第九章 多元函数微分法及其应用各种知识点计算一览

第九章 多元函数微分法及其应用各种知识点计算一览

1、求函数的定义域：略

2、求函数的表达式：略。如：已知(,)f x y xy +，求(,)f x y

3、计算函数的极限：可以用一元函数极限的知识以及使用两边夹定理。

4、证明多元函数极限不存在：通常是取两条不同的路径，计算出函数在这两条路径上的极限不等即可。也可设,y kx y kx ==2

等，证明极限值和k 有关。

如：,(,),xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

22

22220

00

5、讨论分界函数在分解点的连续性：只需按照连续的定义，lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=0

00。

6、计算函数(,)z f x y =的偏导数：只需将其中一个变量看作常数，对另一个变量求导。

7、计算分界函数在分界点的偏导数：一般需用偏导数的定义做。 (,)(,)

lim

x x x

x y y f x x y f x y z x =∆→=+∆-=∆00

00000

(,)(,)

lim

x x y

y y y f x y y f x y z y

=∆→=+∆-=∆00

00000

8、复合函数求偏导数口诀：分叉相加、分段相乘、单路全导、多路偏导。 9、隐函数求偏导数：(,)x y F dy F x y dx F =⇒

=-0或y x

F dy

dx F =- (,,),y x z z F F z z F x y z x F y F ∂∂=⇒

=-=-∂∂0或y x

F dy

dx F =-

（假设(,)z f x y =）(,,,)(,,,)F x y u v G x y u v =⎧⎨

=⎩

0方程组两边分别对,x y 求偏导数，再用消元法求解即可。（假设(,),(,)u u x y v v x y ==

10、全微分的计算：(,)x y z f x y dz z dx z dy =⇒=+

(,,)x y z u f x y z du u dx u dy u dz =⇒=++

(,)z f x y =全微分存在的判断方法一：,x y z z 存在且连续

(,)z f x y =全微分存在的判断方法二：

需要证明()

lim

x y z z x z y ρρ

→∆-∆+∆=0

0，

其中(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-

，ρ=11、计算二阶偏导数：xx z 是x z 对x 的偏导数，xy z 是x z 对y 的偏导数。

抽象二阶偏导数的计算：以(,)z f x y xy =+为例，要注意f '1表示z 对中间变量

()u x y =+的偏导数，f '2表示z 对中间变量()v xy =的偏导数。而f '1和f '2依然是和(,)z f x y xy =+一样的复合结构。

12、求曲面(,,)F x y z =0在点(,)x y 00的切平面方程：

(,,)()(,,)()(,,)()x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=0000000000000 （1） ((,,),(,,),(,,))x y y F x y z F x y z F x y z 000000000称为曲面在点(,)x y 00处的法向量。

求曲面(,,)F x y z =0在点(,)x y 00的法线方程：

(,,)(,,)(,,)

x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---==

000

000000000 特殊地，曲面(,)z f x y =在点(,)x y 00的切平面方程的求法是： 设(,,)(,)F x y z f x y z =-，在应用公式（1）即可。最好将结果记住：

(,)()(,)()()x y f x y x x f x y y y z z -+---=00000000

曲面(,)z f x y =在点(,)x y 00的法线方程的求法是：

(,)(,)x y x x y y z z f x y f x y ---==

-000

00001

13、空间曲线

()

()

()

x x t

y y t

z z t

=

⎧

⎪

=

⎨

⎪=

⎩

在点t t

=

处的切线方程是：

()()()

()()() x x t y y t z z t

x t y t z t

---

==

'''

000

000

空间曲线

()

()

()

x x t

y y t

z z t

=

⎧

⎪

=

⎨

⎪=

⎩

在点t t

=

处的法平面方程是：

()()()

()()()()()()

x t x x t y t y y t z t z z t

'''

+-+-+-= 000000

0这是切线

这是曲线

这是切点这是法平面

这是切点

这是切平面

这是法线