人教A版1.2空间向量的基本定理基础练习题

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人教A版高中数学选择性必修第一册课后习题第1章空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理 (2)

1.2 空间向量基本定理课后训练巩固提升1.已知a,b,c 是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是( )A.3a,a-b,a+2bB.2b,b-2a,b+2aC.a,2b,b-cD.c,a+c,a-c解析:对于A,由于3a=2(a-b)+a+2b,故向量3a,a-b,a+2b 共面,不能作为基底,故A 不符;同理可判断B,D 不符;对于C,因为不存在实数m,n,使得a=m·2b+n·(b -c),所以三个向量不共面.故选C. 答案:C2.已知平行六面体OABC-O'A'B'C',OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,D 是四边形OABC 的对角线的交点,则( ) A.O 'D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+b+cB.O 'D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-b-12a-12cC.O 'D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a-b-12cD.O 'D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a-b+12c解析:O 'D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =O 'O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC⃗⃗⃗⃗⃗ =12a-b+12c.答案:D3.已知在正方体ABCD-A'B'C'D'中,O 1,O 2,O 3分别是AC,AB',AD'的中点,以{AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 1,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 3}为基底,AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 1+y AO 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 3,则x,y,z 的值是( ) A.x=y=z=1 B.x=y=z=12C.x=y=z=√22D.x=y=z=2解析:AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AO 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AO 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AO 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,由空间向量基本定理,得x=y=z=1. 答案:A4.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各棱长都为2,E,F 分别是AB,A 1C 1的中点,则EF 的长是( ) A.2B.√3C.√5D.√7解析:∵EF ⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|EA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,<EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°,∴EF ⃗⃗⃗⃗ 2=|EF ⃗⃗⃗⃗ |2=(EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|EA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2(EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=1+4+1-1=5.因此|EF ⃗⃗⃗⃗ |=√5,即EF 的长为√5. 答案:C5.设{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k,则向量a 与b 的位置关系是 . 解析:∵a·b=-6i 2+8j 2-2k 2=-6+8-2=0.∴a ⊥b. 答案:a ⊥b6.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E,F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心,若EF ⃗⃗⃗⃗ +λA 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0(λ∈R),则λ= .解析:如图,连接A 1D,A 1C 1,C 1D,则E 在A 1C 1上,F 在C 1D 上,易知EF12A 1D.所以EF ⃗⃗⃗⃗ =12A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即EF ⃗⃗⃗⃗ −12A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以λ=-12.答案:-127.如图,已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各条棱长度相等,M 是侧棱CC 1的中点,则异面直线AB 1和BM 所成角的大小是 .解析:设棱长为2.∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0-2+2-0=0.∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AB 1⊥BM. 答案:90°8.如图,设四面体OABC 的三条棱OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,G 为△ABC 的重心,以{a,b,c}为空间的一个基底表示向量BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OG⃗⃗⃗⃗⃗ .解:由G 为△ABC 的重心,易知E 为AC 的中点, 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12[(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(OC⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ )]=12[(a-b)+(c-b)]=12(a+c-2b), OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+23BE⃗⃗⃗⃗⃗ =b+13(a+c-2b)=13(a+b+c).9.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E 分别为AB,BB'的中点.(1)求证:CE ⊥A'D;(2)求CE 与AC'所成角的余弦值.答案：(1)证明:设CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则{a,b,c}构成空间的一个基底. 根据题意,|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0.∵CE ⃗⃗⃗⃗ =b+12c,A 'D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-c+12b-12a, ∴CE ⃗⃗⃗⃗ ·A 'D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12c 2+12b 2=0, ∴CE ⃗⃗⃗⃗ ⊥A 'D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴CE ⊥A'D. (2)解:∵AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a+c,CE ⃗⃗⃗⃗ =b+12c,∴|AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2|a|,|CE ⃗⃗⃗⃗ |=√52|a|,又AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗ =(-a+c)·(b +12c)=12c 2=12|a|2,∴cos<AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗ >=12|a |2√2×√52|a |2=√1010. 故E 与AC'所成角的余弦值为√1010.。

人教A版选择性必修第一册1.2空间向量基本定理

2
2 2

cos CE , AG

5
5
5
CE AG

2
2
2
故CE 与AG所成角的余弦值为 .
5
D
A
C
E
F
G
B
D
A
C
B
课堂小结
空间向量基本定理及其应用

的中点.求证 ⊥ 1 .
D1
分析：要证MN AC1 , 只需证明 MN AC1 0.
M
A1
B1
由已知,{ AB , AD, AA1 }可构成空间的一个基底,
把 MN 和 AC1分别用基底表示 ,
然后计算 MN AC1即可 .
证明：设 AB a , AD b, AA1 c这三个向
别为 C D, AD, DD的中点.
(1)求证： ∥ ；
(2)求与所成角的余弦值.
1
(2) 解：因为CE CC' C'E j k ,
2
1
AG AD DG i k
2
1
1

j k i k

CE AG
量不共面,{a , b, c }构成空间的一个基底,
D
A
N
C
B
C1
典例分析
解我们用它们表示 MN , AC1 , 则
：
1
1
MN MC1 C1 N a b, AC1 AB BC CC1 a b c .
2
2
1
1
MN AC1 a b (a b c )

1.2 空间向量基本定理(分层练习)(人教A版2019选择性必修第一册)

1.2 空间向量基本定理基础练巩固新知夯实基础1.O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则 ( )A.OA →、OB →、OC →共线B.OA →、OB →共线C.OB →、OC →共线 D ．O 、A 、B 、C 四点共面2.以下四个命题中正确的是( )A ．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B ．若{a ，b ，c }为空间向量的一组基底，则a ，b ，c 全不是零向量C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底3.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AB →＝3i ，AD →＝2j ，AA 1→＝5k ，则AC 1→( )A ．i ＋j ＋k B.13i ＋12j ＋15k C ．3i ＋2j ＋5k D ．3i ＋2j －5k 4.已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是 ( )A ．aB ．bC ．a ＋2bD ．a ＋2c5.(多选)下列说法正确的是( )A ．若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底D ．基底{a ，b ，c }中基向量与基底{e ，f ，g }中基向量对应相等6．已知空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC→＝c ，则MN →等于( )A.12a ＋12b －23c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a －23b ＋12c D.23a ＋23b －12c 7.在四棱锥P ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB→＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.8.已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量法证明：E ，F ，G ，H 四点共面．能力练综合应用核心素养9.给出下列两个命题：△如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a ，b 的关系是不共线；△O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB → ，OC →不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面．其中正确的命题是( )A ．仅△B ．仅△C ．△△D ．都不正确10.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的是 ( )△(AB →＋BC →)＋CC 1→；△(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；△(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；△(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△△△11. (多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －c12.如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有( )A ．a 与b 共线B ．a 与b 同向C ．a 与b 反向D ．a 与b 共面13.对于空间的四个向量a ，b ，c ，d 最多能构成的基底个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．414.已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．15.在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.16.如下图所示，平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→.(2)设G 、H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.【参考答案】1.D 解析由OA →、OB →、OC →不能构成基底知OA →、OB →、OC →三向量共面，所以O 、A 、B 、C 四点共面．2.B 解析使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其它三个不共面．．．的向量来表示，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是AB →·AC →＝0，可能是BC →·BA →＝0，也可能是CA →·CB →＝0，故C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D 不正确，故选B.3.C4.D 解析能与p ，q 构成基底，则与p ，q 不共面．△a ＝p ＋q 2，b ＝p －q 2，a ＋2b ＝32p －12q. △A 、B 、C 都不合题意．因为{a ，b ，c }为基底，△a ＋2c 与p ，q 不共面，可构成基底．5. AC 解析 A 项中若a ，b 不共线，则任意与a ，b 不共面的向量就可以和a ，b 构成空间的一个基底，A 对；B 项中空间基底有无数个，B 错；C 项显然正确；D 项中因为基底不唯一，所以D 错．6.B 解析 MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12b ＋12c －23a . 7.23a －13b ＋23c 解析因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →.又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ，所以PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b )＝23a －13b ＋23c . 8.证明 ∵E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边的中点，∴FG →＝EH →＝12BD →.∴EG →＝EF →＋FG →＝EF →＋EH →，∴E ，F ，G ，H 四点共面．9.B 解析 ①对空间任意向量c ，都有c 与a 、b 共面，则必有a 与b 共线，∴①错；②∵OA →、OB →、OC →不能构成空间的基底，∴OA →、OB →、OC →必共面，故存在实数λ，μ，使OA →＝λOB →＋μOC →，∴O 、A 、B 、C 四点共面，∴②正确．10.D 解析 ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.11.ABD 解析对于A ，因为2a ＝34(a －b )＋32(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝34(b －a )＋32(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝21(a ＋c )－21(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.12.A 解析由定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B ，C 都是A 的一种情况．空间中任两个向量都是共面的，故D 错．13.D 解析最多的情况是a ，b ，c ，d 中任两个不共线，任三个不共面，从中任选三个都可做一组基底，共4个．14.0 解析 △A ，B ，C 三点共线，△存在唯一实数k 使AB →＝kAC →，即OB →－OA →＝k (OC →－OA →)，△(k －1)OA →＋OB →－kOC →＝0.又λOA →＋mOB →－nOC →＝0，令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ，则λ＋m ＋n ＝0. 15. 12a ＋14b ＋14c 16.解析 (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c .AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a .(2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH →＝－12(OB →＋OC ′→)＋12(OB ′→＋OO ′→)＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c )＝12(c －b )。

人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件第一章 1.2 空间向量基本定理

∴ ⟨,⟩ =

(

+

+ ) −
⋅
⋅
||||

−

=

,

⋅=

×

=

∴异面直线与所成的角为 .

,||

,

=

(

+

−

)

=

.

C级学科素养创新练
8.已知向量，，可以构成空间向量的一个基底，则这三个向量中哪一个向量
C
[解析]对于A,若,,不全为0,则向量,,共面,与题意矛盾,故A正确;对于B,向量,,
两两共面,但向量,,不共面,故B正确;对于C,向量,,不共面,则不存在实数,,使得
= + ,故C错误;对于D,若向量 + , − , + 共面,则
= ,

∴ = = ( + + ) = + + .故选B.
3.[北师大版教材习题]在平行六面体 − ′′′′中，已知，，′为三条
不共面的线段，若′ = + 2 + 3′,则 + + 的值为() B
2
∠1 = ∠1 = ∠ = 60∘ ，则线段1 的长为____.
[解析]如图， = + + ，
∴ |
|
= ( + +

1.2 空间向量基本定理(分层作业)(人教A版2019选修第一册)(原卷版)

1.2空间向量基本定理（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知三棱锥O —ABC ，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN 等于（）A ．()12c a b --B ．()12b ac --C ．()12a cb --D ．()12c a b ++2．（2022·全国·高二）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（）A ．1122a b c-+B ．1122a b c++C ．1122a b c--+D ．1122-++a b c3．（2022·全国·高二）已知O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则一定有（）A ．OA ，OB ，OC 共线B ．O ，A ，B ，C 中至少有三点共线C ．OA OB +与OC 共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面4．（2022·江苏·高二课时练习）设向量{,,}a b c 是空间一个基底，则一定可以与向量,p a b q a b =+=-构成空间的另一个基底的向量是()A ．aB ．bC ．cD ．a 或b5．（2022·江苏·泰州中学高二期中）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1CM MD =，14CQ QA =，则（）A ．11122AM AB AD AA =++B ．11122AQ AB AD AA =++C ．1113444AQ AB AD AA =++D ．1114555AQ AB AD AA =++6．（2022·江苏南通·高二期末）在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点D 满足BD BC λ=，E 为AD 的中点，且111244OE a b c =++，则λ=（）A ．12B ．14C ．13D ．237．（2022·广东梅州·高二期末）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a =，AD b =，c AP =，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A ．1132a b c++B ．1162a b c-++C ．1132a b c-+D ．1162a b c--+二、多选题8．（2022·全国·高二）若{},,a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A ．b c +r r，b ，b c-r r B ．a ，a b +，a b -C ．a b +，a b -，c D ．a b +，a b c ++，c9．（2022·江苏南通·高二期末）已知a ，b ，c 是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）A ．若//a b ，//b c ，则//a cB ．若a ，b ，c 两两共面，则a ，b ，c 共面C ．对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc =++D ．若{}a b c ，，是空间的一组基底，则{}a b b c c a +++，，也是空间的一组基底10．（2022·福建·上杭县第二中学高二阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．已知向量{},,a b c 是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底D ．若0a b ⋅<，则,a b 是钝角11．（2022·江苏·高二阶段练习）下面四个结论正确的是（）A ．空间向量a ，b （0a ≠，0b ≠），若a b ⊥，则0a b ⋅=B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{,,}a b m 也是空间的一组基底D ．任意向量a ，b ，c ，满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅三、填空题12．（2022·全国·高二课时练习）正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是上底面1111D C B A 的中心，若1AE xAB y AD z AA =++，则x y z ++=___________.13．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11AC 的中点，若AB a =，BC b =，1AA c =，则BM =______．（用a 、b 、c 表示）14．（2022·全国·高二）如图，在四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，设1AB e =，2AC e =，3AD e =uuu r u r ，请用1e ､2e ､3e 的线性组合表示DE =uuu r___________.四、解答题15．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知在三棱锥A BCD -中，向量AB a =，AC b =，AD c =uuu r r，已知M 为BC 的中点，试用a 、b 、c 表示向量DM ．16．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ，AD ，1AA 两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P 在线段BC 上，且3BP BC =，记a AB =，b AD =，1c AA =．试用a ，b ，c 表示1D P ．17．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知1111ABCD A B C D -是平行六面体．(1)化简1AA BC AB ++；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面11BCC B 对角线1BC 上的34分点，设1MN AB AD AA αβγ=++，试求α，β，γ的值．【能力提升】一、单选题1．（2022·江苏扬州·高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 和BD 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列式子中与1MB 相等的是（）A ．1122-+a b cB ．1122a b c+-C ．1122a b c-++D ．1122--+a b c2．（2022·全国·高二课时练习）在以下命题中，真命题的是（）．A ．a b a b -=+是a 、b 共线的充要条件B ．若a b ∥，则存在唯一的实数λ，使a bλ=C ．对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若22OP OA OB OC =--，则P 、A 、B 、C 四点共面D ．若a 、b 、c 是不共面的向量，则a b +、b c +、c a +的线性组合可以表示空间中的所有向量3．（2022·上海市建平中学高二期末）已知A ､B ､C ､D ､E 是空间中的五个点，其中点A ､B ､C 不共线，则“DE平面ABC ”是“存在实数x ､y ，使得DE x AB y AC =+的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2022·广东·高二阶段练习）在三棱锥A BCD -中，P 为BCD △内一点，若1PBCS=，2=PCDS，3PBDS=，则AP =（）A ．111362AB AC AD++B ．111263AB AC AD ++C ．111326AB AC AD++D ．111632AB AC AD ++5．（2022·河北邢台·高二阶段练习）如图．空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则NM =（）A ．123122a b c-+B ．122132a b c-++C ．122121a b c+-D ．211322a b c--二、多选题6．（2022·广东惠州·高二期末）下面四个结论正确的是（）A ．空间向量a ，()0,0b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一组基底D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅r r r r r r7．（2022·浙江宁波·高二期末）若OA ，OB ，OC 是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为θ，则（）A ．θ的取值范围是()0,πB ．{},,OA AB BC 能构成空间的一个基底C ．“2OP OA OB OC =-+”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件D ．()OA OB OC BC ++⋅=8．（2021·全国·高二期中）在四面体P ABC -中，以下说法正确的有（）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD =B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则1MN =D ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=三、填空题9．（2022·全国·高二课时练习）已知123,,e e e 是空间单位向量，12233113e e e e e e ⋅=⋅=⋅=，若空间向量a 满足()120,0a xe ye x y =+>>，4a =，则3a e ⋅的最大值是_______.10．（2021·全国·高二课时练习）如图在正方体1111ABCD A B C D -中，已知1A A a =,11A B b =,11A D c =,O 为底面的ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，则AG =______四、解答题11．（2022·全国·高二课时练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点．(1)设AB a =，AD b =，1AA c =，用向量a 、b 、c 表示1A E ；(2)设1AB a =，1AD b =，AC c =，用向量a 、b 、c 表示1A E ．12．（2022·全国·高二课时练习）A 是BCD △所在平面外一点，G 是BCD △的重心，M 、E 分别是BD 、AG 的中点，点F 在线段AM 上，25AF AM =，判断三点C 、E 、F 是否共线．13．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12C C EC =，13AC FC =．(1)求证：A 、F 、E 三点共线；(2)若点G 是平行四边形11B BCC 的中心，求证：D 、F 、G 三点共线．。

1.2空间向量基本定理-基础练(解析版).docx

1.2空间向量基本定理-基础练一、选择题1.有以下命题：①如果向量疋，牙与任何向量不能组成空间向量的一组基底，那么〒的关系是不共线：②OJ、HC为空间四点，且向^oA,oB,o5不组成空间的一个基底，则点O.A.B.C-^共而：③已知向量万,了,疋是空间的一个基底，则向量N + 了，N-了，疋也是空间的一个基底•英中正确的命题是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【参考答案】C【解析】①如果向量疋,飞与任何向虽不能组成空间向於的一组基底.那么疋,7的关系是不共线，不正确.反例：如果7中有…个向量为零向量.N, 7共线但不能组成空讪叩上的一组基底,所以不正确.②OAB.C为空间四点，且向量刃，丙，况不组成空间的一个基底，那么点O AB,C •定共而：这是正确的.③已知向量N, T,疋是空间的一个基底,则向星万+〒,万一T, W，也是空间的一个基底：因为三个向量非零不共线，正确.故选C.2•设向量a.b.c不共而，则下列可作为空间的一个基底的是（）A.{a+b.b-a.a}B.{ a+b,b-a,b}C.{ a+b.b-a.c}D.{ a+b+c.a+b.c}【参考答案】c【解析】由已知及向量共而加理，易得a+b.b-a.c不共而，故可作为空间的一个基底.3.如图，在平行六而体ABCD-AiBiCiDi中"C与BD的交点为点A/.=a=b=cJi］下列向呈:中与相等的向量是（）A.-a+b+cB.a+b+cC.-a-b-cD.-a-b+c【参考答案】c【解析】）-（）=-a-b-c.4.已知OAbC为空间不共而的四点，且向虽:曲,向量b=，则不能与a.b组成空间的一个基底的是（）A. B. C. D.【参考答案】C【解析】：'a=.b=,・：（a-b）,・：与向量a.b共面,• ：ab不能组成空间的一个基底.5.（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（）A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B.已知向量方///；,则厶』与任何向量都不能组成空间的一个基底C.A、B、M、N是空间四点，若丽，丽,丽不能组成空间的一个基底，那么A、BMN共而D.已知向量{",可组是空间的一个基底，若fn = a+c^\{a,b,m}也是空间的一个基底【参考答案】ABCD【解析】选项A中.根据空间基底的概念，可得任意三个不共而的向量都可以作为一个空间肚底•所以A止确：选项8中，根据空间基底的概念，可得B正确：选项C中.由丽，丽.丽不能组成空间的一个基底，可得共而,又由页，丽；丽过相同点得A、B、M、N四点共而，所以C正确：选项D中：由仏乙,：}是空间的一个基底，则基向量f 川］就不=方+ ：—疋不共而.所以可以组成空间另一个基底，所以D正确.故选：ABCD.6.（多选题）设工是空间一个基底（）A.若“丄5屮丄芒，则〃丄0B.则"工两两共而，但不可能共而C.对空间任一向量"，总存在有序实数组（x?\叫使"= Xii + W +疋D.则〃 +厶，/； + c：,个+ 〃一泄能组成空间的一个基底【分析】利用N /疋是空间一个基底的性质宜接求解.【解答】解：由「心是空间一个基底，知：在A中，若〃丄b上丄8 ,则N与°相交或平行，故A错误；在“中,"工两两共而，但ab^c不可能共而，故B正确：在C中,对空间任一向量P.总存在有序实数组“，卩，2）,使"=加+ W + zc，故C正确；D^Ji + b .b+c s+li能组成空间的一个基底，故D正确.故选：BCD.二、填空题7•在空间四边形OABC中,=a.=b.=c,点M在线段AC上，且AM=2MC,点N是OB的中点，则= ______【参考答案】-a+b-c【解析】）,，（ac）-a+b=-a+b-c.8.在正方体ABCD-AiB^Di中，设=a=b.=c^iCi与B）Di的交点为£则=_________________ .【参考答案】-a+b+c【解析】如图,）=）=.a+b+c.9•若a=ei+e2.b=e2+e3X=ei+e3，d=e]+2e2+3e3,若ei.e》.© 不共而，当(1=如+妙)+徑时,a+0+y= .【参考答案】3【解析】由已知d=(a+y)ei+(a+“)e2+(?+“)e3,所以故有a+B+y=3・10.（2020山东荷泽四中髙二期末）在正四而体ABCD中,M/V分别为棱BC、A3的中点，设AB = a .AC = b ^AD = c用；C表示向^DM= _____________________ 异面直线DM与CN所成角的余弦值为_________ ・【解析】画出对应的正四而体，设棱长均为1则三. 解答题11. 已知｛ei,e2,e 3｝是空间的一个基底，且OA =ei+2e 2-e 3,o§ =-3ei+e 2+2e 3,OC =ei+e 2-e3,U^W ｛ CM,OB,OC ｝能否作为空间的一个基底?若能，试以此基底表示向量而 =2ere 2+3e 3 ；若不能，请说明理由.【参考答案】^ ob=^OA-5oB -30oc .【解析】能作为空间的一组基底.假设页，西,况共而•由向G 洪而的充要条件知存在实数心使=A OB +yOC 成立 e ｛ +爲_召=x(-3e l +e 2 +爲)+y(e x +e^-3e^) = (-3x+y)e[+(x+y)呂+(2x-刃&又因为｛勺，勺心｝是空W J 的一个基底，所以百忑耳不共£-3x + y = 1,因此＜ x + y = 2,此方程组无解，即不存在实数xy 使丙+.vOC •2r )=l,所以鬲，刃，况不共而•故｛鬲,西.龙｝能作为空间的一个基底.设 OD=POA 十qUS +z 况，则有2e\-e 2 + 込=〃(弓+2勺-e i )+q(-3e l +e 2 +2®) + z (弓+勺一6)= (“_3q + z )G + (2〃 + q + z)& + (_/? + 2g_z )sp ・3q + z = 2, 2" + § + z = -l,•解得 < ・p + 2g ・z = 3, 故 OD=^OA^OB^OC12•如图，已知正方体ABCDABCD ：点E 是上底而A'BCD 的中心，取向量为基底的基向量，在下列条件下,分别求料忆的值. (l)=x+y+z ；(2)=x+y+z.2DM -2CN\ 0 + 乙-2?).(方-M)1一1 + — 一2 — 1 + 2 丄.〃 =17,q = 5Z = -30.因为陽瓦习为空间的-个基底，所以＜【参考答案】见解析【解析】(1)因为又*y+z, 所以.x=Ly=-l^:=l.(2)因为=)=,又=x+y+z.所以・*=尸忆=1・。

高中试卷-1.2 空间向量基本定理-基础练(含答案)

1.2 空间向量基本定理-基础练一、选择题1.有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是A.B. C. D. 【答案】C【解析】如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线，不正确．反例：如果中有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．，A ，B ，C 为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；这是正确的．已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选C ．2.设向量a ,b ,c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A.{a+b ,b-a ,a }B.{a+b ,b-a ,b }C.{a+b ,b-a ,c }D.{a+b+c ,a+b ,c }【答案】C【解析】由已知及向量共面定理,易得a+b ,b-a ,c 不共面,故可作为空间的一个基底.3.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为点M ,AB =a ,AD =b ,AA 1=c ,则下列向量中与C 1M 相等的向量是( )A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.-12a -12b -cD.-12a -12b +c 【答案】C 【解析】C 1M =AM ―AC 1=12(AB +AD )-(AB +BC +CC 1)=-12a -12b -c .4.已知O ,A ,B ,C 为空间不共面的四点,且向量a =OA +OB +OC ,向量b =OA +OB ―OC ,则不能与a ,b 构成空间的一个基底的是( )A.OAB.OBC.OCD.OA 或OB【答案】C 【解析】∵a =OA +OB +OC ,b =OA +OB ―OC ,∴OC =12(a -b ),∴OC 与向量a ,b 共面,∴OC ,a ,b 不能构成空间的一个基底.5．（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b v v ，则,a b v v 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN uuu v uuuu v uuu v不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面D ．已知向量{},,a b c v v v 组是空间的一个基底，若m a c =+v v v ，则{},,a b m v v v 也是空间的一个基底【答案】ABCD【解析】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 共面，又由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c r r r 是空间的一个基底，则基向量,a b r r 与向量m a c =+u r r r 一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确．故选：ABCD.6．（多选题）设a r ，b r ，c r 是空间一个基底( )A ．若a b ^r r ，b c ^r r ，则a c^r r B ．则a r ，b r ，c r 两两共面，但a r ，b r ，c r 不可能共面C ．对空间任一向量p r ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc=++r r r r D ．则a b +r r ，b c +r r ，c a +r r 一定能构成空间的一个基底【分析】利用a r ，b r ，c r 是空间一个基底的性质直接求解．【解答】解：由a r ，b r ，c r 是空间一个基底，知：在A 中，若a b ^r r ，b c ^r r ，则a r 与c r 相交或平行，故A 错误；在B 中，a r ，b r ，c r 两两共面，但a r ，b r ，c r 不可能共面，故B 正确；在C 中，对空间任一向量p r ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc =++r r r r ，故C 正确；在D 中，a b +r r ，b c +r r ，c a +r r 一定能构成空间的一个基底，故D 正确．故选：BCD ．二、填空题7.在空间四边形OABC 中,OA =a ,OB =b ,OC =c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,点N 是OB 的中点,则MN =______.【答案】 -13a +12b -23c 【解析】MA =23CA =23(OA ―OC ),ON =12OB , MN =MO +ON =MA +AO +ON =23(a -c )-a +12b =-13a +12b -23c .8．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,设AB =a ,AD =b ,AA 1=c ,A 1C 1与B 1D 1的交点为E ,则BE = .【答案】 -12a +12b +c 【解析】如图,BE =BB 1+B 1E =AA 1+12(B 1C 1+B 1A 1)=AA 1+12(AD ―AB )=-12a +12b +c .9.若a=e 1+e 2,b=e 2+e 3,c=e 1+e 3,d=e 1+2e 2+3e 3,若e 1,e 2,e 3不共面,当d =αa +βb +γc 时,α+β+γ= .【答案】3【解析】由已知d =(α+γ)e 1+(α+β)e 2+(γ+β)e 3,所以α+γ=1,α+β=2,γ+β=3,故有α+β+γ=3.10．（2020山东菏泽四中高二期末）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =uuu r r ，AC b =uuu r r ，AD c =u u u r r ，用a r ，b r ，c r 表示向量DM =uuuu r ______，异面直线D M 与CN 所成角的余弦值为______.【答案】()122a b c +-r r r . 16. 【解析】画出对应的正四面体,设棱长均为1则(1) ()()11222DM DA AM c a b a b c =+=-++=+-uuuu r uuu r uuuu r r r r r r r .(2)由(1) ()122DM a b c =+-uuuu r r r r ,又()11222CN AN AC a b a b =-=-=-uuu r uuu r uuu r r r r r .又12a b a c b c ×=×=×=r r r r r r .设异面直线D M 与CN 所成角为q 则cos q 22111212222412=336a ab a b b ac b c-+--+-×+×--×+×==r r r r r r r r r r .三、解答题11.已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且OA uuu r =e 1+2e 2-e 3,OB uuu r =-3e 1+e 2+2e 3,OC uuu r =e 1+e 2-e 3,试判断{,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r }能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量OD uuu r =2e 1-e 2+3e 3;若不能,请说明理由.【答案】能，OD uuu r =17OA uuu r -5OB uuu r -30OC uuu r ．【解析】能作为空间的一组基底．假设,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 共面,由向量共面的充要条件知存在实数x ,y 使OA uuu r =x OB uuu r +y OC uuu r 成立123123123123+2(3+2)(+3)(3)()(2)e e e x e e e y e e e x y e x y e x y e -=-++-=-++++-u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv 又因为{}123,,e e e u v u u v uv 是空间的一个基底,所以123,,e e e u r u u r ur 不共面.因此-31,2,2--1,x y x y x y +=ìï+=íï=î此方程组无解,即不存在实数x ,y 使OA uuu r =x OB uuu r +y OC uuu r ,所以,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 不共面.故{,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r}能作为空间的一个基底.设OD uuu r =p OA uuu r +q OB uuu r +z OC uuu r ,则有12312312312323(+2)(3+2)(+)e e e p e e e q e e e z e e e -+=-+-++-u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv 123(3)(2)(2)p q z e p q z e p q z e =-+++++-+-u v u u v uv 因为{}123,,e e e u v u u v uv 为空间的一个基底,所以-32,2-1,-2-3,p q z p q z p q z +=ìï++=íï+=î解得17,-5,-30.p q z =ìï=íï=î故OD uuu r =17OA uuu r -5OB uuu r -30OC uuu r.12.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E 是上底面A'B'C'D'的中心,取向量AB ,AD ,AA '为基底的基向量,在下列条件下,分别求x ,y ,z 的值.(1)BD '=x AD +y AB +z AA ';(2)AE =x AD +y AB +z AA '.【答案】见解析【解析】 (1)因为BD '=BD +DD '=BA +AD +DD '=-AB +AD +AA ',又BD '=x AD +y AB +z AA ',所以x=1,y=-1,z=1.(2)因为AE =AA '+A 'E =AA '+12A 'C '=AA '+12(A 'B '+A 'D ')=12AD +12AB +AA ',又AE =x AD +y AB +z AA ',所以x=12,y=12,z=1.。

人教A版高中数学选择性必修第一册课后习题第一章 1.2 空间向量基本定理

1.2 空间向量基本定理A 级必备知识基础练1.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则下列向量中与C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.-12a-12b-cD.-12a-12b+c2.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,点E 为上底面A 1B 1C 1D 1的中心,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x,y 的值分别为( ) A.1,1B.1,12C.12,12D.12,13.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,A 1C 1与B 1D 1的交点为E,则BE⃗⃗⃗⃗⃗ = . 4.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°.求证:AB ⊥AC 1.B 级关键能力提升练5.如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,M 为A 1C 1的中点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则下列向量与BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的是( )A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.-12a-12b+cD.12a-12b+c6.在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x,y,z)为( ) A.(14,14,14)B.(34,34,34) C.(13,13,13) D.(23,23,23) 7.在棱长为a 的正四面体ABCD 中,E,F 分别为棱AD,BC 的中点,则异面直线EF 与AB 所成角的大小是 ,线段EF 的长度为 .8.(广东深圳质检)已知四面体ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-2c,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a+6b-8c,AC,BD 的中点分别为E,F,则EF ⃗⃗⃗⃗ = .C 级学科素养创新练9.在如图所示的平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知AB=AA 1=AD,∠BAD=∠DAA 1=60°,∠BAA 1=30°,N 为A 1D 1上一点,且A 1N=λA 1D 1.若BD ⊥AN,则λ的值为 .1.2 空间向量基本定理1.C C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )-(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a-12b-c. 2.C 因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=12.故选C.3.-12a+12b+c 如图,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a+12b+c.4.证明设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c. 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a·(b+c)=a·b+a·c. 因为AA 1⊥平面ABC,∠BAC=90°, 所以a·b=0,a·c=0, 得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 故AB ⊥AC 1.5.A BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(-a+b)+c=-12a+12b+c.6.A 如图所示,连接AG 1交BC 于点E,则E 为BC 的中点,AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ ),AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 因为OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3GG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OG ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗)=14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC⃗⃗⃗⃗⃗ . 7.π4√22a 设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则{a,b,c}是空间的一个基底,|a|=|b|=|c|=a,a·b=a·c=b·c=12a 2. ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b)-12c, ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a 2+12a·b -12a·c=12a 2,|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(12a +12b -12c) 2=√22a. ∴cos<EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗|=12a 2√22a×a =√22, ∴异面直线EF 与AB 所成的角为π4. 8.3a+3b-5c 如图所示,取BC 的中点G,连接EG,FG,则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =GF ⃗⃗⃗⃗⃗ −GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(5a+6b-8c)+12(a-2c)=3a+3b-5c.9.√3-1 取空间中一组基底:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c, 设AB=1, 因为BD ⊥AN, 所以BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 因为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-a,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c+λb, 所以(b-a)·(c+λb)=0, 所以12+λ-√32−λ2=0,所以λ=√3-1.。

1.2 空间向量基本定理同步练习

1.2 空间向量基本定理同步练习一、单选题1．{},,a b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（）A ．{},,a a b a b +-B ．{},,b a b a b +-C ．{},,c a b a b +-D ．{},,2a b a b a b +-+【答案】C【解析】对于A ，因为()()2a b a b a ++-=，所以,,a a b a b +-共面，不能构成基底，排除A ，对于B ，因为)()2a b a b b +--=(，所以,,b a b a b +-共面，不能构成基底，排除B ，对于D ，312()()22a b a b a b +=+--，所以,,2a b a b a b +-+共面，不能构成基底，排除D ，对于C ，若,,c a b a b +-共面，则()()()()c a b a b a b λμλμλμ=++-=++-，则,,a b c 共面，与{},,a b c 为空间向量的一组基底相矛盾，故,,c a b a b +-可以构成空间向量的一组基底，故选C2．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（）A ．1122a b c -+ B ．a b c +-C ．a b c -+D ．1122a b c -+- 【答案】A【解析】由题意在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，可知：BD BO OD =+，BO b =-，11112222OD OA OC a c =+=+，1122BD a b c =-+．故选A ．3．如图，在三棱锥A BCD -中，E ､F 分别是棱AD ､BC 的中点，则向量EF →与,AB CD →→的关系是（）A ．1122EF AB CD →→→=+B ．1122EF AB CD →→→=-+C ．1122EF AB CD →→→=-D ．1122EF AB CD →→→=--【答案】C【解析】取AC 的中点M ，连结,EM FM ，,E F 分别是,AD BC 的中点，12ME CD →→∴=，12MF AB →→∴=，1122EF MF ME AB CD →→→→→∴=-=-.故选C .4．如图，在四面体OABC 中，2OM MA =，BN NC =，则MN =（）A ．111222OA OB OC →→→+-B ．221332OA OB OC →→→+-C ．121232OA OB OC →→→-+D ．211322OA OB OC →→→-++【答案】D【解析】∵2OM MA →→=，BN NC →→=，∴12()23MN ON OM OB OC OA →→→→→→=-=+-211322OA OB OC →→→=-++．故选D ．5．在下列结论中：①若向量,a b 共线，则向量,a b 所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 一定不共面； ③若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c 共面；④已知空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p xa yb zc =++. 其中正确结论的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错，三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，,,a b c 需不共面，故④错．故选A ．6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c ===，则CM =（）A ．1122++a b c B ．1122-+a b c C ．1122a b c -++ D ．1122--+a b c【答案】D【解析】由题意，因为M 为11A C 与11B D 的交点，所以M 也为11A C 与11B D 的中点，因此()()11112CM AM AC AA A M AB AD AA AC AB AD =-=+-+=+-+ ()1121122AA AB AD a b c -=-+=-+.故选D. 7．在三棱锥A BCD -中，E 是棱CD 的中点，且23BF BE =，则AF =（） A ．133244AB AC AD +- B ．3344AB AC AD +-C ．533AB AC AD -++D ．111333AB AC AD ++【答案】D【解析】因为E 是棱CD 的中点，23BF BE =，所以()22213333AF AB BF AB BE AB AE AB AE AB =+=+=+-=+ ()1111133333AC AD AB AB AC AD =++=++.故选D.8．若{},,a b c 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（）A ．,2,3a b cB ．,,a b b c c a +++C ．,,a b c b c c +++D ．2,23,39a b b c a c ++-【答案】D【解析】对于:,2,3,:,,,:,,A a b c B a b b c c a C a b c b c c ++++++，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底，对于D ：2,23,3-9a b b c a c ++满足：()()3-932-23a c a b b c ⎡⎤=++⎣⎦，是共面向量，不能构成空间的一个基底，故选D9．如图，在四面体OABC 中，G 是底面∆ABC 的重心，则OG 等于（）A ．OA OB OC ++ B ．111222OA OB OC ++ C ．111236OA OB OC ++D ．111333OA OB OC ++【答案】D 【解析】()()211112323333AG AC AB OC OA OB OA OC OB OA ⎛⎫=⋅⋅+=⋅-+-=+- ⎪⎝⎭ 则111333OG AG OA OA OB OC =+=++,故选D. 10．已知在平行六面体ABCD A B C D '-'''中，3AB =，45AD AA ='=，，120BAD ∠=︒，60BAA ∠='︒，90DAA ∠='︒，则AC '的长为（）A ．2B ．53C 58D 53【答案】D【解析】在平行六面体ABCD A B C D '-'''中，3AB =，AD 4=, 5AA '=，120BAD ∠=︒，60BAA ∠='︒，90DAA ∠='︒，AC AB AD AA ''=++,()22AC AB AD AA '∴=++'222222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+'⋅''91625234cos120235cos6050121553=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=-+=则53AC ='．故选D11．（多选题）给出下列命题，其中正确命题有（）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b ，则,a b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面D ．已知向量{},,a b c 组是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底【答案】ABCD【解析】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN 共面，又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c 是空间的一个基底，则基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确．故选ABCD.12．（多选题）设a ，b ，c 是空间一个基底，则（）A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z )，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底【答案】BCD【解析】对于A 选项，b 与,a c 都垂直，,a c 夹角不一定是π2，所以A 选项错误. 对于B 选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面. 对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确.对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面.假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设()()()1a b x b c x c a +=++-+，化简得()1x a x b c ⋅=-+，即()1c x a x b =⋅+-，所以a ，b ，c 共面，这与已知矛盾，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底.所以D 选项正确.故选BCD三、填空题13．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD =x SA ySB zSC ++，则x +y +z =_____.【答案】12-【解析】如图，根据条件()12BD BC BS =+ ()12SC SB SB =-- 12SB SC =-+ 102SA SB SC =-+,又BD xSA ySB zSC =++,∴由空间向量基本定理得110122x y z ++=-+=-,故填12-14．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量1,,AB AD AA 两两的夹角均为60°，且AB =1，|AD |=2，|1AA |=3，则|1AC |等于_____. 【答案】5【解析】由平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1可得:11AC AB AD AA =++， ∴22221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++⋅⋅++⋅+=12+22+32+2cos 60°(1×2+1×3+2×3) =25，∴1AC =5.故填5.15．已知点M ，N 分别是空间四面体OABC 的边OA 和BC 的中点，P 为线段MN 的中点，若OP =λOA +μOB +γOC ，则实数λ+μ+γ=_____.【答案】34【解析】如图，连接ON ，在△OMN 中，点P 是MN 中点，由平行四边形法则得．()()111111111222422444OP OM ON OM ON OA OB OC OA OB OC =+=+=+⨯+=++, 又OP =λOA +μOB +γOC ，∴111,,444λμγ===，∴34λμγ++=．故填34．16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是1CC 的中点，1113A F AB =，且1DF AB AC AA αβγ=++，则αβγ++=__________．【答案】12-【解析】由题意的：1113A F A B =，1111DF DC C A A F =++=111123CC AC A B -+=1111111233AA AC A B A A -++=1111111233AA AC A B AA -+-=11136AB AC A A -+, 故可得α=13，β=-1，γ=16，可得：αβγ++=1-2.故填1-2.17．如图所示,在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===,点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N为BC 中点，若=MN xa yb zc ++，则x y z ++=_____________【答案】13【解析】,,,OA a OB b OC c ===点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，22=33OM OA a ∴= ()111222ON OB OC b c =+=+ 112=223MN ON OM b c a ∴-=+-211,,322x y z ∴=-== 故21113223x y z ++=-++= 故填1318．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.【答案】78【解析】MN MA AB BN =++11111()22222OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-++ 13131112424222OG OM MG OA MN OA OA OB OC ⎛⎫∴=+=+=+-++ ⎪⎝⎭813388OA OB OC =++133,,888x y z ∴===，即78x y z ++=．故填78三、解答题19．已知ABCD A B C D -''''是平行六面体．（1）化简1223AA BC AB '++，并在图形中标出其结果；（2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC B ''的对角线BC '上的点，且:3:1BN NC '=，设MN AB AD AA αβγ'=++，试求α，β，γ的值．【解析】（1）如图所示，取线段AA '中点E ，则12EA AA ''=， BC AD A D ''==，取23D F D C '''=， ∵AB D C =''，∴2233AB D C D F '''==．则2312AA BC AB EA A D D F EF '''''++=++=．（2）∵ M N MB BN +=124 3BC DB =+'314()()2DA AB BC CC '=+++ 113 244AB AD AA '=++αAB βAD γAA '++=，∴12α=，14β=，34γ=． 20．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设1,,AB a AD b AA c ===，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．（1）用向量,,a b c 表示1,D B EF ，；（2）若1D F xa yb zc =++，求实数x ，y ，z 的值．【解析】（1）111D B D D DB AA AB AD a b c=+=-+-=--，11122EF EA AF D A AC =+=+ 1111()()()222AA AD AB AD a c =-+++=-.（2）11111111()()22222D F D D D B c a b c a b c =+=-+--=--，所以11,,122x y z ==-=-.21．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ∠=∠=︒．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度；（2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．【解析】（1）111111111BC BB B C BB A C A B a c b =+=+-=+-∴11cos 11cos602a b a b BAA ︒=∠=⨯⨯=，同理可得12a cbc ==， ∴()222212222BC a c ba cb ac a b c b =+-=++-+-=．（2）因为1AB a b =+，所以()222123AB a b a b a b =+=++=，因为()()22111AB BC a ba cb a ac a b b a c b b =++-=+-++-=，所以1111116cos ,23AB BC AB BC AB BC <>==⨯．∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为6622．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，（1）用,,a b c 表示BM ；（2）求对角线1AC 的长；（3）求1cos ,AB AC【解析】（1）连接1A B ,AC ，1AC ，如图：AB a =，AD b =，1AA c =在1A AB ，根据向量减法法则可得：11BA AA AB c a =-=- 底面ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD a b =+=+11//AC A C 且11AC AC =，∴ 11AC AC a b==+ 又M 为线段11A C 中点，∴ ()1111122A M b AC a ==+ 在1A MB 中()11111222BM BA A M c a a a b c b -+=+=+-++= （2）顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒∴1cos602a b a b ⋅=⋅︒=，s 2c 160o a a c c ⋅⋅==︒，s 2c 160o b b c c ⋅⋅==︒，由（1）可知AC a b =+∴平行四边形11AA CC 中故：11AC AC A b A a c+=+=+ ()()22211C a cb A AC ==++()()()222+++222+a c a b c c b b a =⋅+⋅⋅222+++cos cos cos 606062022b a bc a b c c a ︒+⋅⋅︒+︒=⋅11121+1+1+22222++=⨯⨯⨯6=∴16AC =故：对角线1AC . （3）1AC a b c=++，AB a =又111cos ,a a c AB AC AB AC AB AC b ⋅+⋅==⋅+212311b a a a c+++⋅⋅=+===。

空间向量基本定理同步课时训练-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)

1.2 空间向量基本定理一、概念练习1.已知 {},,a b c 为空间的一组基底, 则下列向量也能作为空间的一组基底的是( ) A. ,,a b b c a c ++-B. 2,,a b b a c +-C. 2,2,a b b c a b c ++++D. ,2,2a c b a b c ++-2.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，AB b =，AD c =，点P 在1A C 上，且1:2:3A P PC =，则1A P 等于（）A.233555a b c ++B.322555a b c ++C.223555a b c -++D.322555a b c --3.在下列条件中，一定能使空间中的四点M ,A ,B ,C 共面的是( ) A.2OM OA OB OC =-- B.111532OM OA OB OC =++C.MA MB MC ++=0D.OM OA OB OC +++=04.设向量{},,a b c 是空间的一组基底，则一定可以与向量=+p a b ，=-q a b 构成空间的另一组基底的向量是( ) A.aB.bC.cD.a 或b5.已知()2,1,3=-a ，()1,4,2=--b ，()7,5,λ=c ，若{},,a b c 不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为( ) A.0B.357C.9D.657二、能力提升6.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成角的余弦值为( )B.34D.5167.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M ，设AB =a ，AD =b ，1AA =c ，则下列向量中与1C M 相等的向量是( )A.1122-++a b cB.1122++a b c C.1122---a b cD.1122--+a b c（多选）8.在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA ，PB ， PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB 的重心， E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==，则下列说法正确的是( ) A.EG PG ⊥B.EG BC ⊥C.//FG BCD.FG EF ⊥9.下列命题错误的是( )A. ||||||-<+a b a b 是向量a,b 不共线的充要条件B.在空间四边形ABCD 中，0AB CD BC AD CA BD ⋅+⋅+⋅=C.在棱长为1的正四面体A BCD -中，12AB BC ⋅=D.设A ,B ,C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若1233OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ,C 四点共面 10.若a ,b ,c 不共面，则( ) A.+b c ,-b c ,a 共面B.+b c ,-b c ,2b 共面C.+b c ,a ,++abc 共面D.+a c ,2-a c ,c 共面11.已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由1253OP OA OB OC λ=++确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ=____________.12.已知{}123,,e e e 为空间的一个基底，若123=++a e e e ，123=+-b e e e ，123=-+c e e e ，12323=++d e e e ，且αβγ=++d a b c ，则,,αβγ分别为___________.13.在直三棱柱111ABC A B C -中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ，则1A B =__________.（用a ，b ，c 表示）14.如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ADC ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点，AB CE =.（1）求证：//DE 平面ACF ；（2）求异面直线EO 与AF 所成角的余弦值；（3）求AF 与平面EBD 所成角的正弦值.15.在所有棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，160B BC ∠=︒，求证：（1）1AB BC ⊥；（2）1A C ⊥平面11AB C .答案以及解析1.答案：B解析：因为()()()()()()1111,22,222222a b b c a c a b c a b b c a c b a b c +=++-++=++++=+--, 所以选项,A C , D 中的向量共面, 不能作为空间的基底; 对于选项B,假设 2,,a b b a c +-共面, 则存在,R λμ∈, 使()2a b b a c λμ+=+-, 所以 1,2,0μλμ=⎧⎪=⎨⎪-=⎩无解,所以2,,a b b a c +- 不共面,可以作为空间的一组基底.故选 B 2.答案：B解析：因为1:2:3A P PC =，所以1125A P AC =，根据空间向量的运算法则，可得()11111232555AP AA A P AA AC AA AA AC =+=+-=+ ()()11132323225555555AA AB BC AA AB AD AA AB AD =++=++=++，又因为1AA a =，AB b =，AD c =，所以322555AP a b c =++.故选：B. 3.答案：C解析：要使空间中的四点M ,A ,B ,C 共面，只需满足OM xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=即可. A 中，2110x y z ++=--=，故此时M ,A ,B ,C 四点不共面； B 中，1113153230x y z ++=++=,故此时M ,A ,B ,C 四点不共面； C 中，MA MB MC ++=0，即MO OA MO OB MO OC +++++=0，即111333OM OA OB OC =++，1111333x y z ++=++=，故此时M ,A ,B ,C 四点共面；D 中，OM OA OB OC +++=0，则OM OA OB OC =---，1113x y z ++=---=-，故此时M ,A ,B ,C 四点不共面.故选C. 4.答案：C解析：因为{},,a b c 是空间的一组基底，所以向量a ，b ，c 不共面，而向量=+p a b ，=-q a b 与a 或b 共面.故排除选项A,B,D.故选C. 5.答案：D解析：{},,a b c 不能构成空间的一个基底，,,∴a b c 共面，则x y =+c a b ，其中,x y ∈R ，则(7,5,)(2,,3)(,4,2)(2,4,32)x x x y y y x y x y x y λ=-+--=--+-，72,54,32,x y x y x y λ=-⎧⎪∴=-+⎨⎪=-⎩解得33,717,765.7x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩故选D. 6.答案：B解析：设AB =a ，AC =b ，1AA =c ，BC 的中点为D ，则1A D ⊥平面ABC ，1A D AB ∴⊥，设三棱柱的各棱长均为1，则||||||1===a b c ，且,60〈〉=︒a b ，111()2A D AD AA ∴=-=+-a b c ，111022A D AB ⎛⎫∴⋅=+-⋅= ⎪⎝⎭a b c a ，解得34⋅=a c ，334cos ,||||114⋅∴〈〉===⨯a c a c a c ， ∴异面直线AB 与1CC 所成角的余弦值为34. 7.答案：C解析：()111111()222C M AM AC AB AD AB AD AA =-=+-++=---a b c ，故选C.8.答案：ABD解析：如图，设PA =a ，PB =b ，PC =c ，则{,,}a b c 是空间的一个正交基底，则0⋅=⋅=⋅=a b a c b c ，取AB 的中点H ，则22111()33233PG PH ==⨯+=+a b a b ， 11211113333333EG PG PE =-=+--=--a b b c a b c ，BC =-c b ，11113333FG PG PF =-=+-=a b b a ，1121133333EF PF PE ⎛⎫=-=-+=-- ⎪⎝⎭b c b c b ， 0EG PG ∴⋅=，A 正确；0EG BC ⋅=，B 正确；()FG BC λλ≠∈R ，C 不正确；0FG EF ⋅=，D正确.故选ABD.9.答案：ACD解析：当||||||-<+a b a b 时，向量,a b 可能共线，例如共线向量,a b 的模分别是2,3，此时||||||-<+a b a b 也成立，故A 中命题错误;在空间四边形ABCD 中,()AB CD BC AD CA BD AC CB CD CB AD AC BD⋅+⋅+⋅=+⋅-⋅-⋅()()0AC CD BD CB CD AD AC CB CB CA =⋅-+⋅-=⋅+⋅=,故B 中命题正确;在棱长为1的正四面体A BCD -中,111cos1202AB BC ⋅=⨯⨯=-, 故C 中命题错误;由共面向量定理可知，若P ,A ,B ,C 四点共面，则需满足OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=，因为1212133++=≠，所以P ,A ,B ,C 四点不共面，故D 中命题错误.故选ACD.10.答案：BCD 解析：2()()=++-b b c b c ，∴+b c ，-b c ，2b 共面.()++=++a b c b c a ,∴+b c ,a ,++abc 共面.(2)3+=-+a c a c c ，∴+a c ，2-a c ，c 共面.故选BCD. 11.答案：215解析：因为点P 与A ，B ，C 三点共面，所以12153λ++=，解得215λ=. 12.答案：52，-1，12- 解析：由题意得，a 、b 、c 为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(,,)αβγ，使αβγ=++d a b c .()()()123123123αβγ∴=++++-+-+=d e e e e e e e e e 123()()()αβγαβγαβγ++++-+-+e e e .又12323=++d e e e ，5,1,22,1,31.2ααβγαβγβαβγγ⎧=⎪++=⎧⎪⎪∴+-=⇒=-⎨⎨⎪⎪-+=⎩⎪=-⎩13.答案：--b a c解析：如图，111A B CB CA CB CA CC =-=--=--b a c .14.答案：（1）设1AB CE ==，CD =a ，CB =b ，CE =c ，则||||||1===a b c ，,,90〈〉=〈=︒〉a c b c ，,120〈〉=︒a b .证明：DE =-c a ，1()2CF =+b c ，CA =+a b ，2DE CF CA ∴=-，即DE ，CF ，CA 共面，又DE ⊂/平面ACF ，CF ，CA ⊂平面ACF ，//DE ∴平面ACF .（2）1()2EO CO CE =-=+-a b c ，111()()222AF CF CA =-=+-+=--+b c a b a b c ，78EO AF ∴⋅=-，5||2EO =，||1AF =，7cos ,||||5EO AF EO AF EO AF -⋅∴〈〉===两异面直线所成角不大于90°，∴异面直线EO 与AF . （3）易知EB =-b c ，ED =-a c ，过点A 作AG ⊥平面EBD ，垂足为G ，则AFG ∠即直线AF 与平面EBD 所成角.设DG xDE yBE =+，DE =-c a ，BE =-c b ，()DG xDE yBE x y x y ∴=+=+--c a b ， ()(1)AG AC CD DG x y x y =++=+--+c a b ，由0AG EB ⋅=，0AG ED ⋅=，得35y =-，25x =，122555AG ∴=---c a b ，5||5AG =，又1AF =，sin AG AFG AF ∴∠==∴直线AF 与平面EBD 所成角的正弦值为. 15.答案：（1）易知,120AB BC ︒〈〉=，11AB AB BB =+，则()111AB BC AB BB BC AB BC BB BC ⋅=+⋅=⋅+⋅=112222022⎛⎫⨯⨯-+⨯⨯= ⎪⎝⎭.所以1AB BC ⊥.（2）易知四边形11AA C C 为菱形，所以11A C AC ⊥.因为()()1111AB AC BB BA AC AA ⋅=-⋅- ()()11BB BA BC BA AA =-⋅--11111BB BC BB BA BB AA BA BC BA BA BA AA =⋅-⋅-⋅-⋅+⋅+⋅ 111BB BC BB AA BA BC BA BA =⋅-⋅-⋅+⋅1122422422=⨯⨯--⨯⨯+0=，所以11AB A C ⊥，又11AC AB A ⋂=，所以1A C ⊥平面11AB C .。

1.2空间向量基本定理(同步练习)(含解析)(人教A版2019选择性必修第一册)

1. 2 空间向量基本定理1．若O A B C ,,,为空间四点，且向量OAOBOC ，，不是构成空间的一个基底，则（） A ．OAOB OC ，，共线 B ．OAOB，共线 C ．OB OC ，共线 D ． O A B C ,,,四点共面 2．已知,,i j k 是空间直角坐标系Oxyz 中，x 轴、y 轴、z 轴的正方向上的单位向量，且AB i j k =-+-，则点B 的坐标（）A 是1,11()--，B ．是(),,i j k --C ．是111()--，，D ．不确定 3．设向量,,a b c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（）A ． {,,}a b b a a +-B ． {,,}a b b a b +-C ． {,,}a b b a c +-D ． {,,}a b c a b c +++4．已知点A 在基底{,,}a b c 下的坐标是(8，6，4)，其中a i j b j k c k i =+=+=+，，，则点A 在基底{},,i j k 下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)5．设命题p: ,,a b c 是三个非零向量，命题q: {,,}a b c 为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知,,,,A B C D E 是空间五点，若, , ,,AB AC AD AB AC AE 与均不能构成空间的一个基底，则有下列结论:①, ,AB AD AE 不能构成空间的一个基底； ②, ,AC AD AE 不能构成空间的一个基底； ③, , BC CD DE 不能构成空间的一个基底； ④, , AB CD EA 能构成空间的一个基底．其中正确的有_______个．7．已知在正方体ABCD 一1111A B C D 中，点E 为底面1111A B C D 的中心，112a AA =，12b AB =，13c AD =，AE xa yb zc =++，则x =______，y =_______，z =_______．8．设,y c,z c x a b b a =+=+=+且{,,}a b c 是空间的一组基底，给出下列向量组：①{},,a b x ；②{,,}x y z ③{,,}b c z ④{,,}x y a b c ++ 其中可以作为空间的基底的向量组是___________(填序号)．9．在空间直角坐标系中．给定点3)1,2,M-（，求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标．10．如图3．1-47，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是上底面1111A B C D 的中心，求下列各式中的,,z x y 的值．（1）11BD xAD yAB zAA =++；（2）1AE xAD yAB zAA =++．11．如图3．1-48，在空间四边形OABC 中，点, G H 分别是ABC OBC ∆∆，的重心，设,,OA a OB b OC c ===，试用向量,,a b c 表示向量GH ．12．如图3．1-49，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，,M N 分别是,AB PC 的中点，并且1PA AB ==．试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN 的坐标．答案与解析1． D 解析；由, ,OA OB OC 不能构成基底，知, ,OA OB OC 三向量共面，所以,,,O A B C 四点共面． 2． D 解析:由AB i j k =-+-只能确定向量()1,1,1AB =--．而向量的起点A 的坐标未知，故终点B 的坐标不确定．3． C 解析:由已知及向量共面定理，易知,,a b b a c +-不共面，故可作为空间的一个基底． 4． A 解析: ()()()864864121410OA a b c i j j k k i i j k =++=+++++=++．5． B 解析:当三个非零向量,,a b c 共面时，,,a b c 不能构成空间的一个基底，但是当{,,}a b c 为空间的一个基底时，必有,,a b c 都是非零向量，因此p q ≠>，而q p ⇒，故命题p 是命题q 的必要不充分条件． 6． 3解析:由题意．知空间五点,,,,A B C D E 共面，故①②③正确，④错误． 7． 2 132解析:如图3．1-5011113()222AE AA A E AA AB AD a b c xa yb zc =+=++=++=++所以32,1,2x y z ===8． ②③④解析:如图3．1-51，设1,,a AB b AD c AA ===，则11,,x AC y AD z AB ===，1a b c AC ++=．由11,,,A B C D 四点不共面可知，向量,,x y z 也不共面．同理可知,,b c z ；,,x y a b c ++也不共面．9．解: 3)1,2,M-（关于坐标平面, , xOy xOz yOz 对称的点的坐标分别为123.12()()(,33),12,----，，,，；3)1,2,M -（关于x 轴、y 轴、z 轴对称的点的坐标分别为()()(1,231231,2,3)-----,,，，,；3)1,2,M -（关于坐标原点对称的点的坐标为12)3(--，，． 10．解:(1)因为1111BD BD DD BA BC DD AD AB AA =+=++=-+且11BD xAD yAB zAA =++所以1,1, 1.x y z ==-= (2)因为111111*********()2222AE AA A E AA AC AA A B A D AD AB AA =+=+=++=++ 且1AE xAD yAB zAA =++所以11,,122x y z ===11．解:因为2211()()3323OH OD OB OC b c ==⨯+=+J2212111()()()3333233OG OA AG OA AD OA OD OA OA OB OC a b c =+=+=+-=+⨯+=++ 所以1111()()3333GH OH OG b c a b c a =-=+--+=-12．解:因为1PA AB ==，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 是两两垂直的单位向量．设123e ,e ,AB AD AP e ===，以123{e ,e ,}e 为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz ，连接AC ．如图3．1-52．因为1111()2222MN MA AP PN AB AP PC AB AP PA AC ++=-++=-+=++23111111()e 222222AB AP PA AB AD AD AP e =-++++=+=+所以11(0,,)22MN =．。

人教A版选择性必修第一册《1.2 空间向量基本定理》练习卷(6)

人教A 版选择性必修第一册《1.2 空间向量基本定理》练习卷（6）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1. 若向量MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点与终点M ，A ，B ，C 互不重合且无三点共线，O 是空间任一点，则能使MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成为空间一组基底的关系是( ) A. OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2. 给出下列命题：①若{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }可以作为空间的一个基底，d ⃗ 与c ⃗ 共线，d ⃗ ≠0，则{a ⃗ ,b ⃗ ,d ⃗ }也可作为空间的一个基底；②已知向量a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ ，b ⃗ 与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面；④已知向量组{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }是空间的一个基底，若m ⃗⃗⃗ =a ⃗ +c ⃗ ，则{a ⃗ ,b ⃗ ,m ⃗⃗⃗ }也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 43. 若{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( )A.B.C.D.4. 下列语句不是命题的有( )①x 2−3=0 ②与一条直线相交的两直线平行吗⋅ ③3+1=5 ④5x −3>6A. ①③④B. ①②③C. ①②④D. ②③④5. 若{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( )A. a ⃗ ，2b ⃗ ，3c ⃗B. a ⃗ +b ⃗ ，b ⃗ +c ⃗ ，c ⃗ +a ⃗C. a ⃗ +2b ⃗ ，2b ⃗ +3c ⃗ ，3a ⃗ −9c ⃗D. a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ ，b ⃗ ，c⃗6. 已知向量a ⃗ =(1,1,0)，b ⃗ =(−1,0,2)，且k a ⃗ +b ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 互相垂直，则k 的值是( )A. 1B. 15C. 35D. 757. 在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +3z AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y +z =( )．A. 116B. 76C. 56D. 238. 空间四边形OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，点M 在线段OA 上且OM =2MA ，N 为BC 的中点，则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 12a −23b +12cB. 12a +12b −23cC. −23a +12b +12cD. 23a +23b −12c二、填空题（本大题共1小题，共3.0分）9. 矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，P 矩形内部一点，且AP =1，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则3x +2y 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）10. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN =3NC ，AM 与BN 相交于点P ，设CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ 、b ⃗ 表示CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ．11. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长均为1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 为空间向量的一组基底，计算： (1)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)|EG ⃗⃗⃗⃗⃗ |．12. 在梯形ABCD 中，已知AB//CD ，AB =2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ+μ的值．13. 已知向量a⃗ =(0,−1,1)，b ⃗ =(2,2，1)，计算： (1)|2a ⃗ −b ⃗ |； (2)cos <a ⃗ ，b ⃗ >； (3)2a ⃗ −b ⃗ 在a⃗ 上的投影．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查空间向量的基本定理及共面的判断，能使向量MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成为空间的一个基底，则三向量不能共面，逐一检验即可．解：若MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为空间一组基底向量，则 M ， A ， B ， C 四点不共面，选项A 中点 M ， A ， B ， C 共面，因为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+13(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⇒ AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；选项B 中可能共面，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，但可能MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + μMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；选项D 中的四点显然共面．故选C ．2.答案：D解析：解：①∵{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }可以作为空间的一个基底，∴a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 不共面，∵d ⃗ 与c ⃗ 共线，d ⃗ ≠0，∴a ⃗ ，b ⃗ ，d ⃗ 不共面，故①正确．②∵向量a ⃗ //b ⃗ ，∴a ⃗ ，b ⃗ 与任何向量都共面，∴a ⃗ ，b ⃗ 与任何向量都不能构成空间的一个基底，故②正确．③∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不能构成空间的一个基底，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面，∴A ，B ，M ，N 共面，故③正确．④∵{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }是空间的一个基底，∴a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 不共面，∵m ⃗⃗⃗ =a ⃗ +c ⃗ ，∴a ⃗ ，b ⃗ ，m ⃗⃗⃗ 不共面，∴{a ⃗ ,b ⃗ ,m ⃗⃗⃗ }也是空间的一个基底，故④正确．故选：D ．因为不共面的三个非零向量可以构成空间向量的一个基底，故只需判断三个向量是否共面即可．本题考查了空间向量的基本定理，共面向量的判定，是基础题．3.答案：D解析：本题主要考查了向量的相关知识，考查了空间向量共面的判断与应用问题，熟练掌握向量基底的定义以及判断条件是解题的关键，属于基础题．根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可．解：对于A:a⃗,2b⃗ ,3c⃗,B:a⃗+b⃗ ,b⃗ +c⃗,c⃗+a⃗,C:a⃗+b⃗ +c⃗,b⃗ +c⃗,c⃗，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底，对于D：a⃗+2b⃗ ,2b⃗ +3c⃗,3a⃗−9c⃗满足：3a⃗−9c⃗=3[(a⃗+2b⃗ )−(2b⃗ +3c⃗ )]，是共面向量，不能构成空间的一个基底，故选D．4.答案：C解析：可以判断真假的语句(包括式子)叫做命题.其中①④在不给定变量值之前，无法判定真假;②是问句，不涉及真假．5.答案：C解析：解：对于A中a⃗、2b⃗ 、3c⃗，B中a⃗+b⃗ 、b⃗ +c⃗、c⃗+a⃗，D中a⃗+b⃗ +c⃗、b⃗ 、c⃗，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；对于C，a⃗+2b⃗ 、2b⃗ +3c⃗、3a⃗−9c⃗，满足3a⃗−9c⃗=3[(a⃗+2b⃗ )−(2b⃗ +3c⃗ )]，是共面向量，不能构成空间的一个基底．故选：C．根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可．本题考查了空间向量共面的判断与应用问题，是基础题目．6.答案：D解析：本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，属于基础题．由向量a⃗=(1,1，0)，b⃗ =(−1,0，2)，求得k a⃗+b⃗ 与2a⃗−b⃗ 的坐标，代入数量积的坐标表示求得k 值．解：∵a⃗=(1,1，0)，b⃗ =(−1,0，2)，∴k a⃗+b⃗ =k(1,1，0)+(−1，0，2)=(k−1，k，2)，2a⃗−b⃗ =2(1,1，0)−(−1，0，2)=(3，2，−2)，又k a⃗+b⃗ 与2a⃗−b⃗ 互相垂直，∴3(k −1)+2k −4=0，解得：k =75．故选：D ．7.答案：A解析：本题考查空间向量的基本定理，属于基础题．根据AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合已知式子，即可求出结果．解：根据题意，得AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +3z AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x =1，y =12，z =13， ∴x +y +z =1+12+13=116．故选A ．8.答案：C解析：因为MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23a +12b +12c ，所以选C . 9.答案：(1,√2]解析：解：∵矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，P 矩形内部一点，且AP =1，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=9x 2+4y 2 =(3x +2y)2−12xy ≥(3x +2y)2−12(3x +2y)2 =12(3x +2y)2∵|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=1，∴12(3x +2y)2≤1，故3x +2y ≤√2，如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，D(0,2)，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x(3,0)+y(0,2)=(3x,2y)， ∴3x +2y >1，∴3x +2y 的取值范围是(1,√2]. 故答案为：(1,√2]．由已知得|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=9x 2+4y 2≥(3x +2y)2−12(3x +2y)2=12(3x +2y)2，从而得到3x +2y ≤√2，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3x,2y)，从而3x +2y >1，由此能求出3x +2y 的取值范围．本题考查代数和的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量的性质的合理运用．10.答案：解：设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵B ，P ，N 三点共线， ∴λ2+23λ=1， ∴λ=67∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +67AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +67(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +67(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+67AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +67CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +67b ⃗解析：设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据B ，P ，N 三点共线，求出λ=67，再根据根据向量加法的几何意义，向量的数乘运算，即可求出考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘、向量加法的几何意义，以及向量的数乘运算． 11.答案：解：(1)由题意，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则|a ⃗ |=|b ⃗ |=|c ⃗ |═1，<a ⃗ ，b ⃗ >=<b ⃗ ，c⃗ >=<c ⃗ ，a ⃗ >=60°， ∴EF →⋅BA →=12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12c →−12a →)⋅(−a →)=12a ⃗ 2−12a ⃗ ·c ⃗ =12×1−12×1×1×12=14．(2)EG →=EB →+BC →+CG →=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a →+12b →+12c →，∴EG ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14a ⃗ 2+14b ⃗ 2+14c ⃗ 2−12a ⃗ ⋅b ⃗ −12a ⃗ ⋅c ⃗ +12b ⃗ ⋅c ⃗即EG ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14+14+14−12×1×1×12−12×1×1×12+12×1×1×12=12， ∴|EG ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22， |EG|=√22．解析：分析：本题考查了空间向量的线性运算与数量积应用问题，是基础题．(1)根据a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 的模与夹角，利用数量积公式先求c ⃗ ⋅a ⃗ 的值，再根据EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12c ⃗ −12a ⃗ )⋅(−a ⃗ )求得结果．(2)由EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ ，先平方，再开平方即可．本题考查了空间向量的线性运算与数量积应用问题，是基础题． 12.答案：解：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ·12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ·12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，得(μ2−1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2+μ2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得(μ2−1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2+μ2)(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，得(14λ+34μ−1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗+(λ+μ2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0．又∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线， ∴由平面向量基本定理得{14λ+34μ−1=0.λ+μ2=0,解得{λ=−45,μ=85. ∴ λ+μ=45．解析：本题考查的是平面向量的基本定理，属于基础题．利用基向量法，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ·12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ·12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，化简得(1 4λ+34μ−1)AB⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ2)AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，又AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，得{14λ+34μ−1=0.λ+μ2=0,，λ+μ即可求得．13.答案：解：(1)∵a⃗=(0,−1,1)，b⃗ =(2,2，1)，∴2a⃗−b⃗ =2(0,−1,1)−(2,2，1)=(−2，−4，1)，∴|2a⃗−b⃗ |=√(−2)2+(−4)2+1=√21；(2)∵a⃗=(0,−1,1)，b⃗ =(2,2，1)，∴a⃗⋅b⃗ =(0,−1,1)⋅(2,2，1)=−2+1=−1，|a⃗|=√2，|b⃗ |=√22+22+12=√9=3，∴cos<a⃗，b⃗ >a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗⃗⃗ |=3×2=−√26；(3)∵(2a⃗−b⃗ )⋅a⃗=(−2,−4,1)⋅(0,−1,1)=5，∴2a⃗−b⃗ 在a⃗上的投影=(2a⃗ −b⃗)⋅a⃗|a⃗ |=√2=5√22．解析：(1)先求出向量坐标，然后求|2a⃗−b⃗ |；(2)直接利用向量积的坐标公式进行求解cos<a⃗，b⃗ >；(3)根据投影的定义即可2a⃗−b⃗ 在a⃗上的投影．本题主要考查空间向量的坐标运算，以及空间向量的有关概念和数量积的应用，要求熟练掌握相应的坐标公式，比较基础．。

【高中数学】新人教A版高二1.2 空间向量基本定理(练习题)

新人教A 版高二1.2 空间向量基本定理(2016)1.若O,A,B,C 为空间四点，且向量OA →,OB →,OC →不能构成空间的一个基底，则一定有（）A.OA →,OB →,OC →共线 B.OA →,OB →共线 C.OB →,OC →共线D.O,A,B,C 四点共面2.正方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中,O 1,O 2,O 3分别是AC,AB ′,AD ′的中点，以{AO 1→,AO 2→,AO 3→}为基底，设AC ′→=xAO 1→+yAO 2→+zAO 3→，则x,y,z 的值是（） A.x =y =z =1B.x =y =z =12 C.x =y =z =√22D.x =y =z =23.如图所示，在空间四边形ABCD 中,AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，连接AG 并延长，交BC 于点M,E 是BD 上一点,BE =3ED ，以{AB →,AC →,AD}→为基底，则GE →=（）A.−112AB →−13AC →+34AD →B.−34AB →−13AC →+15AD →C.12AB →+13AC →+34AD →D.−12AB →−34AC →+13AD →4.平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→=xAB →+2yAD →+3zAA 1→，则（） A.x =1，y =1，z =1 B.x =1，y =−12，z =1 C.x =1，y =−12，z =13D.x =1，y =12，z =135.若{a,b,c}是空间的一个基底，向量m =a +b,n =a −b ，则可以与m,n 构成空间的另一个基底的向量是（） A.aB.bC.cD.2a6.在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA 1=∠CAA 1=60∘，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（）A.√23B.√26 C.√66 D.√36 7.在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1→=a ，A 1D 1→=b ，A 1A →=c ，若B 1M →=−12a ＋12b ＋c ，则M 的位置为（）A.鰽DD 1A 1的对角线交点B.鰽BCD 的对角线的交点C.鱀CC 1D 1的对角线的交点D.点D 的位置8.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 是棱D 1D 的中点，P ，Q 分别为线段B 1D 1，BD 上的点，且3B 1P =PD 1，若PQ ⊥AE ，BD →=λD ，→则λ的值为（）A.3B.4C.−3D.−49.如图所示，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,D,E 分别为AA 1,B 1C 的中点，记AB →=a,AC →=b,AA 1→=c ，则DE →= .(用a,b,c 表示)10.如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，若AB =√2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为 .11.平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1=√2,∠A 1AD =∠A 1AB =120∘，则对角线BD 1的长度为 .12.下列关于空间向量的说法中，正确的有 .（填序号） ①若向量a,b 与空间任意向量都不能构成基底，则a//b; ②若非零向量a,b,c 满足a ⊥b,b ⊥c ，则有a//c;③若{OA →,OB →,OC →}是空间的一个基底，且OD →=13OA →+13OB →+13OC →，则A,B,C,D 四点共面;④若{a +b,b +c,c +a}是空间的一个基底，则{a,b,c}也是空间的一个基底. 13.在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→=a ，AB →=b ，AD →=c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →； (2)A 1N →； (3)M ＋→NC 1→.14.已知正四面体ABCD 的棱长为1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点. (1)证明：EF ⊥BC ；(2)求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值.15.在空间四边形ABCD 中，已知AB 2+CD 2=AD 2+BC 2，则AC 与BD 的位置关系是 .16.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：平面A 1BD ⊥平面GBD .参考答案1.【答案】:D【解析】:∵向量OA →,OB →,OC →不能构成空间的一个基底，∴向量OA →,OB →,OC →共面，因此O,A,B,C 四点共面，故选D.2.【答案】:A【解析】:连接BC ′，则AC ′→=AB →+BC ′→=AB →+BB ′→+BC →=AB →+AA ′→+AD →=12(AB →+AD →)+12(AB →+AA ′→)+12(AA ′→+AD →) =12AC →+12AB ′→+12AD ′→ =AO 1→+AO 2→+AO 3→，又AC ′→=xAO 1→+yAO 2→+zAO 3→，所以x =y =z =1.3.【答案】:A【解析】:连接AE ，则GE →=AE →−AG →=AD →+DE →−23AM →=AD →+14DB →−13(AB →+AC →)=AD →+14AB →−14AD →−13AB →−13AC →=−112AB →−13AC →+34AD →.4.【答案】:D【解析】:根据题意得，AC 1→=AB →+AD →+AA 1→∴x =1，2y =1，3z =1∴x =1，y =12，z =13故选D ．5.【答案】:C【解析】:{a,b,c}是空间的一个基底，则a,b,c 不共面.对于选项A ，a =12[(a +b)+(a −b)]=12m +12n ，故a,m,n 共面，故A 错误；对于选项B ，b =12[(a +b)−(a −b)]=12m −12n ，故b,m,n 共面，故B 错误；对于选项C ，c,m,n 不共面，故可以构成空间的另一个基底，故C 正确；对于选项D ，易得2a =m +n ，故2a,m,n 共面，故D 错误.故选 C.6.【答案】:C【解析】:如图，设AA 1→=c ，AB →=a,AC →=b ，AB =1，则a ·b =12,b ·c =12,a ·c =12，∴AB 1→·BC 1→=(a +c)·(b −a +c)=12−1+12+12−12+1=1.∵|AB 1→|=|a +c|=√3,|BC 1→|=|b −a +c|=√2，∴cos⟨AB 1→，BC 1→⟩=1√3×√2=√66，∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为√66.故选 C.7.【答案】:B【解析】:连接A 1C 1，A 1C ，AC ，A 1M . 因为B 1M →=−12a ＋12b ＋c ，所以 A 1M →=A 1B 1→＋B 1M →=a −12a ＋12b ＋c=12(a ＋b)＋c =12A 1C 1→＋c=A 1C 1→＋C 1C →−12A 1C 1→=A 1C →＋12CA →，即A 1M →−A 1C →=12CA →，所以CM →=12C ，→所以M 为CA 的中点，即M 为鰽BCD 的对角线的交点.故选 B.8.【答案】:D【解析】:设AA 1→=a,AB →=b,AD →=c ,这三个向量不共面且两两垂直，故{a,b,c}构成空间的一个基底.PQ →=PB 1→+B 1B →+BQ →=14D 1B 1→+B 1B →+λ+1λBD →=B 1B →+(λ+1λ−14)BD →=B 1B →+(λ+1λ−14)AD →−(λ+1λ−14)AB →=−a −(λ+1λ−14)b +(λ+1λ−14)c, AE →=AD →+DE →=12a +c .因为PQ ⊥AE ，所以PQ →·AE →=0，所以−12a 2+(λ+1λ−14)c 2=0，解得λ=−4.9.【答案】:12a +12b 【解析】:连接A 1E,A 1C.DE →=DA 1→+A 1E →=12AA 1→+12(A 1B 1→+A 1C →) =12AA 1→+12(AB →+AC →−AA 1→)=12c +12(a +b −c)=12a +12b .10.【答案】:90∘【解析】:设BA →=a ，BC →=b ，BB 1→=c ，则{a ，b ，c}为空间的一个基底.设BB 1=1，则|a|=|b|=√2，|c|=1，⟨a,b⟩=60∘，c ⊥a ，c ⊥b ，AB 1→=c −a ，BC 1→=b ＋c ，所以AB 1→·BC 1→=(c −a)·(b ＋c)=c ·b ＋c 2−a ·b −a ·c =0＋12−√2×√2×cos60∘−0=0，所以AB 1→⊥B ，→即AB 1与C 1B 所成角的大小为90∘.11.【答案】:2【解析】:由BD 1→=AD →+AA 1→−A ，→得|BD 1→|2=|AD →|2+|AA 1→|2+|AB →|2+2AD →·AA 1→−2AD →·AB →−2AA 1→·AB →=1+2+1+2×1×√2cos120∘−0−2×1×√2cos120∘=4，故|B |→=2.12.【答案】:①③④【解析】:①若向量a,b 与空间任意向量都不能构成基底，则这两个向量为共线向量，即a//b ，故①正确；②若非零向量a,b,c 满足a ⊥b,b ⊥c ，则a 与c 的关系不确定，故②错误；③若{OA →,OB →,OC →}是空间的一个基底，则A,B,C 三点不共线，又OD →=13OA →+13OB →+13OC →，由空间向量基本定理得到A,B,C,D 四点共面，故③正确；④若{a +b,b +c,c +a}是空间的一个基底，则对于空间任何一个向量d ，存在唯一的实数组｛x,y,z ｝，使d =x(a +b)+y(b +c)+z(c +a)=(x +z)a +(x +y)b +(y +z)c ，则{a,b,c}也是空间的一个基底，故④正确. 13(1)【答案】∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →=AA 1→＋A 1D 1→+D 1P →=a ＋AD →＋12D 1C 1→=a ＋c ＋12AB →=a ＋12b ＋c .(2)【答案】∵N 是BC 的中点，∴A 1N →=A 1A →＋AB →＋BN →=−a ＋b ＋12BC →=−a ＋b ＋12AD →=−a ＋b ＋12c .(3)【答案】∵M 是AA 1的中点，∴MP →=MA →＋AP →=12A 1A →＋AP →=−12a ＋a +12b +c =12a ＋12b ＋c .又NC 1→=NC →＋CC 1→=12BC →＋AA 1→=12AD →＋AA 1→ =a ＋12c ，∴MP →＋NC 1→=(12a +12b +c)＋(a +12c) =32a ＋12b ＋32c .14(1)【答案】EF →=AF →−AE →=12AD →−12(AB →+AC →) =−12a +12b −12c , BC →=AC →−AB →=−a +c ,∴EF →·BC →=(−12a +12b −12c)·(−a +c)=12a 2−12a ·b +12a ·c − 12a ·c +12b ·c −12c 2 =12−12×12+12×12−12×12+12×12−12=0， ∴EF →⊥B ，→即EF ⊥BC .(2)【答案】∵AE →=12(AB →+AC →)=12a +12c ， ∴|AE →|=√(12a +12c)2=12√a 2+2a ·c +c 2 =12×√1+2×12+1=√32，又∵CD →=AD →−AC →=b −c ，|CD →|=1，∴AE →·CD →=(12a +12c)·(b −c)=12a ·b +12c ·b −12a ·c −12c 2=−14，cos⟨AE →,CD →⟩=AE →·CD →|A |→·|C |→=−14√32×1=−√36，∴异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为√36.15.【答案】:垂直【解析】:∵AB 2+CD 2=AD 2+BC 2，∴AB →2−AD →2=BC →2−CD →2, ∴(AB →+AD →)(AB →−AD →) =(BC →+CD →)(BC →−CD →)，即(AB →+AD →)·DB →=(BC →−CD →)·BD →，∴BD →·2AC →=0,∴AC →·BD →=0，故AC →⊥B ，→即AC ⊥BD .16.【答案】:连接A 1O ，GO .设A 1B 1→=a ，A 1D 1→=b ，A 1A →=c ，这三个向量不共面且两两垂直，则｛a,b,c ｝为空间的一个基底，且|a|=|b|=|c|, a ·b =0，b ·c =0，a ·c =0.A 1O →=A 1A →+AO →=A 1A →+12(AB →+AD →)=c ＋12(a ＋b)，BD →=AD →−AB →=b −a ， OG →=OC →+CG →=12(AB →+AD →)+12CC 1→=12(a ＋b)−12c ,∴A 1O →·BD →=(c ＋12a ＋12b)·(b −a)=c ·(b −a)＋12(a ＋b)·(b −a)=c ·b −c ·a ＋12(b 2−a 2)=0,A 1O →·OG →=(c ＋12a ＋12b)·(12a ＋12b −12c) =14(a +b)2+14c ⋅(a +b)−12c 2 =14(a 2＋b 2)−12c 2=0,∴A 1O →⊥BD →,A 1O →⊥OG →,即A 1O ⊥BD,A 1O ⊥OG .又BD ∩OG =O ，∴A 1O ⊥平面GBD .又A 1O ⊂A 1BD ， ∴平面A 1BD ⊥平面GBD .。

数学选择性必修第一册RJA1.2空间向量基本定理+答案解析(附后)

gzbst数学选择性必修第一册RJA1.2空间向量基本定理一、单选题（本大题共5小题，共25分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列三个说法中，正确的个数是( )①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面.A. 0B. 1C. 2D. 32.设是空间的一个基底，则一定可以与向量，构成空间的另一个基底的向量是( )A. B. C. D. 或3.在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列说法不正确的是( )A. O，A，B，C四点不共线B. O，A，B，C四点共面，但不共线C. O，A，B，C四点不共面D. O，A，B，C四点中任意三点不共线4.如图，在四面体中，是的重心，延长交BC于点E，G是上的一点，且，若，则为( )A. B. C. D.5.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点.若，，，则( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共1小题，共5分。

在每小题有多项符合题目要求）6.下列说法正确的是( )A. 任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底B. 空间的基底有且仅有一个C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D. 直线的方向向量有目仅有一个三、填空题（本大题共1小题，共5分）7.平行六面体中，，，，则__________.四、解答题（本大题共1小题，共12分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）8.本小题12分如图，在三棱柱中，，，平面ABC，E ，F分别是，的中点.求证：答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查空间向量的基本定理，直线的方向向量以及共线、共面定理，属基础题【解答】解：①由空间向量基本定理知是正确的;②由方向向量的定义知是正确的;③若是空间的一个基底，且，则由，可知A，B，C，D四点共面，正确.故选2.【答案】C【解析】【分析】本题考查空间向量共面的条件及基底的概念，属于基础题.【解答】解：因为是空间的一个基底，所以向量，，不共面，而向量，与，共面，故排除选项A，B，故选3.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间向量共面的条件及基底的概念，属于基础题.【解答】解：选项A对应的说法是正确的，若四点共线，则向量，，共面，构不成基底;选项B对应的说法是错误的，若四点共面，则，，共面，构不成基底;选项C对应的说法是正确的，若四点共面，则，，构不成基底;选项D对应的说法是正确的，若有三点共线，则这四点共面，故向量，，构不成基底.4.【答案】D【解析】【分析】本题考查空间向量的线性运算与基本定理，属中档题.【解答】解：由题意知E是BC的中点，所以是的重心，则，所以因为，所以若，则故选5.【答案】C【解析】【分析】本题考查空间向量基本定理和线性运算，考查了运算能力，属于基础题.【解答】解：故选6.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了空间向量的基底和直线的方向向量应用问题，是基础题．【解答】解：对于A，B，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A正确，B错误;对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，所以C正确;对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误.故选7.【答案】【解析】【分析】本题考查了向量的加法运算法则与运算律、数量积的运算等知识，属于中档题．【解答】解：由题设，作出示意图.由图得，，，则8.【答案】解：选取，，作为空间的一个基底，设，，由已知条件和三棱柱的性质，得，，，，，，，因为，所以，即【解析】本题考查了利用空间向量的数量积运算来证明线线垂直问题，考查了运算与逻辑推理能力，属于基础题.。

2022版人教A版高中数学选择性必修第一册练习题--空间向量基本定理

2022版人教A 版高中数学选择性必修第一册--1.2 空间向量基本定理基础过关练题组一空间向量基本定理及相关概念的理解1.设x =a +b ,y =b +c ,z =c +a ,且{a ,b ,c }是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a ,b ,x };②{x ,y ,z };③{b ,c ,z };④{x ,y ,a+b+c },则其中可以作为空间的基底的向量组有 (深度解析)A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知空间四个点O 、A 、B 、C ,{OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ }为空间的一个基底,则下列说法正确的是 ( )A.O ,A ,B ,C 四点共线B.O ,A ,B ,C 四点共面,但不共线C.O ,A ,B ,C 四点不共面D.|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 3.(2021山东济宁高二上检测)已知点O ,A ,B ,C 为空间中不共面的四点,且向量a =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,向量b =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则不能与a ,b 共同构成空间向量的一个基底的向量是 ( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗B.OB ⃗⃗⃗⃗⃗C.OC ⃗⃗⃗⃗⃗D.以上都不能题组二空间向量基本定理的应用—用空间的基底表示空间向量4.在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,D 是四边形BB 1C 1C 的中心,且AA 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.12a +12b +12c B.12a −12b +12cC.12a +12b −12c D.−12a +12b +12c5.(2020安徽淮北一中高二上期中)已知M 、N 分别是四面体OABC 的棱OA ,BC 的中点,点P 在线段MN 上,且MP =2PN ,设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.16a +16b +16c B.13a +13b +13cC.16a +13b +13c D.13a +16b +16c6.(2020湖北宜昌高二下期末)在正四面体PABC 中,M 是PA 上的点,且PM =2MA ,N 是BC 的中点,若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +y +z 的值为 . 题组三利用空间向量基本定理解决几何问题7.(2021山东师范大学附属中学高二上月考)如图,已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是四棱柱,底面ABCD 是正方形,AA 1=3,AB =2,且∠C 1CB =∠C 1CD =60°,设CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c. (1)试用a ,b ,c 表示A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)已知O 为体对角线A 1C 的中点,求CO 的长.能力提升练题组一利用空间向量基本定理证明平行和垂直1.(多选)()在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则与直线CE不垂直的有()A.ACB.BDC.A1DD.A1A2.(2020山东烟台高二上期末,)如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AA1=AD,∠BAD=∠DAA1=60°,∠BAA1=30°,N为A1D1上一点,且A1N=λA1D1,若BD ⊥AN,则λ的值为;若M为棱DD1的中点,BM∥平面AB1N,则λ的值为.3.(2021辽宁大连高二上检测,)如图,在直三棱柱A B C-A1B1C1中, ∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D、F、G分别为CC1、B1C1、A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.(1)求证:B1D⊥平面ABD;(2)求证:平面EFG∥平面ABD.题组二利用空间向量基本定理求线段长度和异面直线所成角 4. (2021山东济宁实验中学高二上月考,)在一平面直角坐标系中,已知A (-1,6),B (2,-6),现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角,则折叠后A ,B 两点间的距离为 ( )A.B. C. D.5.(多选)()如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1,其中,以顶点A 为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是( ) A.AC 1=6√6 B.AC 1⊥DBC.向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是60°D.BD 1与AC 所成角的余弦值为√636.(2020浙江杭州学军中学高二上期中,)棱长为a 的正四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AD ,BC 的中点,则异面直线EF 与AB 所成角的大小是 ,线段EF 的长度为 . 7.(原创)()化学中,将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体.在结构化学中,可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位,这个基本单位叫做晶胞.已知钙、钛、氧可以形成如72411753图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心,Ca原子均在顶点位置,O原子位于棱的中点).则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为.答案全解全析基础过关练1.C 结合长方体,如图,可知向量a ,b ,x 共面,x ,y ,z 不共面,b ,c ,z 不共面,x ,y ,a +b +c 也不共面,故选C .方法归纳判断给出的某一个向量组中的三个向量能否作为基底,关键是要判断它们是否共面,如果从正面难以入手,常用反证法或借助一些常见的几何图形帮助我们进行判断.2.C ∵{OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC⃗⃗⃗⃗⃗ }为空间的一个基底, ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 三个向量不共面,即O 、A 、B 、C 四点不共面.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不一定为单位向量,故选C .3.C ∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OC⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(a -b ), ∴OC⃗⃗⃗⃗⃗ 与a ,b 共面, ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不能与a ,b 共同构成空间向量的一个基底. 易知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 均能与a ,b 共同构成空间向量的一个基底. 故选C.4.D A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12a +12b +12c ,故选D . 5.C OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+13×12O a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b +13c +16a ,故选C .6.答案 13解析如图所示,连接PN ,AN ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−23PA⃗⃗⃗⃗⃗ +12PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12PC⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴x =-23,y =12,z =12.∴x +y +z =13.7.解析 (1)A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-c -b -a. (2)由题意知,|a |=2,|b |=2,|c |=3,a ·b =0,a ·c =2×3×12=3,a ·b =2×3×12=3,∵CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a +b +c ),∴|CO⃗⃗⃗⃗⃗ |=√14(a +b +c )2 =√14(a 2+b 2+c 2+2a ·b +2a ·c +2b ·c )=√14×(22+22+32+0+2×3+2×3)=√292. 能力提升练1.ACD CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2≠0,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0, CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2≠0,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2≠0,∴与CE 不垂直的有AC 、A 1D 、A 1A.故选ACD . 2.答案 √3−1;23解析取空间中的一个基底:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c.若BD ⊥AN ,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b -a ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c +λb , ∴(b -a )·(c +λb )=0,∴12+λ−√32−λ2=0,∴λ=√3-1.当M 为棱DD 1的中点,BM ∥平面AB 1N 时,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b +12c ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λb +c ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +c.∵BM ∥平面AB 1N ,∴向量BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,∴∃x ,y ∈R,使得BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即-a +b +12c =ya +xλb +(x +y )c ,∴{-1=y ,1=xλ,12=x +y ,解得λ=23.3.证明 (1)易得B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∵B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12a 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0, ∴B 1D ⊥BA ,B 1D ⊥BD ,又BA ∩BD =B , ∴B 1D ⊥平面ABD.(2)连接B 1G.∵EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )−14B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )−12B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(12B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -14B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−18B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0,B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·12B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴B 1D ⊥EG ,B 1D ⊥FG ,又EG ∩FG =G ,∴B 1D ⊥平面EFG ,又B 1D ⊥平面ABD ,平面ABD 与平面EFG 不重合, ∴平面EFG ∥平面ABD.4.D 已知在平面直角坐标系中A (-1,6),B (2,-6),作AC ⊥x 轴,交x 轴于C 点,作BD ⊥x 轴,交x 轴于D 点,如图(1),沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角,如图(2),易得|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°, 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,图(1)图(2)所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =62+32+62−2×6×6×12=45,∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√5,即折叠后A,B 两点间的距离为3√5.故选D .5.AB 因为以顶点A 为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°, 所以AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =6×6×cos 60°=18,(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗=36+36+36+3×2×18=216,则|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6√6, 所以A 正确; AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =0,所以B 正确; 显然△AA 1D 为等边三角形,则∠AA 1D =60°.因为B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且向量A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是120°,所以B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是120°,所以C 不正确;因为BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=6√2,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=6√3, BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=36, 所以cos<BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ |BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=6√2×6√3=√66,所以D 不正确.故选AB .6.答案π4;√22a 解析设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则{a ,b ,c }是空间的一个基底,∴|a |=|b |=|c |=a ,a ·b =a ·c =b ·c =12a 2.∵EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ -AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a +b)−12c , ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a2+12a ·b -12a ·c =12a 2,|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(12a +12b -12c)2=√22a ,∴cos<EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12a 2√22a×a =√22,∴异面直线EF 与AB 所成的角为π4.7.答案 15解析设该立方体的棱长为a ,取{A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为空间向量的一个基底, 其中<A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=90°,<A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=90°,<A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=90°.∵BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设BF 与B 1E 所成角为θ,则cos θ=|cos<BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|BF ⃗⃗⃗⃗⃗·B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|14A D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2|√4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2×√4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =14a 254a 2=15, ∴BF 与B 1E 所成角的余弦值为15.。

数学人教A版(2019版)选择性必修第一册同步练习1.2空间向量基本定理

数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习1.2空间向量基本定理一、选择题本大题共9道小题。

1. 【题文】已知:,,p a b c 是三个非零向量；:{,,}q a b c 为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B 【解析】解析：三个不共面的向量才能作为空间的一个基底，故p 不能推出q ，但q 可以推出p .故选B.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.2空间向量基本定理【结束】答案及解析：1. 【题文】已知:,,p a b c 是三个非零向量；:{,,}q a b c 为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件答案第2页，总18页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B 【解析】解析：三个不共面的向量才能作为空间的一个基底，故p 不能推出q ，但q 可以推出p .故选B.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.2空间向量基本定理【结束】 2. 【题文】已知四面体1,O ABC G -是△ABC 的重心，G 是1OG 上点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(),,x y z 为( )A.111,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭B.333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭C.111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D.222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】 A 【解析】解析：如图所示，连接1AG 并延长，交BC 于点E ，则点E 为BC 的中点，11()(2)22AE AB AC OB OA OC =+=-+，121(2)33AG AE OB OA OC ==-+.13OG GG =，()11333121111444333444OG OG OA AG OA OB OA OC OA OB OC ⎛⎫∴==+=+-+=++ ⎪⎝⎭，故选A.○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.2空间向量基本定理【结束】答案及解析：2. 【题文】已知四面体1,O ABC G -是△ABC 的重心，G 是1OG 上点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(),,x y z 为( )A.111,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭B.333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭C.111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D.222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】 A 【解析】解析：如图所示，连接1AG 并延长，交BC 于点E ，则点E 为BC 的中点，11()(2)22AE AB AC OB OA OC =+=-+，121(2)33AG AE OB OA OC ==-+.13OG GG =，()11333121111444333444OG OG OA AG OA OB OA OC OA OB OC ⎛⎫∴==+=+-+=++ ⎪⎝⎭，故选A.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.2空间向量基本定理【结束】 3. 【题文】在正方体''''ABCD A B C D -中，123,,O O O 分别是,','AC AB AD 的中点，以{}123,,AO AO AO 为基底，123'AC xAO y AO z AO =++，则,,x y z 的值是( )答案第4页，总18页A.1x y z ===B.12x y z ===C.2x y z === D.2x y z ===【答案】 A 【解析】解析：''''AC AB BC AB BB BC AB AA AD=+=++=++111111()(')(')''222222AB AD AB AA AA AD AC AB AD =+++++=++123AOAO AO =++，对比123'AC xAO yAO zAO =++，可得1x y z ===.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.2空间向量基本定理【结束】答案及解析：3. 【题文】在正方体''''ABCD A B C D -中，123,,O O O 分别是,','AC AB AD 的中点，以{}123,,AO AO AO 为基底，123'AC xAO y AO z AO =++，则,,x y z 的值是( )A.1x y z ===B.12x y z ===C.2x y z === D.2x y z ===【答案】 A 【解析】解析：''''AC AB BC AB BB BC AB AA AD=+=++=++111111()(')(')''222222AB AD AB AA AA AD AC AB AD =+++++=++123AO AO AO =++，对比123'AC xAO yAO zAO =++，可得1x y z ===.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.2空间向量基本定理【结束】 4. 【题文】在以下三个命题中，真命题的个数是( )①若三个非零向量,,a b c 不能构成空间的一个基底，则,,a b c 共面；②若两个非零向量,a b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则,a b 共线；③若,a b 是两个不共线的向量，而c a b λμ=+(,λμ∈R 且0λμ≠)，则{},,a b c 构成空间的一个基底. A.0B.1C.2D.3【答案】 C 【解析】解析：①正确，作为基底的向量必须不共面；②正确；③错误，,a b 不共线，当c a b λμ=+时，,,a b c 共面，故只有①②正确.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.2空间向量基本定理【结束】答案及解析：4. 【题文】在以下三个命题中，真命题的个数是( )①若三个非零向量,,a b c 不能构成空间的一个基底，则,,a b c 共面；②若两个非零向量,a b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则,a b 共线；③若,a b 是两个不共线的向量，而c a b λμ=+(,λμ∈R 且0λμ≠)，则{},,a b c 构成空间的一个基底. A.0B.1C.2D.3答案第6页，总18页线…【答案】 C 【解析】解析：①正确，作为基底的向量必须不共面；②正确；③错误，,a b 不共线，当c a b λμ=+时，,,a b c 共面，故只有①②正确.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.2空间向量基本定理【结束】 5. 【题文】已知,,,M A B C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使{},,MA MB MC 成为空间的一个基底的是( )A.111333OM OA OB OC =++B.MA MB MC =+C.OM OA OB OC =++D.2MA MB MC =-【答案】 C 【解析】解析：对于选项A ，由(1),,,OM xOA yOB zOC x y z M A B C =++++=⇒四点共面，知,,MA MB MC 共面；对于选项B ，D ，易知,,MA MB MC 共面，故选C.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.2空间向量基本定理【结束】答案及解析：5. 【题文】已知,,,M A B C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使{},,MA MB MC 成为空间的一个基底的是( )A.111333OM OA OB OC =++B.MA MB MC =+C.OM OA OB OC =++D.2MA MB MC =-【答案】 C 【解析】解析：对于选项A ，由(1),,,OM xOA yOB zOC x y z M A B C =++++=⇒四点共面，知,,MA MB MC 共面；对于选项B ，D ，易知,,MA MB MC 共面，故选C.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.2空间向量基本定理【结束】 6. 【题文】已知,,,O A B C 为空间不共面的四点，且向量a OA OB OC =++，向量b OA OB OC =+-，则与,a b 不能构成空间基底的是( ) A.OAB.OBC.OCD.OA 或OB【答案】 C 【解析】解析：∵1()2OC a b =-，∴OC 与,a b 共面，∴,,a b OC 不能构成空间基底.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.2空间向量基本定理【结束】答案及解析：6. 【题文】已知,,,O A B C 为空间不共面的四点，且向量a OA OB OC =++，向量b OA OB OC =+-，则与,a b 不能构成空间基底的是( ) A.OAB.OBC.OCD.OA 或OB【答案】 C答案第8页，总18页【解析】解析：∵1()2OC a b =-，∴OC 与,a b 共面，∴,,a b OC 不能构成空间基底.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.2空间向量基本定理【结束】 7.【题文】已知,,a b c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( ) A.3,,2a a b a b -+B.2,2,2b b a b a -+C.,2,a b b c -D.,,c a c a c +-【答案】 C 【解析】解析：对于选项A ，有32()2a a b a b =-++，则3,,2a a b a b -+共面，不能作为基底；同理可判断选项,B D 中的向量共面.故选C.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.2空间向量基本定理【结束】答案及解析：7.【题文】已知,,a b c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( ) A.3,,2a a b a b -+B.2,2,2b b a b a -+C.,2,a b b c -D.,,c a c a c +-【答案】 C 【解析】解析：对于选项A ，有32()2a a b a b =-++，则3,,2a a b a b -+共面，不能作为基底；同理可判断选项,B D 中的向量共面.故选C.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.2空间向量基本定理【结束】 8. 【题文】在空间四点,,,O A B C 中，若{},,OA OB OC 是空间的一个基底，则下列命题不正确的是( ) A.,,,O A B C 四点不共线 B.,,,O A B C 四点共面，但不共线 C.,,,O A B C 四点不共面D.,,,O A B C 四点中任意三点不共线【答案】 B 【解析】解析：选项A 对应的命题是正确的，若四点共线，则相连,,OA OB OC 共面，构不成基底；选项B 对应的命题是错误的，若四点共面，则,,OA OB OC 共面，构不成基底；选项C 对应的命题是正确的，若四点共面，则,,OA OB OC 构不成基底；选项D 对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四个点共面，向量,,OA OB OC 构不成基底.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.2空间向量基本定理【结束】答案及解析：8. 【题文】在空间四点,,,O A B C 中，若{},,OA OB OC 是空间的一个基底，则下列命题不正确的是( ) A.,,,O A B C 四点不共线 B.,,,O A B C 四点共面，但不共线 C.,,,O A B C 四点不共面D.,,,O A B C 四点中任意三点不共线【答案】 B 【解析】解析：选项A 对应的命题是正确的，若四点共线，则相连,,OA OB OC 共面，构不成基底；选项B 对应的命题是错误的，若四点共面，则,,OA OB OC 共面，构不成基底；选项C 对应的命题是正确的，若四答案第10页，总18页点共面，则,,OA OB OC 构不成基底；选项D 对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四个点共面，向量,,OA OB OC 构不成基底.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.2空间向量基本定理【结束】 9. 【题文】已知{}123,,e e e 为空间的一个基底，若123123123,,=++=+-=-+a e e e b e e e c e e e ，12323=++d e e e ，且αβγ=++d a b c ，则,,αβγ分别为( )A.51,1,22--B.51,1,22 C.51,1,22--D.51,1,22- 【答案】 A 【解析】解析：由题意知()()()123123123αβγαβγ=++=++++-+-+=d a b c e e e e e e e e e 123()()()αβγαβγαβγ++++-+-+e e e .又12323=++d e e e ，所以123αβγαβγαβγ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩，解得52112αβγ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.2空间向量基本定理【结束】答案及解析：9. 【题文】已知{}123,,e e e 为空间的一个基底，若123123123,,=++=+-=-+a e e e b e e e c e e e ，12323=++d e e e ，且αβγ=++d a b c ，则,,αβγ分别为( )A.51,1,22-- B.51,1,22 C.51,1,22--D.51,1,22-…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】 A 【解析】解析：由题意知()()()123123123αβγαβγ=++=++++-+-+=d a b c e e e e e e e e e 123()()()αβγαβγαβγ++++-+-+e e e .又12323=++d e e e ，所以123αβγαβγαβγ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩，解得52112αβγ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩.【标题】数学人教A 版（2019版）选择性必修第一册同步练习 1.2空间向量基本定理【结束】评卷人得分一、填空题本大题共3道小题。