高考数学《概率与统计》专项练习(选择填空题含答案)

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概率与统计(选择、填空题)(理科专用)(解析版)-五年(18-22)高考数学真题分项汇编(全国通用)

专题15概率与统计（选择题、填空题）（理科专用）1．【2022年全国乙卷】某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1,2,3，且3>2>1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘甲的概率丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为甲则甲=2(1−2)13+221(1−3)=21(2+3)−4123记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为乙则乙=2(1−1)23+212(1−3)=22(1+3)−4123记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为丙则丙=2(1−1)32+213(1−2)=23(1+2)−4123则甲−乙=21(2+3)−4123−22(1+3)−4123=21−23<0乙−丙=22(1+3)−4123−23(1+2)−4123=22−31<0即甲<乙，乙<丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D2．【2022年新高考1卷】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．16B．13C．12D．23【答案】D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C 72=21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)，共7种，故所求概率=21−721=23.故选：D.3．【2021年甲卷理科】已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A 72B ．132C D 【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =.故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键.4．【2021年甲卷理科】将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．13B ．25C ．23D ．45【答案】C 【解析】【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+.故选：C.5．【2021年乙卷理科】在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A ．79B ．2332C ．932D ．29【答案】B 【解析】【分析】设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，分别求出,A Ω对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，即图中的阴影部分，其面积为13323124432A S =-⨯⨯=，所以()2332A S P A S Ω==．故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件,A Ω对应的区域面积，即可顺利解出．6．【2021年新高考1卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙丁，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B 【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立7．【2021年新高考2卷】某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D 【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A ，2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误.故选：D.8．【2020年新课标1卷理科】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i = 得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x=+【答案】D 【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.9．【2020年新课标2卷理科】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，9001850=，故至少需要志愿者18名.故选：B 【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.10．【2020年新课标3卷理科】在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65As =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85Bs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05Cs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45Ds =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.11．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%【答案】C 【解析】【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，然后根据积事件的概率公式()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.12．【2019年新课标1卷理科】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．13．【2019年新课标2卷理科】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】A 【解析】【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤ ．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤ ，中位数仍为5x ，∴A 正确．②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++ ，后来平均数234817x x x x x '=+++ （）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦ 由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确．本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.14．【2019年新课标3卷理科】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【答案】C【解析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．15．【2018年新课标1卷理科】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M ，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M ，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.16．【2018年新课标1卷理科】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 3【答案】A 【解析】【分析】首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，然后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p 1，p 2，p 3的关系，从而求得结果.【详解】设,,AC b AB c BC a ===，则有222b c a +=，从而可以求得ABC ∆的面积为112=S bc ，黑色部分的面积为22221()()[()]2222c b a S bc πππ=⋅+⋅-⋅-2221(4442c b a bc π=+-+22211422c b a bc bc π+-=⋅+=，其余部分的面积为22311122282a a S bc bc ππ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，所以有12S S =，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到12p p =，故选A.点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.17．【2018年新课标2卷理科】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．118【答案】C【解析】【详解】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.18．【2018年新课标3卷理科】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【答案】B【解析】【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =- p 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．19．【2021年新高考1卷】有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD20．【2021年新高考2卷】下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（）A ．样本12,,,n x x x 的标准差B ．样本12,,,n x x x 的中位数C ．样本12,,,n x x x 的极差D ．样本12,,,n x x x 的平均数【答案】AC【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.21．【2020年新高考1卷（山东卷）】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵21()log n i i i H X p p ==-∑.（）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n == ，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则H (X )≤H (Y )【答案】AC【解析】【分析】对于A 选项，求得()H X ，由此判断出A 选项；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C 选项，计算出()H X ，利用对数函数的性质可判断出C 选项；对于D 选项，计算出()(),H X H Y ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项.【详解】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-，所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误.对于C 选项，若()11,2,,i p i n n== ，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m = ）.()2222111log log m m i i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅ .()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅+⋅+++⋅+++ 12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++ 由于()01,2,,2i p i m >= ，所以2111i i m i p p p +->+，所以222111log log i i m i p p p +->+，所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.22．【2020年新高考2卷（海南卷）】我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B ．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.23．【2022年全国甲卷】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】635.【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有=C84=70个结果，这4个点在同一个平面的有= 6+6=12个，故所求概率==1270=635．故答案为：635．24．【2022年新高考2卷】已知随机变量X服从正态分布2,2，且o2<≤2.5)=0.36，则o>2.5)=____________．【答案】0.14##750．【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为∼2,2，所以<2=>2=0.5，因此>2.5=>2−2<≤2.5=0.5−0.36=0.14．故答案为：0.14．25．【2019年新课标1卷理科】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18【解析】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．26．【2019年新课标2卷理科】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.【答案】0．98.【解析】【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=．【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．。

高中数学：概率统计专题

高三文科数学：概率与统计专题一、选择题：1．为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量单位：kg分别为x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A．x1,x2,…,x n的平均数B．x1,x2,…,x n的标准差C．x1,x2,…,x n的最大值D．x1,x2,…,x n的中位数2．有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A．13B．12C．23D．343、在一组样本数据x1,y1,x2,y2,…,x n,y n n≥2,x1,x2,…,x n不全相等的散点图中,若所有样本点x i,y i i=1,2,…,n都在直线y=错误!x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为A－1 B0 C错误! D14.如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则3个数构成一组勾股数的概率为A103 B15C110D1205．如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,学科&网则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π46.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是二、填空题：7、从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是_______;8、将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为_____.9．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,制作了对照表：由表中数据得回归直线方程错误!＝错误!x ＋错误!中的错误!＝－2,预测当气温为－4 ℃时,用电量约为________度．三、解答题10.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售;如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理;Ⅰ若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y 单位：元关于当天需求量n 单位：枝,n ∈N 的函数解析式;Ⅱ花店记录了100天玫瑰花的日需求量单位：枝,整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数102016161513101假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润单位：元的平均数；气温℃ 18 13 10 －1 用电量度243438642若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率;11. 从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表：质量指标值75,85 85,95 95,105 105,115 115,125 分组频数 6 26 38 22 8 I在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：II估计这种产品质量指标值的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；III根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定12. 某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y单位：千元的数据如下表：年份2009201020112012201320142015年份代号t1234567人均纯收入y1求y关于t的线性回归方程；2利用1中的回归方程,分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：错误!＝错误!,错误!＝错误!－错误!错误!.13．某省会城市地铁将于2017年6月开始运营,为此召开了一个价格听证会,拟定价格后又进行了一次调查,随机抽查了50人,他们的收入与态度如下：1若以区间的中点值为该区间内的人均月收入,求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少结果保留2位小数；2由以上统计数据填下面2×2列联表分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．附：K2＝错误!14．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸单位：cm ．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑,0.212s==≈,18.439≈,161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1,2,,16i =⋅⋅⋅．1求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小若||0.25r <,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．2一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查．ⅰ从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查ⅱ在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．精确到附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑,0.09≈．。

人教版高中数学概率与统计专项练习题(含答案)

人教版高中数学概率与统计专项练习题（含答案）考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共8题，每题5分，共40分)1．已知直线x +y +k =0(k >0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A ,B ,O 是坐标原点,且有|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则k 的取值范围是 A.(√3,+∞)B.[√2,+∞)C.[√2,2√2)D.[√3,2√2)2．已知函数f (x )=(2a -1)x -12cos 2x -a (sin x +cos x )在[0,π2]上单调递增,则实数a 的取值范围为A.(-∞,13] B.[13,1] C.[0,+∞) D.[1,+∞)3．已知{a n }是等比数列,数列{b n }满足b n =log 2a n ,n ∈N *,且b 2+b 4=4,则a 3的值为A.1B.2C.4D.164．已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,虚轴的上端点为B ,点P ,Q 在双曲线上,且点M (-2,1)为线段PQ 的中点,PQ ∥BF ,双曲线的离心率为e ,则e 2=A.√2+12B.√3+12C.√2+22D.√5+125．双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆x 2+y 2-2x +15=0相切,则双曲线C 的离心率为A.√52B.√2C.√5D.√1726．已知函数f (x )=-x 2+a2,g (x )=x 2e x -a 2,若对任意的x 1∈[-12,1],存在唯一的x 2∈[-1,1],使得f (x 1)=g (x 2),则实数a 的取值范围是A.[14,e] B.(1+1e ,e]C.(14+1e ,e] D.[1,e]7．已知函数f (x )=(x 2-2x )sin(x -1)+x +1在[-1,3]上的最大值为M ,最小值为m ,则M +m =A.4B.2C.1D.08．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共6题，每题5分，共30分)9．(2x +x-1)5的展开式中常数项是 .10．已知函数f (x )=3sin(x -π3),若f (x 1)-f (x 2)=6,则f (x 1-x 2)的值为 .11．已知不等式ax 2+bx +c ≥0(a ≠0,a <b )对一切实数x 恒成立,当实数a ,b ,c 变化时,a+b+c b-a的最小值为 .12．已知数列{a n }的首项a 1=1,当n ≥2时,满足a n =a 1+12a 2+13a 3+…+1n-1a n-1,则通项a n = .13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 7=S 11,且a 1>0,则S n 最大时n 的值是 .14．(x 2+3x +2)5的展开式中含x 项的系数是 .三、解答题(共6题，共80分)15．设椭圆C :a 2+b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,椭圆的上顶点为点B ,点A 为椭圆C 上一点,且3F 1⃗⃗⃗ +F 1⃗⃗⃗ =0.(1)求椭圆C 的离心率;(2)若b =1,过点F 2的直线交椭圆C 于M ,N 两点,求线段MN 的中点P 的轨迹方程.16．设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N *. (i)求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; (ii)求∑i=12na i c i (n ∈N *).17．已知椭圆C :x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,且|F 1F 2|=4√3,A (√3,-√132)是椭圆上一点.(1)求椭圆C 的标准方程和离心率e 的值;(2)若T 为椭圆C 上异于顶点的任一点,M ,N 分别为椭圆的右顶点和上顶点,直线TM 与y 轴交于点P ,直线TN 与x 轴交于点Q ,求证:|PN |·|QM |为定值.18．11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X 个球该局比赛结束. (1)求P (X =2);(2)求事件“X =4且甲获胜”的概率.19．在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是C上异于长轴端点的动点,∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M .当P 在x 轴上的射影为F 2时,M 恰为OF 2的中点.(1)求C 的方程;(2)过点F2引PF2的垂线交直线l:x=2于点Q,试判断除点P外,直线PQ与C是否有其他公共点?说明理由.20．如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,PA=PD.(1)证明: BC⊥PB;(2)若PA⊥PD,PB=AB,求二面角A-PB-C的余弦值.参考答案1.C【解析】设AB 的中点为D ,则OD ⊥AB ,因为|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤2√3|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2≤12|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2.因为|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4,所以|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2≥1,因为直线x +y +k =0(k >0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A ,B ,所以|OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2<4,所以1≤|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2<4,所以1≤(√2)2<4,因为k >0,所以√2≤k <2√2,所以k 的取值范围是[√2,2√2).【备注】无2.D【解析】本题主要考查函数的单调性与导数、不等式恒成立问题、三角函数的值域,以函数的单调性为载体,借助导数及三角函数,考查化归与转化能力、运算求解能力.因为函数f (x )在[0,π2]上单调递增,所以f '(x )=2a -1+sin 2x -a cos x +a sin x ≥0在[0,π2]上恒成立,即a ≥1-sin2x 2+sinx-cosx在[0,π2]上恒成立.设g (x )=1-sin2x2+sinx-cosx,x ∈[0,π2],则g (x )=(sinx-cosx)22+sinx-cosx ,设sin x -cos x =t ,则y =t 22+t =(t+2)2-4(t+2)+4t+2=t +2+4t+2-4,因为t =√2sin(x -π4),x ∈[0,π2],所以-1≤t ≤1,1≤t +2≤3,所以0≤y ≤1,所以a ≥1,故选D.【备注】【画龙点睛】分离参数是避免分类讨论的主要方法,换元法是化繁为简的主要方法. 3.C【解析】∵{a n }为等比数列,∴{b n }为等差数列,∴b 3=2,log 2a 3=2,∴a 3=4.故选C. 【备注】无 4.A【解析】解法一由题意知F (c ,0),B (0,b ),则k PQ =k BF =-bc .设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则{x 12a 2-y 12b 2=1,x 22a 2-y 22b 2=1,两式相减,得y 1-y 2x 1-x 2=b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2).因为线段PQ 的中点为M (-2,1),所以x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2,又k PQ =y 1-y 2x 1-x 2=-b c ,所以-bc =-4b 22a 2,整理得a 2=2bc ,所以a 4=4b 2c 2=4c 2(c 2-a 2) ,即4e 4-4e 2-1=0,得e 2=√2+12,故选A.解法二由题意知F (c ,0),B (0,b ),则k BF =-bc .设直线PQ 的方程为y -1=k (x +2),即y =kx +2k +1,代入双曲线方程,得(b 2-a 2k 2)x 2-2a 2k (2k +1)x -a 2(2k +1)2-a 2b 2=0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=-4,所以2a 2k(2k+1)b 2-a 2k 2=-4.又k =k BF =-b c,所以2a 2·(-b c)[2·(-b c)+1]=-4b 2+4a 2(-b c )2,整理得a 2=2bc ,所以c 2-b 2-2bc =0,即(c b )2-2cb -1=0,得cb=√2+1,则e 2=c 2a 2=c 2c 2-b 2=(c b )2(cb)2-1=√2+1)2(√2+1)2-1=√2+12,故选A.【备注】无 5.C【解析】本题主要考查双曲线的几何性质、直线与圆的位置关系,考查的学科素养是理性思维,数学探索.不妨取双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =ba x ,即bx -ay =0,化圆x 2+y 2-2x +15=0的方程为标准方程,得(x -1)2+y 2=45,则圆心坐标为(1,0),半径为2√55.由题意可得√a 2+b2=2√55,(直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径)即b 2a 2+b2=45,即c 2-a 2c 2=45,所以c 2=5a 2,(关键点拨:求双曲线的离心率的关键是求出关于a ,c 的关系式)所以双曲线C 的离心率e =ca =√5,故选C.【备注】无 6.B【解析】本题考查函数的值域、单调性和图象等,考查数形结合思想、化归与转化思想,考查考生的运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.由对任意的x 1∈[-12,1],存在唯一的x 2∈[-1,1],使得f (x 1)=g (x 2),可得函数f (x )在[-12,1]上的值域是g (x )在[-1,1]上的值域的某个子集的子集,g (x )值域的这个子集应具备这样的条件,即集合内的任何一个函数值,都对应函数g (x )在[-1,1]上唯一一个自变量的值,再数形结合,即可求解.当x ∈[-12,1]时,f (x )=-x 2+a2的值域是[a 2-1,a2],g'(x )=2x e x +x 2e x =x (x +2)e x ,则g (x )在(-1,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,g (-1)=1e −a2,g (0)=-a 2,g (1)=e-a 2,若对任意的x 1∈[-12,1],存在唯一的x 2∈[-1,1],使得f (x 1)=g (x 2),则{a 2-1>1e -a2,a 2≤e −a 2,所以1+1e <a ≤e,故选B.【备注】【解题关键】由对任意的x 1∈[-12,1],存在唯一的x 2∈[-1,1],使得f (x 1)=g (x 2)成立,正确得到函数f (x )和g (x )值域之间的关系是解决本题的关键. 【易错警示】理解存在唯一的x 2∈[-1,1]和存在x 2∈[-1,1]的不同. 7.A【解析】本题主要考查函数的性质.注意到f (x )=[(x -1)2-1]sin(x -1)+x +1,可令t =x -1,g (t )=(t 2-1)sin t +t ,则y =f (x )=g (t )+2,t ∈[-2,2].显然M =g (t )max +2,m =g (t )min +2.又g (t )为奇函数,则g (t )max +g (t )min =0,所以M +m =4,故选A.【备注】无 8.C【解析】本题主要考查韦恩图的应用与概率问题,考查考生的阅读理解能力,考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数据分析.根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下:所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100=0.7.【备注】无 9.-161【解析】(2x +1x -1)5表示五个(2x +1x -1)相乘,则展开式中的常数项由三种情况产生,第一种是从五个(2x +1x -1)中分别抽取2x ,2x ,1x ,1x ,-1,则此时的常数项为C 52·C 32·22·(-1)=-120;第二种情况是从五个(2x +1x-1)中都抽取-1,则此时的常数项为(-1)5=-1;第三种情况是从五个(2x +1x -1)中分别抽取2x ,1x ,-1,-1,-1,则此时的常数项为C 51·C 41·21·(-1)3=-40,故展开式的常数项为-120-1-40=-161. 【备注】无 10.3√32【解析】本题主要考查诱导公式、三角函数的性质,考查考生的运算求解能力与分析问题、解决问题的能力.利用已知得到f (x 1)=3,f (x 2)=−3,然后解得x 1,x 2,最后利用诱导公式即可求得f (x 1-x 2)的值.由f (x 1)-f (x 2)=6并结合f (x )的解析式得f (x 1)=3,f (x 2)=-3,所以sin(x 1-π3)=1,sin(x 2-π3)=−1,则x 1-π3=2k 1π+π2,k 1∈Z ,x 2-π3=2k 2π-π2,k 2∈Z ,所以x 1-x 2=2(k 1-k 2)π+π,k 1,k 2∈Z .所以f (x 1-x 2)=3sin[2(k 1-k 2)π+π-π3]=3sin π3=3√32.【备注】【素养落地】求解时需将函数的解析式和f (x 1)-f (x 2)=6联系起来,利用三角函数的图象和性质找到解题的突破口,体现逻辑推理、数学运算等核心素养.【解后反思】解决本题的关键是根据f (x 1)-f (x 2)=6并结合三角函数的解析式及图象和性质得到f (x 1)=3,f (x 2)=−3,然后利用诱导公式进行化简求解即可. 11.3【解析】因为不等式ax 2+bx +c ≥0(a ≠0,a <b )对一切实数x 恒成立,所以0<a <b ,对于方程ax 2+bx +c =0,Δ=b 2-4ac ≤0,所以c ≥b 24a ,所以a+b+c b-a≥a+b+b 24ab-a=1+b a +14×(b a )2b a-1.令y =1+b a +14×(b a )2b a-1,t =ba ,则有14×t 2+(1-y )×t +1+y =0 ①,关于t 的方程①的判别式Δ'=(1-y )2-(1+y )≥0,解得y ≥3或y ≤0,由0<a <b ,可得ba >1,所以y >0,所以y ≥3,所以a+b+c b-a的最小值为3.【备注】无12.a n ={1(n =1),n 2(n ≥2).【解析】由题设a n =a 1+12a 2+13a 3+…+1n-1a n-1 (n ≥2),① 可得a n+1=a 1+12a 2+13a 3+…+1n-1a n-1+1n a n ,② 且a 2=a 1=1.②-①得a n+1-a n =1n a n (n ≥2),即a n+1=n+1na n (n ≥2),即a n+1a n=n+1n(n ≥2),所以当n ≥3时,a n =a 1×a2a 1×a3a 2×…×an a n-1=1×11×32×43×…×nn-1=n2,当n =2时,a 2=1=22,满足上式,当n =1时,a 1=1≠12,不满足上式,故所求a n ={1(n =1),n 2(n ≥2).【备注】上述解析中当n ≥3时,等式a n a n-1=nn-1才成立,使用累乘法求得数列通项公式a n 后,不仅需要检验a 1是否满足通项公式,还得检验a 2是否满足通项公式,这一点极易出错.本题也可利用构造法转化为等差数列求通项,把a n+1=n+1na n (n ≥2)化为a n+1n+1-ann =0(n ≥2),得到数列{a nn }是从第2项起公差为0的等差数列,注意首项不满足.13.9【解析】本题主要考查等差数列的前n 项和公式、性质.通解是根据S 7=S 11得7a 1+7×62d =11a 1+11×102d ,即2a 1+17d =0,再结合二次函数的知识判断出前9项和最大;优解是根据S 7=S 11得a 8+a 9+a 10+a 11=0,即可知前9项和最大. 通解设等差数列{a n }的公差为d ,由S 7=S 11可得7a 1+7×62d =11a 1+11×102d ,即2a 1+17d =0,得到d =-217a 1,所以S n =na 1+n(n-1)2d =na 1+n(n-1)2×(-217a 1)=-a117(n-9)2+8117a 1,由a 1>0可知-a117<0.故当n =9时,S n 最大.优解根据S 7=S 11可得a 8+a 9+a 10+a 11=0.由等差数列的性质可得a 9+a 10=0,由a 1>0可知a 9>0,a 10<0.当所有正数项相加时,S n 取得最大值,所以前9项和S 9最大.【备注】无14.240【解析】∵(x 2+3x +2)5=(x +1)5(x +2)5,∴展开式中含x 的项是C 54xC 5525+C 55C 54x 24=240x ,∴展开式中含x 项的系数是240. 【备注】无15.解:(1)设A (x 0,y 0),由题意知B (0,b ),F 1(-c ,0),由3F 1⃗⃗⃗ +F 1⃗⃗⃗ =0得{3x 0+4c =03y 0+b =0⇒{x 0=-4c3y 0=-b 3,即A (-43c ,-b3), 又A (x 0,y 0)在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1上, ∴(-43c)2a 2+(-13b)2b 2=1,得ca =√22,即椭圆C 的离心率为e =√22.(2)由(1)知,e =√22.又b =1,a 2=b 2+c 2,∴a 2=2, ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.当线段MN 在x 轴上时,MN 的中点为坐标原点(0,0).当线段MN 不在x 轴上时,设直线MN 的方程为x =my +1,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 将直线MN 的方程代入椭圆方程x 22+y 2=1中,得(m 2+2)y 2+2my -1=0. ∵点F 2在椭圆内部,∴Δ>0,y 1+y 2=-2mm 2+2,则x 1+x 2=m (y 1+y 2)+2=4m 2+2,∴点P 的坐标(x ,y )满足x =2m 2+2,y =-mm 2+2, 消去m 得,x 2+2y 2-x =0(x ≠0).综上所述,点P 的轨迹方程为x 2+2y 2-x =0.【解析】本题主要考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系,考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力,以及数形结合思想,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.(1)设A (x 0,y 0),由3F 1⃗⃗⃗ +F 1⃗⃗⃗ =0得A (-43c ,-b3),代入椭圆方程,即可得出结果;(2)由题设及(1)得出椭圆方程为x 22+y 2=1,分别讨论线段MN 在x 轴上,线段MN 不在x 轴上的情况,计算即可得出结果.【备注】【方法归纳】求椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率的方法:(1)直接求出a ,c ,求解e ,已知标准方程或a ,c 易求时,可利用离心率公式e =ca 求解;(2)变用公式,整体求e ,如利用e =√c 2a2=√a 2-b 2a 2=√1-b 2a2求解;(3)利用公式的变形e =c a=2c 2a=|F 1F 2||MF 1|+|MF 2|(点M 在椭圆上,F 1,F 2为两焦点)求解;(4)建立a ,b ,c 的齐次关系式,将b 用a ,c 表示,两边同除以a 或a 2化为e 的关系式,进而求解.16.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q .依题意得{6q =6+2d,6q 2=12+4d,解得{d =3,q =2,故a n =4+(n-1)×3=3n+1,b n =6×2n-1=3×2n . 所以,{a n }的通项公式为a n =3n+1,{b n }的通项公式为b n =3×2n . (2)(i)a 2n (c 2n -1)=a 2n (b n -1)=(3×2n +1)(3×2n -1)=9×4n -1. 所以,数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式为a 2n (c 2n -1)=9×4n -1. (ii)∑i=12na i c i =∑i=12n[a i +a i (c i -1)] =∑i=12na i +∑i=1n a 2i (c 2i -1)=[2n×4+2n (2n -1)2×3]+∑i=1n(9×4i -1)=(3×22n-1+5×2n-1)+9×4(1-4n )1-4-n=27×22n-1+5×2n-1-n-12(n ∈N *).【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.【解题思路】(1)先分别设出数列{a n }的公差与数列{b n }的公比,然后利用已知条件建立方程组,求出公差与公比,最后利用公式求解即可.(2)(i)将(1)中所求结论代入,即可求出相应的通项公式;(ii)分组求和,即可得出结果.【备注】【命题分析】数列在高考命题中较为灵活,可以以较为基础的形式呈现,也可以融入较多的创新问题,但最终都离不开数列通项公式的求解、数列的求和等.从最近几年的高考来看,数列问题最终通常可以转化为我们熟悉的等差数列或等比数列问题进行求解.17.(1)解法一 ∵|F 1F 2|=4√3,∴c =2√3,F 1(-2√3,0),F 2(2√3,0). 由椭圆的定义可得2a =√3√3)√132+√3-2√3)√132=√1214+√254=112+52=8,解得a =4,∴e =2√34=√32,b 2=16-12=4, ∴椭圆C 的标准方程为x 216+y 24=1.解法二 ∵|F 1F 2|=4√3,∴c =2√3,椭圆C 的左焦点为F 1(-2√3,0),故a 2-b 2=12, 又点 A (√3,-√132)在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上,则3b 2+12+134b 2=1,化简得4b 4+23b 2-156=0,得b 2=4,故a 2=16,∴e =2√34=√32,椭圆C 的标准方程为x 216+y 24=1.(2)由(1)知M (4,0),N (0,2),设椭圆上任一点T (x 0,y 0)(x 0≠±4且x 0≠0),则x 0216+y 024=1.直线TM :y =y 0x-4(x -4),令x =0,得y P =-4y 0x0-4,∴|PN |=|2+4y 0x0-4|.直线TN :y =y 0-2x 0x +2,令y =0,得x Q =-2xy 0-2,∴|QM |=|4+2x 0y 0-2|.|PN |·|QM |=|2+4y 0x 0-4|·|4+2x 0y 0-2|=|2x 0+4y 0-8x 0-4|·|2x 0+4y 0-8y 0-2|=4|x 02+4y 02+4x 0y 0-8x 0-16y 0+16x 0y 0-2x 0-4y 0+8|,由x 0216+y 024=1可得x 02+4y 02=16,代入上式得|PN |·|QM |=16, 故|PN |·|QM |为定值.【解析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程等基础知识,考查定值问题,考查推理论证能力、运算求解能力.(1)考虑两种方法解决;(2)分别先得到|PN |与|QM |的表达式,再结合条件证明即可【备注】【规律总结】在直线与椭圆相交背景下求面积的最值,定值、定点问题是高考的热点问题,将直线方程与椭圆方程联立后利用根与系数的关系以及点到直线的距离公式建立目标函数,将面积问题转化为求函数的最值问题是常规解法,应当熟练掌握,同时,需提高整体代换的意识,通过换元等方法优化和提高运算的能力18.(1)X =2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P (X =2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X =4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.【解析】本题主要考查互斥事件的概率、相互独立事件的概率,意在考查考生的逻辑思维能力、数据获取与处理能力、运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理、数学建模、数学运算.(1)由题意知P (X =2)包括甲获胜的概率与乙获胜的概率,则利用互斥事件的概率公式求解即可;(2)利用相互独立事件与互斥事件的概率公式计算即可.【备注】【方法技巧】求较复杂事件的概率问题,解题关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型,必要时先将所求事件转化成互斥事件的和,或者求其对立事件的概率,再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.19.(1)解法一设|F 1F 2|=2c ,则c 2=a 2-1,不妨设P 在x 轴上方(如图).当P 在x 轴上的射影为F 2时,P (c ,1a),F 1(-c ,0),F 2(c ,0),所以直线PF 1的方程为x -2acy +c =0.因为|OF 2|=2|OM |,所以|OM |=|MF 2|=c2,所以点M 的坐标为(c2,0). 则点M 到直线PF 1的距离为d =|c 2+c|√1+4a 2c 2=2√1+4a 2c 2.因为PM 平分∠F 1PF 2,PF 2⊥F 1F 2,所以d =|MF 2|,即2√1+4a 2c2=c2,化简得a 2c 2=2,所以a 2(a 2-1)=2,解得a 2=2.所以C 的方程为x 22+y 2=1. 解法二设|F 1F 2|=2c ,则c 2=a 2-1.当P 在x 轴上的射影为F 2时,因为|OF 2|=2|OM |,所以|OM |=c 2,所以|MF 1|=32c ,|MF 2|=12c . 在△PMF 1中,|MF 1|sin∠MPF 1=|PF 1|sin∠PMF 1,在△PMF 2中,|MF 2|sin∠MPF 2=|PF 2|sin∠PMF 2,因为∠PMF 1=180°-∠PMF 2,所以sin∠PMF 1=sin∠PMF 2,又∠MPF 1=∠MPF 2,所以|MF 1||MF 2|=|PF 1||PF 2|,故|PF 1|=3|PF 2|. 因为|PF 1|+|PF 2|=2a , 所以|PF 1|=32a ,|PF 2|=12a .由|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2,得(32a )2=(12a )2+(2c )2,化简得2c 2=a 2,所以2(a 2-1)=a 2,解得a 2=2, 所以C 的方程为x 22+y 2=1.解法三设|F 1F 2|=2c ,则c 2=a 2-1.当点P 在x 轴上的射影为F 2时,如图,P (c ,±1a ).所以|PF 2|=1a.因为PF 2⊥F 1F 2,所以tan∠F 1PF 2=|F 1F 2||PF 2|=2ac .因为|OF 2|=2|OM |,所以|MF 2|=c 2,tan∠MPF 2=|MF 2||PF 2|=ac 2. 因为PM 平分∠F 1PF 2,所以tan∠F 1PF 2=2tan∠MPF 21-tan 2∠MPF 2,即2ac =2×ac 21-(ac 2)2,化简得a 2c 2=2,所以a 2(a 2-1)=2,解得a 2=2. 所以C 的方程为x 22+y 2=1.解法四设|F 1F 2|=2c ,则c 2=a 2-1.当P 在x 轴上的射影为F 2时,P (c ,±1a),所以|PF 2|=1a.因为|OF 2|=2|OM |,所以|F 1M |=3|MF 2|,所以S △PF 1M =3S △PMF 2, 即12|PF 1|·|PM |sin∠F 1PM =32|PF 2|·|PM |sin∠F 2PM ,因为∠F 1PM =∠F 2PM ,所以|PF 1|=3|PF 2|. 又因为|PF 1|+|PF 2|=2a ,所以|PF 2|=a2, 所以a 2=1a ,解得a 2=2. 所以C 的方程为x 22+y 2=1.(2)除点P 外,直线PQ 与C 无其他公共点. 理由如下:如图,设P (x 0,y 0)(y 0≠0),则x 022+y 02=1,即y 02=1-x 022.设Q (2,y Q ),则Q ⃗ =(-1,-y Q ),P ⃗ =(1-x 0,-y 0),由QF 2⊥PF 2,得Q ⃗ ·P ⃗ =0, 所以x 0-1+y 0y Q =0,即y Q =1-x 0y 0.所以k PQ =1-x 0y 0-y 02-x 0=y 02+x 0-1(x0-2)y 0=(1-x 022)+(x 0-1)(x 0-2)y 0=-x02y 0,所以直线PQ 的方程为y -y 0=-x 02y 0(x -x 0),即2y 0y -2y 02=-x 0x +x 02,即x 0x +2y 0y -2=0. 由{x 0x +2y 0y-2=0x 2+2y 2=2,得(x 02+2y 02)y 2-4y 0y +(2-x 02)=0, 即y 2-2y 0y +y 02=0.因为Δ=(2y 0)2-4y 02=0,所以除点P 外,直线PQ 与C 无其他公共点.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识,考查运算求解能力、逻辑推理能力,考查数形结合思想、化归与转化思想等. 【备注】无20.(1)如图,取AD 的中点E ,连接PE ,BE ,BD ,∵PA =PD , ∴PE ⊥AD.∵底面ABCD 为菱形,且∠BAD =60°, ∴△ABD 为等边三角形, ∴BE ⊥AD.∵PE ∩BE =E , PE ,BE ⊂平面PBE , ∴AD ⊥平面PEB ,∴AD ⊥PB. ∵AD ∥BC ,∴BC ⊥PB. (2)设AB =2,则AB =PB =AD =2,BE =√3, ∵PA ⊥PD ,E 为AD 的中点, ∴PA =√2,PE =1,∴PE 2+BE 2=PB 2,∴PE ⊥BE.以E 为坐标原点,分别以EA ,EB ,EP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (0,√3,0) ,P (0,0,1),C (-2,√3,0),∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-√3,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0). 设平面PAB 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),∵{n 1·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{-x 1+√3y 1=0,-x 1+z 1=0,令x 1=1得z 1=1,y 1=√33,∴n 1=(1,√33,1).设平面BPC 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则{n 2·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{-√3y 2+z 2=0,-2x 2=0, 令y 2=-1,得x 2=0,z 2=-√3,即n 2=(0,-1,-√3).∴n 1·n2|n 1|·|n 2|=-2√77. 设二面角A -PB -C 的平面角为θ,由图可知,θ为钝角, 则cos θ=-2√77.【解析】无【备注】【易错警示】求二面角的值的易错点是:(1)求平面的法向量出错;(2)公式用错,把线面角的向量公式与二面角的向量公式搞混,导致结果出错.注意,二面角的取值范围为[0,π].。

高考数学《概率、统计》专项训练及答案解析

高考数学《概率、统计》专项训练一、单选题1．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.72．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地里至少有一门被选中的概率是（） A ．16B ．12C ．23D ．563．下列说法正确的是( ) A ．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场 B ．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 C ．随机试验的频率与概率相等D ．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 4．下面四个命题中，错误的是（）A ．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样B ．对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大C ．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0D ．在回归直线方程ˆy＝0.4x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位5．已知变量x 、y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+，且变量x 、y 之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法错误．．的是（）A ．可以预测，当20x 时， 3.7y =-B ．4m =C ．变量x 、y 之间呈负相关关系D ．该回归直线必过点()9,46．2018年12月1日，贵阳市地铁一号线全线开通，在一定程度上缓解了出行的拥堵状况.为了了解市民对地铁一号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：根据图中（35岁以上含35岁）的信息，下列结论中不一定正确的是( ) A ．样本中男性比女性更关注地铁一号线全线开通 B ．样本中多数女性是35岁以上C ．35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多D ．样本中35岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高7．从装有颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()D X =（） A ．85B ．65C ．45D ．258．首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为111,,234，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是 A ．2324B ．524C ．1124D ．124二、多选题9．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是（） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半10．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（）人附表：()20P K k ≥0.050 0.010 k3.8416.635附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++A ．25B ．45C ．60D ．75三、填空题11．某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是（用数字作答）．12．浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分.已知报考某高校A 、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可，A 专业：物理、化学、技术；B 专业：历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有______ 种.（用数字作答） 13．气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）①甲地5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8. 则肯定进入夏季的地区有_____．14．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。

2024_2025年高考数学真题分类汇编专题14概率与统计填空题文

专题14概率与统计(填空题)近三年高考真题1．（2024•上海）现有某地一年四个季度的GDP （亿元），第一季度GDP 为232（亿元），第四季度GDP 为241（亿元），四个季度的GDP 逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP 为（亿元）．【答案】946（亿元）．【解析】设其次季度GDP 为x 亿元，第三季度GDP 为y 亿元，则232241x y <<<，中位数与平均数相同， ∴23224124x y x y ++++=， 473x y ∴+=，∴该地一年的GDP 为232241946x y +++=（亿元）．故答案为：946（亿元）．2．（2024•上海）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm ，最小值为154cm ，依据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为．【答案】7．【解析】极差为18615432-=，组距为5，且第一组下限为153.5，32 6.45=，故组数为7组，故答案为：7．3．（2024•天津）甲、乙、丙三个盒子中装有肯定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为．【答案】120；35．【解析】设盒子中共有球15n 个，则甲盒子中有黑球2n 个，白球3n 个，乙盒子中有黑球n 个，白球3n 个，丙盒子中有黑球3n 个，白球3n 个，从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为23154620n n n n n n ⨯⨯=；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率93155n n =．故答案为：120；35．4．（2024•乙卷（文））从甲、乙等5名同学中随机选3名参与社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．【答案】3 10【解析】设5人为甲、乙、丙、丁、戊，从5人中选3人有以下10个基本领件：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊；甲、乙被选中的基本领件有3个：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；故甲、乙被选中的概率为310．。

高考数学一轮复习概率与统计单元专项练习题附参考答案

高考数学一轮复习概率与统计单元专项练习题附参考答案1.(理)设，那么的展开式中的系数不可能是( )A.10B.40C.50D.80(文)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是( )A.20B.30C.40D.502.(理)四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是平安的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么平安存放的不同方法种数为( )A.96B.48C.24D.0(文)从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( )A. B. C. D.3.甲：A1、A2是互斥事件;乙：A1、A2是对立事件，那么( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件4.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，，270;使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，，270，并将整个编号依次分为10段。

如果抽得号码有以下四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250;②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265;③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254;④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270;关于上述样本的以下结论中，正确的选项是( )A.②、③都不能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样C.①、④都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样5.在正方体上任选3个顶点连成三角形，那么所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )A. B. C. D.6.在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两个变量有关系的可能性就()A.越大B.越小C.无法判断D.以上都不对7.(理)抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，那么在10次试验中，成功次数的期望是( )A. B. C. D.(文)为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将局部数据丧失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，那么a, b的值分别为( )A.0,27,78B.0,27,83C.2.7,78D.2.7,838.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.这组数据的平均数为10，方差为2，那么|x-y|的值为( )A.1B.2C.3D.49.一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量。

高中数学概率与统计练习题及参考答案2023

高中数学概率与统计练习题及参考答案2023以下是根据题目要求写出的高中数学概率与统计练习题及参考答案。

一、单项选择题1、设A、B为两事件，且P(A)=0.4，P(B)=0.6，则P(AB)的取值范围是A、[0.2，0.6]B、[0.24，0.6]C、[0.0，0.4]D、[0.16，0.6]答案：B2、已知事件A发生的概率为0.6，事件B发生的概率为0.5，事件A和事件B至少有一个发生的概率为：A、0.6B、0.5C、0.9D、0.1答案：C3、小明乘坐公交车去上学，如果按时到达的概率为0.8，那么他迟到的概率为：A、0.8B、0.2C、0.6D、0.4答案：B二、填空题1、一套大小为1、2、3的衣服，从中随意取出一件的概率为_______。

答案：1/62、在1~50中随机取出一个整数，使其能被6整除的概率是_______。

答案：1/63、事件A和事件B相互独立，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，则P(AB)的取值为_______。

答案：0.12三、解答题1、某小区内有200户人家，其中有120户家庭有私家车，60户家庭有小轿车，70户家庭既有私家车又有小轿车。

试求出这些家庭中有汽车的概率是多少？解：设事件A为家庭有私家车，B为家庭有小轿车，P(A)=120/200=0.6，P(B)=60/200=0.3，P(AB)=70/200=0.35，所以这些家庭中有汽车的概率是P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+0.3-0.35=0.55。

2、某饮料公司一次生产200瓶矿泉水饮料，其中有5瓶不合格品，现从这200瓶中任意抽取20瓶，问抽取的20瓶中恰好有3瓶不合格品的概率是多少？解：设事件A为抽出20瓶中恰好有3瓶不合格品，根据二项分布公式P(A)=C(5,3)*C(195,17)/C(200,20)=56*17409840/6564120420=0.0148（保留四位小数）。

四、计算题1、某班级20名学生参加一次数学考试，已知这次考试的平均成绩是85分，标准差为7分，求这次考试成绩高于90分的学生人数的理论值和实际值。

历年(2019-2023)高考数学真题专项(概率与统计选择题及填空题)汇编(附答案)

历年（2019-2023）高考数学真题专项（概率与统计选择题及填空题）汇编考点01：排列组合与二项式定理一选择题：1．(2023年新课标全国Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)． 2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．二、填空题1．(2023年天津卷)在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为_________． 2．(2021年高考浙江卷·)已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科)262()x x+的展开式中常数项是__________(用数字作答)．4．(2020年浙江省高考数学试卷)设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 +a 3=________．5．(2022新高考全国I 卷·)81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中26x y 的系数为________________(用数字作答)． 6．(2021高考天津)在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．7．(2021高考北京)在341()x x-的展开式中，常数项为__________．8．(2020天津高考)在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．9．(2019·浙江·)在二项式9)x +的展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．10．(2019·天津·理·)83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为．.的考点02 事件概率1．(2023年天津卷)甲乙丙三个盒子中装有一定数量黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．3．(2022年高考全国乙卷数学(理))从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．4．(2021高考天津·)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．5．(2020天津高考·)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．6．(2020江苏高考·)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____．7．(2019·上海·)某三位数密码锁，每位数字在90-数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.8．(2019·江苏·第6题)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .考点03 随机事件分布列1．(2020年浙江省高考数学试卷)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．的2．(2022年浙江省高考数学试题)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则(2)P ξ==__________，()E ξ=_________．3．(2019·全国Ⅰ·理·)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” ．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是．4．(2021年高考浙江卷)袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -=___________，()E ξ=___________．5．(2022新高考全国II 卷)．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >=____________．参考答案考点01：排列组合与二项式定理一选择题：1．(2023年新课标全国Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．【答案】64【答案解析】：(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有144116C C =种； (2)当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有1244C C 24=种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有2144C C 24=种；综上所述：不同的选课方案共有16242464++=种．故答案为：64．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．【答案】36【答案解析】： 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C = 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A = 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种故答案为：36．二、填空题1．(2023年天津卷)在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为_________．【答案】60【答案解析】：展开式的通项公式()()6361841661C 212C kkk kk kk k T x x x ---+⎛⎫=-=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，令1842k -=可得，4k =，则2x 项的系数为()4644612C 41560--⨯⨯=⨯=．故答案为：60．2．(2021年高考浙江卷·)已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.【答案】(1)． 5; (2)． 10．【答案解析】:332(1)331x x x x -=-+-， 4432(1)4641x x x x x +=++++，所以12145,363a a =+==-+=，34347,110a a =+==-+=，所以23410a a a ++=故答案为5,10．3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科)262()x x+的展开式中常数项是__________(用数字作答)．【答案】240【答案解析】： 622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项： ()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=1226(2)r rr r xC x --⋅=⋅ 1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=．故答案为：240．【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．4．(2020年浙江省高考数学试卷)设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 +a 3=________．【答案】(1)．80 (2)．122【答案解析】：5(12)x +的通项为155(2)2rr r r r r T C x C x +==，令4r =，则444455280T C x x ==，580a ∴=；113355135555222122a a a C C C ∴++=++=5．(2022新高考全国I 卷·)81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中26x y 的系数为________________(用数字作答)．【答案】‐28【答案解析】：因为()()()8881=y y x y x y x y x x⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭，所以()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含26x y 的项为6265352688C 28y x y C x y x y x-=-， ()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为‐28故答案为：‐28 6．(2021高考天津)在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．【答案】160.的【答案解析】：6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()636184166122rrrr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令1846r -=，解得3r =，所以6x 的系数是3362160C =．故答案：160．7．(2021高考北京)在341()x x-的展开式中，常数项为__________．【答案】4- 【答案解析】：的展开式的通项令1240r -=，解得，故常数项为．8．(2020天津高考)在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10【答案解析】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r rr r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ⨯=．故答案为：10．9．(2019·浙江·)在二项式9)x +的展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．【答案】，5【答案解析】9)x展开式的通项为919(0,1,2,,9)r r r r T C x r -+== ，当0r =时，可得二项式9)x +展开式的常数项是0919T C =．若系数为有理数，则(9)r -为偶数即可，故r 可取1,3,4,5,7,9，即246810,,,,T T T T T 共5项．10．(2019·天津·理·)83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为．【答案】28【答案解析】：83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为2268311(2)286428864C x x ⎛⎫⋅⋅-=⨯⨯= ⎪⎝⎭．考点02 事件概率1．(2023年天津卷)甲乙丙三个盒子中装有一定数量黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．为的【答案】①． 0.05 ②．35##0.6 【答案解析】：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5,4,6n n n ，所以总数为15n ，所以甲盒中黑球个数为40%52n n ⨯=，白球个数为3n ；甲盒中黑球个数为25%4n n ⨯=，白球个数为3n ；甲盒中黑球个数为50%63n n ⨯=，白球个数为3n ；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A ，所以，()0.40.250.50.05P A =⨯⨯=；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B ，黑球总共有236n n n n ++=个，白球共有9n 个，所以，()93155n P B n ==．故答案为：0.05；35． 2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】635．【答案解析】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C 70n ==个结果，这4个点在同一个平面的有6612m =+=个，故所求概率1267035m P n ===．故答案为：635．3．(2022年高考全国乙卷数学(理))从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】310【答案解析】：从5名同学中随机选3名的方法数为35C 10= 甲、乙都入选的方法数为13C 3=，所以甲、乙都入选的概率310P = 故答案为：3104．(2021高考天津·)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．【答案】①．23 ②． 2027【答案解析】：由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253⨯=；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为23232122033327C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：23；2027．5．(2020天津高考·)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】 (1)．16 (2)． 23【答案解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1(1)233-⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23．故答案为：16；23．6．(2020江苏高考·)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____．【答案】19【答案解析】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个．点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个． ∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==．故答案为：19．7．(2019·上海·)某三位数密码锁，每位数字在90-数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.【答案】27100【答案解析】法一：100271031923110=⋅⋅=C C C P (分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字) 法二：100271013310110=+-=P C P (分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同) 8．(2019·江苏·第6题)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 . 【答案】710的【答案解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中不含女生的方法有3种，因此所求概率为371=1010－．考点03 随机事件分布列1．(2020年浙江省高考数学试卷)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．【答案】(1)．13(2)． 1 【答案解析】：因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=，随机变量0,1,2ξ=，212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=，111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=．2．(2022年浙江省高考数学试题)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则(2)P ξ==__________，()E ξ=_________．【答案】 ①．1635， ②． 127##517【答案解析】:从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有37C 种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有112424C C C +种，所以11242437C C C 16(2)C 35P ξ+===，由已知可得ξ的取值有1，2，3，4，2637C 15(1)C 35P ξ===，16(2)35P ξ==，，()()233377C 31134C 35C 35P P ξξ======所以15163112()1234353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=,故答案为：1635，127．3．(2019·全国Ⅰ·理·)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” ．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是．【答案】0.18 【答案解析】：因为甲队以4：1获胜，故一共进行5场比赛，且第5场为甲胜，前面4场比赛甲输一场，若第1场或第2场输1场，则12120.60.40.50.60.072P C =⨯⨯⨯⨯=，若第3场或第4场输1场，则21220.60.50.50.60.108P C =⨯⨯⨯⨯=，所以甲以4：1获胜的概率是120.18P P +=．4．(2021年高考浙江卷)袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m n -=___________，()E ξ=___________．【答案】 (1)． 1 (2)． 89【答案解析】:2244224461(2)366m n m n m n C P C C C ξ++++++====⇒=，所以49m n ++=， ()P 一红一黄114244133693m m n C C m m m C ++⋅====⇒=, 所以2n =, 则1m n -=．由于11245522991455105(2),(1),(0)63693618C C C P P P C C ξξξ⋅⨯========== 155158()2106918399E ξ∴=⨯+⨯+⨯=+=．故答案为1；89．5．(2022新高考全国II 卷)．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >=____________．【答案】0.14 【答案解析】因为()22,X N σ ，所以()()220.5P X P X <=>=，因此()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<≤=-=．故答案为：0.14．。

概率与统计的相关系数练习题

概率与统计的相关系数练习题一、选择题1. 相关系数是用来衡量什么之间的关系？A. 两个变量之间的依赖程度B. 样本的大小C. 数据的分布情况D. 统计推断的准确性2. 相关系数的取值范围是：A. [-1, 1]B. [0, 1]C. [0, ∞)D. (-∞, ∞)3. 以下哪一对相关系数的值表示两个变量之间强烈的正相关关系？A. 0.2B. -0.1C. 0.8D. -0.54. 当相关系数为0时，表示什么样的关系？A. 两个变量之间存在弱相关关系B. 两个变量之间存在正相关关系C. 两个变量之间不存在线性关系D. 两个变量之间存在非线性关系5. 在统计学中，相关系数常用于哪些领域或问题的分析？A. 研究商品价格的涨跌与市场销量的关系B. 研究天气变化与人口迁移的关系C. 研究人的身高和体重之间的关系D. 以上都是二、填空题1. 相关系数是以谁的名字命名的？答：卡尔·皮尔逊2. 当相关系数为正时，表示两个变量呈什么样的关系？答：正相关关系3. 相关系数的计算过程中，需要使用哪两个参数？答：协方差和标准差4. 当相关系数为负时，表示两个变量呈什么样的关系？答：负相关关系5. 以下哪个关系系数的绝对值最大，表示两个变量之间的关系最强？答：-0.9三、解答题1. 请简要解释相关系数的定义并说明其意义。

相关系数是用来衡量两个变量之间线性相关关系的强度和方向。

它的取值范围在-1到1之间，取值为-1时表示完全负相关，取值为1时表示完全正相关，取值为0时表示无线性相关。

相关系数的意义在于通过这个数值可以获取两个变量之间的相关程度。

如果相关系数接近1或-1，说明两个变量之间存在强烈的线性相关关系，可以通过一个变量的变化来推断另一个变量的变化；如果相关系数接近0，说明两个变量之间几乎没有线性关系，无法通过一个变量的变化来推断另一个变量的变化。

相关系数在统计学中被广泛应用于数据分析、建模和预测等领域。

它可以帮助研究者了解变量之间的关系，从而做出更准确的预测和决策。

《概率论与数理统计》题库及答案

《概率论与数理统计》题库及答案一、填空题1．设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6，则同时发射一发炮弹而击中飞机的概率为 .若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率及中它，至少需＿＿＿门高射炮.2．设ξ在[0，1]上服从均匀分布，则ξ的概率分布函数F (x )= ＿＿＿,P (ξ≤2)= ＿＿＿.3．设母体)4,30(~N ξ，),,,(4321ξξξξ为来自ξ的一个容量为4的样本，则样本均值~ξ＿＿＿，=>)30(ξP ＿＿＿,),,,(4321ξξξξ的概率密度为＿＿＿.4. 将一枚均匀硬币掷四次，则四次中恰好出现两次正面朝上的概率为＿＿＿.5．两封信随机地投入四个邮筒, 则前两个邮筒没有信的概率为_______, 第一个邮筒只有一封信的概率为_________.6．一批产品的废品率为0.2, 每次抽取1个, 观察后放回去, 下次再任取1个, 共取3次, 则3次中恰有两次取到废品的概率为_________.7．设ξ具有概率密度⎩⎨⎧<<+=其他031)(x b ax x f ，又)21(2)32(<<=<<ξξP P ，则a = ,b = .8．设ξ与η相互独立，ξ～N (0,1)，η～N (1,2)，令ζ=ξ＋2η，则E ζ=＿＿＿,D ζ=＿＿＿, ζ的概率密度函数为＿＿＿.9．已知B A ⊂，P (A )=0.1,P (B )=0.5,则P (AB )= ＿＿＿,P (A +B )= ＿＿＿,=)(B A P ＿＿＿,P (A |B )= ＿＿＿，=+)(B A P ＿＿＿.10．设)4,3(~N ξ，则使得)()(c P c P ≤=>ξξ成立的=c ＿＿＿. 11．已知1-=ξE ，3=ξD ，则 =-)]2(3[2ξE ＿＿＿.12. 小概率原理认为：小概率事件在一次试验中是不会发生的，如果发生了则要． 13. 相关系数的取值范围是．14. 设总体),(~2σξa N ，2σ已知，),...,(1n X X 为来自ξ的一个样本，如检验00:a a H =（常数），则在0H 成立条件下，检验统计量服从分布．15. 设总体ξ的概率分布列为),...,(,1)0(,)1(1n X X p P p P -====ξξ为来自ξ的一个样本，则=)(X D ．16. 设ξ的密度函数为⎩⎨⎧<≥=-0,00,2)(2x x e x f x 当当，则=ξD ．17. 设),(ηξ的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f ，则η的边沿密=)(y f ．18. =+==⊂)(,5.0)(,1.0)(,B A P B P A P B A 则．19. 若,5.0)(,6.0)(==B P A P 7.0)(=+B A P ，则=)(AB P ． 20. 公交车每5分钟发一辆，则乘客等车时间不超过3分钟的概率为．21. ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,020,cos )(πx x A x f 为密度函数，则=A ．22. 两随机变量ξ与η的方差分别为25及36，相关系数为0.4，则=-)(ηξD . 23. 设)1,0(~N ξ，)(~2n χη，且ξ与η相互独立，则统计量~nηξ．二、选择题1．若事件A 、B 为互逆事件，则=)(B A P （）A. 0B. 0.5C. 1D. Φ2．在四次重复贝努里试验中，事件A 至少发生一次的概率为80/81，则A 在每次试验中发生的概率p 为（）A.4532 B. 31 C.32D. 1－4532 3．若两个随机变量ξ和η的相关系数0=ξηρ，则下列结论正确的是（）.A. ()ηξηξD D D -=-B. ()ηξηξD D D +=+C. ()ηξξηD D D =D. ξ和η相互独立4．设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 至少发生一个的事件应表示为（）A. ABCB. A ＋B ＋CC. C B AD. C B A5．每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤次成功的概率为（）.A. r n r r n p p C --)1(B. rn r r n p p C ----)1(11 C. rn r p p --)1( D. r n r r n p pC -----)1(1116．设（ξ,η）具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他020,20)sin(),(ππy x y x A y x f ，则A=( )A. 0.1B. 0.5C. 1D. 27．设),(~2σμξN ，且μ=0，12=σ，令βαξη+=，则D η=( )(α、β为常数)A.βα-B. βα+C.α ④2α 8．已知ξ的概率密度函数为f (x ),则（）A.0≤f (x )≤1B.P (ξ=x )=f (x )C.⎰+∞∞-=1)(dx x f D.P (ξ=x )≤f (x )≤19．若母体ξ的方差为2σ，则2σ的无偏估计为（）A.21S n n -B.2SC.21S n n- D.S 10．设A ，B 为两事件，B A ⊂，则不能推出结论（）A. )()(A P AB P =B. )()(B P B A P =⋃C.)()()(B P A P B A P -=D. )()()(A P B P B A P -= 11. 若事件A 、B 互不相容，则=)(B A PA ．0.5B ．0C ．1D ．0.25 12. 设事件A 、B 相互独立，已知5.0)(,25.0)(==B P A P ，则=-)(B A P A ．12.0 B ．125.0 C ．25.0 D ．5.013. 设随机变量ξ的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=其它,021,210,)(x x x x x f ，则=≤)1.5(ξPA ．0.875B ．⎰-5.10)2dx x （ C ．⎰-5.11)2dx x （ D ．⎰∞--5.1)2xdx x （14. 设)(x f 为连续型随机变量ξ的概率密度，)(x F 为ξ的分布函数，则下列正确的是 A ．)()(x f x F = B ．1)(0<<x f C ．)()(x F x P ==ξ D ．⎰∞+∞-=1)(dx x f15. 设),(ηξ的概率密度为⎩⎨⎧≥≥=+-其它,00,0,),()(y x Ce y x f y x ，则C =A ． 1B ．0.5C ．0.25D ．216. 设随机变量ξ的概率密度函数为⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ ，则=ξEA ．λB ．λ1 C ．2λ D ．21λ17. 设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 恰有两个发生的事件应表示为 A.C B A BC A C AB ++ B. AC BC AB ++ C.ABC C B A BC A C AB +++ D. C A C B B A ++18. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为 A ．83 B ．81)83(5 C ．81)83(348C D ．485C19. 设)1,0(~),4,(~2N a N ηξ记),1(),4(21≥=-≤=ηξp p a p p 则下列正确的是 A ．21p p = B ．21p p ≠ C ．21p p < D ．21p p >20. 设ξ的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,010,)(2x Ax x f ，则A =A ．31 B ．3 C ．21D ．221. 已知连续型随机变量ξ的概率密度为)(x f ，)(x F 为ξ的分布函数，则下列正确的是 A ．)()(x f x P ==ξ B ．1)(=⎰∞+∞-dx x f xC ．1)(0≤≤x FD ．)()(x f x P =≤ξ22. 设随机变量ξ的概率密度函数为)(x f ，如果（），恒有1)(0≤≤x f ．A ．),1(~2σξN B ．)1,2(~N ξ C ．),(~2σξa N D ．),0(~2σξN三、计算题1．如果在1500件产品中有1000件不合格品，如从中任抽150件检查，求查得不合格品数的数学期望；如从中有放回抽取150次，每次抽一件，求查得不合格品数的数学期望和方差.2．如果n ξξξ,,,21 是n 个相互独立、同分布的随机变量，μξ=i E ，),,2,1(8n i D i ==ξ.对于∑==ni i n 11ξξ，写出ξ所满足的切贝晓夫不等式，并估计)4|(|<-μξP .3．在密度函数(),1)(ααx x f +=10<<x 中求参数α 的矩估计和极大似然估计.4．已知随机变量ξ～N (0，1)，求(1) ξηe =的概率密度； (2) ||ξζ=的概率密度.5．全班20人中有8人学过日语，现从全班20人中任抽3人参加中日友好活动，令ξ为3人中学过日语的人数，求(1) 3人中至少有1人学过日语的概率； (2) ξ的概率分布列及E ξ.6．设总体ξ服从指数分布，其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤=-001)(1x x ex f x θθ，（θ>0）试求参数θ的矩估计和极大似然估计.7．一个盒子中共有10个球，其中有5个白球，5个黑球，从中不放回地抽两次，每次抽一个球，求（1）两次都抽到白球的概率；（2）第二次才抽到白球的概率；（3）第二次抽到白球的概率.8．已知ξ～N (0，1)，求（1）ξe 的概率密度；（2）2ξ的概率密度.9．设总体X ～N(μ,1), ),,(1n X X 为来自X 的一个样本，试求参数μ的矩估计和最大似然估计. 10．设母体ξ具有指数分布，密度函数为⎩⎨⎧<≤=-00),(x xe xf xλλλ（0>λ），试求参数λ的矩估计和极大似然估计.11. 袋子中有5件某类产品，其中正品3件，次品2件，现从中任意抽取2件，求2件中至少有1件是正品的概率12. 一条生产线生产甲、乙两种工件，已知该生产线有三分之一的时间生产甲种工件，此时停机的概率为0.3，有三分之二的时间生产乙种工件，此时停机的概率为0.4．如该生产线停机，求它是在生产甲种工件的概率. 13. 有3人同时走进一栋五层楼房的入口，设每人进入1至5层是等可能的，求没有两人进入同一层的概率. 14. 某地区高考数学成绩服从正态分布)6,90(~2N ξ，某考生数学成绩为96分，问比他成绩低的考生占多少？（)8413.0)1(=Φ。

高中数学《计数原理与概率统计》练习题(含答案解析)

高中数学《计数原理与概率统计》练习题（含答案解析）一、单选题1．某校有学生800人，其中女生有350人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男、女学生采用分层抽样法抽取容量为80的样本，则男生抽取的人数是（） A ．35B ．40C ．45D ．602．数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,,6.6x 的65百分位数是4.5，则实数x 的取值范围是（） A ．[4.5,)+∞ B ．[4.5,6.6) C ．(4.5,)+∞D ．(4.5,6.6]3．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（）A ．15B ．310 C ．35D ．124．已知随机变量X 服从二项分布(),XB n p ，若()54E X =，()1516=D X ，则p =（）A ．14B ．13C ．34D ．455．总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）第1行78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98 第2行32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81 A ．27B ．26C ．25D ．196．已知随机变量X 的分布列为设23Y X =+，则()D Y 等于（） A ．83B ．53C ．23D ．137．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（） A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.88．为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在[)25,35内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（）A ．0.38B ．0.61C ．0.122D ．0.759．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（） A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立10．在一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，记M 表示事件“取到红桃”，N 表示事件“取到J”，有以下说法：①M 与N 互斥；①M 与N 相互独立；①M 与N 相互独立.则上述说法中正确说法的序号为（） A ．①B ．①C ．①①D ．①①二、填空题11．已知随机变量X 服从正态分布2(1,)N σ，且(01)0.4P X <≤=，则(2)P x >=_______.12．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为___________. 13．已知随机变量X ，Y 分别满足(),X B n p ，()5,4Y N ，且均值()()E X E Y =，方差()()D X Y D =，则p =________.14．若随机变量X 服从二项分布115,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，则使()P X k =取得最大值时，k =______．三、解答题15．某科技公司研发了一项新产品A ，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价x （千元）和销售量y （千件）之间的一组数据如下表所示：（1）试根据1至5月份的数据，建立y 关于x 的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过065．千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中i ii 122ii 1ˆnnx y n x yb xnx==-⋅⋅=-∑∑.参考数据：5i i i 1392x y ==∑，52i i 1502.5x ==∑.16．某中学要从高一年级甲、乙两个班级中选择一个班参加市电视台组织的“环保知识竞赛”．该校对甲、乙两班的参赛选手(每班7人)进行了一次环境知识测试，他们取得的成绩(满分100分)如下：甲班：75、78、80、89、85、92、96．乙班：75、80、80、85、90、90、95．求甲、乙两班学生成绩的方差，并从统计学角度分析该校应选择甲班还是乙班参赛．17．第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下：我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀.（I ）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？（II ）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X 表示这2人中优秀人数，求X 的分布列与期望.18．某保险公司根据官方公布的2011—2020年的营业收入，制成表格如下：表1由表1，得到下面的散点图：根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型2y bx a =+（b 和a 均为常数）来拟合y 和x 的关系，这时，可以令2t x =，得y bt a =+，由表1可得t 与y 的相关数据如表2(1)根据表2中数据，建立y 关于t 的回归直线方程（系数精确到个位数）；(2)根据（1）中得到的回归直线方程估计2023年的营业收入以及营业收入首次超过4000亿元的年份．参考公式；回归直线方程ˆˆˆvu βα=+中，()()()121ˆnii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．参考数据：38.5t =，703.45y =，()102411.05110i i t t=-=⨯∑，()()10512.32710i i i t ty y =--=⨯∑．参考答案与解析：1．C【解析】利用分层抽样的定义直接求解即可【详解】由题意可得男生抽取的人数是8003508045800-⨯=．故选：C 2．A【分析】根据%p 分位数的定义判断求解.【详解】因为65%8 5.2⨯=，第65百分位数是4.5，故这组数据的第65百分位数是第六个数，所以x 的取值范围是[4.5,)+∞，故选：A. 3．B【分析】由古典概率模型的计算公式求解.【详解】样本点总数为10，“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为310. 故选：B. 4．A【分析】由二项分布的均值和方差公式列方程组求解．【详解】由题意5415(1)16np np p ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得145p n ⎧=⎪⎨⎪=⎩．故选：A ． 5．D【分析】根据随机数表法的步骤即可求得答案.【详解】由题意，取出的数有23,20,80（超出范围，故舍去），26,24,26（重复，故舍去），25,25（重复，故舍去），36（超出范围，故舍去），99（超出范围，故舍去），72（超出范围，故舍去），80（超出范围，故舍去），19. 故选：D. 6．A【分析】根据分布列求出()E X ，()D X ，再根据条件得()()4D Y D x =，计算答案即可. 【详解】由X 的分布列得()1110121333E X =⨯+⨯+⨯=，()()()()22211120111213333D X =-⨯+-⨯+-⨯=，因为23Y X =+，则()()843D Y D x == 故选：A. 7．C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.610，故选：C. 8．B【分析】利用频率=频率组距⨯组距，即可得解. 【详解】根据频率分布直方图可知，质量指标值在[)25,35内的概率()0.0800.04250.12250.61P =+⨯=⨯=故选：B 9．B【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙，丁，， 1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁， 1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立 10．D【分析】根据互斥事件和相互独立事件的定义逐一判断即可得出答案. 【详解】解：因为M 表示事件“取到红桃”，包括“取到红桃J ”， N 表示事件“取到J”，包括“取到红桃J ”，所以事件,M N 可以同时发生，所以事件,M N 不是互斥事件，故①错误； 52张扑克牌中有13张红桃，4张J ，所以()()()1314113,,1524521344P M P N P M =====-=，事件M N ⋂表示“取到红桃J ”，有1张，事件MN 表示“取到除了红桃J 的J ”，有3张，所以()()()152P M N P M P N ⋂==，()()()352P M N P M P N ⋂==，所以M 与N 相互独立，M 与N 相互独立，故①①正确. 故选：D. 11．0.1【分析】利用正态分布对称性可求解. 【详解】由正态分布密度曲线对称性可知， (1)(01)(0)0.5P X P X P X ≤=<≤+<=，所以(0)0.1P X <=，所以(2)P x >=(0)0.1P X <=，故答案为:0.1. 12．4【分析】直接列举基本事件即可.【详解】从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种情况，其中（1，2，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，5）中三个数字之和为奇数，共有4种. 故答案为：4.13．15##0.2【分析】由二项分布和正态分布的期望、方差公式建立方程，求解即可. 【详解】解：因为随机变量X ，Y 分别满足(),XB n p ，()5,4Y N ，所以()()5E X np E Y ===，()()()14D X np p D Y =-==，解得125,5n p ==，故答案为：15.14．3或4【分析】先求得()P X k =的表达式，利用列不等式组的方法来求得使()P X k =取得最大值时k 的值. 【详解】依题意015,N k k ≤≤∈，依题意()1515151515151********C 1C C 344444kkk k k kk k k P X k ----⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()15150151141515151513130C 3,1C 354444P X P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅===⋅⋅=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()151154P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()()1501P X P X P X =<=<=，所以()0P X =、()15P X =不是()P X k =的最大项，当114k ≤≤时，由1511615151515151141515151511C 3C 34411C 3C 344k k k k k k k k ----+-⎧⋅⋅≥⋅⋅⎪⎪⎨⎪⋅⋅≥⋅⋅⎪⎩，整理得1151511515C 3C 3C C k k k k -+⎧≥⎨≥⎩，即()()()()()()15!15!3!15!1!16!15!15!3!15!1!14!k k k k k k k k ⎧≥⨯⎪⨯--⨯-⎪⎨⎪⨯≥⎪⨯-+⨯-⎩，整理得131631151k kk k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，163343315k k k k k -≥⎧⇒≤≤⎨+≥-⎩，所以当k 为3或4时，()P X k =取得最大值. 故答案为：3或415．（1）ˆ3240y x =-+．；（2）是.【分析】（1）先由表中的数据求出,x y ，再利用已知的数据和公式求出,b a ，从而可求出y 关于x 的回归直线方程；（2）当8x =时，求出y 的值，再与15比较即可得结论【详解】（1）因为()199.51010.511105x =++++=，()1111086585y =++++=，所以23925108ˆ 3.2502.5510b-⨯⨯==--⨯，得()ˆ8 3.21040a=--⨯=，于是y 关于x 的回归直线方程为 3.240ˆyx =-+；（2）当8x =时，ˆ 3.284014.4y=-⨯+=，则ˆ14.4150.60.65yy -=-=<，故可以认为所得到的回归直线方程是理想的. 16．该校应该选择乙班参赛．【分析】设有n 个数据为i x (1≤i≤n ，*i ∈N )，则其平均数为11n i i x x n ==∑，其方差为()2211n ii s x x n ==-∑，据此代入题干数据即可计算求解．【详解】由题意，知75788089859296857x ++++++==甲，75808085909095857x ++++++==乙．①()()()2222136075857885968577s ⎡⎤=⨯-+-++-=⎣⎦甲，()()()2222130075858085958577s ⎡⎤=⨯-+-++-=⎣⎦乙． ①x x =乙甲，22s s >乙甲．即两班平均成绩相同，但乙班成绩较甲班成绩稳定，故应该选择乙班参赛． 17．（1）395；（2）分布列见详解；()25E X =.【分析】（1）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解.（2）由题意可得0,1,2x =，再利用二项分布的概率计算公式列出分布列，从而求出数学期望. 【详解】（1）记恰好2名学生都是优秀的事件为A ，则()242206319095C P A C ===. （2）抽到一名优秀学生的概率为41205p ==， X 的取值为0,1,2，()2002411605525P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()111241815525P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()022241125525P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故X 的分布列为：()168120122525255E X =⨯+⨯+⨯= 18．(1)ˆ22144yt =- (2)3574亿元，2024年【分析】(1)根据所给数据先求出ˆ22b≈，再利用ˆˆa y bt =-求得ˆ144a ≈-，即可得回归方程；第 11 页共 11 页 (2) 2023年对应的13169x t =⇒=，代入回归方程计算即可；再令221444000t ->，解得188.4t >，即2188.4x >，即可求得所对应的年份.【详解】（1）解：易得()()()105110421 2.32710ˆ221.05110i i i i i t ty y b tt ==--⨯=≈≈⨯-∑∑， ˆˆ703.452238.5144ay bt =-≈-⨯≈-，故y 关于t 的回归直线方程为ˆ22144yt =-．（2）解：2023年对应的t 的值为169，故该年的营业收入为ˆ221691443574y =⨯-=（亿元），所以估计2023年的营业收入为3574亿元．依题意，有221444000t ->．解得188.4t >，即2188.4x >．因为1314<，所以估计营业收入首次超过4000亿元的年份序号为14．即2024年．。

高三数学概率与统计练习题及答案

高三数学概率与统计练习题及答案1. 选择题1) 设事件A发生的概率为P(A)=0.4，事件B发生的概率为P(B)=0.3，事件A和事件B相互独立，求事件A和事件B同时发生的概率。

A. 0.7B. 0.12C. 0.24D. 0.1答案：B. 0.122) 某班级有40名学生，其中有20名男生和20名女生，现从班级中随机选取2名学生，求至少有1名男生的概率。

A. 0.5B. 0.8C. 0.9D. 0.75答案：D. 0.753) 一枚正常的骰子被掷两次，求两次点数和为8的概率。

A. 1/36B. 1/18C. 1/12D. 1/9答案：C. 1/124) 一批零件中有10%的次品，现从中随机抽取3个零件，求恰好有2个次品的概率。

A. 1/10B. 3/5C. 1/5D. 3/10答案：D. 3/102. 计算题1) 设事件A和事件B相互独立，已知P(A)=0.5，P(B)=0.3，求P(A 并B)。

解：由于A和B相互独立，所以P(A并B) = P(A) × P(B) = 0.5 × 0.3 = 0.15。

2) 某公司的员工中，男性占总人数的40%，女性占总人数的60%。

已知男性中有10%的员工是经理，女性中有15%的员工是经理。

现在从公司的员工中随机选取一个人，求选中的人是经理的概率。

解：设事件A表示选中的人是男性，事件B表示选中的人是经理。

根据题目已知，P(A) = 0.4，P(B|A) = 0.1（表示在选中的人是男性的条件下，他是经理的概率），P(B|A') = 0.15（表示在选中的人不是男性的条件下，他是经理的概率）。

则选中的人是经理的概率可以表示为P(B) = P(A) × P(B|A) + P(A') ×P(B|A') = 0.4 × 0.1 + 0.6 × 0.15 = 0.065。

3) 一批电视机中有10%的次品，现从中随机抽取3台电视机，求抽取的3台电视机中至少有1台次品的概率。

(整理版)高考数学填空题编概率与统计

高考数学填空题试题分类汇编——概率与统计〔上海文数〕10. 从一副混合后的扑克牌〔52张〕中随机抽取2张，那么“抽出的2张均为红桃〞的概率为351〔结果用最简分数表示〕。

解析：考查等可能事件概率 “抽出的2张均为红桃〞的概率为513252213=C C〔湖南文数〕11.在区间[-1,2]上随即取一个数x ，那么x ∈[0,1]的概率为。

【答案】13〔辽宁文数〕〔13〕三张卡片上分别写上字母E 、E 、B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为。

解析：填13 题中三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：,,BEE EBE EEB ，∴概率为：1.3〔安徽文数〕(14)某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 .14.5.7% 【解析】该地拥有3套或3套以上住房的家庭可以估计有：50709900010005700990100⨯+⨯=户，所以所占比例的合理估计是5700100000 5.7%÷=.【方法总结】此题分层抽样问题，首先根据拥有3套或3套以上住房的家庭所占的比例，得出100 000户，居民中拥有3套或3套以上住房的户数，它除以100 000得到的值，为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计.〔重庆文数〕〔14〕加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，那么加工出来的零件的次品率为____________ . 解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率6968673170696870p =-⨯⨯=〔浙江文数〕〔11〕在如下图的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是、答案：45 46〔重庆理数〕〔13〕某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，那么该队员每次罚球的命中率为____________. 解析：由251612=-p 得53=p〔北京理数〕。

高中数学-概率与统计测试题

高中数学概率与统计测试题一、选择题：（本题共10小题，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②“当x 为某一实数时可使02x ”是不可能事件 ③“明天广州要下雨”是必然事件④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，其中正确命题的个数是（） A ．0 B. 1 C. 2 D. 32．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )．A ．a>b>cB ．b>c>aC ．c>a>bD ．c>b>a 3．下列说法一定正确的是（）A ．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B ．一枚硬币掷一次得到正面的概率是21，那么掷两次一定会出现一次正面的情况 C ．如买彩票中奖的概率是万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D ．随机事件发生的概率与试验次数无关 4．下列说法中，正确的是( )． A ．数据5，4，4，3，5，2的众数是4 B ．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C ．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D ．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数6．从一副扑克牌(54张)中抽取一张牌，抽到牌“K ”的概率是( )． A ．154B ．127C ．118D ．2275．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为( )．A ．14 B ．19 C ．16 D ．112 6．在所有的两位数(10~99)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( )．A ．56 B ．45 C ．23 D ．127．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40％，甲不输的概率为90％，则甲、乙两人下成和棋的概率为A ．60％B ．30％C ．10％D ．50％ 8．下列说法正确的是A ．某厂一批产品的次品率为110，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品 B ．气象部门预报明天下雨的概率是90﹪，说明明天该地区90﹪的地方要下雨，其余10﹪的地方不会下雨C ．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈D ．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5．9．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的( )．A ．平均数不变，方差不变B ．平均数改变，方差不变C ．平均数不变，方差改变D ．平均数改变，方差改变10．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为( )．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题：（本题共4小题，每小题3分，共12分，请把答案填写在答题纸上）11. 对于①“一定发生的”，②“很可能发生的”，③“可能发生的”，④“不可能发生的”，⑤“不太可能发生的”这5种生活现象，发生的概率由小到大排列为(填序号) 。

专题63 统计与概率专题训练(新高考地区专用)(解析版)

专题63 统计与概率专题训练一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．小笼包在生活中非常常见，不同地方做出来的小笼包有不同的特色，无锡有一家商铺制作一种一笼有8个且是8种口味的小笼包，这8种口味分别为蟹粉味、鹅肝味、墨鱼味、芝士味、麻辣味，蒜香味、人参味，酱香味，将这样的一笼小包取出，排成一排，则人参味小笼包既与蟹粉味小包相邻又与墨鱼味小笼包相邻的概率为( )。

A 、281B 、161C 、81 D 、72 【答案】A【解析】将这8种口味的小笼包排成一排有88A 种排法，人参味小笼包既与蟹粉味小包相邻又与墨鱼味小笼包相邻有6622A A ⋅种排法，故所求概率为281886622=⋅A A A ，故选A 。

2．组数1a 、2a 、3a 、…、n a 的平均数是x ，方差是2s ，则另一组数121-a 、122-a 、123-a 、…、12-n a 的平均数和方差分别是( )。

A 、12-x ，2sB 、12-x ，22sC 、x 2，2sD 、12-x ，12222++s s 【答案】C【解析】由题意可知，x a E n =)(，2)(s a D n =，+∈N n ，根据数学期望与方差的公式得：121)(2)12(-=-=-x a E a E n n ，222)()2()12(s a D a D n n ==-，故选C 。

3．某校欲从高三年级学生编排的4个歌舞节目和2个小品节目中随机选出3个节目，参加学校举行的”迎新春”文艺汇演，则所选的3个节目中至少有1个是小品节目的概率为( )。

A 、51B 、52 C 、53 D 、54 【答案】D【解析】从6个节目中任选3个共有2036=C 种选法，至少含有1个小品节目的共有1614222412=⋅+⋅C C C C 种选法，故所选的3个节目中至少有1个是小品节目的概率为542016=，故选D 。

2019高考数学真题14 概率与统计(选择题、填空题)

专题14 概率与统计（选择题、填空题）1．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ．【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生 C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，解得15n =，不合题意；若200610n =+，解得19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．23 B ．35 C ．25D ．15【答案】B【分析】首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式即可求解．【解析】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B b c A ，{,,},{,,},{,,}b c B b A B c A B ，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,,},{,,}b c A b c B ，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105，故选B ．【名师点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．4．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入为0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A．5．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3【答案】D【解析】设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有，共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有，共3种可能，则选中的2人都是女同学的概率为，故选D．【名师点睛】应用古典概型求概率的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率．6．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π4【答案】B【解析】不妨设正方形边长为a，由图形的对称性可知，太极图中黑、白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，所求概率为221π()π228a a ⨯⨯=，选B ．【名师点睛】对于一个具体问题能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将实验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个可度量的区域；另外，从几何概型的定义可知，在几何概型中，“等可能”一词理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与该区域的位置、形状无关．7．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B【解析】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B ．【名师点睛】众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．8．【2017年高考山东卷文数】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为A ．3，5B ．5，5C ．3，7D ．5，7【答案】A【解析】由题意，甲组数据为56，62，65，70x +，74，乙组数据为59，61，67，60y +，78．要使两组数据的中位数相等，则6560y =+，所以5y =，又平均数相同，则566265(70)74596167657855x +++++++++=，解得3x =．故选A ．【名师点睛】由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失；第二点是茎叶图便于记录和表示．缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐．利用茎叶图对样本进行估计时，要注意区分茎与叶，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．9．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由折线图，可知每年7月到8月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，A 错误；折线图整体呈现出增长的趋势，年接待游客量逐年增加，B 正确；每年的接待游客量7，8月份达到最高点，即各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，C 正确；每年1月至6月的月折线图平稳，月接待游客量波动性更小，7月至12月折线图不平稳，月接待游客量波动性大，D 正确．所以选A ．【名师点睛】用样本估计总体时统计图表主要有：（1）频率分布直方图，特点：频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应区间的频率，所有小长方形的面积之和为1；（2）频率分布折线图，连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图；（3）茎叶图，对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼出有用的信息和数据．10．【2017年高考天津卷文数】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A．45B．35C．25D．15【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，含有红色彩笔的选法有：红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，由古典概型的概率计算公式，可得所求概率42105P==．故选C．【名师点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，然后找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，代入公式()()n APnΩ=即可得解．11．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A．110B．15C．310D．25【答案】D【解析】如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：总计有25种情况，满足条件的有10种．所以所求概率为102255=．【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化． 12．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．【答案】0.98【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=．【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．13．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是______________．【答案】分层抽样【解析】由于从不同年龄段客户中抽取，故采用分层抽样，故答案为：分层抽样．14．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．【答案】53【解析】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=． 15．【2018年高考江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为______________．【答案】90【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为，，，，，故平均数为8989909191905++++=．16．【2018年高考江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为______________．【答案】310【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为310．17．【2017年高考江苏卷】记函数()f x =D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是______________．【答案】59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--．【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解． 18．【2017年高考江苏卷】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______________件．【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18．【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．。

概率与统计(选择、填空题)(文科专用)(解析版)-五年(18-22)高考数学真题分项汇编(全国通用)

专题15概率与统计（选择题、填空题）（文科专用）1．【2022年全国甲卷】某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【解析】【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为70%+75%2>70%,所以A错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%−80%=20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%−60%=35%>20%,所以D错.故选:B.2．【2022年全国甲卷】从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．15B．13C．25D．23【答案】C【解析】【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况，其中数字之积为4的倍数的有1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况，故概率为615=25.故选：C.3．【2022年全国乙卷】分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6【答案】C【解析】【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52=7.4，A选项结论正确.对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.116=8.50625>8，B选项结论正确.对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值616=0.375<0.4，C选项结论错误.对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值1316=0.8125>0.6，D选项结论正确.故选：C4．【2021年甲卷文科】为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【解析】【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.02⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(万元)，超过6.5万元，故C 错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距.5．【2021年甲卷文科】将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.8【答案】C 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.610，故选：C.6．【2021年乙卷文科】在区间10,2⎛⎤⎥⎝⎦随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（）A ．34B ．23C ．13D ．16【答案】B【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.【详解】设Ω=“区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭随机取1个数”，对应集合为：102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，区间长度为12，A =“取到的数小于13”，对应集合为：103x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，区间长度为13，所以()()()10231302l A P A l -===Ω-．故选：B ．【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于13”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确求出．7．【2020年新课标1卷文科】设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A ．15B ．25C ．12D ．45【答案】A 【解析】【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.【详解】如图，从O A B C D ,,,,5个点中任取3个有{,,},{,,},{,,},{,,}O A B O A C O A D O B C {,,},{,,},{,,},{,,}O B D O C D A B C A B D {,,},{,,}A C D B C D 共10种不同取法，3点共线只有{,,}A O C 与{,,}B O D 共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为21105=.【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.8．【2020年新课标3卷文科】设一组样本数据x 1，x 2，…，xn 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10xn 的方差为（）A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10【答案】C 【解析】【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.【详解】因为数据(1,2,,)i ax b i n +=L ，的方差是数据(1,2,,)i x i n =L ，的方差的2a 倍，所以所求数据方差为2100.01=1⨯故选：C 【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.9．【2019年新课标1卷文科】某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C 【解析】【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查系统抽样.10．【2019年新课标2卷文科】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．23B ．35C ．25D ．15【答案】B 【解析】【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．【详解】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B ，{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}b A b B A B A B 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,c,},{,c,}b A b B 共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105=，选B ．【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．11．【2019年新课标3卷文科】两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D 【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12．故选D ．【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．12．【2018年新课标2卷文科】从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3【答案】D 【解析】【详解】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为12,A A ，3名女同学为123,,B B B ，从以上5名同学中任选2人总共有12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有121323,,B B B B B B 共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件A ；第二步，分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；第三步，利用公式()mP A n=求出事件A 的概率.13．【2018年新课标3卷文科】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7【答案】B 【解析】【详解】分析：由公式()()()()P A B P A P B P AB ⋃=++计算可得详解：设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付，则()()()()P A B P A P B P AB 1⋃=++=因为()()P A 0.45,P AB 0.15==所以()P B 0.4=，故选B.点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题．14．【2022年全国乙卷】从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】310##0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为C 53=10甲、乙都入选的方法数为C 31=3，所以甲、乙都入选的概率=310故答案为：31015．【2018年新课标3卷文科】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．【答案】分层抽样.【解析】【详解】分析：由题可知满足分层抽样特点详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样故答案为分层抽样．点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题．。

2023高考数学概率知识点练习及答案

2023高考数学概率知识点练习及答案高考数学概率知识点练习及答案一、选择题1.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 69471417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 36619597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )A.0.852B.0.819 2C.0.8D.0.75答案：D 命题立意：本题主要考查随机模拟法，考查考生的逻辑思维能力.解题思路：因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1-=0.75，故选D.2.在菱形ABCD中，ABC=30°，BC=4，若在菱形ABCD内任取一点，则该点到四个顶点的距离均不小于1的概率是( )A. 1/2B.2C. -1D.1答案：D 命题立意：本题主要考查几何概型，意在考查考生的运算求解能力.解题思路：如图，以菱形的四个顶点为圆心作半径为1的圆，图中阴影部分即为到四个顶点的距离均不小于1的区域，由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P==.3.设集合A={1,2}，B={1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x+y=n上”为事件Cn(2≤n≤5，nN) ，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为( )A.3B.4C.2和5D.3和4答案：D 解题思路：分别从集合A和B中随机取出一个数，确定平面上的一个点P(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6种情况，a+b=2的有1种情况，a+b=3的有2种情况，a+b=4的有2种情况，a+b=5的有1种情况，所以可知若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为3和4，故选D.4.记a，b分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的概率为( )A. 3/4B.1/2C. 1/3D.1/4答案：B 解题思路：由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a，b，则基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36个.而方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的条件是a2-8b>0，因此满足此条件的基本事件有：(3,1)，(4,1)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，共有9个，故所求的概率为=.5.在区间内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为( )A.1-B.1-C.1-D.1-答案：B 解题思路：函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点，需Δ=4a2-4(-b2+π2)≥0，即a2+b2≥π2成立.而a，b[-π，π]，建立平面直角坐标系，满足a2+b2≥π2的点(a，b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为P===1-，故选B.6.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.5/6B.11/12C. 1/2D.3/4答案：B 解题思路：将同色小球编号，从袋中任取两球，所有基本事件为：(红，白1)，(红，白2)，(红，黑1)，(红，黑2)，(红，黑3)，(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白1，黑3)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(白2，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，共有15个基本事件，而为一白一黑的共有6个基本事件，所以所求概率P==.故选B.二、填空题7.已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P(x，y)，则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为________.答案：命题立意：本题考查线性规划知识以及几何概型的概率求解，正确作出点对应的平面区域是解答本题的关键，难度中等.解题思路：如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，满足条件x2+y2≤2的点分布在以为半径的四分之一圆面内，以面积作为事件的几何度量，由几何概型可得所求概率为=.8.从5名学生中选2名学生参加周六、周日社会实践活动，学生甲被选中而学生乙未被选中的概率是________.答案：命题立意：本题主要考查古典概型，意在考查考生分析问题的能力.解题思路：设5名学生分别为a1，a2，a3，a4，a5(其中甲是a1，乙是a2)，从5名学生中选2名的选法有(a1，a2)，(a1，a3) ，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)，共10种，学生甲被选中而学生乙未被选中的选法有(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，共3种，故所求概率为.9.已知函数f(x)=kx+1，其中实数k随机选自区间，则对x∈[-1,1]，都有f(x)≥0恒成立的概率是________.答案：命题立意：本题主要考查几何概型，意在考查数形结合思想.解题思路：f(x)=kx+1过定点(0,1)，数形结合可知，当且仅当k[-1,1]时满足f(x)≥0在x[-1，1]上恒成立，而区间[-1,1]，[-2,1]的区间长度分别是2,3，故所求的概率为.10.若实数m，n{-2，-1,1,2,3}，且m≠n，则方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线的概率是________.解题思路：实数m，n满足m≠n的基本事件有20种，如下表所示.-2 -1 1 2 3 -2 (-2，-1) (-2,1) (-2,2) (-2,3) -1 (-1，-2) (-1,1) (-1,2) (-1,3) 1 (1，-2) (1，-1) (1,2) (1,3) 2 (2，-2) (2，-1) (2,1) (2,3) 3 (3，-2) (3，-1) (3,1) (3,2) 其中表示焦点在y轴上的双曲线的事件有(-2,1)，(-2,2)，(-2,3)，(-1,1)，(-1,2)，(-1,3)，共6种，因此方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线的概率为P==.三、解答题11.袋内装有6个球，这些球依次被编号为1,2,3，…，6，设编号为n的球重n2-6n+12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响).(1)从袋中任意取出1个球，求其重量大于其编号的概率;(2)如果不放回地任意取出2个球，求它们重量相等的概率.命题立意：本题主要考查古典概型的基础知识，考查考生的计算能力.解析：(1)若编号为n的球的重量大于其编号，则n2-6n+12>n，即n2-7n+12>0.解得n<3或n>4.所以n=1,2,5,6.所以从袋中任意取出1个球，其重量大于其编号的概率P==.(2)不放回地任意取出2个球，这2个球编号的所有可能情形为：1,2;1,3;1,4;1,5;1,6;2,3;2,4;2,5;2,6;3,4;3,5;3,6;4,5;4,6;5,6.共有15种可能的情形.设编号分别为m与n(m，n{1,2,3,4,5,6}，且m≠n)的球的重量相等，则有m2-6m+12=n2-6n+12，即有(m-n)(m+n-6)=0.所以m=n(舍去)或m+n=6.满足m+n=6的情形为1,5;2,4，共2种情形.故所求事件的概率为.12.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b，求关于x 的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实根的概率;(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为m，将球放回袋中，然后从袋中随机取一个球，该球的编号记为n.若以(m，n)作为点P的坐标，求点P落在区域内的概率.命题立意：(1)不放回抽球，列举基本事件的个数时，注意不要出现重复的号码;(2)有放回抽球，列举基本事件的个数时，可以出现重复的号码，然后找出其中随机事件含有的基本事件个数，按照古典概型的公式进行计算.解析：(1)设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.当a>0，b>0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.以下第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.基本事件共12个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3).事件A中包含6个基本事件：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3).事件A发生的概率为P(A)==.(2)先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点P(m，n)的所有可能情况为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个.落在区域内的有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共4个，所以点P落在区域内的概率为.13.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中实数a的值;(2)若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数;(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.命题立意：本题以频率分布直方图为载体，考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想方法.解析：(1)由已知，得10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，解得a=0.03.(2)根据频率分布直方图可知，成绩不低于60分的频率为1-10×(0.005+0.01)=0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544.(3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2，这2人分别记为A，B;成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个.如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7个.所以所求概率为P(M)=.14.新能源汽车是指利用除汽油、柴油之外其他能源的汽车，包括燃料电池汽车、混合动力汽车、氢能源动力汽车和太阳能汽车等，其废气排放量比较低，为了配合我国“节能减排”战略，某汽车厂决定转型生产新能源汽车中的燃料电池轿车、混合动力轿车和氢能源动力轿车，每类轿车均有标准型和豪华型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：燃料电池轿车混合动力轿车氢能源动力轿车标准型 100 150 y 豪华型 300 450 600 按能源类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中燃料电池轿车有10辆.(1)求y的值;(2)用分层抽样的方法在氢能源动力轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆轿车，求至少有1辆标准型轿车的概率;(3)用随机抽样的方法从混合动力标准型轿车中抽取10辆进行质量检测，经检测它们的得分如下：9.3,8.7,9.1,9.5,8.8,9.4,9.0,8.2,9.6,8.4.把这10辆轿车的得分看作一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.4的概率.命题立意：本题主要考查概率与统计的相关知识，考查学生的运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.对于第(1)问，设该厂这个月生产轿车n辆，根据分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有燃料电池轿车10辆，列出关系式，得到n的值，进而得到y值;对于第(2)问，由题意知本题是一个古典概型，用列举法求出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果;对于第(3)问，首先求出样本的平均数，求出事件发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果.解析：(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意，得=，n=2 000，y=2 000-(100+300)-150-450-600=400.(2)设所抽样本中有a辆标准型轿车，由题意得a=2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆标准型轿车，3辆豪华型轿车，用A1，A2表示2辆标准型轿车，用B1，B2，B3表示3辆豪华型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆轿车，其中至少有1辆标准型轿车”，则总的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个，事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个，故所求概率为P(E)=.(3)样本平均数=×(9.3+8.7+9.1+9.5+8.8+9.4+9.0+8.2+9.6+8.4)=9.设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.4”，则总的基本事件有10个，事件D包括的基本事件有9.3,8.7,9.1,8.8,9.4,9.0，共6个.所求概率为P(D)==.。

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《概率与统计》专项练习（选择填空题）【考点一】古典概型1．（2016全国I 卷，文3，5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )（A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）65解法一：（重复的树状图）设红、黄、白、紫分别为a 、b 、c 、d 第1个花盆的树状图如下所有可能的结果有12种红色和紫色的花不在同一花坛，则要把ad 和bc 都要排除红色和紫色的花不在同一花坛的结果有8种∴红色和紫色的花不在同一花坛的概率P ＝128＝32解法二：（不重复的树状图）设红、黄、白、紫分别为a 、b 、c 、d种在第1个花盆的树状图如下所有可能的结果有6种红色和紫色的花不在同一花坛，则要把ad 和bc 都要排除红色和紫色的花不在同一花坛的结果有4种∴红色和紫色的花不在同一花坛的概率P ＝64＝32解法三：（列举法）设红、黄、白、紫分别为a 、b 、c 、d则种在第1个花盆所有可能的结果有：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6种红色和紫色的花不在同一花坛的结果有：(a ，b )，(a ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共4种（说明：(a ，d )和(b ，c )都要排除）∴红色和紫色的花不在同一花坛的概率P ＝64＝32【小结】列出所有可能的结果，找到符合条件的结果，注意要排除不符合条件的结果．2．（2017广州一模，文7，5分）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为( )（A ）14 （B ）716 （C ）12 （D ）916解法一：树状图设四个人别为①、②、③、④，正面为A ，反面为B树状图如下所有可能的结果有16种没有相邻的两个人站起来的结果有7种（注意排除ABBA 种情况）b c d a c d a b d a b c √　√ √ √　√ √ √　√a b c d b c d c d d √　√ √　√a b c① A B② A B A B ③　A B A B A B A B④A B A B A B A B A B A B A B A B √ √ √　√ √　√　√7∴红色和紫色的花不在同一花坛的概率P＝16解法二：列举法（列举法容易出现错误，建议采用解法一的树状图）设四个人别为①、②、③、④，正面为A，反面为B所有可能的结果有：（①，②，③，④）(A，A，A，A)，(A，A，A，B)，(A，A，B，A)，(A，A，B，B)(A，B，A，A)，(A，B，A，B)，(A，B，B，A)，(A，B，B，B)(B，A，A，A)，(B，A，A，B)，(B，A，B，A)，(B，A，B，B)(B，B，A，A)，(B，B，A，B)，(B，B，B，A)，(B，B，B，B)共16种没有相邻的两个人站起来的结果有：(A，B，A，B)，(A，B，B，B)，(B，A，B，A)，(B，A，B，B)(B，B，A，B)，(B，B，B，A)，(B，B，B，B)，共7种（说明：(A，B，B，A)要排除）7∴红色和紫色的花不在同一花坛的概率P＝163．（2015全国Ⅰ卷，文4，5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A．B．C．D．【解析】从1，2，3，4，5中任取3个不同的数有10种取法：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)其中能构成一组勾股数的有1种：(3，4，5)∴所求事件的概率P＝，故选C．4．（2014全国Ⅰ卷，文13，5分）．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为______．【解析】设2本不同的数学书为a1、a2，1本语文书为b在书架上的排法有：a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种其中2本数学书相邻的有a1a2b，a2a1b，ba1a2，ba2a1，共4种∴2本数学书相邻的概率P＝＝．5．（2014全国Ⅱ卷，文13，5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为______．【解析】甲、乙的选择方案有红红、红白、红蓝、白红、白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝蓝，共9种其中颜色相同的有3种∴所求概率为＝．6．（2013全国Ⅰ卷，文3，5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A．B．C．D．【解析】从1，2，3，4中任取2个不同的数共有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种不同的结果取出的2个数之差的绝对值为2的有(1，3)，(2，4)，共2种结果∴概率为，故选B．7．（2013全国Ⅱ卷，文13，5分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是______．【解析】任取两个不同的数的情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10种其中和为5的有2种∴所求概率为＝0.28．（2011全国Ⅰ卷，文6，5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】甲、乙两人都有3种选择，共有3×3＝9种情况甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P ＝＝，故选A ．9．（2016江苏，文7，5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______．【解析】先后抛掷2次(1，1)(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)(2，1)(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)(3，1)(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)(4，1)(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)(5，1)(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)(6，1)(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)基本事件总数有36种点数之和小于10的基本事件共有30种 ∴所求概率为305.366=10．（2016四川，文13，5分）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是______．【解析】从2，3，8，9中任取两个不同的数字(2，3)，(2，8)，(2，9)(3，2)，(3，8)，(3，8)(8，2)，(8，3)，(8，9)(9，2)，(9，3)，(9，8)共12种log a b 为整数只有log 28，log 39两个基本事件 ∴所求概率21126P==．11．（2016天津，文2，5分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为( ) （A ）65 （B ）52 （C ）61 （D ）31 【解析】甲不输的概率＝21＝31＝65，故选A ．12．（2016全国Ⅲ卷，文5，5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )（A ）815 （B ）18 （C ）115 （D ）130【解析】开机密码的可能有(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，共15种可能∴小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C．【考点二】几何概型13（2016全国Ⅱ卷，文8，5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()（A）710（B）58（C）38（D）310【解析】∵红灯持续时间为40秒∴这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=，故选B．【考点三】统计14．（2016山东，文3，5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是()（A）56（B）60（C）120（D）140【答案】D【解析】由频率分布直方图知，自习时间不少于22．5小时的人数是200(0.160.080.04) 2.5140⨯++⨯=，选D．15．（2016上海，文4，5分）4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1．80，1.69，1.76，则这组数据的中位数是______米）．【答案】1.76【解析】将这5位同学的身高按照从低到高排列为：1.69，1.72，1.76，1.78，1.80，这五个数的中位数是1.76．。