(完整版)圆锥体积公式推导
圆锥的体积计算公式推导过程
圆锥的体积计算公式推导过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆锥是一种常见的几何形体，在日常生活和工程领域都有着广泛的应用。
计算圆锥的体积是解决一些问题时必不可少的，比如建筑物、容器等的设计与制造。
那么，如何推导出圆锥的体积计算公式呢？本文将详细介绍圆锥的体积计算公式推导过程，希望对您有所帮助。
我们需要了解圆锥的定义和性质。
圆锥是由一个圆面和一个顶点相连的直线组成的几何体，其中圆面称为底面，顶点称为顶点。
圆锥的体积计算公式是V=1/3πr^2h，其中r为底面半径，h为圆锥的高度。
推导圆锥的体积计算公式需要从圆锥的性质和几何关系入手。
我们可以将圆锥从顶点到底面切割为无数个小圆盘，然后将这些小圆盘叠起来，就可以得到整个圆锥的体积。
而每个小圆盘的积为πr^2h，所以整个圆锥的体积就是所有小圆盘的积之和。
接下来，我们可以使用积分的方法将这些小圆盘的积求和。
假设圆锥的高度为h，底面半径为r，我们将圆锥沿着高度方向分割为无穷小的薄片，并且每一薄片的高度为dh。
我们可以得到每个薄片的半径为r'(h)，根据几何关系可知，r'/r=h'/h。
其中h'为薄片的高度。
那么，我们可以得到薄片的体积为dV=π(r')^2dh=π(rh'/h)^2dh=πr^2(h'/h)^2dh。
将所有薄片叠起来，就得到整个圆锥的体积为V=∫0^h πr^2(h'/h)^2dh=πr^2∫0^h (h'/h)^2dh。
其中0为基准高度，h为圆锥的高度。
第二篇示例：圆锥，是一种几何图形，由一个圆形底面和从底面所有直线到一个固定点的线段构成。
圆锥的体积是指该圆锥所包围的空间大小。
在数学中，我们可以利用公式来推导圆锥的体积。
圆锥的体积计算公式是通过对圆锥的底面积和高进行计算得出的。
假设圆锥的半径为r，高为h，圆锥的底部为一个圆，底部圆的面积可以表示为πr^2，我们知道圆锥的体积是底部圆形状的面积乘以高所得的结果。
圆锥的体积公式证明过程
圆锥的体积公式证明过程
标题，圆锥的体积公式推导。
在数学中，圆锥是一种具有圆形底部和尖顶的几何体。
它的体积可以用一个简单的公式来表示。
下面我们将推导出圆锥体积的公式。
首先，我们假设圆锥的底部半径为r，高度为h。
我们知道圆锥的体积可以表示为底部面积乘以高度再除以3，即V = (1/3) 底部面积高度。
圆锥的底部面积为圆的面积，即πr^2，其中π是圆周率。
接下来，我们需要找到圆锥的高度h。
为了简化问题，我们可以使用勾股定理来找到圆锥的高度。
考虑到圆锥的高度、底部半径和斜边之间的关系，我们可以得到 h^2 + r^2 = l^2，其中l是斜边的长度。
解出h，我们得到h = sqrt(l^2 r^2)。
现在我们可以将底部面积和高度代入圆锥体积的公式中：
V = (1/3) π r^2 sqrt(l^2 r^2)。
这就是圆锥体积的公式的推导过程。
通过这个公式，我们可以计算出任意圆锥的体积，只需要知道底部半径和高度即可。
这个推导过程展示了数学在解决几何问题中的重要性，也让我们更深入地理解了圆锥的性质和体积计算方法。
圆锥体积计算公式多种方法
圆锥体积计算公式多种方法圆锥体积是指圆锥所占据的空间大小，是一个重要的几何量。
在实际生活中，我们经常需要计算圆锥体积，比如在建筑、工程、制造等领域。
圆锥体积的计算公式有多种方法，下面我们将介绍一些常用的计算方法。
1. 圆锥体积的基本公式。
圆锥体积的基本公式是，V = 1/3 π r^2 h，其中V表示圆锥的体积，π是圆周率，r是圆锥底面的半径，h是圆锥的高度。
这是最基本的圆锥体积计算公式，适用于一般情况下的圆锥体积计算。
2. 利用相似三角形计算圆锥体积。
在一些特殊情况下，我们可以利用相似三角形来计算圆锥体积。
当圆锥的底面和高度与另一个已知的圆锥相似时，我们可以利用相似三角形的性质来计算圆锥的体积。
具体的计算方法是，设已知圆锥的底面半径为r1，高度为h1，体积为V1，要计算的圆锥的底面半径为r2，高度为h2，体积为V2，且已知圆锥和要计算的圆锥相似，则有r2/r1 = h2/h1，根据相似三角形的性质可得V2/V1 = (r2/r1)^2 (h2/h1)，从而可以利用已知圆锥的体积来计算要计算的圆锥的体积。
3. 利用积分计算圆锥体积。
在一些复杂的情况下，我们可以利用积分来计算圆锥的体积。
具体的计算方法是，设要计算的圆锥的底面半径为r，高度为h，我们可以将圆锥沿着高度方向切割成无数个薄片，每个薄片可以看作是一个圆柱体，其体积为π r^2 dh，其中dh是薄片的高度。
然后将所有薄片的体积相加并进行积分，即可得到圆锥的体积。
这种方法适用于圆锥的底面和高度不规则的情况。
4. 利用几何体积相似性计算圆锥体积。
在一些特殊情况下，我们可以利用几何体积的相似性来计算圆锥的体积。
具体的计算方法是，设已知圆锥的底面半径为r1，高度为h1，体积为V1，要计算的圆锥的底面半径为r2，高度为h2，体积为V2，且已知圆锥和要计算的圆锥相似，则有V2/V1 = (r2/r1)^2 (h2/h1)，从而可以利用已知圆锥的体积来计算要计算的圆锥的体积。
圆锥体积推导公式
圆锥体积推导公式以《圆锥体积推导公式》为标题，写一篇3000字的中文文章圆锥体虽然在我们的日常生活中非常常见，但其体积推导公式却甚少有人知晓。
它是某些固有几何学形状的重要分支，又称为斜锥，也称作圆台，它的体积具有一定的规律，可以用下面的公式来推导：V=1/3*π*h*(R*R+R*r+r*r)。
首先，我们来了解一下圆锥体的定义。
圆锥体是指由一个圆基部和一个斜面组成的体积，它是由圆柱体变形而来，具有不可逆性。
圆锥体有一边是圆基部，另一边是直径大小不同的底面，而斜面是连接两个底面的一条圆柱曲面。
其中，大圆基部的半径为R，小圆基部的半径为r，圆锥体的高h。
知道了圆锥体的定义，可以根据物理公式中的V=1/3π*h*(R*R+R*r+r*r)来计算圆锥体的体积了。
其中，V圆锥体的体积，π圆周率，h圆锥体的高，R r别是大圆基部和小圆基部的半径。
要推导出圆锥体的体积，首先要设定大圆的半径R，小圆半径r 以及圆锥体的高h。
推导过程如下：1.R代入V=1/3π*h*(R*R+R*r+r*r)，得到V=1/3π*h*(R*R+R*r+r*r);2.又 V=1/3π*(h*(R*R+R*r+r*r))；3.最后将上式简化一下得V=1/3π*h*(R*R+R*r+r*r)。
从上面的推导过程可以看出，V=1/3π*h*(R*R+R*r+r*r)并不是一个复杂的公式，只要把大圆半径R，小圆半径r以及圆锥体的高h带入到上式中，就可以计算出圆锥体的体积。
此外，除了上面的公式外，还可以用另一个公式来推导圆锥体的体积。
V=1/3*π*h*(R+r)2，是由椭圆体积公式V=π*a*b*h/4转化而来的。
其中，R r别为大圆基部和小圆基部的半径，h为圆锥体的高。
用这个公式来推导圆锥体的体积时，也要把大圆半径R，小圆半径r 以及圆锥体的高h带入到上式中，即可计算出体积。
总而言之，圆锥体的体积可以用V=1/3π*h*(R*R+R*r+r*r)或V=1/3*π*h*(R+r)2这两个公式来推导。
圆锥体积的计算公式
圆锥体积公式是什么？
圆锥的体积公式是：V=1/3Sh或V=1/3πr²h，其中，S是底面积，h是高，r是底边半径。
圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧面展开图是扇形。
一个圆锥的体积相当于与它等底等高线的圆柱的体积的1/3，依据圆柱体积公式V=Sh(V＝πr²h)，得到圆锥容积公式。
扩展资料
圆锥的性质
（1）平行于底面的截面圆的性质：截面圆面积和底面圆面积的比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的平方比。
（2）过圆锥的顶点，且与其底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形。
（3）圆锥的母线l，高h和底面圆的半径组成一个直径三角形，圆锥的有关计算问题，一般都要归结为解这个直角三角形，特别是关系式l2=h2+R2。
— 1 —— 1 —。
高中圆锥体积公式推导过程
高中圆锥体积公式推导过程
圆锥体的体积由圆柱推导而来，设h为圆台的高，r和r为棱台的上下底面半径，v 为圆台的体积。
由于圆台是由一个平面截去圆锥的一部分（也就是和原来圆锥相似的一个小圆锥）得到，所以计算体积的时候，可以先算出原来圆锥的体积。
再减去和它相似的小圆锥的体积。
圆锥是一种几何图形，有两种定义。
解析几何定义：圆锥面和一个截它的平面（满足交线为圆）组成的空间几何图形叫圆锥。
立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
旋转轴叫做圆锥的轴。
垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。
不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。
无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。
（边是指直角三角形两个旋转边）。
圆锥体积公式的推导
整理课件
36
假设左图为
一个长方体。
底面是一个
正方形。
高的长度是
底边的2倍
取它的中心。
做一个四棱
锥
以此类推，
共能做出六
整理课件
个
37
共能做出6
假一底正高个则中是6左倍设个面方的四说的四图。左长是形长棱明长棱中方图一。度锥左方锥的体为个是，图体的长。 底方边体的的高2倍是 取四它棱的锥中的心2 。 做倍一，个则四说棱明
答案是没有。n是无穷大的，n+1也就=n。
1/n³×1/6×n×(n+1) ×(2n+1)
nn
2n
1/n³×1/6×n×n×2n
=1/6×2 =1/3
所以，圆锥的体积是圆柱的1/3
整理课件
46
整理课件
47
成n份。
每份高：h÷n=h/n
第1份半径：r
第1份底面积：S=兀r²
第一份体积：兀r²h/n
也就是
兀r²×h×1/n
第二份体积：兀×h/n× (n-1/n ×r)²
也就是
兀r²×h/n ×(n-1/n )²
等同于
兀r²×h×1/n ×(n-1/n )²
整理课件
43
参考刚才我们算出的结果，我们得出：
整理课件
44
根据公式 [ 1² + 2²+……(n-2)²+(n-1)²+n²] =1/6×n×(n+1) ×(2n+1)
所以1/n³×[ 1² + 2²+……(n-2)²+(n-1)²+n²] =1/3 =1/n³×1/6×n×(n+1) ×(2n+1) =1/3
高中圆锥体积公式推导过程证明
高中圆锥体积公式推导过程证明
【原创实用版】
目录
1.圆锥体积公式的推导过程
2.圆锥体积公式的证明
正文
一、圆锥体积公式的推导过程
圆锥体积公式是我们在高中数学中学习到的一个重要公式，它可以帮助我们计算圆锥的体积。
那么，这个公式是如何推导出来的呢？
首先，我们需要了解圆锥的结构。
圆锥是由一个圆和一个顶点不在同一平面上的直角三角形组成的。
我们可以将圆锥分成无数个横截面，每个横截面都是一个圆形，而且这些圆形的半径都相等。
然后，我们可以将这些圆形叠加在一起，形成一个柱体。
这个柱体的底面积就是圆锥的底面积，高度就是圆锥的高度。
由于柱体的体积公式我们已经知道，所以我们可以通过计算柱体的体积，来得到圆锥的体积。
具体来说，圆锥的体积等于柱体的体积除以 3。
因此，我们可以得到圆锥体积公式：V = 1/3 * π * r^2 * h，其中V 表示圆锥的体积，r 表示圆锥底面的半径，h 表示圆锥的高度。
二、圆锥体积公式的证明
虽然我们已经知道了圆锥体积公式，但是我们还需要证明这个公式的正确性。
证明的方法有很多，其中一种比较常见的方法是利用微积分。
我们可以将圆锥分成无数个横截面，每个横截面都是一个圆形，而且这些圆形的半径都相等。
我们可以将这些圆形叠加在一起，形成一个柱体。
然后，我们可以通过微积分的方法，计算出这个柱体的体积。
具体来说，我们需要计算圆形的面积和高度的乘积，然后将它们相加。
通过计算，我们可以得到柱体的体积为：V = 1/3 * π * r^2 * h，其中 V 表示圆锥的体积，r 表示圆锥底面的半径，h 表示圆锥的高度。
圆锥体积推导公式
圆锥体积推导公式
圆锥体积推导公式是数学中非常重要的一个概念，它是圆柱体和圆台体结合而成，是学习物理、化学和其他科学课程时十分重要的一个概念。
本文将以圆锥体积推导公式为主题，重点介绍它的计算方法和公式，让读者能够进一步的理解。
首先，圆锥体的定义及表达式：圆锥体是由两个圆台部分和一个圆柱体部分组成的，其表达式为V=1/3πh(R^2+Rr+r^2)，其中V代
表体积，h代表圆锥的高度，R代表上底半径，r代表下底半径，π
代表圆周率，由此可知，除了圆锥的高度外，上底半径和下底半径对圆锥体积也有很大的影响。
接下来，要求圆锥体积的推导过程：从上面的表达式可以看出，圆锥体积是上底半径、下底半径和高度之间的函数关系，所以先要确定h、R和r三个量，然后将它们代入表达式，就可以计算出圆锥体
积了。
再来，要求圆锥体积的改进表达式：由于圆锥体的上底半径和下底半径都可能是不同的，所以可以把表达式中的“R^2+Rr+r^2”改写为“R^2+2Rr+2r^2”，以此来更加准确的计算出圆锥体积。
最后，要求圆锥体积的数值计算：当我们知道圆锥体的上底半径与下底半径以及其高度后，即可根据上面的公式计算出圆锥体的体积，如，当圆锥体的上底半径为6 cm，下底半径为8 cm，高度为15 cm 时，此时的体积为V=1/3πh(R^2+Rr+r^2)=1/3×3.14×15×(6^2+2
×86+2×8^2)=1981.55 cm^3。
综上所述，本文以“圆锥体积推导公式”为主题，提供了一般的推导过程，并结合简单的数值计算，进一步向读者阐述了圆锥体积推导公式。
由此可见，圆锥是非常重要的几何体，遵循着圆锥体积推导公式，就可以方便我们计算出圆锥体的体积。
圆锥的体积课件ppt
线长。
圆锥的体积是底面面积与高的乘 积的三分之一，即V = (1/3)πr²h。
因此，圆锥的体积与表面积之间 没有直接的关系，但可以通过底
面半径和高来间接计算。
02
圆锥的体积计算
圆锥的体积课件
• 圆锥的体积公式 • 圆锥的体积计算 • 圆锥的体积与现实生活 • 圆锥的体积与其他几何体的关系
01
圆锥的体积公式
圆锥的体积公式推导
圆锥的体积公式为：V = (1/3)πr²h，其中r为底面半径，
h为高。
该公式是通过将圆锥切割成若干 个小的圆柱体，然后求和圆柱体 的体积，最后得到圆锥的体积。
01
03
在自然现象描述方面，圆锥的体积可用于描述如沙漏、 火山喷发等现象的过程和规律，帮助人们更好地理解
和预测这些自然现象。
04
在手工艺品制作方面，圆锥的体积可用于计算手工艺 品如陶器、花瓶等材料的用量，从而制作出精美的艺 术品。
04
圆锥的体积与其他几何体的关系
圆锥的体积与圆柱体的关系
总结词
圆锥的体积是其底面积与高的乘积的 三分之一，这与圆柱体的体积公式存 在关联。
圆锥的体积计算方法
01
圆锥的体积计算公式
V = (1/3)πr²h，其中r是底面半径，h是高。
02 03
圆锥体积公式的推导
通过微积分的知识，将圆锥的底面分割成无数个小的扇形，再将这些扇 形旋转并叠加成一个近似于圆柱体的形状，通过求这个圆柱体的体积来 近似得到圆锥的体积。
圆锥体积公式的应用
在几何、物理、工程等领域中，圆锥的体积公式被广泛应用于计算各种 实际问题，如求圆锥形物体的容积、液体容量等。
圆锥的体积计算公式推导过程
圆锥的体积计算公式推导过程
圆锥是一种常见的几何体，它有着独特的形状和特点。
我们可以通过推导来得出圆锥的体积计算公式。
假设我们有一个圆锥，它的底面半径为r，高度为h。
首先，我们可以将圆锥分割为无数个薄片，每个薄片都是一个小圆柱体。
我们可以发现，每个小圆柱体的体积都可以通过底面积乘以高度来计算。
而底面积可以表示为圆的面积，即πr²。
接下来，我们可以将圆锥展开为一个扇形，将其卷起来形成一个圆柱体。
这个圆柱体的底面积仍然是πr²，而高度是圆锥的斜高，记为l。
现在，我们可以将圆锥的体积与圆柱体的体积进行比较。
我们知道，圆锥的体积应该小于圆柱体的体积，因为圆锥的形状更加尖锐。
圆柱体的体积可以表示为底面积乘以高度，即πr²l。
而圆锥的体积可以表示为底面积乘以高度的三分之一，即πr²h/3。
通过比较圆锥和圆柱体的体积公式，我们可以得出圆锥的体积计算公式为πr²h/3。
这是一个简洁而有效的公式，可以用来计算圆锥的体积。
通过推导过程，我们可以清晰地理解圆锥的体积计算公式的来源和原理。
这个公式在数学和物理等领域有着广泛的应用，可以帮助我
们计算各种圆锥的体积，深入研究圆锥的性质和特点。
无论是在学术研究还是日常生活中，圆锥的体积计算公式都是非常有用的工具。
希望通过这篇文章，读者们能够更好地理解和掌握圆锥的体积计算公式，为自己的学习和工作带来便利。
圆锥体体积公式的证明
圆锥体体积公式的证明
证明：
为了证明圆锥体体积公式，我们可以通过利用积分的方法来推导。
首先，我们考虑一个高为h，底面半径为r的圆锥体。
为了简化计算，我们可以将圆锥体分为无数个薄片，每个薄片都是一个小圆柱体。
对于每
个薄片，它的底面积为A，高为Δh，所以它的体积可以用小圆柱体体积
公式来计算，即ΔV=A*Δh。
为了求解整个圆锥体的体积，我们需要对所有薄片的体积进行累加。
所以，整个圆锥体的体积可以表示为：
V = ∫[0,h] A * dh
为了求解整个积分，我们需要找到A与h之间的关系。
由于圆锥体的
底面是一个圆，所以底面积A可以表示为A=π*r^2
将A=π*r^2代入积分式中，我们可以得到：
V = ∫[0,h] π * r^2 * dh
对积分进行求解
V = π * r^2 * ∫[0,h] dh
V=π*r^2*[h]从0到h
V=π*r^2*(h-0)
V=π*r^2*h
所以，我们通过积分的方法得到的圆锥体体积公式就是V=π*r^2*h。
圆锥体积的推导公式
圆锥体积的推导公式
圆锥体积是指一个以圆锥为形状的立体图形的体积大小，其公式的推导如下：
设圆锥的底面半径为r，高为h，那么圆锥可以看做是许多个高为h，底面半径为x的小圆柱体拼接而成。
因此，圆锥的体积可以近似为这些小圆柱体的体积之和，即：
V ≈ ΣV（小圆柱体）= Σ(πx²h)
将小圆柱体的底面半径x与圆锥的高h联系起来，根据勾股定理可得：
x² + h² = r²
解出x，得：
x = √（r² - h²）
将x代入圆锥的体积公式中，即可得到圆锥体积的推导公式：
V = 1/3 πr²h
其中，1/3是由小圆柱体的高度与圆锥高度的比值（h：3h）所得出的。
圆锥体的体积公式推导过程
圆锥体的体积公式推导过程
圆锥体的体积公式是许多数学领域中的基础概念。
如果没有这个公式，很多现代工程学和科学都难以实现。
圆锥体的体积是指圆锥体所
占据的空间大小，也可以理解为圆锥体所装载的物质数量。
下面我们
来看一下圆锥体的体积公式推导过程。
推导过程：
1.先从一个简单的圆锥开始，我们假设半径为r，高为h，顶角为θ。
2.将圆锥划分成无数个小立体，并将这些立体堆积在一起形成整个圆锥。
3.我们将每个小立体截取成小圆柱体，每个小圆柱体的高与小立体相同，底面半径为r关于h的函数。
4.将小圆柱体的体积累加起来，得到整个圆锥的体积。
5.将小圆柱体的体积公式带入上述累加公式中进行计算，通过求和得到整个圆锥的体积公式。
公式推导：
1.圆锥的体积可以表示为整个圆锥的体积等于底面积与高的乘积除以3，即
V=1/3πr²h
2.对于一个圆锥的小切片，我们可以将其表示为圆柱。
3.通过求出圆柱的体积来计算圆锥的体积。
4.圆柱的体积可以表示为底面积与高的乘积，即
V=πr²h'
5.由于圆柱和圆锥具有相同的顶角θ，因此可以得到以下关系式：tanθ=h/r
6.代入 h' = r tanθ 得到
V=1/3πr³tanθ
7.将tanθ转化为r和h的关系式，即
tanθ=sqrt(h²+r²)/r
8.将上述式子带入到V的公式中，得到
V=1/3πr²h
这就是圆锥体的体积公式的推导过程。
圆锥体积计算公式积分推导过程
圆锥体积计算公式积分推导过程咱们先来说说圆锥这东西啊。
大家都见过圆锥吧？比如说生日帽，还有那种尖顶的帐篷，都有点圆锥的样子。
咱们来琢磨琢磨怎么求出圆锥的体积。
要搞清楚这个，咱们得先从一些基础的知识入手。
想象一下，有一个圆锥，它的顶点在上方，底面是一个圆。
咱们把这个圆锥切成好多好多超级薄的片儿。
咱们先假设这个圆锥是直直的，不歪不斜。
那每一片儿都可以近似地看成是一个圆柱体。
不过这圆柱体可薄得很呐。
那怎么用积分来推导圆锥体积的计算公式呢？咱们设圆锥的高为h ，底面半径为 r 。
咱们在圆锥的轴线上选一个点，距离顶点的距离是 x 。
在这个位置切一刀，得到的那一小片儿的厚度就是 dx 。
这一小片儿可以看成是一个圆柱体，它的半径呢，是根据相似三角形的原理算出来的。
因为从顶点到底面，半径是从 0 逐渐变到 r 的嘛。
所以在 x 这个位置，半径就是 r * (x / h) 。
那这一小片儿的体积就是π * [r * (x / h)]² * dx 。
接下来，咱们把从顶点到底面的所有这些小薄片儿的体积加起来，这就得用积分啦。
积分的上下限就是从 0 到 h 。
所以圆锥的体积 V 就等于积分从 0 到h 的π * [r * (x / h)]² dx 。
算一下这个积分，先把式子展开，就变成了π * r² / h² * x² dx 。
然后积分算出来就是π * r² / h² * (1/3) * h³ 。
化简一下，就得到了1/3 * π * r² * h 。
这就是圆锥体积的计算公式啦！我记得有一次，我在课堂上讲这个推导过程。
有个学生特别较真儿，一直问我为什么要这样切，为什么不能横着切。
我就耐心地给他解释，还拿了个萝卜现场给他切出个圆锥的样子，比划着给他看。
最后他终于明白了，那一脸恍然大悟的表情，我到现在都还记得。
这也让我更深刻地感受到，把知识讲清楚，让学生真正理解，是多么有成就感的一件事儿。
圆锥体积公式推导
实验 小实验
圆锥的体积V等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一
V圆柱＝sh
1 V＝ 3sh
圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一
思 考：
1、一个圆锥与一个圆柱等底等高，
已知圆锥的体积是 8 立方米，
圆柱的体积是（
）。
练习3好
2、一个圆锥与一个圆柱等底等体积，
已知圆柱的高是 2 厘米， 圆锥的
高是（
）。
24立方米
3、一个圆锥与一个圆柱等高等体积，
已知圆柱的底面积是 6平方米，
圆锥的底面积是（
）。
6 厘米
18平方米
1
2
3
主页
判断
1 V＝ 3sh
2
1、一个圆柱体体积是27立方分米，与它等底等高的圆锥的体积是（
）立方分米。
2、一个圆锥体积是15立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（ ）立方厘米.
巩固练习
2、求下面各圆锥的体积。（单位：厘米）
（1）
（2）
练习2
7
8 10
3
1
2
3
主页
一堆大米，近似于圆锥形，量得 底面周 长是18.84分米，高6分米。它的体积是多 少立方分米？如果每立方分米大米重0.5 克，这堆大米有多少千克？
动动手： 1.一堆圆锥形的煤体积是12立方米，底面积是6立方米，高是多少？
2.如图，直角梯形ABCD，以AB为旋转轴旋转一周，所成几何图形的体积是多少?
A
D 6
4
B
C
3
3.如图，直角梯形ABCD，以AB为旋转轴旋转一周，所成几何图形的体积是多少?
A
A
2 D
圆锥的体积公式推导
圆锥的体积公式推导
两方面，一方面介绍圆锥面方程，另一方面介绍圆锥的体积公式推导。
一：圆锥面方程为()2222y x a z +=，R
h a ==αcot （α为圆锥的半顶角，h 为圆锥的高，R 为圆锥的地面半径） 圆锥面可看成一条过原点的直线以倾角απ-，绕原点旋转形成。
现取xoz 平面，则该直线的解析式为
αcot x z =
可得该圆锥面方程为：
α
c o t 22y x z +±= 两边平方，并令a =αcot ，则上式可改写为：
()2222y x a z +=
此为定点在原点的圆锥面方程。
二：圆锥体积公式推导
注意到圆锥面在xoy 平面上的投影为半径为R 的圆。
设所形成的投影的体积为V
则：
222:R y x D z d x d y V D ≤+=⎰⎰
代入，可得：
d x d y
y x a V D ⎰⎰+=22 令
θc o s r x =，θsin r y =
[][]πθ2,0,,0∈∈R r
则：
dr r d V R ⎰⎰=
0220πθ 33
2R a π=
h R 23
2π= 圆锥面所形成的的投影的体积为h R 23
2π，则圆锥的体积为 h R h R h R 2223
132πππ=- h R V 231π=圆锥。
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判断
1 、圆锥的体积是圆柱体积的 1 。
3
2、圆锥的体积比圆柱的体积小。
3、圆锥体积比和它等底等高的圆柱体积少
1 3
4、一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面 积也相等，那么圆锥高是圆柱高的3倍。
1.一个圆柱和一个圆锥等底等高，体 积相加的和为48立方厘米，圆锥、圆 柱的体积各是多少？
2.一个圆柱和一个圆锥等底等高，体 积相差20立方厘米，圆锥、圆柱的体 积各是多少？
动动手：
1.一堆圆锥形的煤体积是12立方米，底 面积是6立方米，高是多少？
2.如图，直角梯形ABCD，以AB为旋
转轴旋转一周，所成几何图形的体积
是多少?
A
D
6 4
B
C
3
3.如图，直角梯形ABCD，以AB为旋转轴旋转一 周，所成几何图形的体积是多少? A
思 考：
1、一个圆锥与一个圆练柱习等底3等好高， 已知圆锥的体积是 8 立方米， 圆柱的体积是（ 24立方米 ）。
2、一个圆锥与一个圆柱等底等体积， 已知圆柱的高是 2 厘米， 圆锥的 高是（ 6 厘米 ）。
3、一个圆锥与一个圆柱等高等体积， 已知圆柱的底面积是 6平方米， 圆锥的底面积是（ 18平方米 ）。
A
2 D
63 4
B
C
3
2 D
3
6
4
C B3
有一根底面直径是6厘米，长是10厘米的圆 柱形钢材，要把它削成与它等底等高的圆锥形 零件。要削去钢材多少立方厘米？
10厘米
6厘米
圆锥的体积
实验
小实验
圆锥的体积V等于和它等底等高 的圆柱体积的三分之一
V圆柱＝sh
V＝
1 3
sh
圆锥的体积等于和它等底等高 的圆柱体积的三分之一
V＝
1 3
sh
2
1、一个圆柱体体积是27立方分
米，与它等底等高的圆锥的体积是
（
）立方分米。
2、一个圆锥体积是15立方厘 米，与它等底等高的圆柱的体积是 （ ）立方厘米.
巩固练习
练习2
2、求下面各圆锥的体积。（单位：厘米）
（1）
（2）
7
8 10
3
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一堆大米，近似于圆锥形，量得 底面周 长是18.84分米，高6分米。它的体积是多 少立方分米？如果每立方分米大米重0.5 千克，这堆大米有多少千克？