点P ，连接PD ，则DM →·DN →=PD →2－MP →2=PD →2－14，当PD →⊥BC →时，|PD →|2取最小值274，所以DM →·DN →的最小值为132．BC。

平面向量极化恒等式课件

利用向量减法的三角形法则证明
• 总结词：通过利用向量减法的三角形法则证明平面向量极化恒等式。 • 详细描述：首先，我们利用向量减法的三角形法则得到
$\overset{\longrightarrow}{a} - \overset{\longrightarrow}{b}$可以表示为从起点到终点的有向线段。然后，将有向线段延长至原来的两倍，得到新的有向线段$(\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b}) + (\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b})$。根据向量的数乘分配律和向量的加法法则，我们可以得到$\lbrack(\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b}) + (\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b})\rbrack\mathbf{\cdot}(\overset{\lon grightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}) = (\overset{\longrightarrow}{a})^{2} (\overset{\longrightarrow}{b})^{2}$。最后，利用平面向量极化恒等式的等价形式，我们可以证明平面向量极化恒等式成立。
05
平面向量极化恒等式的练习与巩固
基础练习题
向量概念
掌握向量的基本概念、向量的表示方法以及向
量在几何中的应用。
向量的加法
理解向量加法的定义和性质，掌握向量加法的

培优点05极化恒等式、奔驰定理与等和线定理(3大考点+强化训练)(习题版)

培优点05极化恒等式、奔驰定理与等和线定理（3大考点+强化训练）平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、奔驰定理、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单．知识导图考点分类讲解考点一：向量极化恒等式极化恒等式：a ·b .变式：(1)a ·b ＝a ＋b24－a －b24，a ·b ＝|a ＋b |24－|a －b |24.(2)如图，在△ABC 中，设M 为BC 的中点，则AB →·AC →＝AM →2－14CB →2＝AM →2－MB →2.规律方法利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．【例1】(2023·郑州模拟)如图所示，△ABC 是边长为8的等边三角形，点P 为AC 边上的一个动点，长度为6的线段EF 的中点为B ，则PE →·PF →的取值范围是________．【变式】．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-考点二:平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·PA →＋S △PAC ·PB →＋S △PAB ·PC →＝0.易错提醒利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P 为△ABC 内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比．【例2】（2022·安徽·三模）平面上有ABC 及其内一点O ，构成如图所示图形，若将OAB ，OBC △，OCA 的面积分别记作c S ，a S ，b S ，则有关系式0a b c S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=uu r uu u r uuu r r．因图形和奔驰车的logo 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，则O 为ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【变式1】(2023·重庆模拟)△ABC 内一点O 满足关系式S △OBC ·OA →＋S △OAC ·OB →＋S △OAB ·OC →＝0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC 的三边为a ，b ，c ，现有a ·OA →＋b ·OB →＋c ·OC →＝0，则O 为△ABC 的()A．外心B．内心C．重心D．垂心【变式2】(2023·安阳模拟)如图，已知O 是△ABC 的垂心，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则tan∠BAC ∶tan∠ABC ∶tan∠ACB 等于()A．1∶2∶3B．1∶2∶4C．2∶3∶4D．2∶3∶6考点三:等和(高)线定理等和(高)线平面内一组基底OA →，OB →及任一向量OP ′——→，OP ′——→＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，若点P ′在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ＋μ＝k (定值)；反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和(高)线．(1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；(3)当直线AB 在O 点和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)；(4)当等和线过O 点时，k ＝0；(5)若两等和线关于O 点对称，则定值k 1，k 2互为相反数；(6)定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比．规律方法要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k ＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的等和(高)线．【例3】．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP xAB yAC =+，则22x y +的最大值为（）A ．83B ．2C ．43D ．1【变式3】已知O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=，点M 在OBC ∆内（不含边界），若AM AB AC λμ=+ ，则2λμ+的取值范围是A ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭强化训练一、单选题1．如图，AB 是圆O 的直径，P 是圆弧 AB 上的点，M 、N 是直径AB 上关于O 对称的两点，且6,4AB MN ==，则PM PN ⋅（）A ．13B ．7C ．5D ．32．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-3．设向量,a b 满足10a b += 6a b -=r r a b ⋅ =A ．1B ．2C ．3D ．54．已知圆C 的半径为2，点A 满足||3AC =uuu r，E ，F 分别是C 上两个动点，且||3EF =AE AF ⋅的取值范围是（）A ．[]416，B ．[]26，C ．[]622，D ．[]113，5．在ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点P 满足3AD AP =，若存在实数m 和n ，使得BP m AB n AC =+ ，则m n +=（）A ．23B ．13C ．13-D ．23-6．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，且满足AN AB AC λμ=+，则22λμ+的最小值为（）A ．116B ．14C ．18D ．17．在ABC ∆中，点D 满足34BD BC = ，当E 点在线段AD （不包含端点）上移动时，若AE AB AC λμ=+，则3λμ+的取值范围是A．)+∞B ．[2,)+∞C ．17(,)4+∞D ．(2,)+∞8．在ABC 中，点O 是线段BC 上的点，且满足||3||OC OB =，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，且AB mAE = ，AC nAF = ，其中0m >且0n >，若1tm n+的最小值为3，则正数t 的值为()A ．2B ．3C ．83D ．1139．如图，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，AB ∥DC ，2AB =，1AD DC ==，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP xAB yAC =+，其中x y R ∈，，则4x y -的取值范围是（）A．234⎡+⎢⎥⎣⎦，B．232⎡+⎢⎥⎣⎦，C．3342⎡-+⎢⎣⎦D．3322⎡-+⎢⎥⎣⎦10．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．211．奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O 为三角形ABC 内一点，且满足：2332OA OB OC AB BC CA ++=++，则AOB ABCS S=△△（）A ．25B ．12C ．16D ．1312．已知O 是ABC 内的一点，若,,BOC AOC AOB 的面积分别记为123,,S S S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O 是ABC 的垂心，且230OA OB OC ++=，则tan :tan :tan BAC ABC ACB ∠∠∠=（）A ．1:2:3B ．1:2:4C ．2:3:4D ．2:3:613．已知点P 是ABC 所在平面内一点，若2133AP AB AC =+，则ABP 与ACP 的面积之比是（）A ．3:1B ．2:1C ．1:3D ．1:214．已知点P 为ABC 内一点，230PA PB PC ++=，则△APB ，△APC ，△BPC 的面积之比为（）A ．9:4:1B ．1:4:9C ．1:2:3D ．3:2:1二、多选题15．如图.P 为ABC 内任意一点，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，总有优美等式0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（）A ．若P 是ABC 的重心，则有0PA PB PC ++=B ．若0aPA bPB cPC ++=成立，则P 是ABC 的内心C ．若2155AP AB AC =+，则:2:5ABP ABC S S =△△D ．若P 是ABC 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+ ，则)m n ⎡+∈⎣16．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz ）的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，BOC ，AOC ，AOB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.若O 是锐角ABC 内的一点，A ，B ，C 是ABC的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅.则（）A ．O 为ABC 的外心B ．BOC A π∠+=C ．::cos :cos :cos OA OB OC A B C =D ．tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OAB OBC OC 17．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是△ABC 内一点，△BOC ，△AOC ，△AOB的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有（）A ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B ．若2OA OB == ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =C ．若O 为△ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C ∠=D ．若O 为△ABC 的垂心，3450OA OB OC ++= ，则cos 6AOB ∠=-18．在平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB AC ==，点P 是ABC 的三边上的任意一点，设AP AB AD λμ=+，().R λμ∈，则下列结论正确的是（）A ．0λ≥，0μ≥B ．当点P 为AC 中点时，1λμ+=C ．AP AD ⋅的最大值为1D ．满足32λμ+=的点P 有且只有一个三、填空题19．在扇形OAB 中，60AOB ∠=，C 为弧AB 上的一动点，若OC xOA yOB =+，则3x y +的取值范围是．20．在ABC 中，点O 是线段BC 上的点，且满足3OC OB =，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于点,E F ，且AB m AE = ，AC nAF = ，其中0m >且0n >，若12m n+的最小值为.21．如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB的夹角为120 ，OA 与OC 的夹角为30 ,且|||1OA OB ==，||OC =()，OC λOA μOB λμ=+∈R ,则λμ+的值为.22．（22-23高三上·江苏南通·期中）如图，已知M ，N 是ABC 边BC 上的两个三等分点，若6BC =，4AM AN ⋅=，则AB AC ⋅uu u r uuu r =．23．已知线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y -+-=上的一条动弦，且3AB =设点O 为坐标原点，则+OA OB的最大值为；如果直线1:310l x my m --+=与2:310l mx y m +++=相交于点M ，则MA MB ⋅的最小值为.24．在锐角三角形ABC 中，已知,23B AB AC π=-= ，则AB AC ⋅的取值范围是．25．四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AB CD 的中点，2AB =，22CD =，1EF =，点P 满足0PA PB ⋅=，则PC PD ⋅的最大值为.26．点P 为ABC 内一点，340PA PB PC →→→→++=，则,,APB APC BPC 的面积之比是.。

二级结论专题6 平面向量

二级结论专题6平面向量二级结论1：极化恒等式【结论阐述】（1）极化恒等式：()()2214⎡⎤⋅=+--⎣⎦a b a b a b ；（2）极化恒等式平行四边形型：在平行四边形ABCD 中，()2214AB AD AC BD ⋅=- ，即向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14；（3）极化恒等式三角形模型：在ABC 中，M 为边BC 中点，则；2214AB AC AM BC ⋅=- .说明：（1）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决；（2）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.【应用场景】极化恒等式常用于解决与平面向量数量积有关的求值（定值）､最值､范围等问题.【典例指引1】（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）1．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4⋅=BA CA ，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅uur uur的值是_______.【典例指引2】2．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【针对训练】（2022·山东日照市·高三二模）】3．如图，在平行四边形ABCD 中，已知8,5,3,2AB AD CP PD AP BP ===⋅= ，则AB AD⋅ 的值是（）A ．44B ．22C ．24D ．72（2022·河北武强中学高三月考）4．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB AD ⋅=－7，则BC DC ⋅的值是________．（2022·全国福建省漳州市高三期末）5．在ABC ∆中，,2,1,,AB AC AB AC AB AC E F +=-== 为BC 的三等分点，则·AE AF =A ．89B ．109C ．259D ．269（2022·海南海口·二模）6．在正三角形ABC 中，点,E F 是线段,AB AC 的中点，点P 在直线EF 上，若三角形ABC 的面积为2，则2+PC PB BC ⋅的最小值是___________（2022•南通期末）7．在面积为2的ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2PC PB BC ⋅+uu u r uu r uu u r 的最小值是______.（天津高考）8．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=- ，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN = ，则DM DN ⋅的最小值为_________．二级结论2：三角形“四心”向量形式的充要条件【结论阐述】设O 为ABC ∆所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（1）O 为ABC ∆的外心()()()02sin aOA OB OC OA OB AB OB OC BC OA OC AC A⇔===⇔+⋅=+⋅=+⋅= .（如图1）（2）如图2，O 为ABC ∆的重心⇔OA OB OC ++=0.（3）如图2，O 为ABC ∆的垂心⇔OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅.（4）如图3，O 为ABC ∆的内心sin sin sin aOA bOB cOC A OA B OB C OC ⇔++=⇔⋅+⋅+⋅=00 .说明：三角形“四心”——重心，垂心，内心，外心（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等.【应用场景】主要用于有关向量与三角形“四心”问题的判断与研究.【典例指引1】9．在ABC 所在平面内有三点O ，N ，P ，则下列说法正确的是（）A ．满足||||||OA OB OC ==，则点O 是ABC 的外心B ．满足0NA NB NC ++=，则点N 是ABC 的重心C ．满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC 的垂心D ．满足()0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且12||||AB AC AB AC ⋅= ，则ABC 为等边三角形【典例指引2】10．已知,,,O A B C 是平面上的4个定点，,,A B C 不共线，若点P 满足()OP OA AB AC λ=++，其中R λ∈，则点P 的轨迹一定经过ABC 的（）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心【针对训练】11．在△ABC 中，=3AB ，=4AC ，=5BC ，O 为△ABC 的内心，若AO AB BC λμ=+，则λμ+=（）A ．23B ．34C ．56D ．3512．已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++⎪⎝⎭()R λ∈，则点P 的轨迹一定经过ABC 的（）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心13．设G 为ABC 的重心，若=2AB，BC =，=4AC ，则AG BC ⋅=___________14．设O 为ABC 的外心，若=4AB，BC =，则BO AC ⋅=___________.15．设I 为ABC 的内心，若=2AB，BC =，=4AC ，则AI BC ⋅=___________二级结论3：奔驰定理【结论阐述】奔驰定理：设O 是ABC ∆内一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别记作A S ，B S ，C S 则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：①O 是ABC ∆的重心⇔::1:1:1A B C S S S =⇔0OA OB OC ++=.②O 是ABC ∆的内心⇔::::A B C S S S a b c =⇔0aOA bOB cOC ++=.③O 是ABC ∆的外心::sin 2:sin 2:sin 2sin 2sin 2sin 20A B C S S S A B C A OA B OB C OC ⇔=⇔⋅+⋅+⋅=.④O 是ABC ∆的垂心⇔::tan :tan :tan A B C S S S A B C =⇔tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.【应用场景】奔驰定理常用于解答与三角形内任意一点有关的三角形面积问题.【典例指引1】（2022·四川西昌·高二期末）16．在平面上有ABC 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=则O为ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【典例指引2】17．设G 是△ABC 重心，且(56sin )(40sin )(35sin )0A GA B GB C GC ++=，则B ∠=_________．【针对训练】一､单选题18．若O 是平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，且满足()OP OC CB CA λ=++（R λ∈），则P 点的轨迹一定过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心19．若O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面内不共线的三点，若点P 满足2OB OC OP += +λAP(λ∈(0，+∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心20．已知O 是平面内一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()()0,,λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞⎪⎝⎭AB ACOP OA AB AC 则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心21．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭=+，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．重心B ．内心二､多选题（2022·重庆实验外国语学校高一期中）22．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，内心为Q ，则下列结论正确的是（）A ．212AO AB AB⋅= B ．GA GB GA GC GB GC⋅=⋅=⋅ C ．0HA HB HC ++= D ．若A P Q 、、三点共线，则存在实数λ使||||AB AC AP AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2022·广东·东莞市光明中学高一阶段练习）23．点O 在ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有（）A ．若0OA OB OC ++=，则点O 是ABC 的重心．B ．若0||||||||AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点O 是ABC 的内心．C ．若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，则点O 是ABC 的外心．D ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC 的垂心．三､填空题24．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，[)0,λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC 的________(填序号）．①内心②垂心③重心④外心参考答案：1．78【详解】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（），2211114123234FD BC BF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==- （）（），因此22513,82FD BC == ，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简.对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．2．B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[(4PA PB PC x y x y +=-+=+-∴当0x =，y =时，取得最小值332()42⨯-=-，故选：B ．3．B【分析】以{},AB AD 为基底分别表示出,AP BP ，再利用平面向量数量积的运算律即可解出．【详解】因为3CP PD =，所以14AP AD DP AD AB =+=+ ，1344BP AP AB AD AB AB AD AB =-=+-=- ，而2AP BP ⋅=，所以，13244AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：2213582216AB AD -⋅-⨯= ，即22AB AD ⋅= ．故选：B ．4．9【解析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用AB AD ⋅=()()AO OB AO OD +⋅+ ,求出||||4OB OD == ，再利用()()BC DC BO OC DO OC ⋅=+⋅+，运算可求出结果.【详解】在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3,5,0OA OC OB OD ==∴+=若7AB AD ⋅=- ，则()()AO OB AO OD +⋅+ 2AO AO OD AO OB OB OD =+⋅+⋅+⋅ 22()AO OA OD OB OB =+⋅+- 223OB =- 7=-，216OB ∴= ，||||4OB OD ∴== ，()()BC DC BO OC DO OC ∴⋅=+⋅+ 2BO DO BO OC OD OC OC =⋅+⋅+⋅+= 222()4BO OC BO OD OC -+⋅++=- 2059++=.故答案为：9【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算，考查了转化思想和运算能力，属于中档题.5．B【详解】试题分析：因为AB AC AB AC +=- ，所以AB AC ⊥ ，以点A 为坐标原点，,AB AC 分别为,x y 轴建立直角坐标系，设()()2,00,1AB AC ==，，又E F ，为BC 的三等分点所以，4122,,3333AE AF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以412210,,33339AE AF ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选B.考点：平面向量的数量积.【一题多解】若AB AC AB AC +=- ，则222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，即有0AB AC ⋅=，,E F 为BC 边的三等分点，则()()1133AE AF AC CE AB BF AC CB AB BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21123333AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22225210(14)099999AC AB AB AC =++⋅=++= ,故选B ．6【分析】取BC 中点D ，由题意，计算得2BC =ABC ，数形结合可知，PD 的最小值为PBC △的高4BC ，利用向量的基底表示与线性运算将问题转化为2222113+=+·+=+224PC PB BC PD BC PD BC BC PD BC ⋅-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代值计算.【详解】取BC 中点D ，由正ABC 的面积为2，221πsin 2233ABC S BC BC ∴=⋅⋅=⇒=，ABC 的高为πsin3h BC =⋅=，数形结合得，PD 的最小值为PBC △的高，即12PD h ≥=，所以22316PD BC ≥ ，所以2211+=+·+22PC PB BC PD PD BC BC ⋅-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222221333815854416431632PD BC BC PD BC BC -+=+≥+⨯⨯ .故答案为：27．【分析】由平面几何的知识结合三角形面积公式可得2sin PB PC BPC⋅=∠，由平面向量数量积的运算可得2cos sin BP PC P CB B PC∠=∠⋅uu u r uu r ，由余弦定理结合基本不等式可得244cos sin BP B C BP C C -∠∠≥，进而可得242cos sin PC P BPC BP B CBC ⋅-∠∠+≥uu u r uu r uu u r ，令()42cos (),0,sin x f x x x π-=∈，利用导数求得()f x 的最小值后即可得解.【详解】因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的一半，所以2ABC PBC S S = ，又2ABC S = ，所以11sin 2PBC S PB PC BPC ==⋅⋅∠ ，因此2sin PB PC BPC⋅=∠，所以2cos cos sin BPCPB PC BP PC B PC P C B ∠⋅⋅∠∠⋅==uu u r uu r ；又由余弦定理可得：2222cos =+-⋅⋅∠BC PB PC PB PC BPC44cos s 22cos in PB PC PB PC BP BPCBPCC ≥⋅-⋅-∠=∠∠，当且仅当PB PC =时，取等号；所以22cos 44cos 42cos sin sin sin BPC BPC BP PC PB BC CBPC BPC BPC∠-∠-∠++∠∠≥=∠⋅uu u r uu r uu u r ，令=∠x BPC ，42cos ()sin xf x x-=，()0,x π∈；又2222sin (42cos )cos 24cos ()sin sin x x x xf x x x---'==，由()0f x '>得1cos 2x <，所以3x ππ<<；由()0f x '<得1cos 2x >，所以03x π<<；所以()f x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；所以min()23f x fπ⎛⎫==⎪⎝⎭因此2PC PB BC⋅+uu u r uu r uu u r的最小值是故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式、余弦定理、导数的应用及向量数量积的最值问题，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.8．16132【分析】可得120BAD∠= ，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x，则点()1,0N x+（其中05x≤≤），得出DM DN⋅关于x的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN⋅的最小值.【详解】AD BCλ=，//AD BC∴，180120BAD B∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC ABλλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=-⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，()66,0BC C=∴，,∵3,60AB ABC=∠=︒，∴A的坐标为3,22A⎛⎝⎭,∵又∵16AD BC=,则5,22D⎛⎝⎭，设(),0M x，则()1,0N x+（其中05x≤≤），5,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，3,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN ⋅ 取得最小值132.故答案为：16；132.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.9．ABCD【分析】根据三角形外心、重心和垂心的定义逐一用向量判断ABC ，用向量的数量积和运算律判断D 即可.【详解】解：对于A ，因为||||||OA OB OC ==，所以点O 到ABC 的三个顶点的距离相等，所以O 为ABC 的外心，故A 正确；对于B ，如图所示，D 为BC 的中点，由0NA NB NC ++=得：2ND NA =- ，所以||:||2:1AN ND = ，所以N 是ABC 的重心，故B正确；对于C ，由PA PB PB PC ⋅=⋅ 得：()0PA PC PB -⋅=，即0AC PB ⋅= ，所以AC PB ⊥；同理可得：AB PC ⊥，所以点P 是ABC 的垂心，故C 正确；对于D ，由()0||||AB AC BC AB AC +⋅=得：角A 的平分线垂直于BC ，所以AB AC =；由12||||AB AC AB AC ⋅=得：1cos 2A =，所以3A π=，所以ABC 为等边三角形，故D 正确．故选：ABCD ．10．A【分析】设BC 边的中点为D ，则2AB AC AD +=，进而结合题意得2AP AD λ= ，再根据向量共线判断即可.【详解】解：根据题意，设BC 边的中点为D ，则2AB AC AD +=，因为点P 满足()OP OA AB AC λ=++，其中Rλ∈所以，()2OP OA AP AB AC AD λλ-==+= ，即2AP AD λ=，所以，点P 的轨迹为ABC 的中线AD ，所以，点P 的轨迹一定经过ABC 的重心.故选：A11．C【分析】根据向量的减法法则化简题中的等量关系，结合三角形内心的性质得到系数的关系求解.【详解】由AO AB BC λμ=+得()()AO OB OA OC OB λμ=-+- ，则()()1++=0OA OB OC -λλ-μμ，因为O 为△ABC 的内心，所以++=0BC OA AC OB AB OC，从而()()1::5:4:3λλμμ--=，解得712λ=，14μ=，所以56λμ+=.故选：C.12．C【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点P 轨迹.【详解】因为AB AB为AB 方向上的单位向量，AC AC为AC方向上的单位向量，则||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，由AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++⎪ ⎪⎝⎭，可得AB AC OP OA AB ACλ⎛⎫⎪-=+⎪⎝⎭，即AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+⎪ ⎪⎝⎭，所以点P 的轨迹为BAC ∠的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：C.13．4【分析】由G 为ABC 的重心，易得()1=,3AG AB AC + 又=BC AC AB -，结合数量积运算律即可得到结果.【详解】由已知可得ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，因为G 为ABC 的重心，所以()22+1===+,3323AB AC AG AF AB AC ⋅=BC AC AB -，∴()()()()22111=+==164=4333AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅⋅--- ，故答案为：414．2-【分析】根据条件和几何意义，将BO AC转化为相应的向量投影即可求解.【详解】如图，设D ､E 分别为,AB BC 的中点，则,OD AB OE BC ⊥⊥，所以()BO AC BO BC BA BO BC BO BA =-=- cos cos BO BC OBC BO BA OBA=∠-∠2211=··==222BE BC BA BD BC BA --- ,故答案为：-2.15．6-【分析】利用向量的数量积运算求解或根据投影的几何意义求解.【详解】解法1：不难发现，ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，如图，设圆I 与AB ､AC ､BC 分别相切于点D ､E ､F ，设圆I 的半径为r ，则ID IE IF r ===，显然四边形BDIF 是正方形，所以BD BF r ==，从而2AD r =-，CF r =，易证=AE AD ，=CE CF ，所以2AE r =-，CE r =，故224AE CE r AC +=+==，从而1r ，23AD r =-=()AI BC AI AC AB AI AC AI AB ⋅=⋅-=⋅-⋅ cos cos AI AC IAC AI AB IAB=⋅⋅∠-⋅⋅∠()26AE AC AD AB AD AC AB AD =⋅-⋅=-==-故答案为:6-解法2：按解法1求得ABC 的内切圆半径1r ，由图可知AI 在BC1，所以)16AI BC ⋅=⨯-故答案为:6-16．B【分析】利用三角形面积公式，推出点O 到三边距离相等。

第05讲平面向量之极化恒等式(高阶拓展、竞赛适用)(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案

第05讲平面向量之极化恒等式（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）在向量的命题考查中，数量积的运算一直是热点问题，一般情况下，我们掌握公式法、基底法、投影法和坐标法来求解数量积，但有时会计算量繁琐、解题时间较长。

而本节要学的极化恒等式可以从另一角度来综合解题。

利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。

极化恒等式22()()4a b a b a b +--×=r r r r r r 恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系如图在平行四边形 ABCD 中, ,AB a AD b==uuu r uuu r rr 则 22()()4AB AD AB AD a b +--×=uuu r uuu r uuu r uuu r r r 在上述图形中设平行四边形 ABCD 对角线交于 M 点, 则对于三角形来说:2222()()||||44AB AD AB AD DB a b AM +--×==-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r r r极化恒等式的适用条件(1)共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点;第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。

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平面向量
巧用极化恒等式，妙解一类向量题
如图， AB a, AD b，试证明平行四边形四边和对角线性质。
AC AC a b a 2a b b
DB DB
2 2 2 2
2
2
a b a
2
2 2
2
2
（1）
（2）
2a b b
2
2 2 2 2 （1）+（2）得： AC DB 2 a b 2 AB AD
（1）—（2）得：
2 2 1 a b a b ————极化恒等式 ab＝ 4

应用一：求值
例1.(2012 浙江15)在ABC中，M是BC的中点， AM 3, BC 10, 则 AB AC
A
B
M
C
应用二：求范围
例2.已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则 PA PB的取值范围是 ____;
PB PC P 0 B PC 0 。则(
A.
)
ABC 90
B. BAC 90 D. AC BC
C. AB AC
变（浙江省五校联盟 2013 第二次联考）已知圆 O 的半径为 4. 3 ．
2 2, A、B 是圆上两点且 AOB , MN 是一条直径 , 点 C 在 3
C
P
A
D
B
跟踪练习： o AB 4, AC 2, BAC 60 , AP 2, 则( PB PC) max _______
跟踪练习：
AB 上一定点，例 3. （2013 浙江理 7）在 ABC 中, PБайду номын сангаас0 是边
1 满足 P0 B AB ，且对于边 AB 上任一点 P ，恒有 4
圆内且满足 OC OA (1 )OB (0 1) , 则 CM CN 的最小值为 A．-2 B．-1 C．-3 D．-4
4
跟踪练习： 1.正ABC边长为4，P为AC上一点，则( BP CP ) min 3.在RtABC中，AC 2, BC 2, 已知点P是ABC 内一点，则PC ( PA PB)的最小值是 _______