§2.3 泊松分布和二项分布的近似的解释

如果要计算
PX

k


C
k n
p
k

1

p nk ,
那么可近似计算 P Y k k e . 即
k!
Cnk pk
1 p
nk
n很大, p很小

k
e
.
np k !
14
SUCCESS
THANK YOU
2019/10/28
这个结论可叙述为：
☎ 在 n 较大， p 很小的条件下，参数为 n,
k 0, 1, 2, , n,
其中 0 p 1 , q 1 p , 称X服从参数为
n, p 的二项分布，记作 X ~ Bn, p .
5
分布列正则性验证：
n
n
pk Cnk pkqnk p q n 1.
k0
k0
二项式定理
每个 pk Cnk pkqnk 恰好是二项式 p q n
27
得 p 1, 3
故
X
~
B

3,
1 3

,
于是
PX

2

C32

Fra Baidu bibliotek
1 2 3


2 3

2 9
.
9
例2.9 已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1，
为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病 人服用，且事先规定一个决策准则：这10个病人
中至少有3个人治好此病，则认为这种药有效，提 高了痊愈率；反之，则认为此药无效．求新药完 全无效，但通过试验被认为有效的概率．
X ~ B3, 0.4 . 于是，所求概率为 P X 1 1 P X 0
1 C30 0.40 0.63 0.784 .
8
例2.8 设随机变量X服从参数为 n, p 的二
项分布，已知
PX
1
19 ,
求
P X 2.
27
解由
19 P X 1 1 P X 0 1 1 p3
10 1k e1
k3 k !
0.0803.
二项分布的泊松 近似
查泊松分布 表（附表1）
它与例2.9的结果相比较，近似效果是良好的．
如果p较大，那么二项分布不宜转化泊松 分布，该如何办的问题将在§5.3中回答．
17
例2.12 某出租汽车公司共有出租汽车500辆， 设每天每辆出租汽车出现故障的概率为0.01，试求 一天内出现故障的出租汽车不超过10辆的概率．
展开式中的各项，这就是“二项分布”这个名 称的来历．
6
特别地，若 X ~ B1, p , 则Ｘ服从参数为
p 的0-1分布．
例2.7 设从学校乘汽车到火车站的途中有3 个交通岗，在各交通岗遇到红灯是相互独立的， 其概率均为0.4，求途中遇到红灯的概率.
交通岗1
交通岗２
交通岗３
7
解 考察在每个交通岗是否遇到红灯相当于 作一次试验，每次试验有两个可能结果：遇到红 灯或没有遇到红灯，即成功或失败．用Ｘ表示途 中遇到红灯的次数，则Ｘ就是在每次成功概率为 0.4的3重伯努利试验中恰好成功的次数，从而
解 每次成功(病人痊愈)的概率为0.1，用X表
示10个病人中痊愈的人数，则 X ~ B10, 0.1.
于是，所求概率为
2
P X 3 1 C1k0 0.1k 0.9 10k 0.0702. k0 10
四、泊松分布
两点分布和二项分布都是以伯努利试验为背 景，即将要研究的分布以法国数学家和物理学 家——泊松的名字来命名．
p 的二项分布的概率计算问题可以转化成参数
为 np 的泊松分布的概率计算问题．
例2.11 在例2.9中，根据二项分布我们已 经计算出了认为新药有效的概率约为7.02℅， 现在我们利用二项分布的泊松近似重新计算认 为新药有效的概率．
16
10
解 P X 3 C1k0 0.1k 0.9 10k k3
§2.3几种重要的离 散型分布
1
一、单点分布
如果一个随机变量X只有一个取值Ｃ，则称X 服从单点分布．显然，它的分布列为
分布函数为
PX C1,
F

x


0, 1,
x x

C, C.
任何常数都可以看作是一个随机变量，并称 为常数值随机变量．
2
二、两点分布
如果一个随机变量Ｘ只有两个可能取值，则
此时，称Ｘ服从参数为 p 的0-1分布，其分布
0,
x 0,
函数为 F x 1 p, 0 x 1，
1,
x 1.
4
三、二项分布
若X表示每次试验成功概率为 p 的 n 重伯
努利试验中成功的次数，则可把伯努利公式 (1.9)重新写成如下的形式
P X k Cnk pkqnk ,

e
e
1.
服从或近似服从泊松分布的例子是大量存在：
◎服务系统在单位时间内来到的顾客数； ◎击中飞机的炮弹数； ◎大量螺钉中不合格品出现的次数； ◎数字通讯中传输数字中发生的误码个数； ◎母鸡在一生中产蛋的只数．
12
例2.10 某城市每天发生火灾的次数 X ~ P 1 ,
求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率．
2
解 P X 3 1 P X 3 1 P X k k0
对立事件公式 1 2 1k e1 1 0.920 0.08. k0 k !
查泊松分布 表（附表1）
13
泊松分布有一个非常实用的特性——二项分
布的泊松近似．具体地讲，设 X ~ Bn, p , Y ~ P , 其中 n 较大，p 很小，而 np,
称Ｘ服从两点分布．
◆新生婴儿是男还是女； ◆一次抽样的结果是正品还是次品； ◆掷一枚骰子是否掷出点2； ◆一次投篮是否投中；
都可以用一 个服从两点 分布的随机 变量来描述
◆一次投标是否中标．
3
任何两点分布，均可通过变换化成如下标准概型
X0 1
P 1 p p
或用公式表示为
PX k pk (1 p)1k , k 0, 1 .
若离散型随机变量Ｘ的分布列为
P X k k e , k 0, 1, 2, ,
k!
其中 0, 则称Ｘ服从参数为 的泊松分布，
记作 X ~ P .
11
分布列正则性验证：

k0
pk

k e
k0 k !

e k
k0 k !