2019-2020学年江苏省扬州中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年江苏省扬州中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2+2x−15≤0}，B={x|x=2n−1,n∈N}，则A∩B=()A. {−1,1，3}B. {−1,1}C. {−5,−3,−1,1，3}D. {−3,−1,1}2.函数f(x)=ln(x−1)x−2的定义域是()A. (1,2)B. (1,2)∪(2,+∞)C. (1,+∞)D. [1,2)∪(2,+∞)3.集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|a−1≤x≤2a−1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是()A. a≤1B. a<1C. 0≤a≤1D. 0<a<14.设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x)，则g(x)等于()A. 2x+1B. 2x−1C. 2x−3D. 2x+75.若幂函数f(x)的图象经过点(3,√3)，则f(4)=___________．A. 16B. −2C. ±2D. 26.设二次函数f(x)=ax2−2ax+c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是()A. (−∞,0]B. [2,+∞)C. (−∞,0][2,+∞)D. [0,2]7.已知集合A={0,m，m2−3m+4}，且4是A中的元素，则m的值为()A. 4B. 3或4C. 0或3D. 0或4或38.已知定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(1)=0，若f(x−2)≥0，则x的取值范围是()A. [1,3]B. [1,2]∪[2,3]C. [1,2]∪[3,+∞]D. [−∞,1]∪[3,+∞]9.已知函数f(x)=−x2+4x，x∈[m,5]的值域是[−5,4]，则实数m的取值范围是()A. (−∞,−1)B. (−1,2]C. [−1,2]D. [2,5]10.若函数f(x)=log a(x+ax)的单调递增区间为(0,2a]，则a=()A. 14B. 12C. 2D. 411.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若当x<0时，f(x)=−log2(−2x)，则f(32)=()A. −32B. −6C. 6D. 6412.设f(x)是定义域为R的奇函数，且当x≤0时，f(x)=x2−12x，则f(1)=()A. −32B. −12C. 32D. 12二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数f(x)=x2+(a−1)x+a为偶函数，则a=____________．14. 计算：102lg2=__________．15. 已知函数f(x)={a x ,x >0ax +3a −8,x ⩽0，对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2>0成立，那么实数a 取值范围是________．16. 方程xlg(x +2)=1有________个不同的实数根． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知a ∈R ，二次函数f(x)=ax 2−2x −2a.设不等式f(x)>0的解集为A ，又知集合B ={x ｜1<x <3}.若A ∩ B ≠⌀，求a 的取值范围．18. 已知函数ℎ(x)=f(x −2)+x 2是定义在R 上的奇函数，且f(−1)=−2，若g(x)=3−f(x +2)，求g(−5)的值．19. 已知集合A ={0,1，2}，B ={x|ax 2+(1−a)x −1=0}，若B ⫋A ，求a 的取值集合．20. 已知奇函数f(x)=a⋅2x −12x +1的定义域为[−a −2,b]．(1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数f(x)的单调性，若实数m 满足f(m −1)<f(1−2m)，求m 的取值范围．21.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域内存在x0，使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立;(1)函数f(x)=1是否属于集合M？说明理由；x∈M，求a的取值范围；(2)设函数f(x)=lg ax2+1(3)设函数y=2x图象与函数y=−x的图象有交点，若函数f(x)=2x+x2，试证明函数f(x)∈M．22.函数f(x+1)是偶函数，当x>1时，f(x)=x2+1，求当x<1时，f(x)的解析式．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析： 【分析】本题考查了交集的运算，根据定义进行解答． 【解答】解：因为A ={x|−5≤x ≤3}，B ={x|x =2n −1,n ∈N}，所以A ∩B ={−1,1，3}． 故选A ．2.答案：B解析： 【分析】根据函数成立的条件，即可求函数的定义域．本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件． 【解答】解：要使函数有意义，则{x −1>0x −2≠0，即{x >1x ≠2，解得x >1且x ≠2， 即函数的定义域为(1,2)∪(2,+∞)， 故选：B ．3.答案：A解析： 【分析】本题考查由集合的包含关系求参数的取值范围，考查分类讨论的思想，利用数轴是解决此类问题的基本方法．属于基础题目．利用条件B ⊆A ，建立a 的不等式关系即可求解，注意空集的情况． 【解答】解：若B =⌀，即2a −1<a −1，即a <0时，满足B ⊆A ； 若B ≠⌀，即a −1≤2a −1，即a ≥0时，要使B ⊆A ， 则满足{a ≥02a −1≤1，解得0≤a ≤1，综上a 的取值范围为a ≤1． 故选A ．解析：由题知g(x+2)=2x+3，令x+2=t，∴x=t−2，∴g(t)=2(t−2)+3=2t−1，∴g(x)= 2x−1．5.答案：D解析：【分析】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．根据幂函数的定义利用待定系数法求出f(x)的解析式，再计算f(4)的值．【解答】解：设幂函数y=f(x)=x a，x∈R，函数图象过点(3,√3)，，则3a=√3，a=12∴幂函数f(x)=x12，∴f(4)=412=2．故选D．6.答案：D解析：【分析】本题考查了二次函数的性质，属于基础题．利用二次函数的对称轴公式求出对称轴方程、得到f(0)=f(2)及二次函数的单调区间，利用单调性求出不等式的解集．【解答】解：∵f(x)的对称轴为x=1，∴f(0)=f(2)，∵在区间[0,1]上单调递减，∴f(x)在(−∞,1]递减，在[1,+∞)递增，∵f(m)≤f(0)，∴0⩽m⩽2．故选D．7.答案：B解析：本题主要考查集合中元素的互异性，属于基础题．由题意可得m=4或m2−3m+4=4，解得m的值并利用元素的互异性验证是否满足题意．【解答】解：∵集合A={0,m，m2−3m+4}，且4∈A，∴m=4或m2−3m+4=4，解得m=4，m=0，或m=3，当m=0时，集合A={0,0,4}不成立，当m=3时，集合A={0,3,4}成立，当m=4时，集合A={0,4,8}成立，综上所述，m=3或4，故选B．8.答案：C解析：解：∵奇函数f(x)在区间(0,+∞)单调递增，∴函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，由f(1)=0，f(x−2)≥0，即f(x−2)≥f(1)，或f(x−2)≥f(−1)，得x−2≥1或−1≤x−2≤0，则x≥3或1≤x≤2，故选C．根据函数奇偶性和单调性的关系进行求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键．9.答案：C解析：【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决本题的关键．根据二次函数的图象和性质，即可确定m的取值范围．【解答】解：f(x)=−x2+4x=−(x−2)2+4．当x=2时，f(2)=4．由f(x)=−x2+4x=−5，得x=5或x=−1．所以要设f(x)在[m,5]上的值域是[−5,4]，则−1≤m≤2．故选C．10.答案：A解析：【分析】本题主要考查了复合函数的单调性问题，属于中档题．由题意可知0<a<1，且√a=2a，求解即可．【解答】解：因为t=x+ax在(0,√a)必为减函数，函数f(x)=log a(x+ax)的单调递增区间为(0,2a]，可知0<a<1，且√a=2a，解得a=14．故选A．11.答案：B解析：【分析】本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．直接利用函数的奇偶性的性质求解即可．【解答】解：因为当x<0时，f(x)=−log2(−2x)，而f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(32)=f(−32)=−log264=−6，故选B．12.答案：A解析：【分析】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．根据题意，由函数的解析式可得f(−1)的值，结合函数为奇函数可得f(1)=−f(−1)，即可得答案．【解答】解：根据题意，当x≤0时，f(x)=x2−12x，则f(−1)=1+12=32，又由f(x)是定义域为R的奇函数，则f(1)=−f(−1)=−32，故选：A．13.答案：1解析：解：∵f(x)=x2+(a−1)x+a为偶函数∴f(x)=f(−x)，即x2+(a−1)x+a=x2−(a−1)x+a得a=1故答案为：114.答案：4解析：解：102lg2=10lg22=10lg4=4.故答案为4．15.答案：(1,3］解析：【分析】本题主要考查分段函数单调性的应用，根据条件判断函数的单调性是解决本题的关键．由任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x2−x1>0成立，得函数为增函数，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系即可．【解答】解：∵任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x2−x1>0成立，∴函数f(x)为增函数，∴{a>1a>0a0≥3a−8,解得：1<a≤3，故答案为(1,3］．16.答案：2解析：试题分析：由题意方程xlg(x+2)=1可转化为lg(x+2)=1x，然后分别画出函数y=lg(x+2)和y=1x的图象，根据两图象的交点进行求解．∵xlg(x+2)=1，∴lg(x+2)=1x，令y=lg(x+2)，y=1x，分别画出两函数的图象，如图，由图象可得，两函数交于两点，∴方程xlg(x+2)=1有两个实数根，故答案为2．17.答案：解：由f(x)为二次函数，知a≠0，令f(x)=0，得两根为x1=1−√1+2a2a ,x2=1+√1+2a2a,(1)当a>0时，x1<0，x2>0，A=(−∞,x1)∪(x2,+∞).由A∩B≠⌀，知x2<3.即1+√1+2a2a <3,解得a<67.(2)当a<0时，x2<0，x1>0，A=(x2,x1).由A∩B≠⌀，知x1>1.即1−√1+22a>1.解得a<−2.综上，使A∩B≠⌀成立的a的取值范围是(−∞,−2)∪(67,∞)．解析：本题考查一元二次不等式的解法，涉及交集的运算，属中高档题，注意到△=4+8a2>0，则函数有两个零点x1=1−√1+2a2a ,x2=1+√1+2a2a,，由a的正负，讨论两根的大小关系，确定用两根表示的不等式的解集．根据A∩B≠Φ，确定条件，然后求解即可．18.答案：19解析：由题意，知ℎ(−x)=−ℎ(x)，即f(−x−2)+x2=−f(x−2)−x2，所以f(−x−2)=−f(x−2)−2x2.由g(x)=3−f(x+2)，得g(−5)=3−f(−3)=3−[−f(1−2)−2×12]=3+f(−1)+ 2.又f(−1)=−2，所以g(−5)=3−f(−3)=3−2+2=3．19.答案：解：(1)当a=0时，B={x|x−1=0}={1}⫋A，满足题意；(2)当a≠0时，B={x|(ax+1)(x−1)=0}，(i)当a =−1时，B ={1}⫋A ，满足题意；(ii)当a ≠−1时，B ={−1a ,1}，若B ⫋A ，则−1a =2，解得a =−12，综上所述，a 的s 所有取值为0，−1，−12， 所以a 的取值集合是{0,−1,−12}.解析：本题考查了利用集合间的关系求解参数的值，属于中档题． 分情况讨论B 集合中的元素，根据B 为A 的真子集可求a 的值．20.答案：解：(1)根据题意，f(x)是奇函数，则f(−x)=−f(x)，即a⋅2−x −12−x +1=−a⋅2x −12x +1，变形可得：a−2x 2x +1=−a⋅2x +12x +1，整理得(a −1)(2x +1)=0，则a −1=0，∴a =1． ∵奇函数的定义域为[−a −2,b]关于原点对称， 故b =a +2=3； ∴a =1，b =3． (2)由(1)知f(x)=2x −12x +1，x ∈[−3,3]．证明如下：设−3≤x 1<x 2≤3， 则f(x 1)−f(x 2)=2x 1−12x 1+1−2x 2−12x 2+1=2(2x 1−2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1)，又由−3≤x 1<x 2≤3，则2x 1−2x 2<0， 2x 1+1>0，2x 2+1>0，则f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴f(x)在[−3,3]上单调递增； 又f(m −1)<f(1−2m)，则有{−3≤m −1≤3−3≤1−2m ≤3m −1<1−2m ，解得：−1≤m <23，故实数m 的取值范围[−1,23)．解析：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用． (1)根据题意，由奇函数的定义可得f(−x)=−f(x)，即a⋅2−x −12−x +1=−a⋅2x −12x +1，变形解可得a 的值，又由奇函数的定义域关于原点对称，可得b 的值；(2)根据题意，由单调性的定义可得函数f(x)的单调性，据此分析f(m −1)<f(1−2m)可得{−3≤m −1≤3−3≤1−2m ≤3m −1<1−2m，解可得m 的取值范围，即可得答案．21.答案：解：(1)若f(x)=1x ∈M，在定义域内存在x0，则1x0+1=1x0+1⇒x02+x0+1=0，∵方程x02+x0+1=0无解，∴f(x)=1x∉M；(2)由题意得，f(x)=lg ax+1∈M，∴lg a(x+1)2+1=lg ax2+1+lg a2，即(a−2)x2+2ax+2(a−1)=0，当a=2时，x=−12；当a≠2时，由△≥0，得a2−6a+4≤0，a∈[3−√5,2)∪(2,3+√5]．综上，所求的a∈[3−√5,3+√5]；(3)∵函数f(x)=2x+x2∴f(x0+1)−f(x0)−f(1)=2x0+1+(x0+1)2−2x0−x02−3=2x0+2(x0−1)=2[2x0−1+(x0−1)]，又∵函数y=2x图象与函数y=−x的图象有交点，设交点的横坐标为a，则2a+a=0⇒2x0−1+(x0−1)=0，其中x0=a+1∴f(x0+1)=f(x0)+f(1)，即f(x)=2x+x2∈M．解析：本题的考点是元素与集合的关系，此题的集合中的元素是集合，主要利用了元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数的元素性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力．(1)集合M中元素的性质，即有f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立，代入函数解析式列出方程，进行求解，若无解则此函数不是M的元素，若有解则此函数是M的元素；(2)根据f(x0+1)=f(x0)+f(1)和对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a 的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；(3)利用f(x0+1)=f(x0)+f(1)和f(x)=2x+x2∈M，整理出关于x0的式子，利用y=2x图象与函数y=−x的图象有交点，即对应方程有根，与求出的式子进行比较和证明．22.答案：解：∵函数f(x+1)是偶函数，∴f(x)的图象关于x=1对称，即f(x)=f(2−x)，设x<1，则−x>−1，则2−x>1，∴f(2−x)=(2−x)2+1=x2−4x+5，∵f(x)=f(2−x)，∴f(x)=x2−4x+5(x<1)．解析：本题考查利用函数的奇偶性，求解函数的解析式，由题知函数f(x+1)是偶函数，知f(x)= f(2−x)，令x<1则x>−1，则2−x>1，则f(2−x)=(2−x)2+1=x2−4x+5，即可求得f(x)的解析式，属简单题．。