导数的习题课(上课用)
导数的四则运算法则(习题课)
第三章《变化率与导数》 §4.3 导数四则运算法则的应用 （习题课）
石泉中学：张艳琴
知识回顾 一、求函数的导数 f ( x) 的步骤是怎样的?
'
(1)求函数的增量y f ( x x) f ( x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f ( x x) f ( x) ; x x
点拨精讲
类型一 求函数的导数
例 1：求下列函数的导数：
y x (ln x sin x ) （1） ； cos x x y 2 x (2) .
2
当堂检测
1．求下列函数的导数 （1） y sin x 3x x ；
2
（2） y x sin x x
2、课本75页练习 第1题
点拨精讲
类型二 求函数在某一点的导数值
例2、求下列个函数在给定 点的导数值： （ 1）y x 2 x x 2, x 2, x 1;
3 2
（2）y sin x cos x, x 0, x
4
.
当堂检测
课本76页
A组
5 （3 ）
点拨精讲
类型三 求函数的解析式
例 3．求分别满足下列条件的函数 f ( x) 的解析式。 （ 1 ） f ( x) 是三次函数，且 f (0) 3 ， f (0) 0 ， f (1) 3 ， f (2) 0 ； 2 f ( x ) x （2） 是一次函数，且 f (x) (2x 1) f (x) 1；
y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
一“差”，二“比”，三“极限”
二、导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度
导数的应用习题课
所确定， 【例2】设可微函数 y = f ( x ) 由方程3 x 3 + y 3 4 x + y = 0 所确定， 】 的单调区间。 试确定此函数 y = f ( x ) 的单调区间。 求导， 解: 在方程两边对 x 求导，得 9 x 2 + 3 y 2 y′ 4 + y′ = 0 ，即
ln sin x 【例2】计算 lim 】 2 π x → (π 2 x )
2
解：
ln sin x lim 2 π x → (π 2 x )
2
cos x = lim π x → sin x [ 4(π 2 x )]
2
1 cos x = lim 4 x→π π 2 x
2
（
型）
1 1 sin x = lim = π 4 x→ 2 8
f ( x ) 在 [a , b]上连续 在 ( a , b ) 内可导 则至少存在一ξ ∈ ( a , b ), 上连续, 内可导,
使
f ( b ) f ( a ) = f ′(ξ )(b a ).
二、判别
的方法
若 f ′( x ) ≡ 0 ，则 f ( x) ≡ C
三、两个定理之间的内在联系
凹弧与凸弧的分界点 ( x 0 , f ( x 0 )) 。
3．函数凹凸性的判别 ．
f ′′( x ) > 0 凹 ；f ′′( x ) > 0 凸。
三、函数极值的充分条件
1．第一充分条件 ．
（1）若 x ∈ ( x 0 δ , x 0 ) 时，f ′( x ) > 0 ） 而 x ∈ ( x 0 , x 0 + δ ) 时，f ′( x ) < 0 处取得极大值； 则 f ( x ) 在 x 0 处取得极大值；
5.2导数的运算习题课
数列
的前n项和为S n _________.
n 1
解答
1. ′ = 3 2 − 2
= ′
=1
=3−2=1
= 450
题型七 切线问题
解答
2. ′ = −1 1 − −
= −1 1 − − = − + 1 −1
习题
1.若函数 y f ( x) 在区间 ( a, b) 内可导，且 x0 ( a, b) 则 lim
h 0
（
f ( x0 h) f ( x0 h)
的值为
h
）
'
B． 2 f ( x0 )
'
A． f ( x0 )
'
2.若 f ( x0 ) 3 ，则 lim
h 0
A. 3
x
x
x ln 2
f
x
sin
x
,
f
x
f
x
,
f
x
f
x
,
，
f
x
f
2. 若 0
， 则
1
0
2
1
n 1
n x , n N
f 2005 x
题型四 基本函数的求导公式
解答
1.
C
3
′
+
1 ′
=1−
1
2
错误
= 3 ln 3 错误
导数计算习题课
求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合 理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个 变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接求导,就不必再 选中间变量.
例题选讲
例1:求下列函数的导数:
(1) y (2x 1)5
1 (2) y (1 3x)4
回顾与总结
3.复合函数的求导法则: 复合函数 对于两个函数 y f (u) 和 u g(x) ,如果
通过变量 u, y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函 数 y f (u) 和 u g(x) 的复合函数,记作 y f (g(x))
复合函数 y f (g(x)) 的导数为 yx ' yu 'ux ' , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的积.
(3) y (1 sin2 x)4
解：（1）设y=u5,u=2x+1,则:
yx yu ux (u5 )u (2x 1)x 5u4 2 5(2x 1)4 2 10(2x 1)4 .
解: （2）设y=u-4,u=1-3x,则:
yx
yu
ux
(u4 )u
(1 3x)x
4u5
证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直即可.
联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨
证明过P点的两条切线互相垂直.
由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得 y x2 5, y x ,
k1
y
|x3
3; 2
同理由4x2+9y2=72得
y
x2 5
8 4 x2 , y 4x ;
1 x2
1.2导数的计算(4课时)
作业： P18习题1.2A组：1.
1.2
导数的计算
1.2.2 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则 第一课时
问题提出 1.如何求函数f(x)的导数？
y= 2.函数y＝c，y=x，y=x2，
，
f (x + Vx ) - f (x ) f¢ (x ) = lim Vx ® 0 Vx 1
x 的导数分别是什么？.
思考3：若y＝c表示路程关于时间的函数， 则y′＝0的物理意义如何解释？
物体的瞬时速度始终为0，即物体处于静 止状态.
探究（二）：函数y＝f(x)＝x的导数 思考1：函数f(x)＝x的图象是什么？相 对于x的函数值增量△y等于什么？ y y ＝x
v= h(0.5) - h(0) = 4.05(m / s ) 0.5 - 0
f¢ (x ) = k
思考5：函数f(x)＝kx(k≠0)的图象是什 么？其导数表示什么？ y＝kx的图象是过原点的一条直线
f¢ (x ) = k 表示直线y＝kx的斜率.
思考6：函数f(x)＝kx(k≠0)增(减)的快 慢与k的取值有什么关系？ k＞0时，k越大，f(x)增加得越快； k＜0时，k越大，f(x)减少得越慢.
= ln x 的
导数是什么？
1 (loga x )¢= x ln a
1 (ln x )¢= x
探究（二）：导数的四则运算法则
[f (x ) + g(x )]¢ (x ) + g (x ) 相等吗？ 思考1： 与 fⅱ 为什么？
[f (x ) + g(x )]ⅱ = f (x ) + g (x )
(x ), g (x ) 有什么关 [f (x ) - g(x )]¢与 f ⅱ 思考2： 系？ [f (x ) - g(x )]ⅱ = f (x ) - g (x )
1.2导数计算习题课
第一章 1.2
导数及其应用 导数的计算 习题课
回顾与总结
1.常见函数的导数公式 常见函数的导数公式. 常见函数的导数公式
为常数) (C )′ = 0 (C 为常数) 为有理数) ( x n )′ = nx n−1 ( n 为有理数) (sin x )′ = cos x (cos x )′ = －sin x (a x )′ = a x ln a (a > 0，a ≠ 1) 特殊地 (e x )′ = e x 1 1 (log a x )′ = log a e = (a > 0, a ≠ 1) 且 x x ln a 1 特殊地 (ln x )′ = x
2 ∴k2 = y′ |x=3 = − . 3 因为k 所以两条切线互相垂直.从而命题成立 因为 1k2=-1,所以两条切线互相垂直 从而命题成立 所以两条切线互相垂直 从而命题成立.
9 8 − x2 9
利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下: 利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下 圆锥曲线的切线方程如下 (1)过圆 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点 0(x0,y0)的切线方程是 上一点P 的切线方程是: 过圆 的切线方程是 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
2 3 2 3
说明:在对法则的运用熟练后 就不必再写中间步骤 说明 在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤 在对法则的运用熟练后 就不必再写中间步骤.
y′ = 4(1 + sin x) （1+ sin x） ⋅ x
2 3 2 ’
= 4(1 + sin2 x)3 ⋅ 2sin x ⋅ cos x = 4sin 2x ⋅ (1 + sin2 x)3 .
导数的应用习题课课件
例4: 如图,在二次函数f(x)=
4x-x2的图象与x轴所
y
围成的图形中有一个
内接矩形ABCD,求这
个矩形的最大面积.
解:设B(x,0)(0<x<2), 则
x
A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
2
3
f ( )
3
33 8
,又f(0)=f(π)=0,[
f ( )]max
33 8
.
故当 x 3 , y
2
3 4
时,
( xy)max
33 8
.
例6:证明不等式: ln x 1 1 ( x 1)2 1 2 (1 x)3( x 0).
x2
3
证:设
f
(x)
ln
x
1 x
1 2
(x
1)2
解:函数的定义域为(,0) (0,1) (1,).
当x<0或x>1时, f (x) x x 1 2x2 2x 1 .
x 1 x x(x 1)
f ( x)
2x 1 x2( x 1)2
.
故当x<0时,
f (x) 0;当x>1时, f (x) 0.
当0<x<1时,
f (x)
2x2 2x 1 ,
设 x 1 cos , y 1 sin ,由x,y为正实数得: 0 .
xy
1
(1
2
cosBiblioteka ) s in.2
设 f ( ) 1 (1 cos )sin .
导数及其应用习题课课件
2)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近f’(x)<0，在a 右 侧附近f’(x)>0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值.
注：导数等于零的点不一定是极值点． 函数的最大（小）值与导数
2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 线,则它必有最大值和最小值.
f(x1)
y f(x3)
f(b)
a
x2
x1
0
x3
x4 bx
2022/10/18
f(a)
f(x2)
函数的最大值与最小值：
1．定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间 (或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数值 叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小值 记为m.
考向 1 判断或证明函数的单调性
(2)已知函数 f(x)＝x2＋x b，其中 b∈R.
①若 x＝－1 是 f(x)的一个极值点，求 b 的值；
②求 f(x)的单调区间．
【解析】 (1)由 f(x)＝x·ex－ex＋1，得 f′(x)＝(x＋1－e)·ex，令 f(x)>0，解得 x>e－1，所以函数 f(x)的单调递增区间是(e－1，＋∞)．
所以 G(x)max＝－176(此时 x＝4)，所以 a≥－176. 当 a＝－176时，h′(x)＝1x＋176x－2＝16＋71x62x－32x ＝7x－146xx－4，∵x∈[1,4]， ∴h′(x)＝7x－146xx－4≤0. 即 h(x)在[1,4]上为减函数． 故实数 a 的取值范围是 a≥－176.
————|规律方法|————————————————————————— 根据函数单调性求参数的一般思路
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则习题课 PPT
2．对导数的运算法则的理解： (1)两个函数和(或差)的函数的求导法则 设 函 数 f(x) ， g(x) 是 可 导 的 ， 则 [f(x)±g(x)]′ ＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个 函数的导数的和(或差)． (2)两个函数积的函数的求导法则 设函数f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x) ＋f(x)g′(x)．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导 数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的 导数．
第一章 导数及其应用
5．已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋ 1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．
解：由f(2x＋1)＝4g(x)，得 4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d，
于是有aa＋＋2b＝＋21c＝，4d.
第一章 导数及其应用
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错；②③④
均正确，直接利用公式即可验证．
答案：D
第一章 导数及其应用
2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：y′|x＝2＝n·2n－1＝12，解得n＝3. 答案：C
第一章 导数及其应用
第一章 导数及其应用
练 3 在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，求斜率 最小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当x＝－1时， 切 线 的 斜 率 最 小 ， 最 小 斜 率 为 3 ， 此 时 ， y ＝ ( － 1)3 ＋ 3×( － 1)2 ＋ 6×( － 1) － 10 ＝ － 14 ， 切 点 为 ( － 1 ， － 14)．∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.
《导数习题课》课件
复合函数的导数是通过对中间变量求导，然后将结果代入到外层函数中求导得 到的。掌握复合函数的导数可以帮助我们解决一些复杂的函数问题，如求极值 、判断单调性等。
隐函数的导数
总结词
掌握隐函数的导数是解决隐函数问题 的关键。
详细描述
隐函数的导数是通过对等式两边同时 求导，然后解出对x的导数得到的。掌 握隐函数的导数可以帮助我们解决一 些涉及多个变量的问题，如求最值、 判断曲线的形状等。
THANKS
感谢观看
总结词
导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等性质 。
详细描述
导数具有一系列重要的性质，包括连续性、可加性、可 乘性和链式法则等。连续性是指函数在某一点的导数等 于该点附近的极限值；可加性是指函数在两点之间的导 数等于两端点导数的和；可乘性是指函数与常数的乘积 的导数等于该常数与函数导数的乘积；链式法则是指复 合函数的导数等于复合函数内部函数的导数与外部函数 的导数的乘积。这些性质在研究函数的单调性、极值和 曲线的拐点等方面具有广泛应用。
导数与函数的最值的综合题
总结词
这类题目通常涉及到利用导 数研究函数的极值和最值，
解决最优化问题。
详细描述
这类题目要求熟练掌握导数 的计算方法和函数的极值判 定，能够利用导数研究函数 的极值和最值，解决最优化
问题。
示例
设函数$f(x) = x^{3} ax^{2} + bx$，若$f(x)$在$( - infty,0)$和$(2, + infty)$上 单调递增，在$(0,2)$上单调 递减，且$f(x)$在$x = 2$处 取得极小值，求$a,b$的值及 $f(x)$的最小值。
导数与函数的零点的综合题
总结词
函数的最大(小)值与导数(上课用)
[解析] 存在． 显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax. 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去)． (1)当a>0时，x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如 下表：
2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是 m,若M=m,则f (x) ( A )
A.等于0 B.大于0 C.小于0
D.以上都有可能
堂上练习
3.函数y 1 x4 1 x3 1 x2,在-1,1上最小值为 A
432
A.0 B. 2 C. 1
D. 13 12
4.函数y 2x x2 的最大值为( A ) x 1
A. 3
B.1 C. 1
D. 3
3
2
2
堂上练习
5. 函 数 y=2x3 － 3x2 － 12x+5 在 ［ 0 ， 3 ］ 上 的 最 小 值 是
______-_1_5___.
6.函数 f (x)=sin2x－x在［－
2
,
最小值为_____2__.
2 ］上的最大值为___2__；
7.将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分
aa
成___2___和__2____.
课外练习：
例练习题12：：已知函数f (x) 2x3 6x2 a在2，2上有最小值 37 1求实数a的值； 2求f (x)在2，2上的最大值。
解:(1）f (x) 6x2 12x 令f (x) 0解得x 0或x 2
导数的计算习题课 ppt课件
如:由函数 y sin 和 2x 复合得函数 y sin(2x) ;
由函数 y ln 和 x 2 复合得函数 y ln( x 2) ;
事实上,有许多常见函数可以看成是由一些简单函数复合而来的.
导数的计算习题课
导数的计算(习题课)
熟悉求导公式及法则
练习1
复合函数
复合函数求导法则
练习2
补充练习及作业
附:二次曲线的切线替换法则
证明二次曲线的切线替换法则
导数的计算习题课
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
导数概念是因为求切线的斜率等问题而提出来的，它的提
出是因为研究问题时经常要用到瞬时变化率.一旦提出很快发
现它不仅是一个工具而且是一个相当好的工具，它的应用相当
广阔，这在以后的学习中将会逐渐体会到.
补充练习:
1.垂直于直线 2x 6 y 1 0 且与曲线 y x3 3x2 1
相切的直线方程为__3__x____y____2__. 0
只要将方程中的
x2
换成
x0 x
,
y2
换成
y0
y
,
x
换成
x0
2
x
代替,
y 换成 y0 y , xy 换成 x0 y xy0 .(都有取“一半”来“替换”之意)
2
2
即曲线 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 在点 P( x0, y0 ) 处的切线
高等数学课件第二章导数的计算 习题课ppt
lim
3a
x1 x 1
f (1)
lim
x1
f ( x) f (1)
3 x 1 1
lim
Hale Waihona Puke x1x1 x 1 3
3a 1 , 3
f (1) 1
3
a 1, b 8.
9
9
当x 1时,
f
( x)
1 (
x3
8 )
1
x2;
9 93
当x 1时, f ( x) (3 x ) 1 .
33 x2
又 f 0 e ，证明 f x在 , 内处处可导．
解： 取 x y 0 代入恒等式，得 f 0 2 f 0 ，
因此 f 0 0 ．
f x lim f x x f x
x 0
x
lim e x f x ex f x f x
x0
x
ex f
lim
0
x
f
0
f
x ex
1
x0
例3.
解:
1
x
2 3
3
所以 y x0 , 即在原点处有垂直切线.
令 1 1 1, 3 3 x2 3
得 x 1, 对应 y 1,
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与已知直线平行. 平行的切线方程分别为
y
x 31y
20 y3
x
1
x
3
y
2
0O 1
y
1 1
x
x 1
3
例4.
f
二
阶
可
导, 求
u v
uv uv v2
(v
0) ．
复合函数的导数: 设函数 y f (u),均u 可导( ,x)
【教案】导数的运算习题课(第4课时)教学设计-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
第五章一元函数的导数及其应用《5. 2导数的运算》教学设计习题课1．理解基本初等函数的导数公式，掌握导数的四则运算法则，会求简单函数的导数．2．理解复合函数的求导法则，能求简单的复合函数的导数．教学重点：求简单函数的导数教学难点：求简单复合函数的导数PPT课件．【新课导入】问题1：你能画出本节的知识结构图吗？师生活动：学生思考后画出结构图并展示，教师完善．预设的答案：设计意图：通过画本节知识结构，让学生对本节知识有个系统的认识，进一步搭建本节学习内容的框架．◆教学过程◆课前准备◆教学重难点◆◆教学目标问题2：你能说出本节的主要知识吗？ 师生活动：学生回顾并回答，教师完善． 预设的答案：（1）基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式1. 若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2. 若()(f x x αα=∈Q ，且0)α≠，则1()f x x αα-='；3. 若()sin f x x =，则()cos f x x ='；4. 若()cos f x x =，则()sin f x x '=-；5. 若()(0x f x a a =>，且1)a ≠，则()ln x f x a a ='； 特别地，若()e x f x =，则()e x f x '=；6. 若()log (0a f x x a =>，且1)a ≠，则1()ln f x x a='； 特别地，若()ln f x x =，则1()f x x'=； （2）导数的四则运算法则[()()]()()f x g x f x g x +='+''；[()()]()()f x g x f x g x -='-''；[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x ''='+；2()()()()()(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤-''=≠⎢⎥⎣⎦. 特别地[()]()cf x cf x '='. （3）复合函数的求导法则一般地，对于由函数y ＝f (u )，u ＝g (x )复合而成的函数y ＝f (g (x ))，它的导数与y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅．设计意图：通过复习本节主要知识内容，让学生对本节知识有个更为系统的理解和掌握，为正确求解函数的导数打下坚实的基础．【巩固练习】例1 求下列函数的导数．（1）sincos 22x xy x =-⋅；（2）cos y x x =； （3）sin 2cos 2y x x =-． 师生活动：学生完成，教师完善．预设的答案：（1）∵1sin cos sin 222x x y x x x=-⋅=-，∴1cos 2y x '=-． （2）∵()1sin cos cos cos 2x x x x x x x x y xx '-⋅-⋅''⋅'===∴2y x x'=.（3）2cos 22sin 222)4y x x x π'=+=-．设计意图：通过该题，让学生进一步熟悉利用导数公式、导数的四则运算法则以及复数函数的导数求解．发展学生的数学运算素养．方法总结：（1）先化简y ，然后根据基本初等函数的导数公式以及导数的减法法则求解出y '； （2）根据基本初等函数的导数公式以及导数的除法法则求解出y '.（3）先根据复合函数的求导法则求解出y '，然后再利用辅助角公式化简得到结果.其中（3）的答案也可以为22)4y x π'=+．例2已知函数f(x)=−12x 2+2xf ′(2021)+2021lnx ，则f ′(2021)= ________. 2020师生活动：学生分组讨论，派代表发言，教师完善． 预设的答案：∵f(x)=−12x 2+2xf ′(2021)+2021lnx ， ∴f ′(x)=−x +2f ′(2021)+2021x ，∴f ′(2021)=−2021+2f ′(2021)+1，∴f ′(2021)=2020． 故答案为2020．设计意图：通过该题，进一步熟悉导数公式及导数的四则运算法则，需要注意f ′(2021)是常数．例3 记f ′(x)、g ′(x)分别为函数f(x)、g(x)的导函数，把同时满足f(x 0)=g(x 0)和f ′(x 0)=g ′(x 0)的x 0叫做f(x)与g(x)的“Q 点”.（1）求f(x)=2x 与g(x)=x 2−2x +4的“Q 点”； （2）若21()2f x ax =+与g(x)=lnx 存在“Q 点”，求实数a 的值. 师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答．教师完善．预设的答案：因为f ′(x)=2,g ′(x)=2x −2， 设x 0为函数f(x)与g(x)的一个“ Q ”点.由f(x 0)=g(x 0)且f ′(x 0)=g ′(x 0)得20000224222x x x x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩，解得x 0=2 .所以函数f(x)与g(x)的“ Q ”点是2. （2）解：因为f ′(x)=2ax ，1()g x x'=， 设x 0为函数f(x)与g(x)的一个“ Q ”点.由f(x 0)=g(x 0)且f ′(x 0)=g ′(x 0)得000201ln 212a a x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②，由②得0212a x =，代入①得lnx 0=1，所以x 0=e .所以221a e=.设计意图：通过该题，进一步熟悉导数公式及导数的四则运算法则，让学生学会处理新定义问题．发展学生的数学运算、数学抽象以及逻辑推理素养． 例4（1）函数()()1sin f x x x =+的导数为()f x '，求2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭； （2）设l 是函数1y x=图象的一条切线，证明:l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．师生活动：学生自主分析，派代表板演，教师完善． 预设的答案：（1）()()1sin f x x x =+，则()()1sin f x x x ''=+⎡⎤⎣⎦()()1sin 1sin cos 1sin x x x x x x x ''=+++=++，所以cos 1sin 22222f ππππ⎛⎫'=++=⎪⎝⎭； （2）设切点为001,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，∵1y x =，21y x'∴=-，∴切线l 的斜率201k x =-，∴切线l 的方程为：()020011y x x x x -=--， 令0x =，得02y x =， 令0y =，得02x x =，所以l 与坐标轴所围成的三角形的面积0012222S x x =⋅⋅=， 因此l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．设计意图：通过该题，进一步熟悉导数公式、导数的四则运算法则以及导数的几何意义．发展学生的数学运算、数学抽象以及逻辑推理素养．方法总结：涉及到曲线的切线问题，一般设出切点坐标，利用切点在曲线上以及切线的斜率为函数在该点处的导数列式求解． 练习：教科书P 81 习题5.2 6、7设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1． 板书设计：5. 2导数的运算（习题课）巩固练习 例1例22．总结概括：导数公式、导数的四则运算法则、简单复合函数的求导法则 师生活动：学生总结，老师适当补充．3．课堂作业：教科书P 81 习题5.2 8、9、10、11【目标检测设计】1．已知f x x e =+，则()0f =（）A ．0B ．4-C ．2-D ．1设计意图：进一步巩固利用导数公式及导数的四则运算法则求导数值． 2．下列求导结果正确的是（）A ．()21224x x '⎡⎤-=-⎣⎦B ．cos sin 55ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()1ln 33x x'⎡⎤=⎣⎦D ．()cos cos sin x x x x x '⋅=-设计意图：进一步巩固导数公式、导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则． 3．若函数f (x )满足321()(1)3f x x f x x '=--，则(1)f '的值为( ) A ．1B ．2C ．0D ．－1设计意图：进一步巩固利用导数公式及导数的四则运算法则，注意1的导数是常数． 4．函数ln 1xy x =+的图象在点()1,0P 处的切线方程为______. 设计意图：进一步巩固利用导数公式、导数的四则运算法则以及导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 参考答案：1．D 由题意，得()2xf x x e =+'，则()01f '=，故选D ．2．D 对于A 选项，()()221244184x x x x ''⎡⎤-=-+=-⎣⎦，A 选项错误；对于B 选项，cos05π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 选项错误；对于C 选项，()()1ln 3ln 3ln x x x''⎡⎤=+=⎣⎦，C 选项错误； 对于D 选项，()()cos cos cos cos sin x x x x x x x x x '''⋅=+⋅=-，D 选项正确. 故选D.3．C 依题意2()2(1)1f x x f x ''=--，令1x =得()()11211f f ''=--，解得(1)0f '=，故选C.4．210x y --=∵()211ln 1x x y x +-'=+，∴112x y ='=， 所以切线为：()112y x =-， 即：210x y --=.故填210x y --=．。
导数的基本公式及运算法则习题课
(3)令 u＝lnx，则 y＝lnu， ∴y′x＝y′u·u′x ＝1u·1x＝xl1nx. (4)令 u＝2x2＋1，则 y＝eu， ∴y′x＝y′u·u′x＝eu·4x ＝4x·e2x2＋1.
例2 求下列函数的导数． (1)y＝(x2－4)2； (2)y＝log2(2x2＋3x＋1)； (3)y＝esin(ax＋b) 分析 先将复合函数分解，找出中间变量，然后按复合 函数求导公式y′＝y′u·u′x进行求导．
gf((xx))f(x)g(xg)(x)f2(x)g(x)(g(x)0)
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4) ， (5cos x) = 5(cos x) ，又(x4) = 4x3，
(cos x) = - sin x，(ex) = ex，(1) = 0，
故f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) = (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1) = 12x3 - ex - 5sin x . f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1
公 式 6 : (e x ) ' e x ;
公 式 7 : (lo g a x ) '
1
(a 0 , 且 a 1);
x ln a
公 式 8 : (ln x ) ' 1 ; x
需要使用导数的运算法则求导:
f(x)g(x)f(x)g(x)
f(x)•g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)
推论 1 (cu(x)) = cu (x) (c 为常数).
20XX
感谢观赏 求简单复合函数f(ax＋b)的导数
求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复
导数的应用习题课教学教材
导数应用的知识网络结构图：
x2 2x x 0
例1:讨论函数 f(x) =
的单调性.
- x2 2x x 0来自例2:已知函数f(x)=x3+3x2, 若f(x)在区间[m,m+1]
x 上单调递增,求m的取值范围.
例3:(证明不等式):当0<x< 2
时,求证t:anx x
2
3
例4、已知函数y=ax与y=-b/x在（0，+∞）上都
x x 是减函数，试确定函数 ya 3b 25 的
单调区间。(求解含有字母的参数问题)
例:有甲,乙两工厂,甲厂位于河岸的岸边 A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离 河岸40km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A 相距50km两厂要在此边合建一个供水站C 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别 为每千米3a和5a元,问供水站C建在岸边 何处才能使水管费用最省.
内接矩形ABCD,求这
x
个矩形的最大面积.
•B
A•
C•
D
作业：P34 B 组
1（3）（4）
练习1:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3与x=1处都
取得极值.
(1)求a、b的值;
(2)若x∈[-1,2]时,不等式f(x)<c2恒成立,求c的取
值范围.
y
2: 如图,在二次函数f(x)=
4x-x2的图象与x轴所
围成的图形中有一个
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1.求下列函数的导数
（1）
y
x(
x
2
1 x
1 x3
)
预习检测
y
3x2
2 x3
(2) y 1 1 1 x 1 x
2 y' (1 x)2
（3）y (x 1)(x 2)(x 3)
y 3x2 12x 11.
学习目标
1、进一步熟悉复合函数的求导法则。 2、进一步熟悉两个函数的和、差、积、 商的求导法则及几何意义的应用。
3：若可导函数f(x)是奇函数，求证：其 导函数f′(x)是偶函数.
证明：因为y=f（x）是奇函数 所以 f（x )= -f(-x)两边同时对x求导可得
f′(x）=-[-f′(-x）] = f′(-x)
课堂训练与检测
（1）已知函数f(x)是偶函数，f(x)可导，求证：f′(x) 为奇函数．
（2）已知函数y=f(x)是可导的周期函数，试求证其导函 数y=f′(x)也为周期函数.
证明：（1）由于f(x)是偶函数，故f(－x)＝f(x)．
对f(－x)＝f(x)两边取x的导数，则f′(－x)·(－x)′＝f′(x)，即
f′(－x)＝－f′(x)．因此f′(x)为奇函数．
证明：（2）设f(x)是一个以T为周期的函数， 则有： f(x)=f(x+T) 两边同时求导， 则有 f'(x)=f'(x+T) 可知f(x)的导函数仍然是周期函数。
已知抛物线C1：y x2 再2学x和习C22：y x2 a.若
直线l同时是C1和C2的切线，则称l是C1和C2的公切
线.问：当a取什么值时，C1和C2有且仅8 有一条公切
线？写出这个公切线的方程. 如图，C1,C2在P点和公切线相切， 设切点横坐标为x.则有：
6 y x2 2x
一般地， 设函数y＝f（x）， 1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数，
2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
oa
bx
oa
bx
下 课 了 ！
7:用求导的方法求和:
(1)Pn (x) 1 2x 3x2 nxn1(x 1);
思考？应用导数信息确定函数大39;( x) 0; 当x 3或x 2时，f '( x) 0; 当x 3或x 2时，f '( x) 0.
试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。
yA y f (x)
B
o 2 3x
预习：函数的单调性与导数
2:求下列函数的导数：
(1) y (2x 1)5 (23) y sin2 (2x )
3
(3) y sin(ln x2 1)
问题引导下的再学习1
求函数 y sin(ln x2 1)的导数
解 书写格式二
'
sin(ln x2 1 cosln cosln
cos ln
令 u 2x
其中 [ f (2x )]'
令 v x2
[ f (x2 )]'
f ' (u) (2x )' f ' (u)2x ln 2 f ' (v) (x2 )' f '(v) 2x
令 w f (x)
[ f 2 (x)]'
f ' (w) f ' (x) f '(w) f '(x)
C1 : y x 3 x ( x3 x) x1 (3x2 1) x1 4
两曲线在点P处有公切线，所以 ( x2 bx c) x1 (2x b) x1 2 b 4
b 2 从而c 1
求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0 的最短距离
其中g(x) 0
（2）导数的运算法则
推论：
1.[cf ( x)]'
2.
f
1
(
x)
cf '( x)
f '(x) [ f ( x)]2
（3）复合函数的求导
复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数
对中间变量的导数，乘以中间变量对自 变量的导数 ，即
y'x y'u u'x
4
x2 2x x2 a
2 x 2 -15 2 x
-10
-5
x
a
1 2 1 2
P( 1 , 3),k 1 24
公切 线y x 1 4
2
P
5
-2
-4 y x2 a
-6
课堂训练与检测
已知曲线C：y=x3－x+2和点A(1,2)，求在 点A处的切线方程？
习题课
忆一忆 （1）导数的运算法则
1.[ f ( x) g( x)]' f '( x) g'( x) 2.[ f ( x) g( x)]' f '( x)g( x) f ( x)g'( x)
轮流求导之和
3.
f (x)
g(
x)
f '( x)g( x) f ( x)g'( x) [g( x)]2
变式1：求过点A的切线方程？
课堂训练与检测
2.已知两曲线C1 : y x3 ax和C2 : y x2 bx c都经 过点P(1,2),且在点P有公切线，求实数a,b, c的值.
解：根据题意有：1 a 2 a 1,b c 1 1 b c 2
取次大原则
x2 1 (ln x2 1)'
x2 1
1
( x2 1)'
x2 1
x2 1 1 1 2x x2 1 2 x2 1
2. 求y的导数 y f 2x f x2 f 2 x
解： y' [ f (2x )]' [ f (x2 )]' f 2 (x) f (x2 ) [ f 2 (x)]'
解：设曲线在点 px0 y0 处的切线与2x-y+3=0
平行则切点p到直线2x-y+3=0的距离即为
所求
∵ y' 2 2x 1
∴ 2 2 2x0 1
∴ x0 1 ∴切点为（1，0）
∴ dmin
5 5
5
达标教学
这节课你又知道了哪些知识呢？
1、进一步熟悉了复合函数的求导法则。 2、进一步熟悉了两个函数的和、差、积、商的 求导法则及应用。