信号与系统第七章离散系统的Z域分析

z z a a e (i ) z 1 z a i 0 i
i i
k
k
九、初值定理和终值定理
初值、终值定理适用于右边序列，即适用于k<M(M为 整数)时f (k)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的初 值f (M), f (M+1),…或终值f (∞), ，而不必求得原序列。 初值定理： 如果序列在k<M时，f(k)=0，f(k)←→F(z) ，a<z<=∞, 则
令 z = r e jq、d q = z-1dz/j，有
z = r e jq
F ( z)
f (k ) 1
k


f k z k
F z z k 1dz
双边z变换对
2 j
2、由L－T到Z－T 取样信号： f S (t ) f (t )T (t ) 两边取双边拉普拉斯变换，得
2
z 1
K12
k


f (kTs ) (t kTs )
k
FSb ( s)



f (kT ) e
kTs S
令 z = e S Ts，f (kT) →f (k) ，得 F ( z )

又、序列f(k)的单边z变换
F ( z ) f (k ) z k
k 0
k

f (k ) z k
1 1 1 1 z e (k ) z d z ( )d z ln( ) z z ln( ) 2 z z k 1 1 z 1 ( 1)
) 六、序列除(k+m)(z域积分） f (k ) z m F ( d k m 0 m 1 z k m (k+m )< F ( ) f (k ) d k>0 0 ?? z k 1 z e (k ) 的z变换。 e (k ) 例：求序列 k 1 z 1
三、收敛域:
F ( z)
0<= z =<∞ ⑴ 有限序列 f(k) k ∈[ k1 , k2 ] (k+1)+ (k-2) ←→ Z + Z-2 0< z < ∞ (k) ←→ 1 全z平面 (k+3)←→ Z3 z < ∞ (k)+ (k-2) ←→ 1 + Z-2 0< z ⑵ 右边序列 f(k) k ∈[ k1 , ∞ ] z k k k a e (k ) a z za k 0 a< z =<∞
7.1 z 变换
收敛域问题
一、z 变换的引出
1、由DTFT到Z－T
k
k
f(k) r- k 的DTFT存在


f k r e
k jq k

k


f k [ r e jq ] k F1 e jq
Z 平面 r q
1 jq jq k f k r F e e dq 1 2 2 1 jq jq k f k F e ( r e ) dq 1 2 2
|b|
|b|
Re[z]
jIm[z]
a < z <b ⑷ 双边序列 f(k) k ∈[-∞ , ∞] z z k k a e (k ) b e (k 1) ∣a∣< |z|< |b| z a z b
Hale Waihona Puke |a|o Re[z]
四、常用 z 变换
(k+1) ←→z; (k) ←→1
F2(z)=Z[f(k)e(–k –1)]=
k

1
f (k ) z k
●当已知象函数F(z)时，根据给定的收敛域不难由F(z)求
得F1(z)和F2(z)，并分别求得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)， 将两者相加得原序列f(k)。
●由F1(z)、F2(z)
求f1(k)、f2(k)的方法：
K1 K1* F ( z) z z c jd z c jd
F ( z)
K1 e jq z z ae
jb

K1 e jq z z ae jb
若z> a , f(k)=2K1akcos(bk+q)e(k)，… …
z r 1 (3) F(z)有重极点 r ( z a)
内容提要： 7.1 z 变换
一、z 变换的引出
二、s域与z域的关系 三、收敛域 四、常用 z 变换
7.2 z 变换的性质 7.3 逆z变换 7.4 z 域分析
一、差分方程的变换解 二、系统函数与z域框图
7.5 系统函数零、极点与系统特性
一、系统函数与时域特性 二、系统函数与频域特性 三、系统的因果性与稳定性
（1） a <1，即F(z)的极点均位于单位园内，则 F (e
z 1 e k z 1/ 3 3
k k
jq
) F (z) z e jq
e 1 e k e jq 1/ 3 3
jq
（2） a =1 ，即F(z)的收敛边界为单位园、即、极点在单位园上：
第七章 离散系统的Z域分析
离散频域分析以虚指数信号ej q k为基本信号，任 意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使 响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足： （1）有些重要信号不存在DTFT，如(2)ke(k); （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频 域来解决这些问题。 本章引入复频率 Z = r ej q,以复指数函数 z k为基本 信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之 和。这里用于系统分析的独立变量是复频率 Z ，故称 为Z域分析。所采用的数学工具为Z变换。
幂级数展开法、部分分式展开法和反演积分（留数法）
B( z) bm z m bm1 z m1 ..... b1 z b0 F ( z) n A( z) z an1 z n1 ..... a1 z a0
式中m≤n
（1）F(z)均为单极点，且不为0 n Ki z Kn K1 F ( z) K 0 F ( z ) K .... 0 z z z z1 z zn i 1 z z i z2 例 F ( z) 收敛域：(1) z>2 (2) z<1 (3) 1<z<2 ( z 1)(z 2) 1 z 2 z F ( z) z 13 23 F ( z) z ( z 1)( z 2) z 1 z 2 3 z 1 3 z 2 (1) z>2： (2) z<1 (3) 1<z<2
(k-1) ←→z-1;……
零、极 点分布
e(k) ←→z/(z-1) ←→ - e(- k-1)
z a e k a k e k 1 z a
k
2 2 z z cos b0 z a k a cos(b0 k )e k 2 2 .......... 2 z cos b0 1 z z a a2 z sin b0 k a a sin b0 k e k 2 2 ......... 2 a z z a 2 z cos b0 1
例：已知象函数 解
z3 z2 F ( z) ( z 1) 3
，z>1
K13 K11 K12 F ( z) z 2 z 3 3 2 z z 1 ( z 1) ( z 1) ( z 1)
3 z 1
F ( z) K 11 ( z 1) z
1 d2 K13 2 d z2
z e k z 1
k
而 e k DTFT ?
（3） a >1 ，F(z) 有位于单位园外的极点，此时 例
z 3 e k z 3
F (e )不存在。
jq
, |z|> 3 ；而其DTFT不存在。
7.2 z 变换的性质
一、线性 二、移位（移序）特性 双边z变换的移位： 单边z变换的移位： f(km) ←→ zmF(z), a<z<b f(k-1) ←→ z-1F(z) + f(-1) f(k-2) ←→ z-2F(z) + f(-2) + f(-1)z-1 f(k+1) ←→ zF(z) – f(0)z f(k+2) ←→ z2F(z) – f(0)z2 – f(1)z
∣a∣<
jIm[z]
k


f k z k
k


f (k ) z k
z
|a|
o Re[z]
⑶ 左边序列 f(k) k ∈[-∞ , k2]
k 1 1 k
0<= z <b
o
jIm[z]
z b e (k 1) (bz ) |z|< |b| z b k
az k ka e k ka e k 1 2 (z a )
k
五、ZT & DTFT
设f(k) 为因果序列、则
jq
求和收敛
jq k
F (e ) f k e
k 0
F (z) z e jq
|z|> a
由收敛坐标a的值（F(z)的极点位置）：
1 2 k k f (k ) [ (1) (2) ]e (k ) 3 3
1 2 f (k ) [ (1) k (2) k ]e (k 1) 3 3
1 2 k k f (k ) (1) e (k ) (2) e (k 1) 3 3
(2) F(z)有共轭单极点 如z1,2 = c jd = ae jb, 则 令K1=K1ejq