求数列前n项和的几种常用方法

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高考数学专题—数列求前n项和的5种常用方法总结

高考数学专题——数列（求S n ）求s n 的四种方法总结常考题型：共5种大题型（包含倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法、并项求和法。

1、倒序相加法：实质为等差数列求和。

例1、【2019·全国2·文T18】已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)设{a n }的公比为q,由题设得2q 2=4q+16,即q 2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4. 因此{a n }的通项公式为a n =2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得b n =(2n-1)log 22=2n-1,因此数列{b n }的前n 项和为1+3+…+2n-1=n 2. 2、错位相减法：实质为等差×等比求和。

错位相减法的万能公式及推导过程：公式：数列c n =(an +b )q n−1，(an +b )为等差数列，q n−1为等比数列。

前n 项和S n =(An +B )q n +C A =a q −1，B =b −Aq −1，C =−B S n =(a +b )+(2a +b )q +(3a +b )q 2+⋯[(n −1)a +b ]q n−2+(an +b )q n−1 ① qS n =(a +b )q +(2a +b )q 2+(3a +b )q 3+⋯[(n −1)a +b ]q n−1+(an +b )q n ② ②-①得：(q −1)s n =−(a +b )−a (q +q 2+⋯q n−1)+(an +b )q n=−(a +b )−a ⋅q(1−q n−1)1−q+(an +b )q n=(an +b −aq−1)q n −(b −aq−1)S n =(aq −1⋅n +b −a q −1q −1)⋅q n −b −aq −1q −1例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1232,a a a =+ 即21112a a q a q =+.所以220,q q +-= 解得1q =（舍去），2q =-. 故{}n a 的公比为2-.（2）设n S 为{}n na 的前n 项和.由（1）及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)=(2).3n n n ---⨯-所以1(31)(2)99nn n S +-=-. 例3、【2020年高考全国III 卷理数】设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【解析】（1）235,7,a a == 猜想21,n a n =+ 由已知可得 1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+， 1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯. ①从而23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯.②-①② 得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯，所以1(21)2 2.n n S n +=-+例4、【2020届辽宁省大连市高三双基测试数学】已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.（I ）求12,a a 的值；（Ⅱ）试求数列{}n a 的前n 项和n S .【解析】（Ⅰ）方法一：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列 21221a a ∴=⨯ 214a a ∴=又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列 2121122a a ∴-=,解得1228a a =⎧⎨=⎩方法二：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列,1112,n n a n a n+∴=1(1)2n n n a a n ++∴=.①又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列, 11122n nn na a ++∴-=② 由①②解得：2nn a n =⋅1228a a =⎧⎨=⎩ （Ⅱ）1122,1n n n a a n -=⋅= 2n n a n ∴=⋅123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+1231222322n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 234121222322n n S n +∴=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式作差可得：23122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅()1212212n n n n S +-=-⋅--1(1)22n n n S +=⋅---, 1(1)22n n S n +∴=-⋅+.例5、【2020届江西省吉安市高三上学期期末数学】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a S +-=．（I ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3log n n b a =，数列2221n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：12nT <．【解析】（I ）当1n =时，由11a =，2121a a -=得23a =；当2n ≥时，121n n a S --=，两式相减得()1120n n n n a a S S +----=，即13n n a a +=(2)n ≥，又2133a a ==，故13n n a a +=恒成立，则数列{}n a 是公比为3的等比数列，可得13-=n n a ．（Ⅱ）由（I ）得313log log 31n n n b a n -===-，则22211111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，则111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． 1021n >+ 11112212n ⎛⎫∴-< ⎪+⎝⎭ 故12n T <例6、【2017·天津·理T18】已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N *).【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12,得b 1(q+q 2)=12,而b 1=2,所以q 2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2. 所以,b n =2n.由b 3=a 4-2a 1,可得3d-a 1=8.①由S 11=11b 4,可得a 1+5d=16,②联立①②,解得a 1=1,d=3,由此可得a n =3n-2.所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n-2,数列{b n }的通项公式为b n =2n.(2)设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ,由a 2n =6n-2,b 2n-1=2×4n-1,有a 2n b 2n-1=(3n-1)×4n, 故T n =2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4T n =2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=12×(1-4n )1-4-4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8.得T n =3n -23×4n+1+83. 所以,数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为3n -23×4n+1+83. 例7、【2020·石家庄模拟】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由2S n ＝3a n －1，① 得2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②，得2a n ＝3a n －3a n －1，所以a n a n －1＝3(n ≥2)，又2S 1＝3a 1－1，2S 2＝3a 2－1，所以a 1＝1，a 2＝3，a 2a 1＝3，所以{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1.(2)由(1)得，b n ＝n3n －1，所以T n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，③13T n ＝131＋232＋…＋n －13n －1＋n 3n ，④ ③－④得，23T n ＝130＋131＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝1－13n1－13－n 3n ＝32－2n ＋32×3n ，所以T n ＝94－6n ＋94×3n . 3、裂项相消法：实质为a n =b n (n+a )形式的求和。

例谈求数列前n项和的三种思路

思路探寻求数列的前n 项和问题比较常见，通常需先根据已有的递推关系式求得数列的通项公式，再观察数列的特点和规律，寻找适合的求和方法，比如：公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法等来求得数列的前n 项和.若选用的方法恰当，就能起到事半功倍的效果.下面结合实例谈一谈求数列前n 项和的三种常用思路.一、借助公式公式法是求数列前n 项和的重要方法.运用公式法求数列的前n 项和，主要是根据等差数列的前n 项和公式S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n +1)2d 、等比数列的前n 项和公式S n =ìíîïïna 1，q =1,a 1(1-q n)1-q，q ≠1.在解题时，需仔细观察数列的特征，根据等差、等比数列的定义判断数列的类型，再选用相应的求和公式进行求和.例1.在等差数列{a n }中，S 10=100,S 100=10,求S 110.解：∵该数列为{a n }为等差数列，∴S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,⋯，S 110-S 100也为等差数列，设其公差为d ，∴S 10+(S 20-S 10)+(S 30-S 20)+⋯+(S 100-S 90)=S 100,由等差数列的前n 项和公式S n =na 1+n (n +1)2d可得S 100=10S 10+10×92×d =10，又S 10=100,将其代入上式得d =-22，∴S 110-S 100=S 10+(11-1)d =100+10×(-22)=-120，∴S 110=S 100+(-120)=-110.由题意可知这个数列是等差数列，利用等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式S n =na 1+n (n +1)2d 求解，即可求出此数列的前n 项和.例2.已知log 3x =-1log 2x,求x +x 2+x 3+⋯+x n 的前n项和.解：由log 3x =-1log 2x 可得x =12，由等比数列的前n 项和公式S n =a 1(1-q n )1-q可得，x +x 2+x 3+⋯+x n=x (1-x n )1-x =12(1-12n )1-12=1-12n.观察该数列，可发现数列的后一项与前一项之比为x ，由等比数列的定义可知该数列为等比数列，利用等比数列的前n 项和公式S n =a 1(1-q n )1-q，即可求出此数列前n 项和.二、分组求和有些数列可被拆开或重组成几个等差、等比或者常见数列，此时可采用分组求和法，将各项重新组合，再分别运用等差、等比数列的前n 项和公式进行求和，最后综合所得结果，即可得出原数列的前n 项和.例3.求数列{}n (n +1)(2n +1)的前n 项和.解：设a k =k (k +1)(2k +1)=2k 3+3k 2+k ，可得S n =∑k =1nk (k +1)(2k +1)=∑k =1n(2k 3+3k 2+k )=2∑k =1nk 3+3∑k =1nk 2+∑k =1nk=2(13+23+⋯+n 3)+3(12+22+⋯+n 2)+(1+2+⋯+n )=n 2(n +1)22+n (n +1)(2n +1)2+n (n +1)2=n (n +1)2(n +2)2.仔细研究这个数列可发现，它由三个数列{}2n 3、{}3n 2、{}n 的和构成，于是将数列的每一项拆开，再重新组合S n =2∑k =1nk 3+3∑k =1nk 2+∑k =1nk ，最后分组求和，即可得n 黄增勇胡国生46思路探寻出数列前n 项和.对于一些常见的数列，同学们要熟记其和，如∑k =1nk =1+2+3+⋯+n =12n (n +1),∑k =1nk 2=12+22+32+⋯+n 2=13n (n +12)(n +1),∑k =1nk 3=13+23+33+⋯+n 3=éëêùûúæèçöø÷n (n +1)22，∑k =1n (2k -1)=1+2+3+⋯+(2n +1)=n 2.例4.求数列113,216,319，⋯，(n +13n )的前n 项和.解：S n =113+216+319+⋯+(n +13n )=(1+2+3+⋯+n )+(13+132+133+⋯+13n )=12n (n +1)+1-13n .该数列由两个数列{}n 、{}13n 构成，于是将其重新组合成等差数列{}n 和等比数列{}13n ，再分别运用等差、等比数列的前n 项和公式，求得每个数列的和，即可得到数列的前n 项和.三、裂项相消运用裂项相消法求和，关键有两步：第一步，裂项.即将数列的通项公式裂为两项之差的形式；第二步，消项.通过正负相消，消除绝对值相等，符号相反的项.在裂项的过程中，有的时候需要调整通项公式前面的系数，使拆得的两项的结构保持一致.常见的裂项方式有sin 1cos n cos(n +1)=tan(n +1)-tan n ，1n (n +1)=1n -1n +1，1(2n +1)(2n -1)=12(12n -1-12n +1)等.例5.在数列{}a n 中.a n =1n +1+1n +2+⋯+nn +1，若b n =2a n ∙a n +1，求数列{}b n 的前n 项和.解：因为a n =1n +1+1n +2+⋯+n n +1=n2，则b n =2a n ∙a n +1=2n 2∙n +12=8(1n -1n +1)所以S n =8éëêæèöø1-12+æèöø12-13+æèöø13-14+⋯+ùûúæèöø1n -1n +1=æèöø1-1n +1=8n n +1.根据题目中的已知条件可得数列{}b n 的通项公式为b n =8n ()n +1，于是将其裂项为8(1n -1n +1)，即可采用裂项相消法求得数列{}b n 的前n 项的和.例6.求和：S n =15+135+163+199.解：S n =15+145+1117+1221=11×5+15×9+19×13+113×17=14(1-15)+14(15-19)+14(19-113)+14(113-117)=14[(1-15)+(15-19)+(19-113)+(113-117)]=14(1-117)=417.仔细观察可发现，数列的通项公式为a n =1()4n -3(4n +1)=14æèöø14n -3-14n +1，通过裂项，便可将数列中的前后项转化为绝对值相等，符号相反的式子，这样采用裂项相消法，通过正负相消即可求得数列的和.通过对上述例题的分析，可以看出，上述三种思路各有特色，且其适用范围各不相同.同学们在求和时，只要善于发现数列中各项的规律，改变原数列的形式、结构，进行合理的裂项、分组，灵活运用等差、等比数列的前n 项和公式，那么求数列前n 项和问题就可以迎刃而解.本文系淮安市教育科学“十四五”规划课题《新高考背景下高中数学试题编制的研究》（课题编号2021GHKT215）研究成果.（作者单位：黄增勇，江苏省淮安市洪泽湖高级中学；胡国生，江苏省淮安市洪泽区教育体育局）47。

求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)

求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式： 1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n项和.[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.练习：求：S n=1+5x+9x 2+······+(4n -3)xn-13. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例5] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…[例6] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设kk k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k n k ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n＝kk k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n（分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211n n 的前n 项和。

数列求n项和的方法

数列求n项和的方法数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

在数列中，常常需要求出前n项的和，也就是数列的部分和。

下面将介绍几种常见的求解数列部分和的方法。

一、等差数列的部分和等差数列是指数列中每一项与它的前一项之差都相等的数列。

例如：1，3，5，7，9……就是一个公差为2的等差数列。

对于一个公差为d的等差数列，前n项和Sn可以通过以下公式求得：Sn = n * (a1 + an) / 2其中n表示数列的项数，a1表示数列的首项，an表示数列的第n 项。

这个公式的推导过程可以使用数学归纳法证明。

例如：求1, 3, 5, 7, 9……的前10项和。

首先，确定该数列的公差为2，首项为1，第10项为19。

将这些数据代入公式中，得到：S10 = 10 * (1 + 19) / 2 = 100因此，该等差数列的前10项和为100。

二、等比数列的部分和等比数列是指数列中每一项与它的前一项之比都相等的数列。

例如：1，2，4，8，16……就是一个公比为2的等比数列。

对于一个公比为q的等比数列，前n项和Sn可以通过以下公式求得：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中n表示数列的项数，a1表示数列的首项，q表示数列的公比。

这个公式的推导过程可以使用等比数列的通项公式证明。

例如：求1, 2, 4, 8, 16……的前5项和。

首先，确定该数列的公比为2，首项为1。

将这些数据代入公式中，得到：S5 = 1 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 31因此，该等比数列的前5项和为31。

三、调和数列的部分和调和数列是指数列中每一项的倒数之和都为一个定值的数列。

例如：1，1/2，1/3，1/4，1/5……就是一个调和数列。

对于一个调和数列，前n项和Sn可以通过以下公式求得：Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + …… + 1/n其中n表示数列的项数。

这个公式的推导过程可以使用数学归纳法证明。

求数列前n项和8种的方法(史上最全)

求数列前n 项和8种的方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式：（1）1q =时，1n S na =；（2）()1111nn a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21nk k ==∑222216123(1)(21)n n n n ++++=++；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)n k k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++.例1 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n s n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。

求数列前N项和的常用方法

求数列前N 项和的常用方法核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，一.用公式法求数列的前n 项和 1、等差数列：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a qq a q na S n nn 3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n例1：求数列的前n 项和S n变1、已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.变1、设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.二.用裂项相消法求数列的前n 项和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n（4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则例题2：求数列(n ∈N *)的和变1、求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.变2、在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.三.用错位相减法求数列的前n 项和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列.例题3：求数列{na n }(n ∈N *)的和变1、求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S变2、求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.四.用倒序相加法求数列的前n 项和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.例4：设等差数列{a n }，公差为d ，求证：{a n }的前n 项和S n =n(a 1+a n )/2变1、求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin22222++⋅⋅⋅+++的值五. 用分组求和法求数列的前n 项和若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

数列的前n项和方法总结

数列的前n项和方法总结
数列是数学中常见的一种数值序列，求解数列的前n项和在许多数学和实际问题中都具有重要意义。

下面是关于数列的前n项和的几种常见方法总结：
1. 等差数列的前n项和：
若数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，那么数列的前n项和Sn = (n/2)(a1 + an)。

2. 等比数列的前n项和：
若数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比（r ≠ 0），那么数列的前n项和Sn = a1 * (1-r^n)/(1-r)。

3. 斐波那契数列的前n项和：
斐波那契数列是一种特殊的数列，前两项为1，后续项为前两项之和。

若n 为正整数，那么斐波那契数列的前n项和为Sn = F(n+2) - 1，其中F(n)表示第n项斐波那契数。

4. 平方数列的前n项和：
平方数列是一种特殊的数列，每一项都是某个正整数的平方。

若数列的通项公式为an = n^2，那么数列的前n项和Sn = (n(n+1)(2n+1))/6。

5. 等差子数列的前n项和：
若一个数列是等差数列的子数列，其公差与等差数列相同，那么子数列的前n项和等于原等差数列的前n项和减去首项之前的和。

以上是几种常见数列的前n项和的求解方法。

在实际应用中，根据数列的特点和通项公式选择适当的方法来计算数列的前n项和会更加高效和方便。

求前n项和的几种方法

求前n 项和的几种方法求数列前N 项和的方法1. 公式法（1）等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公（2q=11q S ≠，（31、=S n 3、=S n [例1][例2]设2. 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1答案：当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n =11-x [4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n ]3. 倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把[例5]求4. [例6]5. （1（3（5）)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6)n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 [例9]求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10]在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.[例11]求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵ n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1 -+-+-+-∴6. [[例7. [例练习：求5，55，555，…，的前n 项和。

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧我们不要关心求数列n项和的问题会不会在高考题或有关考试题中出现，当然出现的机会确是很高的。

关键的是通过学习和探讨求数列前n项和的方法去领悟学习和思考的方法。

几种求和的方法把数学变形和分析、归纳总结、化繁为简、化难为易等思想融合在一起，使思维得到一次系统的训练和提高。

头脑的开化和思维的提升才是学习的主要目的。

求数列前n项的和，通常有下列七种方法和技巧。

一、利用等差数列和等比数列的求和公式例1、求数列例2、求数列5, 55，555，5555，…，，……的前项和。

解：∵∴二、用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式的方法是倒序相加法。

这个方法可以类推到一般，只要前n项具有与两端等距离项的和相等的数列这种特征都可用这种方法求和。

例3、已知是等差数列，求和。

解：∵①即②由①+②，得：∵∴由等差数列的性质，易得：故于是三、利用错位相减法错位相减法是一种常用的数列求和方法，主要应用于等比数列与等差数列相乘的形式。

形如，其中为等差数列，为等比数列，公比为q；列出，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即；然后错一位，两式相减即可。

例4、求数列的前n求和(x≠0，x≠1)。

解：设①则②由①-②，得：于是四、用化差相减法适用于分式形式的通项公式，基本原理是把一项拆成两个或多个的差的形式，即，然后累加时中间的许多项可以抵消。

裂项凑错位相加特征，注意前后式子相等，如果不相等就要乘以一个系数。

常用公式：，，，（a≠0），例5、求数列的前n求和。

解：例6、求数列。

解：∵∴基本原理点拨：代数式变形凑相消特征：，由此可联想求更高次方幂的n项和。

如：至此，一般规律就出现了，通过变形整理便可求出的n 项的和，以此类推，求n次方幂的问题就能彻底解决。

从而五、利用组合数求和公式法利用这个组合数公式，求某些特殊数列的前n和颇为方便。

因为，则。

例7、求数列解：∵，∴例8、求数列。

解：∵。

∴，六、用数学归纳法例9、求数列的前n项和。

数列求前n项和的方法总结

求数列前n 项和的基本方法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 特别注意：在求等比数列前n 项和时，要特别注意公比q 是否为1。

当q 不确定时要对q 分q=1和q ≠1两种情况讨论求解。

3、)1n (n 21n 321+=++++ 4、)12n )(1n (n 61n 21222++=+++ 5、2333)]1n (n 21[n 21+=+++ 例1：9910023222026-4-94,b a b a b a a b a b a b a ++++=++ ，求：满足：若实数例2：n aa a 11112++++ 求和：二、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.)212(1616814412S 11++++++=n n n ：求例 n n n n a n a a S n }{2项和的前，求数列：已知例-=三、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，通项分解（裂项）如：（1）111)1(1+-=+=n n n n a n （2）)11(1)(1kn n k k n n a n +-=+= （3）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n （7）n n n n a n -+=++=111 （8）k k k 1n n n n a n -+=++=例3、求上述（1）—（5）n n a S n }{项和的前数列n)lg 3(1321412T n }{2}{11lg 1lg lg }{4项和的前，求）若（的通项）求（，的等差中项，且和是中，等比数列：已知在各项为正数的例n a n n n n b b a a a a a a a a n -==+ 四、倒序相加法求和：课本中用来推导等差数列前n 项和的方法()的值求、设例⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=201120102011220111,2445f f f x f x x 。

如何求数列的前n 项和

知识导航数列求和问题是数列中的重要题型.在解题的过程中，我们经常会遇到一些非等差、非等比数列的求和问题，其求解的办法多种多样.为了帮助同学们熟练掌握求数列前n 项和的方法,笔者对下面三种方法进行了探讨.一、倒序相加法如果一个数列中,与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，我们就可以采用倒序相加法来求和.把正序的和式与倒序的和式中的对应项相加，便能得到n 个与首末项等距的两项之和；求出首末两项之和,便可求得数列的前n 项和.例1.若函数f ()x =x 3-3x 2+e x -1-e 1-x2，求+f æèöø22020+⋯+f æèöø40382020+f æèöø40392020的值.分析:通过对已知函数式的观察与分析，可以发现f ()x +f ()2-x =-4，可采用倒序相加法来求解,将求和问题转化为求首项和尾项的和.解：∵f ()x =x 3-3x 2+e x -1-e 1-x2,∴f ()2-x =()2-x 3-3()2-x 2+e 2-x -1-e 1-2+x2,∴f ()x +f ()2-x =x 3-3x 3+()2-x 3-3()2-x 2=-4,令M =f æèöø12020+f æèöø22020+⋯+f æèöø40382020+f æèöø403920202M =éëêùûúf æèöø12020+f æèöø40392020+éëêùûúf æèöø22020+f æèöø40382020+⋯+éëêùûúf æèöø40382020+f æèöø22020+éëêùûúf æèöø40392020+f æèöø12020=4039éëêùûúf æèöø12020+f æèöø40392020=4039×()-4.∴M =-8078.二、分段求和法分段求和法是指将数列中具有相同特性的项放在一起，把数列分为几段，然后分段进行求和的方法.运用分段求和法解题的关键在于，仔细观察和分析数列的通项，把握其特性和规律,将其进行合理的分段.例2.求数列{}n ()n +1()2n +1的前n 项和.解:设a k =k ()k +1()2k +1=2k 3+3k 2+k ,∴S n =∑k =1nk ()k +1()2k +1=∑k =1n()2k 3+3k 2+k =2k =1nk 3+3k =1nk 2+k =1nk=2()13+23+⋯+n 3+3()12+22+⋯+n 2+(1+2+⋯+n )=n 2()n +122+n ()n +1()2n +12+n ()n +12=n ()n +12()n +22.通过对通项的观察与分析，可知该数列的和可以分为三段:2∑k =1nk 3、3∑k =1nk 2、∑k =1nk .于是运用分段求和法，将数列的每一项拆开，分段进行求和，再综合所得的结果即可求得原数列的前n 项和.三、裂项相消法裂项相消法是指将数列中的每项（通项）裂为两项之差的形式，然后将其重新组合，使之能消去中间的一些项，最终达到求和的目的的方法.运用裂项相消法求数列的前n 项和的关键是将数列的通项合理变形.常见的裂项方式有1n (n +k )＝1k (1n -1n +k)、1n +n +1＝n +1-n 等.例3.在数列{}a n 中，a n =1n +1+2n +1+⋯+n n +1,且b n =2a n ∙a n +1，求数列{}b n 的前n 项和.解:a n =1n +1+2n +1+⋯+n n +1=n2，b n =2n 2∙n +12=8n （n +1）=8æèöø1n -1n +1，则数列{}b n 的前n 项和为：S n =8[æèöø1-12+æèöø12-13+æèöø13-14+⋯+æèöø1n -1n +1]=8æèöø1-1n +1=8n n +1.我们由已知条件能快速求得{}b n 的通项b n =8n （n +1），可将其裂为两项之差的形式：8æèöø1n -1n +1,通过裂项相消，便可将中间的一些项消去，这样便只剩下首尾两项，化简该式即可得到答案.由此可见，倒序相加法、分段求和法和裂项相消法的适用范围各不相同，同学们在解题的过程中要注意合理选择.无论运用哪种方法求和，我们都要首先仔细观察和分析数列的通项，合理进行拆分、组合、裂项，这样才能快速找到与之相对应的解题方法.(作者单位:安徽省阜南实验中学)n 马丽f æèöø1202036。

(完整版)数列前n项和的求法总结

数列前n 项和的求法总结核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。

当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。

一．公式法（1）等差数列前n 项和： S n=n(a 1+a n )2=na 1+n(n+1)2d（2）等比数列前n 项和： q =1时， S n=na 1；q ≠1时， S n =a 1（1−q n ）1−q（3）其他公式： S n=1+2+3+⋯+n =12n (n +1)S n =12+22+32+⋯+n 2=16n(n +1)(2n +1)S n =13+23+33+⋯+n 3=[12n (n +1)]2例题1：求数列 112，214，318，……，(n +12n )，…… 的前n 项和S n解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。

练习：二.倒序相加法如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

例题1：设等差数列{an }，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn =a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn =an+an-1+an-2+…+a1②①+②得：2Sn =(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn =n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。

数列前n项和的求法总结

数列前n项和的求法总结核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。

当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。

一．公式法（1）等差数列前n项和：S S=S(S S+S S)S=S S S+S(S+S)SS（2）等比数列前n项和：S=S时，S S=S S S；S≠S时，S S=S S（S−S S ）S−S（3）其他公式：S S=S+S+S+⋯+S=SSS(S+S)S S=S S+S S+S S+⋯+S S=SSS(S+S)(SS+S)S S=S S+S S+S S+⋯+S S=[SSS(S+S)]S例题1：求数列S SS ，S SS，S SS，……，(S+SS S)，…… 的前n项和S n解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。

数列求和的四种方法

) 1
3 n 1
n 3 n 1
3
数列求和
例5
求数列
，，，， 22 42 62
13 35 57
(2n)2 ( 2 n 1)(2 n 1)
的前n项和
Sn
分析：该数列的分子是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项的乘积；从例4的经验看：该数列求和使用“裂项相消法” 的可能性较大，那就看分子能否化为常数。
Sn
n(a1an ) 2
na1
n(n1) 2
d
等比数列的求和公式： Sn
na1
a1 (1qn ) 1q
(q 1) (q 1)
还有一些常用公式：
12
22
32
n2
n ( n 1) (2 n 1) 6
请看下面例子：
数列求和
例1 求数列
1
1 2
，3 14
，5 81
，7 116
，9 312
，
的前n项和
的前n项和
分析：该数列可看作等差数列2n 1等比数列
1 2n
的积数列
解：
这里等比数列的公比
q
=
1 2
Sn
1 2
3 22
5 23
7 24
2n1 2n
1 2
Sn
1 3 5
22 23 24
2n3 2n
2n1 2n1
两式相减：(1
1 2
)Sn
1 2
2 22
2 23
2 24
2 2n
2n1 2n1
求法步骤如下：
1、在 Sn a1 a2 an 的两边同时乘于公比q
2、两式相减；左边为（1 q)Sn ，右边q的同次式相减 3、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的

求数列的前n项和常用方法

数列求和的常用方法1. 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1的关系，必要时需分类讨论1 2 3 ||| n u^n" 1)，12 22 川 n 2 二丄n(n 1)(2n 1)，13 23 33 n 3 珂 2 6练一练：等比数列｛a n ｝的前n 项和s 匸2"—1,则a ；十…+ a ； = __________ ； 2. 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和11 1例2、求数列的前n 项和：1 1, 4,-y • 7,…,• 一• 3n -2，…a a a n练一练：求和：S n 1 ・3-5 7 -||( ■ (-1)n (2n -1) 3. 倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n 和公式的推导方法).2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 “ 例 3、求 sin 1 sin 2 sin 3飞in 88 sin 89 的值 2 x练一练：已知f (x) 2 ,1 +x11 1 则 f(1) f(2) f(3) f(4) f(；) f (：) f (；)=23 4 4. 错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成, 法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). 例 4、求和：S n =1 3x 5x 2 7x 3 (2n -1)x n° 例5、求数列2, $, 2,…；2^，…前n 项的和. 2 2 2 2n练一练：设｛a n ｝为等比数列，T n =na 1 • (n -1底• III - 2a n - a n ，已知X =1 , T^4，①求数列｛a n ｝的首项和公比；②求数列｛T n ｝的通项公式.；5. 裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：① 11 J :②一1 n(n 1) n n 11 1 1 ③丄:::一^ =1 k2 k 2 -1 2 'k -1 k 11111k 1 (k 1)k k 2(k -1)k k -1 1 1r 1 1[ ；(n 1)! n! (n 1)! 例 1、已知 log 3 x =；—，求 x x 2 x 3 log 2 3 • • • x n •…的前n 项和..；③常用公式: n(n 1),2 —2].那么常选用错位相减九)； n(n k) 1 [一 n(n 1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2) n 1 1⑥ 2(.n~?—,n)：—2:: 1：：2=2(韦一.百).V n1 , ,例6、求数列------ ， ---- ，…,——，■■的前n项和.1 +V2 +V3 €n+%'n+11 2 n 2例7、在数列｛a n｝中，a n ，又b n ，求数列｛b n｝的前n项的和.n +1 n +1 n 十1 a n a n出(1)求和:1 1---- + ---- +||| +---------------- =1 4 4 7 (3n _2) (3n 1)1｛a n｝中，a n ： ----------------- ，且Sn=9，贝y n=J n Z n +16■通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。

求数列前n项和的几种方法

(2)解：由 an＝an－2＋2，n＝3,4,5，…，得 a2k＋1＝a2k－1＋2，a1＝0 及 a2k＋2＝a2k＋2，a2＝3， ∴a1，a3，a5，…，a2k－1 构成首项为 0，公差为 2 的等差数列， a2，a4，a6，…，a2k 构成首项为 3，公差为 2 的等差数列． ∴a2k－1＝2(k－1)＝(2k－1)－1，a2k＝3＋2(k－1)＝2k＋1，k＝1,2,3，…. ∴an＝n＋(－1)n，n＝1,2,3，…
解：记 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an 1＋nan，－＋则 aSn＝a2＋2a3＋…＋(n－2)an 1＋(n－1)an＋nan 1. ＋两式相减，得(1－a)Sn＝(a＋a2＋a3＋…＋an)－nan 1. nn＋1 若 a＝1，则 Sn＝1＋2＋…＋n＝； 2 ＋ a1－an nan 1 若 a≠1，则 Sn＝－ . 1－a2 1－a
六、分段求和法求和【例 7】已知数列{an}前 n 项和为 Sn，且 an＋Sn＝1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足 bn＝3＋log4an，设 Tn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|，求 Tn.
解：(1)由 an＋Sn＝1，得 an＋1＋Sn＋1＝1.两式相减得 an＋1－an＋Sn＋1－Sn＝0， 1 ∴2an＋1＝an，即 an＋1＝ an. 2 又当 n＝1 时，a1＋S1＝1， 1 ∴a1＝ . 2 1 1 ∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列， 2 2 1 1 － 1 － ∴an＝a1qn 1＝ ×( )n 1＝( )n. 2 2 2
n11－n 4 综上可知：T ＝ n －11n＋60 4
n 2
n≤6 . n≥7
如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和法求和．

求数列前n项和的七种方法

求数列前n项和的七种方法
求数列前n项和的七种方法如下：
1. 公式法：对于等差数列和等比数列，可以直接使用公式计算前n项和。

2. 倒序相加法：将数列倒序排列，然后与原数列相加，得到一个常数列，其和即为数列前n项和。

3. 错位相减法：对于一个等差数列和一个等比数列，将等差数列的每一项乘以等比数列的公比，得到一个新的等比数列，再使用错位相减法求和。

4. 裂项相消法：将数列中的每一项都拆分成两个部分，使得在求和时相邻的两项可以相互抵消。

5. 分组求和法：将数列分成若干组，每组内部求和，再将各组的和相加。

6. 累乘法：对于一个等差数列，将相邻两项相乘，得到一个新的等差数列，再使用累乘法求和。

7. 数学归纳法：对于一些特殊的数列，可以使用数学归纳法证明其前n项和的公式。

以上是求数列前n项和的七种方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行计算。