最新现代控制理论复习题
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概念：
设动态系统为)()()(,)()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x
+=+=&，
（1）若At e t =Φ)
(，则)(t Φ称为（状态转移矩阵 ）
（2）若D B A sI C s G +-=-1
)()(，则)(s G 称为（ 传递函数矩阵 ）
（3）若],,,,[],[1
2B A B A AB B B A n c -=ΓΛ，则],[B A c Γ称为（能控性矩阵） （4）若T
n o CA CA CA C A C ],,,,[],[12-=ΓΛ，则],[A C o Γ称为（能观性矩阵） （5）若],,,,,[],,[1
2D B CA B CA CAB CB B A C n oc -=ΓΛ，则],,[B A C oc Γ称为（输出能控
性矩阵）
（6）李雅普诺夫方程Q PA P A
T
-=+，其中Q 为正定对称阵，当使方程成立的P 为
（ 正定对称阵 ）时，系统为渐近稳定。
（7）设系统0)0(,0,)(=≥=f t x f x &，如果存在一个具有一阶导数的标量函数
)(x V ，0)0(=V ，并且对于状态空间X 中的且非零点x 满足如下条件：)(x V 为（正定）；)(x V &为（负定）；当
∞→x 时，∞→)(x V 。则系统的原点平衡状态是（大范
围渐近稳定的）。
（8）状态反馈不改变系统的（可控性）。输出至状态微分反馈不改变系统的（可观测性）。输出至参考输入反馈，不改变系统的（可控性和可观测性）。状态反馈和输出反馈都能影响系统的（稳定性和动态性能）。
（9）状态反馈控制的极点任意配置条件是系统状态（完全可控）。状态观测的极点任意配置条件是系统状态（完全可观）。 （10）系统线性变换Px x =时，变换矩阵P 必须是（非奇异的，或满秩）的。
二：已知系统传递函数 )
2()1(5
)(2
++=
s s s G ，试求约当型动态方程。 解：25
15)
1(5)2()1(5)(2
2+++-+=++=
s s s s s s G
由上式，可得约当型动态方程
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321555110200010011x x x y u x x x x x x &&&
三：试求下列状态方程的解 x x ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=30002000
1&的解 解：由题意可得：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧-=-==-=---0110
1
0)()()()(x
A sI L t x x A sI x x
x A sI Ax x
& 0
3201
1
1000000310002100011300020001
)(x e e e x s s s L x s s s L t x t t t ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=------
五：设系统状态方程为0111x x u a b ⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦&，并设系统状态可控，试求,a b 。 解：
[]⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-==11
ab b b AB B P c M
令b
b a b ab P
c 1
012+≠⇒≠--=时，即可满足可控性条件。
六：试确定使系统[]1,110a x x y x b ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦&可观测的.,b a 。
解：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a CA C P c 111 101+≠⇒≠+-=a b a b P c 时，于是系统可观。
第A9-3题：系统微分方程为 u x x x =++23&&&， 其中u 为输入量；x 为输出量。
⑴设状态x x x x &==21
,，试写出系统的动态方程；
⑵设状态变换212211
2,x x x x x x --=+=，试确定变换矩阵T ，及变换后的动
态方程。 参考答案：
⑴列写系统的动态方程
[]⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212101103210x x y u x x x x &
& ⑵求变换矩阵T 和变换后的动态方程
由题意知 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212111x x x x , 故变换矩阵 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=2111
T 由于
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-11121T , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-20011
AT T A ⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-==-111
B T B , []11==CT C
变换后的动态方程
u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1120012121&&, []⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=2111x x y
第A9-5题：已知系统结构图，其状态变量为x 1，x 2，x 3。试列写动态方程。
参考答案：
⑴将频域参量s 视作微分算子，可得
21)3()(2x s x u +=- ， 132)3()(2x s s x x +=-
13sx x =，
1x y =
⑵整理得动态方程
31x x =&
u x x x 232212+--=&
32332x x x -=&
1x y =
⑶写成向量矩阵形式
u x x x x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020320032100321321&&&, []⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛⋅=321001x x x y
第A9-6题：已知系统传递函数为
3
48
6)(22++++=s s s s s G
试求可控标准型（A 为友矩阵），可观标准型（A 为友矩阵转置），对角型（A 为对角阵）动态方程。 参考答案：