导数的习题课(上课用)

证明：（1）由于f(x)是偶函数，故f(－x)＝f(x)．
对f(－x)＝f(x)两边取x的导数，则f′(－x)·(－x)′＝f′(x)，即
f′(－x)＝－f′(x)．因此f′(x)为奇函数．
证明：（2）设f(x)是一个以T为周期的函数， 则有： f(x)=f(x+T) 两边同时求导， 则有 f'(x)=f'(x+T) 可知f(x)的导函数仍然是周期函数。
1.求下列函数的导数
（1）
y

x(
x
2

1 x

1 x3
)
预习检测
y

3x2

2 x3
(2) y 1 1 1 x 1 x
2 y' (1 x)2
（3）y (x 1)(x 2)(x 3)
y 3x2 12x 11.
学习目标
1、进一步熟悉复合函数的求导法则。 2、进一步熟悉两个函数的和、差、积、 商的求导法则及几何意义的应用。
一般地， 设函数y＝f（x）， 1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数，
2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
oa
bx
oa
bx
下 课 了 ！
7:用求导的方法求和:
(1)Pn (x) 1 2x 3x2 nxn1(x 1);
令 u 2x
其中 [ f (2x )]'
令 v x2
[ f (x2 )]'
f ' (u) (2x )' f ' (u)2x ln 2 f ' (v) (x2 )' f '(v) 2x
令 w f (x)
[ f 2 (x)]'
f ' (w) f ' (x) f '(w) f '(x)
3：若可导函数f(x)是奇函数，求证：其 导函数f′(x)是偶函数.
证明：因为y=f（x）是奇函数 所以 f（x )= -f(-x)两边同时对x求导可得
f′(x）=-[-f′(-x）] = f′(-x)
课堂训练与检测
（1）已知函数f(x)是偶函数，f(x)可导，求证：f′(x) 为奇函数．
（2）已知函数y=f(x)是可导的周期函数，试求证其导函 数y=f′(x)也为周期函数.
4
x2 2x x2 a

2 x 2 -15 2 x
-10
-5


x

a


1 2 1 2
P( 1 , 3),k 1 24
公切 线y x 1 4
2
P
5
-2
-4 y x2 a
-6
课堂训练与检测
已知曲线C：y=x3－x+2和点A(1,2)，求在 点A处的切线方程？
解：设曲线在点 px0 y0 处的切线与2x-y+3=0
平行则切点p到直线2x-y+3=0的距离即为
所求
∵ y' 2 2x 1
∴ 2 2 2x0 1
∴ x0 1 ∴切点为（1，0）
∴ dmin
5 5
5
达标教学
这节课你又知道了哪些知识呢？
1、进一步熟悉了复合函数的求导法则。 2、进一步熟悉了两个函数的和、差、积、商的 求导法则及应用。
已知抛物线C1：y x2 再2学x和习C22：y x2 a.若
直线l同时是C1和C2的切线，则称l是C1和C2的公切
线.问：当a取什么值时，C1和C2有且仅8 有一条公切
线？写出这个公切线的方程. 如图，C1,C2在P点和公切线相切， 设切点横坐标为x.则有：
6 y x2 2x
其中g(x) 0
（2）导数的运算法则
推论：
1.[cf ( x)]'

2.

f
1
(
x)


cf '( x)
f '(x) [ f ( x)]2
（3）复合函数的求导
复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数
对中间变量的导数，乘以中间变量对自 变量的导数 ，即
y'x y'u u'x
C1 : y x 3 x ( x3 x) x1 (3x2 1) x1 4
两曲线在点P处有公切线，所以 ( x2 bx c) x1 (2x b) x1 2 b 4
b 2 从而c 1
求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0 的最短距离
习题课
忆一忆 （1）导数的运算法则
1.[ f ( x) g( x)]' f '( x) g'( x) 2.[ f ( x) g( x)]' f '( x)g( x) f ( x)g'( x)
轮流求导之和
3.

f (x)
g(
x)


f '( x)g( x) f ( x)g'( x) [g( x)]2
2:求下列函数的导数：
(1) y (2x 1)5 (23) y sin2 (2x )
3
(3) y sin(ln x2 1)
问题引导下的再学习1
求函数 y sin(ln x2 1)的导数
解 书写格式二
'
sin(ln x2 1 cosln cosln
cos ln
变式1：求过点A的切线方程？
课堂训练与检测
2.已知两曲线C1 : y x3 aห้องสมุดไป่ตู้和C2 : y x2 bx c都经 过点P(1,2),且在点P有公切线，求实数a,b, c的值.
解：根据题意有：1 a 2 a 1,b c 1 1 b c 2
思考？应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
当2 x 3时，f '( x) 0; 当x 3或x 2时，f '( x) 0; 当x 3或x 2时，f '( x) 0.
试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。
yA y f (x)
B
o 2 3x
预习：函数的单调性与导数
取次大原则
x2 1 (ln x2 1)'
x2 1
1
( x2 1)'
x2 1
x2 1 1 1 2x x2 1 2 x2 1
2. 求y的导数 y f 2x f x2 f 2 x
解： y' [ f (2x )]' [ f (x2 )]' f 2 (x) f (x2 ) [ f 2 (x)]'