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初中数学三角形证明题经典题型训练汇总(修订版)精选

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初中数学44道经典的三角形证明题汇总(两篇)

初中数学44道经典的三角形证明题汇总(两篇)

引言：三角形是数学中重要的几何形状之一，而三角形的证明题也是数学学习中的重要内容。

本文总结了初中阶段数学中44道经典的三角形证明题，帮助学生更深入地理解三角形的性质和定理，同时提高解题能力和逻辑思维能力。

概述：本文分为五个大点介绍了这44道经典的三角形证明题。

每个大点下面包含了59个小点详细阐述。

这些证明题涵盖了三角形的等边、等腰、直角、等腰直角以及一般三角形的性质和定理。

正文内容：一、等边三角形的证明题1.证明等边三角形三条边相等。

2.证明等边三角形三个内角都是60度。

3.证明等边三角形任意一角的正弦值都是√3/2。

4.证明等边三角形的外接圆半径等于边长的一半。

5.证明等边三角形的内切圆半径等于边长的二分之一。

二、等腰三角形的证明题1.证明等腰三角形的两个底角相等。

2.证明等腰三角形的顶角是其它两个角的一半。

3.证明等腰三角形的中线等于底边的一半。

4.证明等腰三角形的高等于底边的一半。

5.证明等腰三角形的内切圆半径等于底边的一半。

三、直角三角形的证明题1.证明直角三角形的两个锐角的和等于90度。

2.证明直角三角形斜边上的高等于直角边的乘积除以斜边长。

3.证明直角三角形的斜边是两个直角边长度之和的一半。

4.证明直角三角形的两个锐角的正弦值之和等于1。

5.证明直角三角形的斜边是两个直角边长度之差的一倍。

四、等腰直角三角形的证明题1.证明等腰直角三角形的两个锐角相等。

2.证明等腰直角三角形的斜边等于直角边的平方根。

3.证明等腰直角三角形的面积等于直角边的平方除以2。

4.证明等腰直角三角形对角线相等。

5.证明等腰直角三角形的两条直角边互相垂直。

五、一般三角形的证明题1.证明三角形内部三条角的和等于180度。

2.证明三角形外角等于不相邻的内角之和。

3.证明三角形三边之和大于第三边。

4.证明三角形两边之比的正弦值等于对应两个角的正弦值之比。

5.证明三角形中位线之和等于第三条边的一半。

总结：通过这44道经典的三角形证明题的学习，学生能够更深入地理解三角形的性质和定理。

全等三角形证明经典40题(含答案)

全等三角形证明经典40题(含答案)

1.已知：AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 的长.解：延伸AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中 AD=DE∠BDE=∠ADC BD=DC∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=22.已知：BC=ED,∠B=∠E,∠C=∠D,F 是CD 中点,求证：∠1=∠2证实：衔接BF 和EFADBC∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 衔接BE在三角形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF. ∵∠ABC=∠AED. ∴∠ABE=∠AEB. ∴ AB=AE.在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF和三角形AEF全等.∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2).3.已知：∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证：EF=AC过C 作CG∥EF 交AD 的延伸线于点G CG∥EF,可得,∠EFD＝CGD DE ＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角）BA CDF2 1 E∴△EFD≌△CGDEF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又,EF∥AB ∴,∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形, AC＝CG 又EF＝CG ∴EF＝AC4.已知：AD等分∠BAC,AC=AB+BD,求证：∠B=2∠CA证实：延伸AB取点E,使AE＝AC,衔接DE∵AD等分∠BAC∴∠EAD＝∠C AD∵AE＝AC,AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C5.已知：AC等分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证：AE=AD+BE证实：在AE上取F,使EF＝EB,衔接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF,CE＝CE,∴△CEB≌△CEF(SAS)∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°,∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC等分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE6. 如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE.CE分离等分∠ABC.∠BCD,且点E在AD上.求证：BC=AB+DC.在BC上截取BF=AB,衔接EF∵BE等分∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）∴∠A=∠BFE∵AB//CD∴∠A+∠D=180º∵∠BFE+∠CFE=180º∴∠D=∠CFE又∵∠DCE=∠FCE , CE等分∠BCD ,CE=CE∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）∴CD=CF∴BC=BF+CF=AB+CD7.已知：AB=CD,∠A=∠D,求证：∠B=∠C证实：设线段AB,CD地点的直线交于E,则：△AED是等腰三角形.∴AE=DE而AB=CD∴BE=CE∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.8.P是∠BAC等分线AD上一点,AC>AB,求证：PC-PB<AC-AB在AC上取点E, 使AE＝AB. ∵A E＝ABAP＝AP∠EAP＝∠BAE,∴△EAP≌△BAP∴PE＝PB. PC＜EC＋PE ∴PC＜（AC－AE）＋PB ∴PC－PB＜AC－AB.9.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证：AC-AB=2BE证实：延伸BE交AC于点F,可证△ABE≌△AFE∴∠ABE=∠AFE,AB=AF,BE=FE∴AC –AB =FC,FB=2BE∵∠ABC=3∠C∴∠ABE+∠FBC=3∠C∴∠AFB+∠FBC=3∠C∵∠AFB=∠C+∠FBC∴∠C+∠FBC+∠FBC=3∠C∴∠FBC=2∠C即∠FBC=∠C∴FB=FC∴AC-AB=FB=2BE10．如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证：AD⊥BC．解：延伸AD至BC于点E, ∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形∴∠DBC=∠DCB又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2即∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等腰三角形∴AB=AC在△ABD和△ACD中｛AB=AC ∠1=∠2BD=DC∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边）∴∠BAD=∠CAD∴AE是△ABC的中垂线∴AE⊥BC∴AD⊥BC11．如图,OM等分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A.B为垂足,AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA证实：∵OM等分∠POQ∴∠POM＝∠QOM∵MA⊥OP,MB⊥OQ∴∠MAO＝∠MBO＝90∵OM＝OM∴△AOM≌△BOM （AAS）∴OA＝OB∵ON＝ON∴△AON≌△BON （SAS）∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB∵∠ONA+∠ONB＝180∴∠ONA＝∠ONB＝90∴OM⊥AB12.如图,已知AD∥BC,∠PAB的等分线与∠CBA的等分线订交于E,CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．做BE的延伸线,与AP订交于F点,∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°,又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角等分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角等分线∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中,∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC13.如图,△ABC中,AD是∠CAB的等分线,且AB=AC+CD,求证：∠C=2∠B延伸AC到 E 使AE=AC 衔接 ED∵ AB=AC+CD∴ CD=CE 可得∠B=∠E△CDE为等腰∠ACB=2∠B14．已知：如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,（1）求证：△AED≌△EBC．（2）不雅看图前,在不添帮助线的情形下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出成果,不请求证实）：证实：∵DC∥AB∴∠CDE＝∠AED∵DE＝DE,DC＝AE∴△AED≌△EDC∵E为AB中点∴AE＝BE∴BE＝DC∵DC∥AB∴∠DCE＝∠BEC∵CE＝CE∴△EBC≌△EDC∴△AED≌△EBC15.如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的等分线,BD 的延伸线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延伸线于F．求证：BD=2CE．证实：∵∠CEB=∠CAB=90°∴ABCE四点共元∵∠ABE=∠CBE∴AE=CE∴∠ECA=∠EAC取线段BD的中点G,衔接AG,则：AG=BG=DG∴∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等）∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=AB∴△AEC≌△AGB∴EC=BG=DG∴BE=2CE16.如图：DF=CE,AD=BC,∠D=∠C.求证：△AED≌△BFC.证实：∵DF=CE,∴DF-EF=CE-EF,即DE=CF,在△AED和△BFC中,∵ AD=BC, ∠D=∠C ,DE=CF ∴△AED≌△BFC（SAS）17.如图：AE.BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF.求证：AM是△ABC的中线.证实：∵BE‖CF∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴AM是△ABC的中线.18.如图：在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点.求证：BD⊥AC.∵△ABD和△BCD的三条边都相等∴△ABD=△BCD∴∠ADB=∠CD∴∠ADB=∠CDB=90°∴BD⊥AC19.AB=AC,DB=DC,F是AD的延伸线上的一点.求证：BF=CF在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在△BDF与△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC20.如图：AB=CD,AE=DF,CE=FB.求证：AF=DE.AE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB∴△ABE=△CDF∵∠DCB=∠ABFAB=DC BF=CE△ABF=△CDE∴AF=DE21.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,个中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE＝CF,M在BC的中点,试解释三只石凳E,F,M正好在一条直线上.证实：衔接EF ∵AB∥CD∴∠B=∠C∵M是BC中点∴BM=CM在△BEM和△CFM中BE=CF∠B=∠CBM=CM∴△BEM≌△CFM（SAS）22．已知：点 A.F.E.C 在统一条直线上, AF ＝CE,BE∥DF,BE＝DF ．求证：△ABE≌△CDF．∵AF=CE,FE=EF.∴AE=CF.∵DF//BE,∴∠AEB=∠CFD（两直线平行,内错角相等）∵BE=DF∴：△ABE≌△CDF（SAS ）23.已知：如图所示,AB ＝AD,BC ＝DC,E.F 分离是DC.BC 的中点,求证： AE ＝AF.衔接BD;∵AB=ADBC=D∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;两角相加,∠ADC=∠ABC;∵BC=DCE \F 是中点∴DE=BF; ∵AB=ADDE=BF ∠ADC=∠ABC ∴AE=AF.24．如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6．证实：在△ADC,△ABC 中∵AC=AC,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA ∴△ADC≌△ABC（两角加一边） ∵AB=AD,BC=CD 在△DEC 与△BEC 中∠BCA=∠DCA,CE=CE,BC=CD ∴△DEC≌△BEC（双方夹一角） ∴∠DEC=∠BEC25．已知AB∥DE,BC∥EF,D,C 在AF 上,且AD ＝CF,求证：△ABC≌△DEF． ∵AD=DF ∴AC =DF ∵AB//DE ∴∠A=∠EDF 又∵BC//EF∴∠F=∠BCA∴△ABC≌△DEF（ASA ）26．已知：如图,AB=AC,BD AC,CE AB,垂足分离为D.E,BD.CE 订交于点F,求证：BE=CD ．证实：ACDEF∵BD⊥AC∴∠BDC=90°∵CE⊥AB∴∠BEC=90°∴∠BDC=∠BEC=90°∵AB=AC∴∠DCB=∠EBC∴BC=BC∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS) ∴BE=CD27.如图,在△AB C中,AD为∠BAC的等分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.求证：DE=DF．证实：∵AD是∠BAC的等分线∴∠EAD=∠FAD∵DE⊥AB,DF⊥AC∴∠BFD=∠CFD=90°∴∠AED与∠AFD=90°在△AED与△AFD中∠EAD=∠FAD AD=AD∠AED=∠AFD∴△AED≌△AFD（AAS ） ∴AE=AF在△AEO 与△AFO 中 ∠EAO=∠FAO AO=AO AE=AF∴△AEO≌△AFO （SAS ）∴∠AOE=∠AOF=90° ∴AD⊥EF28.已知：如图, AC BC 于 C , DE AC 于 E , AD AB 于 A , BC=AE ．若AB=5 ,求AD 的长？∵AD⊥AB ∴∠BAC=∠ADE 又∵AC⊥BC 于C,DE⊥AC 于 E 依据三角形角度之和等于180度∴∠ABC=∠DAED CBAE∵BC=AE,△ABC≌△DAE（ASA）∴AD=AB=529．如图：AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分离为 E.F,ME=MF.求证：MB=MC证实：∵AB=AC∴∠B=∠C∵ME⊥AB,MF⊥AC∴∠BEM=∠CFM=90°在△BME和△CMF中∵∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF∴△BME≌△CMF（AAS）∴MB=MC．30．在△ABC中,,,直线经由点,且于,于.(1)当直线绕点扭转到图1的地位时,求证：①≌;②;(2)当直线绕点扭转到图2的地位时,（1）中的结论还成立吗？若成立,请给出证实;若不成立,解释来由.（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°,∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∠ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠BCE． ∵AC=BC,∴△ADC≌△CEB． ②∵△ADC≌△CEB, ∴CE=AD,CD=BE． ∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°, ∴∠ACD=∠CBE． 又∵AC=BC,∴△ACD≌△CBE． ∴CE=AD,CD=BE． ∴DE=CE﹣CD=AD ﹣BE31．如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC.求证：（1）EC=BF;（2）EC⊥BF（1）∵AE⊥AB,AF⊥AC, ∴∠BAE=∠CAF=90°,∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC, 即∠EAC=∠BAF,AE BM CF在△ABF和△AEC中,∵AE=AB,∠EAC=∠BAF,AF=AC,∴△ABF≌△AEC（SAS）,∴EC=BF;（2）如图,依据（1）,△ABF≌△AEC,∴∠AEC=∠ABF,∵AE⊥AB,∴∠BAE=90°,∴∠AEC+∠ADE=90°,∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等）,∴∠ABF+∠BDM=90°,在△BDM中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°,∴EC⊥BF．32．如图：BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB.求证：（1）AM=AN;（2）AM⊥AN.证实：（1）∵BE⊥AC,CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC,CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN（2）∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN33．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF在△ABF和△CDE中,AB=DE∠A=∠DAF=CD∴△ABF≡△CDE（边角边）∴FB=CE在四边形BCEF中FB=CEBC=EF∴四边形BCEF是平行四边形∴BC‖EF34．如图,已知AC∥BD,EA.EB分离等分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗？请解释来由在AB上取点N ,使得AN=AC∵∠CAE=∠EAN∴AE为公共, ∴△CAE≌△EAN∴∠ANE=∠ACE又∵AC平行BD∴∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180∴∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBN∵BE为公共边∴△EBN≌△EBD∴BD=BN∴AB=AN+BN=AC+BD35.如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．证实：∵AD是△ABC的中线BD=CD ∵DF=DE（已知）∠BDE=∠FDC ∴△BDE≌△FDC 则∠EBD=∠FCD ∴BE∥CF（内错角相等,两直线平行）.36.已知：如图,AB＝CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,．求证：．证实：∵DE⊥AC,BF⊥AC∴∠CED=∠AFB=90º又∵AB=CD,BF=DE∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL ）∴AF=CE∠BAF=∠DCE∴AB//CD37.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证：AB=CD ∵,∠3=∠4∴OB=OC在△AOB 和△DOC 中∠1=∠2OB=OC∠AOB=∠DOC△AOB≌△DOC∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB在△ACB 和△DBC 中AC=DB A D ECBF,∠3=∠4BC=CB△ACB≌△DBC∴AB=CD38.如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC ＝BE,AE ＝BD,试猜测线段CE 与DE 的大小与地位关系,并证实你的结论.CE>DE.当∠AEB 越小,则DE 越小.证实：过D 作AE 平行线与AC 交于F,衔接FB由已知前提知AFDE 为平行四边形,ABEC 为矩形 ,且△DFB 为等腰三角形.RT△BAE 中,∠AEB 为锐角,即∠AEB<90°∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90°△DFB 中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°RT△AFB 中,∠FBA=90°-∠DBF <45°∠AFB=90°-∠FBA>45°∴AB>AF∵AB=CE AF=DE∴CE>DE 39.(10分)如图,已知AB ＝DC,AC ＝DB,BE ＝CE,求证：AE ＝DE. ∵AB=DC,AC=DB,BC=BC∴△ABC≌△DCB,A CE D B A B E CD∴∠ABC=∠DCB又∵BE=CE,AB=DC∴△ABE≌△DCE∴AE=DE40．如图9所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB＝90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E,交AD 于点F,求证：∠ADC＝∠BDE．作CG ⊥AB,交AD 于H, 则∠ACH=45º,∠BCH=45º∵∠CAH=90º-∠CDA, ∠BCE=90º-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45º∴△ACH≌△CBE, ∴CH=BE 又∵∠DCH=∠B=45º, CD=DB∴△CFD≌△BED∴∠ADC=∠BDE AB CD E F图9。

全等三角形证明中考题精选[有答案解析]

全等三角形证明中考题精选[有答案解析]

全等三角形证明中考题精选［有答案解析］七年级数学下---全等三角形证明题1如图，已知人。

是厶ABC勺中线，分别过点B、C作BEL AD于点E,CF丄AD交AD的延长线于点F,求证：BE=CF2•如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中/(1)操作发现：如图2,固定△ ABC使厶DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空:①线段DE与AC的位置关系是_____________②设△ BDC的面积为$,△ AEC的面积为S，则(2)猜想论证S与S2的数量关系是 _____________当厶DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中S与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC ffiA AEC中BC CE边上的高，请你证明小明的猜想.(3)拓展探究已知/ABC=60，点D是角平分线上一点，BD=CD=, DE// AB交BC于点E (如图4).若在射线BA 上存在点F,使S A DC=S BDE,请直接写出相应的BF的长.3.如图，把一个直角三角形ACB(/ACB=90 )绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB 边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F, G分别是BD BE上的点，BF=BG延长CF与DG交于点H. (1)求证：CF=DG (2)求出/ FHG勺度数.全等三角形证明中考题精选［有答案解析］4•如图所示，在△ ABC 中，D E 分别是AB AC 上的点，DE// BQ 如图①，然后将厶ADE 绕A 点顺 时针旋转一定角度，得到图②，然后将 BD CE 分别延长至M N,使DM=BD EN=CE 得到图③， 请解答下列问题：(1)若AB=AC 请探究下列数量关系：① 在图②中，BD 与CE的数量关系是_ _ ;② 在图③中，猜想AM 与 AN 的数量关系、/ MAN 与/BAC 的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB=I?AC( k > 1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究： AM 与 AN 的数量关系、/ MAN 与/BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.4. (1)如图，在△ ABC ffiA ADE 中, AB 二AC AD=AE Z BAC K DAE=90 .① 当点D 在AC 上时，如图1,线段BD CE 有怎样的数量关系和位置关系？ 直接写出你猜想的结论；② 将图1中的△ ADE 绕点A 顺时针旋转口角(O °VaV 90°)，如图2，线段BD CE 有怎样的数量 关系和位置关系？请说明理由.(2)当厶ABC^P ^ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段 BD CE 在(1)中的位置关系 仍然成立？不必说明理由.甲： AB AC=AD AE=1, / BAC K DA 字90°;乙：AB AC=AD AE M 1，K BAC K DAE=90 ;丙: 6. CD 经过/ BCA 顶点C 的一条直线，CA=CB E, F 分别是直线CD 上两点，且/ BEC K CFA Ka.(1)若直线CD 经过/ BCA 的内部，且E, F 在射线CD 上，请解决下面两个问题:①如图 1,若/ BCA=90 , Ka =90°,则 BE ______________ CF; EF ___________ |BE - AF| (填“〉”, “v”或“=”)；②如图2,若0°<Z BCA ： 180°,请添加一个关于Ka 与/ BCA 关系的条件—AB: AC=AD AE M 1，/ BAC K DAE^ 90E__________ ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.7. 如图，已知 AB=AC （1）若 CE=BD 求证：GE=G ；⑵若CE=mBD （m 为正数），试猜想GE 与 GD 有何关系.（只写结论，不证明）8. (1)已知：如图①，在△ AOBf^A COD 中, OA=OJ 3OC=OD / AOB M COD=60，求证：① AC=BD ②/ APB=6（度；（2）如图②，在△ AOBf^A COD 中，若 OA=OBOC=O , / AOB M COD a ，贝U AC 与 BD 间的等量关系式为 _____________ ; Z APB 的大小为 _____________ ;(3)如图③，在△ AOBf^ACOD 中，若 OA=?OBOC=?OD(k > 1)，Z AOB ZCOD a ，贝U AC 与 BD间的等量关系式为 10.已知：EG// AF, AB=AC DE=DF 求证：BE=CF参考答案与试题解析（2）如图3,若直线CD 经过/ BCA 的外部，/ a =Z BCA 请提出EF, BE AF 三条线段数量关系的 合理猜想（不要求证明）•Z APB 的大小为 _____2. 解：（1）①DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，••• AC=CD：/ BAC=90 -Z B=90°- 30° =60°,二厶ACD是等边三角形，•••/ ACD=60，又TZ CDE Z BAC=60 ,：Z ACD Z CDE 二DE// AC;②T Z B=30°,Z C=90，二CD=AC=AB /• BD=AD=AC2根据等边三角形的性质，△ ACD的边AC AD上的高相等，•••△ BDC的面积和△ AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S=S2;故答案为：DE// AC S=S;（2）如图，•「△ DEC是由厶ABC绕点C旋转得到，••• BC=CE AC=CD T Z ACN Z BCN=90，Z DCM Z BCN=180 - 90° =90°,•••Z ACN Z DCM T在厶ACNm DCM中,fZACM=ZDCHI ZCND=ZH=90°,［AC=CD•△ACN^A DCM（ AAS, • AN=DM•△ BDC的面积和△ AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S i=S2;3、解(1)证明：•••在厶CBF ft^ DBG K答.fBC=BD答《二,:BF=BG•△CBF^A DBG( SAS , • CF=DQ(2)解：•••△ CBF^A DBG •Z BCF Z BDG又T Z CFB Z DFH •Z DHF Z CBF=60 ,•Z FHG=180 -Z DHF=180 - 60°=120°.4、解答：解：(1)①结论：BD=CE BDL CE②结论：BD=CE BDL CE;理由如下：T Z BAC Z DAE=90• Z BAC-Z DAC Z DAE-Z DAC 即Z BAD Z CAE ft^ ABD与△ ACE中, AB=ACT*4皿ZCAE •△ABD^A ACE(SAS • BD=CEb AD=AE延长BD交AC于F,交CE于H.在厶ABF 与厶HCF 中，T Z ABF=/ HCF Z AFB=/ HFC •Z CHF Z BAF=90••• BDL CE(2)结论：乙.AB AC=AD AE / BAC K DAE=905.6.解答：解：(1)①IK BCA=90，/a =90°,.・.K BCE K CBE=90，/ BCE K ACF=90 , • K CBE K ACF v CA=CB K BEC K CFA •△ BCE^A CAF •- BE=CF EF=|BE- AF|. ②所填的条件是：Ka +K BCA=180 . I AE=AD 卩. 7 •••△ CAE^A BAD( SAS , AC 二 AB • / ACE K ABD v DM=BD EN=CE • BM=CN 在厶 ABM ffiA ACN 中, r 瓏二 CN ••• ZAC14=ZAbr 〔AB 二AC • △ ABMm ACN( SAS , • AM=AN •/ BAM K CAN 即K MAN K BAC (2)AM=?AN 在厶BADfy CAE 中 解答: / CAE=/ BAD K MAN K BAC全等三角形证明中考题精选［有答案解析］证明：在厶 BCE 中，/ CBE# BCE=180 -Z BEC=180 — /a. v/ BCA=180 —/a,•••/ CBE Z BCE Z BCA 又v/ ACF Z BCE Z BCA CBE Z ACF又v BC=CA / BEC Z CFA •△BCE^A CAF( AAS •- BE=CF CE=AF又v EF=C- CE, • EF=|BE- AF|.(2) EF=BE+AF7.解证明：(1)过D作DF// CE交BC于F,答: 贝UZ E=Z GDF v AB=AC •/ ACB Z ABC/ DF/ CE •/ DFB Z ACB•Z DFB Z ACB Z ABC • DF=DB v CE=BD •- DF=CE 在厶GDF^ GEC中, (ZE 二ZGDFI ZDGF=ZEGC ,［DF=EC•△GDF^A GEC(AAS. • GE=GD• / AOB Z BOC Z COD Z BOC 即：/ AOC Z BOD 答：又v OA=OB OC=OD •△ AOC^A BOD • AC=BD②由①得：/ OAC Z OBDv/ AEO Z PEB / APB=180 — (/ BEP+Z OBD, / AOB=180 —(/ OAC Z AEO , • Z APB Z AOB=60 .(2) AC=BD a(3) AC=?BD 180°—a.。

全等三角形证明经典30题

全等三角形证明经典30题

全等三角形证明经典30题1. 两角和相等定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果∠A = ∠D 且∠B = ∠E，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：通过顶角顶点 C 、 F、和共边 CF 作直线段 CF，延长直线段 CF 至点 X，使得 CX = CE。

步骤二：连接线段 AX。

步骤三：证明∠AXB = ∠EXF：由于∠A = ∠D，所以∠AXB = ∠DXE（共同的角度）。

又由于∠B = ∠E，所以∠DXE = ∠EXF。

因此，∠AXB = ∠EXF。

步骤四：证明∠ABX = ∠EFX：由于∠B = ∠E，所以∠ABX = ∠EXF（共同的角度）。

因此，∠ABX = ∠EFX。

步骤五：证明 AB = EF：由于 CX = CE，且∠ABX = ∠EFX，根据 SSS（边-边-边）全等三角形定理，则可得∆ABX ≌ ∆EFX。

因此，AB = EF。

综上所述，根据两角和相等定理，已经证明了△ABC ≌△DEF。

2. SAS全等三角形定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果 AB = DE，∠A = ∠D，且 AC = DF，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：连接线段 BC 和 EF。

步骤二：证明∠ABC = ∠DEF：由于 AB = DE，且∠A = ∠D，根据线段角度定理，可得∠ABC = ∠DEF。

步骤三：证明 BC = EF：由于 AC = DF，且∠ABC = ∠DEF，根据 SAS（边-角-边）全等三角形定理，可得△ABC ≌△DEF。

综上所述，根据SAS全等三角形定理，已经证明了△ABC ≌△DEF。

3. SSS全等三角形定理证明：设△ABC 和△DEF 是两个三角形，如果 AB = DE，BC = EF，且AC = DF，则可以通过以下步骤证明△ABC ≌△DEF：步骤一：连接线段 AC 和 DF。

步骤二：连接线段 BC 和 EF。

八年级上册——《全等三角形》证明题题型归类训练

八年级上册——《全等三角形》证明题题型归类训练

《全等三角形》证明题题型归类训练题型1：全等+等腰性质1、如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O 。

求证：(1） △ABC ≌△AED ； （2) OB ＝OE 。

2、已知:如图,B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上,AB ＝DC,BE ＝CF ，∠B ＝∠C ． 求证:OA ＝OD ．题型2：两次全等1、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点.求证：BF=CFFDCBA2、已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF,求证:AC 与BD 互相平分O C E BDAA B E O F D C3、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC,∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F,交BC 于点G,交AB 的延长线于点E ，且AE=AC 。

求证：BG=FG题型3：直角三角形全等(余角性质)1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ,CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ． 求证：BD ＝CG ．2、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．3、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点,分别过A 、C 作BD 的垂线,垂足分别为E 、F 求证:EF ＝CF －AEAFCBDEGA BC FD E4、在△ABC 中，︒=∠90ACB ,BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .（1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证: ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=； （2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗?若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.5、如图:BE ⊥AC,CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB.求证:(1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN 。

八年级三角形的证明题

八年级三角形的证明题

八年级三角形的证明题一、等腰三角形性质相关证明题（8题）1. 已知：在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线。

求证：AD⊥BC。

- 证明：- 因为AB = AC，AD是BC边上的中线，所以BD = DC（中线的定义）。

- 在△ABD和△ACD中，AB = AC（已知），BD = CD（已证），AD = AD（公共边）。

- 所以△ABD≌△ACD（SSS）。

- 则∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）。

- 又因为∠ADB + ∠ADC = 180°（平角的定义），所以∠ADB = ∠ADC = 90°，即AD⊥BC。

2. 已知：在等腰△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，求证：∠B = 72°。

- 证明：- 因为AB = AC，所以∠B = ∠C（等腰三角形两底角相等）。

- 又因为∠A+∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理），∠A = 36°。

- 设∠B = x，则∠C = x，可得方程36°+x + x = 180°。

- 2x=180° - 36°，2x = 144°，解得x = 72°，即∠B = 72°。

3. 已知：在△ABC中，AB = AC，D是AC上一点，且AD = BD = BC。

求∠A的度数。

- 证明：- 设∠A=x，因为AD = BD，所以∠ABD = ∠A=x（等边对等角）。

- 则∠BDC=∠A + ∠ABD = 2x（三角形外角性质）。

- 因为BD = BC，所以∠C = ∠BDC = 2x。

- 又因为AB = AC，所以∠ABC = ∠C = 2x。

- 根据三角形内角和定理，∠A+∠ABC+∠C = 180°，即x + 2x+2x = 180°。

- 5x = 180°，解得x = 36°，所以∠A = 36°。

八年级全等三角形简单证明题及答案(15道)

八年级全等三角形简单证明题及答案(15道)

∴BC=ED．
全等三角形的判定与性 质．
01
如图，在△ABC中， ∠C=90°，点D是AB边上的 一点，DM⊥AB，且 DM=AC，过点M作 ME∥BC交AB于点E．求证： △ABC≌△MED。
02
证明：∵MD⊥AB，
∴∠MDE=∠C=90°，
∵ME∥BC，
∴∠B=∠MED，
在△ABC与△MED中， ∠B=∠MED ∠C=∠EDM DM=AC ，
∠D=∠B ， ∴△ADF≌△CBE（ASA）， ∴AF=CE， ∴AF+EF=CE+EF，即
AE=CF．
全等三角形的判定与性 质．
11.在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延 长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证： Rt△ABE≌Rt△CBF；
证明：∵∠ABC=90°，
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
全等三角形的判定．
如图，在△ABC中， AB=AC，AD平分 ∠BAC．求证： ∠DBC=∠DCB．
解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD． ∴在△ACD和△ABD中 AB=AC ∠BAD=∠CAD
AD=AD ， ∴△ACD≌△ABD， ∴BD=CD， ∴∠DBC=∠DCB．
：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABC和△ADC中， AB=AD ∠BAC=∠DAC AC=AC ，
∴△ABC≌△ADC．
全等三角形的判定．
9.如图，已知 点E，C在线段
BF上， BE=CF， AB∥DE， ∠ACB=∠F．
求证： △ABC≌△DEF
．
证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF．
全等三角形的判定与性质．

(word完整版)初中数学三角形证明题经典题型训练汇总,文档

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2021 年 05 月 03 日初中数学三角形证明组卷一．选择题〔共20 小题〕1．〔 2021?涉县模拟〕如图，在△ ABC中，∠ C=90°，AB的垂直均分线交AB 与 D，交 BC 于 E，连接 AE ，假设 CE=5， AC=12 ，那么 BE 的长是〔〕A 13B 10C 12D5．．．．2．〔 2021?淄博模拟〕如图，在△ ABC中，AB=AC，∠ A=36°，BD、CE分别是∠ ABC、∠BCD 的角均分线，那么图中的等腰三角形有〔〕A 5个B 4个C 3个D 2个．．．．3．〔 2021 秋 ?西城区校级期中〕如图，在△ ABC 中，AD 是它的角均分线， AB=8cm ，AC=6cm ，那么 S△ABD： S△ACD =〔〕A 4：3B 3：4C 16： 9D 9：16．．．．4．〔 2021?丹东〕如图，在△ ABC中，AB=AC，∠ A=40°，AB的垂直均分线交AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE ，那么∠ CBE 的度数为〔〕A 70°B 80°C 40°D 30°．．．．5．〔 2021?南充〕如图，在△ ABC 中， AB=AC ，且 D 为 BC 上一点， CD=AD ， AB=BD ，那么∠B 的度数为〔〕A 30°B 36°C 40°D 45°．．．．6．〔 2021?山西模拟〕如图，点O 在直线 AB 上，射线OC 均分∠ AOD ，假设∠AOC=35 °，那么∠BOD 等于〔〕A 145°B 110°C 70°D 35°．．．．7．〔2021?雁塔区校级模拟〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直均分线交BC 边于 D ，假设 AB=10 ，AC=5 ，那么图中等于60°的角的个数是〔〕A 2B 3C 4D5．．．．8．〔 2021 秋 ?腾冲县校级期末〕如图，BD 是△ABC 的中线， AB=5 ， BC=3 ，△ABD和△ BCD 的周长的差是〔〕A 2B 3C 6D 不能够确定．．．．9．〔 2021 春 ?栖霞市期末〕在 Rt△ ABC 中，以以下图，∠C=90 °，∠ CAB=60 °，AD 均分∠CAB ，点 D 到 AB 的距离 DE=3.8cm ，那么 BC 等于〔〕D．．．．10．〔 2021 秋 ?博野县期末〕△ABC中，点O是△ ABC内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等；∠ A=40 °，那么∠ BOC= 〔〕A 110°B 120°C 130°D 140°．．．．11．〔 2021 秋 ?潮阳区期末〕如图，点 P 在∠AOB 的均分线 OC 上，PF⊥ OA ，PE⊥ OB ，假设 PE=6，那么 PF 的长为〔〕A 2B 4C 6D8．．．．12．〔 2021 秋 ?马尾区校级期末〕如图，△ ABC 中， DE 是 AB 的垂直均分线，交 BC 于点D，交 AB 于点 E， AE=1cm ，△ACD 的周长为12cm，那么△ ABC 的周长是〔〕A 13cmB 14cmC 15cmD 16cm．．．．13．〔 2021 秋 ?西城区期末〕如图，∠ BAC=130°，假设MP和QN分别垂直均分AB 和 AC ，那么∠ PAQ 等于〔〕A 50°B 75°C 80°D 105°．．．．14．〔 2021 秋 ?东莞市校级期中〕如图，要用“HL〞判断Rt△ ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是〔〕A．AC=A ′C′，BC=B ′C′B．∠ A=∠ A′，AB=A′B′C．AC=A ′C′，AB=A ′B′D．∠ B=∠ B′，BC=B′C′15．〔 2021 秋 ?淄川区校级期中〕如图， MN 是线段 AB 的垂直均分线， C 在 MN 外，且与 A点在 MN 的同一侧， BC 交 MN 于 P 点，那么〔〕A BC＞ PC+APB BC＜ PC+APC BC=PC+APD BC≥PC+AP．．．．16．〔 2021 秋 ?万州区校级期中〕如图，在△ ABC 中，AB=AC ，D 为 BC 上一点， BF=CD ，CE=BD ，那么∠ EDF 等于〔〕A90°﹣∠A B90°﹣∠ A C 180°﹣∠ A D45°﹣∠A．．．．17．〔 2021 秋 ?泰山区校级期中〕如图，在△ ABC中，AB=AC，AD均分∠ BAC，那么以下结论不用然成立的是〔〕A ．△ ABD≌ △ACD B．AD 是△ ABC 的高线C．AD 是△ ABC 的角均分线D．△ ABC是等边三角形18．〔 2021 秋 ?晋江市校级月考〕如图，点P 是△ ABC 内的一点，假设PB=PC，那么〔〕A．点P在∠ ABC的均分线上B．点P在∠ ACB的均分线上C．点P在边AB的垂直均分线上D．点P在边BC的垂直均分线上19．〔 2021?河西区二模〕如图，在∠ ECF 的两边上有点B，A ，D ，BC=BD=DA ，且∠ ADF=75 °，那么∠ ECF 的度数为〔〕A 15°B 20°C 25°D 30°．．．．20．〔2021 秋 ?盱眙县校级期中〕如图， P 为∠ AOB 的均分线 OC 上任意一点， PM⊥ OA 于 M ，PN ⊥OB 于 N，连接 MN 交 OP 于点 D．那么① PM=PN ，② MO=NO ，③ OP⊥ MN ，④ MD=ND ．其中正确的有〔〕A 1个B 2个C 3个D 4个．．．．二．解答题〔共10 小题〕21．〔 2021 秋 ?黄浦区期末〕如图， ON 是∠AOB 的均分线， OM 、 OC 是∠ AOB 外的射线．（1〕若是∠ AOC= α，∠ BOC= β，请用含有α，β的式子表示∠ NOC ．（2〕若是∠ BOC=90 °，OM 均分∠ AOC ，那么∠ MON 的度数是多少？22．〔 2021 秋 ?阿坝州期末〕如图，： E 是∠ AOB 的均分线上一点， EC⊥ OB ，ED ⊥OA ，C、D 是垂足，连接 CD，且交 OE 于点 F．（1〕求证： OE 是 CD 的垂直均分线．（2〕假设∠AOB=60 °，请你研究 OE ，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．23．〔 2021 秋 ?花垣县期末〕如图，在△ ABC 中，∠ ABC=2 ∠ C， BD 均分∠ABC ，DE ⊥AB 〔E 在 AB 之间〕，DF ⊥BC ， BD=5 ， DE=3 ， CF=4，试求△ DFC 的周长．24．〔 2021 秋 ?大石桥市期末〕如图，点 D 是△ ABC 中 BC 边上的一点，且 AB=AC=CD ，AD=BD ，求∠BAC 的度数．25．〔 2021 秋 ?安溪县期末〕如图，在△ABC中，AB=AC，∠ A=α．（1〕直接写出∠ ABC 的大小〔用含α的式子表示〕；（2〕以点 B 为圆心、 BC 长为半径画弧，分别交 AC 、AB 于 D 、E 两点，并连接 BD、DE ．假设=30 °，求∠BDE 的度数．26．〔 2021 秋?静宁县校级期中〕如图，在△ ABC中，AD均分∠ BAC，点D是BC的中点，DE ⊥AB 于点 E， DF ⊥ AC 于点 F．求证：〔 1〕∠ B= ∠ C．〔2〕△ ABC 是等腰三角形．27．〔 2021 秋 ?天津期末〕如图， AB=AC ，∠ C=67°，AB 的垂直均分线 EF 交 AC 于点 D，求∠ DBC 的度数．28．〔 2021 秋 ?高坪区校级期中〕如图，△ ABC 中， AB=AD=AE ， DE=EC ，∠ DAB=30 °，求∠ C 的度数．29．〔 2021 春 ?扶沟县校级期中〕阅读理解：“在一个三角形中，若是角相等，那么它们所对的边也相等．〞简称“等角同等边〞，如图，在△ ABC 中，∠ ABC 和∠ ACB 的均分线上交于点 F，过点 F 作 BC 的平行线分别交 AB 、 AC 于点 D 、E，请你用“等角同等边〞的知识说明DE=BD+CE ．30．〔 2021?龙岩质检〕如图， AD 是△ ABC 的均分线， DE ，DF 分别垂直 AB 、AC 于 E、F，连接 EF，求证：△AEF 是等腰三角形．2021 年 05 月 03 日初中数学三角形证明组卷参照答案与试题解析一．选择题〔共20 小题〕1．〔 2021?涉县模拟〕如图，在△ ABC中，∠ C=90°，AB的垂直均分线交AB 与 D，交 BC 于 E，连接 AE ，假设 CE=5， AC=12 ，那么 BE 的长是〔〕A13 B 10 C 12 D 5．．．．考线段垂直均分线的性质．点：分先依照勾股定理求出AE=13 ，再由 DE 是线段 AB 的垂直均分线，得出 BE=AE=13 ．析：解解：∵ ∠ C=90 °，答：∴AE=，∵DE 是线段 AB 的垂直均分线，∴BE=AE=13 ；应选： A．点此题观察了勾股定理和线段垂直均分线的性质；利用勾股定理求出AE 是解题的关评：键．2．〔 2021?淄博模拟〕如图，在△ ABC 中，AB=AC ，∠ A=36 °，BD 、CE 分别是∠ ABC 、∠BCD 的角均分线，那么图中的等腰三角形有〔〕A 5个B 4个C 3个D 2个．．．．考等腰三角形的判断；三角形内角和定理．点：专证明题．题：分依照条件和等腰三角形的判判定理，对图中的三角形进行解析，即可得出答案．析：解解：共有 5 个．答：〔 1〕∵ AB=AC∴ △ABC 是等腰三角形；〔 2〕∵ BD 、 CE 分别是∠ ABC 、∠ BCD 的角均分线∴ ∠EBC= ∠ ABC ，∠ ECB= ∠BCD ，∵ △ABC 是等腰三角形，∴ ∠EBC= ∠ ECB，∴ △BCE 是等腰三角形；〔 3〕∵∠ A=36 °， AB=AC ，∴ ∠ABC= ∠ACB= 〔 180°﹣36°〕=72 °，又 BD 是∠ ABC 的角均分线，∴ ∠ABD= ∠ ABC=36 °=∠ A，∴ △ABD 是等腰三角形；同理可证△ CDE 和△ BCD 是等腰三角形．应选： A．点此题主要观察学生同等腰三角形判断和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档评：题．3．〔 2021 秋 ?西城区校级期中〕如图，在△ ABC 中，AD 是它的角均分线， AB=8cm ，AC=6cm ，那么 S△ABD： S△ACD =〔〕A 4：3B 3：4C 16： 9D 9：16．．．．考角均分线的性质；三角形的面积．点：专计算题．题：分第一过点 D 作 DE ⊥ AB ，DF⊥ AC ，由 AD是它的角均分线，依照角均分线的性析：质，即可求得 DE=DF ，由△ ABD 的面积为12，可求得 DE 与 DF 的长，又由AC=6 ，那么可求得△ ACD 的面积．解解：过点 D 作 DE ⊥ AB ，DF⊥ AC ，垂足分别为 E、 F〔1 分〕答：∵ AD 是∠ BAC 的均分线， DE⊥ AB ， DF ⊥AC ，∴ DE=DF ，〔3 分〕∴ S△ABD=?DE ?AB=12 ，∴ DE=DF=3 〔 5 分〕∴ S△ADC= ?DF ?AC=×3×6=9〔6分〕∴ S△ABD： S△ACD =12 ：9=4 ： 3．应选 A．点此题观察了角均分线的性质．此题难度不大，解题的要点是熟记角均分线的性评：质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4．〔 2021?丹东〕如图，在△ ABC中，AB=AC，∠ A=40°，AB的垂直均分线交AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE ，那么∠ CBE 的度数为〔〕A 70°B 80°C 40°D 30°．．．．考点：线段垂直均分线的性质；等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．解析：由等腰△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=40 °，即可求得∠ ABC 的度数，又由线段AB 的垂直均分线交AB 于 D，交 AC 于 E，可得 AE=BE ，既而求得∠ ABE 的度数，那么可求得答案．解答：解：∵等腰△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=40 °，∴∠ ABC= ∠ C==70°，∵线段 AB 的垂直均分线交AB 于 D ，交 AC 于 E，∴A E=BE ，∴∠ ABE= ∠A=40 °，∴∠ CBE= ∠ABC ﹣∠ABE=30 °．应选： D．议论：此题观察了线段垂直均分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．〔 2021?南充〕如图，在△ ABC 中， AB=AC ，且 D 为 BC 上一点， CD=AD ， AB=BD ，那么∠B 的度数为〔〕A 30°B 36°C 40°D 45°．．．．考等腰三角形的性质．点：分求出∠ BAD=2 ∠ CAD=2 ∠ B=2 ∠ C 的关系，利用三角形的内角和是 180°，求∠ B，析：解解：∵ AB=AC ，答：∴∠B=∠ C，∵AB=BD ，∴ ∠BAD= ∠BDA ，∵CD=AD ，∴ ∠C=∠ CAD ，∵ ∠BAD+ ∠CAD+ ∠ B+ ∠ C=180°，∴5∠B=180 °，∴∠B=36 °应选： B．点此题主要观察等腰三角形的性质，解题的要点是运用等腰三角形的性质得出评：∠ BAD=2 ∠ CAD=2 ∠ B=2 ∠ C 关系．6．〔 2021?山西模拟〕如图，点O 在直线 AB 上，射线OC 均分∠ AOD ，假设∠AOC=35 °，那么∠BOD 等于〔〕A 145°B 110°C 70°D 35°．．．．考角均分线的定义．点：分第一依照角均分线定义可得∠ AOD=2∠AOC=70°，再依照邻补角的性质可得析：∠ BOD 的度数．解解：∵射线 OC 均分∠DOA ．答：∴ ∠AOD=2 ∠ AOC ，∵ ∠COA=35 °，∴ ∠DOA=70 °，∴ ∠BOD=180 °﹣70°=110°，应选： B．点此题主要观察了角均分线定义，要点是掌握角均分线把角分成相等的两局部．评：7．〔 2021?雁塔区校级模拟〕如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，BA的垂直均分线交BC 边于 D ，假设 AB=10 ，AC=5 ，那么图中等于60°的角的个数是〔〕A 2B 3C 4D5．．．．考点：线段垂直均分线的性质．解析：依照条件易得∠ B=30°，∠ BAC=60°．依照线段垂直均分线的性质进一步求解．解答：解：∵ ∠ ACB=90°，AB=10，AC=5，∴ ∠ B=30 °．∴ ∠ BAC=90 °﹣ 30°=60 °∵ DE 垂直均分BC，∴ ∠ BAC= ∠ ADE= ∠ BDE= ∠ CDA=90 °﹣ 30°=60 °．∴ ∠ BDE 对顶角 =60°，∴图中等于60°的角的个数是4．应选 C．议论：此题主要观察线段的垂直均分线的性质等几何知识．线段的垂直均分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个搜寻，做到不重不漏．8．〔 2021 秋 ?腾冲县校级期末〕如图，BD 是△ABC 的中线， AB=5 ， BC=3 ，△ABD和△ BCD 的周长的差是〔〕A 2B 3C 6D 不能够确定．．．．考点：三角形的角均分线、中线和高．专题：计算题．解析：依照三角形的中线得出AD=CD ，依照三角形的周长求出即可．解答：解：∵BD 是△ ABC的中线，∴AD=CD ，∴△ ABD 和△BCD 的周长的差是：〔 AB+BD+AD 〕﹣〔 BC+BD+CD 〕 =AB ﹣BC=5 ﹣ 3=2．应选 A．议论：此题主要观察对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的要点．9．〔 2021 春 ?栖霞市期末〕在 Rt△ ABC 中，以以下图，∠C=90 °，∠ CAB=60 °，AD 均分∠CAB ，点 D 到 AB 的距离 DE=3.8cm ，那么 BC 等于〔〕．．．．考点：角均分线的性质．解析：由∠ C=90°，∠ CAB=60 °，可得∠ B 的度数，故 BD=2DE=7.6 ，又 AD 均分∠CAB ，故 DC=DE=3.8 ，由 BC=BD+DC求解．解答：解：∵ ∠ C=90 °，∠ CAB=60 °，∴ ∠ B=30 °，在 Rt△ BDE 中， BD=2DE=7.6 ，又∵AD 均分∠CAB ，∴ DC=DE=3.8 ，∴ BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4 ．应选 C．议论：此题主要观察均分线的性质，由能够注意到D到AB的距离 DE即为CD长，是解题的要点．10．〔 2021 秋 ?博野县期末〕△ ABC 中，点 O 是△ ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等；∠A=40 °，那么∠ BOC= 〔〕A110° B 120°C130° D 140°．．．．考角均分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．点：专计算题．题：分由， O 到三角形三边距离相等，得O 是内心，再利用三角形内角和定理即可求析：出∠BOC 的度数．解解：由， O 到三角形三边距离相等，所以O 是内心，答：即三条角均分线交点， AO ， BO ， CO 都是角均分线，所以有∠ CBO= ∠ ABO=∠ ABC ，∠ BCO= ∠ ACO=∠ACB ，∠ABC+ ∠ ACB=180 ﹣40=140∠OBC+ ∠ OCB=70∠BOC=180 ﹣70=110°应选 A．点此题主要观察学生对角均分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识评：点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．〔 2021 秋 ?潮阳区期末〕如图，点P在∠ AOB的均分线OC 上，PF⊥ OA ，PE⊥ OB ，假设 PE=6，那么 PF 的长为〔〕A 2B 4C 6D8．．．．考点：角均分线的性质；全等三角形的判断与性质．专题：计算题．解析：利用角均分线性质得出∠ POF=∠ POE，尔后利用 AAS 定理求证△ POE≌ △POF，即可求出 PF 的长．解答：解：∵ OC均分∠ AOB，∴ ∠ POF=∠ POE，∵PF⊥OA ， PE⊥ OB，∴∠ PFO=∠ PEO，PO 为公共边，∴ △ POE≌△ POF，∴PF=PE=6 ．应选 C．议论：此题观察学生对角均分线性质和全等三角形的判断与性质的理解和掌握，解答此题的要点是求证△POE≌ △ POF．12．〔 2021 秋 ?马尾区校级期末〕如图，△ ABC中，DE是AB的垂直均分线，交BC于点D，交 AB 于点 E， AE=1cm ，△ACD 的周长为12cm，那么△ ABC 的周长是〔〕A13cm B 14cm C 15cm D 16cm．．．．考线段垂直均分线的性质．点：分要求△ ABC 的周长，先有AE 可求出 AB ，只要求出 AC+BC 即可，依照线段垂直平析：分线的性质可知， AD=BD ，于是 AC+BC=AC+CD+AD等于△ ACD 的周长，答案可得．解解：∵ DE 是 AB 的垂直均分线，答：∴ AD=BD ， AB=2AE=2又∵△ ACD 的周长 =AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12∴ △ABC 的周长是 12+2=14cm ．应选 B点此题主要观察线段的垂直均分线的性质：线段的垂直均分线上的点到线段的两个端评：点的距离相等；进行线段的等效转移，把与未知联系起来是正确解答此题的关键．13．〔 2021 秋 ?西城区期末〕如图，∠ BAC=130°，假设MP和QN分别垂直均分AB 和 AC ，那么∠ PAQ 等于〔〕A 50°B 75°C 80°D 105°．．．．考线段垂直均分线的性质．点：分依照线段垂直均分线性质得出BP=AP ，CQ=AQ ，推出∠ B= ∠BAP ，∠ C=∠ QAC ，析：求出∠B+ ∠C，即可求出∠ BAP+ ∠ QAC ，即可求出答案．解解：∵MP 和 QN 分别垂直均分AB 和 AC ，答：∴ BP=AP ， CQ=AQ ，∴ ∠B= ∠ PAB，∠C=∠ QAC ，∵ ∠BAC=130 °，∴ ∠B+ ∠ C=180°﹣∠BAC=50 °，∴ ∠BAP+ ∠ CAQ=50 °，∴ ∠PAQ= ∠ BAC ﹣〔∠ PAB+∠ QAC 〕 =130°﹣50°=80°，应选： C．点此题观察了等腰三角形的性质，线段垂直均分线性质，三角形的内角和定理，注评：意：线段垂直均分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边同等角．14．〔 2021 秋 ?东莞市校级期中〕如图，要用“HL〞判断Rt△ ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是〔〕A AC=A ′C′，B∠A=∠A′，．BC=B ′C′．AB=A ′B′C AC=A ′C′，D∠ B=∠ B′，．AB=A ′B′．BC=B ′C′考直角三角形全等的判断．点：分依照直角三角形全等的判断方法〔HL 〕即可直接得出答案．析：解解：∵在 Rt△ ABC 和 Rt△ A ′B′C′中，答：若是 AC=A ′C′， AB=A ′B′，那么 BC 必然等于 B ′C′，Rt △ABC 和 Rt△A ′B′C′必然全等，应选 C．点此题主要观察学生对直角三角形全等的判断的理解和掌握，难度不大，是一道基评：础题．15．〔 2021 秋 ?淄川区校级期中〕如图， MN 是线段 AB 的垂直均分线， C 在 MN 外，且与 A 点在 MN 的同一侧， BC 交 MN 于 P 点，那么〔〕A BC＞ PC+APB BC＜ PC+APC BC=PC+APD BC≥PC+AP．．．．考点：线段垂直均分线的性质．解析：从条件进行思虑，依照垂直均分线的性质可得 PA=PB，结合图形知 BC=PB+PC ，经过等量代换获取答案．解答：解：∵点 P 在线段 AB 的垂直均分线上，∴PA=PB ．∵BC=PC+BP ，∴BC=PC+AP ．应选 C．议论：此题观察了垂直均分线的性质：线段的垂直均分线上的点到线段的两个端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答此题的要点．16．〔 2021 秋 ?万州区校级期中〕如图，在△ ABC 中，AB=AC ，D 为 BC 上一点， BF=CD ，CE=BD ，那么∠ EDF 等于〔〕A90°﹣∠A B90°﹣∠ A C 180°﹣∠ A D45°﹣∠A．．．．考点：等腰三角形的性质．解析：由 AB=AC ，利用等边同等角获取一对角相等，再由 BF=CD ，BD=CE ，利用 SAS 获取三角形 FBD 与三角形 DEC 全等，利用全等三角形对应角相等获取一对角相等，即可表示出∠ EDF ．解答：解：∵ AB=AC ，∴∠B=∠C°，在△BDF 和△CED 中，，∴ △ BDF ≌△ CED 〔SAS〕，∴ ∠ BFD= ∠CDE ，∴ ∠ FDB+ ∠EDC= ∠ FDB+ ∠ BFD=180 °﹣∠ B=180 °﹣=90°+ ∠A ，那么∠ EDF=180 °﹣〔∠ FDB+ ∠ EDC 〕=90 °﹣∠ A．应选 B．议论：此题观察了全等三角形的判断与性质，熟练掌握全等三角形的判断与性质是解此题的要点．17．〔 2021 秋 ?泰山区校级期中〕如图，在△ ABC中，AB=AC，AD均分∠ BAC，那么以下结论不用然成立的是〔〕A△ABD ≌△ B AD 是△ ABC． ACD．的高线C AD 是△ ABC D △ABC 是等．的角均分线．边三角形考点：等腰三角形的性质．解析：利用等腰三角形的性质逐项判断即可．解答：解：A 、在△ABD 和△ ACD 中，，所以△ABD ≌△ ACD ，所以 A 正确；B 、因为 AB=AC ， AD 均分∠ BAC ，所以 AD 是 BC 边上的高，所以 B 正确；C、由条件可知 AD 为△ ABC 的角均分线；D 、由条件无法得出 AB=AC=BC ，所以△ABC 不用然是等边三角形，所以 D 不正确；应选 D．议论：此题主要观察等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一〞的性质是解题的关键．18．〔 2021 秋 ?晋江市校级月考〕如图，点P 是△ ABC 内的一点，假设PB=PC，那么〔〕A点 P 在．∠ABC的平分线上C点 P在边 AB ．的垂直均分线上B点 P 在．∠ACB的平分线上D点P在边 BC ．的垂直均分线上解析：依照到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直均分线上由PC=PB 即可得出P 在线段 BC 的垂直均分线上．解答：解：∵ PB=PC，∴ P 在线段 BC 的垂直均分线上，应选 D．议论：此题观察了角均分线的性质和线段垂直均分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直均分线上，角均分线上的点到角的两边的距离相等．19．〔 2021?河西区二模〕如图，在∠ ECF 的两边上有点B，A ，D ，BC=BD=DA ，且∠ ADF=75 °，那么∠ ECF 的度数为〔〕A 15°B 20°C 25°D 30°．．．．考等腰三角形的性质．点：分依照等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，渐渐推出∠ECF的度数．析：解解：∵ BC=BD=DA ，答：∴ ∠C=∠BDC ，∠ABD= ∠BAD ，∵ ∠ ABD= ∠ C+∠ BDC ，∠ ADF=75 °，∴3∠ ECF=75 °，∴∠ECF=25 °．应选： C．点观察了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运评：用．20．〔 2021 秋 ?盱眙县校级期中〕如图， P 为∠AOB 的均分线 OC 上任意一点， PM⊥ OA 于 M ，PN ⊥OB 于 N，连接 MN 交 OP 于点 D．那么① PM=PN ，② MO=NO ，③ OP⊥ MN ，④ MD=ND ．其中正确的有〔〕A 1个B 2个C 3个D 4个考角均分线的性质．点：分由很易获取△ OPM≌ △ OPN，进而得角相等，边相等，进而得△ OMP≌ △ ONP，析：△ PMD ≌ △PND ，可得 MD=ND ，∠ODN= ∠ ODM=9O °，答案可得．解解： P 为∠AOB 的均分线OC 上任意一点， PM⊥ OA 于 M ，PN⊥OB 于 N答：连接 MN 交OP于点 D，∴ ∠ MOP= ∠NOP ，∠OMP= ∠ ONP ，OP=OP，∴ △OPM ≌△ OPN，∴MP=NP ，OM=ON ，又 OD=OD∴△OMD ≌ △ OND ，∴MD=ND ，∠ ODN= ∠ ODM=9O °，∴OP⊥ MN∴① PM=PN ，② MO=NO ，③ OP⊥ MN ，④ MD=ND 都正确．应选 D．点此题主要观察了角均分线的性质，即角均分线上的一点到两边的距离相等；发现并评：利用△OMD ≌ △OND 是解决此题的要点，证明两线垂直时常常经过证两角相等且互补来解决．二．解答题〔共10 小题〕21．〔 2021 秋 ?黄浦区期末〕如图，ON 是∠ AOB 的均分线， OM 、OC 是∠ AOB 外的射线．（1〕若是∠ AOC= α，∠ BOC= β，请用含有α，β的式子表示∠ NOC ．（2〕若是∠ BOC=90 °，OM 均分∠ AOC ，那么∠ MON 的度数是多少？考点：角均分线的定义．解析：〔 1〕先求出∠ AOB= α﹣β，再利用角均分线求出∠ AON，即可得出∠ NOC；〔 2〕先利用角均分线求出∠ AOM=∠ AOC，∠ AON=∠ AOB，即可得出∠MON= ∠ BOC．解答：解：〔 1〕∵ ∠ AOC= α，∠BOC= β，∴ ∠ AOB= α﹣β，∵ON 是∠ AOB 的均分线，∴ ∠ AON= 〔α﹣β〕，∠ NOC= α﹣〔α﹣β〕=〔α+β〕；（2〕∵OM 均分∠AOC，ON 均分∠ AOB ，∴ ∠ AOM=∠AOC，∠ AON=∠ AOB，∴ ∠ MON= ∠ AOM ﹣∠AON=〔∠AOC﹣∠ AOB〕=∠ BOC=×90°=45°．议论：此题观察了角均分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的要点．22．〔 2021 秋 ?阿坝州期末〕如图，： E 是∠ AOB 的均分线上一点， EC⊥ OB ，ED ⊥OA ，C、D 是垂足，连接 CD，且交 OE 于点 F．（1〕求证： OE 是 CD 的垂直均分线．（2〕假设∠AOB=60 °，请你研究 OE ，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．考点：线段垂直均分线的性质．专题：研究型．解析：〔 1〕先依照 E 是∠ AOB 的均分线上一点，EC⊥ OB， ED⊥OA 得出△ODE≌ △ OCE，可得出 OD=OC ，DE=CE ，OE=OE ，可得出△ DOC 是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE 是 CD 的垂直均分线；（2〕先依照 E 是∠ AOB 的均分线，∠AOB=60 °可得出∠ AOE= ∠ BOE=30 °，由直角三角形的性质可得出 OE=2DE ，同理可得出 DE=2EF 即可得出结论．解答：解：〔 1〕∵ E 是∠ AOB 的均分线上一点，EC⊥ OB ， ED⊥OA ，∴DE=CE ， OE=OE ，∴Rt△ ODE≌ Rt△ OCE，∴OD=OC ，∴△ DOC 是等腰三角形，∵ OE 是∠AOB 的均分线，∴OE 是 CD 的垂直均分线；〔 2〕∵OE 是∠ AOB 的均分线，∠AOB=60 °，∴ ∠ AOE= ∠ BOE=30 °，∵EC⊥ OB ，ED⊥ OA ，∴OE=2DE ，∠ ODF= ∠ OED=60 °，∴∠ EDF=30 °，∴DE=2EF ，∴OE=4EF ．议论：此题观察的是角均分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判断与性质，熟知以上知识是解答此题的要点．23．〔 2021 秋 ?花垣县期末〕如图，在△ ABC 中，∠ ABC=2 ∠ C， BD 均分∠ABC ，DE ⊥AB 〔E 在 AB 之间〕，DF ⊥BC ， BD=5 ， DE=3 ， CF=4，试求△ DFC 的周长．考点：角均分线的性质．解析：依照角均分线的性质可证∠ ABD=∠ CBD，即可求得∠ CBD=∠ C，即BD=CD，再依照角均分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF ，即可解题．解答：解：∵ ∠ ABC=2 ∠ C， BD 均分∠ABC ，∴ ∠CBD= ∠C，∴ BD=CD ，∵ BD 均分∠ABC ，∴ DE=DF ，∴ △DFC 的周长 =DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12．议论：此题观察了角均分线上点到角两边距离相等的性质，观察了角均分线均分角的性质，观察了三角形周长的计算，此题中求证DE=DF 是解题的要点．24．〔 2021 秋 ?大石桥市期末〕如图，点 D 是△ ABC 中 BC 边上的一点，且 AB=AC=CD ，AD=BD ，求∠BAC 的度数．考点：等腰三角形的性质．解析：由AD=BD得∠ BAD=∠ DBA，由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠ DBA，∠DBA= ∠ C，进而可推出∠ BAC=3 ∠ DBA ，依照三角形的内角和定理即可求得∠DBA 的度数，进而不难求得∠ BAC 的度数．解答：解：∵ AD=BD∴设∠ BAD= ∠ DBA=x °，∵AB=AC=CD∴ ∠ CAD= ∠ CDA= ∠ BAD+ ∠DBA=2x °，∠DBA= ∠C=x °，∴ ∠ BAC=3 ∠ DBA=3x °，∵ ∠ ABC+ ∠ BAC+ ∠ C=180°∴5x=180 °，∴∠ DBA=36 °∴∠ BAC=3 ∠ DBA=108 °．议论：此题主要观察学生同等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答此题的要点．25．〔 2021 秋 ?安溪县期末〕如图，在△ABC中，AB=AC，∠ A=α．（1〕直接写出∠ ABC 的大小〔用含α的式子表示〕；（2〕以点 B 为圆心、 BC 长为半径画弧，分别交 AC 、AB 于 D 、E 两点，并连接 BD、DE ．假设=30 °，求∠BDE 的度数．考点：等腰三角形的性质．解析：〔1〕依照三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC的大小；〔 2〕依照等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠ BDC，再求出∠ CBD，尔后依照∠ ABD= ∠ ABC ﹣∠ CBD ，求得∠ABD ，再依照三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解．解答：解：〔 1〕∠ ABC 的大小为×〔 180°﹣α〕 =90°﹣α；〔 2〕∵ AB=AC ，∴ ∠ABC= ∠ C=90 °﹣α=90°﹣×30°=75°，由题意得： BC=BD=BE ，由 BC=BD 得∠ BDC= ∠ C=75°，∴∠CBD=180 °﹣ 75°﹣75°=30°，∴ ∠ABD= ∠ABC ﹣∠CBD=75 °﹣30°=45°，由 BD=BE 得．故∠BDE 的度数是°．议论：此题观察了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的要点．26．〔 2021 秋?静宁县校级期中〕如图，在△ ABC中，AD均分∠ BAC，点D是BC的中点，DE ⊥AB 于点 E， DF ⊥ AC 于点 F．求证：〔 1〕∠ B= ∠ C．〔2〕△ ABC 是等腰三角形．考等腰三角形的判断．点：分由条件可得出 DE=DF ，可证明△ BDE ≌△ CDF ，可得出∠ B=∠ C，再由等腰三角析：形的判断可得出结论．解证明：〔 1〕∵AD 均分∠BAC ，DE ⊥ AB 于点 E， DF ⊥ AC 于点 F，答：∴ DE=DF ，在 Rt△BDE 和 Rt△ CDF 中，，∴ Rt△BDE ≌ Rt△ CDF 〔HF〕，∴ ∠B=∠C；〔 2〕由〔 1〕可得∠ B=∠ C，∴ △ABC 为等腰三角形．点此题主要观察等腰三角形的判断及全等三角形的判断和性质，利用角均分线的性质评：得出 DE=DF 是解题的要点．27．〔 2021 秋 ?天津期末〕如图， AB=AC ，∠ C=67°，AB 的垂直均分线 EF 交 AC 于点 D，求∠ DBC 的度数．考点：线段垂直均分线的性质；等腰三角形的性质．解析：求出∠ ABC ，依照三角形内角和定理求出∠A，依照线段垂直均分线得出AD=BD ，求出∠ ABD ，即可求出答案．解答：解：∵ AB=AC ，∠ C=67 °，∴ ∠ ABC= ∠ C=67 °，∴ ∠ A=180 °﹣ 67°﹣ 67°=46°，∵ EF 是 AB 的垂直均分线，∴ AD=BD ，∴ ∠ A= ∠ ABD=46 °，∴ ∠ DBC=67 °﹣ 46°=21 °．议论：此题观察了线段垂直均分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判断等知识点，要点是求出∠ ABC和∠ ABD的度数，题目比较好．28．〔 2021 秋 ?高坪区校级期中〕如图，△ ABC 中， AB=AD=AE ，DE=EC ，∠ DAB=30 °，求∠C 的度数．考点：等腰三角形的性质．解析：第一依照 AB=AD=AE ，DE=EC ，获取∠ B= ∠ADB ，∠ ADE= ∠ AED ，∠C=∠EDC ，进而获取∠ ADE= ∠ AED= ∠ C+∠ EDC=2 ∠ C，依照∠ DAB=30 °，求得∠B= ∠ ADB=75 °，利用∠ ADC= ∠ ADE+ ∠ EDC=3 ∠ C=105°，求得∠C即可．解答：解：∵AB=AD=AE ，DE=EC ，∴ ∠B= ∠ADB ，∠ADE= ∠AED ，∠ C=∠EDC ，∴ ∠ADE= ∠AED= ∠ C+∠ EDC=2 ∠ C，∵ ∠DAB=30 °，∴ ∠B= ∠ADB=75 °，∴ ∠ADC= ∠ADE+ ∠EDC=3 ∠C=105 °，∴ ∠C=35 °．议论：此题观察了等腰三角形的性质，解题的要点是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数．29．〔 2021 春 ?扶沟县校级期中〕阅读理解：“在一个三角形中，若是角相等，那么它们所对的边也相等．〞简称“等角同等边〞，如图，在△ ABC 中，∠ ABC 和∠ ACB 的均分线上交于点 F，过点 F 作 BC 的平行线分别交 AB 、 AC 于点 D 、E，请你用“等角同等边〞的知识说明DE=BD+CE ．考等腰三角形的性质．点：专证明题．题：分由 DE ∥BC， BF 均分∠ABC ，CF 均分∠ ACB 可知， DB=DF ，CE=EF ．即可得出析：结论．解证明：∵ BF 均分∠ABC 〔〕， CF 均分∠ACB 〔〕，答：∴ ∠ABF= ∠ CBF，∠ ACF= ∠FCB ；又∵DE 平行 BC 〔〕∴ ∠DFB= ∠ FBC 〔两直线平行，内错角相等〕，∠ EFC=∠ FCB〔两直线平行，内错角相等〕，∴ ∠DBF= ∠ DFB ，∠ EFC= ∠ECF〔等量代换〕∴DF=DB ， EF=EC 〔等角同等边〕∴DE=BD+CE ．点此题观察学生同等腰三角形的判断与性质和平行线的性质的理解和掌握，主要利评：用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题．30．〔 2021?龙岩质检〕如图， AD 是△ ABC 的均分线， DE ，DF 分别垂直 AB 、AC 于 E、F，连接 EF，求证：△AEF 是等腰三角形．考等腰三角形的判断；全等三角形的判断与性质．点：专证明题．题：分依照角均分线的性质知∠BAD=∠ CAD；尔后依照条件“DE，DF分别垂直AB 、析：AC 于 E、 F〞获取∠ DEA= ∠ DFA=90 °；再加上公共边AD=AD ，进而证明，△ ADE ≌ △ ADF ；最后依照全等三角形的对应边相等证明△ AEF的两边相等，所以△AEF 是等腰三角形．解证明：∵ AD 是△ABC 的均分线，答：∴ ∠BAD= ∠CAD ，〔3 分〕又∵DE ，DF 分别垂直 AB 、 AC 于 E， F∴ ∠DEA= ∠ DFA=90 °〔 6 分〕又∵AD=AD ，∴ △ ADE ≌△ ADF ．〔 8 分〕∴ AE=AF ，即△ AEF 是等腰三角形〔10 分〕点此题综合观察了等腰三角形的判断、全等三角形的判断与性质．解答此题时，根评：据全等三角形的判判定理ASA 判断△ ADE ≌ △ ADF ．。

(完整版)初中数学三角形证明题经典题型训练汇总

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2015年 05月 03日初中数学三角形证明组卷．选择题（共 20 小题）1．（ 2015? 涉县模拟）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°， AB 的垂直平分线交 AB 与 D ，交 BC 于 E ，连接 AE ，若 CE=5， AC=12，则 BE 的长是（ ）2 ．（ 2015? 淄博模拟）如图，在△ ABC 中，AB=AC ，∠A=36°， BD 、CE 分别是∠ ABC 、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）4．（ 2014?丹东）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=40°， AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，交AC 于点 E ，连接 BE ，则∠ CBE 的度数为（ ）C 12D53．（ 2014 秋? 西城区校级期中）如图，在△ ABC 中， AD 是它的角平分线， A B=8cm ，AC=6cm ，C 16 ： 9D 9： 163：4WORD格式可编辑A 70°B 80°C 40°D 30°度数为（ ）6．（2014? 山西模拟）如图，点 O 在直线 AB 上，射线 OC 平分∠ AOD ，若∠ AOC=3°5 ， 则∠BOD7 ．（2014? 雁塔区校级模拟）如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， BA 的垂直平分线交 BC 边于8．（2014 秋? 腾冲县校级期末） 如图，已知 BD 是△ABC 的中线， AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD 的周长的差是（）5．（ 2014? 南充）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，且 D 为 BC 上一点，CD=AD ， AB=BD ，则∠ B 的C 40D 45A 145°B 110C 70°D 35°60°的角的个数是（C4D5等于（ ）D ，若 AB=10， AC=5，则图中等于9．（2014春? 栖霞市期末） 在 Rt △ABC 中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，点 D 到 AB 的距离 DE=3.8cm ，则 BC 等于（10 ．（ 2014秋? 博野县期末）△ ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离 相等；∠ A=40°，则∠ BOC （= ）A 110°B 120°C 130°D 140°B3 C6D 不能确定B 7.6cm 11.4cmD 11.2cm11 ．（2013秋? 潮阳区期末）如图，已知点 P 在∠ AOB 的平分线 OC 上，PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，A 3.8cm若 PE=6，则 PF 的长为（12 ．（ 2013秋? 马尾区校级期末）如图，△ ABC 中， DE 是 AB 的垂直平分线，交 BC 于点 D ， 交 AB 于点 E ，已知 AE=1cm ，△ACD 的周长为 12cm ，则△ ABC 的周长是（ ）16．（2014 秋? 万州区校级期中）如图，已知在△ ABC 中， AB=AC ， D 为 BC 上一点， BF=CD ，C 15cmD 16cm13．（2013秋? 西城区期末） 如图，∠BAC=13°0 等于（ ）14．（2014 秋? 东莞市校级期中）如图，要用条件是（ ）， 若 MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，则∠ PAQ80°D 105°HL ”判定 Rt △ABC 和 Rt △A ′B ′C ′全等的B ．∠A=∠A ′， AB=A ′B ′ D ．∠B=∠B ′， BC=B ′C ′15．（2014 秋 ? 淄川区校级期中）如图， M N 是线段 AB 的垂直平分线， C 在 MN 外，且与 A 点在 MN 的同一侧， BC 交 MN 于 P 点，则（ ）A BC > PC+APB BC <PC+APC BC=PC+APD BC ≥ PC+APCE=BD，那么∠ EDF等于（）不一定成立的是（ ）B ． 90°﹣ ∠AC ． 180°﹣∠AD45°∠A17．（ 2014 秋 ? 泰山区校级期中）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，AD 平分∠BAC ，那么下列结论A ． △ABD ≌△ ACDC ． AD 是△ ABC 的角平分线B ． AD 是△ ABC 的高线D ．△ABC 是等边三角18．（2014 秋? 晋江市校级月考）如图，点 P 是△ ABC 内的一点，若 PB=PC ，则（A ．点 P 在∠ABC 的平分线上 C ．点 P 在边 AB 的垂直平分线上 B ． 点 P 在∠ ACB 的平分线上 D ．点 P 在边 BC 的垂直平分线上19．（ 2013? 河西区二模） 如图， 在∠ECF 的两边上有点 B ，A ，D ，BC=BD=D ，A 且∠ADF=75°， C 25° D 30°A 90°﹣∠A20 ．（2013 秋? 盱眙县校级期中）如图， P 为∠ AOB 的平分线 OC 上任意一点， PM ⊥OA 于 M ， PN ⊥OB 于 N ，连接 MN 交 OP 于点 D ．则① PM=P ，N ②MO=N ，O ③OP ⊥MN ，④MD=N ．D 其中正确 的有（ ）．解答题（共 10 小题）21 ．（2014 秋? 黄浦区期末）如图，已知 ON 是∠AOB 的平分线， OM 、OC 是∠ AOB 外的射线．1）如果∠ AOC α= ，∠ BOC β= ，请用含有 α， 的式子表示∠ NOC ． 那么∠ MON 的度数是多少？A 1 个2）如果∠ BOC=9°0 ， OM 平分∠ AOC ，22．（2014 秋? 阿坝州期末）如图，已知： E 是∠AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA ， C 、 D 是垂足，连接 CD ，且交 OE 于点 F ．（1）求证： OE 是 CD 的垂直平分线．23．（2014 秋? 花垣县期末）如图，在△ ABC 中，∠ ABC=2∠C ， BD 平分∠ ABC ，DE ⊥AB（ E 在 AB 之间），DF ⊥BC ，已知 BD=5，DE=3，CF=4，试求△ DFC 的周长．24 ．（ 2014 秋? 大石桥市期末） 如图， 点 D 是△ ABC 中 BC 边上的一点， 且 AB=AC=C ，DAD=BD ， 求∠BAC 的度数．EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．25．（2014 秋? 安溪县期末）如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ ABC的大小（用含α 的式子表示）；分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若26．（2014 秋? 静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠ BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F．求证：（1）∠B=∠C．27．（2012 秋? 天津期末）如图，AB=AC，∠ C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．28 ．（2013秋? 高坪区校级期中）如图，△ ABC 中，AB=AD=A，E DE=EC，∠DAB=30°，求∠C 的度数．29．（2012 春? 扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ ABC 中，已知∠ ABC 和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+C．E30．（2011? 龙岩质检）如图，AD是△ ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△ AEF 是等腰三角形．2015年 05 月 03 日初中数学三角形证明组卷参考答案与试题解析一．选择题（共 20 小题）1．（ 2015? 涉县模拟）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°， AB 的垂直平分线交 AB 与 D ，交 BC 于 E ，连接 AE ，若 CE=5， AC=12，则 BE 的长是（ ）考 线段垂直平分线的性质． 点：分 先根据勾股定理求出 AE=13，再由 DE 是线段 AB 的垂直平分线，得出BE=AE=13． 析：解解：∵∠ C=90°，答：∴A E=，∵DE 是线段 AB 的垂直平分线， ∴BE=AE=1；3 故选： A ．点 本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质；利用勾股定理求出 AE 是解题的关评： 键．2．（ 2015? 淄博模拟）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=36°， BD 、CE 分别是∠ ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）考 等腰三角形的判定；三角形内角和定理．C 12D5点：专证明题．题：分根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，析：解解：共有 5 个．答：（1）∵ AB=AC ∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ ABC、∠BCD 的角平分线∴∠ EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠ EBC=∠ ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠ A=36°，AB=AC，∴∠ ABC=∠ACB= （180°﹣36°）=72°，又BD是∠ ABC的角平分线，∴∠ ABD= ∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△ CDE 和△ BCD是等腰三角形．故选：A．点此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，评：题．3．（2014秋? 西城区校级期中）如图，在△ ABC 中，AD是它的角平分线，考角平分线的性质；三角形的面积．点：专计算题．题：C 16 ：9 D 9：16即可得出答案．属于中档AB=8cm，AC=6cm，则S △ABD：S△ACD=（）3：4分 首先过点 D 作 DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，由 AD 是它的角平分线，根据角平分线的性质， 析： 即可求得 DE=DF ，由△ ABD 的面积为 12，可求得 DE 与 DF 的长，又由 AC=6，则 可求得△ ACD 的面积．解 解：过点 D 作 DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为 E 、F ⋯（ 1 分） 答： ∵AD 是∠ BAC 的平分线， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=D ，F ⋯（ 3 分） ∴S △ABD= ? DE? AB=12， ∴DE=DF=⋯3 （ 5 分）∴S △ADC= ? DF? AC= ×3×6=9⋯（ 6 分）∴S △ABD ： S △ACD =12： 9=4： 3．点 此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性 评： 质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4．（ 2014? 丹东）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠A=40°， AB 的垂直平分线交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E ，连接 BE ，则∠ CBE 的度数为（ ）考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 专题： 几何图形问题．分析： 由等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，即可求得∠ ABC 的度数，又由线段 AB 的垂直 平分线交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，可得 AE=BE ，继而求得∠ ABE 的度数，则可求得答 案．解答： 解：∵等腰△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=40°，∴∠ ABC=∠C==70°，∵线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，A 70°B 80°C 40D 30°故选 A ．∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014? 南充）如图，在△ ABC 中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A 30°B 36°C 40°D 45考等腰三角形的性质．点：分求出∠ BAD=2∠ CAD=∠2 B=2∠C 的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠ B，析：解解：∵ AB=AC，答：∴∠ B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=A，D∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36° 故选：B．点本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出评：∠BAD=2∠CAD=∠2 B=2∠C 关系．6．（2014? 山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠ AOD，若∠ AOC=3°5 ，则∠BOD 等于（）A 145°B 110C 70°D 35°考 角平分线的定义． 点：分 首先根据角平分线定义可得∠ AOD=∠2 AOC=7°0 ，再根据邻补角的性质可得∠ BOD 析： 的度数．解 解：∵射线 OC 平分∠ DOA ． 答： ∴∠ AOD=∠2 AOC ，∵∠ COA=3°5 ， ∴∠ DOA=7°0 ，∴∠ BOD=18°0 ﹣70°=110°， 故选： B ．点 此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分． 评：7．（ 2014? 雁塔区校级模拟）如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， BA 的垂直平分线交 D ，若 AB=10， AC=5，则图中等于 60°的角的个数是（ ）考点： 线段垂直平分线的性质． 分析： 根据已知条件易得∠ B=30°， ∠ BAC=60°．根据线段垂直平分线的性质进一步求解．解答： 解：∵∠ ACB=90°， AB=10， AC=5，∴∠ B=30°．∴∠BAC=90°﹣30°=60° ∵DE 垂直平分 BC ，∴∠ BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=9°0 ﹣30°=60°． ∴∠BDE 对顶角 =60°，∴图中等于 60°的角的个数是 4． 故选 C ．点评： 此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识． 线段的垂直平分线上的点到 线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个寻找，做到不重不漏．8．（2014 秋? 腾冲县校级期末） 如图，已知 BD 是△ABC 的中线， AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD 的周长的差是（ ）BC 边于C4 D5考点：三角形的角平分线、中线和高．专题：计算题．分析：根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．解答：解：∵BD 是△ABC的中线，∴AD=C，D∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+A）D ﹣（BC+BD+C）D=AB﹣BC=5﹣3=2．故选A．点评：本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．9．（2014春? 栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点 D 到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（考点：角平分线的性质．分析：由∠ C=90°，∠ CAB=60°，可得∠B 的度数，故BD=2DE=7.6，又AD平分∠ CAB，故DC=DE=3.8，由BC=BD+DC求解．解答：解：∵∠ C=90°，∠ CAB=60°，∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，又∵AD平分∠ CAB，∴DC=DE=3.，8 ∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.．4 故选C．点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB 的距离DE即为CD长，是解题的关键．B3 C6 D 不能确定B 7.6cm 11.4cm D 11.2cmA 3.8cm10．（2014 秋? 博野县期末）△ ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相 等；∠ A=40°，则∠ BOC （= ）A 110°B 120°C 130°D 140°角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质． 计算题．由已知， O 到三角形三边距离相等，得 O 是内心，再利用三角形内角和定理即可求 出∠BOC 的度数．解 解：由已知， O 到三角形三边距离相等，所以 O 是内心， 答： 即三条角平分线交点，AO ， BO ，CO 都是角平分线，所以有∠ CBO ∠= ABO= ∠ABC ，∠ BCO ∠= ACO= ∠ACB ， ∠ABC+∠ACB=18﹣0 40=140 ∠OBC ∠+ OCB=70 ∠BOC=18﹣0 70=110° 故选 A ．点 此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识 评： 点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．（2013 秋? 潮阳区期末）如图，已知点 P 在∠ AOB 的平分线 OC 上，PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，若考点 ： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 专题 ： 计算题．分析： 利用角平分线性质得出∠ POF=∠POE ，然后利用 AAS 定理求证△ POE ≌△ POF ，即可 求出 PF 的长．考点专题分）4解答： 解：∵ OC 平分∠ AOB ，∴∠ POF=∠POE ， ∵PF ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PFO=∠PEO ， PO 为公共边，∴△ POE ≌△ POF ， ∴PF=PE=6． 故选 C ．点评： 此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此 题的关键是求证△ POE ≌△ POF ．12．（2013 秋? 马尾区校级期末）如图，△ ABC 中， DE 是 AB 的垂直平分线，交 BC 于点 D ， 交 AB 于点 E ，已知 AE=1cm ，△ACD 的周长为 12cm ，则△ ABC 的周长是（ ）考 线段垂直平分线的性质． 点： 分 要求△ ABC 的周长，先有 AE 可求出 AB ，只要求出 AC+BC 即可，根据线段垂直平分线析： 的性质可知， AD=BD ，于是 AC+BC=AC+CD+A 等D 于△ ACD 的周长，答案可得． 解解：∵ DE 是 AB 的垂直平分线，答： ∴AD=BD ， AB=2AE=2又∵△ ACD 的周长 =AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12 ∴△ ABC 的周长是 12+2=14cm ． 故选 B点 此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端 评： 点的距离相等；进行线段的等效转移，把已知与未知联系起来是正确解答本题的关 键．13．（2013秋? 西城区期末）如图，∠BAC=13°0 ，若 MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC ，则∠PAQ 等于（ ）考点：线段垂直平分线的性质． 点：分析：根据线段垂直平分线性质得出 BP=AP ，CQ=AQ ，推出∠ B=∠BAP ，∠C=∠QAC ，求出 ∠B+∠C ，即可求出∠ BAP+∠QAC ，即可求出答案．C 15cmD 16cmC 80°D 105°A 13cmB 14cm A 50° B 75解 解：∵ MP 和 QN 分别垂直平分 AB 和 AC ， 答： ∴BP=AP ， CQ=AQ ，∴∠B=∠PAB ，∠C=∠QAC ，∵∠ BAC=13°0 ， ∴∠B+∠C=180°﹣∠ BAC=50°，∴∠ BAP+∠CAQ=5°0 ， ∴∠PAQ=∠BAC ﹣（∠ PAB+∠QAC ）=130°﹣50°=80°， 故选： C ．点 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注 评： 意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．14．（2014 秋? 东莞市校级期中）如图，要用“ HL ”判定AB=A ′B ′ ． BC=B ′C ′考 直角三角形全等的判定． 点：分 根据直角三角形全等的判定方法（ HL ）即可直接得出答案． 析： 解 解：∵在 Rt △ ABC 和 Rt △A ′B ′C ′中，答： 如果 AC=A ′C ′， AB=A ′B ′，那么 BC 一定等于 B ′C ′，Rt △ ABC 和 Rt △A ′B ′C ′一定全等， 故选 C ．点 此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基 评： 础题．15．（2014 秋 ? 淄川区校级期中）如图， 在 MN 的同一侧， BC 交 MN 于 P 点，则（考点： 线段垂直平分线的性Rt △ABC 和 Rt △A ′B ′C ′全等的MN 是线段 AB 的垂直平分线，）C 在 MN 外，且与 A 点C BC=PC+APD BC ≥ PC+APC AC=A ′ C ′，D ∠ B=∠B ′，B BC < PC+AP分析： 从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得PA=PB ，结合图形知 BC=PB+P ，C通过等量代换得到答案．解答： 解：∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， ∴PA=PB ．∵BC=PC+B ，P ∴BC=PC+A ．P 故选 C ．点评： 本题考查了垂直平分线的性质： 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离 相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．16．（2014 秋? 万州区校级期中）如图，已知在△ ABC 中， AB=AC ， D 为 BC 上一点， BF=CD ， CE=BD ，那么∠ EDF 等于（ ）考点： 等腰三角形的性质．分析： 由 AB=AC ，利用等边对等角得到一对角相等，再由 BF=CD ， BD=CE ，利用 SAS 得到三角形 FBD 与三角形 DEC 全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，即可表示出解答： 解：∵ AB=AC ， ∴∠B=∠C °， 在△BDF 和△CED 中，，∴△ BDF ≌△CED （ SAS ）， ∴∠ BFD=∠CDE ，∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠ B=180°﹣ 则∠ EDF=180°﹣（∠ FDB+∠EDC ）=90°﹣ ∠A ． 故选 B ．点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的 关键．90° ﹣ ∠A∠A ，=90°BC 180°﹣∠A17．（2014 秋? 泰山区校级期中）如图，在△ ABC 中， AB=AC ，AD 平分∠BAC ，那么下列结论B AD 是△ ABC 的 ． 高线D △ ABC 是等边 ． 三角形考点 ： 等腰三角形的性质．分析： 利用等腰三角形的性质逐项判断即可． 解答： 解：A 、在△ ABD 和△ ACD 中，，所以△ ABD ≌△ACD ，所以 A 正确；B 、因为 AB=AC ， AD 平分∠ BAC ，所以 AD 是 BC 边上的高，所以 B 正确； C 、由条件可知 AD 为△ ABC 的角平分线；D 、由条件无法得出 AB=AC=B ，C 所以△ ABC 不一定是等边三角形，所以 D 不正确；故选 D ．点评： 本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．18．（2014 秋? 晋江市校级月考）如图，点 P 是△ ABC 内的一点，若 PB=PC ，则（考点： 线段垂直平分线的性质．分析：根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由 线段 BC 的垂直平分线上． PC=PB 即可得出 P 在解答：解：∵ PB=PC ，∴P 在线段 BC 的垂直平分线上，．DC AD 是△ ABC的 ． 角平分线A 点 P 在∠ ABC ． 的平分线上C 点 P 在边AB ． 的垂直平分 B 点 P 在∠ ACB ． 的平分线上D 点 P 在边BC ． 的垂直平不一定成立的是（故选 D ．点评： 本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等．19．（ 2013? 河西区二模） 如图， 在∠ECF 的两边上有点考 等腰三角形的性质． 点：分 根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ ECF 的度数． 析： 解解：∵ BC=BD=D ，A 答： ∴∠ C=∠BDC ，∠ ABD=∠BAD ， ∵∠ABD=∠C+∠BDC ，∠ADF=75°，∴3∠ECF=75°，∴∠ECF=25°． 故选： C ．点 考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运 评： 用．20．（2013 秋? 盱眙县校级期中）如图， P 为∠ AOB 的平分线 OC 上任意一点， PM ⊥OA 于 M ，PN ⊥OB 于 N ，连接 MN 交 OP 于点 D ．则① PM=P ，N ②M O=NO ，③OP ⊥MN ，④MD=N ．D其中正确考 角平分线的性质． 点：B ，A ，D ，BC=BD=D ，A 且∠ADF=75°，C 25°D 30°的有（ ）A 1 个分由已知很易得到△ OPM≌△ OPN，从而得角相等，边相等，进而得△ OM≌P △ ONP，析：△PMD≌△PND，可得MD=N，D ∠ ODN∠= ODM=9°O，答案可得．解解：P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA 于M，PN⊥OB 于N答：连接MN交OP于点D，∴∠ MOP∠= NOP，∠OMP∠= ONP，OP=OP，∴△OPM≌△OPN，∴MP=N，POM=O，N 又OD=OD∴△OMD≌△OND，∴MD=N，D∠ ODN∠= ODM=9°O，∴OP⊥MN∴① PM=P，N ②MO=N，O③OP⊥MN，④MD=ND 都正确．故选D．点本题主要考查了角平分线的性质，即角平分线上的一点到两边的距离相等；发现并评：利用△ OM≌D △OND是解决本题的关键，证明两线垂直时常常通过证两角相等且互补来解决．二．解答题（共10 小题）21．（2014 秋? 黄浦区期末）如图，已知ON是∠AOB的平分线，OM、OC是∠AOB外的射线．（1）如果∠ AOCα= ，∠ BOCβ= ，请用含有α，β 的式子表示∠ NOC．（2）如果∠ BOC=9°0 ，OM平分∠ AOC，那么∠ MON的度数是多少？考点：角平分线的定义．分析：（1）先求出∠ AOB=α﹣β，再利用角平分线求出∠ AON，即可得出∠ NOC；（2）先利用角平分线求出∠ AOM= ∠AOC，∠ AON= ∠AOB，即可得出解答：解：（1）∵∠ AOCα= ，∠ BOCβ= ，∴∠AOB=α﹣β，∵ON是∠ AOB的平分线，∴∠AON= （α﹣β），∠NOCα= ﹣（α﹣β）= （α +β）；（2）∵OM平分∠ AOC，ON平分∠ AOB，∴∠AOM= ∠AOC ，∠AON= ∠AOB ， ∴∠MON ∠= AOM ﹣∠AON= (∠AOC ﹣∠AOB )点评： 本题考查了角平分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．22．（2014 秋? 阿坝州期末）如图，已知： E 是∠AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA ， C 、D 是垂足，连接 CD ，且交 OE 于点F ．考点 ： 线段垂直平分线的性质． 专题 ： 探究型．分析： （ 1）先根据 E 是∠ AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA 得出△ODE ≌△OCE ， 可得出 OD=OC ， DE=CE ， OE=OE ，可得出△ DOC 是等腰三角形，由等腰三角形的性 质即可得出 OE 是 CD 的垂直平分线；（ 2）先根据 E 是∠ AOB 的平分线，∠ AOB=6°0 可得出∠ AOE=∠BOE=3°0 ，由直 角三角形的性质可得出 OE=2DE ，同理可得出 DE=2EF 即可得出结论．解答： 解：（ 1）∵E 是∠AOB 的平分线上一点， EC ⊥OB ，ED ⊥OA ， ∴DE=C ，EOE=O ，E∴Rt △ODE ≌Rt △OCE ， ∴OD=O ，C∴△DOC 是等腰三角形， ∵OE 是∠AOB 的平分线， ∴OE 是 CD 的垂直平分线； ( 2)∵ OE 是∠ AOB 的平分线，∠ AOB=6°0 ， ∴∠ AOE=∠BOE=3°0 ， ∵EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，∴OE=2D ，E ∠ ODF=∠OED=6°0 ， ∴∠EDF=30°， ∴DE=2EF ， ∴OE=4E ．F= ∠BOC= × 90° =45°EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．1）求证： OE 是 CD 的垂直平分线．点评：本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．23．（2014 秋? 花垣县期末）如图，在△ ABC 中，∠ ABC=2∠C，BD平分∠ ABC，DE⊥AB （ E 在AB之间），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，试求△ DFC的周长．考点：角平分线的性质．分析：根据角平分线的性质可证∠ ABD=∠CBD，即可求得∠ CBD=∠C，即BD=CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF，即可解题．解答：解：∵∠ ABC=2∠C，BD平分∠ ABC，∴∠CBD=∠C，∴BD=C，D∵BD平分∠ ABC，∴DE=D，F∴△ DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=．12点评：本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE=DF是解题的关键．24．（2014秋? 大石桥市期末）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=C，DAD=BD，求∠BAC的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠ CAD=∠CDA=∠2 DBA，∠DBA=∠C，从而可推出∠ BAC=3∠DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA 的度数，从而不难求得∠BAC的度数．解答：解：∵ AD=BD∴设∠ BAD=∠DBA=x°，∵AB=AC=CD ∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°，∠ DBA=∠C=x°，∴∠BAC=3∠DBA=3x°，∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°∴5x=180°，∴∠ DBA=36°∴∠ BAC=3∠DBA=10°8 ．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．25．（2014 秋? 安溪县期末）如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ ABC 的大小（用含α 的式子表示）；（2）以点 B 为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若=30°，求∠ BDE 的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC 的大小；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠ BCD=∠BDC，再求出∠ CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD，求得∠ ABD，再根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解．解答：解：（1）∠ABC的大小为×（180°﹣α）=90°﹣α；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=90°﹣α=90°﹣ ×30°=75°，由题意得：BC=BD=B，E由BC=BD得∠ BDC=∠C=75°，∴∠CBD=18°0 ﹣75°﹣75°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=7°5 ﹣30°=45°，由BD=BE得故∠BDE的度数是67.5 °．点评：本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．26．（2014 秋? 静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠ BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F．求证：（1）∠B=∠C．考等腰三角形的判定．点：分由条件可得出DE=DF，可证明△ BDE≌△ CDF，可得出∠ B=∠C，再由等腰三角形的析：判定可得出结论．解证明：（1）∵AD平分∠ BAC，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 于点F，答：∴DE=D，F在Rt △BDE和Rt △CDF中，，，∴Rt △BDE≌Rt △CDF（HF），∴∠ B=∠C；（2）由（1）可得∠ B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．点本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质评：得出DE=DF是解题的关键．27．（2012 秋? 天津期末）如图，AB=AC，∠ C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：求出∠ ABC，根据三角形内角和定理求出∠ A，根据线段垂直平分线得出AD=BD，求出∠ ABD，即可求出答案．解答：解：∵ AB=AC，∠C=67°，∴∠ABC=∠C=67°，∴∠A=180°﹣67°﹣67°=46°，∵EF 是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=46°，∴∠DBC=6°7 ﹣46°=21°．点评：本题考查了线段垂直平分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，关键是求出∠ ABC 和∠ ABD的度数，题目比较好．28．（2013 秋? 高坪区校级期中）如图，△ ABC 中，AB=AD=A，E DE=EC，∠DAB=30°，求∠C 的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：首先根据AB=AD=A，E DE=EC，得到∠ B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠ C=∠EDC，从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=∠2 C，根据∠ DAB=30°，求得∠B=∠ADB=75°，利用∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠3 C=105°，求得∠C 即可．解答：解：∵ AB=AD=A，E DE=EC，∴∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，∴∠ ADE=∠AED=∠C+∠EDC=∠2 C，∵∠DAB=30°，∴∠B=∠ADB=75°，∴∠ ADC=∠ADE+∠EDC=∠3 C=105°，∴∠C=35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数．29．（2012 春? 扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ ABC 中，已知∠ ABC 和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+C．E考 等腰三角形的性质．点：专 证明题．题：分由 DE ∥BC ， BF 平分∠ ABC ， CF 平分∠ ACB 可知， DB=DF ， CE=EF ．便可得出结论．析：解 证明：∵ BF 平分∠ ABC （已知） ， CF 平分∠ ACB （已知） ，答： ∴∠ ABF=∠CBF ，∠ ACF=∠FCB ；又∵ DE 平行 BC （已知）∴∠ DFB=∠FBC （两直线平行，内错角相等） ，∠ EFC=∠FCB （两直线平行，内错角 相等），∴∠DBF=∠DFB ，∠EFC=∠E CF （等量代换）∴DF=DB ， EF=EC （等角对等边）∴DE=BD+C ．E点 此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质的理解和掌握，主要利 评： 用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题．DE ， DF 分别垂直 AB 、 AC 于 E 、F ，连 考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分析： 根据角平分线的性质知∠ BAD=∠CAD ；然后根据已知条件“ DE ， DF 分别垂直 AB 、 AC 于 E 、F ”得到∠ DEA=∠DFA=90°；再加上公共边 AD=AD ，从而证明，△ADE ≌△ ADF ；最后根据全等三角形的对应边相等证明△ AEF 的两边相等，所解答： 证明：∵ AD 是△ ABC 的平分线，∴∠ BAD=∠CAD ，（ 3 分） 又∵DE ， DF 分别垂直 AB 、AC 于 E ，F∴∠ DEA=∠ DFA=90°（ 6 分）又∵ AD=AD ，∴△ ADE ≌△ ADF ． （8分） ∴AE=AF ，即△ AEF 是等腰三角形（ 10分）30．（ 2011? 龙岩质检）如图， AD 是△ ABC 的平分线，点本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答此题时，根评：据全等三角形的判定定理ASA判定△ ADE≌△ADF．。

三角形全等证明题目60题目(有详解)

三角形全等证明题目60题目(有详解)

全等三角形证明题专项练习60 题（有答案）1．已知如图，△ABC≌△ ADE，∠ B=30°，∠ E=20°，∠ BAE=105°，求∠ BAC的度数．∠ BAC= _________．2．已知：如图，四边形ABCD中， AB∥CD， AD∥BC．求证：△ ABD≌△ CDB．3．如图，点 E 在△ ABC外面，点 D 在边 BC上， DE交 AC于 F．若∠ 1=∠ 2=∠ 3， AC=AE，请说明△ ABC≌△ ADE的道理．4．如图，△ ABC的两条高AD， BE订交于 H，且 AD=BD．试说明以下结论成立的原由．（1）∠ DBH=∠ DAC；（2）△ BDH≌△ ADC．5．如图，在△ABC中， D 是 BC边的中点， DE⊥ AB， DF⊥ AC，垂足分别为E、 F，且 DE=DF，则 AB=AC，并说明原由．6．如图， AE是∠ BAC的均分线， AB=AC， D 是 AE反向延长线的一点，则△ABD与△ ACD全等吗？为什么？第1页共28页7．以下列图，A、 D、 F、 B 在同素来线上，A F=BD， AE=BC，且 AE∥BC．求证：△ AEF≌△ BCD．8．如图，已知AB=AC， AD=AE， BE 与 CD订交于 O，△ ABE与△ ACD全等吗？说明你的原由．9．如图，在△ ABC中， AB=AC， D 是 BC的中点，点 E 在 AD上，找出图中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的．10．以下列图， CD=CA，∠ 1=∠ 2， EC=BC，求证：△ ABC≌△ DEC．11．已知 AC=FE， BC=DE，点 A、 D、 B、F 在一条直线上，要使△ ABC≌△ FDE，应增加什么条件？并依照你所增加的条件证明：△ ABC≌△ FDE．12．如图，已知AB=AC， BD=CE，请说明△ ABE≌△ ACD．13．如图，△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC，将△ ABC绕点 C 逆时针旋转角α（ 0°＜α＜ 90°）获取△ A1B1C，连接BB1．设 CB1交 AB于 D， A1B1分别交 AB， AC于 E， F，在图中不再增加其他任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明．（△ ABC与△ A1B1 C1全等除外）14．如图， AB∥ DE，AC∥ DF，BE=CF．求证：△ ABC≌△ DEF．15．如图， AB=AC， AD=AE， AB，DC订交于点M， AC， BE订交于点N，∠ DAB=∠EAC．求证：△ADM≌△ AEN．16．将两个大小不同样的含 45°角的直角三角板如图 1 所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2）， B、 C、E 三点在同一条直线上，连接DC．求证：△ ABE≌△ ACD．优秀文档17．如图，已知△ ABC是等边三角形， D、E 分别在边 BC、AC上，且 CD=CE，连接 DE并延长至点 F，使 EF=AE，连接AF、 BE和 CF．请在图中找出所有全等的三角形，用符号“≌”表示，并选择一对加以证明．18．如图，已知∠1=∠ 2，∠ 3=∠ 4， EC=AD．（1）求证：△ ABD≌△ EBC．（2）你能够从中得出哪些结论？请写出两个．19．等边△ ABC边长为 8， D为 AB边上一动点，过点 D 作 DE⊥ BC于点 E，过点 E 作 EF⊥ AC于点 F．（1）若 AD=2，求 AF的长；（2）求当 AD取何值时， DE=EF．20．巳知：如图，AB=AC， D、E 分别是 AB、 AC上的点， AD=AE， BE与 CD订交于 G．（Ⅰ）问图中有多少对全等三角形？并将它们写出来．（Ⅱ）请你选出一对三角形，说明它们全等的原由（根椐所选三角形说理难易不同样给分，即难的说对给分高，易的说对给分低）21．已知：如图，AB=DC， AC=BD， AC、BD订交于点E，过 E 点作 EF∥ BC，交 CD于 F，（1）依照给出的条件，能够直接证明哪两个三角形全等？并加以证明．（2） EF 均分∠ DEC吗？为什么？22．如图，己知∠1=∠ 2，∠ ABC=∠ DCB，那么△ ABC与△ DCB全等吗？为什么？23．如图， B， F， E， D 在一条直线上，AB=CD，∠ B=∠ D，BF=DE．试证明：（1）△ DFC≌△ BEA；（2）△ AFE≌△ CEF．24．如图， AC=AE，∠ BAF=∠BGD=∠ EAC，图中可否存在与△ABE全等的三角形？并证明．25．如图， D 是△ ABC的边 BC的中点， CE∥ AB，E 在 AD的延长线上．试证明：△ ABD≌△ ECD．26．如图，已知AB=CD，∠ B=∠C， AC和 BD订交于点O，E 是 AD的中点，连接OE．（1）求证：△ AOB≌△ DOC；（2）求∠ AEO的度数．27．如图，已知AB∥ DE， AB=DE， AF=DC．（1）求证：△ ABF≌△ DEC；（2）请你找出图中还有的其他几对全等三角形．（只要直接写出结果，不要证明）28．如图：在△ ABC中， BE、CF分别是 AC、AB 两边上的高，在 BE 上截取 BD=AC，在 CF的延长线上截取CG=AB，连接 AD、 AG．（1）求证：△ ABD≌△ GCA；（2）请你确定△ ADG的形状，并证明你的结论．29．如图，点D、 F、 E 分别在△ ABC的三边上，∠ 1=∠ 2=∠ 3， DE=DF，请你说明△ ADE≌△ CFD的原由．30．如图，在△ ABC中，∠ ABC=90°， BE⊥ AC于点 E，点 F 在线段 BE 上，∠ 1=∠ 2，点 D在线段 EC上，给出两个条件：① DF∥BC；② BF=DF．请你从中选择一个作为条件，证明：△AFD≌△ AFB．31．如图，在△ ABC中，点 D在 AB 上，点 E 在 BC上， AB=BC， BD=BE，EA=DC，求证：△ BEA≌△ BDC．32．阅读并填空：如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC， BE⊥ CE于点 E，AD⊥ CE于点 D．请说明△ ADC≌△ CEB的原由．解：∵ BE⊥CE于点 E（已知），∴∠ E=90°_________，同理∠ ADC=90°，∴∠ E=∠ ADC（等量代换）．在△ ADC中，∵∠ 1+∠ 2+∠ ADC=180°_________，∴∠ 1+∠ 2=90°_________．∵∠ ACB=90°（已知），∴∠ 3+∠ 2=90°，∴_________ ．在△ ADC和△ CEB中， .∴△ ADC≌△ CEB （ A． A． S）33．已知：以下列图，AB∥ DE，AB=DE， AF=DC．（ 1）写出图中你认为全等的三角形（不再增加辅助线）；（ 2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．34．如图，点 E 在△ ABC外面，点 D在 BC边上， DE交 AC于点 F，若∠ 1=∠ 2=∠ 3， AC=AE．试说明以下结论正确的原由：（1）∠ C=∠ E；（2）△ ABC≌△ ADE．35．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=BC，D 是斜边 AB上的一点， AE⊥ CD于 E，BF⊥ CD交 CD的延长线于F．求证：△ ACE≌△ CBF．36．如图，在△ ABC中， D 是 BC的中点， DE∥ CA交 AB 于 E，点 P 是线段 AC上的一动点，连接PE．研究：当动点P 运动到 AC边上什么地址时，△APE≌△ EDB？请你画出图形并证明△APE≌△ EDB．37．已知：如图，AD∥ BC， AD=BC， E 为 BC上一点，且AE=AB．求证：（ 1）∠ DAE=∠B；（2）△ ABC≌△ EAD．38．如图， D 为 AB边上一点，△ ABC和△ ECD都是等腰直角三角形，∠ ACB=∠ DCE=90°， CA=CB， CD=CE，图中有全等三角形吗？指出来并说明原由．39．如图， AB=AC， AD=AE，∠ BAC=∠ DAE．求证：△ ABD≌△ ACE．40．如图，已知D是△ ABC的边 BC的中点，过D 作两条互相垂直的射线，分别交AB于 E，交 AC于 F，求证： BE+CF ＞EF．41．以下列图，在△MNP中， H是高 MQ与 NE的交点，且QN=QM，猜想 PM与 HN有什么关系？试说明原由．42．如图，在△ ABC中， D 是 BC的中点，过 D 点的直线 GF交 AC于 F，交 AC的平行线 BG于 G点， DE⊥ GF，交 AB于点 E，连接 EG．（1）求证： BG=CF；（2）请你判断 BE+CF与 EF 的大小关系，并证明你的结论．43．如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC， BE⊥ CE于 E， AD⊥ CE于 D，，，求 BE 的长．44．如图，小明在完成数学作业时，遇到了这样一个问题，AB=CD， BC=AD，请说明：∠ A=∠ C 的道理，小明着手测量了一下，发现∠A确实与∠ C相等，但他不能够说明其中的道理，你能帮助他说明这个道理吗？试一试看．45．如图， AD是△ ABC的中线， CE⊥ AD于 E， BF⊥AD，交 AD的延长线于F．求证： CE=BF．46．如图，已知 AB∥ CD，AD∥ BC，F 在 DC的延长线上， AM=CF，FM交 DA的延长线上于E．交 BC于 N，试说明：AE=CN．47．已知：如图，△ABC中，∠ C=90°， CM⊥ AB于 M， AT均分∠ BAC交 CM于 D，交 BC于 T，过 D 作 DE∥ AB交 BC 于 E，求证： CT=BE．48．如图，已知AB=AD， AC=AE，∠ BAE=∠ DAC．∠ B 与∠ D 相等吗？请你说明原由．49． D 是 AB上一点， DF交 AC于点 E， DE=EF， AE=CE，求证： AB∥CF．50．如图， M是△ ABC的边 BC上一点， BE∥ CF，且 BE=CF，求证： AM是△ ABC的中线．优秀文档合用标准文案51．如图，在△ ABC中， AC⊥BC， AC=BC， D 为 AB上一点， AF⊥ CD交于 CD的延长线于点F， BE⊥ CD于点 E，求证：EF=CF﹣ AF．52．如图，在△ ABC中，∠ BAC=90°， AB=AC，若 MN是经过点 A 的直线， BD⊥ MN于 D，EC⊥ MN于 E．（1）求证： BD=AE；（2）若将 MN绕点 A 旋转，使 MN与 BC订交于点 O，其他条件都不变， BD与 AE边相等吗？为什么？（3） BD、 CE与 DE有何关系？53．已知：如图，△ABC中， AB=AC， BD和 CE为△ ABC的高， BD和 CE订交于点O．求证： OB=OC．54．在△ ABC中，∠ ACB=90°， D 是 AB边的中点，点 F 在 AC边上， DE与 CF平行且相等．试说明AE=DF的原由．55．如图，在△ ABC中， D 是边 BC上一点， AD均分∠ BAC，在 AB 上截取 AE=AC，连接 DE，已知 DE=2cm， BD=3cm，求线段 BC的长．优秀文档56．如图：已知∠B=∠ C， AD=AE，则 AB=AC，请说明原由．57．如图△ ABC中，点 D 在 AC上， E 在 AB上，且 AB=AC，BC=CD， AD=DE=BE．（ 1）求证△ BCE≌△ DCE；（ 2）求∠ EDC的度数．58．已知：∠ A=90°， AB=AC， BD均分∠ ABC， CE⊥ BD，垂足为E．求证： BD=2CE．59．如图，已知：AB=CD， AD=BC，过 BD上一点 O的直线分别交DA、 BC的延长线于E、 F．（1）求证：∠ E=∠ F；（2） OE与 OF相等吗？若相等请证明，若不相等，需增加什么条件就能证得它们相等？请写出并证明你的想法．60．以以下列图， AD是∠ BAC的均分线， DE垂直 AB于点 E， DF垂直 AC于点 F，且 BD=DC．求证： BE=CF．全等三角形证明题专项练习60 题参照答案：1．∵△ ABC≌△ ADE 且∠ B≠∠ E，∴∠ C=∠ E，∠ B=∠ D；∴∠ BAC=180°﹣∠ B﹣∠ C=180°﹣ 30°﹣ 20° =130°．2．∵ AB∥ CD， AD∥ BC，∴∠ ABD=∠ CDB、∠ ADB=∠CBD．又 BD=DB，∴△ ABD≌△ CDB（ASA）．3．△ ADF与△ AEF中，∵∠ 2=∠ 3，∠ AFE=∠ CFD，∴∠ E=∠ C．∵∠ 1=∠ 2，∴∠ BAC=∠DAE．∵AC=AE，∴△ ABC≌△ ADE．4．（ 1）∵∠ BHD=∠ AHE，∠ BDH=∠ AEH=90°∴∠ DBH+∠BHD=∠ HAE+∠ AHE=90°∴∠ DBH=∠HAE∵∠ HAE=∠DAC∴∠ DBH=∠DAC；（2）∵ AD⊥ BC∴∠ ADB=∠ADC在△ BDH与△ ADC中，∴△ BDH≌△ ADC．5．∵ DE⊥ AB， DF⊥ AC，∴△ DBE与△ DCF是直角三角形，∵BD=CD， DE=DF，∴Rt △ DBE≌ Rt △ DCF（ HL），∴∠ B=∠ C，∴AB=AC．6．∵ AE 是∠ BAC的均分线，∴∠ BAE=∠CAE；∴180°﹣∠BAE=180°﹣∠CAE，即∠ DAB=∠DAC；又∵ AB=AC， AD=AD，∴在△ ABD和△ ACD中，∴△ ABD≌△ ACD（ SAS）7．∵ AE∥ BC，∴∠ B=∠ C．∵AF=BD， AE=BC，∴△ AEF≌△ BCD（ SAS）．8．△ ABE与△ ACD全等．原由：∵ AB=AC，∠ A=∠ A（公共角）， AE=AD，∴△ ABE≌△ ACD．9．图中的全等三角形有：△ABD≌△ ACD，△ABE≌△ ACE，△BDE≌△ CDE．原由：∵ D是 BC的中点，∴BD=DC， AB=AC， AD=AD∴△ ABD≌△ ACD（ SSS）；∵AE=AE，∠ BAE=∠ CAE， AB=AC，∴△ ABE≌△ ACE（ SAS）；∵BE=CE， BD=DC， DE=DE，∴△ BDE≌△ CDE（ SSS）．10．：∵∠ 1=∠ 2，∴∠ ACB=∠DCE，在△ ABC和△ DEC中，，∴△ ABC≌△ DEC（ SAS）11.增加AB=DF．在△ ABC和△ FDE中，∴△ ABC≌△ FDE（SSS）．12．∵ AB=AC， BD=CE，∴ AD=AE．又∵∠ A=∠ A，∴△ ABE≌△ ACD（SAS）．13．△ CBD≌△ CA1F 证明以下：∵AC=BC，∴∠A=∠ ABC．∵△ ABC绕点 C 逆时针旋转角α（ 0°＜α＜ 90°）获取△ A1B1C1，∴∠ A1 =∠ A， A1C=AC，∠ ACA1=∠ BCB1=α．∴∠ A1 =∠ ABC（1 分）， A1C=BC．∴△ CBD≌△ CAF（ ASA）114．∵ AB∥DE， AC∥DF，∴∠ B=∠ DEF，∠ F=∠ ACB．∵BE=CF，∴BE+CE=CF+EC．∴BC=EF．∴△ ABC≌△ DEF （ ASA）．15．∵ AB=AC， AD=AE，∠ DAB=∠ EAC，∴∠ DAC=∠AEB，∴△ ACD≌△ ABE，∴∠ D=∠ E，又 AD=AE，∠ DAB=∠EAC，∴△ ADM≌△ AEN16．∵△ ABC和△ ADE均为等腰直角三角形，∴AB=AC， AD=AE，∠ BAC=∠DAE=90，即∠ BAC+∠CAE=∠DAE+∠ CAE，∴∠ BAE=∠CAD，在△ ABE和△ ACD中，，∴△ ABE≌△ ACD17．答：△ BDE≌△ FEC，△ BCE≌△ FDC，△ ABE≌△ ACF；证明：（以△ BDE≌△ FEC为例）∵△ ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ ACB=60°，∵CD=CE，∴△ EDC是等边三角形，∴∠ EDC=∠DEC=60°，∴∠ BDE=∠FEC=120°，∵CD=CE，∴BC﹣ CD=AC﹣ CE，∴BD=AE，又∵ EF=AE，∴B D=FE，在△ BDE与△ FEC中，∵，∴△ BDE≌△ FEC（ SAS）．18．（ 1）证明以下：∵∠ ABD=∠1+∠ EBC，∠ CBE=∠ 2+∠ EBC，∠ 1=∠2．∴∠ ABD=∠CBE．在△ ABD和△ EBC中∴△ ABD≌△ EBC（ AAS）；（2）从中还可获取 AB=BC，∠ BAD=∠ BEC19．（ 1）∵ AB=8， AD=2∴BD=AB﹣ AD=6在 Rt △ BDE中∠BDE=90°﹣∠B=30°∴ BE= BD=3∴CE=BC﹣ BE=5在 Rt △ CFE中∠CEF=90°﹣∠C=30°∴ CF= CE=∴AF=AC﹣ FC= ；（2）在△ BDE和△ EFC中，∴△ BDE≌△ CFE（ AAS）∴BE=CF∴BE=CF= EC∴BE= BC=∴BD=2BE=∴AD=AB﹣ BD=∴AD= 时， DE=EF20．（ 1）图中全等的三角形有四对，分别为：①△ DBG≌△ EGC，②△ ADG≌△ AEG，③△ ABG≌△ ACG，④△ABE≌△ ACD；（ 4 分）（Ⅱ）∵ AB=AC， AD=AE，∠ A 是公共角，∴△ ABE≌△ ACD（ SAS）④；∵AB=AC， AD=AE，∴AB﹣ AD=AC﹣ AE，即 BD=CE；由④得∠ B=∠ C，又∵∠ DGB=∠ EGC（对顶角相等）， BD=CE（已证），∴△ DBG≌△ EGC（ AAS）①；由①得 BG=CG，由④得∠ B=∠C，又∵ AB=AC，∴△ ABG≌△ ACG（ SAS）③；由①得 BG=CG，且 AD=AE， AG为公共边，∴△ ADG≌△ AEG（ SSS）②；21．（ 1）△ ABC≌△ DCB．证明：∵ AB=CD， AC=BD， BC=CB，∴△ ABC≌△ DCB．（ SSS）（2） EF 均分∠ DEC．原由：∵ EF∥ BC，∴∠ DEF=∠EBC，∠ FEC=∠ ECB；由（ 1）知：∠ EBC=∠ ECB；∴∠ DEF=∠FEC；∴ FE 均分∠ DEC22．△ ABC≌△ DCB．原由以下：∵∠ABC=∠ DCB，∠ 1=∠ 2，∴∠ DBC=∠ACB．∵BC=CB，∴△ ABC≌△ DCB23．（ 1）∵ BF=DE，∴BF+EF=DE+EF．即 BE=DF．在△ DFC和△ BEA中，∵，∴△ DFC≌△ BEA（ SAS）．（2）∵△ DFC≌△ BEA，∴CF=AE，∠ CFD=∠ AEB．∵在△ AFE与△ CEF中，∵，∴△ AFE≌△ CEF（ SAS）24．△ ABF与△ DFG中，∠ BAF=∠ BGD，∠ BFA=∠DFG，∴∠ B=∠ D，∵∠ BAF=∠EAC，∴∠ BAE=∠DAC，∵AC=AE，∠ BAE=∠ DAC，∠B=∠D，∴△ BAE≌△ DAC．答案：有．△ BAE≌△ DAC25．∵ CE∥AB，∴∠ ABD=∠ECD．在△ ABD和△ ECD中，，∴△ ABD≌△ ECD（ ASA）26．（ 1）证明：在△ AOB和△ COD中∵∴△ AOB≌△ COD（ AAS）（2）解：∵△ AOB≌△ COD，∴ AO=DO∵ E 是 AD的中点∴OE⊥ AD∴∠ AEO=90°27． 1）证明：∵ AB∥ DE，∴∠ A=∠ D．∵AB=DE， AF=DC，∴△ ABF≌△ DEC．（ 2）解：全等三角形有：△ ABC和△ DEF；△ CBF和△ FEC28．证明：（ 1）∵ BE、 CF分别是 AC、 AB两边上的高，∴∠ AFC=∠AEB=90°（垂直定义），∴∠ ACG=∠DBA（同角的余角相等），又∵ BD=CA，AB=GC，∴△ ABD≌△ GCA；（2）连接 DG，则△ ADG是等腰三角形．证明以下：∵△ ABD≌△ GCA，∴AG=AD，∴△ ADG是等腰三角形．29．解：∵∠ 4+∠ 6=180°﹣∠ 3，∠ 5+∠ 6=180°﹣∠ 2，∠ 3=∠2，∴∠ 4+∠ 6=∠ 5+∠ 6，∴∠ 4=∠ 5，∵在△ ADE和△ CFD中，，∴△ ADE≌△ CFD（ AAS）．30．① DF∥BC．证明：∵ BE⊥ AC，∴∠ BEC=90°，∴∠ C+∠ CBE=90°，∵∠ ABC=90°，∴∠ ABF+∠CBE=90°，∴∠ C=∠ ABF，∵DF∥ BC，∴∠C=∠ ADF，∴∠ABF=∠ADF，在△ AFD和△ AFB中∴△ AFD≌△ AFB（ AAS）．31．在△ BEA和△ BDC中：，故△ BEA≌△ BDC（SSS）．32．如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC， BE⊥ CE于点 E， AD⊥CE于点 D．请说明△ ADC≌△ CEB的原由．解：∵ BE⊥CE于点 E（已知），∴∠ E=90°（垂直的意义），同理∠ ADC=90°，∴∠ E=∠ ADC（等量代换）．在△ ADC中，∵∠ 1+∠ 2+∠ ADC=180°（三角形的内角和等于180°），∴∠ 1+∠ 2=90°（等式的性质）．∵∠ ACB=90°（已知），∴∠ 3+∠ 2=90°，∴∠ 1=∠3（同角的余角相等）．在△ ADC和△ CEB中， .∴△ ADC≌△ CEB （ A． A． S）33．（ 1）△ ABF≌△ DEC，△ ABC≌△ DEF，△ BCF≌△ EFC；（2 分）（2）△ ABF≌△ DEC，证明：∵ AB∥ DE，∴∠ A=∠ D，（ 3 分）在△ ABF和△ DEC中，（4 分）∴△ ABF≌△ DEC．（5 分）34．（ 1）△ ADF与△ AEF中，∵∠ 2=∠ 3，∠ AFE=∠ CFD，∴∠ C=∠ E；（2）∵∠ 1=∠ 2，∴∠BAC=∠DAE．∵AC=AE，又∠ C=∠ E，∴△ ABC≌△ ADE．35．∵ AE⊥CD，∴∠ AEC=90°，∴∠ ACE+∠CAE=90°，（直角三角形两个锐角互余）∵∠ ACE+∠BCF=90°，∴∠ CAE=∠BCF，（等角的余角相等）∵AE⊥ CD，BF⊥ CD，∴∠ AEC=∠BFC=90°，在△ ACE与△ CBF中，∠ CAE=∠ BCF，∠ AEC=∠ BFC，AC=BC，∴△ ACE≌△ CBF（ AAS）．优秀文档36．当动点 P 运动到 AC边上中点地址时，△APE≌△ EDB，∵DE∥ CA，∴△ BED∽△ BAC，∴= ，∵D是BC的中点，∴ = ，∴= ，∴E 是 AB中点，∴DE= AC， BE=AE，∵DE∥ AC，∴∠ A=∠ BED，要使△ APE≌△ EDB，还缺少一个条件DE=AP，又有 DE= AC，∴ P 必定是 AC中点．37．（ 1）∵ AE=AB，∴∠ B=∠ AEB，又∵ AD∥ BC，∴∠ AEB=∠DAE，∴∠ DAE=∠B；（2）∵∠ DAE=∠ B，AD=BC，AE=AB，∴△ ABC≌△ EAD．38．△ ACE≌△ BCD．∵△ ABC和△ ECD都是等腰直角三角形，∴∠ ECD=∠ACB=90°，∴∠ ACE=∠BCD（都是∠ ACD的余角），在△ ACE和△ BCD中，∵，∴△ ACE≌△ BCD．39．∵∠ BAC=∠ DAE，∴∠ BAC+∠CAD=∠ DAE+∠ CAD，即∠ BAD=∠EAC，在△ ABD和△ ACE中，∴△ ABD≌△ ACE．40．证明：延长FD到 M使 MD=DF，连接 BM，EM．∵D 为 BC中点，∴BD=DC．∵∠ FDC=∠BDM，∴△ BDM≌△ CDF．∴BM=FC．∵ED⊥ DF，∴EM=EF．∵BE+BM＞ EM，∴B E+FC＞ EF．41． PM=HN．原由：∵在△ MNP中， H是高 MQ与 NE的交点，∴∠ MEH=∠NQH=90°，∠ MQP=∠ NQH=90°∵∠ MHE=∠NHQ（对顶角相等），∴∠ EMH=∠QNH（等角的余角相等）在△ MPQ和△ NHQ中，，∴△ MPQ≌△ NHQ（ ASA），∴MP=NH．42．（ 1）∵ BG∥ AC，∴∠ DBG=∠DCF．∵D为BC的中点，∴ BD=CD又∵∠ BDG=∠ CDF，在△ BGD与△ CFD中，∵∴△ BGD≌△ CFD（ ASA）．∴BG=CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD=FD， BG=CF．又∵ DE⊥ FG，∴EG=EF（垂直均分线到线段端点的距离相等）．∴在△ EBG中， BE+BG＞ EG，即 BE+CF＞EF．43．∵ BE⊥CE于 E，AD⊥ CE于 D∴∠ E=∠ ADC=90°∵∠ BCE+∠ACE=∠ DAC+∠ ACE=90°∴∠ BCE=∠DAC∵AC=BC∴△ ACD≌△ CBE∴CE=AD，﹣ 1.7=0.8 （ cm）44．∵ AB=CD， BC=AD，又∵ BD=DB，在△ ABD和△ CDB中，∴△ ABD≌△ CDB，∴∠ A=∠ C．45．∵ AD是△ ABC中 BC边上的中线，∴BD=CD．∵CE⊥ AD于 E， BF⊥AD，∴∠ BFD=∠CED．在△ BFD和△ CED中，∴△ BFD≌△ CED（ AAS）．∴CE=BF46．∵ AD∥BC，∴∠ E=∠ ENB，∵∠ ENB=∠CNF，∴∠ E=∠ CNF，∵AB∥ CD，∴∠A=∠B，∵∠ C=∠ B，∴∠ EAB=∠DCB，∵AM=CF，∴△ AME≌△ CFN，优秀文档47．证明：过T 作 TF⊥ AB于 F，∵A T 均分∠ BAC，∠ ACB=90°，∴CT=TF（角均分线上的点到角两边的距离相等），∵∠ ACB=90°， CM⊥AB，∴∠ ADM+∠DAM=90°，∠ ATC+∠ CAT=90°，∵AT 均分∠ BAC，∴∠DAM=∠CAT，∴∠ ADM=∠ATC，∴∠ CDT=∠CTD，∴CD=CT，又∵ CT=TF（已证），∴C D=TF，∵CM⊥ AB，DE∥ AB，∴∠ CDE=90°，∠ B=∠ DEC，在△ CDE和△ TFB 中，，∴△ CDE≌△ TFB（ AAS），∴C E=TB，∴CE﹣ TE=TB﹣ TE，即 CT=BE．48．∵∠ BAE=∠ DAC∴∠ BAE+∠CAE=∠ DAC+∠ CAE即∠ BAC=∠DAE又∵ AB=AD， AC=AE，∴△ ABC≌△ ADE（ SAS）∴∠ B=∠ D（全等三角形的对应角相等）49．∵ DE=EF， AE=CE，∠ AED=∠ FEC，∴△ AED≌△ FEC．∴∠ ADE=∠CFE．∴AD∥ FC．∵D是AB上一点，∴ AB∥ CF50．∵ BE∥CF，∴∠ CMF=∠BME，∠ FCM=∠ EBM．又∵ BE=CF，即 AM是△ ABC的中线51．∵ AC⊥BC， BE⊥CD，∴∠ ACF+∠FCB=∠ FCB+∠ CBE=90°．∴∠ FCA=∠EBC．∵∠ BEC=∠CFA=90°， AC=BC，∴△ BEC≌△ CFA．∴CE=AF．∴EF=CF﹣ CE=CF﹣ AF52．解：（ 1）证明：由题意可知， BD⊥ MN与 D， EC⊥ MN与 E，∠BAC=90°，则△ ABD与△ CEA是直角三角形，∠ DAB=∠ ECA，在△ ABD与△ CEA中，∵，∴△ ABD≌△ CEA，∴B D=AE；（2）若将 MN绕点 A 旋转，与 BC订交于点 O，则 BD， CE与 MN垂直，∴△ABD与△CEA仍是直角三角形，两个三角形仍全等，∴BD与 AE边仍相等；（3）∵△ ABD≌△ CEA，∴B D=AE， AD=EC，∴DE=BD+EC或 DE=CE﹣ BD或 DE=BD﹣ CE．53．∵ AB=AC，∴∠ ABC=∠ACB，∵BD、CE分别为△ABC的高，∴∠ BEC=∠BDC=90°，∴在△ BEC和△ CDB中，∴△ BEC≌△ CDB，∴∠ 1=∠ 2，∴OB=OC∵∠ ACB=90°， D 是 AB 边的中点∴CD=AD，∠ DAC=∠ DCF∵DE与 CF平行且相等∴∠ EDA=∠DAC∴∠ EDA=∠DCF在△ AED和△ CFD中CD=AD，∠ EDA=∠ DCF， DE=CF∴△ AED≌△ CFD∴A E=DF．55．∵ AD均分∠ BAC∴∠ BAD=∠CAD在△ ADE和△ ADC中∵∴△ ADE≌△ ADC（ SAS）∴DE=DC∴BC=BD+DC=BD+DE=2+3=5（cm）56．在△ AEB与△ ADC中，．∴△ AEB≌△ ADC（ AAS）．∴ AB=AC（全等三角形，对应边相等）57．（ 1）证明：在△ BCE和△ DCE中∴△ BCE≌△ DCE（ SSS）．（2）解：∵ AD=DE，∴∠ A=∠ AED；∴∠ EDC=∠A+∠ AED=2∠ A，设∠ A=x，依照题意得，5x=180°，解得x=36°∴∠ EDC=2∠ A=72°证明：延长CE、 BA 交于点 F．∵CE⊥ BD于 E，∠ BAC=90°，∴∠ ABD=∠ACF．又 AB=AC，∠ BAD=∠ CAF=90°，∴△ ABD≌△ ACF，∴B D=CF．∵BD均分∠ ABC，∴∠ CBE=∠FBE．有 BE=BE，∴△ BCE≌△ BFE，∴C E=EF，∴C E= BD，∴B D=2CE．59．（ 1）证明：在△ ABD和△ CDB中∵AB=CD，AD=BC，BD=DB，∴△ ABD≌△ CDB（ SSS），∴∠ ADB=∠DBC，∴ DE∥ BF．∴∠ E=∠ F．（2）答：当 O是 BD中点时，OE=OF．证明以下：∵ O是 BD中点，∴OB=OD．又∵∠ ADB=∠ DBC，∠ E=∠ F，∴△ ODE≌△ OBF（ AAS）．∴OE=OF．（当 AE=CF时也可证得60．∵ DE⊥AB， DF⊥AC，∴∠ E=∠ DFC=90°．∵AD均分∠ EAC，∴ DE=DF．在 Rt △ DBE和 Rt △ DCF中，∴Rt △ DBE≌ Rt △ CDF（ HL）．∴BE=CF．。

(完整word版)七年级数学全等三角形证明精选题

(完整word版)七年级数学全等三角形证明精选题

先做几道基础题：1、如图（1） : AD 丄BC,垂足为 D, BD=CD 求证：△ ABD^A ACD2. 如图（8）: A 、B C 、D 四点在同一直线上， AC=DB BE// CF , AE// DF 。

求证：△ ABE^A DCF 。

3、如图（10）/ BAC=/ DAE / ABD 玄 ACE BD=CE 求证：AB=AC4.女口图：AB=DC BE=CF AF=DE 求证：△ ABE^A DCF 。

一.解答题（共16小题）1. 如图，已知 AB // DE , AB=DE , AF=DC .（1）求证： △ ABF ◎△ DEC ; 2）请你找出图中还有的其他几对全等三角形.（只要直接写出结果，不要证明）AAE2. 如图，在Rt△ ABC中，/ ACB=90 ° AC=BC , D是斜边AB上的一点，AE丄CD于E, BF丄CD交3.如图，点E在厶ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若/仁/ 2= / 3, AC=AE .试说明下列结论正确的理由：/ D= / C .求证：△ AED BFC .(1)/ C= / E;5. 如图，在△ ABC中，AB=AC , D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE , CE . △ ABE与厶ACE全等吗？为什么？6. (2010?顺义区)已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分/ DAE , AE丄BE，垂足为E.37. （2010?十堰）如图， △ ABC 中，AB=AC , BD 丄 AC , CE 丄AB .求证：BD=CE .8 （ 2008?南宁）如图，在 △ ABC 中，D 是BC 的中点，DE 丄AB , DF 丄AC ，垂足分别是 E 、F , （1）图中有几对全等的三角形请一一列出； 2）选择一对你认为全等的三角形进行证明.9. （2005?新疆）在△ ABC 中，/ ACB=90 ° AC=BC ，直线 MN 经过点 C ,且 AD 丄 MN 于 D , 于 E ，求证：DE=AD+BE .10 .如图，AD // BC , / A=90 ° E 是 AB 上的一点，且 AD=BE , / 1 = / 2. 求证：△ ADE △ BEC .BE=CF . BE 丄 MN 11.如图，在 △ ABC 中，AC=BC ，直线I 经过顶点 C , 过A , B 两点分别作I 的垂线AE , BF , E , F 为12. （2002?湛江）如图，有一池塘.要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D，使CD=CA •连接BC并延长到E,使CE=CB •连接DE，那么量出DE 的长，就是A、B的距离.请说明DE的长就是A、B的距离的理由.如图, / 仁/2, BD=BC .求证：/ 3= /4.13. （2010?广安）已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE .15 .如图，△ ABC和厶ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M , BD交AC于点N . 证明：（1）BD=CE ; （2）BD 丄CE .14. （2005?三明）已知:DCD=BE .答案与评分标准一.解答题（共16小题）1. 如图，已知AB // DE, AB=DE , AF=DC .（1）求证：△ ABF ◎△ DEC ;（2）请你找出图中还有的其他几对全等三角形. （只要直接写出结果，不要证明）考点：全等三角形的判定。

直角三角形证明题精选(初中数学)

直角三角形证明题精选(初中数学)

直角三角形证明题精选(初中数学)1. 垂直角等于90度的证明问题：请证明直角三角形中的垂直角等于90度。

请证明直角三角形中的垂直角等于90度。

证明：对于直角三角形ABC，假设∠BAC为直角。

我们需要证明∠ABC和∠ACB均等于90度。

对于直角三角形ABC，假设∠BAC为直角。

我们需要证明∠ABC和∠ACB均等于90度。

根据直角三角形定义，直角三角形的对角线相互垂直。

因此，线段AB与线段AC垂直。

另一方面，我们可以使用反证法来证明∠ABC等于90度。

如果∠ABC不等于90度，假设∠ABC为a度，那么∠ACB就等于90 - a度。

由于三角形内角和等于180度，我们可以得出：a + (90 -a) + 90 = 180，化简后得到180 = 180，这是不成立的。

因此，我们得出结论，直角三角形中的垂直角等于90度。

2. 直角三角形中勾股定理的证明问题：请证明直角三角形中的勾股定理成立。

请证明直角三角形中的勾股定理成立。

证明：对于直角三角形ABC，假设∠BAC为直角，BC为直角边，AB为另一直角边，AC为斜边。

我们需要证明AB^2 +BC^2 = AC^2。

对于直角三角形ABC，假设∠BAC为直角，BC 为直角边，AB为另一直角边，AC为斜边。

我们需要证明AB^2 + BC^2 = AC^2。

根据勾股定理的定义，三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。

首先，我们可以利用直角三角形定义证明∠ABC和∠ACB均等于90度，即两个直角边垂直。

接下来，我们可以使用三角形的相似性来证明勾股定理。

考虑到三角形ABC和三角形ADB，它们有共边AB和∠B相等（都为直角）。

根据三角形的相似性，我们可以得出：AC/AD = BC/BD。

假设AD等于1，那么BD等于1/BC。

我们可以用平方来表示长度，得到：AC^2 = (1/BC)^2。

进一步，我们可以将BC替换成AB，得到：AC^2 = (1/AB)^2。

最后，我们可以应用勾股定理的定义，将AC^2表示成AB和BC的平方和：AC^2 = AB^2 + BC^2。

人教版苏科版初中数学—三角形的证明(经典例题)

人教版苏科版初中数学—三角形的证明(经典例题)

班级小组姓名成绩满分（120）一、等腰三角形（一）全等三角形的性质及判定（共4小题，每题3分，题组共计12分）例1.如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是()A.BD=DC，AB=ACB.∠ADB=∠ADC，∠B=∠CC.∠B=∠C，∠BAD=∠CADD.∠B=∠C，BD=DC例1.变式1.如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A.∠BCA=∠FB.∠B=∠EC.BC∥EFD.∠A=∠EDF例1.变式2.已知△ABC与△DEF全等，∠A=∠D=90°，∠B=37°，则∠E的度数是（）A.37°B.53°C.37°或63°D.37°或53°例1.变式3.如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC.求证：BC∥EF.（二）等腰三角形的性质和判定（共4小题，每题3分，题组共计12分）例2.等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A.16B.18C.20D.16或20例2.变式1.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=.例2.变式2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC 于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE；上述结论一定正确的是（）A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①③④例2.变式3.已知，如图，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，DE∥AC，求证：DB=DE.（三）等边三角形的性质和判定（共4小题，每题3分，题组共计12分）例3.如图，点B，C，E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是()A.△ACE≌△BCDB.△BGC≌△AFCC.△DCG≌△ECFD.△ADB≌△CEA例3.变式1.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有()A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④例3.变式2.如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行(A，C端点除外)，设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（）A.d>hB.d<hC.d=hD.无法确定例3.变式3.如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA，AE=CD，AD与BE交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ.（四）有一个锐角等于30°的直角三角形的性质定理（共4小题，每题3分，题组共计12分）例4.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（）A.2厘米B.4厘米C.6厘米D.8厘米例4.变式1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6cm，则BC=.例4.变式2.如下图,△ABC中,AB=AC，∠BAC=120°,AD⊥AC交BC于点D.求证：BC=3AD.例4.变式3.如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了5003米到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C点.(1)判断△ABC的形状;(2)求A，C两点之间的距离.（五）反证法（共4小题，每题3分，题组共计12分）例5.用反证法证明命题“如果AB⊥CD,AB⊥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是()A.假设CD∥EFB.假设AB∥EFC.假设CD和EF不平行D.假设AB和EF不平行例5.变式1.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中()A.有一个内角大于60°B.有一个内角小于60°C.每一个内角都大于60°D.每一个内角都小于60°例5.变式2.用反证法证明命题“一个三角形中,如果两条边不相等，那么这两条边所对的角也不相等”时，只需假设“”.例5.变式3.用反证法证明：等腰三角形的两底角必为锐角.二、直角三角形（一）直角三角形的性质（共4小题，每题3分，题组共计12分）例6.将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α度数是（）A.45°B.60°C.75°D.90°例6.变式1.如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE⊥DF，交AB 于点E，交BC 于点F.若AE=4，FC=3，求EF 长.例6.变式2.若△ABC 的三边长分别为,,a b c ，且满足()()2220a b a b c -+-=，则△ABC 是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形例6.变式3.如右图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN=30°，点A 处有一所中学，AP=160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？（二）互逆命题与互逆定理（共4小题，每题3分，题组共计12分）例7.以下命题的逆命题为真命题的是()A.同旁内角互补,两直线平行B.对顶角相等C.直角三角形没有钝角D.若a b =，则22a b =例7.变式1.下列定理中,没有逆定理的是()A.内错角相等,两直线平行B.直角三角形的两锐角互余C.相反数的绝对值相等D.同位角相等,两直线平行例7.变式2.“等腰直角三角形三个内角之比为1：1：2”,它的逆命题是.例7.变式3.已知命题：等腰三角形底边上的中线与高重合.(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断(1)中的命题是否为真命题,写出你的理由.（三）“HL”定理的应用（共4小题，每题3分，题组共计12分）例8.如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB、AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A.HL B.AAS C.SSS D.ASA例8.变式1.如图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：CD=CB.例8.变式2.如下图，M为△ABC的边BC的中点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F.(1)当AB=AC时，求证：ME=MF;(2)若ME=MF，试判断AB与AC的大小关系，并证明你的结论.例8.变式3.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性.三、线段的垂直平分线（共4小题，每题3分，题组共计12分）例9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，下述结论错误的是（）A.BD平分∠ABCB.△BCD的周长等于AB+BCC.AD=BD=BCD.点D是线段AC的中点例9.变式1.如图，AB=AD，∠ABC=∠ADC.求证：AC垂直平分BD.例9.变式2.下列命题中正确的命题有()①线段垂直平分线上任一点到线段两端点的距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端的距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的垂直平分线.A.1个B.2个C.3个D.4个例9.变式3.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作AC的平行线交AB于E，过E作AD的垂线交BC的延长线于点F.求证：∠B=∠CAF.四、角平分线（共4小题，每题3分，题组共计12分）例10.如图，点P 在∠AOB 的平分线上，PE⊥OA 于E，PF⊥OB 于F，若PE=7，则PF=.例10.变式1.下列说法中错误的是()A.到已知角两边距离相等的点在同一条直线上B.一条直线上有一点到已知角两边距离相等,这条直线平分已知角C.到角两边距离相等的点与角的顶点的连线平分这个角D.角内有两点各自到角的两边的距离相等,则过这两点的直线平分这个角例10.变式2.如图，以∠AOB 的顶点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点C，交OB 于点D.再分别以点C,D 为圆心,大于12CD 的长为半径画弧,两弧在∠AOB 内部交于点E，过点E 作射线OE，连接CD.则下列说法错误的是()A.射线OE 是∠AOB 的平分线B.△COD 是等腰三角形C.C,D 两点关于OE 所在直线对称D.O,E 两点关于CD 所在直线对称例10.变式3.如图，在∠AOB 的两边OA，OB 上分别取OM=ON，OD=OE，DN 和EM 相交于点C.求证：点C 在∠AOB 的平分线上.。

(完整版)全等三角形经典例题(含答案)

(完整版)全等三角形经典例题(含答案)

全等三角形证明题精选一．解答题（共30小题）1．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．2．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．3．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．4．如图，点O是线段AB和线段CD的中点．（1）求证：△AOD≌△BOC；（2）求证：AD∥BC．5．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．6．如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC．7．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE．9．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．10．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．12．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．13．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．14．如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．16．如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∠D=28°，求∠GBF的度数．17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．18．已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．19．已知：点A、C、B、D在同一条直线，∠M=∠N，AM=CN．请你添加一个条件，使△ABM≌△CDN，并给出证明．（1）你添加的条件是：；（2）证明：．20．如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．21．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．22．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．23．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．题设：；结论：．（均填写序号）证明：24．如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠B=∠1．求证：AC=DF．（要求：写出证明过程中的重要依据）25．如图，已知AB=DC，AC=DB．求证：∠1=∠2．26．如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点．现有四个条件：①AB=AC；②OB=OC；③∠ABE=∠ACD；④BE=CD．（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：命题的条件是和，命题的结论是和（均填序号）；（2）证明你写出的命题．27．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明．28．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，点E是BC边上的中点．求证：AE=DE．29．如图，给出下列论断：①DE=CE，②∠1=∠2，③∠3=∠4．请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．30．已知：如图，∠ACB=90°，AC=BC，CD是经过点C的一条直线，过点A、B分别作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F，求证：CE=BF．全等三角形证明题精选参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•连云港）四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．【分析】（1）根据已知条件得到BF=DE，由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）如图，连接AC交BD于O，根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF，由平行线的判定得到AD∥BC，根据平行四边形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵BE=DF，∴BE﹣EF=DF﹣EF，即BF=DE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在Rt△ADE与Rt△CBF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CBF；（2）如图，连接AC交BD于O，∵Rt△ADE≌Rt△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．2．（2016•曲靖）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．【分析】（1）首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE=∠DEF，进而可得AC∥DE；（2）根据△ABC≌△DFE可得BC=EF，利用等式的性质可得EB=CF，再由BF=13，EC=5进而可得EB的长，然后可得答案．【解答】（1）证明：在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SAS），∴∠ACE=∠DEF，∴AC∥DE；（2）解：∵△ABC≌△DFE，∴BC=EF，∴CB﹣EC=EF﹣EC，∴EB=CF，∵BF=13，EC=5，∴EB==4，∴CB=4+5=9．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．3．（2016•孝感）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．【分析】要证明BE=CD，只要证明AB=AC即可，由条件可以求得△AEC和△ADB全等，从而可以证得结论．【解答】证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠ADB=∠AEC=90°，在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（ASA）∴AB=AC，又∵AD=AE，∴BE=CD．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4．（2016•湘西州）如图，点O是线段AB和线段CD的中点．（1）求证：△AOD≌△BOC；（2）求证：AD∥BC．【分析】（1）由点O是线段AB和线段CD的中点可得出AO=BO，CO=DO，结合对顶角相等，即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出△AOD≌△BOC；（2）结合全等三角形的性质可得出∠A=∠B，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出结论．【解答】证明：（1）∵点O是线段AB和线段CD的中点，∴AO=BO，CO=DO．在△AOD和△BOC中，有，∴△AOD≌△BOC（SAS）．（2）∵△AOD≌△BOC，∴∠A=∠B，∴AD∥BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定定理，解题的关键是：（1）利用SAS证出△AOD≌△BOC；（2）找出∠A=∠B．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等，结合全等三角形的性质找出相等的角，再依据平行线的判定定理证出两直线平行即可．5．（2016•云南）如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．【分析】根据全等三角形的判定方法SAS，即可证明△ABC≌△CDE，根据全等三角形的性质：得出结论．【解答】证明：∵点C是AE的中点，∴AC=CE，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE，∴∠B=∠D．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，直角三角形还有HL．6．（2016•宁德）如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC．【分析】根据平行线的性质找出∠ADE=∠BAC，借助全等三角形的判定定理ASA证出△ADE≌△BAC，由此即可得出AE=BC．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAC．在△ADE和△BAC中，，∴△ADE≌△BAC（ASA），∴AE=BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．7．（2016•十堰）如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．【分析】欲证明AF=DF只要证明△ABF≌△DEF即可解决问题．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠FED，在△ABF和△DEF中，，∴△ABF≌△DEF，∴AF=DF．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判断和性质，熟练掌握平行线的性质，属于基础题，中考常考题型．8．（2016•武汉）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE．【分析】证明它们所在的三角形全等即可．根据等式的性质可得BC=EF．运用SSS证明△ABC与△DEF全等．【解答】证明：∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ABC=∠DEF，∴AB∥DE．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等．9．（2016•昆明）如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，再根据全等三角形的判定定理AAS得出△ADE≌△CFE，即可得出答案．【解答】证明：∵FC∥AB，∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AE=CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解题的关键．10．（2016•衡阳）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．【分析】求出AD=BC，根据ASA推出△AED≌△BFC，根据全等三角形的性质得出即可．【解答】证明：∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，∴AD=BC，在△AED和△BFC中，，∴△AED≌△BFC（ASA），∴DE=CF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出△AED≌△BFC是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等．11．（2016•重庆）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．【分析】根据CE∥DF，可得∠ACE=∠D，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵CE∥DF，∴∠ACE=∠D，在△ACE和△FDB中，，∴△ACE≌△FDB（SAS），∴AE=FB．【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．12．（2016•南充）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可（2）证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE；（2）证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，即∠BAN=∠CAM，由（1）得：△ABD≌△ACE，∴∠B=∠C，在△ACM和△ABN中，，∴△ACM≌△ABN（ASA），∴∠M=∠N．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．13．（2016•恩施州）如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．【分析】通过全等三角形（Rt△CBE≌Rt△BCD）的对应角相等得到∠ECB=∠DBC，则AB=AC．【解答】证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CEB=∠BDC=90°．∵在Rt△CBE与Rt△BCD中，，∴Rt△CBE≌Rt△BCD（HL），∴∠ECB=∠DBC，∴AB=AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．14．（2016•重庆）如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ECD，再利用“边角边”证明△ABC和△CED全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（SAS），∴∠B=∠E．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并找出两边的夹角是解题的关键．15．（2016•湖北襄阳）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．【分析】（1）先证明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可证明．（2）先证明AD⊥BC，再在RT△ADC中，利用30°角性质设CD=a，AC=2a，根据勾股定理列出方程即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，在RT△DEB和RT△DFC中，，∴△DEB≌△DFC，∴∠B=∠C，∴AB=AC．（2）∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2，∠DAC=30°，∴AC=2CD，设CD=a，则AC=2a，∵AC2=AD2+CD2，∴4a2=a2+（2）2，∵a＞0，∴a=2，∴AC=2a=4．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形30°性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，记住直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，属于中考常考题型．16．（2016•吉安校级一模）如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∠D=28°，求∠GBF的度数．【分析】根据全等三角形的性质得到CD=AF，证明∴△DGC≌△AGF，根据全等三角形的性质和角平分线的判定得到∠CBG=∠FBG，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∴BC=BF，BD=BA，∴CD=AF，在△DGC和△AGF中，，∴△DGC≌△AGF，∴GC=GF，又∠ACB=∠DFB=90°，∴∠CBG=∠FBG，∴∠GBF=（90°﹣28°）÷2=31°．【点评】本题考查的是全等三角形的性质角平分线的判定，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．17．（2016•武汉校级四模）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．【分析】由垂直的定义可得到∠C=∠D，结合条件和公共边，可证得结论．【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C=∠D=90，在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴△ACB≌△BDA（HL）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．18．（2016•济宁二模）已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．【分析】求出BC=FE，∠ACB=∠DFE，根据SAS推出全等即可．【解答】证明：∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=FE，∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．19．（2016•诏安县校级模拟）已知：点A、C、B、D在同一条直线，∠M=∠N，AM=CN．请你添加一个条件，使△ABM≌△CDN，并给出证明．（1）你添加的条件是：∠MAB=∠NCD；（2）证明：在△ABM和△CDN中∵∠M=∠N，AM=CM，∠MAB=∠NCD∴△ABM≌△CDN（ASA）．．【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL，所以可添加条件为∠MAB=∠NCD，或BM=DN或∠ABM=∠CDN．【解答】解：（1）你添加的条件是：①∠MAB=∠NCD；（2）证明：在△ABM和△CDN中∵∠M=∠N，AM=CM，∠MAB=∠NCD∴△ABM≌△CDN（ASA），故答案为：∠MAB=∠NCD；在△ABM和△CDN中∵∠M=∠N，AM=CM，∠MAB=∠NCD∴△ABM≌△CDN（ASA）．【点评】本题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．20．（2016•屏东县校级模拟）如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．【分析】要证∠B=∠C，可利用判定两个三角形全等的方法“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”证△ABE≌△ACD，然后由全等三角形对应边相等得出．【解答】证明：在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B=∠C．【点评】本题主要考查了两个三角形全等的其中一种判定方法，即“边角边”判定方法．观察出公共角∠A是解决本题的关键．21．（2016•沛县校级一模）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．【分析】易证△BED≌△CFD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题．【解答】解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE=CF．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并证明是解题的关键．22．（2016•福州）一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．【分析】在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，有，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．23．（2012•漳州）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E 在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．题设：可以为①②③；结论：④．（均填写序号）证明：【分析】此题可以分成三种情况：情况一：题设：①②③；结论：④，可以利用SAS定理证明△ABC≌△DEF；情况二：题设：①③④；结论：②，可以利用AAS证明△ABC ≌△DEF；情况三：题设：②③④；结论：①，可以利用ASA证明△ABC≌△DEF，再根据全等三角形的性质可推出结论．【解答】情况一：题设：①②③；结论：④．证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠1=∠2；情况二：题设：①③④；结论：②．证明：在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴BC=EF，∴BC﹣FC=EF﹣FC，即BF=EC；情况三：题设：②③④；结论：①．证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，此题为开放性题目，需要同学们有较强的综合能力，熟练应用全等三角形的全等判定才能正确解答．24．（2009•大连）如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠B=∠1．求证：AC=DF．（要求：写出证明过程中的重要依据）【分析】因为BE=CF，利用等量加等量和相等，可证出BC=EF，再证明△ABC≌△DEF，从而得出AC=DF．【解答】证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC（等量加等量和相等）．即BC=EF．在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠1，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）．∴AC=DF（全等三角形对应边相等）．【点评】解决本题要熟练运用三角形的判定和性质．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．25．（2006•平凉）如图，已知AB=DC，AC=DB．求证：∠1=∠2．【分析】探究思路：因为△ABO与△DCO有一对对顶角，要证∠1=∠2，只要证明∠A=∠D，把问题转化为证明△ABC≌△DCB，再围绕全等找条件．【解答】证明：在△ABC和△DCB中∵，∴△ABC≌△DCB．∴∠A=∠D．又∵∠AOB=∠DOC，∴∠1=∠2．【点评】本题是全等三角形的判定，性质的综合运用，可以由探究题目的结论出发，找全等三角形，再寻找判定全等的条件．26．（2006•佛山）如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点．现有四个条件：①AB=AC；②OB=OC；③∠ABE=∠ACD；④BE=CD．（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：命题的条件是①和③，命题的结论是②和④（均填序号）；（2）证明你写出的命题．【分析】本题实际是考查全等三角形的判定，根据条件可看出主要是围绕三角形ABE和ACD 全等来求解的．已经有了一个公共角∠A，只要再知道一组对应角和一组对应边相等即可得出三角形全等的结论．可根据这个思路来进行选择和证明．【解答】解：（1）命题的条件是①和③，命题的结论是②和④．（2）已知：D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且AB=AC，∠ABE=∠ACD．求证：OB=OC，BE=CD．证明如下：∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，∠BAC=∠CAB，∴△ABE≌△ACD．∴BE=CD．又∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=∠ABC﹣∠ABE=∠CBE，∴△BOC是等腰三角形．∴OB=OC．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，要注意的是AAA和SSA是不能判定三角形全等的．27．（2005•安徽）如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明．【分析】本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏．【解答】解：此图中有三对全等三角形．分别是：△ABF≌△DEC、△ABC≌△DEF、△BCF≌△EFC．证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D．又∵AB=DE、AF=DC，∴△ABF≌△DEC．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．28．（2004•昆明）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，点E是BC边上的中点．求证：AE=DE．【分析】利用已知条件易证△AEB≌△DEC，从而得出AE=DE．【解答】证明：∵AD∥BC，∠B=∠C，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，在△AEB与△DEC中，，∴△AEB≌△DEC（SAS），∴AE=DE．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．29．（2004•淮安）如图，给出下列论断：①DE=CE，②∠1=∠2，③∠3=∠4．请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．【分析】可以有三个真命题：（1）②③⇒①，可由ASA证得△ADE≌△BCE，所以DE=EC；（2）①③⇒②，可由SAS证得△ADE≌△BCE，所以∠1=∠2；（3）①②⇒⑧，可由ASA证得△ADE≌△BCE，所以AE=BF，∠3=∠4．【解答】解：②③⇒①证明如下：∵∠3=∠4，∴EA=EB．在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE．∴DE=EC．①③⇒②证明如下：∵∠3=∠4，∴EA=EB，在△ADE和△BCE中，，∴△ADE≌△BCE，∴∠1=∠2．①②⇒⑧证明如下：在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE．∴AE=BE，∠3=∠4．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；题目是一道开放型的问题，选择有多种，可以采用多次尝试法，证明时要选择较为简单的进行证明．30．（2011•通州区一模）已知：如图，∠ACB=90°，AC=BC，CD是经过点C的一条直线，过点A、B分别作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F，求证：CE=BF．【分析】根据AE⊥CD，BF⊥CD，求证∠BCF+∠B=90°，可得∠ACF=∠B，再利用（AAS）求证△BCF≌△CAE即可．【解答】证明：∵AE⊥CD，BF⊥CD∴∠AEC=∠BFC=90°∴∠BCF+∠B=90°∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACF=90°∴∠ACF=∠B在△BCF和△CAE中∴△BCF≌△CAE（AAS）∴CE=BF．【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质这一知识点，解答此题的关键是利用（AAS）求证△BCF≌△CAE，要求学生应熟练掌握．。

人教版初中数学全等三角形证明题(经典50题)

人教版初中数学全等三角形证明题(经典50题)
又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线
∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
证明：∵AB平行CD（已知）∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）∵M在BC的中点（已知）∴EM=FM（中点定义）在△BME和△CMF中BE=CF（已知）∠B=∠C（已证）EM=FM（已证）∴△BME全等与△CMF（SAS）∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）
∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质）
25、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。
26、如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。
证明：∵BE‖CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM∴AM是△ABC的中线.
27、如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。
22．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
分析：通过证明两个直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论．

初中数学九年级中考复习三角形部分证明练习题精选

初中数学九年级中考复习三角形部分证明练习题精选

1．已知：如图点C 是AB 的中点，CD ∥BE ，且CD=BE.求证：∠D=∠E.2．已知：E 、F 是AB 上的两点，AE=BF ，又AC ∥DB ，且AC=DB.求证：CF=DE 。

3 如图，已知△ABC 和△DEC 都是等边三角形，∠ACB=∠DCE=60°，B 、C 、E 在同一直线上，连结BD 和AE.求证：BD=AE.4．如图，D 、E 、F 、B 在一条直线上，AB=CD ，∠B=∠D ，BF=DE 。

求证：⑴AE=CF ；⑵AE ∥CF ；⑶∠AFE=∠CEF 。

AC B ED A BC DE F A B C D E FA B CDE5．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，且CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线。

求证：AC=2AE 。

6．已知：如图∠B=∠E=90°AC=DF FB=EC ，则AB=DE.请说明理由。

7．如图，AD ∥BC ，∠A=90°，E 是AB 上一点，∠1=∠2，AE=BC 。

请你说明∠DEC=90°的理由。

AB E DC8．如图，已知：在等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 和AC 上，且AD=CE ，BE 和CD 相交于点P 。

（1）说明△AD ≌△CEB（2）求：∠BPC 的度数.1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD证明: 延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD 是整数,则AD=52．如图，在△ABC 中，AB=AC ，M 为BC 的中点，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且AD=AE ．求证：MD=ME ． 证明： （法一） ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ．∵M 为BC 的中点， ∴BM=CM ．∵AB=AC ，AD=AE ，∴BD=CE ．在△DBM 和△ECM 中，∴BD=CE ，∠B=∠C ，BM=CM ．ADBC∴△DBM ≌△ECM ． ∴MD=ME ．（法二）连接AM ，（1分）∵AB=AC ，M 为BC 的中点， ∴AM 平分∠BAC ， ∴∠BAM=∠CAM ． 在△ADM 和△AEM 中，∵AD=AE ，∠DAM=∠EAM ，AM=AM ， ∴△ADM ≌△AEM ． ∴MD=ME ．4．如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。

八年级全等三角形简单证明题及解答(5道)

八年级全等三角形简单证明题及解答(5道)
八年级全等三角形简单证明题及解 答(5道)
汇报人：XX
目 录
• 题目一：基本的全等三角形证明 • 题目二：利用角平分线性质证明 • 题目三：通过边边边条件证明 • 题目四：结合中线性质进行证明 • 题目五：综合应用多种性质证明 • 总结与拓展
01
题目一：基本的全等三角形证明
题目描述
• 已知三角形$ABC$和三角形$DEF$，其中$AB = DE$，$AC = DF$，$\angle BAC = \angle EDF$。求证：$\triangle ABC \cong \triangle DEF$。
由第二步可知，△BDE∽△CFD。
详细解答
4. 第四步，根据相似三角形的性质，对应边成比例，所以BD/CF=DE/DF。
5. 第五步，因为BD=AD（已知），所以AD/CF=DE/DF。又因为AE/EC=DE/EF（已知）， 所以AD/CF=AE/EC。
6. 第六步，交叉相乘得AD*EC=AE*CF，即AE/AD=EC/CF。又因为∠A=∠ACF（对顶角相 等），所以△ADE∽△ACF。
第三步，根据相似三 角形的性质，有 AB/AC = BD/DC。
综上，我们证明了 AB/AC = BD/DC。
03
题目三：通过边边边条件证明
题目描述
已知
△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF。
求证
△ABC ≌ △DEF。
题目描述
【分析】
本题主要考察全等三角形的判定方法——边边边条件。根据已知条件，我们可以 直接应用边边边定理来证明两个三角形全等。
题目描述
01
【解答】
02
证明
03
04
∵ 在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF（已

2024届初中数学重难点题型专项(全等三角形证明题)练习(附答案)

2024届初中数学重难点题型专项(全等三角形证明题)练习(附答案)

2024届初中数学重难点题型专项(全等三角形证明题)练习题型1：重叠边技巧①短边相等＋重叠边=长边相等②长边相等－重叠边=短边相等1．（∙广东）如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF=DC ，AB=DE ，BC=EF ，求证：∥AB DE ．2．（∙重庆）已知点A 、E 、F 、C 在同一直线上，已知AD BC ∥，AD BC =，AE CF =，试说明BE 与DF 的关系．3．（∙湖北荆门）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．4．（∙甘肃）如图，AB∥CD，BN∥MD，点M、N在AC上，且AM=CN，求证：BN=DM．5．（∙新疆）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A ＝∠D，AF＝DC．求证：(1)ABC≌△DEF；(2)BC∥EF．△题型2：重叠角技巧重叠角技巧： 小角相等+重叠角=大角相等大角相等-重叠角=小角相等∠＝2∠，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE．6．（∙福建∙福州）如图，AC＝AE，17．（∙四川资阳）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，1=2∠∠．求证：BC=DE．∠，求证：△ABC≌△ADE．8.如图，AB＝AD，∠C＝∠E，1∠＝29．(雅礼)如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD＝CE．∠∠．10．（∙四川达州）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，1=2（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．题型3：等角的余角相等技巧： ∠1+∠2=90，∠2+∠3=90， ∠1=∠3技巧：把全等三角形中一个三角形的两个锐角分别随意标上∠1、∠2，再从第二个三角形的两个锐角中挑一个和∠1或∠2互余的角标上∠3。

11．（∙甘肃）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD， （1）求证：△ABD≌△CFD；（2）已知BC=7，AD=5，求AF的长．12．（∙辽宁沈阳）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD CE ⊥于D ， 2.5cm AD =，1.7cm DE =，求BE 的长．13．（长郡）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 是BC 边上的一点，连接AE ，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．（1）求证：△ACE ≌△CBD ；（2）若BE ＝3，AB ＝6，求点E 到AB 的距离．14．（∙广东）如图，△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE =CE ．求证：（1）△AEF ≌△CEB ；（2）AF =2CD ．15．（周南）（1）如图1，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AE 是过A 点的一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，求证：BD ＝DE +CE ．（2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明．题型4：证两次全等的证明题16．如图，已知AB＝DC，AE＝DF，CE＝BF．求证：AF＝DE．17．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．求证：（1）△ACD≌△BEC；（2）CF⊥DE．18．如图1所示，点E、F在线段AC上，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F；DE，BF分别在线段AC的两侧，且AE＝CF，AB＝CD，BD与AC相交于点G．（1）求证：EG＝GF；（2）若点E在F的右边，如图2时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．题型5：旋转型全等（手拉手模型）19．（∙浙江）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，DC连接AE、DE、．(1)求证：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．20．（∙山东聊城）如图，在ABC 中，90ACB ∠= ，AC BC =，D 是AB 边上一点(点D 与A ，B 不重合)，连接CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90 得到线段CE ，连接DE 交BC 于点F ，连接BE ． 1（）求证：ACD △≌BCE ；2（）当AD BF =时，求BEF ∠的度数．21．（∙湖南∙澧县）如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AB ＝AC ，点E 是BD 上一点，且AE ＝AD ，EAD ∠＝BAC,∠（1）求证：A ∠BD ＝ACD ∠；（2）若ACB ∠＝65°，求BDC ∠的度数．22．（∙北京）如图，已知：△OAB ，△EOF 都是等腰直角三角形，∠AOB =90°，中，∠EOF =90°，连结AE 、BF ．求证：（1）AE =BF ；（2）AE ⊥BF ．23．（∙浙江）如图，点C 为线段BD 上一点，,ABC CDE △△都是等边三角形，AD 与CE 交于点,F BE 与AC 相交于点G ．（1）求证：ACD BCE ≌；（2）求证：ACF BCG ≌求证：（1）AE =BF ；（2）AE ⊥BF ．题型6：角平分线的性质与判定24．（∙北京）如图所示，在△ABC 中，C ∠＝90°，AD 是BAC ∠的平分线，⊥DE AB 交AB 于点E ，点F 在AC 上，BD ＝DF ．求证：（1）CF ＝EB ；（2）AB ＝AF ＋2EB ．25．（∙广西北海）如图，⊥DE AB 于E ，⊥DF AC 于F,若BD=CD 、BE=CF ，(1)求证：AD 平分BAC ∠；(2)已知AC=20， BE=4，求AB 的长.求证：（1）AE =BF ；（2）AE ⊥BF ．26．（∙浙江∙义乌）如图，已知AC 平分∠⊥BAD,CE AB 于E ，⊥CF AD 于F ，且BC=CD ， （1）求证：△≌△BCE DCF（2）若AB=17，AD=9，求AE 的长.27．（∙甘肃平凉）如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，求证：AM 平分DAB ∠．∠， 28．（∙北京）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分ABC ∠∠．求证：A+C=180°29．（∙全国）在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．(1)若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．(2)若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．参考答案题型1：重叠边技巧①短边相等＋重叠边=长边相等②长边相等－重叠边=短边相等1．（∙广东）如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF=DC ，AB=DE ，BC=EF ，求证：∥AB DE ．【答案详解】∵AF=DC ，∴AF ﹣FC=DC ﹣CF ，即AC=DF ．在△ACB 和△DFE 中AC DF AB DE BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△≌△ACB DFE（SSS ），∴∠∠A=D ，∴∥AB DE ．2．（∙重庆）已知点A 、E 、F 、C 在同一直线上，已知AD BC ∥，AD BC =，AE CF =，试说明BE 与DF 的关系．【答案详解】解：数量关系BE DF =，位置关系BE DF ∥．理由：∵AD BC ∥，∴∠A =∠C ，又AE CF = ，∴AE +EF =CF +EF ，即AF =CE ，在ADF 和CBE △中，AD BC A C AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADF ∴ ≌()CBE SAS △∴BE =DF ，∠BEF =∠DFE ，∴BE DF ∥．3．（∙湖北荆门）如图，点E 、F 在BC 上，BE ＝CF ，AB ＝DC ，∠B ＝∠C ．求证：∠A ＝∠D ．【答案详解】解∵BE ＝CF ，∴BE +EF ＝CF +EF ，即BF ＝CE ．在△ABF 和△DCE 中，AB DC B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DCE ， ∴∠A ＝∠D ．4．（∙甘肃）如图，AB ∥CD ，BN ∥MD ，点M 、N 在AC 上，且AM =CN ，求证：BN =DM ．【答案详解】解：∵AB ∥CD ，BN ∥MD ，∴∠A =∠C ，∠CMD =∠ANB ，∵AM =CN ，∴AM +MN =MN +CN ，即AN =MC ，在△ANB 和△CMD 中，∠A =∠C ，AN =MC ，∠ANB =∠CMF，∴△ANB ≌△CMD （ASA ），∴BN =MD ．5．（∙新疆）如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AF ＝DC ．求证：△(1)ABC ≌△DEF ；(2)BC ∥EF ．【答案详解】(1)证明：∵AF ＝DC ，∴AF +CF ＝DC +CF ，∴AC ＝DF ，∵在△ABC 和△DEF 中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）；(2)证明：由（1）知△ABC ≌△DEF ，∴∠BCA ＝∠EFD ，∴BC ∥EF ．题型2：重叠角技巧重叠角技巧：①小角相等+重叠角=大角相等②大角相等-重叠角=小角相等6．（∙福建∙福州）如图，AC ＝AE ，1∠＝2∠，AB ＝AD ．求证：△ABC ≌△ADE ．【答案详解】证明：∵∠∠1=2，12EAB EAB ∴∠+∠=∠+∠，即CAB EAD ∠=∠，在ABC 和ADE 中，{AC AECAB EAD AB AD=∠=∠=()ABC ADE SAS ∴≅ ．7．（∙四川资阳）如图，在△ABC和△ADE 中，AB =AD ，∠B =∠D ，1=2∠∠．求证：BC =DE ．【答案详解】证明：∵∠∠1=2，∵∠DAC +1=2+∠∠∠DAC ∴∠BAC =∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，B D AB AD BAC DAE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ADE ≌△ABC （ASA ）∴BC =DE ，8.如图，AB ＝AD ，∠C ＝∠E ，1∠＝2∠，求证：△ABC ≌△ADE ．【解答】证明：∵∠1＝2∠，∴∠1+∠EAC ＝2+∠∠EAC ，即∠BAC ＝∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，BAC DAE C E AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△ADE （AAS ）． 9．(雅礼)如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC ＝90°，∠DAE ＝90°，B ，C ，D 在同一条直线上．求证：BD ＝CE ．【解答】证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，又∵∠EAC ＝90°+∠CAD ，∠DAB ＝90°+∠CAD ，∴∠DAB ＝∠EAC ，∵在△ADB 和△AEC中，∴△ADB ≌△AEC （SAS ），∴BD ＝CE ．10．（∙四川达州）已知△ABN 和△ACM 位置如图所示，AB =AC ，AD =AE ，1=2∠∠．（1）求证：BD =CE ；（2）求证：∠M=∠N ．【答案详解】（1）证明：在△ABD 和△ACE 中，12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD =CE ；（2）证明：∵∠∠1=2，∴∠∠1+DAE =2+∠∠DAE ，即∠BAN =∠CAM ，由（1）知：△ABD ≌△ACE ，∴∠B =∠C ，在△ACM 和△ABN 中，C B AC AB CAM BAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACM ≌△ABN （ASA ），∴∠M =∠N ．题型3：等角的余角相等技巧： ∠1+∠2=90，∠2+∠3=90，∴∠1=∠3技巧：把全等三角形中一个三角形的两个锐角分别随意标上∠1、∠2，再从第二个三角形的两个锐角中挑一个和∠1或∠2互余的角标上∠3。

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2015年05月03日初中数学三角形证明组卷一．选择题（共20小题）1．（2015•涉县模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB与D，交BC 于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（）A ．13 B．10 C．12 D．52．（2015•淄博模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A ．5个B．4个C．3个D．2个3．（2014秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=（）A ．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：164．（2014•丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A ．70°B．80°C．40°D．30°5．（2014•南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A ．30°B．36°C．40°D．45°6．（2014•山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD等于（）A ．145°B．110°C．70°D．35°7．（2014•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交BC边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）A ．2 B．3 C．4 D．58．（2014秋•腾冲县校级期末）如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD的周长的差是（）A ．2 B．3 C．6 D．不能确定9．（2014春•栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）A ．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm10．（2014秋•博野县期末）△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）A ．110°B．120°C．130°D．140°11．（2013秋•潮阳区期末）如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE=6，则PF的长为（）A ．2 B．4 C．6 D．812．（2013秋•马尾区校级期末）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（）A ．13cm B．14cm C．15cm D．16cm13．（2013秋•西城区期末）如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（）A ．50°B．75°C．80°D．105°14．（2014秋•东莞市校级期中）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A．AC=A′C′，BC=B′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′C．AC=A′C′，AB=A′B′D．∠B=∠B′，BC=B′C′15．（2014秋•淄川区校级期中）如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A 点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则（）A ．BC＞PC+AP B．BC＜PC+AP C．BC=PC+AP D．BC≥PC+AP16．（2014秋•万州区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）A ．90°﹣∠A B．90°﹣∠AC．180°﹣∠A D．45°﹣∠A17．（2014秋•泰山区校级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（）A．△ABD≌△ACD B．AD是△ABC的高线C．AD是△ABC的角平分线D．△ABC是等边三角形18．（2014秋•晋江市校级月考）如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（）A．点P在∠ABC的平分线上B．点P在∠ACB的平分线上C．点P在边AB的垂直平分线上D．点P在边BC的垂直平分线上19．（2013•河西区二模）如图，在∠ECF的两边上有点B，A，D，BC=BD=DA，且∠ADF=75°，则∠ECF的度数为（）A ．15°B．20°C．25°D．30°20．（2013秋•盱眙县校级期中）如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连接MN交OP于点D．则①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND．其中正确的有（）A ．1个B．2个C．3个D．4个二．解答题（共10小题）21．（2014秋•黄浦区期末）如图，已知ON是∠AOB的平分线，OM、OC是∠AOB外的射线．（1）如果∠AOC=α，∠BOC=β，请用含有α，β的式子表示∠NOC．（2）如果∠BOC=90°，OM平分∠AOC，那么∠MON的度数是多少？22．（2014秋•阿坝州期末）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．23．（2014秋•花垣县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB （E在AB之间），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，试求△DFC的周长．24．（2014秋•大石桥市期末）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度数．25．（2014秋•安溪县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ABC的大小（用含α的式子表示）；（2）以点B为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若=30°，求∠BDE的度数．26．（2014秋•静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．27．（2012秋•天津期末）如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．28．（2013秋•高坪区校级期中）如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．29．（2012春•扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．30．（2011•龙岩质检）如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．2015年05月03日初中数学三角形证明组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2015•涉县模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB与D，交BC 于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（）A ．13 B．10 C．12 D．5考点：线段垂直平分线的性质．分析：先根据勾股定理求出AE=13，再由DE是线段AB的垂直平分线，得出BE=AE=13．解答：解：∵∠C=90°，∴AE=，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴BE=AE=13；故选：A．点评：本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质；利用勾股定理求出AE是解题的关键．2．（2015•淄博模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A ．5个B．4个C．3个D．2个考等腰三角形的判定；三角形内角和定理．点：专题：证明题．分析：根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．解答：解：共有5个．（1）∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：A．点评：此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．3．（2014秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=（）A ．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16考点：角平分线的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：首先过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，由AD是它的角平分线，根据角平分线的性质，即可求得DE=DF，由△ABD的面积为12，可求得DE与DF的长，又由AC=6，则可求得△ACD的面积．解答：解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F…（1分）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，…（3分）∴S△ABD=•DE•AB=12，∴DE=DF=3…（5分）∴S△ADC=•DF•AC=×3×6=9…（6分）∴S△ABD：S△ACD=12：9=4：3．故选A．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．4．（2014•丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（）A ．70°B．80°C．40°D．30°考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．解答：解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°．故选：D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014•南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A ．30°B．36°C．40°D．45°考点：等腰三角形的性质．分析：求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B，解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=AD，∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°故选：B．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系．6．（2014•山西模拟）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC=35°，则∠BOD等于（）A ．145°B．110°C．70°D．35°考点：角平分线的定义．分析：首先根据角平分线定义可得∠AOD=2∠AOC=70°，再根据邻补角的性质可得∠BOD的度数．解答：解：∵射线OC平分∠DOA．∴∠AOD=2∠AOC，∵∠COA=35°，∴∠DOA=70°，∴∠BOD=180°﹣70°=110°，故选：B．点评：此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．7．（2014•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交BC边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（）A ．2 B．3 C．4 D．5考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据已知条件易得∠B=30°，∠BAC=60°．根据线段垂直平分线的性质进一步求解．解答：解：∵∠ACB=90°，AB=10，AC=5，∴∠B=30°．∴∠BAC=90°﹣30°=60°∵DE垂直平分BC，∴∠BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=90°﹣30°=60°．∴∠BDE对顶角=60°，∴图中等于60°的角的个数是4．故选C．点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由易到难逐个寻找，做到不重不漏．8．（2014秋•腾冲县校级期末）如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD的周长的差是（）A ．2 B．3 C．6 D．不能确定考点：三角形的角平分线、中线和高．专题：计算题．分析：根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．解答：解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周长的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．故选A．点评：本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．9．（2014春•栖霞市期末）在Rt△ABC中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）A ．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm考点：角平分线的性质．分析：由∠C=90°，∠CAB=60°，可得∠B的度数，故BD=2DE=7.6，又AD平分∠CAB，故DC=DE=3.8，由BC=BD+DC求解．解答：解：∵∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2DE=7.6，又∵AD平分∠CAB，∴DC=DE=3.8，∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4．故选C．点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离DE即为CD长，是解题的关键．10．（2014秋•博野县期末）△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=40°，则∠BOC=（）A ．110°B．120°C．130°D．140°考点：角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．解答：解：由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180﹣40=140∠OBC+∠OCB=70∠BOC=180﹣70=110°故选A．点评：此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．11．（2013秋•潮阳区期末）如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA，PE⊥OB，若PE=6，则PF的长为（）A ．2 B．4 C．6 D．8考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：利用角平分线性质得出∠POF=∠POE，然后利用AAS定理求证△POE≌△POF，即可求出PF的长．解答：解：∵OC平分∠AOB，∴∠POF=∠POE，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO，PO为公共边，∴△POE≌△POF，∴PF=PE=6．故选C．点评：此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是求证△POE≌△POF．12．（2013秋•马尾区校级期末）如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，已知AE=1cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（）A ．13cm B．14cm C．15cm D．16cm考点：线段垂直平分线的性质．分析：要求△ABC的周长，先有AE可求出AB，只要求出AC+BC即可，根据线段垂直平分线的性质可知，AD=BD，于是AC+BC=AC+CD+AD等于△ACD的周长，答案可得．解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，AB=2AE=2又∵△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12 ∴△ABC的周长是12+2=14cm．故选B点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；进行线段的等效转移，把已知与未知联系起来是正确解答本题的关键．13．（2013秋•西城区期末）如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（）A ．50°B．75°C．80°D．105°考点：线段垂直平分线的性质．分根据线段垂直平分线性质得出BP=AP，CQ=AQ，推出∠B=∠BAP，∠C=∠QAC，析：求出∠B+∠C，即可求出∠BAP+∠QAC，即可求出答案．解答：解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，∴BP=AP，CQ=AQ，∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=130°﹣50°=80°，故选：C．点评：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．14．（2014秋•东莞市校级期中）如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（）A ．AC=A′C′，BC=B′C′B．∠A=∠A′，AB=A′B′C ．AC=A′C′，AB=A′B′D．∠B=∠B′，BC=B′C′考点：直角三角形全等的判定．分析：根据直角三角形全等的判定方法（HL）即可直接得出答案．解答：解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC一定等于B′C′，Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，故选C．点评：此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．15．（2014秋•淄川区校级期中）如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A 点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则（）A ．BC＞PC+AP B．BC＜PC+AP C．BC=PC+AP D．BC≥PC+AP考点：线段垂直平分线的性质．分析：从已知条件进行思考，根据垂直平分线的性质可得PA=PB，结合图形知BC=PB+PC，通过等量代换得到答案．解答：解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB．∵BC=PC+BP，∴BC=PC+AP．故选C．点评：本题考查了垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．16．（2014秋•万州区校级期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）A ．90°﹣∠A B．90°﹣∠AC．180°﹣∠A D．45°﹣∠A考点：等腰三角形的性质．分析：由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由BF=CD，BD=CE，利用SAS得到三角形FBD与三角形DEC全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，即可表示出∠EDF．解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C°，在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD=∠CDE，∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠B=180°﹣=90°+∠A，则∠EDF=180°﹣（∠FDB+∠EDC）=90°﹣∠A．故选B．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．17．（2014秋•泰山区校级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（）A ．△ABD≌△ACDB．AD是△ABC的高线C ．AD是△ABC的角平分线D．△ABC是等边三角形考点：等腰三角形的性质．分析：利用等腰三角形的性质逐项判断即可．解答：解：A、在△ABD和△ACD中，，所以△ABD≌△ACD，所以A正确；B、因为AB=AC，AD平分∠BAC，所以AD是BC边上的高，所以B正确；C、由条件可知AD为△ABC的角平分线；D、由条件无法得出AB=AC=BC，所以△ABC不一定是等边三角形，所以D不正确；故选D．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．18．（2014秋•晋江市校级月考）如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（）A ．点P在∠ABC的平分线上B．点P在∠ACB的平分线上C ．点P在边AB的垂直平分线上D．点P在边BC的垂直平分线上考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC=PB即可得出P 在线段BC的垂直平分线上．解答：解：∵PB=PC，∴P在线段BC的垂直平分线上，故选D．点评：本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等．19．（2013•河西区二模）如图，在∠ECF的两边上有点B，A，D，BC=BD=DA，且∠ADF=75°，则∠ECF的度数为（）A ．15°B．20°C．25°D．30°考点：等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ECF的度数．解答：解：∵BC=BD=DA，∴∠C=∠BDC，∠ABD=∠BAD，∵∠ABD=∠C+∠BDC，∠ADF=75°，∴3∠ECF=75°，∴∠ECF=25°．故选：C．点评：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用．20．（2013秋•盱眙县校级期中）如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连接MN交OP于点D．则①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND．其中正确的有（）A ．1个B．2个C．3个D．4个考点：角平分线的性质．分析：由已知很易得到△OPM≌△OPN，从而得角相等，边相等，进而得△OMP≌△ONP，△PMD≌△PND，可得MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，答案可得．解答：解：P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N 连接MN交OP于点D，∴∠MOP=∠NOP，∠OMP=∠ONP，OP=OP，∴△OPM≌△OPN，∴MP=NP，OM=ON，又OD=OD∴△OMD≌△OND，∴MD=ND，∠ODN=∠ODM=9O°，∴OP⊥MN∴①PM=PN，②MO=NO，③OP⊥MN，④MD=ND都正确．故选D．点评：本题主要考查了角平分线的性质，即角平分线上的一点到两边的距离相等；发现并利用△OMD≌△OND是解决本题的关键，证明两线垂直时常常通过证两角相等且互补来解决．二．解答题（共10小题）21．（2014秋•黄浦区期末）如图，已知ON是∠AOB的平分线，OM、OC是∠AOB外的射线．（1）如果∠AOC=α，∠BOC=β，请用含有α，β的式子表示∠NOC．（2）如果∠BOC=90°，OM平分∠AOC，那么∠MON的度数是多少？考点：角平分线的定义．分析：（1）先求出∠AOB=α﹣β，再利用角平分线求出∠AON，即可得出∠NOC；（2）先利用角平分线求出∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，即可得出∠MON=∠BOC．解答：解：（1）∵∠AOC=α，∠BOC=β，∴∠AOB=α﹣β，∵ON是∠AOB的平分线，∴∠AON=（α﹣β），∠NOC=α﹣（α﹣β）=（α+β）；（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，∴∠AOM=∠AOC，∠AON=∠AOB，∴∠MON=∠AOM﹣∠AON=（∠AOC﹣∠AOB）=∠BOC=×90°=45°．点评：本题考查了角平分线的定义和角的计算；弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．22．（2014秋•阿坝州期末）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．考点：线段垂直平分线的性质．专题：探究型．分析：（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出结论．解答：解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE=CE，OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF，∴OE=4EF．点评：本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．23．（2014秋•花垣县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB （E在AB之间），DF⊥BC，已知BD=5，DE=3，CF=4，试求△DFC的周长．考点：角平分线的性质．分析：根据角平分线的性质可证∠ABD=∠CBD，即可求得∠CBD=∠C，即BD=CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF，即可解题．解答：解：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠C，∴BD=CD，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∴△DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12．点评：本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE=DF是解题的关键．24．（2014秋•大石桥市期末）如图，点D是△ABC中BC边上的一点，且AB=AC=CD，AD=BD，求∠BAC的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：由AD=BD得∠BAD=∠DBA，由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠DBA，∠DBA=∠C，从而可推出∠BAC=3∠DBA，根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA的度数，从而不难求得∠BAC的度数．解答：解：∵AD=BD∴设∠BAD=∠DBA=x°，∵AB=AC=CD∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°，∠DBA=∠C=x°，∴∠BAC=3∠DBA=3x°，∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°∴5x=180°，∴∠DBA=36°∴∠BAC=3∠DBA=108°．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．25．（2014秋•安溪县期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=α．（1）直接写出∠ABC的大小（用含α的式子表示）；（2）以点B为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若=30°，求∠BDE的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC的大小；（2）根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠BDC，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD，求得∠ABD，再根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解．解答：解：（1）∠ABC的大小为×（180°﹣α）=90°﹣α；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=90°﹣α=90°﹣×30°=75°，由题意得：BC=BD=BE，由BC=BD得∠BDC=∠C=75°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣75°=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°，由BD=BE得．故∠BDE的度数是67.5°．点评：本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．26．（2014秋•静宁县校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：（1）∠B=∠C．（2）△ABC是等腰三角形．考点：等腰三角形的判定．分析：由条件可得出DE=DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B=∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．解答：证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HF），∴∠B=∠C；（2）由（1）可得∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．点评：本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE=DF是解题的关键．27．（2012秋•天津期末）如图，AB=AC，∠C=67°，AB的垂直平分线EF交AC于点D，求∠DBC的度数．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出∠A，根据线段垂直平分线得出AD=BD，求出∠ABD，即可求出答案．解答：解：∵AB=AC，∠C=67°，∴∠ABC=∠C=67°，∴∠A=180°﹣67°﹣67°=46°，∵EF是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=46°，∴∠DBC=67°﹣46°=21°．点评：本题考查了线段垂直平分线，三角形的能或定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，关键是求出∠ABC和∠ABD的度数，题目比较好．28．（2013秋•高坪区校级期中）如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．考点：等腰三角形的性质．分析：首先根据AB=AD=AE，DE=EC，得到∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，根据∠DAB=30°，求得∠B=∠ADB=75°，利用∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，求得∠C即可．解答：解：∵AB=AD=AE，DE=EC，∴∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，∴∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，∵∠DAB=30°，∴∠B=∠ADB=75°，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，∴∠C=35°．点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数．29．（2012春•扶沟县校级期中）阅读理解：“在一个三角形中，如果角相等，那么它们所对的边也相等．”简称“等角对等边”，如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F，过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E，请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE．考点：等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：由DE∥BC，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB可知，DB=DF，CE=EF．便可得出结论．解答：证明：∵BF平分∠ABC（已知），CF平分∠ACB（已知），∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠FCB；又∵DE平行BC（已知）∴∠DFB=∠FBC（两直线平行，内错角相等），∠EFC=∠FCB（两直线平行，内错角相等），∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF（等量代换）∴DF=DB，EF=EC（等角对等边）∴DE=BD+CE．点评：此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质的理解和掌握，主要利用等腰三角形两边相等．稍微有点难度是一道中档题．30．（2011•龙岩质检）如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：△AEF是等腰三角形．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据角平分线的性质知∠BAD=∠CAD；然后根据已知条件“DE，DF分别垂直AB、AC于E、F”得到∠DEA=∠DFA=90°；再加上公共边AD=AD，从而证明，△ADE≌△ADF；最后根据全等三角形的对应边相等证明△AEF的两边相等，所以△AEF是等腰三角形．解答：证明：∵AD是△ABC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，（3分）又∵DE，DF分别垂直AB、AC于E，F∴∠DEA=∠DFA=90°（6分）又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF．（8分）∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形（10分）点评：本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答此题时，根据全等三角形的判定定理ASA判定△ADE≌△ADF．。

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