初中数学方差的几种常见应用

方差的几种常见应用

名师点金：用方差解决实际应用问题，主要是通过计算实际问题中数据的离散程度，从而得出哪个稳定性更好，进行“择优选用”．

工业方面的应用

1．为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时误差的数据(单位：s)如下表：

(1)计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数．

(2)计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差．

(3)根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优．若两种类型的电子钟价格相同，请问：你会买哪种电子钟？为什么？

农业方面的应用

2．王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活率为98%，现已挂果，经济效益初步显现．为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵树的产量如折线统计图所示．

(1)分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；

(2)试通过计算估计，哪片山上的杨梅产量较稳定．

(第2题)

教育科技方面的应用

3．七年级一班和二班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，两个班选手的进球数统计如下表，请根据表中数据回答下列问题．

(1)分别求一班和二班选手进球数的平均数、众数、中位数．

(2)如果要从这两个班中选出一个班代表本年级参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球数团体第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个班？

社会生活方面的应用

4．在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶．如图是其中的甲、乙两段台阶路的示意图．请你用所学过的有关统计知识(平均数、中位数、方差和极差)回答下列问题：

(1)两段台阶路有哪些相同点和不同点？ (2)哪段台阶路走起来更舒服？为什么？

(3)为方便游客行走，需要重新整修上山的小路．对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议．

图中的数字表示每一级台阶的高度(单位：cm )，并且数据15，16，16，14，14，15的

方差s 甲2＝23，数据11，15，18，17，10，19的方差s 乙2＝35

3

.

(第4题)

答案

1．解：(1)甲种电子钟走时误差的平均数是1

10

(1－3－4＋4＋2－2＋2－1－1＋2)＝0(s )，

乙种电子钟走时误差的平均数是

1

10(4－3－1＋2－2＋1－2＋2－2＋1)＝0(s )． (2)s 甲2＝110[(1－0)2＋(－3－0)2＋…＋(2－0)2]＝1

10

×60＝6， s 乙2＝

110[(4－0)2＋(－3－0)2＋…＋(1－0)2]＝1

10

×48＝4.8. (3)我会买乙种电子钟，因为平均走时误差相同，且甲种电子钟走时误差的方差比乙

大，说明乙种电子钟的走时稳定性更好，所以乙种电子钟的质量更优．

2．解：(1)x

甲

＝1

4

(50＋36＋40＋34)＝40(kg )，x 乙

＝1

4

(36＋40＋48＋36)＝40(kg )，估计甲、乙两山杨梅的产量总和为40×100×98%×2＝7 840(kg )．

(2)s 甲2＝1

4

[(50－40)2＋(36－40)2＋(40－40)2＋(34－40)2]＝38，

s 乙2＝1

4[(36－40)2＋(40－40)2＋(48－40)2＋(36－40)2]＝24，所以s 甲2＞s 乙2.

所以乙山上的杨梅产量较稳定． 3．解：(1)一班选手进球数的平均数为1

10

(10×1＋9×1＋8×1＋7×4＋6×0＋5×3)＝7(个)，

二班选手进球数的平均数为

1

10

(10×0＋9×1＋8×2＋7×5＋6×0＋5×2)＝7(个)； 一班投中7个球的有4人，人数最多，故众数为7个， 二班投中7个球的有5人，人数最多，故众数为7个；

一班选手进球数按顺序排第五、第六名同学进7个球，故中位数为7个， 二班选手进球数按顺序排第五、第六名同学进7个球，故中位数为7个． (2)一班选手进球数的方差s 12＝1

10

[(10－7)2＋(9－7)2＋(8－7)2＋4×(7－7)2＋0×(6－7)2＋3×(5－7)2]＝2.6，

二班选手进球数的方差s 22＝

1

10

[0×(10－7)2＋(9－7)2＋2×(8－7)2＋5×(7－7)2＋0×(6－7)2＋2×(5－7)2]＝1.4，

二班选手水平发挥更稳定，如果争取夺得总进球数团体第一名，应该选择二班；

一班前三名选手的成绩突出，分别进10个、9个、8个球，如果要争取个人进球数进入学校前三名，应该选择一班．

4．解：(1)因为x 甲＝1

6

(15＋16＋16＋14＋14＋15)＝15；

x 乙＝1

6

(11＋15＋18＋17＋10＋19)＝15.

甲路段的中位数为15；乙路段的中位数为16.

甲路段极差为16－14＝2；乙路段极差为19－10＝9. s 甲2＝23，s 乙2＝353

.

所以相同点：两段台阶路每一级台阶高度的平均数相同．不同点：两段台阶路每一级

台阶高度的中位数、方差和极差不同．

(2)甲段台阶路走起来更舒服一些，因为它的每一级台阶高度的方差小．

(3)每一级台阶高度均整修为15 cm(原数据的平均数)，使得方差为0，此时游客行走最方便．