高中数学导数知识点

导数知识点

考试要求：

（1）了解导数概念的某些实际背景

（2）理解导数的几何意义

（3）掌握函数的导数公式

（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、 极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．

（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．

知识要点

1.导数的几何意义：

函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-

2． 导数的四则运算法则：

''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒

''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）

)0(2'''≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v u v vu v u

3.函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，

如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；

如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数.

⑵常数的判定方法；

如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.

4. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）

当函数)(x f 在点0x 处连续时，

①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；

②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.

也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①

. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②

. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.

例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.

②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.

5. 极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

6. 几种常见的函数导数：

I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= II. x x 1)(ln '= e x

x a a log 1)(log '= x x e e =')( a a a x x ln )('=