数学分析一电子教案.doc

数学分析（一）电子教案

杨

小

康

第一章 实数集与函数

本章教学要求:

1.加深理解实数的稠密性、绝对值不等式。

2.深入理解一元函数的概念、分段函数的几何特性（尤其是函数有界、无界的分析定义），掌握复合函数、单调函数、奇函数和偶函数；

3.理解反函数、周期函数；

4.对基本初等函数和初等函数要熟练掌握其运算、几何形状，对以前没有接触过的Dirichlet 函数，符号函数，Gauss 函数等要熟悉。

5.掌握区间与邻域、掌握和应用确界概念、确界原理。

§ 1实数

教学目的：

熟练掌握实数及主要性质、绝对值概念及其不等式性质。

教学内容：

实数的基本性质和绝对值的不等式． 基本要求：

1）掌握实数的基本性质：实数的有序性，稠密性，阿基米德性，实数的四则运算。 2）掌握和熟练运用几个重要的绝对值不等式。

一．实数及其性质：

有理数：(,0)p q q ⎧

≠⎪

⎨⎪⎩

p 能用互质分数 为整数，表示的数；q

有限十进小数或无限十进循环小数表示的数 例1 设 p 正整数，若p 不是完全平方数，则p 是无理数

证明：反证法。若

p 是有理数，则p 可表示成：m

n

p =

，从而整数p 可表示成： 22

m

n p =⇒ p 是完全平方数，矛盾

若规定： 012012..(1)999n n a a a a a a a a =-L L L L 则有限十进小数都能表示成无限循环小数。

例如：001.2 记为 Λ999000.2 ；0 记为 Λ000.0 ；8- 记为 999.7- 实数大小的比较

定义1 给定两个非负实数

ΛΛΛΛn n b b b b y a a a a x 210210.,

.==

其中 k k b a , 为非负整数，9,0≤≤k k b a 。若有

1） Λ,2,1,0,

==k b a k k 则称 x 与 y 相等，记为 y x =

2） 若存在非负整数 l ，使得

),,2,1,0(,l k b a k k Λ==，而11++>l l b a ，则称

x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 y x >（或x y <）。

对于负实数y x ,，若按定义1有 y x ->-，则称 y x < 或 x y >； 规定任何非负实数大于任何负实数； 实数的有理数近似表示

定义2 设 ΛΛn a a a a x 210.=为非负实数，称有理数

n n a a a a x Λ210.=

为实数x 的n 位不足近似值，而有理数

n n n x x 10

1+

= 称为x 的n 位过剩近似值。

对于负实数 ΛΛn a a a a x 210.-=

x 的n 位不足近似值规定为：)101

(.210n

n n a a a a x -

-=Λ； x 的n 位过剩近似值规定为：n n a a a a x Λ210.-=

比如

1.4142=L ，则

1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, L 称为 值；

1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, L 称为 过剩近似值。

命题 设 012012.,

.x a a a y b b b ==L L 为两个实数，则

,n n x y n x y >⇔>存在非负整数使得

例2 设y x , 为实数，y x >，证明：存在有理数 r 满足

y r x >>

证明 由⇒>y

x 存在非负整数n ，使得 n n y x > ，取 2

n

n y x r +=

则 r 显然为有理数，且

y y r x x n n ≥>>≥

实数的一些主要性质 1 四则运算封闭性:

例 设 a 为有理数，x 为无理数，则x a +是无理数。

证明：反证法。若x a +是有理数 ⇒ x a +可表示成 n

m x a =+， 因a 为有理数，a 也能表示成 p

q

a =

，⇒

np

nq mp p q n m a x a x -=-=

-+= 为有理数，矛盾 2 有序性 : 任何两个实数 b a ,，必满足下述三个关系之一：

b a b a b a >=<,,

3 实数大小有传递性，即,a b b c >>>则有a c.

4 Achimedes 性: . , ,0 ,,b na n a b b a >∍∈∃>>∈∀N R

5 稠密性: 有理数和无理数的稠密性.

6 实数集的几何表示： 数轴: 例 i) εε<->∀⇔=||,0b a b

a

ii) b a b a ≤⇒+<>∀ε

ε,0

证明 i) )⇒ 若 b a =，对任意 0>ε，显然有 ε<=-0||b a

)⇐ 反证法。若 b a ≠ ，取02||>-=

b a ε，则 ε=->-2

|

|||b a b a

二. 绝对值与不等式 绝对值定义： ,0

||,0

a a a a a ≥⎧=⎨

-<⎩

从数轴上看的绝对值||a 就是点 a 到原点的距离。

绝对值的一些主要性质

||||00||0-<<;||,0

4.

5.||||||||

6.

,0||

a a a a a a a a h h a h a h h a h h a

b a b a b

ab a b a a b b b =-≥==≤≤<⇔≤⇔-≤≤>-≤±≤+==≠1.当且仅当时2.-||||

3.||

性质4（三角不等式）的证明：