上海市高三数学上学期期末考试试题(含解析)沪教版

上海市高三数学上学期期末考试试题（含解析）沪教版

高三数学试卷（一模）

(满分：150分，完卷时间：120分钟) （答题请写在答题纸上）

一、填空题(本大题共有14小题，满分56分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数f (x )=3x –2的反函数f –1

(x )=________． 【答案】

2

3

x + 【解析】由f (x )=3x –2得23y x +=

，即12

()3

x f x -+=。 2．若全集U =R ，集合A ={x | –2≤x ≤2}，B ={x | 0

B ={x | 0

{10}U

B x x x =≥≤或，所以

{210}U

A

B x x x =-≤≤≤≤或-2.

3．函数)3

2sin(π

+=x y 的最小正周期是_________．

【答案】π

【解析】因为2ω=，所以周期222

T π

π

πω

=

=

=. 4．计算极限：22

22

lim()1

n n n n →∞-++=． 【答案】2

【解析】2

222

2222lim()lim()211

11n n n n n n n n

→∞→∞-

-==++++.

5．已知),1(x =，)2,4(=，若⊥，则实数=x _______． 【答案】–2

【解析】因为b a ⊥，所以420x +=，解得2x =-。

6．若复数(1+2i)(1+a i)是纯虚数，(i 为虚数单位)，则实数a 的值是． 【答案】

2

1

【解析】由(1+2i)(1+a i)得12(2)a a i -++，因为12(2)a a i -++是纯虚数，所以

120,20a a -=+≠，解得12

a =

。 7．在6

2()x x

-的二项展开式中，常数项等于．(用数值表示) 【答案】–160

【解析】展开式的通项公式为6621662()(2)k k

k k k k

k T C x

C x

x

--+=-=-，由620k -=得3k =，所以常数项为33

46(2)160T C =-=-。

8．已知矩阵A =1234⎛⎫

⎪⎝⎭，矩阵B =4231⎛⎫

⎪⎝⎭

，计算：AB =． 【答案】1042410⎛⎫

⎪⎝⎭

【解析】：AB =1242142312211043431344332412410⨯+⨯⨯+⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

==

⎪⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯⨯+⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

。 9．若直线l ：y=kx 经过点)3

2cos ,32(sin π

πP ，则直线l 的倾斜角为α =． 【答案】

56

π

【解析】因为直线过点)32cos ,32(sin

ππP ，所以22sin cos

33

k ππ

=12=-，所

以k =，由tan k α==56

π

α=。 10．A 、B 、C 三所学校共有高三学生1500人，且A 、B 、C 三所学校的高三学生人数成等差数列，在一次联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取_________人． 【答案】40

【解析】因为A 、B 、C 三所学校的高三学生人数成等差数列，所以设三校人数为

,,x d x x d -+，则31500x d x x d x -+++==，所以500x =。则在B 校学生中抽取的

人数为

120

500401500

⨯=人。 11．双曲线C ：x 2

–y 2

= a 2

的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2

=16x 的准线交于A 、

B 两点，34||=AB ，则双曲线

C 的方程为__________．

【答案】14

42

2=-y x 【解析】抛物线的准线方程为4x =-，当4x =-时，22

16y a =-。由34||=AB 得，

23A y =,所以2

2

1612y a =-=，解得2

4a =，所以双曲线C 的方程为14

42

2=-

y x 。 12．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m ，第二次出现的点数记为n ，方程组

⎩⎨

⎧=+=+2

323

y x ny mx 只有一组解的概率是_________．（用最简分数表示） 【答案】

18

17 【解析】方程组只有一组解 0233

2

≠-==

n m n m D ，即除了m =2且n =3或m =4且n =6

这两种情况之外都可以，故所求概率6621766

18P ⨯-⨯=

=．

13．若函数y=f (x ) (x ∈R )满足：f (x +2)=f (x )，且x ∈[–1, 1]时，f (x ) = | x |，函数

y=g (x )是定义在R 上的奇函数，且x ∈(0, +∞)时，g (x ) = log 3 x ，则函数y=f (x )的图像

与函数y=g (x )的图像的交点个数为_______．

【答案】4

【解析】f(x+2)=f(x)⇒ f(x)的周期为2，由条件在同一坐标系中画出f (x)与g(x)的图像如右，由图可知有4个交点.

14．若实数a 、b 、c 成等差数列，点P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0上的射影为M ，点

N (0, 3)，则线段MN 长度的最小值是．

【答案】24-

【解析】a 、b 、c 成等差数列⇒a -2b +c =0⇒ a ⋅1+b ⋅(-2)+c =0，∴直线l ：ax+by+c =0过定点

Q (1,-2)，又P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0上的射影为M ，∴∠PMQ =90︒，∴M 在以

PQ 为直径的圆上,圆心为C (0, -1)，半径r =222||222

121=+=PQ ，线段MN 长度的最小值即是N (0, 3)与圆上动点M 距离的最小值=|NC |-r =4-2.