大学物理驻波、多普勒效应、习题课

§4-5 驻波

一、驻波方程

在同一介质中，在同一直线上，两列沿相反方向传播的频率相同、振动方向相同、振幅相同的简谐波叠加时, 就形成 驻波 。

驻波是一种特殊的干涉现象！

为简单起见，设两列行波分别沿 x 轴正、反向传播，在x = 0处两波初相均为0

x + 方向： 12cos A t x πξωλ⎛

⎫=-

⎪⎝⎭ x - 方向： 22cos A t x πξωλ⎛

⎫=+

⎪⎝

⎭

合成波： 1222cos cos A t x A t x ππξξξωωλλ⎛

⎫⎛

⎫=+=-

++

⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

22cos cos A x t π

ωλ

⎛⎫

=

⎪⎝⎭

x 和t 被分割于两个余弦函数中）

绝对值为振幅 谐振动，相位中不含x

二、驻波的特点

1、()(),,x x t t x t ξξ+∆+∆≠ 其中 x u t ∆=∆ 只有波形的变化，不向前传播

2、cos t ω： 各个质点作同频谐振动

3、2cos x πλ

⎛⎫

⎪⎝⎭

：振幅按余弦规律变化，各处不等大 振幅最大： 222

x

k

π

π

λ

= （0,1,2,k =±）

2

x k λ= 波腹

振幅最小： 2(21)

2

x

k π

π

λ

=+ （0,1,2,k =±）

(21)

4

x k λ

=+ 波节

相邻两波腹或两波节之间的距离为 2

λ 4、驻波中的“位相”

2cos x πλ⎛⎫

⎪⎝⎭

为正， 位相为 t ω 2cos x πλ

⎛⎫

⎪⎝⎭

为负， 位相为 t+ωπ 驻波是分段的振动。两相邻波节间为一段，同一段振动相位相同；相邻段振动相位相反。

5、驻波无能量传播

三、半波损失

波传播时，遇到界面会怎么样？界面处的振动？

波会反射回来，反射波与入射波叠加！

图中情况，B 是固定点 波节 入射波和反射波位相相反，位相差为 π 反射波的位相有 π 的突变，“损失π” 位相差为 2π 的两点，距离为一个波长 λ 反射波有半波损失！

实验发现，在界面处有时形成波节，有时形成波腹。规律？ 取决于界面两边介质的相对波阻。 波阻u ρ=

波疏介质 → 波密介质：反射时有半波损失（界面形成波节） 波密介质 → 波疏介质：反射时无半波损失（界面形成波腹）

半波损失是一个很重要的概念，在研究声波、光波的反射问题时会经常涉及到！

B

大 波密介质

小

波疏介质

例：如图所示，O 为波源，振动方程为 cos 2y A t πω⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭，向右发出平面简谐

波，波速为 u ，BB ' 为波密媒质反射面，3OP λ=（λ为波长），求驻波方程及

波腹和波节位置。

解：

（1）入射波方程

12cos 2y A t x ππωλ⎛

⎫

=+-

⎪⎝⎭

反射波方程

()222cos 332y A t x πππωλλλπλ+⎡

⎤=+---⎢⎥⎣⎦

有半波损失 23cos 2A t x ππωλ⎛

⎫

=++ ⎪⎝

⎭

驻波方程

12y y y =+

()22cos cos 2A x t π

πωπλ⎛⎫=++

⎪⎝⎭ （2）波腹位置

2cos 12x π

πλ

⎛⎫+= ⎪⎝⎭

⇒

22x k π

π

πλ

+

=

2135,,,44

44

k x λλλ

λ-==

（3）波节位置

2cos 02x π

πλ

⎛⎫+=

⎪⎝⎭ x

B O

P

x

u

B '

3λ

波密

波疏

Q

⇒2

22

x k

πππ

π

λ

+=+

35

0,,,,2,, 2222

k

x

λλλλλλ

==

§4-6 多普勒效应 冲击波（自学）

前面讨论中，假定波源和观察者都相对于媒质静止，观察者所观测到的频率就是波源振动的频率。

多普勒效应：当波源S 或观察者B 或两者都相对于媒质运动时,观察者所测得的频率 B ν 不等于波源振动频率 S ν，这种现象称为多普勒效应。

讨论波源和观察者在同一直线上运动，相对于媒质的速度分别为 S υ 和 B υ

参考系： 媒质

符号规定： S 和 B 相互靠近时，S υ、B υ为正

三个频率： S ν——波源振动频率（在单位时间内发出的完整波形的个数） ν ——波在媒质中的频率（单位时间内通过媒质中固定点的完整

波的个数）

B ν——接受频率（单位时间内通过观察者的完整波的个数）

1、波源静止而观察者运动 （0S υ=，0B υ≠） 设 B 向着静止的波源运动

单位时间内通过观察者的波列长度为 B u υ+ 单位时间内观察者接受到的完整波个数 S νν= B

B B

B S u u u u u

υυυνννλ

+++=

=

= 2、观察者静止而波源运动 （0B υ=，0S υ≠）

B νν=， 但 ?ν=

S 发出“波头”后，前进 S S T υ 时再发“波尾”，使 S 运动前方的波长缩短。

B

B υ

u