2015年陕西省高考数学试题与答案(理科)与解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)陕西卷
2015年陕西理一、选择题（共12小题；共60分）1. 设集合M={x∣ x2=x}，N={x∣ lgx≤0}，则M∪N=( )A. [0,1]B. (0,1]C. [0,1)D. (−∞,1]2. 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A. 93B. 123C. 137D. 167+φ)+k．据此函数可3. 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6知，这段时间水深（单位：m）的最大值为( )A. 5B. 6C. 8D. 104. 二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15，则n=( )A. 7B. 6C. 5D. 45. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 3πB. 4πC. 2π+4D. 3π+46. “ sinα=cosα”是“ cos2α=0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 对任意向量a⃗，b⃗⃗，下列关系式中不恒成立的是( )A. ∣∣a⃗⋅b⃗⃗∣∣≤∣a⃗∣∣∣b⃗⃗∣∣B. ∣∣a⃗−b⃗⃗∣∣≤∣∣∣∣a⃗∣−∣∣b⃗⃗∣∣∣∣∣C. (a⃗+b⃗⃗)2=∣∣a⃗+b⃗⃗∣∣2D. (a⃗+b⃗⃗)⋅(a⃗−b⃗⃗)=a⃗2−b⃗⃗28. 根据框图，当输入x为2006时，输出的y=( )A. 2B. 4C. 10D. 289. 设f(x)=lnx，0<a<b，若p=f(√ab)，q=f(a+b2)，r=12(f(a)+f(b))，则下列关系式中正确的是( )A. q=r<pB. p=r<qC. q=r>pD. p=r>q10. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A. 12万元B. 16万元C. 17万元D. 18万元11. 设复数z=(x−1)+yi(x,y∈R)，若∣z∣≤1，则y≥x的概率为( )A. 34+12πB. 12+1πC. 12−1πD. 14−12π12. 对二次函数f(x)=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A. −1是f(x)的零点B. 1是f(x)的极值点C. 3是f(x)的极值D. 点(2,8)在曲线y=f(x)上二、填空题（共4小题；共20分）13. 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．14. 若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2−y2=1的一个焦点，则p=．15. 设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为．16. 如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．三、解答题（共8小题；共104分）17. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量m⃗⃗⃗=(a,√3b)与n⃗⃗=(cosA,sinB)平行．（1）求A；（2）若a=√7，b=2，求△ABC的面积．18. 如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=π2，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图②．（1）证明：CD⊥平面A1OC；（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．19. 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T(分钟)25303540频数(次)20304010（1）求T的分布列与数学期望ET；（2）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0,b)的直线的距离为12c．（1）求椭圆 E 的离心率；（2）如图，AB 是圆 M ：(x +2)2+(y −1)2=52 的一条直径，若椭圆 E 经过 A ，B 两点，求椭圆 E 的方程．21. 设 f n (x ) 是等比数列 1,x,x 2,⋯,x n 的各项和，其中 x >0，n ∈N ，n ≥2．（1）证明：函数 F n (x )=f n (x )−2 在 (12,1) 内有且仅有一个零点（记为 x n ），且 x n =12+12x nn+1； （2）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 g n (x )，比较 f n (x ) 和 g n (x ) 的大小，并加以证明．22. 如图，AB 切 ⊙O 于点 B ，直线 AO 交 ⊙O 于 D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为 C ．（1）证明：∠CBD =∠DBA ； （2）若 AD =3DC ，BC =√2，求 ⊙O 的直径．23. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 {x =3+12t,y =√32t（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为 ρ=2√3sinθ． （1）写出 ⊙C 的直角坐标方程； （2）P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．24. 已知关于 x 的不等式 ∣x +a∣<b 的解集为 {x∣ 2<x <4}．（1）求实数 a ，b 的值；（2）求 √at +12+√bt 的最大值．答案第一部分1. A2. C 【解析】由图可知该校女教师的人数为110×70%+150×(1−60%)=77+60= 137．3. C 【解析】提示：函数y=3sin(π6+φ)+k为y=3sin(π6+φ)+5，这段时间水深的最大值为y=3+5=8．4. B5. D【解析】提示：该几何体是底面半径为1，高为2的圆柱的一半．6. A7. B8. C 【解析】提示：当x=−2时，结束循环，输出y=3−(−2)+1=10．9. B 【解析】提示：12(lna+lnb)=ln√ab，√ab<a+b2，f(x)=lnx是定义域上的增函数．10. D【解析】提示：设该企业每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，则该企业每天可获得利润为z=3x+4y万元．其中x，y满足约束条件{3x+2y≤12, x+2y≤8, x≥0,y≥0.11. D 【解析】提示：满足题意的复数z在复平面上所对应的点是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部的点，其中满足y≥x的是图中阴影部分．12. A 【解析】由−1是f(x)的零点，得a−b+c=0. ⋯⋯①；由1是f(x)的极值点，得2a+b=0. ⋯⋯②；由3是f(x)的极值，得4ac−b 24a=3. ⋯⋯③；由点(2,8)在曲线y=f(x)上，得4a+2b+c=8. ⋯⋯④．联立①②③解得a=−34；联立②③④解得a=5，从而可判断出错误的结论为−1是f(x)的零点．第二部分13. 5【解析】提示：设数列的首项为a1，则a1+2015=2×1010．14. 2√2【解析】抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=−p2(p>0)，故直线x=−p2过双曲线x2−y2=1的左焦点(−√2,0)，从而−p2=−√2，解得p=2√2．15. (1,1)【解析】因为曲线y=e x在点(0,1)处的切线斜率为1，所以曲线y=1x上点P处的切线斜率为−1，故−1x2=−1，又因为x>0，所以x=1，所以P的坐标为(1,1)．16. 1.2【解析】提示：建立如图所示的直角坐标系，易得抛物线为y=225x2−2．因为原始的最大流量与当前最大流量的比值为相应截面面积的比值，又四边形ABCD的面积为16m2，四边形ABCD中除去阴影部分的面积为∫(2−225x2)5−5dx=403m2，所以所求比值为1.2．第三部分17. （1）因为m⃗⃗⃗∥n⃗⃗，所以asinB−√3bcosA=0．由正弦定理，得sinAsinB−√3sinBcosA=0，又sinB≠0，从而tanA=√3．由于0<A<π，所以A=π3．（2）方法一：由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccosA，而a=√7，b=2，A=π3，得7=4+c2−2c，即c2−2c−3=0．因为c>0，所以c=3．故△ABC的面积为12bcsinA=3√32．方法二：由正弦定理，得√7sinπ3=2sinB，从而sinB=√217．又由a>b，知A>B，所以cosB=2√77．故sinC=sin(A+B)=sin(B+π3)=sinBcosπ3+cosBsinπ3=3√2114．所以△ABC的面积为12absinC=3√32．18. （1）在题图①中，因为AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=π2，所以BE⊥AC．即在题图②中，BE⊥OA1，BE⊥OC，又因为OA1∩OC=O从而 BE ⊥平面A 1OC ． 又 CD ∥BE ，所以 CD ⊥平面A 1OC ．（2） 由已知，平面 A 1BE ⊥平面BCDE ， 又由（1）知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ， 所以 ∠A 1OC 为二面角 A 1−BE −C 的平面角， 所以 ∠A 1OC =π2．如图，以 O 为原点，建立空间直角坐标系，因为 A 1B =A 1E =BC =ED =1，BC ∥ED ， 所以 B (√22,0,0)，E (−√22,0,0)，A 1(0,0,√22)，C (0,√22,0)， 得 BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√22,√22,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,√22,−√22)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√2,0,0)． 设平面 A 1BC 的法向量 n 1⃗⃗⃗⃗⃗=(x 1,y 1,z 1)，平面 A 1CD 的法向量 n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(x 2,y 2,z 2)，平面 A 1BC 与平面 A 1CD 的夹角为 θ，则{n 1⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,n 1⃗⃗⃗⃗⃗⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,得 {−x 1+y 1=0,y 1−z 1=0,取 n 1⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,1)； {n 2⃗⃗⃗⃗⃗⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,n 2⃗⃗⃗⃗⃗⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,得 {x 2=0,y 2−z 2=0, 取 n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,1)； 从而cosθ=∣cos ⟨n 1⃗⃗⃗⃗⃗,n 2⃗⃗⃗⃗⃗⟩∣=√3×√2=√63, 即平面 A 1BC 与平面 A 1CD 夹角的余弦值为 √63． 19. （1） 由统计结果可得 T 的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得 T 的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）．（2）设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．方法一：P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.方法二：P(A)=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09.故P(A)=1−P(A)=0.91．20. （1）过点(c,0)，(0,b)的直线方程为bx+cy−bc=0，则原点O到该直线的距离为d=√b2+c2= bca,由d=12c，得a=2b=2√a2−c2，解得离心率为ca=√32．（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. ⋯⋯①依题意，圆心M(−2,1)是线段AB的中点，且∣AB∣=√10．易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y=k(x+2)+1，代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2−4b2=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−8k(2k+1)1+4k2,x1x2=4(2k+1)2−4b21+4k2.由x1+x2=−4，得−8k(2k+1)1+4k2=−4，解得k=12．从而x1x2=8−2b2．于是∣AB∣=√1+(12)2∣x1−x2∣=√52√(x1+x2)2−4x1x2=√10(b2−2).由∣AB∣=√10，得√10(b2−2)=√10，解得b2=3．故椭圆E的方程为x 212+y23=1．方法二：由（1）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. ⋯⋯②依题意，点A，B，关于圆心M(−2,1)对称，且∣AB∣=√10．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x12+4y12=4b2，x22+4y22=4b2，两式相减并结合 x 1+x 2=−4，y 1+y 2=2，得−4(x 1−x 2)+8(y 1−y 2)=0.易知 AB 与 x 轴不垂直，则 x 1≠x 2，所以 AB 的斜率 k AB =y 1−y 2x 1−x 2=12．因此直线 AB 的方程为 y =12(x +2)+1，代入 ② 得 x 2+4x +8−2b 2=0. 所以 x 1+x 2=−4，x 1x 2=8−2b 2．于是∣AB∣=√1+(12)2∣x 1−x 2∣=√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√10(b 2−2). 由 ∣AB∣=√10，得 √10(b 2−2)=√10，解得 b 2=3． 故椭圆 E 的方程为 x 212+y 23=1．21. （1）F n (x )=f n (x )−2=1+x +x 2+⋯+x n −2,则 F n (1)=n −1>0．F n (12)=1+12+(12)2+⋯+(12)n−2=1−(12)n+11−12−2=−12n <0,所以 F n (x ) 在 (12,1) 内至少存在一个零点．又 Fʹn (x )=1+2x +⋯+nx n−1>0，故 F n (x ) 在 (12,1) 内单调递增，所以 F n (x ) 在 (12,1) 内有且仅有一个零点 x n ． 因为 x n 是 F n (x ) 的零点，所以 F n (x n )=0，即1−x nn+11−x n−2=0,故 x n =12+12x n n+1．（2） 方法一： 由题设，g n (x )=(n+1)(1+x n )2．设ℎ(x )=f n (x )−g n (x )=1+x +x 2+⋯+x n−(n +1)(1+x n )2,x >0.当 x =1 时，f n (x )=g n (x )． 当 x ≠1 时，ℎʹ(x )=1+2x +⋯+nx n−1−n (n +1)2⋅x n−1. 当 x >1 时，ℎʹ(x )<x n−1+2x n−1+⋯+nx n−1−n (n +1)2⋅x n−1=n (n +1)2⋅x n−1−n (n +1)2⋅x n−1=0. 当 0<x <1 时，ℎʹ(x)>x n−1+2x n−1+⋯+nx n−1−n(n+1)2⋅x n−1=n(n+1)2⋅x n−1−n(n+1)2⋅x n−1=0.所以ℎ(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减．所以ℎ(x)<ℎ(1)=0，即f n(x)<g n(x)．综上所述，当x=1时，f n(x)=g n(x)；当x≠1时，f n(x)<g n(x)．方法二：由题设，f n(x)=1+x+x2+⋯+x n，g n(x)=(n+1)(1+x n)2,x>0．当x=1时，f n(x)=g n(x)．当x≠1时，用数学归纳法可以证明f n(x)<g n(x)．①当n=2时，f2(x)−g2(x)=−12(1−x)2<0，所以f2(x)<g2(x)成立．②假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即f k(x)<g k(x)．那么，当n=k+1时，f k+1(x)=f k(x)+x k+1<g k(x)+x k+1=(k+1)(1+x k)2+x k+1=2x k+1+(k+1)x k+k+12.又g k+1(x)−2x k+1+(k+1)x k+k+12=kx k+1−(k+1)x k+12.令ℎk(x)=kx k+1−(k+1)x k+1(x>0)，则ℎʹk(x)=k(k+1)x k−k(k+1)x k−1=k(k+1)x k−1(x−1).所以当0<x<1时，ℎʹk(x)<0，ℎk(x)在(0,1)上递减；当x>1时，ℎʹk(x)>0，ℎk(x)在(1,+∞)上递增．所以ℎk(x)>ℎk(1)=0，从而g k+1(x)>2x k+1+(k+1)x k+k+12．故f k+1(x)<g k+1(x)，即n=k+1时不等式也成立．由①和②知，对一切n≥2的整数，都有f n(x)<g n(x)．综上所述，当x=1时，f n(x)=g n(x)；当x≠1时，f n(x)<g n(x) .22. （1）因为DE为⊙O直径，所以∠BED+∠EDB=90∘，又BC⊥DE，所以∠CBD+∠EDB=90∘，从而∠CBD=∠BED．又AB切⊙O于点B，得∠DBA=∠BED，所以 ∠CBD =∠DBA ．（2） 由（1）知 BD 平分 ∠CBA ，则 BA BC =AD CD =3． 又 BC =√2，从而 AB =3√2．所以 AC =√AB 2−BC 2=4，所以 AD =3．由切割线定理，得 AB 2=AD ⋅AE ，即 AE =AB 2AD =6，故 DE =AE −AD =3，即 ⊙O 的直径为 3．23. （1） 由 ρ=2√3sinθ，得 ρ2=2√3ρsinθ， 从而有 x 2+y 2=2√3y ，所以 x 2+(y −√3)2=3．（2） 设 P (3+12t,√32t)， 又 C(0,√3)，则 ∣PC∣=√(3+12t)2+(√32t −√3)2=√t 2+12， 故当 t =0 时，∣PC∣ 取得最小值，此时，点 P 的直角坐标为 (3,0)．24. （1） 由 ∣x +a∣<b ，得 −b −a <x <b −a ，则 {−b −a =2,b −a =4, 解得 {a =−3,b =1.（2） √−3t +12+√t=√3√4−t +√t≤√[(√3)2+12][(√4−t)2+(√t)2]=2√4−t +t =4,当且仅当√4−t √3=√t 1，即 t =1 时等号成立，故 (√−3t +12+√t)max =4．。
2015年陕西高考理科数学试题及答案
2015年高考陕西省理科数学真题一、选择题1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）A ．167B ．137C ．123D ．933.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ） A ．5B ．6C ．8D ．104.二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+ 6. “sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要 7.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．|?|||||a b a b ≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22(a b)(a b)a b +-=-8.根据下边的图，当输入x 为2006时，输出的y =（ ）A ．28B ．10C ．4D ．29.设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ） A ．q r p =< B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>10.某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率（ ） A ．3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．112π+ 12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．-1是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值D ．点(2,8)在曲线()y f x =上二、填空题13.中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p=15.设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标为 16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为三、解答题17.C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． 向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．()I 求A ； ()II 若7a =，2b =求C ∆AB 的面积．18.如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．()I 证明：CD ⊥平面1C A O ；()II 若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．19.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：()I 求T 的分布列与数学期望ET ；()II 刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20.已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ． ()I 求椭圆E 的离心率；()II 如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．21.设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．()I 证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+； ()II 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．22.如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．()I 证明：C D D ∠B =∠BA ；()II 若D 3DC A =，C 2B =，求O 的直径．23.在直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为13232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为23sin ρθ=．()I 写出C 的直角坐标方程；()II P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．2015年高考陕西省理科数学真题答案一、选择题 1.答案：A 解析过程： 由==⇒=2{x }{0,1},M xx M=≤⇒=<≤N {x lg 0}N {x 0x 1}x所以0,1MN ⎡⎤=⎣⎦，选A2.答案：B解析过程：由图可知该校女教师的人数为，选B3.答案：C 解析过程：试题分析：由图像得， 当时，求得， 当时，，选C4.答案：B 解析过程：二项式(1)nx +的展开式的通项是1r rr n T C x +=，令2r =得2x 的系数是2n C ，因为2x 的系数为15，所以215n C =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-， 因为n N +∈，所以6n =，选C 5.答案：D 解析过程：试题分析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半， 所以该几何体的表面积为，选 6. 答案：A11070%150(160%)7760137⨯+⨯-=+=sin()16x π+Φ=-min 2y =5k =sin()16x π+Φ=max 3158y =⨯+=21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+D解析过程：ααα=⇒-=22cos 20cos sin 0αααα⇒-+=(cos sin )(cos sin )0所以sin cos 或sin =-cos αααα=，选A 7.答案：B 解析过程：因为cos ,a b a b a b a b ⋅=<>≤，所以选项A 正确；当a 与b 方向相反时，a b a b -≤-不成立，所以选项B 错误； 向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；22(a b)(a b)a b +-=-所以选项D 正确，选B8.答案：C 解析过程：初始条件：；第1次运行：；第2次运行：； 第3次运行：；；第1003次运行：； 第1004次运行：．不满足条件，停止运行， 所以输出的，故选 B ．9.答案：B 解析过程：()ln p f ab ab ==，()ln22a b a bq f ++==， 11(()())ln ln 22r f a f b ab ab =+==函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b ab +>，所以()()2a bf f ab +>， 所以q p r >=，故选C10.答案：D 解析过程：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润2006x =2004x =2002x =2000x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅0x =2x =-0?x ≥23110y =+=x y 34z x y =+由题意可列，其表示如图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值， 所以，故选D 11.答案：D解析过程：如图可求得，，阴影面积等于 若，则的概率是，故选B ． 12.答案：A 解析过程：假设选项A 错误，则选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+， 因为1是()f x 的极值点，3是()f x 的极值，所以(1)0(1)3f f '=⎧⎨=⎩，203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得23b ac a=-⎧⎨=+⎩，因为点(2,8)在曲线()y f x =上，所以428a b c ++=， 解得：5a =，所以10b =-，8c =， 所以2()5108f x x x =-+因为()215(1)10(1)8230f -=⨯--⨯-+=≠，所以1-不是()f x 的零点，所以假设成立，选A 二、填空题 13.答案：5 解析过程：设数列的首项为，则，32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩340x y z +-=(2,3)A z max 324318z =⨯+⨯=2222(1)||(1)1(1)1z x yi z x y x y =-+⇒=-+≤⇒-+≤(1,1)A (1,0)B 21111114242ππ⨯-⨯⨯=-||1z ≤y x ≥211142142πππ-=-⨯1a 12015210102020a +=⨯=所以，故该数列的首项为 14.答案：22 解析过程：抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2px =-， 双曲线221x y -=的一个焦点1(2,0)F -， 因为抛物线22(0)y px p =>的准线 经过双曲线221x y -=的一个焦点， 所以22p-=-，解得22p = 15.答案：（1,1） 解析过程：因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则， 因为，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率， 因为，所以，即，解得， 因为，所以，所以，即的坐标是 16.答案：1.2 解析过程：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是， 设抛物线的方程为（）， 因为该抛物线过点，所以，15a =5xy e =xy e '=xy e =()0,10101x k y e ='===P ()00,x y 00x >001y x =1y x =21y x'=-1y x=P 02201x x k y x ='==-121k k ⋅=-2011x -=-21x =01x =±00x >01x =01y =P ()1,1()11010222162⨯+-⨯⨯=22x py =0p >()5,22225p ⨯=解得，所以，即， 所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是三、解答题 17.答案：（I ）；（II ）．解析过程：（I ）因为，所以，由正弦定理，得 又，从而，由于，所以(II)解法一：由余弦定理，得而得，即因为，所以.故ABC 的面积为2sin sin3B=，从而sin 7B =，又由a b >，知A B >，所以cos B =故sin sin()C A B =+sin()3B π=+sin coscos sin33B B ππ=+=254p =2252x y =2225y x =()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰161.2403=3π//m n sin 3cos 0a B b A sinAsinB 3sinBcos A 0sin 0B ≠tan 3A 0A π<<3A π=2222cos a b c bc A 7b 2,a 3πA =2742c c 2230c c 0c3c ∆133bcsinA 22所以ABC ∆的面积为133sin 2bc A = 18.答案：（I ）证明见解析；（II ）解析过程：（I ）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，BAD=，所以BE AC 即在图2中，BE ，BE OC 从而BE 平面又CD BE ，所以CD 平面. (II)由已知，平面平面BCDE ， 又由（1）知，BE ，BE OC所以为二面角的平面角，所以.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为, 所以 得 ，.设平面的法向量， 平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取，，得，取， 6∠2π⊥⊥1OA ⊥⊥1A OC ⊥1A OC 1A BE ⊥⊥1OA ⊥1A OC ∠1--C A BE 1OC 2A π∠=11B=E=BC=ED=1A A BC ED 12222(,0,0),E(,0,0),A (0,0,),C(0,,0),2222B 22BC(,,0),122A C(0,,)CD BE (2,0,0)1BC A 1111(,,)n x y z 1CD A 2222(,,)n x y z 1BC A 1CD A θ1110n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩1(1,1,1)n 2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22200x y z =⎧⎨-=⎩2(0,1,1)n =从而， 即平面与平面夹角的余弦值为 19.答案：()I T 的分布列为：ET=32（分钟）()II解析过程：以频率估计概率得T 的分布列为从而 （分钟） (II)设分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟， 所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：.解法二：故.20.答案：()I ()II22x y +=1123 解析过程：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为，12cos |cos ,|n n θ=〈〉==1BC A 1CD A 30.910.4400.132⨯+⨯=12,T T 12,T T 121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T 12P(40,40)T T 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=(A)1P(A)0.91P 0bx cy bc则原点O 到直线的距离，由， 得，解得离心率. (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为. (1)依题意，圆心M(-2,1)是线段AB 的中点，且. 易知，AB 不与x 轴垂直， 设其直线方程为，代入(1)得设则 由，得解得. 从而.于是. 由，得，解得. 故椭圆E 的方程为. 解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为. (2)依题意，点A ，B 关于圆心M(-2,1)对称，且. 设则，，两式相减并结合 得.bc d a==12d c 2222a b a c 3c a 22244x y b |AB |10(2)1y k x 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b 1122(,y ),B(,y ),A x x 221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k 124x x 28(21)4,14k k k 12k 21282x x b 12|AB ||x x =-==|AB |1022)1023b 221123x y 22244x y b |AB |101122(,y ),B(,y ),A x x 2221144x y b 2222244x y b 12124,y 2,x x y 1212-4()80x x y y易知，AB 不与x 轴垂直，则，所以AB 的斜率 因此AB 直线方程为， 代入(2)得所以，. 于是. 由，得，解得. 故椭圆E 的方程为. 21.答案： （I ）证明见解析；（II ）当时， ， 当时，，证明见解析． 解析过程：（I ）则 所以在内至少存在一个零点. 又，故在内单调递增， 所以在内有且仅有一个零点. 因为是的零点，所以，12x x ≠12121k .2ABy y x x 1(2)12yx 224820.x x b 124x x 21282x x b 12|AB ||x x =-==|AB |1022)1023b 221123x y 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x 2()()212,n n n F x f x x x x (1)10,n F n 1211111112()1220,12222212n n n n F +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-()n F x 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭n x 1()120n n F x x nx -'=++>1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()n F x 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭n x n x ()n F x ()=0n n F x即，故. (II)解法一：由题设， 设 当时,当时, 若, 若,所以在上递增，在上递减，所以，即.综上所述，当时, ；当时 解法二 由题设， 当时,当时, 用数学归纳法可以证明. 当时, 所以成立. 假设时，不等式成立，即. 那么，当时，11201n n nx x 111=+22n n n x x 11().2nn n x g x 211()()()1,0.2nn n n n x h x f x g x x x x x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()111()12.2n n n n x h x x nx --+'=++-01x ()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-11110.22n n n n n n x x 1x ()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'<++-11110.22n n n n n n x x ()h x (0,1)(1,)+∞()(1)0h x h ()()n n f x g x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x 211()1,(),0.2n n n n n x f x x xx g x x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x 2n 2221()()(1)0,2f x g x x 22()()f x g x (2)n k k =≥()()k k f x g x +1n k. 又 令，则 所以当,,在上递减；当,,在上递增. 所以，从而 故.即，不等式也成立.所以，对于一切的整数，都有.解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为, 则，，所以, 令当时, ,所以. 当时, 而，所以，.若, ,, 当,,, 从而在上递减,在上递增.所以， 111k+1k 11()()()2k k k k k k x f x f x x g x x x 12112k k x k x k 11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x 1()11(x 0)k k k h x kx k x ()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k xk k x --'=+-+=+-01x ()0k h x '<()k h x (0,1)1x ()0kh x '>()k h x (1,)+∞()(1)0k k h x h 1k+1211()2k k x k x k g x 11()()k k f x g x +1n k 2n ≥()()n n f x g x k a k b k1,2,, 1.n 111a b 11n n n a b x ()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤1(2),k k b x k n -=≤≤()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n ---=-=+->≤≤1x =k k a b ()()n n f x g x 1x ≠()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=--2k n ≤≤10k 11n k -+≥01x 11nk x ()0k m x '<1x 11n k x ()0km x '>()k m x (0,1)()k m x (1,)+∞()(1)0k k m x m所以当又,，故 综上所述，当时, ；当时 22.答案：()I 见解析()II 直径为3解析过程：（Ⅰ）因为是的直径，则， 又，所以，又切于点，得，所以； （Ⅱ）由（Ⅰ）知平分，则， 又，从而，由，解得，所以， 由切割线定理得，解得， 故，即的直径为3.23.答案： ()I 22（-3x y +=()II （3,0）解析过程：（1）由，得，从而有，所以 （2）设，又， 则 24.已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． ()I 求实数a ，b 的值；()II答案：()I a=-3,b=1()II 4解析过程：（Ⅰ）由，得，01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,11a b 11n n a b ()()n n f x g x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x DE O 90BED EDB ∠+∠=︒BC DE ⊥90CBD EDB ∠+∠=︒AB O B DBA BED ∠=∠CBD DBA ∠=∠BD CBA ∠3BA AD BC CD ==BC=AB =222AB BC AC =+4AC =3AD =2AB AD AE =⋅6AE =3DE AE AD =-=O ρθ=2sin ρθ=22x y +=(223x y +-=132P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C PC ==x a b +<b a x b a --<<-由题意得，解得；，时等号成立， 故24b a b a --=⎧⎨-=⎩3,1a b =-==+≤4===1t =min 4=。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(陕西卷)(含答案全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西理科数学1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,先按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.(2015陕西,理1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案:A解析:解x2=x,得x=0或x=1,故M={0,1}.解lg x≤0,得0<x≤1,故N=(0,1].故M∪N=[0,1],选A.2.(2015陕西,理2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.167答案:C解析:由题图知,初中部女教师有110×70%=77人;高中部女教师有150×(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).选C.3.(2015陕西,理3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπx+φ +k.据此函数6可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案:C解析:因为sinπx+φ ∈[-1,1],所以函数y=3sinπx+φ +k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.(2015陕西,理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4答案:B解析:(x+1)n的展开式通项为T r+1=C n r x n-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为C n n−2=C n2=15,解得n=6,故选B.5.(2015陕西,理5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案:D解析:由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,圆柱的底面半径r=1,高h=2.所以几何体的侧面积S1=C底·h=(π×1+2)×2=2π+4.几何体的底面积S2=12π×12=12π.故该几何体的表面积为S=S1+2S2=2π+4+2×π2=3π+4.故选D.6.(2015陕西,理6)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由cos 2α=0,得cos2α-sin2α=0,即cos α=sin α或cos α=-sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.7.(2015陕西,理7)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:B解析:A项,a·b=|a||b|cos<a,b>≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.8.(2015陕西,理8)根据右边框图,当输入x为2 006时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28答案:C解析:由算法框图可知,每运行一次,x的值减少2,当框图运行了1 004次时,x=-2,此时x<0,停止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-2)+1=10,故输出y的值为10,故选C.9.(2015陕西,理9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(ab),q=f a+b2,r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q答案:B解析:因为0<a<b,所以a+b>ab.又因为f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f a+b2>f(ab),即p<q.而r=1(f(a)+f(b))=1(ln a+ln b)=12ln(ab)=ln ab,所以r=p,故p=r<q.选B.10.(2015陕西,理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案:D解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z元.则由题意知3x+2y≤12,x+2y≤8,x≥0,y≥0,利润函数z=3x+4y.画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B 时,目标函数取得最大值.由 3x +2y =12,x +2y =8,解得 x =2,y =3.故利润函数的最大值为z=3×2+4×3=18(万元).故选D .11.(2015陕西,理11)设复数z=(x-1)+y i (x ,y ∈R ),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为( )A.34+12π B.12+1πC.12-1πD.14-12π答案:D解析:由|z|≤1,得(x-1)2+y 2≤1.不等式表示以C (1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y ≥x 表示直线y=x 左上方部分(如图所示). 则阴影部分面积S=1π×12-S △OAC =1π-1×1×1=π-1.故所求事件的概率P=S 阴S 圆=π4−12π×12=14-12π.12.(2015陕西,理12)对二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A.-1是f (x )的零点 B.1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2,8)在曲线y=f (x )上 答案:A解析:f'(x )=2ax+b.若A 正确,则f (-1)=0,即a-b+c=0, ① 若B 正确,则f'(1)=0,即2a+b=0, ② 若C 正确,则f'(x 0)=0,且f (x 0)=3, 即f −b=3,即c-b2=3.③ 若D 项正确,则f (2)=8,即4a+2b+c=8.④假设②③④正确,则由②得b=-2a ,代入④得c=8,代入③得8-4a 24a=3,解得a=5,b=-10,c=8.此时f (x )=5x 2-10x+8,f (-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=5+10+8=23≠0,即A 不成立.故B ,C ,D 可同时成立,而A 不成立.故选A .第二部分(共90分)二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.(2015陕西,理13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 答案:5解析:由题意知,1 010为数列首项a 1与2 015的等差中项,故a 1+2 015=1 010,解得a 1=5.14.(2015陕西,理14)若抛物线y 2=2px (p>0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点,则p= .答案:2解析:双曲线x 2-y 2=1的焦点为F 1(- 2,0),F 2( 2,0).抛物线的准线方程为x=-p 2.因p>0,故-p2=- 2,解得p=2 2.15.(2015陕西,理15)设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 . 答案:(1,1)解析:曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1,可得y'=-12,因为曲线y=1(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,故-1P2=-1,解得x P =1,由y=1,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 16.(2015陕西,理16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .答案:1.2解析:以梯形的下底为x 轴,上、下底边的中点连线为y 轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax 2,则抛物线过点(5,2),故2=25a ,得a=2,故抛物线的方程为y=2x 2.最大流量的比,即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6,故梯形的面积为(10+6)×2=16,而当前的截面面积为2 52−2x 2 d x=2 2x −2x 3 |05=40,故原始流量与当前流量的比为16403=1.2. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西,理17)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m=(a , 3b )与n=(cos A ,sin B )平行. (1)求A ;(2)若a= 7,b=2,求△ABC 的面积.(1)解:因为m ∥n ,所以a sin B- b cos A=0.由正弦定理,得sin A sin B- 3sin B cos A=0. 又sin B ≠0,从而tan A= 3. 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,而a= 7,b=2,A=π3,得7=4+c 2-2c ,即c 2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bc sin A=3 3.解法二:由正弦定理,得 7sin π3=2sin B ,从而sin B= 21.又由a>b ,知A>B ,所以cos B=2 7.故sin C=sin (A+B )=sin B +π=sin B cos π3+cos B sin π3=3 2114.所以△ABC 的面积为12ab sin C=3 32. 18.(本小题满分12分)(2015陕西,理18)如图①,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD=π,AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点,将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置,如图②.图①图②(1)证明:CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ,求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明:在题图①中,因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,∠BAD=π,所以BE ⊥AC ,即在题图②中,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC , 从而BE ⊥平面A 1OC ,又CD ∥BE ,所以CD ⊥平面A 1OC. (2)解:由已知,平面A 1BE ⊥平面BCDE ,又由(1)知,平面A 1BE ⊥平面BCDE , 又由(1)知,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC ,所以∠A 1OC 为二面角A 1-BE-C 的平面角, 所以∠A 1OC=π.如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系,因为A 1B=A 1E=BC=ED=1,BC ∥ED , 所以B 2,0,0 ,E −2,0,0 ,A 1 0,0,2,C 0,2,0 ,得BC = − 2, 2,0 ,A 1C = 0, 2,− 2,CD =BE =(-2,0,0).设平面A 1BC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面A 1CD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2),平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ,则 n 1·BC =0,n 1·A 1C =0,得 −x 1+y 1=0,y 1−z 1=0,取n 1=(1,1,1); n 2·CD =0,n 2·A 1C =0,得x 2=0,y 2−z 2=0,取n 2=(0,1,1), 从而cos θ=|cos <n 1,n 2>|=3× 2= 63, 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为 6.19.(本小题满分12分)(2015陕西,理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解:(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09,故P(A)=1-P(A)=0.91.20.(本小题满分12分)(2015陕西,理20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=5的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.(1)解:过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=bcb+c2=bc,由d=1c,得a=2b=2 a2−c2,解得离心率c=3.(2)解法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.①依题意,圆心M (-2,1)是线段AB 的中点,且|AB|= 10.易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y=k (x+2)+1,代入①得,(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2-4b 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k2,x 1x 2=4(2k +1)2−4b21+4k2.由x 1+x 2=-4,得-8k (2k +1)1+4k2=-4,解得k=1.从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 52 (x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 2−2)= 10,解得b 2=3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.解法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.②依题意,点A ,B 关于圆心M (-2,1)对称,且|AB|= 10. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 12+4y 12=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2, 得-4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0. 易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =y 1−y 2x 1−x 2=12. 因此,直线AB的方程为y=12(x+2)+1,代入②得,x 2+4x+8-2b 2=0.所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2. 于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 5(x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 10(b 2−2)= 10,解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 2+y 2=1.21.(本小题满分12分)(2015陕西,理21)设f n (x )是等比数列1,x ,x 2,…,x n 的各项和,其中x>0,n ∈N ,n ≥2.(1)证明:函数F n (x )=f n (x )-2在 12,1 内有且仅有一个零点(记为x n ),且x n =12+12x n n +1;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x ),比较f n (x )和g n (x )的大小,并加以证明.(1)证明:F n (x )=f n (x )-2=1+x+x 2+…+x n -2,则F n (1)=n-1>0,F n 12 =1+12+ 12 2+…+ 12 n-2 =1− 12n +11−12-2=-1n <0,所以F n (x )在 1,1 内至少存在一个零点. 又F n '(x )=1+2x+…+nx n-1>0, 故F n (x )在 12,1 内单调递增,所以F n (x )在 1,1 内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点,所以F n (x n )=0,即1−x nn +1n -2=0,故x n =1+1x n n +1. (2)解法一:由假设,g n (x )=(n +1)(1+x n )2.设h (x )=f n (x )-g n (x )=1+x+x 2+…+x n -(n +1)(1+x n ),x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,h'(x )=1+2x+…+nx n-1-n (n +1)x n−1. 若0<x<1,h'(x )>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)x n-1=n (n +1)x n-1-n (n +1)x n-1=0. 若x>1,h'(x )<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)2x n-1=n (n +1)2x n-1-n (n +1)2x n-1=0.所以h (x )在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 所以h (x )<h (1)=0,即f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).解法二:由题设,f n (x )=1+x+x 2+…+x n ,g n (x )=(n +1)(x n +1)2,x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,用数学归纳法可以证明f n (x )<g n (x ).①当n=2时,f 2(x )-g 2(x )=-1(1-x )2<0, 所以f 2(x )<g 2(x )成立.②假设n=k (k ≥2)时,不等式成立,即f k (x )<g k (x ). 那么,当n=k+1时,f k+1(x )=f k (x )+x k+1<g k (x )+x k+1=(k +1)(1+x k )2+x k+1 =2x k +1+(k +1)x k +k +1.又g k+1(x )-2x k +1+(k +1)x k +k +12=kx k +1−(k +1)x k +1,令h k (x )=kx k+1-(k+1)x k +1(x>0),则h k '(x )=k (k+1)x k -k (k+1)x k-1=k (k+1)x k-1(x-1). 所以,当0<x<1时,h k '(x )<0,h k (x )在(0,1)上递减; 当x>1时,h k '(x )>0,h k (x )在(1,+∞)上递增. 所以h k (x )>h k (1)=0, 从而g k+1(x )>2x k +1+(k +1)x k +k +12.故f k+1(x )<g k+1(x ),即n=k+1时不等式也成立. 由①和②知,对一切n ≥2的整数,都有f n (x )<g n (x ).解法三:由已知,记等差数列为{a k },等比数列为{b k },k=1,2,…,n+1.则a 1=b 1=1,a n+1=b n+1=x n , 所以a k =1+(k-1)·x n −1(2≤k ≤n ), b k =x k-1(2≤k ≤n ),令m k (x )=a k -b k =1+(k−1)(x n −1)n-x k-1,x>0(2≤k ≤n ), 当x=1时,a k =b k ,所以f n (x )=g n (x ). 当x ≠1时,m k '(x )=k−1·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1). 而2≤k ≤n ,所以k-1>0,n-k+1≥1. 若0<x<1,x n-k+1<1,m k '(x )<0;若x>1,x n-k+1>1,m k '(x )>0,从而m k (x )在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增, 所以m k (x )>m k (1)=0.所以当m>0且m ≠1时,a k >b k (2≤k ≤n ), 又a 1=b 1,a n+1=b n+1,故f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西,理22)选修4—1:几何证明选讲 如图,AB 切☉O 于点B ,直线AO 交☉O 于D ,E 两点,BC ⊥DE ,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA ;(2)若AD=3DC ,BC= 2,求☉O 的直径. (1)证明:因为DE 为☉O 直径,则∠BED+∠EDB=90°.又BC ⊥DE ,所以∠CBD+∠EDB=90°, 从而∠CBD=∠BED.又AB 切☉O 于点B ,得∠DBA=∠BED , 所以∠CBD=∠DBA. (2)解:由(1)知BD 平分∠CBA ,则BA =AD=3, 又BC= 2,从而AB=3 2.所以AC=2−BC 2=4,所以AD=3. 由切割线定理得AB 2=AD ·AE ,即AE=AB 2=6,故DE=AE-AD=3,即☉O 直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为 x =3+12t ,y = 3t(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2 3sin θ. (1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 解:(1)由ρ=2 θ,得ρ2=2 3ρsin θ,从而有x 2+y 2=2 3y ,所以x 2+(y- 3)2=3. (2)设P 3+1t , 3t ,又C (0, 3),则|PC|= 3+1t + 3t − 3 2= t 2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0).24.(本小题满分10分)(2015陕西,理24)选修4—5:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则−b−a=2,b−a=4,解得a=-3,b=1.(2)−3t+12+t=34−t+t≤[(3)2+12][(4−t)2+(t)2]=24−t+t=4,当且仅当4−t3=t,即t=1时等号成立.故(−3t+12+t)max=4.11。
2015理科数学(陕西卷)
2015年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)1.本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后，先按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后，将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共12小题，每小题5分，共60分).1.(2015陕西，理1)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案：A解析：解x2＝x，得x＝0或x＝1，故M＝{0，1}.解lg x≤0，得0＜x≤1，故N＝(0，1].故M∪N＝[0，1]，选A．2.(2015陕西，理2)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A．93 B．123 C．137 D．167答案：C解析：由题图知，初中部女教师有110×70%＝77人;高中部女教师有150×(1－60%)＝60人.故该校女教师共有77+60＝137(人).选C．x+3.(2015陕西，理3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6φ+k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5 B．6 C．8 D．10答案：C解析：因为sinπ6x+φ ∈[－1，1]，所以函数y＝3sinπ6x+φ +k的最小值为k－3，最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k－3＝2，解得k＝5.所以y的最大值为k+3＝5+3＝8，故选C．4.(2015陕西，理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15，则n＝() A．7 B．6 C．5 D．4答案：B解析：(x+1)n的展开式通项为T r+1＝C n r x n－r.令n－r＝2，即r＝n－2.则x2的系数为C n n−2＝C n2＝15，解得n＝6，故选B．5.(2015陕西，理5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4答案：D解析：由三视图可知，该几何体是一个半圆柱，圆柱的底面半径r＝1，高h＝2.所以几何体的侧面积S1＝C底·h＝(π×1+2)×2＝2π+4.几何体的底面积S2＝12π×12＝12π.故该几何体的表面积为S＝S1+2S2＝2π+4+2×π2＝3π+4.故选D．6.(2015陕西，理6)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由cos 2α＝0，得cos2α－sin2α＝0，即cos α＝sin α或cos α＝－sin α.故“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件.7.(2015陕西，理7)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a+b)2＝|a+b|2D．(a+b)·(a－b)＝a2－b2答案：B解析：A项，a·b＝|a||b|cos＜a，b＞≤|a||b|，所以不等式恒成立;B项，当a与b同向时，|a－b|＝||a|－|b||;当a与b非零且反向时，|a－b|＝|a|+|b|＞||a|－|b||.故不等式不恒成立;C项，(a+b)2＝|a+b|2恒成立;D项，(a+b)·(a－b)＝a2－a·b+b·a－b2＝a2－b2，故等式恒成立.综上，选B．8.(2015陕西，理8)根据下边框图，当输入x为2 006时，输出的y＝()A．2B．4C．10D．28答案：C解析：由算法框图可知，每运行一次，x的值减少2，当框图运行了1 004次时，x＝－2，此时x＜0，停止循环，由y＝3－x+1可知，y＝3－(－2)+1＝10，故输出y的值为10，故选C．9.(2015陕西，理9)设f(x)＝ln x，0＜a＜b，若p＝f(，q＝f a+b2，r＝12(f(a)+f(b))，则下列关系式中正确的是()A．q＝r＜p B．p＝r＜qC．q＝r＞p D．p＝r＞q答案：B解析：因为0＜a＜b，所以a+b2＞ab.又因为f(x)＝ln x在(0，+∞)上单调递增，所以f a+b2＞f(ab)，即p＜q.而r＝12(f(a)+f(b))＝12(ln a+ln b)＝12ln(ab)＝ln，所以r＝p，故p＝r＜q.选B．10.(2015陕西，理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元答案：D解析：设该企业每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利z元.则由题意知3x+2y≤12，x+2y≤8，x≥0，y≥0，利润函数z＝3x+4y.画出可行域如图所示，当直线3x+4y－z＝0过点B时，目标函数取得最大值.由 3x +2y ＝12，x +2y ＝8，解得 x ＝2，y ＝3.故利润函数的最大值为z ＝3×2+4×3＝18(万元).故选D ．11.(2015陕西，理11)设复数z ＝(x －1)+y i(x ，y ∈R)，若|z|≤1，则y ≥x 的概率为( ) A ．34+12π B ．12+1π C ．12－1πD ．14－12π答案：D解析：由|z|≤1，得(x －1)2+y 2≤1.不等式表示以C (1，0)为圆心，半径r ＝1的圆及其内部，y ≥x 表示直线y ＝x 左上方部分(如图所示).则阴影部分面积S ＝14π×12－S △OAC ＝14π－12×1×1＝π4－12.故所求事件的概率P ＝S 阴S 圆＝π4−12π×12＝14－12π.12.(2015陕西，理12)对二次函数f (x )＝ax 2+bx+c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A ．－1是f (x )的零点 B ．1是f (x )的极值点 C ．3是f (x )的极值D ．点(2，8)在曲线y ＝f (x )上 答案：A解析：f'(x )＝2ax+b.若A 正确，则f (－1)＝0，即a －b+c ＝0， ① 若B 正确，则f'(1)＝0，即2a+b ＝0， ②若C 正确，则f'(x 0)＝0，且f (x 0)＝3， 即f −b2a ＝3，即c －b 24a ＝3.③若D项正确，则f(2)＝8，即4a+2b+c＝8.④假设②③④正确，则由②得b＝－2a，代入④得c＝8，代入③得8－4a 24a＝3，解得a＝5，b＝－10，c＝8.此时f(x)＝5x2－10x+8，f(－1)＝5×(－1)2－10×(－1)+8＝5+10+8＝23≠0，即A不成立.故B，C，D可同时成立，而A不成立.故选A．第二部分(共90分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13.(2015陕西，理13)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为.答案：5解析：由题意知，1 010为数列首项a1与2 015的等差中项，故a1+2 0152＝1 010，解得a1＝5.14.(2015陕西，理14)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝.答案：2解析：双曲线x2－y2＝1的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0).抛物线的准线方程为x＝－p2.因p＞0，故－p2＝－2，解得p＝22.15.(2015陕西，理15)设曲线y＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为.答案：(1，1)解析：曲线y＝e x在点(0，1)处的切线斜率k＝y'＝e x|x＝0＝1;由y＝1x ，可得y'＝－1x2，因为曲线y＝1 x (x＞0)在点P处的切线与曲线y＝e x在点(0，1)处的切线垂直，故－1x P2＝－1，解得x P＝1，由y＝1x，得y P＝1，故所求点P的坐标为(1，1).16.(2015陕西，理16)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.答案：1.2解析：以梯形的下底为x轴，上、下底边的中点连线为y轴，建立如图所示的坐标系，设抛物线的方程为y＝ax2，则抛物线过点(5，2)，故2＝25a，得a＝225，故抛物线的方程为y＝225x2.最大流量的比，即截面的面积比，由图可知，梯形的下底长为6，故梯形的面积为(10+6)×22＝16，而当前的截面面积为2502−225x2d x＝22x−23×25x3|05＝403，故原始流量与当前流量的比为16403＝1.2.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西，理17)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m ＝(a，)与n＝(cos A，sin B)平行.(1)求A;(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积.(1)解：因为m∥n，所以a sin B－3b cos A＝0.由正弦定理，得sin A sin B－3sin B cos A＝0.又sin B≠0，从而tan A＝3.由于0＜A＜π，所以A＝π3.(2)解法一：由余弦定理，得a2＝b2+c2－2bc cos A，而a＝7，b＝2，A＝π3，得7＝4+c2－2c，即c2－2c－3＝0.因为c＞0，所以c＝3.故△ABC的面积为12bc sin A＝332.解法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B，从而sin B＝217.又由a＞b，知A＞B，所以cos B＝277.故sin C＝sin(A+B)＝sin B+π3＝sin B cosπ3+cos B sinπ3＝32114.所以△ABC的面积为12ab sin C＝332.18.(本小题满分12分)(2015陕西，理18)如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB ＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图②.图①图②(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明：在题图①中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在题图②中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC ，又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC ． (2)解：由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角， 所以∠A 1OC ＝π2.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ， 所以B22，0，0 ，E − 22，0，0 ，A 1 0，0， 22 ，C 0， 22，0 ，得BC ＝ − 22， 22，0 ，A 1C ＝ 0， 22，− 22，CD ＝BE ＝(－ ，0，0). 设平面A 1BC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ，则n 1·BC ＝0，n 1·A 1C ＝0，得 −x 1+y 1＝0，y 1−z 1＝0，取n 1＝(1，1，1);n 2·CD ＝0，n 2·A 1C ＝0，得 x 2＝0，y 2−z 2＝0，取n 2＝(0，1，1)，从而cos θ＝|cos<n1，n2>|＝3×263，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为63.19.(本小题满分12分)(2015陕西，理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解：(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET＝25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1＝32(分钟).(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一：P(A)＝P(T1+T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)+P(T1＝30，T2≤40)+P(T1＝35，T2≤35)+P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5＝0.91.解法二：P(＝P(T1+T2＞70)＝P(T1＝35，T2＝40)+P(T1＝40，T2＝35)+P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1＝0.09，故P(A)＝1－P(A)＝0.91.20.(本小题满分12分)(2015陕西，理20)已知椭圆E：x2a +y2b＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E 的离心率;(2)如图，AB 是圆M ：(x+2)2+(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程. (1)解：过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx+cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝b 2+c 2bc a ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2 a 2−c 2， 解得离心率ca ＝32. (2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB|＝ 10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x+2)+1，代入①得，(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1+x 2＝－8k (2k +1)1+4k ，x 1x 2＝4(2k +1)2−4b 21+4k .由x 1+x 2＝－4，得－8k (2k +1)1+4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB|＝ 1+ 12 2|x 1－x 2|＝52(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝ 10(b 2−2).由|AB|＝ 10，得 10(b 2−2)＝ 10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23＝1.解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2＝4b 2.②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB|＝ 10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 12+4y 12＝4b 2，x 22+4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1+x 2＝－4，y 1+y 2＝2， 得－4(x 1－x 2)+8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1−y 2x 1−x 2＝12.因此，直线AB 的方程为y ＝12(x+2)+1，代入②得，x 2+4x+8－2b 2＝0.所以x 1+x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB|＝ 1+ 12 2|x 1－x 2| ＝ 52 (x 1+x 2)2−4x 1x 2＝ 10(b 2−2).由|AB|＝ 10，得 10(b 2−2)＝ 10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212+y 23＝1.21.(本小题满分12分)(2015陕西，理21)设f n (x )是等比数列1，x ，x 2，…，x n 的各项和，其中x ＞0，n ∈N ，n ≥2.(1)证明：函数F n (x )＝f n (x )－2在 12，1 内有且仅有一个零点(记为x n )，且x n ＝12+12x n n +1; (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (x )，比较f n (x )和g n (x )的大小，并加以证明.(1)证明：F n (x )＝f n (x )－2＝1+x+x 2+…+x n －2，则F n (1)＝n －1＞0，F n 12 ＝1+12+ 12 2+…+ 12n －2 ＝1− 12 n +11−1－2＝－12＜0，所以F n (x )在 12，1 内至少存在一个零点.又F n '(x )＝1+2x+…+nx n －1＞0， 故F n (x )在 12，1 内单调递增，所以F n (x )在 12，1 内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点，所以F n (x n )＝0，即1−x nn +11−x n －2＝0，故x n ＝12+12x n n +1. (2)解法一：由假设，g n (x )＝(n +1)(1+x n )2.设h (x )＝f n (x )－g n (x )＝1+x+x 2+…+x n －(n +1)(1+x n )2，x ＞0. 当x ＝1时，f n (x )＝g n (x ).当x ≠1时，h'(x )＝1+2x+…+nxn －1－n (n +1)x n −12. 若0＜x ＜1，h'(x )＞x n －1+2x n －1+…+nx n －1－n (n +1)2x n －1＝n (n +1)2x n －1－n (n +1)2x n －1＝0. 若x ＞1，h'(x )＜x n －1+2x n －1+…+nx n －1－n (n +1)2x n －1 ＝n (n +1)2x n －1－n (n +1)2x n －1＝0. 所以h (x )在(0，1)上递增，在(1，+∞)上递减，所以h(x)＜h(1)＝0，即f n(x)＜g n(x).综上所述，当x＝1时，f n(x)＝g n(x);当x≠1时，f n(x)＜g n(x).解法二：由题设，f n(x)＝1+x+x2+…+x n，g n(x)＝(n+1)(x n+1)2，x＞0.当x＝1时，f n(x)＝g n(x).当x≠1时，用数学归纳法可以证明f n(x)＜g n(x).①当n＝2时，f2(x)－g2(x)＝－12(1－x)2＜0，所以f2(x)＜g2(x)成立.②假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即f k(x)＜g k(x).那么，当n＝k+1时，f k+1(x)＝f k(x)+x k+1＜g k(x)+x k+1＝(k+1)(1+x k)2+x k+1＝2x k+1+(k+1)x k+k+12.又g k+1(x)－2x k+1+(k+1)x k+k+12＝kx k+1−(k+1)x k+12，令h k(x)＝kx k+1－(k+1)x k+1(x＞0)，则h k'(x)＝k(k+1)x k－k(k+1)x k－1＝k(k+1)x k－1(x－1).所以，当0＜x＜1时，h k'(x)＜0，h k(x)在(0，1)上递减;当x＞1时，h k'(x)＞0，h k(x)在(1，+∞)上递增.所以h k(x)＞h k(1)＝0，从而g k+1(x)＞2x k+1+(k+1)x k+k+12.故f k+1(x)＜g k+1(x)，即n＝k+1时不等式也成立.由①和②知，对一切n≥2的整数，都有f n(x)＜g n(x).解法三：由已知，记等差数列为{a k}，等比数列为{b k}，k＝1，2，…，n+1.则a1＝b1＝1，a n+1＝b n+1＝x n，所以a k＝1+(k－1)·x n−1n(2≤k≤n)，b k＝x k－1(2≤k≤n)，令m k(x)＝a k－b k＝1+(k−1)(x n−1)n－x k－1，x＞0(2≤k≤n)，当x＝1时，a k＝b k，所以f n(x)＝g n(x).当x≠1时，m k'(x)＝k−1n·nx n－1－(k－1)x k－2＝(k－1)x k－2(x n－k+1－1).而2≤k≤n，所以k－1＞0，n－k+1≥1.若0＜x＜1，x n－k+1＜1，m k'(x)＜0;若x＞1，x n－k+1＞1，m k'(x)＞0，从而m k(x)在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，所以m k(x)＞m k(1)＝0.所以当m＞0且m≠1时，a k＞b k(2≤k≤n)，又a1＝b1，a n+1＝b n+1，故f n(x)＜g n(x).综上所述，当x＝1时，f n(x)＝g n(x);当x≠1时，f n(x)＜g n(x).考生注意：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西，理22)选修4—1：几何证明选讲如图，AB切☉O于点B，直线AO交☉O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．(1)证明：∠CBD＝∠DBA;(2)若AD＝3DC，BC＝2，求☉O的直径.(1)证明：因为DE为☉O直径，则∠BED+∠EDB＝90°.又BC⊥DE，所以∠CBD+∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED．又AB切☉O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA．(2)解：由(1)知BD平分∠CBA，则BABC ＝ADCD＝3，又BC＝，从而AB＝3.所以AC＝ AB2−BC2＝4，所以AD＝3.由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝AB 2AD＝6，故DE＝AE－AD＝3，即☉O直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西，理23)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3+12t，y＝32t(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，☉C的极坐标方程为ρ＝2θ.(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.解：(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，从而有x2+y2＝2，所以x2+(y－2＝3.(2)设P3+12t，32t ，又C(0，3)，则|PC|＝3+12t2+32t−32＝2+12，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3，0).24.(本小题满分10分)(2015陕西，理24)选修4—5：不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}.(1)求实数a，b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解：(1)由|x+a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，则−b−a＝2，b−a＝4，解得a＝－3，b＝1.(2)−3t+12+t＝34−t+t ≤[(3)2+12][(4−t)2+(t)2]＝24−t+t＝4，当且仅当4−t3t1，即t＝1时等号成立.故(+t)max＝4.。
高考真题2015陕西数学
高考真题2015陕西数学2015年陕西省高考数学试卷是考生备战高考时的重要参考资料。
以下将对2015年陕西省高考数学试卷进行详细解析，帮助考生更好地理解试题内容，为高考备考提供帮助。
第一部分选择题1.已知函数$f(x)=2x^2+ax+3$与$g(x)=x^2-2x+5$相等，则$a$的值为多少？解析：根据题意可得$2x^2+ax+3=x^2-2x+5$，整理得$x^2+(a+2)x-2=0$。
由于$f(x)=g(x)$，则两个二次函数在相等时对应项的系数相等，即$a+2=-2$，解得$a=-4$。
2.已知等腰三角形的底边长为12米，顶角的正弦为$\frac{3}{5}$，求等腰三角形的面积。
解析：设等腰三角形的底为$a$，高为$h$，则底边长为12米，即$a=12$。
又顶角的正弦为$\frac{3}{5}$，即$\sin\theta=\frac{h}{a}=\frac{3}{5}$，解得$h=7.2$米。
等腰三角形的面积为$\frac{1}{2}\times a\times h=\frac{1}{2}\times 12\times 7.2=43.2$平方米。
3.已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=2$，$a_{n+1}=\frac{3}{2}a_n-1$，求$a_{10}$的值。
解析：根据递推式可得$a_{10}=\frac{3}{2}\times a_9-1=\frac{3}{2}\times (\frac{3}{2}\times a_8-1)-1=...=\left(\frac{3}{2}\right)^9\times 2-1$，解得$a_{10}=6561$。
第二部分解答题4.已知函数$f(x)=x^2-4x+3$。
（1）求$f(x)$的零点。
解析：将$f(x)=0$代入得$x^2-4x+3=0$，解得$x=1$或$x=3$，所以$f(x)$的零点为$x=1$和$x=3$。
（2）求$f(x)$的顶点坐标。
2015高考数学真题 陕西理科解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学试题解析1．解析 依题意{0,1}M =，{|01}N x x =<…，所以{|01}M N x x =剟.故选A ．评注 考查集合的意义及其运算． 2．解析 ()1100.715010.67760137+⨯+⨯-=+=.故选B ． 评注 考查饼状图的意义.3．解析 根据图像可知，函数最低点为2，即π3sin()6y x k ϕ=++的最小值为2， 所以min 32y k =-+=，解得5k =，π3sin()56y x ϕ=++，所以max 358y =+=.故选C. 评注 考查三角函数的图像以及从图像中获取相关信息的能力.4．解析 根据二项式定理，2x 的系数应该为22C C 15n n n -==，得()1152n n -=，所以6n =. 故选C.评注 考查二项式定理中最基本的内容. 5．解析 还原三视图为立体图如图所示，所以S S S S S =+++下表面上前后22111π1π122π22222=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯3π4=+.故选D. 评注 考查三视图还原立体图. 6. 解析 当sin cos αα=时，()()22cos2cos sin cos sin cos sin 0ααααααα=-=+-=，即sin cos cos 20ααα=⇒=；当cos 20α=时，有()()cos sin cos sin 0αααα+-=， 所以cos sin 0αα+=或cos sin 0αα-=. 即cos 20α=不能推出sin cos αα=.故选A. 评注 考查三角函数恒等变形以及命题相关. 227．解析 解法一： cos θ⋅=⋅⋅⋅…a b a b a b ，A 正确；()22+=+a b a b ，B 正确；()()22+-=-a b a b a b ，D 正确；()22222222--⇔--⇔-⋅+-⋅+…剟a b a b a b a b a a b ba ab b⇔⋅⋅…a b a b ，矛盾，B 不正确.故选B.解法二： 从几何上考虑.如图所示，由三角形两边之差小于第三边得，-<-a b a b ，B 不正确.故选B.评注 考查向量运算的多方面知识.8．解析 该程序在循环体内不断自减2，跳出这个循环的标准是当该数小于0. 因为20062100420-⨯=-<，此时()23110y --=+=.故选B.评注 读懂程序框图的含义并能解决简单的算法问题. 9．解析 解法一 ：依题意,()()()()111ln ln ln 222p ab a b f a f b r ===+=+=, ln2a bq p +=>=,所以p r q =<.故选C. 解法二：令1,9a b ==,ln3p ==,19ln ln 52q +==，()1ln1ln 9ln 32r =+=， 所以p r q =<.故选C.评注 对数函数基本性质的考查，并结合基本不等式.10．解析 设每天生产甲x 吨，生产乙y 吨，则32122800x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩…………，目标函数34z x y =+.画出可行域如图所示，目标函数的最大值在端点()2,3A 处取得， 所以max 324318z =⨯+⨯=.故选D. 11．解析 由||1z …()22111x y ⇒-+.所以y x …表示如图所示的阴影部分， 所以2211π1111142π142πS P S ⨯-⨯⨯===-⨯阴总.故选B.评注 考查复数的基本概念与知识，并与几何概型 相结合，具备一定的新颖性.12．解析 观察四个选项会发现B,C 这两个选项是“配套”的，所以以此为切入点，假设B,C 正确，即(1,3)为2y ax bx c =++的顶点.由于抛物线开口向下时，D 肯定错；抛物线开口向上时，A 肯定错. 由此说明A 与D 中必有一个错误.假设A 正确，则有20333,240a b a b c b a a b c +=⎧⎪++=⇒==-⎨⎪-+=⎩=，与条件a 为整数矛盾，说明A 错误. 故选A.8评注 考查学生的逻辑推理能力、观察能力.若直接假设，会有验算4次的可能，这在高考中时间上是不允许的.13．解析 当项数2n k =时，中位数11101022k k na a a a +++===， 所以121010202020155n a a =⨯-=-=； 当项数21n k =-时，中位数110102nk a a a +===， 所以121010202020155n a a =⨯-=-=. 综上所述，首项为5.14.解析 221x y -=的焦点坐标为()，抛物线22(0)y px p =>准线方程为2p x =-，所以2pp -==. 评注 考查双曲线、抛物线的基本概念.15．解析 因为()0,1在e x y =上，所以在()0,1处切线的斜率()10e '1xx k ===.设001,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1y x =在P 处的切线斜率022011'x x k x x =⎛⎫==-⎪⎝⎭. 因为121k k =-，所以020111x x -=-⇒=±. 又因为0x >，所以01x =，P 的坐标为()1,1. 评注 考查曲线的切线方程的求法. 16．解析 ()11062162S =+⨯=总. 建立平面直角坐标系如右图，设抛物线()22022y a x ax =--=-.因为过点()5,0，所以2205225a a =⋅-⇒=， 所以抛物线为22225y x =-. 所以52355522402d 225753S x x x x --⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭⎰阴，所以16486404053S S ===总阴. 17.解析 （1）由//m n 可知，cos a A由正弦定理，得sin cos sin A BA B==tan A ⇒π3A ⇒=（2）由余弦定理，得2222147cos 2222b c a c A bc c+-+-=? ´3c =.所以ABC S =△11πsin 23sin 223bc A =⨯⨯⨯=. 评注 综合考查三角恒等变形、正余弦定理和向量知识.18. 解析 （1）因为1AB AE ==,所以ABE △为等腰三角形，所以1AO BE ^. 同理可证CO BE ⊥.因为1AO CO O =，所以BE ⊥平面1AOC . 因为//ED BC 且=ED BC ，所以四边形BCDE 为平行四边形， 所以//EB CD . 所以CD ⊥平面1AOC . （2）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时， 以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，1OA 为z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.则1((B C A E D则12(),22A B =-(22BC =- 设平面1A BC 的法向量为1(,,1)x y n =，则()1111201,1,120BCx y A B x ⎧⋅=-=⎪⎪⇒=⎨⎪⋅=-=⎪⎩n n n .同理，1(22A D =-,(CD = 设平面1ACD 的法向量2(,,1)w z n =，所以 221200120CD w z A D ⎧⋅=-==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⋅=-=⎪⎩n n ，得2(0,1,1)=n ， 从而平面1A BC 与平面1ACD 夹角的余弦值为1212cos α⋅===⋅n n n n . 评注 考查立体几何的基本位置关系与数量关系.将折叠放入题目中，体现出生活化的气息.19．解析 （1）以频率估计概率得T 的分布列为所以250.2300.3350.4400.132ET =⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）.（2）设12,T T 分别表示往返所需时间，设事件A 表示“从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，则()()1212()(25)45(30)40P A P T P T P T P T ==+=剟()()1212(35)35(40)30P T P T P T P T +=+=剟 0.210.310.40.90.10.50.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.20．解析（1）解法一： 如图所示，由面积法可知1112222△MNP S bc a c a b ==⋅⇒=，所以c e a ===.解法二： 直线经过 ()(),0,0,c b 两点， 由截距式得直线方程为1x yc b+=，由点到直线的距离12d c ==⇒e =解法三： 过点()(),0,0,c b 的直线方程为0bx cy bc +-=， 则原点O到直线的距离bc d a==， 由12d c =，得2a b ==e = （2）由题意知，()2,1-是弦AB的中点，且||AB =设1122(,),(,),A x y B x y 则2211224144x y b b +=，① 2222224144x y b b+=，② ①-②得，12121111242422AB AB AB y y k k k +⋅=-⇒⋅=-⇒=-. 因此AB 方程为111(2)222y x y x -=+⇒=+.222214122x y b b y x ⎧+=⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩224820.x x b ++-= 所以124x x +=-，21282x x b =-.所以12|||AB x x =-==. 23b ⇒=.所以椭圆方程为221123x y +=.21．解析（1）证明：2111111()()2120222222n nn n F f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1(1)11...1210n n F n +=+++-=->个，所以由零点定理知，()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点.又1()120n n F x x nx -'=++>，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上只能有一个零点n x .又n x 是()n F x 的零点，则 2120nn n n x x x +++-=11121n n nx x +-⇒⋅=⇒-11122n n n x x +=+. 综上所述，命题成立.（2）解法一：由题设，()()11().2nn n x g x ++=设()()211()()()1,0.2n n n n n x h x f x g x x x x x ++=-=+++->当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx --+'=++-若01x <<,()11111()22n n n n n n h x xx nx x ----+'>+++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 若1x >,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'<+++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-=所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <.解法二： 由题设，()()211()1,(),0.2nnn nn x f x x x x g x x ++=+++=>当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <.①当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立. ②假设(2)n k k =…时，不等式成立，即()()k k f x g x <. 那么，当+1n k =时，()()111111()()()2kk k k k k k k x f x f x xg x xx++++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=. 又()()11+121111()22k k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(0)k k k h x kxk x x +=-++>，则()()11()(1)11(1)k k k k h x k k x k k x k k x x --'=+-+=+-所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减； 当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1+1211()2k k k x k x k g x +++++>即11()()k k f x g x ++<.即+1n k =时，不等式也成立.所以，对于一切2n …的整数，都有()()n n f x g x <. 解法三：由已知，记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,1,2,, 1.k n =+则111a b ==，11n n n a b x ++==，所以()11+1(2)n k x a k k n n-=-⋅剟,1(2),k k b x k n -=剟 令()()111()1,0(2).n k k k k k x m x a b x x k n n---=-=+->剟当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =.当1x ≠时, ()()12211()(1)11n k k n k k k m x nx k x k x x n----+-'=--=--. 而2k n 剟，所以10k ->，11n k -+…. 若01x <<, 11n k x -+<,()0k m x '<,若1x >,11n k x -+>,()0km x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=， 所以当,01(2),k k x x a b k n >≠>剟且时又11a b =,11n n a b ++=，故()()n n f x g x <. 综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <. 解法四 ： ()21nn f x x x x =++++，()()()112nnx n g x +?=. 考虑不等式()()()1100,1,2,,k n kx xk n --⋅-=…10k n k n x x x -⇔--+…1kn k nx x x …-?+. 所以 0110111n n n n n n x x x x x x x x x -⎧++⎪++⎪⎨⎪⎪++⎩………，将其全部累加得，()()()22111n n x x x n x …++++++()()21112nnn x x x x …++?+++， 即()()n n f x g x ….解法五： 考虑指数函数()1xy a a =>，则0121122...n n n a a a a OD AC A C A C ++++=++++.而()()011221 (2)nnna a n OD A B A B A B ++=++++.由图易知，()()001212nn a a n aa a a ++>++++； 当1a <时，同理可证明()()01212nn a a n aa a a ++>++++；当1a =时，有()()001212nn a a n aa a a ++=++++.综上所述，()()001212n n a a n a a a a …++++++，将a 换成x 即为()()n n f x g x ….22．解析 （1）因为90CBD BDE ∠+∠=︒,E EDB ∠+∠=90，所以E CBD ∠=∠又AB 切O 于点B ，得DBA E ∠=∠ ，所以CBD E DBA ∠=∠=∠.（2）因为CBD DBA ∠=∠，由角平分线定理， 1=3BC CD BA DA =,所以3BA BC =在Rt △ABC中，4AC =， 所以1==14CD CA . 由射影定理22221BC BC EC CD EC CD =⋅⇒===， 所以213ED EC CD =+=+=，即O 的直径为3.23．解析 （1）由2sin ρθρθ=⇒=，从而有(2222+,+3x y x y ==所以. （2）设132P t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，又(C ，PC = 所以当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的直角坐标为()3,0.24．解析 （1）由||x a b +<⇒b a x b a --<<-E A所以2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得31a b =-⎧⎨=⎩.（2）[]22211233t t ⎡⎤++-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦…412163⨯=,44，当1t =时取等号.。
陕西2015高考数学试卷
陕西2015高考数学试卷考试要求:一、必修1 ：一、选择题1.若函数f(x)的图象关于直线y=x对称，则称为偶函数。
那么下列属于奇函数的有（）A. f(x)=x^2B. f(x)=x^2+xC. f(x)=x^3D. f(x)=1/xE. 不存在2.下列函数中为偶函数的是（）A. y=x^2+x-1B. y=x^3-1C. y=sinxD. y=cosxE. 不存在3.关于函数的奇偶性的下列说法错误的是（）A.奇函数图象关于原点对称B.奇函数图象关于直线y=x对称C.偶函数图象关于原点对称D.奇函数的所有部分成对称E.奇函数图象关于直线y=-x对称4.已知函数f(x)=x^3-3x+4，则函数f(-x)的图像关于坐标轴的对称轴是（）A. x轴B. y轴C. 圆心的图象D. z轴E. t轴二、填空题1.设函数f(x)=2sin(2x+π/3)的一个零点为x=π/6,则它的另一个零点（）2.已知函数（）f(x) =k(x^2-4x) +sinx的 f(x)=ax^2 +bx+c ,则 a,b,c其中有一个是2b的值是（）二、选修1一、选择题1.已知一次函数f(x)=ax+b,若f(3)+f(5)<f(7),则a,b的关系是（）A. a>0B. a<0C. b>0D. a>2bE. b>2a2.已知函数f(x)=|2x+3|+|x-1|,当x>1是，f(x)=（）A. f(x)=3x+2B. f(x)=3x-2C. f(x)=x+4D. f(x)=2x+2E. f(x)=2x-43已知抛物线y=(mx+5)^2与直线y=2x-3相交于2个不同的点，则m 的值是（）A. m>5B. m=-5C.-5<m<5D. m=5E.|m|>54.已知抛物线与直线y=x相交于点A（t，t）,则这条直线的截距相乘为（）A. 1B. -1C. 10D. -10E. -t二、填空题1.已知一次函数y=ax+b经过点（3，4），当x=0时，y=2.则a+b=（）2.当直线2x=k+1与双曲线y=1/x相交于A（1,k）与B（t,1）时，则实数t=（）三、Special一：1.在直角三角形XYZ中，角Z=90°.AC是YZ上的中线，，设X点的坐标是（1，3）点，BC边上任一点的坐标为（a，3）,则折线AXY 的面积最大为多少？二、特殊题二：1.已知y=log<sub>2</su b>√x，求y对x的导数。
15年高考真题——理科数学(陕西卷)-推荐下载
（A）0,1 （B） 0,1 （C）0,1 （D） ,1
2．某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教
师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )
（A）167
（B）137
3．如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近
似满足函数
y
3sin
时间水深（单位： m ）的最大值为( )
1 2 ,1内有且仅有一个零点（记为 xn ），且
xn
1 2
1 2
n1
xn
；⑵设有一个与上述等比数列的首项、末
项、项数分别相同的等差数列，其各项
和为 gn x，比较 fn x与 gn x的大 A
小，并加以证明。
请在 22、23、24 三题中任选一题作答，
如果多做，则按所做的第一题计分。作 B
答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的 题号后的方框涂黑。
22．（本小题满分 10 分）如图， AB 切 A O 于点 B ，直线 AD 交 A O 于 D, E 两点，
BC DE ，垂足为 C 。
⑴证明： CBD DBA ；⑵若 AD 3DC ， BC 2 ，求 A O 的直径。
（A）充分不必要条件
（C）充分必要条件
（C）8
（C）6
（C） 2 4
（B）必要不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
7．对任意向量 a, b ，下列关系式中不恒成立的是( )
（A）| a b || a || b |
（C）
（A）8
q
）
1/7
a b
2
|
a
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(陕西卷,含解析)
故 ABC 的面积为 1 bcsinA = 3 3 .
2
2
考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.
18．（本小题满分 12 分）如图1 ，在直角梯形 CD 中， D// C， D ， 2
C 1， D 2 ， 是 D 的中点， 是 C 与 的交点．将 沿 折起到 1 的
因为 A1B=A1E=BC=ED=1, BC ED
所以 B( 2 ,0,0), E(2
2 2
,
0,
0),
A1
(0,
0,
2 ),C(0, 2
2 ,0), 2
得 BC(-
2 , 2 ,0), 22
A1C(0,
2 ,2
2 ) ， CD = BE = (2
2,0,0) .
设平面 A1BC 的法向量 n1 = (x1, y1, z1) ，平面 A1CD 的法向量 n2 = (x2, y2, z2 ) ，平面 A1BC 与
又 sin 0 ，从而 tan A = 3 ， 由于 0 A ，所以 A
3 (II)解法一：由余弦定理，得 a2 = b2 +c2 - 2bc cos A 而 a = 7 b = 2,
3 得 7 = 4 +c2 - 2c ，即 c2 - 2c - 3 = 0 因为 c > 0 ，所以 c = 3 .
13.中位数 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为
．
【答案】 5
【解析】
试题分析：设数列的首项为 a1 ，则 a1 2015 2 1010 2020 ，所以 a1 5 ，故该数列的 首项为 5 ，所以答案应填： 5 ．
考点：等差中项．
2015年陕西省高考数学试卷(理科)答案与解析
2015年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）（2015•陕西）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（﹣∞，1]考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．解答：解：由M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．故选：A．点评：本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．2．（5分）（2015•陕西）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．93 B．123 C．137 D．167考点：收集数据的方法．专题：计算题；概率与统计．分析：利用百分比，可得该校女教师的人数．解答：解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为40×150%=60，∴该校女教师的人数为77+60=137，故选：C．点评：本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础．3．（5分）（2015•陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．10考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值．解答：解：由题意可得当sin（x+φ）取最小值﹣1时，函数取最小值y min=﹣3+k=2，解得k=5，∴y=3sin（x+φ）+5，∴当当sin（x+φ）取最大值1时，函数取最大值y max=3+5=8，故选：C．点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．4．（5分）（2015•陕西）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，则n=（）A．7B．6C．5D．4考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：由题意可得==15，解关于n的方程可得．解答：解：∵二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，∴=15，即=15，解得n=6，故选：B．点评：本题考查二项式定理，属基础题．5．（5分）（2015•陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为V几何体=π•12+π×1×2+2×2=3π+4．故选：D．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．6．（5分）（2015•陕西）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．解答：解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．7．（5分）（2015•陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．解答：解：选项A正确，∵||=|||||cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；选项C正确，由向量数量积的运算可得（）2=||2；选项D正确，由向量数量积的运算可得（）•（）=2﹣2．故选：B点评：本题考查平面向量的数量积，属基础题．8．（5分）（2015•陕西）根据如图框图，当输入x为2006时，输出的y=（）A．2B．4C．10 D．28考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=﹣2时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=2006，x=2004满足条件x≥0，x=2002满足条件x≥0，x=2000…满足条件x≥0，x=0满足条件x≥0，x=﹣2不满足条件x≥0，y=10输出y的值为10．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．9．（5分）（2015•陕西）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小关系．解答：解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），q=f（）=ln（）≥ln（）=p，r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），∴p=r＜q，故选：B点评：本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．10．（5分）（2015•陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．解答：解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）（2015•陕西）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得．解答：解：∵复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R）且|z|≤1，∴|z|=≤1，即（x﹣1）2+y2≤1，∴点（x，y）在（1，0）为圆心1为半径的圆及其内部，而y≥x表示直线y=x左上方的部分，（图中阴影弓形）∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，∴所求概率P==故选：D．点评：本题考查几何概型，涉及复数以及圆的知识，属基础题．12．（5分）（2015•陕西）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y=f（x）上考点：二次函数的性质．专题：创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：可采取排除法．分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论．解答：解：可采取排除法．若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b，即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a为非零整数．若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈∅，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=﹣不为非零整数，不成立．故选：A．点评：本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力，属于中档题．二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2015•陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为5．考点：等差数列．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得首项的方程，解方程可得．解答：解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得a=5故答案为：5点评：本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题．14．（5分）（2015•陕西）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p=2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出x2﹣y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值．解答：解：双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣，0），故抛物线y2=2px的准线为x=﹣，∴=，∴p=2，故答案为：2．点评：本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程y2=2px中p的意义．15．（5分）（2015•陕西）设曲线y=e x在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为（1，1）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：利用y=e x在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．解答：解：∵f'（x）=e x，∴f'（0）=e0=1．∵y=e x在（0，1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直∴点P处的切线斜率为﹣1．又y'=﹣，设点P（x0，y0）∴∴x0=±1，∵x＞0，∴x0=1∴y0=1∴点P（1，1）故答案为：（1，1）点评：本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中．16．（5分）（2015•陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1.2．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果．解答：解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y=ax2，因为抛物线经过（5，2），可得a=，所以抛物线方程：y=，横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：2×=2（）=，等腰梯形的面积为：=16，当前最大流量的横截面的面积16﹣，原始的最大流量与当前最大流量的比值为：=1.2．故答案为：1.2．点评：本题考查抛物线的求法，定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力，合理建系是解题的关键．三、解答题，共5小题，共70分17．（12分）（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．考点：余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．点评：本题考查余弦定理以及宰相肚里的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．18．（12分）（2015•陕西）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E 是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC与平面A1CD 夹角的余弦值．解答：证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=，∴BE⊥AC，即在图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，则BE⊥平面A1OC；∵CD∥BE，∴CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，由（Ⅰ）知BE⊥OA1，BE⊥OC，∴∠A1OC为二面角A1﹣BE﹣C的平面角，∴∠A1OC=，如图，建立空间坐标系，∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED∴B（，0，0），E（﹣，0，0），A1（0，0，），C（0，，0），=（﹣，，0），=（0，，﹣），设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），平面A1CD的法向量为=（a，b，c），则得，令x=1，则y=1，z=1，即=（1，1，1），由得，取=（0，1，1），则cos＜＞===，∵平面A1BC与平面A1CD为钝二面角，∴平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为﹣．点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．19．（12分）（2015•陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T（分钟）25 30 35 40频数（次）20 30 40 10（Ⅰ）求T的分布列与数学期望ET；（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求T的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数÷样本容量，数学期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）；（Ⅱ）设T1，T2分别表示往、返所需时间，事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”，先求出P（）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.09，即P （A）=1﹣P（）=0.91．解答：解（Ⅰ）由统计结果可得T的频率分布为T（分钟）25 30 35 40频率0.2 0.3 0.4 0.1以频率估计概率得T的分布列为T 25 30 35 40P 0.2 0.3 0.4 0.1从而数学期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）（Ⅱ）设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”P（）=P（T1+T2＞70）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09故P（A）=1﹣P（）=0.91故答案为：（Ⅰ）分布列如上表，数学期望ET=32（分钟）（Ⅱ）0.91点评：本题考查了频率=频数÷样本容量，数学期望，对学生的理解事情的能力有一定的要求，属于中档题．20．（12分）（2015•陕西）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．专题：创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程．解答：解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=．x1x2=，由x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=•|x1﹣x2|=•==，解得b2=3，则有椭圆E的方程为+=1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．21．（12分）（2015•陕西）设f n（x）是等比数列1，x，x2，…，x n的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．（Ⅰ）证明：函数F n（x）=f n（x）﹣2在（，1）内有且仅有一个零点（记为x n），且x n=+x；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n（x），比较f n （x）和g n（x）的大小，并加以证明．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由F n（x）=f n（x）﹣2=1+x+x2+…++x n﹣2，求得F n（1）＞0，F n（）＜0．再由导数判断出函数F n（x）在（，1）内单调递增，得到F n（x）在（，1）内有且仅有一个零点x n，由F n（x n）=0，得到；（Ⅱ）先求出，构造函数h（x）=f n（x）﹣g n（x）=1+x+x2+…++x n ﹣，当x=1时，f n（x）=g n（x）．当x≠1时，利用导数求得h（x）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，得到f n（x）＜g n（x）．解答：证明：（Ⅰ）由F n（x）=f n（x）﹣2=1+x+x2+…++x n﹣2，则F n（1）=n﹣1＞0，F n（）=1+．∴F n（x）在（，1）内至少存在一个零点，又，∴F n（x）在（，1）内单调递增，∴F n（x）在（，1）内有且仅有一个零点x n，∵x n是F n（x）的一个零点，∴F n（x n）=0，即，故；（Ⅱ）由题设，，设h（x）=f n（x）﹣g n（x）=1+x+x2+…++x n﹣，x＞0．当x=1时，f n（x）=g n（x）．当x≠1时，．若0＜x＜1，h′（x）＞=．若x＞1，h′（x）＜=．∴h（x）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，∴h（x）＜h（1）=0，即f n（x）＜g n（x）．综上，当x=1时，f n（x）=g n（x）；当x≠1时，f n（x）＜g n（x）．点评：本题考查了函数零点的判定方法，考查了等比数列的前n项和，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化与化归等思想方法，是中档题．四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•陕西）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．解答：证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，则∠BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，∵AB切⊙O于点B，∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，则=3，∵BC=，∴AB=3，AC=，则AD=3，由切割线定理得AB2=AD•AE，即AE=，故DE=AE﹣AD=3，即可⊙O的直径为3．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（2015•陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修4-5：不等式选讲24．（2015•陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．解答：解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4，当且仅当=即t=1时取等号，∴所求最大值为4点评：本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．。
陕西省高考数学试题及答案理科及解析
三、解答题，共5小题，共70分
17.（12分）（2015?陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量=（a，；b）
与nF（sA，sinB）平行.
（I ）求A;
（U）若a=.「，b=2，求△ABC的面积.
18.（12分）（2015?陕西）如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，/BAD=--，AB=BC=1，AD=2，
六、选修4-5:不等式选讲
24.（2015?陕西）已知关于x的不等式|x+a|vb的解集为{x|2vxv4}（I）求实数a，b的值；
（n）求亠「二+. r的最大值.
2015
参考答案与试题解析
一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分
1.（5分）
考点：并集及其运算. 专题：集合.
A.3nB.4nC.2n+4D.3n+4
6. （5分）（2015?陕西）“sina =8是a”OS2a=0”）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.（5分）（2015?陕西）对任意向量 小〔，下列关系式中不恒成立的是（）
A■k'1V'" 4B.I —I 51-I'll
3（5分） （2015?陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数
+k.据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）
A.5B.6C.8D.10
4.（5分）（2015?陕西）二项式（x+1）n（n €N+）的展开式中x2的系数为15，则n=（）
A.7B.6C.5D.4
2015陕西高考数学(理科)试题解析版
2015·陕西卷(理数)1．A1[2015·陕西卷] 设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A ．[0，1] B ．(0，1] C ．[0，1) D ．(－∞，1]1．A [解析] 由题得集合M ＝{0，1}，N ＝(0，1]，所以M ∪N ＝[0，1]． 2．I5[2015·陕西卷] 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图1-1所示，则该校女教师的人数为( )图1-1A ．93B ．123C ．137D ．1672．C [解析] 女教师的人数是110×70%＋150×40%＝137. 3．C4[2015·陕西卷] 如图1-2，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图1-2A ．5B ．6C ．8D ．103．C [解析] 据图可知，－3＋k ＝2，得k ＝5，所以y max ＝3＋5＝8. 4．J3[2015·陕西卷] 二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．44．B [解析] 根据二项展开式的通项公式可得x 2的系数为C n －2n ＝C 2n＝n （n －1）2＝15，解得n ＝6.5．G2[2015·陕西卷] 一个几何体的三视图如图1-3所示，则该几何体的表面积为( )图1-3A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4 5．D [解析] 该几何体是底面半径为1、母线长为2的圆柱被其轴截面截开的半个圆柱，其表面积为12×2π×1×2＋2×12×π×12＋2×2＝3π＋4.6．A2、C6[2015·陕西卷] “sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．A [解析] sin α＝cos α时，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0，反之cos 2α＝0时，sin α＝±cos α，故“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．7．F3[2015·陕西卷] 对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a ·b|≤|a||b| B ．|a －b|≤||a|－|b|| C ．(a ＋b )2＝|a ＋b|2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 27．B [解析] 根据数量积的定义a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉，所以|a·b|＝||a||b|cos 〈a ，b 〉|≤|a||b |，选项A 中的关系式一定成立；如果选项B 中的关系式成立，则|a －b|2≤||a|－|b||2，可得a·b ≥|a||b|，此式只在a ，b 共线且同向时成立；根据向量的运算法则可知选项C ，D 中的关系式是恒成立的．8．L1[2015·陕西卷] 根据下面框图1-4，当输入x 为2006时，输出的y ＝( )图1-4A ．2B ．4C ．10D ．288．C [解析] 输入x 值后循环结构的功能是把输入值逐次减去2.由于2006为偶数，所以最后一次执行循环体后x ＝－2，故输出的y ＝32＋1＝10.9．B7、E6[2015·陕西卷] 设f (x )＝ln x ，0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >q9．B [解析] r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln(ab )＝ln ab ＝p .因为b >a >0，所以a ＋b 2>ab ，又函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以q >p ＝r ，故选B.10．E5[2015·陕西卷] 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元10．D [解析] 设该企业每天生产甲种产品x 吨、乙种产品y 吨，则x ，y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0， 利润z ＝3x ＋4y .约束条件表示的平面区域是以(0，0)，(4，0)，(2，3)，(0，4)为顶点的四边形及其内部，把各点坐标代入目标函数检验可知，目标函数在点(2，3)处取得最大值3×2＋4×3＝18，即该企业每天的最大利润为18万元．11．K3、L4[2015·陕西卷] 设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1π C.12－1π D.14－12π11．D [解析] 由|z |≤1得(x －1)2＋y 2≤1，其表示圆心为(1，0)，半径为1的圆及其内部．在此区域内y ≥x 表示的区域为图中的阴影部分，其面积为圆(x －1)2＋y 2＝1面积的四分之一减去一个等腰直角三角形的面积，即π4－12，故y ≥x 的概率为π4－12π＝14－12π.12．B5[2015·陕西卷] 对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A ．－1是f (x )的零点B ．1是f (x )的极值点C ．3是f (x )的极值D ．点(2，8)在曲线y ＝f (x )上12．A [解析] 若前三个选项中的结论正确，则a －b ＋c ＝0，－b2a＝1，a ＋b ＋c ＝3，解得a ＝－34，与a 为非零整数矛盾，故错误的结论一定在前三个选项，选项D 中的结论一定正确；若选项A ，B 正确，则有a －b ＋c ＝0，－b 2a ＝1，4a ＋2b ＋c ＝8，解得a ＝－83，与a为非零整数矛盾，故错误结论一定在选项A ，B 中，即选项C ，D 的结论正确；若选项A 正确，则a －b ＋c ＝0，4ac －b 24a ＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，整理得a 无实数解，与a 为非零整数矛盾，故错误的只能是选项A 中的结论．13．D2[2015·陕西卷] 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．13．5 [解析] 设首项为a 1，则a 1＋2015＝2×1010，解得a 1＝5. 14．H6、H7[2015·陕西卷] 若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________．14．22 [解析] 双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为(－2，0)，所以－p2＝－2，故p ＝2 2.15．B12、H2[2015·陕西卷] 设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．15．(1，1) [解析] 对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－1x 2＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)．16．B10、B13[2015·陕西卷] 如图1-5，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．图1-516．1.2 [解析] 以梯形的底边为x 轴，底边的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y ＝ax 2，根据已知点(5，2)在该抛物线上，代入抛物线方程得a ＝225，即抛物线方程为y ＝225x 2，故抛物线与直线y ＝2所围成的图形的面积为2⎠⎛052－225x 2d x ＝⎪⎪22x －275x 350＝403，梯形的面积为10＋62×2＝16.最大流量之比等于其截面面积之比，故比值为16403＝4840＝1.2.17．C8[2015·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．17．解：(1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝3， 由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)方法一：由余弦定理得 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.方法二：由正弦定理得7sin π3＝2sin B ，从而sin B ＝217， 又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin B ＋π3＝ sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.18．G5、G10、G11[2015·陕西卷] 如图1-6(1)所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE折起到△A 1BE 的位置，如图1-6(2)所示．(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值．图1-618．解：(1)证明：在图(1)中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点， ∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，BE ∥CD .即在图(2)中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，又OA 1∩OC ＝O ，OA 1⊂平面A 1OC ，OC ⊂平面A 1OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC . 又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1BE C 的平面角， 所以∠A 1OC ＝π2.如图，以O 为原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ， 所以B22，0，0，E －22，0，0，A 10，0，22，C 0，22，0， 得BC →＝－22，22，0，A 1C →＝0，22，－22，CD →＝BE →＝(－2，0，0)．设平面A 1BC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BC →＝0，n 1·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋y 1＝0，y 1－z 1＝0，取n 1＝(1，1，1)；⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CD →＝0，n 2·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2－z 2＝0，取n 2＝(0，1，1)，从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝23×2＝63， 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为63. 19．K5、K6、K8[2015·陕西卷] 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T 的分布列与数学期望ET ；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．19．解：(1)由统计结果可得T 的频率分布为以频率估计概率得从而ET ＝25×0.2＋30(2)设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同． 设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．方法一：P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.方法二：P (A )＝P (T 1＋T 2>70)＝P (T 1＝35，T 2＝40)＋P (T 1＝40，T 2＝35)＋P (T 1＝40，T 2＝40)＝0．4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09. 故P (A )＝1－P (A )＝0.91.20．H5、H8[2015·陕西卷] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图1-7，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．图1-720．解：(1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)方法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k 2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋122|x 1－x 2|＝ 52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）. 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 方法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB |＝10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋122|x 1－x 2|＝ 52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）. 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 21．B9、B12、D2、D3[2015·陕西卷] 设f n (x )是等比数列1，x ，x 2，…，x n 的各项和，其中x >0，n ∈N ，n ≥2.(1)证明：函数F n (x )＝f n (x )－2在12，1内有且仅有一个零点(记为x n )，且x n ＝12＋12x n ＋1n； (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (x )，比较f n (x )和g n (x )的大小，并加以证明．21．解：(1)证明：F n (x )＝f n (x )－2＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －2，则F n (1)＝n －1>0，F n 12＝1＋12＋122＋…＋12n －2＝1－12n ＋11－12－2＝－12n <0， 所以F n (x )在12，1内至少存在一个零点． 又F n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1>0，故F n (x )在12，1内单调递增， 所以F n (x )在12，1内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点，所以F n (x n )＝0，即1－x n ＋1n 1－x n －2＝0，故x n ＝12＋12x n ＋1n . (2)方法一：由题设，g n (x )＝（n ＋1）（1＋x n ）2. 设h (x )＝f n (x )－g n (x )＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －（n ＋1）（1＋x n ）2，x >0. 当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )．当x ≠1时，h ′(x )＝1＋2x ＋…＋nxn －1－n （n ＋1）x n －12. 若0<x <1，h ′(x )>x n －1＋2x n －1＋…＋nx n －1－n （n ＋1）2x n －1＝n （n ＋1）2x n －1－n （n ＋1）2x n －1＝0.若x >1，h ′(x )<x n －1＋2x n －1＋…＋nx n －1－n （n ＋1）2x n －1＝n （n ＋1）2x n －1－n （n ＋1）2x n －1＝0.所以h (x )在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，所以h (x )<h (1)＝0，即f n (x )<g n (x )．综上所述，当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，f n (x )<g n (x )．方法二：由题设，f n (x )＝1＋x ＋x 2＋…＋x n ，g n (x )＝（n ＋1）（x n ＋1）2，x >0. 当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )．当x ≠1时，用数学归纳法可以证明f n (x )<g n (x )．①当n ＝2时，f 2(x )－g 2(x )＝－12(1－x )2<0，所以f 2(x )<g 2(x )成立． ②假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即f k (x )<g k (x )．那么，当n ＝k ＋1时，f k ＋1(x )＝f k (x )＋x k ＋1<g k (x )＋x k ＋1＝（k ＋1）（1＋x k ）2＋x k ＋1＝2x k ＋1＋（k ＋1）x k ＋k ＋12. 又g k ＋1(x )－2x k ＋1＋（k ＋1）x k ＋k ＋12＝ kx k ＋1－（k ＋1）x k ＋12，令h k (x )＝kx k ＋1－(k ＋1)x k ＋1(x >0)，则h k ′(x )＝k (k ＋1)x k －k (k ＋1)x k －1＝k (k ＋1)x k －1(x －1)．所以当0<x <1时，h k ′(x )<0，h k (x )在(0，1)上递减；当x >1时，h k ′(x )>0，h k (x )在(1，＋∞)上递增．所以h k (x )>h k (1)＝0，从而g k ＋1(x )>2x k ＋1＋（k ＋1）x k ＋k ＋12. 故f k ＋1(x )<g k ＋1(x )，即n ＝k ＋1时不等式也成立．由①和②知，当x ≠1时，对一切n ≥2，n ∈N ，都有f n (x )<g n (x )．综上所述，当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，f n (x )<g n (x )．方法三：由已知，记等差数列为{a k }，等比数列为{b k }，k ＝1，2，…，n ＋1. 则a 1＝b 1＝1，a n ＋1＝b n ＋1＝x n ，所以a k ＝1＋(k －1)·x n －1n(2≤k ≤n )， b k ＝x k －1(2≤k ≤n )，令m k (x )＝a k －b k ＝1＋（k －1）（x n －1）n－x k －1，x >0(2≤k ≤n )， 当x ＝1时，a k ＝b k ，所以f n (x )＝g n (x )．当x ≠1时，m k ′(x )＝k －1n·nx n －1－(k －1)x k －2＝ (k －1)x k －2(x n －k ＋1－1)．而2≤k ≤n ，所以k －1>0，n －k ＋1≥1.若0<x <1，则x n －k ＋1<1，m k ′(x )<0；若x >1，x n －k ＋1>1，则m k ′(x )>0，从而m k (x )在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，所以m k (x )>m k (1)＝0，所以当x >0且x ≠1时，a k >b k (2≤k ≤n )，又a 1＝b 1，a n ＋1＝b n ＋1，故f n (x )<g n (x )．综上所述，当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，f n (x )<g n (x )．22．N1[2015·陕西卷] 选修4-1：几何证明选讲如图1-8，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA ；(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．图1-822．N3解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径，则∠BED ＋∠EDB ＝90°，又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED .又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA .(2)由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝AD CD＝3，又BC ＝2，从而AB ＝3 2. 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6， 故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.23．N4[2015·陕西卷] 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．23．解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以⊙C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P 3＋12t ，32t ，又C (0，3)， 则|PC |＝3＋12t 2＋32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3，0)．24．[2015·陕西卷] 选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．24．解：(1)由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋ t ＝3·4－t ＋t ≤ [（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2]＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋ t )max ＝4.。
陕西高考理科数学答案解析I卷
20１5年陕西高考理科数学答案解析I 卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题５分,共６０分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）１.1.设集合，,则( ）Ａ。
B ． C 。
D 。
【答案】Ａ【解析】试题分析：，,所以，故选A ．考点:1、一元二次方程;2、对数不等式;3、集合的并集运算.2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有1５0名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师 的人数为（ )A 。
167 B.１37 C 。
1２3 Ｄ.9３【答案】B考点：扇形图。
3。
如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知,这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ） 2{|}M x x x =={|lg 0}N x x =≤M N =[0,1](0,1][0,1)(,1]-∞{}{}20,1x x x M ==={}{}lg 001x x x x N =≤=<≤[]0,1M N=3sin()6y x k πϕ=++A 。
5 B.6 C 。
8 Ｄ。
１0【答案】C【解析】试题分析:由图象知：，因为,所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C 。
考点:三角函数的图象与性质。
4.二项式的展开式中的系数为１5，则（ ）A 。
4 Ｂ。
5 C ．6 D 。
７【答案】C考点：二项式定理。
5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ）Ａ. B ． C ． Ｄ．min 2y =min 3y k =-+32k -+=5k =max 3358y k =+=+=(1)()n x n N ++∈2x n =3π4π24π+34π+【答案】D【解析】试题分析:由三视图知:该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为，母线长为,所以该几何体的表面积是,故选Ｄ． 考点：1、三视图；２、空间几何体的表面积.6。
“”是“”的（ )Ａ．充分不必要条件 Ｂ.必要不充分条件 Ｃ。
充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为,所以或，因为“＂“",但“＂“"，所以“”是“”的充分不必要条件,故选A 。
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(陕西卷,含解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【答案】A 【解析】试题分析：{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1MN =，故选A ．考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ） A ．167 B ．137 C ．123 D ．93【答案】B考点：扇形图．3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】试题分析：由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 考点：三角函数的图象与性质．4.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C考点：二项式定理．5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D 【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+，故选D ． 考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．6.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos 20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos 20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件，故选A ． 考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件． 7.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）A ．||||||a b a b ⋅≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B考点：1、向量的模；2、向量的数量积．8.根据右边的图，当输入x 为2006时，输出的y =（ ）A ．28B ．10C ．4D ．2【答案】B 【解析】试题分析：初始条件：2006x =；第1次运行：2004x =；第2次运行：2002x =；第3次运行：2000x =；⋅⋅⋅⋅⋅⋅；第1003次运行：0x =；第1004次运行：2x =-．不满足条件0?x ≥，停止运行，所以输出的23110y =+=，故选B ． 考点：程序框图．9.设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最 大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D 【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，则利润34z x y =+由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ．考点：线性规划．11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ）A ．3142π+B ．1142π-C ．112π-D ．112π+【答案】B 【解析】试题分析：22(1)||1(1)1z x yi z x y =-+⇒=⇒-+≤如图可求得(1,1)A ，(1,0)B ，阴影面积等于21111114242ππ⨯-⨯⨯=- 若||1z ≤，则y x ≥的概率是211142142πππ-=-⨯，故选B ． 考点：1、复数的模；2、几何概型．12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A ．-1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值 D. 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A考点：1、函数的零点； 2、利用导数研究函数的极值． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5 【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5． 考点：等差中项．14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p= ．【答案】考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质． 15.设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标为 ．【答案】()1,1 【解析】试题分析：因为x y e =，所以x y e '=，所以曲线x y e =在点()0,1处的切线的斜率101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，因为1y x =，所以21y x '=-，所以曲线1y x=在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==-，因为121k k ⋅=-，所以211x -=-，即201x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1．考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【答案】1.2 【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =（0p >），因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案应填：1.2． 考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17．（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行． （I ）求A ； （II ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．【答案】（I）3π；（II ）2．试题解析：（I ）因为//m n ，所以sincos 0a B A -=，由正弦定理，得sinAsinB 0-=又sin 0B ≠，从而tan A 由于0Aπ<<，所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+- 而2,a =3πA =得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =. 故∆ABC 的面积为1bcsinA 2.考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式. 18．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ；（II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3试题解析：（I ）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，∠BAD=2π，所以BE ⊥AC 即在图2中，BE ⊥ 1OA ，BE ⊥OC 从而BE ⊥平面1AOC 又CD BE ，所以CD ⊥平面1AOC.(II)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，又由（1）知，BE⊥ 1OA ，BE ⊥OC 所以1AOC ∠为二面角1--C A BE 的平面角，所以1OC 2A π∠=.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系， 因为11B=E=BC=ED=1A A , BC ED所以1((0,0,2222B -得2BC(22-12A C(0,22-，CD BE (==-. 设平面1BC A 的法向量1111(,,)n x y z =，平面1CD A 的法向量2222(,,)n x y z =，平面1BC A 与平面1CD A 夹角为θ， 则11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取1(1,1,1)n =，2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22200x y z =⎧⎨-=⎩，取2(0,1,1)n =，从而12cos |cos ,|n n θ=〈〉== 即平面1BC A与平面1CD A考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用. 19．（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，（II ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 【答案】（I ）分布列见解析，32；（II ）0.91． 【解析】试题分析：（I ）先算出T 的频率分布，进而可得T 的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望ET ；（II ）先设事件A 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，再算出A 的概率．从而 0.4400.132⨯+⨯=（分钟）(II)设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.解法二：121(A )P P T T T=+>=12P(40,40)T T +== 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=故(A)1P(A)0.91P =-=.考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率.20．（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（I ）求椭圆E 的离心率；（II ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方 程．【答案】（III ）221123x y +=． 【解析】试题分析：（I ）先写过点(),0c ，()0,b 的直线方程，再计算原点O 到该直线的距离，进而可得椭圆E 的离心率；（II ）先由（I ）知椭圆E 的方程，设AB 的方程，联立()2222144y k x x y b⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得12x x +和12x x 的值，进而可得k，再利用AB =可得2b 的值，进而可得椭圆E 的方程．试题解析：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为0bx cy bc +-=， 则原点O到直线的距离bcd a==， 由12d c =，得2a b ==c a . (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (1) 依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且|AB|易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k ++-+=-=-++ 由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =.从而21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-=由|AB|23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=. 解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (2) 依题意，点A ，B关于圆心M(-2,1)对称，且|AB|设1122(,y ),B(,y ),A x x 则2221144x y b +=，2222244x y b +=， 两式相减并结合12124,y 2,x x y +=-+=得()1212-4()80x x y y -+-=. 易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率12121k .2AB y y x x -==-因此AB 直线方程为1(2)12y x =++，代入(2)得224820.x x b ++-= 所以124x x +=-，21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-=由|AB|23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=. 考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.21．（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，nx 的各项和，其中0x >，n ∈N ， 2n ≥．（I ）证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+； （II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x与()n g x 的大小，并加以证明．【答案】（I ）证明见解析；（II ）当1x =时， ()()n n f x g x =，当1x ≠时，()()n n f x g x <，证明见解析． 【解析】试题分析：（I ）先利用零点定理可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点，进而利用n x 是()F n x 的零点可证11122n n n x x +=+；（II ）先设()()()n n h x f x g x =-，再对x 的取值范围进行讨论来判断()h x 与0的大小，进而可得()n f x 和()n g x 的大小． 试题解析：（I ）2()()212,n n n F x f x x x x =-=+++-则(1)10,n F n =->1211111112()1220,12222212n nn nF +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x . 又1()120n n F x x nx -'=++>，故在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点n x . 因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n nx x +--=-，故111=+22n n n x x +.(II)解法一：由题设，()()11().2nnn x g x ++=设()()211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x x x ++=-=+++->当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx--+'=++-若01x <<,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 若1x >,()11111()22n n n n n n h x xx nx x ----+'<++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x < 解法二 由题设，()()211()1,(),0.2nn n n n x f x x x x g x x ++=+++=>当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <. 当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立. 假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <. 那么，当+1n k =时，()()111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x xg x xx +++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=. 又()()11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(x 0)k k k h x kx k x +=-++>，则()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减； 当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211()2k k x k x k g x +++++>故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立. 所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <.解法三:由已知，记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,k 1,2,, 1.n =+则111a b ==，11n n n a b x ++==，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =.当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=-- 而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥.若01x <<, 11n k x -+<,()0k m x '<,当1x >,11n k x-+>,()0km x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=， 所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =,11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x < 考点：1、零点定理；2、利用导数研究函数的单调性.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ． （I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C B =O 的直径．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3． 【解析】试题分析：（I ）先证C D D ∠B =∠BE ，再证D D ∠BA =∠BE ，进而可证C D D ∠B =∠BA ；（II ）先由（I ）知D B 平分C ∠BA ，进而可得D A 的值，再利用切割线定理可得AE 的值，进而可得O 的直径．试题解析：（I ）因为DE 为圆O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD+∠EDB=90°，从而∠CBD=∠BED. 又AB 切圆O 于点B ，得∠DAB=∠BED ，所以∠CBD=∠DBA. （II ）由（I ）知BD 平分∠CBA ，则=3BA AD BC CD=,又BCAB =所以4AC =，所以D=3A .由切割线定理得2=AD AB AE ×，即2=ADAB AE =6，故DE=AE-AD=3，即圆O 的直径为3.考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理. 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴 建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【答案】（I）(223x y +=；（II ）()3,0．【解析】试题分析：（I ）先将ρθ=两边同乘以ρ可得2sin ρθ=，再利用222x y ρ=+，sin x ρθ=可得C 的直角坐标方程；（II ）先设P 的坐标，则C P =，再利用二次函数的性质可得C P 的最小值，进而可得P 的直角坐标．试题解析：（I）由2,sin ρθρθ==得，从而有(2222+,+3x y x y ==所以.(II)设1(32P +又,则|PC |== 故当t=0时，|PC|取最小值，此时P 点的直角坐标为（3，0）.考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． （I ）求实数a ，b 的值；（II 的最大值． 【答案】（I ）3a =-，1b =；（II ）4． 【解析】试题分析：（I ）先由x a b +<可得b a x b a --<<-，再利用关于x 的不等式x a b+<的解集为{}24x x <<可得a ，b 的值；（II ）试题解析：（I ）由||x a b +<，得b a x b a --<<-则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a =-,1b =（II ≤4==，即1t =时等号成立，故max4=.考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷(理)及解析
陕西卷(理)第一部分(共60分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2015高考陕西卷,理1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N等于( A )(A)[0,1] (B)(0,1] (C)[0,1) (D)(-∞,1]解析:由已知得M={0,1},N={x|0<x≤1},则M∪N=[0,1].故选A.2.(2015高考陕西卷,理2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( B )(A)167 (B)137 (C)123 (D)93解析:初中部女教师的人数为110×70%=77,高中部女教师的人数为150×(1-60%)=60,则该校女教师的人数为77+60=137(人),故选B.3.(2015高考陕西卷,理3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin x+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( C )(A)5 (B)6 (C)8 (D)10解析:因为函数y=3sin x+φ+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大值为3+5=8(m).故选C.4.(2015高考陕西卷,理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n等于( C )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:因为(x+1)n的展开式中x2的系数为,所以=15,即=15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍).故选C.5.(2015高考陕西卷,理5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( D )(A)3π(B)4π(C)2π+4 (D)3π+4解析:由题中三视图知该几何体是底面半径为1,高为2的半个圆柱,故其表面积S=2××π×12+π×1×2+2×2=3π+4.故选D.6.(2015高考陕西卷,理6)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由sin α=cos α得cos 2α=cos2α-sin2α=0,即充分性成立.由cos 2α=0得sin α=±cos α,即必要性不成立.故选A.7.(2015高考陕西卷,理7)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是( B )(A)|a·b|≤|a||b| (B)|a-b|≤||a|-|b||(C)(a+b)2=|a+b|2(D)(a+b)·(a-b)=a2-b2解析:|a·b|=|a|·|b|·|cos<a,b>|≤|a|·|b|,故A恒成立;由向量的运算法则知C,D也恒成立;当b=-a≠0时,|a-b|>||a|-|b||,B不恒成立.故选B.8.(2015高考陕西卷,理8)根据如图所示框图,当输入x为2006时,输出的y等于( B )(A)28 (B)10 (C)4 (D)2解析:因为x所有的值构成首项为2006,公差为-2的等差数列.结合题意可知,当x=-2时,输出y的值,此时y=32+1=10.故选B.9.(2015高考陕西卷,理9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r=[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是( C )(A)q=r<p (B)q=r>p(C)p=r<q (D)p=r>q解析:由题意得p=ln ,q=ln ,r=(ln a+ln b)=ln =p,因为0<a<b,所以>,所以ln >ln ,所以p=r<q.故选C.10.(2015高考陕西卷,理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天(A)12万元(B)16万元(C)17万元(D)18万元解析:设该企业每天生产甲产品x吨、乙产品y吨,每天获得的利润为z万元,则有z=3x+4y,由题意得x,y满足不等式组表示的可行域是以O(0,0),A(4,0),B(2,3),C(0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线性规划的有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)时,z取最大值18,故该企业每天可获得最大利润为18万元.故选D.11.(2015高考陕西卷,理11)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为( B )(A)+(B)-(C)-(D)+解析:因为|z|≤1,所以(x-1)2+y2≤1,表示以M(1,0)为圆心,1为半径的圆及其内部,该圆的面积为π.易知直线y=x与圆(x-1)2+y2=1相交于O(0,0),A(1,1)两点,作图如图所示:因为∠OMA=90°,所以S阴影=-×1×1=-.故所求的概率P===-.12.(2015高考陕西卷,理12)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( A )(A)-1是f(x)的零点(B)1是f(x)的极值点(C)3是f(x)的极值(D)点(2,8)在曲线y=f(x)上解析:由已知得f'(x)=2ax+b,则f(x)只有一个极值点,若A、B都正确,则有解得b=-2a,c=-3a,则f(x)=ax2-2ax-3a.由于a为非零整数,所以f(1)=-4a≠3,则C错.而f(2)=-3a≠8,则D也错,与题意不符,故A、B中有一个错误,C、D都正确.若A、C、D正确,则有由①②得代入③中并整理得9a2-4a+=0,又a为非零整数,则9a2-4a为整数,故方程9a2-4a+=0无整数解,故A错.若B、C、D正确,则有解得a=5,b=-10,c=8,则f(x)=5x2-10x+8,此时f(-1)=23≠0,符合题意.故选A.第二部分(共90分)二、填空题:把答案填写在题中横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2015高考陕西卷,理13)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为.解析:设该等差数列为{a n},若项数为2n-1,n∈N*,则有a2n-1=2015,a n=1010,由a1+a2n-1=2a n得a1=5.若项数为2n,n∈N*,则有a2n=2015,=1010,由a1+a2n=a n+a n+1得a1=5.综上,a1=5.答案:514.(2015高考陕西卷,理14)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= . 解析:抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-(p>0),故直线x=-过双曲线x2-y2=1的左焦点(-,0),从而-=-,得p=2.答案:215.(2015高考陕西卷,理15)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.解析:因为函数y=e x的导函数为y'=e x,所以曲线y=e x在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1,设P(x0,y0)(x0>0),因为函数y=的导函数为y'=-,所以曲线y=(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-,则有k1k2=-1,即1·-=-1,解得=1,又x0>0,所以x0=1.又因为点P在曲线y=(x>0)上,所以y0=1,故点P的坐标为(1,1).答案:(1,1)16.(2015高考陕西卷,理16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.解析:建立直角坐标系,如图.过B作BE⊥x轴于点E,因为∠BAE=45°,BE=2,所以AE=2,又OE=5,所以A(3,0),B(5,2).设抛物线的方程为x2=2py(p>0),代入点B的坐标得p=,故抛物线的方程为y=x2.从而曲边三角形OEB的面积为x2dx==.又S△ABE=×2×2=2,故曲边三角形OAB的面积为,从而图中阴影部分的面积为.又易知等腰梯形ABCD的面积为×2=16,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为=1.2.答案:1.2三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)(2015高考陕西卷,理17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.解:(1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B≠0,从而tan A=,由于0<A<π,所以A=.(2)法一由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,而a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为bcsin A=.法二由正弦定理得=,从而sin B=,又由a>b知A>B,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin B+=sin Bcos +cos Bsin=.所以△ABC的面积为absin C=.18.(本小题满分12分)(2015高考陕西卷,理18)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,O 是AC与BE的交点,将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如图2.图1 图2(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.(1)证明:在题图1中,因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,∠BAD=,AD∥BC,所以BE⊥AC,BE∥CD,即在题图2中,BE⊥OA1,BE⊥OC,且OA1∩OC=O,从而BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)解:因为平面A1BE⊥平面BCDE,又由(1)知BE⊥OA1,BE⊥OC,所以∠A1OC为二面角A1BE C的平面角,所以∠A1OC=.如图,以O为原点,建立空间直角坐标系,因为A1B=A1E=BC=ED=1,BC∥ED,所以B,0,0,E-,0,0,A10,0,,C0,,0,得=-,,0,=0,,-,==(-,0,0).设平面A1BC的法向量n1=(x1,y1,z1),平面A1CD的法向量n2=(x2,y2,z2),平面A1BC与平面A1CD夹角为θ,则得取n1=(1,1,1);得取n2=(0,1,1),从而cos θ=|cos<n1,n2>|==,即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.19.(本小题满分12分)(2015高考陕西卷,理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.法一P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.法二P()=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09.故P(A)=1-P()=0.91.20.(本小题满分12分)(2015高考陕西卷,理20)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.解:(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d==,由d=c,得a=2b=2,解得离心率=.(2)法一由(1)知椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|==.由|AB|=得=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.法二由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.(*)依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+4=4b2,+4=4b2,两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,所以AB的斜率k AB==.因此直线AB的方程为y=(x+2)+1,代入(*)得x2+4x+8-2b2=0.所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|==.由|AB|=得=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.21.(本小题满分12分)(2015高考陕西卷,理21)设f n(x)是等比数列1,x,x2,…,x n的各项和,其中x>0,n∈N,n≥2.(1)证明:函数F n(x)=f n(x)-2在,1内有且仅有一个零点(记为x n),且x n=+;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n(x),比较f n(x)与g n(x)的大小,并加以证明.(1)证明:F n(x)=f n(x)-2=1+x+x2+…+x n-2,则F n(1)=n-1>0,F n=1++2+…+n-2=-2=-<0,所以F n(x)在,1内至少存在一个零点.又F n'(x)=1+2x+…+nx n-1>0,故F n(x)在,1内单调递增,所以F n(x)在,1内有且仅有一个零点x n.因为x n是F n(x)的零点,所以F n(x n)=0,即-2=0,故x n=+.(2)解:法一由题设,g n(x)=.设h(x)=f n(x)-g n(x)=1+x+x2+…+x n-,x>0.当x=1时,f n(x)=g n(x).当x≠1时,h'(x)=1+2x+…+nx n-1-.若0<x<1,h'(x)>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-x n-1=x n-1-x n-1=0.若x>1,h'(x)<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-x n-1=x n-1-x n-1=0.所以h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以h(x)<h(1)=0,即f n(x)<g n(x).综上所述,当x=1时,f n(x)=g n(x);当x≠1时,f n(x)<g n(x).法二由题设,f n(x)=1+x+x2+…+x n,g n(x)=,x>0.当x=1时,f n(x)=g n(x).当x≠1时,用数学归纳法可以证明f n(x)<g n(x).①当n=2时,f2(x)-g2(x)=-(1-x)2<0,所以f2(x)<g2(x)成立.②假设n=k(k≥2)时,不等式成立,即f k(x)<g k(x).那么,当n=k+1时,f k+1(x)=f k(x)+x k+1<g k(x)+x k+1=+x k+1=.又g k+1(x)-=,令h k(x)=kx k+1-(k+1)x k+1(x>0).则h k'(x)=k(k+1)x k-k(k+1)x k-1=k(k+1)x k-1(x-1).所以当0<x<1时,h k'(x)<0,h k(x)在(0,1)上递减;当x>1时,h k'(x)>0,h k(x)在(1,+∞)上递增.所以h k(x)>h k(1)=0,从而g k+1(x)>.故f k+1(x)<g k+1(x),即n=k+1时不等式也成立.由①和②知,对一切n≥2的整数,都有f n(x)<g n(x).法三由已知,记等差数列为{a k},等比数列为{b k},k=1,2,…,n+1.则a1=b1=1,a n+1=b n+1=x n,所以a k=1+(k-1)·(2≤k≤n),b k=x k-1(2≤k≤n),令m k(x)=a k-b k=1+-x k-1,x>0(2≤k≤n),当x=1时,a k=b k,所以f n(x)=g n(x).当x≠1时,m k'(x)=·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1).而2≤k≤n,所以k-1>0,n-k+1≥1.若0<x<1,x n-k+1<1,m k'(x)<0;若x>1,x n-k+1>1,m k'(x)>0,从而m k(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,所以m k(x)>m k(1)=0,所以当x>0且x≠1时,a k>b k(2≤k≤n),又a1=b1,a n+1=b n+1,故f n(x)<g n(x).综上所述,当x=1时,f n(x)=g n(x);当x≠1时,f n(x)<g n(x).考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲(2015高考陕西卷,理22)如图,AB切☉O于点B,直线AO交☉O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C,(1)证明:∠CBD=∠DBA;(2)若AD=3DC,BC=,求☉O的直径.(1)证明:因为DE为☉O的直径,所以∠BED+∠EDB=90°,又BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°,从而∠CBD=∠BED.又AB切☉O于点B,所以∠DBA=∠BED,所以∠CBD=∠DBA.(2)解:由(1)知BD平分∠CBA,则==3,又BC=,从而AB=3.所以AC==4,所以AD=3.由切割线定理得AB2=AD·AE,即AE==6,故DE=AE-AD=3,即☉O的直径为3.23.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程(2015高考陕西卷,理23)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.解:(1)由ρ=2sin θ得ρ2=2ρsin θ,从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)设P3+t,t,又C(0,),则|PC|==,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3,0).24.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲(2015高考陕西卷,理24)已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求+的最大值.解:(1)由|x+a|<b得-b-a<x<b-a,则解得a=-3,b=1.(2)由(1)得+=+=+≤=2=4,当且仅当=,即t=1时等号成立.故(+)max=4.。
陕西高考数学理科试题及答案精选
2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【答案】A试题分析：{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1MN =，故选A ．考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．【分析及点评】本题主要考察了集合的表示及其相关运算，并结合一元二次方程以及对数运算，属于基础题型，难度不大。
2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A ．167B ．137C ．123D ．93 【答案】B 考点：扇形图．【分析及点评】本题主要考察了统计以及统计图表的相关知识，难度系数很小，属于基础题型。
3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（） A ．5B ．6C ．8D ．10 【答案】C试题分析：由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 考点：三角函数的图象与性质．【分析及点评】本题重在转化，将实际问题转化成三角函数问题，对三角函数的图像、性质有较高要求，但作为基础题型，难度不大。
4.二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C考点：二项式定理．【分析及点评】本题主要考察了学生对二项式定理的理解，以及二项式系数的计算，难度不大，属于基础题型。
全国高考理科数学试题及答案陕西卷
2015年全国高考理科数学试题及答案-陕西卷2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设集合M{x|x2x}，N{x|lgx0}，则M NA．[0,1]C．[0,1) B．(0,1] D．(,1]2. 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为A．93 B.123D．167 C.1373. 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sin(6x)k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为A．5C．8 B．6 D．1024. 二项式(x1)n(n N)的展开式中x的系数为15，则nA．7 B．6 C．5 D．45. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．3B．4 D．3 4 C．2 46. “sin cos”是“cos20”的A.充分不必要条件C.充分必要条件 B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7. 对任意向量a,b，下列关系式中不恒成立的是A．|a b||a||b|C．(a b)2|a b|2 B．|a b||a||b| D．(a b)(a b)a2b28. 根据右边的框图，当输入x为2006时，输出的yA.2B.4C.10D.289.设f(x)lnx,0a b，若p f，q f(a b)，21(f(a)f(b))，则下列关系式中正确的是 2A．q r p B．p r q rC．q r p D．p r q10. 某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为A．12万元B．16万元 C．17万元 D．18万元11. 设复数z(x1)yi(x,y R)，若|z|1，则y x的概率为A．31 422B．11 2 C．11 2D．11 4212. 对二次函数f(x)ax bx c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A．-1是f(x)的零点C．3是f(x)的极值 B．1是f(x)的极值点 D.点(2,8)在曲线y f(x)上二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为14. 若抛物线y2px(p0)的准线经过双曲线x y1的一个焦点，则p22215. 设曲线y ex在点（0,1）处的切线与曲线y为 1(x0)上点 p 处的切线垂直，则p的坐标x16. 如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤（本大题共6小题，共70分）17、（本小题满分12分）C的内角，，C所对的边分别为a，b，c．向量m(a)与n(cosA,sinB)平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若a b2，求C的面积．18、（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD中，D//C，D2，C1，D2，是 D的中点，是C与的交点．将沿折起到1的位置，如图2．（Ⅰ）证明：CD平面1C；（Ⅱ）若平面1平面CD，求平面1C与平面1CD夹角的余弦值．19、（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：（Ⅰ）求T（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20、（本小题满分12分）x2y2已知椭圆:221（a b0）的半焦距为c，原点ab到经过两点c,0，0,b的直线的距离为（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，是圆:x2y1求椭圆的方程．21、（本小题满分12分）设fn(x)是等比数列1，x，x，，x的各项和，其中x0，n，n2．（Ⅰ）证明：函数Fn(x)fn(在,1内有且仅有一个零点（记为xn），且x)22n1c． 2225的一条直径，若椭圆经过，两点，212xn11n1xn； 22（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn x，比较fn(x)与gn(x)的大小，并加以证明．请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，切于点，直线AO交于D，两点，C D，垂足为C．（Ⅰ）证明：BED DBA；（Ⅱ）若D3DC，BC O的直径．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程1x3t2在直角坐标系x y中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半y 2轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出C的直角坐标方程；（Ⅱ）为直线l上一动点，当到圆心C的距离最小时，求的直角坐标．10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x的不等式x a b的解集为x2x4．（Ⅰ）求实数a，b的值；24、（本小题满分参考答案一、选择题1.A2.C3.C4.B5.D7.B 8.C 9.B 10.D 11.D二、填空题13. 514. 15. （1，1）三、解答题17.解：（Ⅰ）因为m//n，所以asinBcosA0，由正弦定理，得sinAsinBBcosA0，又sinB0，从而tanA由于0A，所以A3（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得a2b2c22bccosA，而a b2,A3，得74c22c，即c22c30，因为c0，所以c 3故ABC的面积为S 12bcsinA 2解法二：由正弦定理，得 2sinsinB，3从而sinB7，又由a b，知AB，所以cosB故sinC sin(A B)sin(B 3)6.A 12.A 16. 1.2sinBcos3cosBsin3所以ABC的面积为S18.解：（Ⅰ）在图1中，因为 1absinC2AB BC1,AD2,E是AD的中点，BAD即从而又所以2，所以BE AC 在图2中，BE OA1,BE OC， BE平面AOC，1CD//BE， CD平面AOC 1BCDE，（Ⅱ）由已知，平面A1BE平面又由（Ⅰ）知，BE OA1,BE OC所以AOC为二面角A1BE C的平面角 1所以A1OC2如图，以O为原点建立空间直角坐标系，因为所以A1B A1E BC ED1,BC//ED， BE(A1(0,0,C(0,， 2222得BC(AC，1CD BE(设平面A的法向量n2(x2,y2,z2)，平面A1BC的法向量n1(x1,y1,z1)，平面ACD1BC与1平面ACD夹角为 1n1BC0,x1y10,则得取n1(1,1,1)；y z0,n1A1C0,11CD0,x20,n2得取n2(0,1,1)，y z0,0,22n2AC1从而cos|cos n1,n2|，即平面A1BC与平面ACD119.解：（Ⅰ）由统计结果可得T的频率分布为从而ET（Ⅱ）设T1,T2分别表示往、返所需时间，T1,T2的取值相互独立，且与T的分布列相同。
[历年真题]2015年陕西省高考数学试卷(理科)
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2015年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题,共12小题,每小题5分,共60分1．（5分）设集合M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则M∪N=（）A．[0,1]B．（0,1]C．[0,1）D．（﹣∞,1]2．（5分）某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为（）A．93 B．123 C．137 D．1673．（5分）如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin （x+φ）+k．据此函数可知,这段时间水深（单位:m）的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．104．（5分）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15,则n=（）A．7 B．6 C．5 D．45．（5分）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+46．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤||||B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣28．（5分）根据如图框图,当输入x为2006时,输出的y=（）A．2 B．4 C．10 D．289．（5分）设f（x）=lnx,0＜a＜b,若p=f（）,q=f（）,r=（f（a）+f（b））,则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q10．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元11．（5分）设复数z=（x﹣1）+yi（x,y∈R）,若|z|≤1,则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣12．（5分）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数）,四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点 B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2,8）在曲线y=f（x）上二、填空题,共4小题,每小题5分,共20分13．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为．14．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点,则p=．15．（5分）设曲线y=e x在点（0,1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直,则P的坐标为．16．（5分）如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示）,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．三、解答题,共5小题,共70分17．（12分）△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．向量=（a,b）与=（cosA,sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=,b=2,求△ABC的面积．18．（12分）如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=1,AD=2,E是AD 的中点,O是AC与BE的交点,将ABE沿BE折起到A1BE的位置,如图2．（Ⅰ）证明:CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．19．（12分）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路通畅状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:T（分钟）25303540频数（次）20304010（Ⅰ）求T的分布列与数学期望ET；（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20．（12分）已知椭圆E:+=1（a＞b＞0）的半焦距为c,原点O到经过两点（c,0）,（0,b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图,AB是圆M:（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径,若椭圆E经过A、B两点,求椭圆E的方程．21．（12分）设f n（x）是等比数列1,x,x2,…,x n的各项和,其中x＞0,n∈N,n≥2．（Ⅰ）证明:函数F n（x）=f n（x）﹣2在（,1）内有且仅有一个零点（记为x n）,且x n=+x；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n（x）,比较f n（x）和g n（x）的大小,并加以证明．四、选修题,请在22、23、24中任选一题作答,如果多做则按第一题计分．选修4-1:几何证明选讲22．（10分）如图,AB切⊙O于点B,直线AO交⊙O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C．（Ⅰ）证明:∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC,BC=,求⊙O的直径．五、选修4-4:坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为（t为参数）,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标．六、选修4-5:不等式选讲24．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a,b的值；（Ⅱ）求+的最大值．2015年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题,共12小题,每小题5分,共60分1．（5分）（2015•陕西）设集合M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则M∪N=（）A．[0,1]B．（0,1]C．[0,1）D．（﹣∞,1]【分析】求解一元二次方程化简M,求解对数不等式化简N,然后利用并集运算得答案．【解答】解:由M={x|x2=x}={0,1},N={x|lgx≤0}=（0,1],得M∪N={0,1}∪（0,1]=[0,1]．故选:A．【点评】本题考查了并集及其运算,考查了对数不等式的解法,是基础题．2．（5分）（2015•陕西）某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为（）A．93 B．123 C．137 D．167【分析】利用百分比,可得该校女教师的人数．【解答】解:初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60,∴该校女教师的人数为77+60=137,故选:C．【点评】本题考查该校女教师的人数,考查收集数据的方法,考查学生的计算能力,比较基础．3．（5分）（2015•陕西）如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知,这段时间水深（单位:m）的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．10【分析】由题意和最小值易得k的值,进而可得最大值．【解答】解:由题意可得当sin（x+φ）取最小值﹣1时,函数取最小值y min=﹣3+k=2,解得k=5,∴y=3sin（x+φ）+5,∴当当sin（x+φ）取最大值1时,函数取最大值y max=3+5=8,故选:C．【点评】本题考查三角函数的图象和性质,涉及三角函数的最值,属基础题．4．（5分）（2015•陕西）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15,则n=（）A．7 B．6 C．5 D．4【分析】由题意可得==15,解关于n的方程可得．）的展开式中x2的系数为15,【解答】解:∵二项式（x+1）n（n∈N+∴=15,即=15,解得n=6,故选:B．【点评】本题考查二项式定理,属基础题．5．（5分）（2015•陕西）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是圆柱体的一部分,利用图中数据求出它的表面积．【解答】解:根据几何体的三视图,得；该几何体是圆柱体的一半,∴该几何体的表面积为S几何体=π•12+π×1×2+2×2=3π+4．故选:D．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题,是基础题目．6．（5分）（2015•陕西）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α,即可判断出．【解答】解:由cos2α=cos2α﹣sin2α,∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选:A．【点评】本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力,属于基础题．7．（5分）（2015•陕西）对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤||||B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣2【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．【解答】解:选项A恒成立,∵||=|||||cos＜,＞|,又|cos＜,＞|≤1,∴||≤||||恒成立；选项B不恒成立,由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；选项C恒成立,由向量数量积的运算可得（）2=||2；选项D恒成立,由向量数量积的运算可得（）•（）=2﹣2．故选:B【点评】本题考查平面向量的数量积,属基础题．8．（5分）（2015•陕西）根据如图框图,当输入x为2006时,输出的y=（）A．2 B．4 C．10 D．28【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的x的值,当x=﹣2时不满足条件x≥0,计算并输出y的值为10．【解答】解:模拟执行程序框图,可得x=2006,x=2004满足条件x≥0,x=2002满足条件x≥0,x=2000…满足条件x≥0,x=0满足条件x≥0,x=﹣2不满足条件x≥0,y=10输出y的值为10．故选:C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题．9．（5分）（2015•陕西）设f（x）=lnx,0＜a＜b,若p=f（）,q=f（）,r=（f （a）+f（b））,则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q【分析】由题意可得p=（lna+lnb）,q=ln（）≥ln（）=p,r=（lna+lnb）,可得大小关系．【解答】解:由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb）,q=f（）=ln（）≥ln（）=p,r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb）,∴p=r＜q,故选:B【点评】本题考查不等式与不等关系,涉及基本不等式和对数的运算,属基础题．10．（5分）（2015•陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x,y吨,利润为z元,然后根据题目条件建立约束条件,得到目标函数,画出约束条件所表示的区域,然后利用平移法求出z的最大值．【解答】解:设每天生产甲乙两种产品分别为x,y吨,利润为z元,则,目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+,平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时,直线y=﹣x+的截距最大,此时z最大,解方程组,解得,即B的坐标为x=2,y=3,∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2,3吨,能够产生最大的利润,最大的利润是18万元,故选:D．【点评】本题主要考查线性规划的应用,建立约束条件和目标函数,利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）（2015•陕西）设复数z=（x﹣1）+yi（x,y∈R）,若|z|≤1,则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣【分析】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比,分别求面积可得．【解答】解:∵复数z=（x﹣1）+yi（x,y∈R）且|z|≤1,∴|z|=≤1,即（x﹣1）2+y2≤1,∴点（x,y）在（1,0）为圆心1为半径的圆及其内部,而y≥x表示直线y=x左上方的部分,（图中阴影弓形）∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比,∴所求概率P==故选:D．【点评】本题考查几何概型,涉及复数以及圆的知识,属基础题．12．（5分）（2015•陕西）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数）,四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点 B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2,8）在曲线y=f（x）上【分析】可采取排除法．分别考虑A,B,C,D中有一个错误,通过解方程求得a,判断是否为非零整数,即可得到结论．【解答】解:可采取排除法．若A错,则B,C,D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b,即有f′（1）=0,即2a+b=0,①又f（1）=3,即a+b+c=3②,又f（2）=8,即4a+2b+c=8,③由①②③解得,a=5,b=﹣10,c=8．符合a为非零整数．若B错,则A,C,D正确,则有a﹣b+c=0,且4a+2b+c=8,且=3,解得a∈∅,不成立；若C错,则A,B,D正确,则有a﹣b+c=0,且2a+b=0,且4a+2b+c=8,解得a=﹣不为非零整数,不成立；若D错,则A,B,C正确,则有a﹣b+c=0,且2a+b=0,且=3,解得a=﹣不为非零整数,不成立．故选:A．【点评】本题考查二次函数的极值、零点等概念,主要考查解方程的能力和判断分析的能力,属于中档题．二、填空题,共4小题,每小题5分,共20分13．（5分）（2015•陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为5．【分析】由题意可得首项的方程,解方程可得．【解答】解:设该等差数列的首项为a,由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得a=5故答案为:5【点评】本题考查等差数列的基本性质,涉及中位数,属基础题．14．（5分）（2015•陕西）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点,则p=2．【分析】先求出x2﹣y2=1的左焦点,得到抛物线y2=2px的准线,依据p的意义求出它的值．【解答】解:双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣,0）,故抛物线y2=2px的准线为x=﹣,∴=,∴p=2,故答案为:2．【点评】本题考查抛物线和双曲线的简单性质,以及抛物线方程y2=2px中p的意义．15．（5分）（2015•陕西）设曲线y=e x在点（0,1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直,则P的坐标为（1,1）．【分析】利用y=e x在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率,进而求得切点坐标．【解答】解:∵f'（x）=e x,∴f'（0）=e0=1．∵y=e x在（0,1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直∴点P处的切线斜率为﹣1．又y'=﹣,设点P（x0,y0）∴﹣=﹣1,∴x0=±1,∵x＞0,∴x0=1∴y0=1∴点P（1,1）故答案为:（1,1）【点评】本题考查导数在曲线切线中的应用,在高考中属基础题型,常出现在选择填空中．16．（5分）（2015•陕西）如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示）,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1.2．【分析】建立直角坐标系,求出抛物线方程,然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积,求出梯形面积,即可推出结果．【解答】解:如图:建立平面直角坐标系,设抛物线方程为:y=ax2,因为抛物线经过（5,2）,可得a=,所以抛物线方程:y=,横截面为等腰梯形的水渠,泥沙沉积的横截面的面积为:2×=2（）=,等腰梯形的面积为:=16,当前最大流量的横截面的面积16﹣,原始的最大流量与当前最大流量的比值为:=1.2．故答案为:1.2．【点评】本题考查抛物线的求法,定积分的应用,考查分析问题解决问题的能力,合理建系是解题的关键．三、解答题,共5小题,共70分17．（12分）（2015•陕西）△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．向量=（a,b）与=（cosA,sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=,b=2,求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用向量的平行,列出方程,通过正弦定理求解A；（Ⅱ）利用A,以及a=,b=2,通过余弦定理求出c,然后求解△ABC的面积．【解答】解:（Ⅰ）因为向量=（a,b）与=（cosA,sinB）平行,所以asinB﹣=0,由正弦定理可知:sinAsinB﹣sinBcosA=0,因为sinB≠0,所以tanA=,可得A=；（Ⅱ）a=,b=2,由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA,可得7=4+c2﹣2c,解得c=3,△ABC的面积为:=．【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用,三角形的面积的求法,考查计算能力．18．（12分）（2015•陕西）如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将ABE沿BE折起到A1BE的位置,如图2．（Ⅰ）证明:CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明:CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE,建立空间坐标系,利用向量法即可求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．【解答】证明:（Ⅰ）在图1中,∵AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,∠BAD=,∴BE⊥AC,即在图2中,BE⊥OA1,BE⊥OC,则BE⊥平面A1OC；∵CD∥BE,∴CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE,由（Ⅰ）知BE⊥OA1,BE⊥OC,∴∠A1OC为二面角A1﹣BE﹣C的平面角,∴∠A1OC=,如图,建立空间坐标系,∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED∴B（,0,0）,E（﹣,0,0）,A1（0,0,）,C（0,,0）,=（﹣,,0）,=（0,,﹣）,设平面A1BC的法向量为=（x,y,z）,平面A1CD的法向量为=（a,b,c）,则得,令x=1,则y=1,z=1,即=（1,1,1）,由得,取=（0,1,1）,则cos＜＞===,∴平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为．【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解,建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．19．（12分）（2015•陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路通畅状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:T（分钟）25303540频数（次）20304010（Ⅰ）求T的分布列与数学期望ET；（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．【分析】（Ⅰ）求T的分布列即求出相应时间的频率,频率=频数÷样本容量,数学期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）；（Ⅱ）设T1,T2分别表示往、返所需时间,事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”,先求出P（）=P（T1=35,T2=40）+P（T1=40,T2=35）+P（T1=40,T2=40）=0.09,即P（A）=1﹣P（）=0.91．【解答】解（Ⅰ）由统计结果可得T的频率分布为T（分钟）25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而数学期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）（Ⅱ）设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同,设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”P（）=P（T1+T2＞70）=P（T1=35,T2=40）+P（T1=40,T2=35）+P（T1=40,T2=40）=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09故P（A）=1﹣P（）=0.91故答案为:（Ⅰ）分布列如上表,数学期望ET=32（分钟）（Ⅱ）0.91【点评】本题考查了频率=频数÷样本容量,数学期望,对学生的理解事情的能力有一定的要求,属于中档题．20．（12分）（2015•陕西）已知椭圆E:+=1（a＞b＞0）的半焦距为c,原点O到经过两点（c,0）,（0,b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图,AB是圆M:（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径,若椭圆E经过A、B两点,求椭圆E的方程．【分析】（Ⅰ）求出经过点（0,b）和（c,0）的直线方程,运用点到直线的距离公式,结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,①设出直线AB的方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,结合圆的直径和中点坐标公式,解方程可得b2=3,即可得到椭圆方程．【解答】解:（Ⅰ）经过点（0,b）和（c,0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0,则原点到直线的距离为d==c,即为a=2b,e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,①由题意可得圆心M（﹣2,1）是线段AB的中点,则|AB|=,易知AB与x轴不垂直,记其方程为y=k（x+2）+1,代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0,设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则x1+x2=．x1x2=,由M为AB的中点,可得x1+x2=﹣4,得=﹣4,解得k=,从而x1x2=8﹣2b2,于是|AB|=•|x1﹣x2|=•==,解得b2=3,则有椭圆E的方程为+=1．【点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用,联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,同时考查直线和圆的位置关系,以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用,属于中档题．21．（12分）（2015•陕西）设f n（x）是等比数列1,x,x2,…,x n的各项和,其中x＞0,n ∈N,n≥2．（Ⅰ）证明:函数F n（x）=f n（x）﹣2在（,1）内有且仅有一个零点（记为x n）,且x n=+x；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n（x）,比较f n（x）和g n（x）的大小,并加以证明．【分析】（Ⅰ）由F n（x）=f n（x）﹣2=1+x+x2+…++x n﹣2,求得F n（1）＞0,F n（）＜0．再由导数判断出函数F n（x）在（,1）内单调递增,得到F n（x）在（,1）内有且仅有一个零点x n,由F n（x n）=0,得到；（Ⅱ）先求出,构造函数h（x）=f n（x）﹣g n（x）=1+x+x2+…++x n ﹣,当x=1时,f n（x）=g n（x）．当x≠1时,利用导数求得h（x）在（0,1）内递增,在（1,+∞）内递减,得到f n（x）＜g n（x）．【解答】证明:（Ⅰ）由F n（x）=f n（x）﹣2=1+x+x2+…++x n﹣2,则F n（1）=n﹣1＞0,F n（）=1+．∴F n（x）在（,1）内至少存在一个零点,又,∴F n（x）在（,1）内单调递增,∴F n（x）在（,1）内有且仅有一个零点x n,∵x n是F n（x）的一个零点,∴F n（x n）=0,即,故；（Ⅱ）由题设,,设h（x）=f n（x）﹣g n（x）=1+x+x2+…++x n﹣,x＞0．当x=1时,f n（x）=g n（x）．当x≠1时,．若0＜x＜1,h′（x）＞=．若x＞1,h′（x）＜=．∴h（x）在（0,1）内递增,在（1,+∞）内递减,∴h（x）＜h（1）=0,即f n（x）＜g n（x）．综上,当x=1时,f n（x）=g n（x）；当x≠1时,f n（x）＜g n（x）．【点评】本题考查了函数零点的判定方法,考查了等比数列的前n项和,训练了利用导数研究函数的单调性,考查了数学转化与化归等思想方法,是中档题．四、选修题,请在22、23、24中任选一题作答,如果多做则按第一题计分．选修4-1:几何证明选讲22．（10分）（2015•陕西）如图,AB切⊙O于点B,直线AO交⊙O于D,E两点,BC ⊥DE,垂足为C．（Ⅰ）证明:∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC,BC=,求⊙O的直径．【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明:∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．【解答】证明:（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径,则∠BED+∠EDB=90°,∵BC⊥DE,∴∠CBD+∠EDB=90°,即∠CBD=∠BED,∵AB切⊙O于点B,∴∠DBA=∠BED,即∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA,则=3,∵BC=,∴AB=3,AC=,则AD=3,由切割线定理得AB2=AD•AE,即AE=,故DE=AE﹣AD=3,即可⊙O的直径为3．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明,根据相应的定理是解决本题的关键．五、选修4-4:坐标系与参数方程23．（2015•陕西）在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为（t为参数）,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标．【分析】（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2,把代入即可得出；．（II）设P,又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=,再利用二次函数的性质即可得出．【解答】解:（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2,化为x2+y2=,配方为=3．（II）设P,又C．∴|PC|==≥2,因此当t=0时,|PC|取得最小值2．此时P（3,0）．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．六、选修4-5:不等式选讲24．（2015•陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a,b的值；（Ⅱ）求+的最大值．【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组,解方程组可得；（Ⅱ）原式=+=+,由柯西不等式可得最大值．【解答】解:（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a,又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4},∴,解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4,当且仅当=即t=1时取等号,∴所求最大值为4【点评】本题考查不等关系与不等式,涉及柯西不等式求最值,属基础题．参与本试卷答题和审题的老师有:sxs123；刘长柏；lincy；742048；沂蒙松；w3239003；maths；双曲线；雪狼王；qiss；依依（排名不分先后）菁优网2017年3月17日。
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2015 年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题，共12 小题，每小题5分，共 60分1．（ 5 分）（ 2015?陕西）设集合 M={x|x2，则 M∪N=（）=x} ， N={x|lgx ≤0}A ．[0，1]B ．（ 0，1]C．[0， 1）D．（﹣∞， 1]2．（ 5 分）（2015?陕西）某中学初中部共有110 名教师，高中部共有150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A ．93B ．123C．137D．1673．（ 5 分）（ 2015?陕西）如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k ．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A ．5B ．6C．8D．104．（ 5 分）（ 2015?陕西）二项式（ x+1 ）n（ n∈N +）的展开式中x2的系数为15，则 n=（）A ．7B ．6C．5D．45．（ 5 分）（ 2015?陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）3π4π2π+43π+46．（ 5 分）（ 2015?陕西）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（ 5 分）（ 2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A ．|≤| || |B ．||≤|| |﹣ | |||C．22 D ．（） ?（） =22（） =||﹣8．（ 5 分）（ 2015?陕西）根据如图框图，当输入x 为 2006 时，输出的y= （）A ．2B ．4C．10D．289．（ 5 分）（2015?陕西）设 f（ x）=lnx ， 0＜ a＜ b，若 p=f（），q=f（），r=（f（a）+f （ b）），则下列关系式中正确的是（）A ．q=r＜ pB ．p=r＜ q C．q=r＞ p D．p=r＞ q10．（ 5 分）（ 2015?陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用 A 、B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为 3 万元、 4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128A ．12 万元B ．16 万元C．17 万元D．18 万元11．（ 5 分）（ 2015?陕西）设复数 z=（ x﹣ 1）+yi（ x，y∈R），若 |z|≤1，则 y≥x 的概率为（）A ．B ．+C．﹣D．﹣+212．（ 5 分）（ 2015?陕西）对二次函数f（ x）=ax +bx+c （a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A ．﹣ 1 是 f（ x）的B ．1 是 f （x）的极零点值点C．3 是 f（ x）的极 D ．点（ 2，8）在曲值线 y=f （ x）上二、填空题，共 4 小题，每小题5分，共 20分13．（ 5 分）（2015?陕西）中位数为1010 的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．14．（ 5 分）（ 2015?陕西）若抛物线 y2=2px（ p＞ 0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1 的一个焦点，则 p=．15．（ 5 分）（ 2015?陕西）设曲线y=e x在点（ 0， 1）处的切线与曲线y=（ x＞ 0）上点 P 的切线垂直，则P 的坐标为．16．（ 5 分）（ 2015?陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．三、解答题，共 5 小题，共 70 分17．（ 12 分）（ 2015?陕西）△ABC 的内角 A ， B ，C 所对的边分别为a， b， c．向量=（ a，b）与=（cosA ， sinB）平行．（Ⅰ）求 A ；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ ABC的面积．18．（ 12 分）（ 2015?陕西）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ BAD=，AB=BC=1，AD=2 ， E 是 AD 的中点， O 是 AC 与 BE 的交点，将 ABE 沿 BE 折起到 A 1BE 的位置，如图 2．（Ⅰ）证明： CD ⊥平面 A 1 OC；（Ⅱ）若平面 A 1BE ⊥平面 BCDE ，求平面 A 1BC 与平面 A 1CD 夹角的余弦值．19．（ 12 分）（ 2015?陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T， T 只与道路通畅状况有关，对其容量为100 的样本进行统计，结果如下：T（分钟） 25303540频数（次） 20304010（Ⅰ）求 T 的分布列与数学期望ET；（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120 分钟的概率．20．（ 12 分）（ 2015?陕西）已知椭圆E ： + =1 （a ＞ b ＞ 0）的半焦距为 c ，原点 O 到经过两点（ c ， 0），（ 0，b ）的直线的距离为 c ．（Ⅰ）求椭圆 E 的离心率；22的一条直径，若椭圆E 经过 A 、B 两点，（Ⅱ）如图， AB 是圆 M ：（ x+2 ） +（ y ﹣ 1） = 求椭圆 E 的方程．21．（ 12 分）（ 2015?陕西）设 f n （ x ）是等比数列 1，x ，x 2，⋯，x n的各项和， 其中 x ＞0，n ∈N ，n ≥2．（Ⅰ）证明：函数 F （n x ）=f （n x ）﹣ 2 在（ ，1）内有且仅有一个零点 （记为 x n ），且 x n = + x ； （Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n（x ），比较 f n （ x ）和 g n （ x ）的大小，并加以证明．四、选修题，请在 22、 23、 24 中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10 分）（ 2015?陕西）如图，AB 切⊙ O 于点 B ，直线 AO 交⊙ O 于 D，E 两点，BC⊥ DE，垂足为 C．（Ⅰ）证明：∠CBD= ∠ DBA ；（Ⅱ）若 AD=3DC ， BC=，求⊙ O的直径．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（ 2015?陕西）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t为参数），以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙ C 的直角坐标方程；（Ⅱ） P 为直线 l 上一动点，当P 到圆心 C 的距离最小时，求P 的直角坐标．六、选修4-5：不等式选讲24．（ 2015?陕西）已知关于x 的不等式 |x+a|＜ b 的解集为 {x|2 ＜ x＜ 4}（Ⅰ）求实数a， b 的值；（Ⅱ）求+的最大值．2015 年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共 12 小题，每小题5分，共 60分1．（ 5 分）考并集及其运算．点：专集合．题：分求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答析：案．解解：由 M={x|x 2=x}={0 ， 1} ，答：N={x|lgx ≤0}= （ 0， 1] ，得M ∪N={0 ， 1} ∪（ 0， 1]=[0 ， 1]．故选： A．点本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．评：2．（ 5 分）考点：收集数据的方法．专题：计算题；概率与统计．分析：利用百分比，可得该校女教师的人数．解答：解：初中部女教师的人数为 110×70%=77 ；高中部女教师的人数为 40×150%=60 ，∴该校女教师的人数为 77+60=137 ，故选： C．点评：本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础．3．（ 5 分）考由 y=Asin （ωx+ φ）的部分图象确定其解析式．点：专三角函数的图像与性质．题：分由题意和最小值易得k 的值，进而可得最大值．析：解解：由题意可得当sin（ x+ φ）取最小值﹣ 1 时，答：函数取最小值y min=﹣ 3+k=2 ，解得 k=5 ，∴y=3sin （ x+ φ） +5，∴当当 sin（x+ φ）取最大值 1 时，函数取最大值y max=3+5=8 ，故选： C．点本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．评：4．（ 5 分）考二项式定理的应用．点：专二项式定理．题：分由题意可得==15 ，解关于 n 的方程可得．析：解解：∵二项式（x+1 ）n（ n∈N +）的展开式中x2的系数为15，答：∴ =15，即=15，解得 n=6，故选： B．点本题考查二项式定理，属基础题．评：5．（ 5 分）考由三视图求面积、体积．点：专计算题；空间位置关系与距离．题：分根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面析：积．解解：根据几何体的三视图，得；答：该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为2S 几何体 =π?1 +π×1×2+2×2=3π+4．故选： D．点本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．评：6．（ 5 分）考必要条件、充分条件与充要条件的判断．点：专简易逻辑．题：2 2分由 cos2α=cos α﹣ sin α，即可判断出．析：解解：由 cos2α=cos 2α﹣ sin2α，答：∴ “sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选： A．点本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．评：7．（ 5 分）考平面向量数量积的运算．点：专平面向量及应用．题：分由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．析：解解：选项 A 正确，∵ ||=| || ||cos＜，＞ |，答：又 |cos＜，＞ |≤1，∴ ||≤| || |恒成立；选项 B 错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|| |﹣ | ||；选项 C 正确，由向量数量积的运算可得（22） =|| ；选项 D 正确，由向量数量积的运算可得（） ?（） =2﹣ 2．故选： B点本题考查平面向量的数量积，属基础题．评：8．（ 5 分）考程序框图．点：专图表型；算法和程序框图．题：分模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x 的值，当x=﹣ 2 时不满足条件x≥0，计析：算并输出y 的值为 10．解解：模拟执行程序框图，可得答： x=2006 ，x=2004满足条件x≥0， x=2002满足条件x≥0， x=2000⋯满足条件x≥0， x=0满足条件x≥0， x= ﹣ 2不满足条件x≥0， y=10输出 y 的值为 10．故选： C．点本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．评：9．（ 5 分）考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得 p= （lna+lnb ）， q=ln （）≥ln（）=p， r= （lna+lnb ），可得大小关系．解答：解：由题意可得若p=f （） =ln （） = lnab=（ lna+lnb ），q=f （）=ln（）≥ln（）=p，r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），∴p=r ＜ q，故选： B点评：本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．10．（ 5 分）考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y 顿，利润为z 元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z 的最大值．解答：解：设每天生产甲乙两种产品分别为x， y 顿，利润为z 元，则，目标函数为z=3x+4y ．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y 得 y= ﹣ x+ ，平移直线y= ﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时 z 最大，解方程组，解得，即B 的坐标为 x=2， y=3，∴ z max．=3x+4y=6+12=18即每天生产甲乙两种产品分别为2，3 顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选： D．点评：本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5 分）考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得．解答：解：∵复数 z= （x﹣ 1） +yi （x， y∈R）且 |z|≤1，∴ |z|=≤1，即（ x﹣ 1）2+y2≤1，∴点（ x， y）在（ 1， 0）为圆心 1 为半径的圆及其内部，而y≥x 表示直线 y=x 左上方的部分，（图中阴影弓形）∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，∴所求概率P==故选： D．点评： 本题考查几何概型，涉及复数以及圆的知识，属基础题． 12．（ 5 分）考点： 二次函数的性质．专题： 创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析： 可采取排除法．分别考虑 A ，B ， C ， D 中有一个错误，通过解方程求得 a ，判断是否为非零整数，即可得到结论．解答： 解：可采取排除法．若 A 错，则 B ， C ， D 正确．即有 f （ x ） =ax 2+bx+c 的导数为 f ′（ x ） =2ax+b ，即有 f ′（ 1） =0，即 2a+b=0， ① 又 f （ 1）=3，即 a+b+c=3② ，又 f （ 2）=8，即 4a+2b+c=8 ， ③ 由 ①②③ 解得， a=5， b=﹣10， c=8．符合 a 为非零整数．若 B 错，则 A ，C ，D 正确，则有a ﹣ b+c=0 ，且 4a+2b+c=8 ，且 =3，解得a ∈?，不成立；若 C 错，则 A ， B ，D 正确，则有 a ﹣ b+c=0，且 2a+b=0 ，且 4a+2b+c=8 ，解得 a=﹣不为非零整数，不成立；若 D 错，则 A ， B ， C 正确，则有 a ﹣ b+c=0，且 2a+b=0，且=3 ，解得 a=﹣ 不为非零整数，不成立．故选： A ．点评： 本题考查二次函数的极值、 零点等概念， 主要考查解方程的能力和判断分析的能力，属于中档题．二、填空题，共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13．（ 5 分） 考点： 等差数列．专题：等差数列与等比数列．分析： 由题意可得首项的方程，解方程可得．解答：解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得 a=5故答案为： 5点评：本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题．14．（ 5 分）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：22的左焦点，得到抛物线2先求出 x ﹣ y =1y =2px 的准线，依据 p 的意义求出它的值．解答：22， 0），故抛物线2，解：双曲线 x ﹣ y =1 的左焦点为（﹣y =2px 的准线为 x= ﹣∴ = ，∴ p=2，故答案为： 2．y2点评：本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程=2px 中 p 的意义．15．（ 5 分）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：利用 y=e x在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．解答：解：∵ f'（ x） =e x ，∴ f'（ 0） =e0=1．∵ y=e x在（ 0， 1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直∴点 P 处的切线斜率为﹣1．又 y'=﹣，设点P（x0，y0）∴∴x0=±1，∵ x＞0，∴ x0=1∴y0=1∴点 P（ 1， 1）故答案为：（ 1，1）点评：本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中．16．（ 5 分）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果．解答：解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为： y=ax 2，因为抛物线经过（ 5，2），可得 a= ，所以抛物线方程：y=，横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：2×=2 （） = ，等腰梯形的面积为：=16，当前最大流量的横截面的面积16﹣，原始的最大流量与当前最大流量的比值为：=1.2．故答案为： 1.2．点评：本题考查抛物线的求法，定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力，合理建系是解题的关键．三、解答题，共 5 小题，共 70 分17．（ 12 分）考点：余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解 A ；（Ⅱ）利用 A ，以及 a=， b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ ABC 的面积．解答：解：（Ⅰ）因为向量=（ a，b）与=（ cosA ， sinB ）平行，所以 asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB ﹣sinBcosA=0 ，因为sinB ≠0，所以 tanA=，可得 A=；（Ⅱ） a=， b=2 ，由余弦定理可得：2222a=b +c﹣ 2bccosA，可得 7=4+c﹣ 2c，解得 c=3，△ ABC 的面积为：=．点评：本题考查余弦定理以及宰相肚里的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．18．（ 12 分）考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD ⊥平面 A 1OC；（Ⅱ）若平面 A 1BE ⊥平面 BCDE ，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面 A 1BC与平面 A 1CD 夹角的余弦值．解答：证明：（Ⅰ）在图 1 中，∵ AB=BC=1 ， AD=2 ， E 是 AD 的中点，∠ BAD=，∴BE⊥AC ，即在图 2 中， BE⊥ OA 1，BE ⊥ OC，则BE ⊥平面 A 1OC；∵ CD∥ BE，∴CD⊥平面 A 1OC；（Ⅱ）若平面 A 1BE ⊥平面 BCDE ，由（Ⅰ）知BE⊥ OA 1， BE ⊥OC，∴∠ A 1OC 为二面角A 1﹣ BE ﹣ C 的平面角，∴∠ A 1OC=，如图，建立空间坐标系，∵A 1B=A 1E=BC=ED=1 ． BC ∥ ED∴ B （， 0，0）， E（﹣， 0， 0），A 1（ 0， 0，）， C（ 0，， 0），=（﹣，，0），=（ 0，，﹣），设平面 A 1BC 的法向量为 =（x， y， z），平面 A 1CD 的法向量为=（ a，b， c），则得，令x=1，则y=1，z=1，即=（ 1， 1，1），由得，取=（ 0， 1，1），则 cos＜＞===，∵平面 A 1BC 与平面 A 1 CD 为钝二面角，∴平面 A 1BC 与平面 A 1 CD 夹角的余弦值为﹣．点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．19．（ 12 分）考离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．点：专题：分析：解答：概率与统计．（Ⅰ）求 T 的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数÷样本容量，数学期望ET=25 ×0.2+30 ×0.3+35×0.4+40×0.1=32 （分钟）；（Ⅱ）设 T 1，T2分别表示往、返所需时间，事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟”，先求出 P（） =P（ T1=35 ，T 2=40 ）+P（ T 1=40 ，T 2=35 ）+P（ T1=40 ，T2=40） =0.09，即 P（ A） =1﹣ P（） =0.91．解（Ⅰ）由统计结果可得T 的频率分布为T （分钟）25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T 的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而数学期望ET=25×0.2+30 ×0.3+35 ×0.4+40×0.1=32（分钟）（Ⅱ）设 T 1， T2分别表示往、返所需时间，T 1， T2的取值相互独立，且与T 的分布列相同，设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过120 分钟”，由于讲座时间为50 分钟，所以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70 分钟”P（）=P（T1+T2＞70）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.4×0.1+0.1 ×0.4+0.1 ×0.1=0.09故P（A ）=1﹣ P（）=0.91故答案为：（Ⅰ）分布列如上表，数学期望ET=32 （分钟）（Ⅱ） 0.91点本题考查了频率 =频数÷样本容量，数学期望，对学生的理解事情的能力有一定的要求，评：属于中档题．20．（ 12 分）考点：直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．专题：创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出经过点（ 0， b）和（ c， 0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；222（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆 E 的方程为 x的方程，代入椭+4y =4b，①设出直线 AB圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得2b =3，即可得到椭圆方程．解答：解：（Ⅰ）经过点（ 0， b）和（ c， 0）的直线方程为 bx+cy ﹣ bc=0，则原点到直线的距离为d== c，即为 a=2b，e= ==；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆 E 的方程为222x+4y =4b，①由题意可得圆心M （﹣ 2， 1）是线段AB 的中点，则 |AB|=，易知 AB 与 x 轴不垂直，记其方程为y=k（ x+2）+1 ，代入①可得（ 1+4k 2222）x +8k（ 1+2k） x+4（ 1+2k ）﹣4b =0 ，设 A（ x1， y1），B （ x2，y2），则 x1+x 2=．x1x2=，由 x1+x 2=﹣4，得=﹣ 4，解得 k=，从而 x1 2﹣ 2b 2，于是 |AB|=?|x1﹣ x2x =8|= ?=2 =，解得 b =3，则有椭圆 E 的方程为+ =1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．21．（ 12 分）考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由 F n（ x）=f n（ x）﹣ 2=1+x+x 2n+⋯++x ﹣ 2，求得 F n（ 1）＞ 0， F n（）＜0．再由导数判断出函数 F n（x）在（，1）内单调递增，得到F n（ x）在（， 1）内有且仅有一个零点x n，由 F n（ x n） =0，得到；（Ⅱ）先求出，构造函数h（ x）=f n（ x）﹣ g n（ x）=1+x+x2+⋯++x n﹣，当 x=1 时， f n（ x） =g n（ x）．当 x≠1 时，利用导数求得h（ x）在（ 0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，得到f n（ x）＜g n（ x）．2n解答：证明：（Ⅰ）由 F n（ x）=f n（ x）﹣ 2=1+x+x +⋯++x ﹣ 2，则 F n（ 1） =n﹣ 1＞ 0，F n（） =1+．∴F n（ x）在（，1）内至少存在一个零点，又，∴ F n（ x）在（，1）内单调递增，∴F n（ x）在（，1）内有且仅有一个零点x n，∵x n是 F n（ x）的一个零点，∴F n（ x n）=0，即，故；（Ⅱ）由题设，，设 h（ x）=f n（ x）﹣ g n（x） =1+x+x 2+⋯++xn﹣，x＞0．当x=1 时， f n（x） =g n（ x）．当 x≠1 时，．若 0＜ x＜ 1， h′（x）＞=．若 x＞ 1， h′（ x）＜=．∴h（ x）在（ 0， 1）内递增，在（ 1， +∞）内递减，∴h（ x）＜ h（ 1） =0，即 f n（ x）＜ g n（ x）．综上，当 x=1 时， f n（ x）=g n（ x）；当 x≠1 时， f n（x）＜ g n（x）．点评：本题考查了函数零点的判定方法，考查了等比数列的前n 项和，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化与化归等思想方法，是中档题．四、选修题，请在22、 23、 24 中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．（ 10 分）考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD= ∠ DBA ；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O 的直径．解答：证明：（Ⅰ）∵ DE 是⊙ O 的直径，则∠ BED+ ∠EDB=90 °，∵BC⊥ DE ，∴∠ CBD+ ∠ EDB=90 °，即∠ CBD= ∠ BED ，∵AB 切⊙ O 于点 B，∴∠ DBA= ∠ BED ，即∠ CBD= ∠ DBA ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD 平分∠ CBA ，则=3 ，∵BC=，∴AB=3， AC=，则AD=3 ，由切割线定理得AB 2=AD ?AE ，即AE=，故DE=AE ﹣ AD=3 ，即可⊙ O 的直径为 3．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（ 2015?陕西）考点的极坐标和直角坐标的互化．点：专坐标系和参数方程．题：分2析：（I ）由⊙ C 的极坐标方程为ρ=2，把代sinθ．化为ρ=2入即可得出；．（II ）设 P，又 C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．解解：（ I）由⊙ C 的极坐标方程为ρ=2sinθ．答：222，∴ρ=2，化为 x +y =配方为=3．（II ）设 P，又 C．∴|PC|==≥2，因此当 t=0 时， |PC|取得最小值 2．此时 P（ 3，0）．点本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次评：函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修4-5：不等式选讲24．（ 2015?陕西）考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由不等式的解集可得ab 的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式 =+=+，由柯西不等式可得最大值．解答：解：（Ⅰ）关于 x 的不等式 |x+a|＜ b 可化为﹣ b﹣ a＜ x＜ b﹣ a，又∵原不等式的解集为{x|2 ＜ x＜ 4} ，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4 ，当且仅当=即t=1时取等号，∴所求最大值为4点评：本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．。