第三章 电路的暂态分析
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3 6
3.1.3产生暂态过程的原因
电容电路
S + _U R uC
储能元件
uC
E C
暂态
稳态
t
电容为储能元件，它储存的能量为电场能量 ，其 t 大小为： WC uidt 1 cu 2
0
2
因为能量的存储和释放需要一个过程，因此电容 器两端的电压不可能发生突变，所以有电容的电路 存在过渡过程。
当
t
uC
U
0.632U
t
时:
u ( )
4
5
6
u ( ) U 63.2 0
t
0
uC
t
0
2
3
0 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U 0.998U
当 t=5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
u C (t ) U Ue
U 0.632U
电 路 状 态
零状态： 换路前电路中的储能元件均未贮存能 量，称为零状态 。
零输入：
电路中无电源激励（即输入信号为零） 时，为零输入。
电路的响应
零输入响应：
在零输入的条件下，由非零初始态（储能元 件的储能）引起的响应，为零输入响应； 此 时， uc (0 ) 或 iL (0 ) 被视为一种输入信号。
(t 0)
RC放电电路的特点：
uC、uR、i均按指数规律衰减，衰减的速度完
全由电路的参数τ决定
的物理意义: 决定电路过渡过程变化的快慢。
S + _U R C
关于时间常数的讨论
i
uC
uC (t ) U Ue U Ue
t t
RC
RC
uC
t
u C (t ) U Ue
在t=0时刻，将开关从位置 “1”合到位置“2”上， RL电路被短接，电流的初 始值 iL (0 ) iL (0 ) U I 0 逐渐衰减到0 R
换路以后的电压回路方程
uR uL 0
得： iL I 0e
R t L
零输入响应
I 0e
t
t 0
问题：如果在图3.3.1电路中，开关S将线圈与 电源直接断开而不是短接，这时电路的情况又 是如何呢？
uR uC 0
du C RC uC 0 dt
' '' uC uC uC Ue pt Ue t RC
一阶常系数齐次 线性微分方程
Ue
t
(t 0) 零输入响应
在RC电路的放电过程中， 电路中的放电电流为
1 1 t t duC U RC U i C e e dt R R
I
无过渡过程
电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，不存在过 渡过程。
3.1.2储能元件及其特性
电容元件
+ U
－ +Q C i +
+++ A
（a）电容器
（b）理想电容元件符号
单位：1F=106 F=109 nF 1012 pF
－
-Q
--- B
u
C
电感元件
单位：1H 10 mH 10 μH
+
C
_
U
uC
电路处于旧稳态
电路处于新稳态
过渡（暂态）过程 :
uC
EBaidu Nhomakorabea
暂态
稳态 t
旧稳态
新稳态
产生暂态过程的必要条件： 有电容或电感等储 (1) 电路中含有储能元件 (内因 ) (2) 电路发生换路 (外因) 能元件存在时存在 暂态，纯电阻电路 产生过渡过程的电路及原因 不存在暂态
电阻电路
S + _ U R t=0 I
uR (0 ) RiL (0 ) 0V uL (0 ) U uR (0 ) (6 0)V 6V
_
例3.1.1电路图
uL发生了突跳
例3.1.2 确定图所示电路中各个电压和电流 的初始值（设换路前电路处于稳态）。已知
U 12V，R 4，C 10μF
解: 开关S闭合前 uC (0 ) 0 开关S闭合瞬间，根据换路 定则有 uC (0 ) uC (0 ) 0
duC RC uC U dt
一阶常系数非齐 次线性微分方程
' '' uC uC uC U Ue pt U (1 e pt ) U (1 e )
t
(t 0)
电路中的充电电流为
1 1 t t duC U RC U i C e e dt R R
WL
不能突变
i L 不能突变
从电路关系分析
S R uC i 若 c 发生突变，
+ _U
C
S闭合后，列回路电压方程：
duc 则 dt
u
duC U iR u C RC u C 不可能！ dt du (i C ) 所以电容电压 dt 不能突变
i
一般电路
例3.1.1 确定图所示电路中各个电压和电流的 初始值（设换路前电路处于稳态）。已知 U=6V，R=3 Ω，L=10mH 。 iL S 解：开关S闭合前 iL (0 ) 0A + i L 不能突变 开关S闭合瞬间，根据换路 u + R _R U 定则 iL (0 ) iL (0 ) 0A _ + L u L t=0时，电阻两端的电压为
uC (0 ) uC (0 ) 电容电路
L (0 ) L (0 )
电感电路
注：换路定则仅适用于换路瞬间电容上的电压 和电感中的电流
换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突 变的原因解释如下：
自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或 释放需要一定的时间。所以
1 2 电容C存储的电场能量 （Wc CuC ） 2 uC 不能突变 WC 不能突变 1 2 电感 L 储存的磁场能量 （WL LiL ） 2
注意：这样一个高压将使 电压表损坏，所以直流电 压表不宜固定连接在电感 uV (0 ) RViL (0 ) 2500V 线圈两端。
3.3.2
RL电路接通直流电源
假设在开关合上前，线圈 中未储有能量；在t=0时， 将开关S合上，与直流电 源接通。因为电感中的电 流不能突变 i L (0 ) i L (0 ) 0
t
1
2
3
1 2 3
结论： 越大，过渡过程曲线变化越慢，uc达到
稳态所需要的时间越长。
1 2 3
t
R1 20k， 例3.2.1 在图所示电路中，已知 C 10μF， 换路前开关S闭合，电路处于 R2 100k U 120V， 稳态。在t=0时刻，将开关S断开，求： ① 电容两端电压u（ C t） ② t 和 t 5 时电容两端电压 uC
例3.3.1 图所示电路，已知电源电压U=6V， R=6 ，电压表的内阻 ，试求开关S断开瞬间 电压表两端的电压（换路前电路处于稳态）。
解：电路换路前
U iL 1A R
由于在换路瞬间，电感中的 电流不能突变，即
iL (0 ) iL (0 ) 1A
所以，开关断开瞬间，电 压表两端的电压
因电阻与电容串联，所以 t=0时，电阻两端的电压为
uR (0 ) U uC (0 ) (12 0)V=12V
S + U _
i
R C + u _R +
uC
_
例3.1.2电路图
uR (0 ) 12 电路中的电流为 i(0 ) R 4 A=3A
3.2 RC电路的暂态分析
3.2.1 RC放电电路 开关S在“1”位置，电路处于 稳定状态，电流 i(0 ) 0 电容元件两端电压 uC (0 ) U 在t=0时，将开关S扳到“2”位置 输入电压为零,电容元件经过电阻R开始放电。 电路换路后的回路电压方程
t U U U U ' '' iL iL iL ( e pt ) (1 e pt ) (1 e ) R R R R
L diL iL U R dt
(t 0)
零状态响应
3.4 一阶线性电路暂态分析的 三要素法
一阶电路：凡是可用一阶常微分方程描述的电路 仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的电路 都是一阶电路 一阶电路暂态过程的求解方法 1.经典法:用数学方法求解微分方程。 2.三要素法: 求 初始值 稳态值 （三要素） 时间常数
总结：电容充电后脱离电源，在一段时 间内仍具有一定的电压，即电容电压不 能突变。
3.2 RC电路的暂态分析
3.2.2 RC充电电路 电容C中初始储能为零， 即 。在t=0时刻，将开关 S从2扳到1，电容器开始 充电 iCR + uC = U
du C RC uC U dt
du C iC dt
RC
106 10 106 s=10s
② 开关S闭合后，电源 对电容C充电
uC U (1 e ) 10(1 e
t t 10
)
10 10
(t 0)
)V 10(1 0.38)V=6.32V
t ＝10s时
uC (10) 10(1 e
3.2.3 RC暂态电路的应用
零状态响应
(t 0)
RC充电电路有以下特点：由初始值零随时
间按指数规律逐渐增长，最终趋于稳态值U
RC充电电路有以下特点：
（1）由初始值零随时间按指数规律逐渐增长 ，最终趋于稳态值U （2）电容充电的快慢，取决于电路的时间常 RC ， 时间常数 越大，充电越慢， 数 ， 反之越快
例3.2.2在图所示电路中，开关S闭合前，电 R 1MΩ ,C 10μF ， 容C未储能，已知 U 10V ， 试求：① 电路的时间常数 ；② 开关S闭合 10s时，电容两端的电压 。 解 ：① 求时间常数
第三章 电路的暂态分析
目录
3.1电路暂态的基本概念及换路定则 3.2 RC电路的暂态分析 3.3 RL电路的暂态分析 3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法 *3.5 LC振荡电路
教学目标
掌握基本概念、初始值的求取方法 掌握电路暂态过程的“三要素分析法” 了解电路暂态过程中的物理现象及与 电路稳定状态的区别
电感电路
S R 储能元件
U
+ t=0
_
iL
L
iL
t
电感为储能元件，能量大小为：
1 2 WL uidt Li 0 2
t
因为能量的存储和释放需要一个过程，电感元件中 的电流不能突变，所以有电感的电路存在过渡过程。
3.1.4换路定则
换路定则:
在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能 突变。 设：t=0 表示换路瞬间 t=0- 表示换路前的终了瞬间 t=0+表示换路后的初始瞬间（初始值）
uC (t ) 100e
t RC
(t 0)
② 电路的时间常数 开关S断开后，当t= 时
uC ( ) 100e
R2C (100 10 10 10 )s=1s
3 6
RC
100e1V=36.8V
当t=5 时
uC (5 ) 100e
5 RC
100e5V=0.7V
3.1电路暂态的基本概念及换路定则
3.1.1电路的稳态与暂态
1、稳态：
（对直流电路）电流和电压是恒定的， （对交流电路）随t按周期性变化的
2、换路：电路状态的变。
如电路接通、断开、改接及元件参数改 变等。
3、暂态：
旧稳态
换路
t(暂态)
新稳态
“稳态”与 “暂态”的概念示例:
S R R
+ _
U
uC
微分电路
组成RC微分电路，必须满足两个条件： ① 取电阻两端的电压为输出电压； ② RC充放电电路的时间常数 远小于矩形 脉冲宽度 。
积分电路
组成积分电路的条件为： ① 取电容两端的电压为输出电压； ② RC充放电电路的时间常数 远大于矩形 脉冲宽度 。
3.3 RL电路的暂态分析
3.3.1 RL电路的短接 开关S原合在位置“1”上， 且已处于稳定状态，电感 中有电流。
零状态响应：
在零状态的条件下，由电源激励信号产生的 响应为零状态响应。
全响应：
电容上的储能和电源激励均不为零时的响应， 为全响应。
根据RC、RL电路暂态的分析 可得一阶电路微分方程解的通用表达式：
t
f (t ) f () [ f (0 ) f ()] e
式中
f (t ) 代表一阶电路中任一待求电压、电流变量。
解： ① 开关S在t=0时刻断开，这时电容C原来 所储存的电能通过电阻 R2 放电，因此
uC Ae
t RC
(t 0)
根据换路定则
R2 uC (0 ) uC (0 ) U R1 R2 100 120V=100V 20 100
所以得
A uC (0 ) 100
3.1.3产生暂态过程的原因
电容电路
S + _U R uC
储能元件
uC
E C
暂态
稳态
t
电容为储能元件，它储存的能量为电场能量 ，其 t 大小为： WC uidt 1 cu 2
0
2
因为能量的存储和释放需要一个过程，因此电容 器两端的电压不可能发生突变，所以有电容的电路 存在过渡过程。
当
t
uC
U
0.632U
t
时:
u ( )
4
5
6
u ( ) U 63.2 0
t
0
uC
t
0
2
3
0 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U 0.998U
当 t=5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
u C (t ) U Ue
U 0.632U
电 路 状 态
零状态： 换路前电路中的储能元件均未贮存能 量，称为零状态 。
零输入：
电路中无电源激励（即输入信号为零） 时，为零输入。
电路的响应
零输入响应：
在零输入的条件下，由非零初始态（储能元 件的储能）引起的响应，为零输入响应； 此 时， uc (0 ) 或 iL (0 ) 被视为一种输入信号。
(t 0)
RC放电电路的特点：
uC、uR、i均按指数规律衰减，衰减的速度完
全由电路的参数τ决定
的物理意义: 决定电路过渡过程变化的快慢。
S + _U R C
关于时间常数的讨论
i
uC
uC (t ) U Ue U Ue
t t
RC
RC
uC
t
u C (t ) U Ue
在t=0时刻，将开关从位置 “1”合到位置“2”上， RL电路被短接，电流的初 始值 iL (0 ) iL (0 ) U I 0 逐渐衰减到0 R
换路以后的电压回路方程
uR uL 0
得： iL I 0e
R t L
零输入响应
I 0e
t
t 0
问题：如果在图3.3.1电路中，开关S将线圈与 电源直接断开而不是短接，这时电路的情况又 是如何呢？
uR uC 0
du C RC uC 0 dt
' '' uC uC uC Ue pt Ue t RC
一阶常系数齐次 线性微分方程
Ue
t
(t 0) 零输入响应
在RC电路的放电过程中， 电路中的放电电流为
1 1 t t duC U RC U i C e e dt R R
I
无过渡过程
电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，不存在过 渡过程。
3.1.2储能元件及其特性
电容元件
+ U
－ +Q C i +
+++ A
（a）电容器
（b）理想电容元件符号
单位：1F=106 F=109 nF 1012 pF
－
-Q
--- B
u
C
电感元件
单位：1H 10 mH 10 μH
+
C
_
U
uC
电路处于旧稳态
电路处于新稳态
过渡（暂态）过程 :
uC
EBaidu Nhomakorabea
暂态
稳态 t
旧稳态
新稳态
产生暂态过程的必要条件： 有电容或电感等储 (1) 电路中含有储能元件 (内因 ) (2) 电路发生换路 (外因) 能元件存在时存在 暂态，纯电阻电路 产生过渡过程的电路及原因 不存在暂态
电阻电路
S + _ U R t=0 I
uR (0 ) RiL (0 ) 0V uL (0 ) U uR (0 ) (6 0)V 6V
_
例3.1.1电路图
uL发生了突跳
例3.1.2 确定图所示电路中各个电压和电流 的初始值（设换路前电路处于稳态）。已知
U 12V，R 4，C 10μF
解: 开关S闭合前 uC (0 ) 0 开关S闭合瞬间，根据换路 定则有 uC (0 ) uC (0 ) 0
duC RC uC U dt
一阶常系数非齐 次线性微分方程
' '' uC uC uC U Ue pt U (1 e pt ) U (1 e )
t
(t 0)
电路中的充电电流为
1 1 t t duC U RC U i C e e dt R R
WL
不能突变
i L 不能突变
从电路关系分析
S R uC i 若 c 发生突变，
+ _U
C
S闭合后，列回路电压方程：
duc 则 dt
u
duC U iR u C RC u C 不可能！ dt du (i C ) 所以电容电压 dt 不能突变
i
一般电路
例3.1.1 确定图所示电路中各个电压和电流的 初始值（设换路前电路处于稳态）。已知 U=6V，R=3 Ω，L=10mH 。 iL S 解：开关S闭合前 iL (0 ) 0A + i L 不能突变 开关S闭合瞬间，根据换路 u + R _R U 定则 iL (0 ) iL (0 ) 0A _ + L u L t=0时，电阻两端的电压为
uC (0 ) uC (0 ) 电容电路
L (0 ) L (0 )
电感电路
注：换路定则仅适用于换路瞬间电容上的电压 和电感中的电流
换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突 变的原因解释如下：
自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或 释放需要一定的时间。所以
1 2 电容C存储的电场能量 （Wc CuC ） 2 uC 不能突变 WC 不能突变 1 2 电感 L 储存的磁场能量 （WL LiL ） 2
注意：这样一个高压将使 电压表损坏，所以直流电 压表不宜固定连接在电感 uV (0 ) RViL (0 ) 2500V 线圈两端。
3.3.2
RL电路接通直流电源
假设在开关合上前，线圈 中未储有能量；在t=0时， 将开关S合上，与直流电 源接通。因为电感中的电 流不能突变 i L (0 ) i L (0 ) 0
t
1
2
3
1 2 3
结论： 越大，过渡过程曲线变化越慢，uc达到
稳态所需要的时间越长。
1 2 3
t
R1 20k， 例3.2.1 在图所示电路中，已知 C 10μF， 换路前开关S闭合，电路处于 R2 100k U 120V， 稳态。在t=0时刻，将开关S断开，求： ① 电容两端电压u（ C t） ② t 和 t 5 时电容两端电压 uC
例3.3.1 图所示电路，已知电源电压U=6V， R=6 ，电压表的内阻 ，试求开关S断开瞬间 电压表两端的电压（换路前电路处于稳态）。
解：电路换路前
U iL 1A R
由于在换路瞬间，电感中的 电流不能突变，即
iL (0 ) iL (0 ) 1A
所以，开关断开瞬间，电 压表两端的电压
因电阻与电容串联，所以 t=0时，电阻两端的电压为
uR (0 ) U uC (0 ) (12 0)V=12V
S + U _
i
R C + u _R +
uC
_
例3.1.2电路图
uR (0 ) 12 电路中的电流为 i(0 ) R 4 A=3A
3.2 RC电路的暂态分析
3.2.1 RC放电电路 开关S在“1”位置，电路处于 稳定状态，电流 i(0 ) 0 电容元件两端电压 uC (0 ) U 在t=0时，将开关S扳到“2”位置 输入电压为零,电容元件经过电阻R开始放电。 电路换路后的回路电压方程
t U U U U ' '' iL iL iL ( e pt ) (1 e pt ) (1 e ) R R R R
L diL iL U R dt
(t 0)
零状态响应
3.4 一阶线性电路暂态分析的 三要素法
一阶电路：凡是可用一阶常微分方程描述的电路 仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的电路 都是一阶电路 一阶电路暂态过程的求解方法 1.经典法:用数学方法求解微分方程。 2.三要素法: 求 初始值 稳态值 （三要素） 时间常数
总结：电容充电后脱离电源，在一段时 间内仍具有一定的电压，即电容电压不 能突变。
3.2 RC电路的暂态分析
3.2.2 RC充电电路 电容C中初始储能为零， 即 。在t=0时刻，将开关 S从2扳到1，电容器开始 充电 iCR + uC = U
du C RC uC U dt
du C iC dt
RC
106 10 106 s=10s
② 开关S闭合后，电源 对电容C充电
uC U (1 e ) 10(1 e
t t 10
)
10 10
(t 0)
)V 10(1 0.38)V=6.32V
t ＝10s时
uC (10) 10(1 e
3.2.3 RC暂态电路的应用
零状态响应
(t 0)
RC充电电路有以下特点：由初始值零随时
间按指数规律逐渐增长，最终趋于稳态值U
RC充电电路有以下特点：
（1）由初始值零随时间按指数规律逐渐增长 ，最终趋于稳态值U （2）电容充电的快慢，取决于电路的时间常 RC ， 时间常数 越大，充电越慢， 数 ， 反之越快
例3.2.2在图所示电路中，开关S闭合前，电 R 1MΩ ,C 10μF ， 容C未储能，已知 U 10V ， 试求：① 电路的时间常数 ；② 开关S闭合 10s时，电容两端的电压 。 解 ：① 求时间常数
第三章 电路的暂态分析
目录
3.1电路暂态的基本概念及换路定则 3.2 RC电路的暂态分析 3.3 RL电路的暂态分析 3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法 *3.5 LC振荡电路
教学目标
掌握基本概念、初始值的求取方法 掌握电路暂态过程的“三要素分析法” 了解电路暂态过程中的物理现象及与 电路稳定状态的区别
电感电路
S R 储能元件
U
+ t=0
_
iL
L
iL
t
电感为储能元件，能量大小为：
1 2 WL uidt Li 0 2
t
因为能量的存储和释放需要一个过程，电感元件中 的电流不能突变，所以有电感的电路存在过渡过程。
3.1.4换路定则
换路定则:
在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能 突变。 设：t=0 表示换路瞬间 t=0- 表示换路前的终了瞬间 t=0+表示换路后的初始瞬间（初始值）
uC (t ) 100e
t RC
(t 0)
② 电路的时间常数 开关S断开后，当t= 时
uC ( ) 100e
R2C (100 10 10 10 )s=1s
3 6
RC
100e1V=36.8V
当t=5 时
uC (5 ) 100e
5 RC
100e5V=0.7V
3.1电路暂态的基本概念及换路定则
3.1.1电路的稳态与暂态
1、稳态：
（对直流电路）电流和电压是恒定的， （对交流电路）随t按周期性变化的
2、换路：电路状态的变。
如电路接通、断开、改接及元件参数改 变等。
3、暂态：
旧稳态
换路
t(暂态)
新稳态
“稳态”与 “暂态”的概念示例:
S R R
+ _
U
uC
微分电路
组成RC微分电路，必须满足两个条件： ① 取电阻两端的电压为输出电压； ② RC充放电电路的时间常数 远小于矩形 脉冲宽度 。
积分电路
组成积分电路的条件为： ① 取电容两端的电压为输出电压； ② RC充放电电路的时间常数 远大于矩形 脉冲宽度 。
3.3 RL电路的暂态分析
3.3.1 RL电路的短接 开关S原合在位置“1”上， 且已处于稳定状态，电感 中有电流。
零状态响应：
在零状态的条件下，由电源激励信号产生的 响应为零状态响应。
全响应：
电容上的储能和电源激励均不为零时的响应， 为全响应。
根据RC、RL电路暂态的分析 可得一阶电路微分方程解的通用表达式：
t
f (t ) f () [ f (0 ) f ()] e
式中
f (t ) 代表一阶电路中任一待求电压、电流变量。
解： ① 开关S在t=0时刻断开，这时电容C原来 所储存的电能通过电阻 R2 放电，因此
uC Ae
t RC
(t 0)
根据换路定则
R2 uC (0 ) uC (0 ) U R1 R2 100 120V=100V 20 100
所以得
A uC (0 ) 100