高三数学课件：曲线与方程38页PPT
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高中数学曲线与方程ppt课件
变式练习1：已知线段AB的长为6，求线段AB的垂 直平分线的方程。 分析： 1、根据已知建立合适的直角坐标系； （建系） 2、用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐 （设点） 标； 3、写适合条件p的点M的集合P={M|P(M)}； 4、用坐标表示条件P(M)，列方程f(x,y)=0（列式） ； 5、化方程f(x,y)=0为最简形式； （化简） 6、说明化简以后的方程的解为坐标的点都在曲线 上。 求曲线的方程的一般步骤： 建系、设点、列式、化简
求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简 例2：已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离 是2，一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离 减去到l的距离的差都是2，求这条曲线方程。
Hale Waihona Puke 解：如图建立直角坐标系，则F(0,2)，设M(x,y) (y>0)是所求曲线上任一点，由已知得： |MF|-|MB|=2
即： ( x 0) ( y 2) y 2 ( x 0) 2 ( y 2) 2 (y 2) 2 1 2 化简得： y x 8
2 2
y
M
F B lx
1 2 所求的曲线方程为 y x ( x 0) 8
∵ y>0
∴ x≠0
求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简
O
x
例3：过原点的直线与圆x2+y2-6x+5=0相交于A、 (参数法) B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。 解：设过原点的直线为y=kx，弦AB的中点M(x,y) 把y=kx代入x2+y2-6x+5=0得： x2+(kx)2-6x+5=0 即: (1+k2)x2-6x+5=0
课件高中数学_人教版选修：曲线与方程PPT课件_优秀版
一、新知探究
1.在直角坐标系中，圆心为C(a,b) ,半
径为r的圆C的方程为_(_x_-a__)2_+_(_y_-b__)2_=_r_2_.
2.①若点M(x0,y0)在圆C上，则点M的坐标 (x0,y0)是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解吗？
y
②若(x0,y0)是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解，
3.“以这个方程的解为坐标点都在曲线上”,阐明符合条 件的所有点都在曲线上而毫无遗漏——完备性.
4.由曲线的方程的定义可知: 如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)在
曲线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0.
三、精典例题
例1 判断下列命题是否正确： (1)过点A(3，0)且垂直x轴的直线的方程为︱x︱=3. (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1. (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为 ︱xy︱=1. (4)△ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为BC 中点，则中线AD的方程x=0.
的关系:
第二步：设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明点 M
①若点M(x0,y0)在圆C上，则点M的坐标
(3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为
也可以说成曲线f(x,y)=0
由题意得( )2+(-m-1)2=10
没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都
曲线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0.
例1 判断下列命题是否正确：
②若(x0,y0)是方程x-y=0的解，则M(x0,y0)
M
②若(x0,y0)是方程(x-a)2+(y-b)2=r2的解，
曲线与方程ppt课件
xy＝＝－0－2＋23＋30＋y1.x1，xy11＝＝33xy＋＋22.， 代入 y1＝3x12－1， 得 3y＋2＝3(3x＋2)2－1. ∴y＝9x2＋12x＋3，即为所求轨迹方程．
1．曲线和方程的关系： (1)曲线上的点的坐标都是方程的解，无一例外； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，缺一不可． 2．求曲线方程的一般步骤： ①建系 ②设动点 ③限制条件 ④代入 ⑤化简． 3．求曲线方程的关键是找关系列等式，常见方法为直译法 和代入法.
即 （x＋a）2＋y2· （x－a）2＋y2 ＝ x2＋（y＋b）2· x2＋（y－b）2. 化简得 x2－y2＝a2－2 b2.
题型三 代入法求轨迹方程 例 4 已知 A(－2，0)、B(2，0)，点 C、D 满足|A→C|＝2，A→D ＝12(A→B＋A→C)．求点 D 的轨迹方程．
解析 设点 C、D 的坐标分别为(a，b)、(x，y)，则A→C＝(a ＋2，b)，A→B＝(4，0)．
例 3 设△ABC 的周长为 18，|AB|＝8，求顶点 C 的轨迹方 程．
解析 如右图所示，以线段 AB 的中点 O 为坐 标原点，线段 AB 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系， 由于|AB|＝8.∴A(－4，0)，B(4，0)，
设 C(x，y)为所求轨迹上任意点，∵|AC|＋|BC| ＝10，
解析 (1)错误．因为以方程|x|＝2 的解为坐标的点，不都 在直线 l 上，直线 l 只是方程|x|＝2 所示的图形的一部分．
(2)错误．因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线 l1 和 l2(如图所示)，直线 l1 上的点的坐标都是方程 y＝x 的解，但 是直线 l2 上的点(除原点)的坐标不是方程 y＝x 的解．故 y＝x 不 是所求的轨迹方程．
1．曲线和方程的关系： (1)曲线上的点的坐标都是方程的解，无一例外； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，缺一不可． 2．求曲线方程的一般步骤： ①建系 ②设动点 ③限制条件 ④代入 ⑤化简． 3．求曲线方程的关键是找关系列等式，常见方法为直译法 和代入法.
即 （x＋a）2＋y2· （x－a）2＋y2 ＝ x2＋（y＋b）2· x2＋（y－b）2. 化简得 x2－y2＝a2－2 b2.
题型三 代入法求轨迹方程 例 4 已知 A(－2，0)、B(2，0)，点 C、D 满足|A→C|＝2，A→D ＝12(A→B＋A→C)．求点 D 的轨迹方程．
解析 设点 C、D 的坐标分别为(a，b)、(x，y)，则A→C＝(a ＋2，b)，A→B＝(4，0)．
例 3 设△ABC 的周长为 18，|AB|＝8，求顶点 C 的轨迹方 程．
解析 如右图所示，以线段 AB 的中点 O 为坐 标原点，线段 AB 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系， 由于|AB|＝8.∴A(－4，0)，B(4，0)，
设 C(x，y)为所求轨迹上任意点，∵|AC|＋|BC| ＝10，
解析 (1)错误．因为以方程|x|＝2 的解为坐标的点，不都 在直线 l 上，直线 l 只是方程|x|＝2 所示的图形的一部分．
(2)错误．因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线 l1 和 l2(如图所示)，直线 l1 上的点的坐标都是方程 y＝x 的解，但 是直线 l2 上的点(除原点)的坐标不是方程 y＝x 的解．故 y＝x 不 是所求的轨迹方程．
【数学课件】曲线与方程
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
直线l与椭圆 x 2 + y 2 = 1相交于不同两点
42
A、B，在线段AB上取点Q，使|PA|·|QB|
＝|QA|·|PB|，求证：点Q总在某定直线
上.
y
QA P
B
O
x
例6 设点F为椭圆C：x 2 + y 2 = 1 43
的右焦点，点N(4，0)，线段AB为椭圆的 一条垂直于x轴的动弦，直线AF与BN交于 点M. （1）求证：点M恒在椭圆C上； （2）求△AMN面积的最大值.
例4 如图，已知点A（－3，0），
B（3，0），点C、D为圆x2＋y2＝25上两
相异动点，且满足CB⊥CD.若点P在线段
CD上，且∠PAD＝∠PBC，求点P的轨迹方
程.
y
【解题要点】
C
建坐标系，设动点 D P
坐标→选择方法求 轨迹方程→确定x，
AO B
x
y的取值范围.
考点2 轨迹思想的应用 例5 (08·安徽卷)过点P(4，1)的动
9.4 曲线与方程
知识梳理
t
p
பைடு நூலகம்
1 2
5730
1.方程的曲线与曲线的方程：
（1）曲线C上的点的坐标都是方程 f(x， y)＝0的解；
（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标 的点都在曲线C上.
直线l与椭圆 x 2 + y 2 = 1相交于不同两点
42
A、B，在线段AB上取点Q，使|PA|·|QB|
＝|QA|·|PB|，求证：点Q总在某定直线
上.
y
QA P
B
O
x
例6 设点F为椭圆C：x 2 + y 2 = 1 43
的右焦点，点N(4，0)，线段AB为椭圆的 一条垂直于x轴的动弦，直线AF与BN交于 点M. （1）求证：点M恒在椭圆C上； （2）求△AMN面积的最大值.
例4 如图，已知点A（－3，0），
B（3，0），点C、D为圆x2＋y2＝25上两
相异动点，且满足CB⊥CD.若点P在线段
CD上，且∠PAD＝∠PBC，求点P的轨迹方
程.
y
【解题要点】
C
建坐标系，设动点 D P
坐标→选择方法求 轨迹方程→确定x，
AO B
x
y的取值范围.
考点2 轨迹思想的应用 例5 (08·安徽卷)过点P(4，1)的动
9.4 曲线与方程
知识梳理
t
p
பைடு நூலகம்
1 2
5730
1.方程的曲线与曲线的方程：
（1）曲线C上的点的坐标都是方程 f(x， y)＝0的解；
（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标 的点都在曲线C上.
高三数学一轮复习 8.5曲线与方程课件
【解析】选B.设N(a,b),M(x,y),则 a＝x2， 代b＝ 入y圆，O的
第五节 曲线与方程
【知识梳理】 1.曲线与方程的定义 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立如下的对应关系:
这个方程
曲线上
那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.
2.求动点的轨迹方程的基本步骤
任意 x,y
所求方程
【考点自测】
1.(思考)给出下列命题:
③错误.当以两条互相垂直的直线为x轴、y轴时,是x2=y2,否则 不正确. ④错误.因为方程y= x表示的曲线只是方程x=y2表示曲线的一 部分,故其不正确.
2.若动点P到定点F(1,-1)的距离与到直线l:x-1=0的距离相等, 则动点P的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 【解析】选D.因为定点F(1,-1)在直线l:x-1=0上,所以轨迹为过 F(1,-1)与直线l垂直的一条直线,故选D.
【变式训练】(2013·北京模拟)一圆形纸片的圆心为点O,点Q 是圆内异于点O的一定点,点A是圆周上一点.把纸片折叠,使点A 与Q重合,然后展平纸片,折痕与OA交于P点.当点A运动时点P的 轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【解析】选B.由条件知|PA|=|PQ|, 则|PO|+|PQ|=|PO|+|PA|=R(R>|OQ|), 所以点P的轨迹是椭圆.
【加固训练】 1.(2013·榆林模拟)若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的 距离小1,则点P的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【解析】选D.依题意,点P到直线x=-2的距离等于它到点(2,0) 的距离,故点P的轨迹是抛物线.
曲线与方程 课件(共35张PPT)
曲线与方程
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
最新考纲展示
1．了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系．
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法．
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程．
一、曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
(2)证明：设 E(xE，yE)，F(xF，yF)，依题意，
y＝k1x＋3，
由y92＋x2＝1
⇒(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①
解得 x＝0 或 x＝－k216＋k19. 所以 xE＝－k216＋k19，yE＝k1－k216＋k19＋3＝2k721－＋39k21， ∴E－k126＋k19，2k721－＋39k21. ∵k1k2＝－9，∴k2＝－k91.用 k2＝－k91替代①中的 k1， 同理可得 Fk126＋k19，3kk2121－ ＋297. 显然 E，F 关于原点对称，∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2，曲线 x2sin θ＋y2cos θ＝1 和 x2cos θ－y2sin θ＝1 有 4 个不同的交点．
(1)求θ的取值范围； (2)证明：这4个点共圆，并求圆的半径的取值范围．
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x ， y) 满 足 方 程 组 x2sin θ＋y2cos θ＝1， x2＝sin θ＋cos θ， x2cos θ－y2sin θ＝1， 即y2＝cos θ－sin θ.
D．以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A．△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方
曲线与方程 经典课件(最新)
高中数学课件
2．求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的________，用有序实数对(x，y)表示曲线上________M 的坐标； (2)写出________的点 M 的集合：P＝{M|p(M)}； (3)用________表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)＝0； (4)化方程 f(x，y)＝0 为________形式； (5)说明以化简后的方程的______为坐标的________都在曲线上． 注意：步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以作适当说明，另外，也可以根据 情况省略步骤(2)．
【解析】 由已知得圆 M 的圆心为 M(－1，0)，半径 r1＝1，圆 N 的圆心为 N(1，0)， 半径 r2＝3.
设动圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 r. ∵圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切， ∴|PM|＋|PN|＝(r＋r1)＋(r2－r)＝r1＋r2＝4>|MN|＝2.
高中数学课件
高中数学课件
【反思·升华】 化简曲线方程时要注意等价性，每一步都需等价转化，对含有绝对 值的式子须进行分类讨论，且分类要彻底，最后再综合起来分析．
高中数学课件
[强化训练 1.1] 方程(2x＋3y－1)( x－3－1)＝0 表示的曲线是( )
A．两条直线
B．两条射线
C．两条线段
D．一条直线和一条射线
图3
高中数学课件
【解析】 解法 1：设点 M 坐标为(x，y)． ∵M(x，y)为线段 AB 的中点， ∴点 A，B 的坐标分别为 A(2x，0)，B(0，2y)． ∵l1⊥l2，且 l1，l2 过点 P(2，4)， ∴kPA·kPB＝－1，即20x－－42·20y－－24＝－1(x≠1)， 化简得 x＋2y－5＝0(x≠1)． 当 x＝1 时，点 A，B 分别为(2，0)，(0，4)， ∴线段 AB 的中点为(1，2)， 满足方程 x＋2y－5＝0(x≥0，y≥0)． 综上，点 M 的轨迹方程为 x＋2y－5＝0(x≥0，y≥0)．
高三数学《曲线与方程》PPT课件
P ( x12 y12 , x1 y1 )的轨迹方程. 的轨迹方程.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 + 4 y2 = 1
�
(4)参数法: (4)参数法: 参数法
求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标,纵坐标之间的关系, 求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标,纵坐标之间的关系, 借助中间变量(参数), x,y之间建立起联系 之间建立起联系, 则可借助中间变量(参数),使x,y之间建立起联系,然而再 得出动点的轨迹方程. 从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程.
小结: 小结:求轨迹方程的一般方法
(1)直接法: (1)直接法: 直接法
如果动点运动的条件是关于x,y的等量关系,用直接法求动点轨迹, 如果动点运动的条件是关于x,y的等量关系,用直接法求动点轨迹, x,y的等量关系 建系,设点,列式,化简, 五个步骤, 一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证明 可以省略,但要注意" 可以省略,但要注意"挖"与"补".
(2)定义法: (2)定义法: 定义法
运用解析几何中的一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),从曲线 运用解析几何中的一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),从曲线 圆锥曲线的定义), 定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式, 定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而 求出轨迹方程. 求出轨迹方程.
2.求轨迹方程的一般方法: 2.求轨迹方程的一般方法: 求轨迹方程的一般方法
Ex: Ex:已知点 A ( 2, 0 ) , B ( 4, 0 ) ,动点 P ( x , y )满足 PA PB = 0,
2 以AB为直径的圆 AB为直径的圆 则点P的轨迹为____________. 则点P的轨迹为____________. ( x 1) + y = 9 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 + 4 y2 = 1
�
(4)参数法: (4)参数法: 参数法
求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标,纵坐标之间的关系, 求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标,纵坐标之间的关系, 借助中间变量(参数), x,y之间建立起联系 之间建立起联系, 则可借助中间变量(参数),使x,y之间建立起联系,然而再 得出动点的轨迹方程. 从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程.
小结: 小结:求轨迹方程的一般方法
(1)直接法: (1)直接法: 直接法
如果动点运动的条件是关于x,y的等量关系,用直接法求动点轨迹, 如果动点运动的条件是关于x,y的等量关系,用直接法求动点轨迹, x,y的等量关系 建系,设点,列式,化简, 五个步骤, 一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证明 可以省略,但要注意" 可以省略,但要注意"挖"与"补".
(2)定义法: (2)定义法: 定义法
运用解析几何中的一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),从曲线 运用解析几何中的一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),从曲线 圆锥曲线的定义), 定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式, 定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而 求出轨迹方程. 求出轨迹方程.
2.求轨迹方程的一般方法: 2.求轨迹方程的一般方法: 求轨迹方程的一般方法
Ex: Ex:已知点 A ( 2, 0 ) , B ( 4, 0 ) ,动点 P ( x , y )满足 PA PB = 0,
2 以AB为直径的圆 AB为直径的圆 则点P的轨迹为____________. 则点P的轨迹为____________. ( x 1) + y = 9 2