3章(1、2)质点系动力学

dt
— 质心运动定理
说明∶
1 ) 质点系各质点由于内力和外力的作用，运动情况可能很 复杂，但对于质心的运动，只取决于合外力，内力对质 心的运动不产生影响。 的质点的加速度相同。 3 ) 质心运动定理不能描述各质点的运动情况，每个质点的实 际运动应是质心运动与质点相对质心运动的叠加。 4 ）把实际物体抽象为质点，正是只考虑了质心而忽略了 物体中各质点相对质心的运动。
0 p1 i
由上述结论可以推导出， 在一定条件下，质点系的动量、 角动量、机械能守恒。 质心是质点系的一个代表，也是一个有用的参考系。 通过恢复系数的不同定义及其优缺点的分析，学习对一类 现象进行归纳、统一的思路和方法。
§3-1 质心
一、内力与外力 内力：质点系内各质点之间的相互作用力称为内力。 外力：质点系以外的物体对系统的作用力称为外力。
二、质点系的动量定理 1、冲量 1）微分形式：
Fdt 表示力的时间累积，叫dt 时间内合外力 F 的冲量。
F dt
2）积分形式： I
2、动量定理：
1）微分形式：
t2

t1
F dt
若为恒力： I Ft
F dt d P
2）积分形式： 对上式积分，
dP 由 F 得： dt
F
F

t2
t1
F dt
t2 t1
即：
P2 P P 1 t t
P F t
F
O
t1
t2
若其它外力不可忽略时, 则 F 是合外力的平均。
[例2] 一辆装煤车以v = 3m/s 的速率从煤斗下面通过，每秒落入 车厢的煤为⊿m = 500kg。如果使车厢的速率保持不变，应 用多大的牵引力拉车厢？ （摩擦忽略不计) v 解： 选取车厢和车厢里的煤 m 和即将落 dm 入车厢的煤 d m 为研究的系统。 m F 取水平向右为正。
N
m1r1 m2 r2 ... mN rN rc m1 m2 ...... mN y
mi ri M
即：
rc
mi ri
i 1 N
rc
o z
C
mi
m
i 1
i
ri
x
在直角坐标系中： xc
m x
M
i i
, yc
m y
第一阶段：从A 运动到B，匀加速运动：
vB 2gl sin
2 0
v
N
x
l
Mg
(v v 2as, a g sin )
2 t
mg
B
第二阶段：碰撞阶段 取木块与子弹组成的系统为研究对象，沿斜面方向， 内力＞ ＞外力，可用动量守恒定律求近似解
可解得：
mv cos MvB (M m)V mv cos M 2 gl sin
f12 , f 21 , f13 , f 31 , f 23 , f 32
F2
F1 , F2 , F3
F1
质点系所有内力之和为零

f内 0
m2 m1 f12 f 21 f 23 f13 f 32 f 31 m3
F3
注意:质点系中任意一个质点，例如第i个质点受的 系统内其它质点作用力的矢量和不一定为零 。 质点系内各质点受的外力的矢量和称为质点系 N 受的合外力，即 f i外 F外
第三章 质点系动力学
研究思路
质点系：N个质点的总和． 质点系= 质点 i
i1 N
按一定要求定义一个质点系的代表点：质心． 首先定义描述质点系运动状态的动力学量：
N 质点系的动量：质点系中各质点动量的矢量和 p pi i 1 N 质点系的角动量：质点系中各质点角动量的矢量和 L Li
i 1
二、质心 质点系运动时，各质点的运动情况可能是各不相同的， 且很复杂。为了简洁描述质点系的运动状态，引入 质量中心(间称质心)的概念 。
... ... N个质点组成的系统∶ m1、m2、 mi、 mN ... ... 位矢分别为∶ r 、r2、 ri、 rN 1
定义：质点系质心的 位矢为：
m1v1 m2v2 x 0
由相对速度：
O

x
v2 u v1
Mg
得： v u cos v 2x 1
m1v1 m2 (u cos v1 ) 0
m2 解得： v1 u cos m1 m2
“－”号表示炮车反冲速度与x 轴正向相反。 ２）若以u ( t ) 表示炮弹在发射过程中任一时刻，炮弹相对炮 车的速率，则此时炮车相对地面的速率
三、质心运动定理：
由质心位矢
d ri mi d t mi vi d rc vc dt M M d p M d vc Ma P mi vi Mvc c dt dt
rc
m i ri M
对t 求导，得：

由于
ac 为质心运动的加速度。 dp F外 F外 Mac
V M m
m v
i ix
mi vix 0
[例2] 质量为m1 ，仰角为α 的炮车发射了一枚质量为m2 的炮弹， 炮弹发射时相对炮身的速率为u ，不计摩擦。 求∶ 1）炮弹出口时炮车的速率v1 。 2）发射炮弹过程中，炮车移动的距离( 炮身长为L ) 。 解：1）选炮车和炮弹为系统，地面为参考系，选坐标系如图。 水平方向合外力为零，系统总动量沿x 分量守恒。 u y 设炮弹相对地面的速度为v2 。 N L mg 由x 方向的动量守恒可得：
动量定理的微分式

t2
t2 即： I F d t P
来自百度文库t1
t1
p2 F d t d P p1
动量定理的积分式
它表明∶在一个过程中，系统所受合外力的冲量等于 系统动量的增量。
3、动量定理分量形式
在直角坐标系中，动量定理的分量式为∶
I x Fx dt P2 x P x 1
t
相遇时
m2 xc x1 L m1 m2
②明过程
④审条件
解题步骤：
①选系统
①不受外力。 ② 外力矢量和为零。
③ 内力＞ ＞外力。 内力使系统内质点交换动量，但不影响系统总动量。
④ 若系统所受的合外力虽然不为零,但合外力在某一 方向的分量为零,则系统在该方向上动量守恒。 4、动量和力是矢量，可沿坐标轴分解：
Fx 0 Fy 0
Px 常量 Py 常量
Fz 0
m2 v1 (t ) u (t ) cos m1 m
设炮弹经 t 秒出口，在 t 秒内炮车沿水平方向移动了：
t m2 S v1 (t ) d t cos u (t ) d t 0 0 m1 m2 t
m2 S L cos m1 m2
[例3] 质量分别为m1 和m2 的两人A、B 在光滑的水平冰面上用绳 子彼此拉对方。开始时两人静止对立，相距为L ，它们 在何处相遇?
Pz 常量
5、动量守恒定律比牛顿定律更基本，应用更广泛。 如宏观、微观、量子力学、相对论。
6、各速度应是相对同一惯性参考系。
[例1] 质量为M 的木块在光滑的固定斜面上由A 点静止下滑， 经路程 l 到B 点时，木块被一水平射来的子弹击中 子弹（m,v）射入木块中，求射中后二者的共同速度。 解：分为两个阶段： A
0
t
v1 (t ) d t L v2 (t ) d t
L v1 (t ) d t v2 (t ) d t [v1 v2 ] d t
0
由动量守恒定律
m1v1 m2v2 0
m1v1 得： v2 m2
m1 L [1 ]v1 (t ) d t 0 m2 t m2 即： 0 v1 (t ) d t m1 m2 L
t1
t2
I
t2

t1
F dt
Iy

t2
t1
Fy dt P2 y P y 1
Iz

t2
t1
Fz dt P2 z P z 1
即系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量 在该方向上分量的增量。
4、碰撞：相互作用极短的过程
1) 冲力 : 碰撞过程中物体间相互作用时间极短，相互作用力 很大，而且往往随时间变化，这种力通常称为冲力。 2) 平均冲力 : 冲力对碰撞时间的平均值。 若冲力很大, 其它外力可忽略时, 则：
0
1 d x 0 L L 2
L 0
xdm
M


x
2
0
L M
dx
2 L 3
§3.2
动量守恒定律
F1
一、质点系的动力学方程
由两个质点组成的质点系： m1 dP 1 f1 f 2 0 A : F1 f1 dt d(P P2 ) d P2 1 B : F2 f 2 F1 F2 dt dt
质点系的动能：质点系中各质点动能的总和 Ek 的特点，定义系统的势能 E p
N
E
i 1
N
i 1
ki
由于内力可分为保守力和非保守力，根据保守内力做功
E ．系统动能与势能之和
i 1 pi
称为系统的机械能 ．即 E Ek E p
应用质点动力学的结论，推导出质点系运动状态变化 时，质点系的动量、角动量、动能和机械能变化的规律． 具体方法是： 列出各质点的相应定理（例如动量定理）的的数学表 达式，然后相加．例如 N N dpi dpi Fi dt Fi dt i 1 i 1 t p2 Fi dt dpi Fi dt dp p2 p1
i
i
对质量连续分布的质点系∶
rc
r dm M
c
M
, zc
m z
M
i i
xc
xdm , y
M
c
ydm,z
M
zdm
M
说明∶ 1）几何形状对称的均质物体，质心就是几何对称中心。 2）有些物体的质心可能不在所求的物体上。
3）重心是重力合力的作用点，尺寸不大的物体，质心 与重心重合。
2 ) 当 F合 外 0 时， 质心的加速度与把全部质量集中在质心
[例1] 一长为L ，密度分布不均匀的细杆，其质量线密度 0 x / L 。 0 为常量，x 从轻端算起，求其质心。 解∶取质元
dm
o
x
dm dx
M dm
Xc
L
0 x
L
dx
0 x
三、动量守恒定律:
dP 由F 知，当F 0时 dt
则：
N
PC
dP 0 dt
N 即： P mi vi C i i 1 i 1
动量守恒定律
系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。 应用动量守恒定律时应注意∶
F 1、 0时，P C 并不意味着每个质点的动量是不变的。 2、 Fi 0, 有以下几种情况：
t 时刻系统的水平总动量：
mv d m0 mv
t + dt 时刻系统的水平总动量: mv d mv (m d m)v
dt 时间内水平总动量的增量： d p (m d m)v mv d mv
由动量定理得：
F dt d p vdm dm F v 500 3 1500 N dt
A 解：选两人为系统，水平方向 m1 m2 动量守恒。 x O L 取A 处为坐标原点，向右为正。 设A、B 任一时刻速度分别为v1 和 v2 ，坐标为x1 和 x2 ，则：
B
x1 v1 (t ) d t
0
t
相遇时 ：
t 0 t
0
x1 x2 xP
t 0
t
x2 L v2 (t ) d t
f f1 2
F2
m2
d n 个质点组成的质点系： Fi dt i 1
n
Pi
n i 1
则：
d N d F外 ( Pi ) P d t i 1 dt
即：
F外
dP dt
— 质点系的动力学方程
上式表明∶质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。 内力可以改变一个质点的动量，但对系统动量 的改变无贡献。