对数频率特性讲解
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对数频率特性如下图所示
特性，并判定系统的稳定性及计算相角裕度γ。
100(1 0.01s ) G K ( s ) ，试绘出系统的对数频率 s (1 0.1s )
解：1、K＝100，ν ＝1，交接频率
ω1，
1 1 。 ω2 10 100 0.1 0.01
2、低频渐近线的斜率为－20νdB/dec=－20dB/dec。 当ω＝1时，L(ω)=20logK＝40dB。即低频渐近线的斜率为－20，且过点(1， 40)。 当ω＝10时，斜率变为－40dB/dec； 当ω＝100时，斜率变为－20dB/dec； 3、高频渐近线的斜率为－20（n-m）dB/dec=－20dB/dec。
显见 N＋＝0，N－＝0。
N ＝ N＋－ N－ ＝ 0 根据 GK(s) 表达式知道，P ＝0。由于 Z ＝P －2 N ＝0
Kπ ts (s) ωc
其中
K 2 1.5(M p 1) 2.5(M p 1) 2
1 M p 1.8
调节时间ts随Mp的增大而增大，且随ωc的增大而减小。 ts和ωc 的反比关系正是频率尺度与时间尺度反比性质的体现。
3、带宽频率ωb和ξ之间的关系
ωb (1 2ξ 2 ) 2 4ξ 2 4ξ 4 ωn
(∞ ) ＝ －180 °，曲线沿负虚轴、以 n - m
-
2
π π
开环传递函数在右半 s 平面上的开环极点数P ＝0
当ω 从0变化到＋∞，奈氏曲线不包围 (－1， 0 )点， R ＝ 0 Z ＝ P － R ＝0－0＝0，故闭环系统稳定。
jQ
100
ω
ω 1 0
P
ω0
P151－5－19（3）:系统的开环传递ω2 100 Q(ω) ω(1 ω 2 )
100(1 0.01s ) G K ( s ) ，试绘出系统的对数频率 s (1 0.1s )
解：1、K＝100，ν ＝1，交接频率
ω1，
1 1 。 ω2 10 100 0.1 0.01
2、低频渐近线的斜率为－20νdB/dec=－20dB/dec。 当ω＝1时，L(ω)=20logK＝40dB。即低频渐近线的斜率为－20，且过点(1， 40)。 当ω＝10时，斜率变为－40dB/dec； 当ω＝100时，斜率变为－20dB/dec； 3、高频渐近线的斜率为－20（n-m）dB/dec=－20dB/dec。
显见 N＋＝0，N－＝0。
N ＝ N＋－ N－ ＝ 0 根据 GK(s) 表达式知道，P ＝0。由于 Z ＝P －2 N ＝0
Kπ ts (s) ωc
其中
K 2 1.5(M p 1) 2.5(M p 1) 2
1 M p 1.8
调节时间ts随Mp的增大而增大，且随ωc的增大而减小。 ts和ωc 的反比关系正是频率尺度与时间尺度反比性质的体现。
3、带宽频率ωb和ξ之间的关系
ωb (1 2ξ 2 ) 2 4ξ 2 4ξ 4 ωn
(∞ ) ＝ －180 °，曲线沿负虚轴、以 n - m
-
2
π π
开环传递函数在右半 s 平面上的开环极点数P ＝0
当ω 从0变化到＋∞，奈氏曲线不包围 (－1， 0 )点， R ＝ 0 Z ＝ P － R ＝0－0＝0，故闭环系统稳定。
jQ
100
ω
ω 1 0
P
ω0
P151－5－19（3）:系统的开环传递ω2 100 Q(ω) ω(1 ω 2 )
2第二节对数频率特性
第二节 对数频率特性
1-Apr-21
1
一、对数频率特性曲线（波德图，Bode图）
Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。 ⒈波德图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度：
横坐标(称为频率轴)分度：它是以频率w 的对数值 logw 进行 线性分度的。但为了便于观察仍标以w 的值，因此对w 而言是 非线性刻度。w 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为 十倍频程(或十倍频)，用dec表示。类似地，频率w 的数值变化
w L(w )
2 20 log
A(w )
20 log
K
w
40
K 10
20log K 20log w,
20
w 当K 1时，w 1, L(w) 0;
20 40
j (w)
1 10 100 K 1 w
当w 10时，L(w) 20 可见斜率为－20/dec 当K 1时，w 1, L(w) 20log K;
0.3
-120° 0.5
-150° 0.7
1.0
-180°
1
1
10T 5T
1
1
2
2T
T
T
对数幅频特性和对数相频特性
图。上图是不同阻尼系数情况
下的对数幅频特性实际曲线与
渐近线之间的误差曲线。
5 T
10 T
当0.3<<0.8，误差约为±4.5dB
1-Apr-21
16
振荡环节的波德图
相频特性：j
1-Apr-21
6
比例环节的bode图
二、典型环节的波德图 ⒈ 比例环节： G(s) K ;
G( jw) K
幅频特性：A(w) K；相频特性：j(w) 0
1-Apr-21
1
一、对数频率特性曲线（波德图，Bode图）
Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。 ⒈波德图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度：
横坐标(称为频率轴)分度：它是以频率w 的对数值 logw 进行 线性分度的。但为了便于观察仍标以w 的值，因此对w 而言是 非线性刻度。w 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为 十倍频程(或十倍频)，用dec表示。类似地，频率w 的数值变化
w L(w )
2 20 log
A(w )
20 log
K
w
40
K 10
20log K 20log w,
20
w 当K 1时，w 1, L(w) 0;
20 40
j (w)
1 10 100 K 1 w
当w 10时，L(w) 20 可见斜率为－20/dec 当K 1时，w 1, L(w) 20log K;
0.3
-120° 0.5
-150° 0.7
1.0
-180°
1
1
10T 5T
1
1
2
2T
T
T
对数幅频特性和对数相频特性
图。上图是不同阻尼系数情况
下的对数幅频特性实际曲线与
渐近线之间的误差曲线。
5 T
10 T
当0.3<<0.8，误差约为±4.5dB
1-Apr-21
16
振荡环节的波德图
相频特性：j
1-Apr-21
6
比例环节的bode图
二、典型环节的波德图 ⒈ 比例环节： G(s) K ;
G( jw) K
幅频特性：A(w) K；相频特性：j(w) 0
对数频率特性法
对数分度，按
φ( ω )
度
lg ω
ω
rad / s (弧度/秒)
线 性 分 度
900
0.1
0
1
10
100
－90
4.4.1对数频率特性的绘制
2,典型环节的Bode图： (1)比例环节：G(s) = k, 若k = 10 k>0
L( ω ) = 20 lg 10 = 20dB
Φ( ω ) = 0
0
L( ω) dB
系统Bode图的合成 (2)积分
− 20 lg ω ， 20 dB / dec −
Φ
1
= 00
1
过
ω ＝1
Φ
= － 90
0
(3)比例微分 (4)惯性 (5)振荡
转折频率
转折频率
转折频率
1 1 ＝ ＝ 3 1 T 3 1 1 ＝ ＝ 2 ω＝ 1 T 2 1 1 ＝ ＝ ω＝ 1 T 2 ω＝
2
4.4.1对数频率特性的绘制
L( ω)
60 40
dB
-20 -60 -80 20
0.01 0.1 1 10
+20 ω
(3) (1)
rad / s
-20 -40 -60 -60
-20
(2) (4)
-40
(5)
4.4.1对数频率特性的绘制
φ( ω )
900
度 (3)
ω rad / s (1)
0.01 0.1 1 (4) 10 (2) (5)
ωT = 10 L( ω ) = −20.04dB
-20
-20dB/dec
0.1 T
1 T
φ( ω )
对数频率特性
( ) ~ 为系统的相频特性。
RC网络的幅频特性
和相频特性
1 G( j ) 1 jT
1 A( ) 1 2T 2 ( ) arctgT
RC网络的幅频特性和相频特性
RC网络的幅相特性
1 G( s) Ts 1
G ( j ) G ( s ) s j 1 1 jT 1 j tan 1 T e 2 2 1 T
2
)
C s (t) ( j ) Ar cos( t ( j )
2
)
令 Cs (t ) Ac sin(t )
Ac ( j ) Ar ,
( j )
由此可见，线性定常系统，在正弦信号作用下，
输出稳态分量是与输入同频率的正弦信号。
4、频率分析法还可以推广应用于某些非线性控制系统。
3-1 频率特性
一、频率特性
1、RC电路的正弦稳态输出
G( s) U o (s) 1 , U i ( s) Ts 1 T RC
线性定常系统，输入信号为正弦信号时，稳态输出信号仍 为同频率的正弦信号，只是相位和振幅不同，且相位和振幅与 传递函数的参数有关。 当 ui A sin t 时，初值为0
拉氏反变换
c( t ) C i e si t ( Be j t Be j t )
i 1 n
n
ct ( t ) c s ( t )
其中
Ar ( s j ) s j 2 2 s Ar j [ ( j ) ] ( j ) 2 ( j ) Ar e 2j 2 B ( s)
RC网络的幅相特性曲线
自动控制原理课件17 5-3对数频率特性
所以低频段过点 A( 1, L() 20lg K) 或 ( N K , L() 0)
系统开环对数频率特性的特点(2)
• 2）开环对数幅频特性经过一个转折频率，其斜率要发生 变化，其高频段最终的斜率为-20*(n-m)dB/dec，开环对 数相频特性最终相角为-（n-m）*900。 3）开环对数幅频特性曲线与横坐标轴的交点频率，称为 截止频率或穿越频率，用wc表示。 即在该频率下，L（w）=0
L1 ( )
0
0.1 0.2
0.5 1
10
1
-1 -0.7
2 3
-0.3 0
L4 () L3 ()
1
L2 ()
L（） L1()L2 ()L3()L4 ()L5 ()
L1() 20lg 6.25
L2
(
)
20
lg
1 s
6.25 Wk (s) s(5s 1)(2s 1)(s 1)
L3
(
)
20
lg
1 5s
§ 5-3对数频率特性
二．典型环节的对数频率特性
（一）比例环节 W ( j) K Ke j0 L() 20lg K,() 0
0.1 1 Ψ(ω)
10 ω ω
L(w是) 一条等高度等于 的20直lg线k
Ｋ＞１时 L() ；0 Ｋ＜１时， L(；) 0
Ｋ＝１时 L() 0
相频特性是一条 () 直0线0 。
L(2 ) L(1) 20lg 2T (20lg 1T ) 20(lg2T lg 1T )
20 lg
2 1
20lg10
20dB dec
为一斜率为-20dB/dec的直线。
这样其对数幅频特性可用两条渐近线近似表示
系统开环对数频率特性的特点(2)
• 2）开环对数幅频特性经过一个转折频率，其斜率要发生 变化，其高频段最终的斜率为-20*(n-m)dB/dec，开环对 数相频特性最终相角为-（n-m）*900。 3）开环对数幅频特性曲线与横坐标轴的交点频率，称为 截止频率或穿越频率，用wc表示。 即在该频率下，L（w）=0
L1 ( )
0
0.1 0.2
0.5 1
10
1
-1 -0.7
2 3
-0.3 0
L4 () L3 ()
1
L2 ()
L（） L1()L2 ()L3()L4 ()L5 ()
L1() 20lg 6.25
L2
(
)
20
lg
1 s
6.25 Wk (s) s(5s 1)(2s 1)(s 1)
L3
(
)
20
lg
1 5s
§ 5-3对数频率特性
二．典型环节的对数频率特性
（一）比例环节 W ( j) K Ke j0 L() 20lg K,() 0
0.1 1 Ψ(ω)
10 ω ω
L(w是) 一条等高度等于 的20直lg线k
Ｋ＞１时 L() ；0 Ｋ＜１时， L(；) 0
Ｋ＝１时 L() 0
相频特性是一条 () 直0线0 。
L(2 ) L(1) 20lg 2T (20lg 1T ) 20(lg2T lg 1T )
20 lg
2 1
20lg10
20dB dec
为一斜率为-20dB/dec的直线。
这样其对数幅频特性可用两条渐近线近似表示
频率响应法示例之二_对数频率特性
频率响应示例之二――对数频率特性一、绘制下列传递函数的对数幅频渐近特性曲线)110)(1(200)(2++=s s s s G 解：开环系统由以下典型环节组成：2200，11+s ， 1101+s 1101+s 的转折频率为ω11+s 的转折频率为ω2因为2=m ，K ＝200＞1，L a )(0ω绘制频段1ωω> k ,1,11.0221=≤==<≤=ωωωωω2003年4．（10分/150分）已知单位反馈系统的开环传递函数为)164)(12()1.0(16)(22+++++=s s s s s s s G ，试绘制对数幅频特性渐近线 解： dBk s s s s s s s s s s s s s G n n 201.0lg 20lg 2011,4,1,1.0)116416)(12()110(1.0)164)(12()1.0(16)(323212222−========+++++=+++++=时，转折频率为：ωζζωωω2000年4．（10分/70分）系统的对数幅频特性如图所示，据此写出该系统相应的传递函数。
解：图中兰色是解题时作的辅助线及环节示意将对数幅频特性曲线进行分解，从左依次向右可得到系统所包含的开环环节为： K ，111+s T ，12+s T ，113+s T ；其中：2.011=T ；112=T ；1013=T 故：51=T ；12=T ；1.03=T ；又因 20lgK ＝20，故K ＝10所以，系统的传递函数：)11.0)(15()1(10)(+++=s s s s Gw （1/sec ） db 20lg|G|1996年三、2．（10分/60分）系统的对数幅值曲线如图所示。
试推导：系统的传递函数。
解：图中兰色是解题时作的辅助线及环节示意将对数幅频特性曲线进行分解，从左依次向右可得到如图辅助所示的环节⋅sT 11⋅+12s T ⋅+13s T ⋅+114s T ⋅+115s T 116+s T 其中：811=T ；212=T ；413=T ；814=T ；2415=T ；3616=T 故：125.01=T ；5.02=T ；25.03=T ；125.04=T ；04.05=T ；03.06=T 所以，系统的传递函数：)103.0)(104.0)(1125.0()125.0)(15.0(8)(+++++=s s s s s s s G由已知的Bode 图求对象的传递函数小结：1． 根据给出的渐近线，先找出基本的环节与各转折频率――求出时间常数，若有二阶环节，还需要求出ζ值。
自动控制原理第12讲(对数频率特性)PPT课件
n
G(S )＝
1
2 n
1
T 2S 2 2TS 1
S
2
2 n S
2 n
(S n
)2
2
(S n
)
1
频率特性：
G(
j )
(
j
)2
1
2 (
j
) 1
1 (
)2
1
2 (
)
j
n
n
n
n
1
•
(1
2
2 n
)2
(2
n
)2
2
－jtg 1
n 2
e
1
2 n
20
对数幅频特性：L( ) 20 lg (1 2 )2 (2 )2
100
[-20]
- 90o
16
（5）一次微分环节
传递函数： G（S） TS＋1
e 频率特性：G( j) Tj 1 T 2 2 1 j arctanT
对数幅频特性 L() 20 lg 1 2T 2
相频特性
( ) arctanT
低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线
低频段 1 ，
T
L() 20 lg
-1800
10 -2
10 -1
100
10 1 5
Bode图的坐标形式(对数频率特性)
典型环节的对数幅相频率特性 最小相位典型环节
（1）比例环节
传递函数： G ( s ) K L ( ) d B
频率特性 (S j )
K>1
G( j) Ke j00
0
K=1
K<1
( )
对数幅频和相频特性 0 L ( ) 2 0 l g K
G(S )＝
1
2 n
1
T 2S 2 2TS 1
S
2
2 n S
2 n
(S n
)2
2
(S n
)
1
频率特性：
G(
j )
(
j
)2
1
2 (
j
) 1
1 (
)2
1
2 (
)
j
n
n
n
n
1
•
(1
2
2 n
)2
(2
n
)2
2
－jtg 1
n 2
e
1
2 n
20
对数幅频特性：L( ) 20 lg (1 2 )2 (2 )2
100
[-20]
- 90o
16
（5）一次微分环节
传递函数： G（S） TS＋1
e 频率特性：G( j) Tj 1 T 2 2 1 j arctanT
对数幅频特性 L() 20 lg 1 2T 2
相频特性
( ) arctanT
低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线
低频段 1 ，
T
L() 20 lg
-1800
10 -2
10 -1
100
10 1 5
Bode图的坐标形式(对数频率特性)
典型环节的对数幅相频率特性 最小相位典型环节
（1）比例环节
传递函数： G ( s ) K L ( ) d B
频率特性 (S j )
K>1
G( j) Ke j00
0
K=1
K<1
( )
对数幅频和相频特性 0 L ( ) 2 0 l g K
《对数频率特性》课件
表示信号在传输过程中产生的相位偏移。
带宽参数则表示系统能够处理的信号频率范围，这些参数对于
03
理解和优化系统性能至关重要。
数学模型的适用范围
01
对数频率特性数学模型适用于 描述和分析各种类型的电子系 统和信号处理系统，如音频处 理、通信、雷达等。
02
该模型尤其适用于分析具有非 线性或非平坦频率响应的系统 ，这些系统在常规的线性频率 坐标系下难以准确描述。
优缺点对比分析
• 对数频率特性的优点主要在于其能够 提供较大的动态范围和接近人耳的感 知特性，使得音频信号的还原更加真 实和平衡。然而，其缺点在于可能会 产生非线性失真，不易于控制，并且 可能不适合所有应用场景。在选择使 用对数频率特性时，需要根据实际需 求进行权衡和考虑。
05 对数频率特性的未来发展
分析该对数频率特性，可以发现系统在低频段增益较高，而 在高频段增益迅速下降，具有良好的低通滤波器特性。
02
03
动态范围大
对数频率特性能够提供较 大的动态范围，使得音频 信号在低频和高频之间的 变化更加平滑。
接近人耳感知
对数频率特性与人耳的感 知特性较为接近，因此能 够更好地还原声音的真实 感。
计算步骤
01
确定系统的频率响应函数$H(f )$。
02 对$H(f)$取对数，得到对数频率特性$L(f)$。
03 分析$L(f)$的特性，如最大值、最小值、转折点 等，以了解系统在不同频率下的性能。
计算实例
假设一个系统的频率响应函数为$H(f) = 10 times frac{1}{10^3 + f^2}$，则其对应的对数频率特性为$L(f) = log(10 times frac{1}{10^3 + f^2})$。
对数频率特性讲解
最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应 关系。
这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频 率范围上给定，则相角曲线被唯一确定
反之亦然
这个结论对于非最小相位系统不成立。
6. 系统类型与对数幅值之间的关系
系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。 因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在 稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察 对数幅值曲线的低频区特性予以确定。
在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数 非最小相位传递函数
在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数 最小相位系统
具有最小相位传递函数的系统 非最小相位系统
具有非最小相位传递函数的系统
请看例子
1 jT G1( j) 1 jT1
jω
G2
(
j)
1 1
jT jT1
,
jω
0 T T1
n 处相交。这个频率就是上述二阶因子的转角频率。
20
10
0
幅频特性与
-10
关系
-20
-30
-40 10-1
dB
0.1
100
101
20
10
0
幅频特性与
-10
关系
-20
dB
0.1
0.2 0.3
0.5
0.7
1.0
-30
-40
10-1
-20
-30
-40 -89
-89.5
Phase (deg)
-90
-90.5
-91
-1
0
1
2
10
10
10
这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频 率范围上给定，则相角曲线被唯一确定
反之亦然
这个结论对于非最小相位系统不成立。
6. 系统类型与对数幅值之间的关系
系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。 因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在 稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察 对数幅值曲线的低频区特性予以确定。
在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数 非最小相位传递函数
在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数 最小相位系统
具有最小相位传递函数的系统 非最小相位系统
具有非最小相位传递函数的系统
请看例子
1 jT G1( j) 1 jT1
jω
G2
(
j)
1 1
jT jT1
,
jω
0 T T1
n 处相交。这个频率就是上述二阶因子的转角频率。
20
10
0
幅频特性与
-10
关系
-20
-30
-40 10-1
dB
0.1
100
101
20
10
0
幅频特性与
-10
关系
-20
dB
0.1
0.2 0.3
0.5
0.7
1.0
-30
-40
10-1
-20
-30
-40 -89
-89.5
Phase (deg)
-90
-90.5
-91
-1
0
1
2
10
10
10
自动控制原理5第二节对数频率特性
19
② 一阶微分： A(w) 1 T 2w2，(w) tg1Tw
一阶微分环节的波德图
L(w) 20lg 1 T 2w2 对数幅频特性（用渐近线近似）：
低频段渐近线：当Tw 1时，A(w) 1， 20 log A(w) 0 高频段渐近线：当Tw 1时，A(w) Tw，L(w) 20 log Tw
第二节 对数频率特性
1
一、对数频率特性曲线（波德图，Bode图）
Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。 ⒈波德图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度：
横坐标(称为频率轴)分度：它是以频率w 的对数值 logw 进行 线性分度的。但为了便于观察仍标以w 的值，因此对w 而言是 非线性刻度。w 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为 十倍频程(或十倍频)，用dec表示。类似地，频率w 的数值变化
来计算只能求出±90°之间的值(tg-1函数的主值范围)，也就是
说当 w ( 1 , ) 时，用计算器计算的结果要经过转换才能得到 。 即当 w (T1 , ) 时，用计算器计算的结果要减180°才能得到 。
T
或用下式计算
(w) tg1 Tw 1 2 tg1 Tw 1 2
17
微分环节的频率特性
(w) K
0 180
K 0 K 0
180
7
K 0
⒉ 积分环节的频率特性：G(s) K
s
频率特性：
G( jw )
K
j
K
K
e2
jw w w
积分环节的Bode图
L(w) / dB
40 20w ) tg1( K 0)
w
2
L(w) 20log A(w) 20log K
自动控制原理--典型环节的频率特性
j
j 1
0j 1
Im
0
Re
0
积分与微分环节
L(dB) 40
积分环节
0
微分环节
40
( )
90
微分环节
0 90
积分环节
20dB / dec
20dB / dec
6
三、微分环节
传递函数: G s s
频率特性:
G(j)
j
ej
π 2
➢1. 幅频特性 A及相频特性
A ,
A
( )
0
1
T
4
2
L,
0
1
T 3dB
4
20lg 2T 2 1
2
近似曲线 精确曲线
对数幅频特性和相频特性：
L() 20 lg 1 (T )2 () tg1 T
0 L0 0
1 L 20 lg 1 3
T
2
4
L
2
L()(dB) 0 0.1 5
10 15 20
0.2
0.3 0.4
0.6 0.8 1
T
2
34
6 8 10
七、一阶不稳定环节
传递函数: G s 1
Ts 1
➢1. 幅相频率特性
频率特性: G j 1
jT 1
G j
1
jT 1
1
1 T2
T
j1 T2
U
jV
U
1 2
2
V
2
1 2
2
一阶不稳定系统的幅相频
率特性是一个为（-1，j0）
为圆心，0.5为半径的半圆。
180O 90O
Im
1
j 1
0j 1
Im
0
Re
0
积分与微分环节
L(dB) 40
积分环节
0
微分环节
40
( )
90
微分环节
0 90
积分环节
20dB / dec
20dB / dec
6
三、微分环节
传递函数: G s s
频率特性:
G(j)
j
ej
π 2
➢1. 幅频特性 A及相频特性
A ,
A
( )
0
1
T
4
2
L,
0
1
T 3dB
4
20lg 2T 2 1
2
近似曲线 精确曲线
对数幅频特性和相频特性：
L() 20 lg 1 (T )2 () tg1 T
0 L0 0
1 L 20 lg 1 3
T
2
4
L
2
L()(dB) 0 0.1 5
10 15 20
0.2
0.3 0.4
0.6 0.8 1
T
2
34
6 8 10
七、一阶不稳定环节
传递函数: G s 1
Ts 1
➢1. 幅相频率特性
频率特性: G j 1
jT 1
G j
1
jT 1
1
1 T2
T
j1 T2
U
jV
U
1 2
2
V
2
1 2
2
一阶不稳定系统的幅相频
率特性是一个为（-1，j0）
为圆心，0.5为半径的半圆。
180O 90O
Im
1
对数频率特性Bede讲解
§5.3.2 系统开环对数频率特性 ( Bode) （3）
基准点 (? ? 1, L (1) ? 20 lg K ) 斜率 ? 20 ?v dB dec
??0.2 惯性环节 -20 ??0.5 一阶复合微分 +20 ??1 振荡环节 -40
⑸ 修正 ① 两惯性环节转折频率很接近时 ② 振荡环节 ? ? (0.38, 0.8) 时
⑹ 检查
① L(? ) 最右端曲线斜率=-20(n-m) dB/dec ② 转折点数=(惯性)+(一阶复合微分)+(振荡)+(二阶复合微分) ③ ?(?) ? -90°(n-m)
课程小结（1）
典型环节的频率特性
-1? j? T
j?
?2
?
1?
?
2 n
?
j 2? ?
n
e-? ?
1
?2
?
1?
?
2 n
?
j 2? ?n
? ?n
????
????1
-
? ?
2
2 n
???????
? ?? 1
L(? ) ? 0
?n
? (? ) ? 0? ? 360?
? ?? 1
?n
L(? ) ? ? 40 lg(? ? n )
? (? ) ? ? 180?
§5.3 对数频率特性 ( Bode) （7）
⑺ 二阶复合微分 G(s) ? ( s )2 ? 2? s ? 1
?
?
2 n
G(
j?
)
?
1?
? ?
2
2 n
1 ?
j 2?
? ?n
[1 [ L(? ) ? ? 20 lg
5.3 对数频率特性(Bode图)
172
图 5-27 振荡环节的 Bode 图
图 5-28 振荡环节的误差修正曲线 173
7．二阶复合微分环节
二阶复合微分环节 G(s) = ( s )2 + 2ξ s +1 的对数幅频特性和对数相频特性表达式
ωn
ωn
分别为
⎧ ⎪⎪L(ω) = 20 lg ⎨
⎡ ⎢1 ⎣
−
ω ( ωn
)2
⎤ ⎥ ⎦
2
+
(2ξ
ω ωn
)2
⎪⎪ϕ (ω ) ⎩
=
arctan
2ξω 1− (ω
ωn ωn )2
（5-56）
二阶复合微分环节与振荡环节成倒数关系，两者的 Bode 图关于频率轴对称。
8．延迟环节
延迟环节 G(s) = e−τs 的对数幅频特性和对数相频特性
表达式分别为
⎧⎪L(ω) = 20 lg G( jω) = 0 ⎨⎪⎩ϕ(ω) = −τω
171
振荡环节 G(s) = (
s
1 )2 + 2ξ
s
的对数幅频特性和对数相频特性表达式分别为
+1
ωn
ωn
⎧ ⎪L(ω) = −20 lg ⎪ ⎨
⎡ ⎢1
−
⎣
ω ( ωn
)2
⎤2 ⎥ ⎦
+
(2ξ
ω ωn
)2
⎪⎪ϕ (ω ) ⎩
=
−
arctan
2ξω 1− (ω
ωn ωn )2
（5-55）
当 ω << 1时，略去式（5-55）中 L(ω ) 的 ( ω )2 和 2ξ ω 项，有
（1）将开环传递函数写成尾 1 标准形式：
3-2 对数频率特性
2 2
10
L (ω )
dB
20 + 20 0
ϕ (ω )
90o 45o 0o
1 1 0T
1 T
10 T
ω
1 1 0T
1 T
10 T
ω
一阶微分环节高频渐近线的斜率是+20dB/dec， 其相位变化范围由0°（ω=0）经+45°至90° （ω=∞）
11
6。振荡环节 对数幅频特性 对数相频特性
G ( jω ) =
26
3
2. 积分环节
1 G ( jω) = jω
1 L (ω = 20lg G ( jω = 20lg ) ) = − 20lg ω (dB ) jω
当ω=1时 当ω=10时
L (ω) = − 20lg1 = 0 dB
L (ω) = − 20lg10 = − 2 0 dB
ω每增加10倍，L(ω)则衰减20dB，记为： －20dB/十倍频程，或-20dB/dec。或直接写成-20。
20 0 0 .1 −20 + 20
1
10
ω
ϕ (ω )
90
o
0
o
0 .1
Hale Waihona Puke 110ω5
4。惯性环节 。 惯性环节的幅频特性为
G ( jω = ) 1 1 + jω T
惯性环节的幅频特性
20lg 1 1 = 20lg = −20lg 1+ω2T 2 1+ jωT 1+ω2T 2
1 在 ω<< T 时（低频段）：
2 2 2
dω
dω
ωr =
1 1 − 2ζ 2 = ω n 1 − 2ζ 2 T
10
L (ω )
dB
20 + 20 0
ϕ (ω )
90o 45o 0o
1 1 0T
1 T
10 T
ω
1 1 0T
1 T
10 T
ω
一阶微分环节高频渐近线的斜率是+20dB/dec， 其相位变化范围由0°（ω=0）经+45°至90° （ω=∞）
11
6。振荡环节 对数幅频特性 对数相频特性
G ( jω ) =
26
3
2. 积分环节
1 G ( jω) = jω
1 L (ω = 20lg G ( jω = 20lg ) ) = − 20lg ω (dB ) jω
当ω=1时 当ω=10时
L (ω) = − 20lg1 = 0 dB
L (ω) = − 20lg10 = − 2 0 dB
ω每增加10倍，L(ω)则衰减20dB，记为： －20dB/十倍频程，或-20dB/dec。或直接写成-20。
20 0 0 .1 −20 + 20
1
10
ω
ϕ (ω )
90
o
0
o
0 .1
Hale Waihona Puke 110ω5
4。惯性环节 。 惯性环节的幅频特性为
G ( jω = ) 1 1 + jω T
惯性环节的幅频特性
20lg 1 1 = 20lg = −20lg 1+ω2T 2 1+ jωT 1+ω2T 2
1 在 ω<< T 时（低频段）：
2 2 2
dω
dω
ωr =
1 1 − 2ζ 2 = ω n 1 − 2ζ 2 T
对数 频率特性
相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。
一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横 坐标（频率轴）。
当幅制特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值 和增益的关系为：增益 20 log(幅值)
幅值A()
1.0 0
1.2 6
1.5 6
2.0 0
2.5 1
3.1 6
5.6 2
10. 0
Dec Dec Dec Dec
log
... 2 1 0 1 2
0
0.01 0.1
1
10 100
由于 以对数分度，所以零频率线在－∞处。
Thursday, September
10, 2020
2
更详细的刻度如下图所示
1
2
3 4 5 6 7 8 910
20
一倍频程 一倍频程 一倍频程
一倍频程
30 40 50 60 80 100 一倍频程
十倍频程 十倍频程
十倍频程
一倍频程 十倍频程
lg
0
1
2
ω １ 2 3 4 5 6 7 8 9 10
lgω
0.00 0
0.30 1
0.47 7
0.60 2
0.69 9
0.77 8
0.84 5
0.90 3
0.95 4
1.00 0
Thursday, September
10, 2020
3
纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L() 20log A() 表 示。其单位为分贝(dB)。直接将 20log A()值标注在纵坐标上。
第三节 对数频率特性
Thursday, September
10, 2020
一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横 坐标（频率轴）。
当幅制特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值 和增益的关系为：增益 20 log(幅值)
幅值A()
1.0 0
1.2 6
1.5 6
2.0 0
2.5 1
3.1 6
5.6 2
10. 0
Dec Dec Dec Dec
log
... 2 1 0 1 2
0
0.01 0.1
1
10 100
由于 以对数分度，所以零频率线在－∞处。
Thursday, September
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2
更详细的刻度如下图所示
1
2
3 4 5 6 7 8 910
20
一倍频程 一倍频程 一倍频程
一倍频程
30 40 50 60 80 100 一倍频程
十倍频程 十倍频程
十倍频程
一倍频程 十倍频程
lg
0
1
2
ω １ 2 3 4 5 6 7 8 9 10
lgω
0.00 0
0.30 1
0.47 7
0.60 2
0.69 9
0.77 8
0.84 5
0.90 3
0.95 4
1.00 0
Thursday, September
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3
纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L() 20log A() 表 示。其单位为分贝(dB)。直接将 20log A()值标注在纵坐标上。
第三节 对数频率特性
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? 关系
deg -100
-120
-140
-160
-180
-1
10
Phase of 2-order factor
? ? 0.1
0
1
10
10
0
-20
-40
-60
相频特性与 -80
? 关系
deg -100
-120
?
20log ? ?
2
2 n
?
?40log ? ?n
dB
高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-40分贝/十倍频程的直线
由于在
? ??n
时
? 40 log ? ? ?40 log1 ? 0 dB ?n
所以高频渐近线与低频渐近线在
? ? ? n 处相交。这个频率就是上述二阶因子的转角频率。
20
10
0
幅频特性与
请看下页
Asymptote 渐近线
0
Corner frequency
Bode Diagram of G(jw )=1/(jw T+1) T=0.1
-5
(dB) agnitude
-10 -15
M
-20
精确曲线 Exact curve
-25 0
Asymptote 渐近线
(deg) Phase
-45
精确曲线 Exact curve
? (? ) ? arctg (? T )
0
0
1
2
10
10
10
Frequency (rad/sec)
图: 一阶因子的对数频率特性曲线
L(? ) ? 20 log [1 ? (? T )2] ? 20 log ? T (dB)
4. 二阶因子
[1? 2? ( j? / ? n ) ? ( j? / ? n )2 ]?1
惯性环节
L(? ) ? 20 log 1 ? ? 20 log [1 ? (? T )2 ](dB)
1 ? j? T
(1 ? j? T ) ? 1
? (? ) ? ? arctg (? T )
低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线
相频特性
在低频时，即
? T ?? 1,
? ?? 1
T
L(? ) ? ? 20 log [1 ? (? T )2 ] ? ? 20 log1 ? 0(dB)
1
L(? ) ? 20 log ( j? ) n ? ? 20n log ? (dB)
? (? ) ? ? 90?? n
( j? ) n L(? ) ? 20log ( j? )n ? 20n log? (dB) ? (? ) ? 90?? n
这些幅频特性曲线将通过点 0dB,? ? 1
20
10
(dB)
1
1 ? 2? ( j ? ) ? ( j ? )2
?n
?n
L(?
)
?
20 log
1?
2? (
j
?
1 )?
(
j
?
)2
? ? 20 log
(1 ?
? ?
2
2 n
)2
?
(2?
? ?n
)2
?n
?n
低频渐近线为一条0分贝的水平线
在低频时，即当 ? ?? ? n
-20log1=0dB
在高频时，即当 ? ?? ? n
1 . 比例环节K
L(? ) ? 20 log K
? (? ) ? 0?
21
(dB) 20.5
agnitude
20
M 19.5
Bode Diagram of G(jw )=K=10
19 1
0.5
(deg) Phase
0
-0.5
-1
0
1
2
10
10
10
Frequency (rad/sec)
20 log(K ? 10) ? 20 log(K ) ? 20
? ?2
? ?1
-60 180
135
(deg) Phase
90 45
0
-45
-90
-1
10
图:
Bode Diagram
? ?3
-20dB/dec
-40dB/dec
-60dB/dec
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
1 的对数频率特性曲线
( j? )?
对数幅
3. 一阶因子(惯性和一阶微分) (1 ? j? T ) ?1 频特性
5.3 对数频率特性
对数坐标图 (Bode diagram or logarithmic plot)
对数频率 特性曲线
对数幅频特性 相频特性
20log G( j? ) dB
G( j? ) (?)
L(? )
? (? )
纵坐标均按线性分度
横坐标是角速率? 按 lg ? 分度 10倍频程，用dec
典型环节频率特性曲线的绘制
0
Magnitude
-10 -20
-30
-40 -89
Bode Diagram of G(jw )=1/(jw )
-20dB/dec
-89.5
(deg) Phase
-90
-90.5
-91
-1
0
1
2
10
10
10
10
Frequency (rad/sec)
图:积分环节的对数频率特性曲线
40
30
(dB)
20
2. 积分与微分环节 j? ?1
G( j? ) ? 1 j?
L(? ) ? 20log 1 ? ?20log? (dB) j?
? (? ) ? ? 90?
相差一个符号
L(? ) ? 20 log j? ? 20 log? (dB)
G( j? ) ? j?
? (? ) ? 90?
类推
(1/ j? ) n
Magnitude
10 0
-10
-20 91
Bode Diagram of G(jw)=jw
20dB/dec
90.5
(deg) Phase
90
89.5
89
-1
0
1
2
10
10
10
10
Frequency (rad/sec)
图:微分环节的对数频率特性曲线
60
40
(dB)
20
Magnitude
0 -20 -40
-90
0
1
2
10
10
10
Frequency (rad/sec)
图:惯性环节的对数频率特性[ 渐近线精确曲线]Fra bibliotek520
(dB) 15
Magnitude
10
5
0(dB)
0 90
Bode Diagram of G(jw )=jw T+1) T=0.1
20 log ? T (dB)
(deg) Phase
45
在高频时，即 ? T ?? 1, ? ?? 1 L(? ) ? ? 20 log [1 ? (? T )2 ] ? ? 20 log ? T (dB)
T
高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-20分贝/十倍频程的直线
下图表示了一阶因子的精确对数幅频特性曲线 及渐近线，以及精确(Exact curve)的相角曲线。
? 关系
dB -10
-20
-30
-40
-1
10
? ? 0.1
0
1
10
10
20
10
0
幅频特性与
? 关系
dB -10
-20
? ? 0.1
? ? 0.2 ? ? 0.3
? ? 0.5
? ? 0.7
? ? 1.0
-30
-40
-1
0
1
10
10
10
图: 二阶因子的对数幅频特性曲线
0
-20
-40
-60
相频特性与 -80