4.梁和刚架内力分析

静定结构的内力分析
结 构 力 学
有连续分布荷载（荷载垂直于杆轴）的直杆段AB，B端的剪力等 于A端的剪力减去该段分布荷载图的面积。B端的弯矩等于A端的弯 矩减去该段剪力图的面积。 4、内力图
表示内力沿杆轴变化规律的图形称为内力图。 （1）画内力图的有关规定：以杆轴表示横截面的位置，与杆轴垂直的坐标 轴表示对应横截面上的内力。正的轴力（剪力）画在轴线的上侧，负的轴力 （剪力）画在轴线的下侧，要标出正负。弯矩画在梁纤维受拉侧，一般不标
正负。
静定结构的内力分析
（2）画内力图的基本方法——控制截面法：其解题步骤一般为 利用静力平衡方程求支座反力； 以集中力、集中力偶、分布荷载的起始点作为分段点，把杆件分成若干段； 按截面法求控制截面（分段点所在截面）的内力； 根据内力与荷载的微分关系确定各分段内FQ与M的变化关系，进行连线； 校核所画内力图的正确性。 （3）画内力图的基本顺序：一般按弯矩图、剪力图、轴力图的顺序画； （4）完整内力图具备的五个要素：图名、单位、关键值、比例、正负。
B C
k
Q
P2
N M
C
B
结 构 力 学
P1
Q N
A
内力计算法则： （1）轴力等于隔离体上所有外力沿轴 线切线方向的投影代数和，对切开面 而言，外力为拉力产生正轴力，外力为
C
M
（3）弯矩等于隔离体上所有外力对 切开面形心力矩的代数和，对水平杆
压力产生负轴力； （2）剪力等于隔离体上所有外力沿
轴线法线方向投影代数和，对切开面 而言，使隔离体产生顺时针转动趋势 的外力为正的剪力；反之，使隔离体 产生逆时针转动趋势的外力引起负的
F1
F2
分析顺序：先附属部分， 后基本部分。
F1
静定结构的内力分析
示例
结 构 力 学
18 10
10 5
12
静定结构的内力分析
结 构 力 学
M图 （KN· m）
FQ图 （KN）
静定结构的内力分析
§3-3 静定平面刚架
一、刚架的概述
1、刚架的组成
结 构 力 学
由若干梁和柱用刚结点联结而成的结构。具有刚结点是刚架的主要特征。
于是，采用第二种方法所绘出的剪力图和第一种方法绘出的
1、截面上内力符号的规定：
静定结构的内力分析
N N
轴力—截面上应力沿杆轴切线方向的力，
使杆产生伸长变形为正，画轴力图要注明 正负号；
Q
结 构 力 学
Q
剪力—截面上应力沿杆轴法线方向的合 力, 使杆微段有顺时针方向转动趋势的 为正，画剪力图要注明正负号； 弯矩—截面上应力对截面形心的力矩之和,
M
M 不规定正负号。弯矩图画在杆件受拉一侧，
静定结构的组合式刚架
静定结构的内力分析 有基、附关系的刚架
结 构 力 学
附属部分
基本部分
静定结构的内力分析
3、刚架的特点
① 刚架的内部空间大，制作施工较方便。 ②刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。
结 构 力 学
③刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。
二、刚架的内力计算
1、刚架反力的计算
静定结构的内力分析
2、刚架内力图绘制的方法
内力计算或者说是内力图的绘制，其基本方法是截面法。按照计算的过程， 可以细分为两种： （1）一般的方法。首先按照前面的反力计算原则，计算出支座反力，然后
结 构 力 学
以各杆段作为控制截面，利用平衡条件求出各控制截面的内力，再根据内力
与外力的微积分关系，画出各杆的内力图，然后组合在一起，即为刚架的内 力图。 （2）逐步推进法。首先作出弯矩图，然后由利用弯矩图，借助力矩平衡 条件作出剪力图，再由剪力图，由结点投影平衡条件作出轴力图。 最后，要进行内力图的校核工作。即选取计算过程中未用到的结点或者杆 段作为隔离体，根据已绘出的内力图，利用隔离体的平衡方程校核计算正 误，然后再利用内、外力的微分关系校核内力图。
静定结构的内力分析
结 构 力 学
基本部分
图 （a） 多跨静定梁
附属部分 图 （b）计算简图
基本部分
图 （c）层次图
静定结构的内力分析
二、多跨静定梁的受力特点
由构造层次图可得到多跨静定梁的受力特点为：
力作用在基本部分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分
结 构 力 学
和基本部分都受力。 F2
把弯矩画在杆件纤维受拉一侧；轴力、剪力可画在杆件任一侧，但必须标出正负。
静定结构的内力分析
（2）杆段内力的标注方法如右图所示，即采用双脚标注法，第一个脚标表示 该内力作用端，第二个脚标表示杆件另一端。 （3）静定结构作内力图时，仍然采用控制截面法和叠加法，但通常是先作 M图，再作FQ图，最后作FN图。
1 2 ql 8
静定结构的内力分析
（3）对于任意直杆段，不论其内力是静定的还是超静定的；不论是等截 面杆或是变截面杆；不论该杆段内各相邻截面间是连续的还是定向联结还 是铰联结弯矩叠加法均适用 。 （4）利用叠加法可以少求或不求反力，就可绘制弯矩图。
结 构 力 学
（5）利用叠加法可以少求控制截面的弯矩。 （6）为了熟练使用该法，必须牢记简单荷载作用下简支梁的弯矩图。
Q M+d M
dQ q dx
MA QA
q(x)
dx
dM Q dx
Q+d Q
由d Q = – q· dx
QB QA q( x) dx
xA
xB
d 2M q 2 dx
由d M = Q· dx
M B M A Q( x) dx
xA
xB
静定结构的内力分析
若直杆段上无荷载作用，则剪力图是与轴线平行的一条直线，弯矩图是 一条斜直线；
M E 12 1 12kN m
（4）根据内力和荷载的微分关系，判断各段内剪力和弯矩图的变化规律。 （5）利用计算和分析直接绘出 FQ 和 M 图。
静定结构的内力分析
结 构 力 学
8
(a)
⊕
A
F C 2
E
B
(b) FQ 图（kN） A F C D 4 14 12 E
12
B
6
6.4
(c) M图 （kN· m）
A
B
M图（kN· m）
D 40 30
40
40kN
80kN
30 30
⊕
30
80
30
40
⊕
40
FQ图（kN）
FN图（kN）
80 30
80
E
30 80
静定结构的内力分析
90 60 D C E 60 D C E 180 180
结 构 力 学
A
B
30kN
方法二
40kN
80kN
A
B
M图（kN· m）
60
FQDC
Pl/4 l/2
M1
l/2
M2 P
M1
M2
Pl/4
静定结构的内力分析
2、直杆段弯矩图叠加法
P
C q

B
A
D
ห้องสมุดไป่ตู้
结 构 力 学
lCD
q
O
q

MCD
MDC
剪力＝支座反力
MCD
MDC
(MCD+MDC)/2
MDC MCD
分段叠加法的注意事项：
（1）弯矩图叠加是竖标相加，不是图形的拼合；
（2） 适用于外荷载作用下，结构材料处于线弹 性阶段OA，
结 构 力 学

若直杆段上作用均布荷载，则剪力图为一条斜直线，弯矩图为抛物线；
若直杆段上作用三角形分布荷载，则剪力图为抛物线，弯矩图为三 次 曲线；
在集中力作用点（集中力垂直与杆轴或有垂直于杆轴的分量）两侧截面， 剪力有突变，突变值即为该集中力或垂直于杆轴的分量；弯矩相同。 在集中力偶作用截面两侧，弯矩有突变，突变值即为该集中力偶；剪 力相同。
静定结构的内力分析
刚结点处的 变形特点 刚结点处的 受力特点
90 90 90
结 构 力 学
FP
30kN 90 6m
3m
3m 6m
M 图（KN· m）
静定结构的内力分析
2、刚架的类型
超静定刚架
悬臂刚架
结 构 力 学
静 定 刚 架
简支刚架
门式刚架
三铰刚架 多跨多层刚架
此外，还有一种组合式刚架，它也有静定与超静定之分，本章主要研究
(b) M 图（kN· m）
⊕
20 17.89 35.78`
⊕
17.89 8.94 80 17.89 8.94
(c) FQ 图（kN）
(d) FN 图（kN）
静定结构的内力分析
例题2. 试绘制图示简支刚架的内力图
60 60 D D E C C E 180 90 180
结 构 力 学
方法一
A
B
30kN
D C 0
由Σ MD=0,得 FQCD＝0
由ΣMC=0,得 FQDC=-30 kN 由ΣMD=0,得 FQED=-80 kN 由ΣME=0,得 FQED=40 kN
FQCD
20kN/m
FQDE
60
FQED
180
D
E
静定结构的内力分析
FQEB
E 180
由ΣME=0,得 FQBE=30 kN
由ΣMB=0,得 FQEB=30 kN
结 构 力 学
静定结构的内力分析
解（1）求支座反力：取整体AB为隔离体， 由静力平衡方程求得FAy=8kN,FBy=12kN。 （2）根据AB杆的实际受力情况可以分为
结 构 力 学
8 kN
AC、CD、DE、EB四段。
12 kN （3）利用截面法内力的计算公式，直接
求出控制截面A、C、D、E、B的内力。
剪力：
FQA 8kN
FQC 2kN
弯矩：
MA 0
MB 0
L FQD FQE FQC 2kN
R FQE FQB 12kN
M C 8 2 5 2 1 6kN m
L MD 8 3 5 2 2 4kN m
R MD 12 2 101 14kN m
结 构 力 学
§3-2 多跨静定梁
多跨静定梁，它是由若干根单跨梁用铰和链杆连接而成的静定结构，它 常用来跨越几个相连的跨度。在实际的工程结构中，桥梁和房屋的檩条多 采用这种结构形式。
一、多跨静定梁的几何组成特点
从几何构造看，多跨静定梁由基本部分及附属部分组成。
基本部分：不依赖于结构的其它部分，可以单独地与大地组成一个几何不 变体系，独立地承受荷载。 附属部分：必须依赖基本部分的支承才能构成几何不变体系而承受荷载。
q
p a
1 ql 2 pb l
l
l
b
pa l
1 ql 2
1 2 ql 8
pab l
当a=b M=pl/4
均布荷载作用
集中荷载作用
静定结构的内力分析
m a
l
p b a
p a l p
结 构 力 学
m l
mb l
ma l
m l
p
pa
pa
集中力偶作用
对称集中力作用
二、静定结构内力分析概述
静定结构的内力分析方法与单跨梁的基本相同，但需注意以下几点： （1）轴力与剪力的正负号规定与单跨梁相同，即轴力拉为正，剪力以使隔离 体上任一点有顺时针转动趋势者为正，弯矩一般不规定正负。但在作内力图时，
静定结构的内力分析
表3-1 内力图的特征
结 构 力 学
熟练掌握以上内力图的基本特征，帮助提高做题的准确度与效率！
静定结构的内力分析
5、分段叠加法做弯矩图
首先求出两杆端弯矩，连一虚线，然后以该虚线为基线，叠加上简支梁在
跨间荷载作用下的弯矩图。
结 构 力 学
1、简支梁弯矩图叠加法
M1
P M2
(M1+M2)/2
而言，使隔离体下侧受拉的外力引起
正的弯矩，使隔离体上侧受拉的外力 引起负的弯矩。
剪力；
静定结构的内力分析
3、荷载与内力的关系(未考虑沿杆件轴向的荷载作用)
（1）微分关系 q(x) （2）增量关系
P Q m M dx Q+ Q MB QB
Q P
M+ M
结 构 力 学
M
M m
dx
（3）增量关系 q
3、刚架内力图绘制的举例
静定结构的内力分析
例题1. 试绘制图示悬臂刚架的内力图
q= 10 kN/m
20kN 1m 1.5m
结论
10 35 70 10
20kN
对称结构在正对称荷 载作用下，其M图与 FN图为正对称，其FQ
结 构 力 学
图为反对称。
0.5m 2m 2m 0.5m
图 (a)
35.78 17.89 20
静定结构的内力分析
§3-1 概述
静定结构的内力分析主要指多跨静定梁、静定平面刚架、静定三铰拱、 静定平面桁架以及静定的组合结构的内力分析，它们的内力分析方法与材料力 学中单跨静定梁的内力分析方法基本相同，因而，首先对材料力学中有关这方
结 构 力 学
面的内容予以复习。
一、单跨静定梁的内力分析回顾
简支梁 单 跨 梁 外伸梁 悬臂梁
什么叫截面法？
不注符号。
2、用截面法计算制定截面的内力
截面法是指用假想的截面沿某制定截面把杆件截开，取其中一部分为隔 离体，根据静力平衡方程求出制定截面上内力的方法。 例1 某简支梁受到竖向荷载P1和斜向荷载P2，试求截面K-K的内力？
静定结构的内力分析
取右端为隔离体
P1
k
P2
A
取 左 端 为 隔 离 体
有以下几条原则可供把握： ① 对于悬臂和简支刚架，因为只有三个支座反力，所以可由刚架的三个整 体平衡方程直接求出全部支座反力； ② 对于三铰刚架，通常需要借助中间铰的力矩平衡方程才可以求出全部支 座反力； ③对于组合式刚架，通常要区分基本部分和附属部分，按照先附属部分后基 本部分的顺序求出支座反力。