高二上学期数学第一次月考试卷
甘肃省白银市会宁县第四中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷
甘肃省白银市会宁县第四中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知数列{}n a 满足11a =，11n n na a a +=+，则3a =（）A ．52B ．73C ．2D ．1742．已知点((,A B -，则直线AB 的倾斜角为（）A ．60oB ．30oC ．120D ．1503．已知等差数列{}n a 中，592,a a +=则13S =（）A ．13B ．12C ．11D ．不确定4．已知数列{}n a 为等差数列，14710a a a ++=，25830a a a ++=，则369a a a ++=（）A ．90B ．70C ．50D ．405．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S =，927S =，则6S =（）A ．6B ．12C ．15D ．216．在等比数列{}n a 中，12341,9a a a a +=+=，那么45a a +=()A ．27B ．27或27-C ．81D ．81或81-7．一个弹性小球从10米高处自由落到地面后弹起到原来的一半高度，再自由落到地面后又弹起到上一次的一半高度，如此反复进行下去，则小球第五次落地时经过的路程为（）A ．29.375米B ．19.375米C ．38.75米D ．28.75米8．已知正项等比数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为()N n S n +∈，且123112aa a -=，则6S =（）A ．31B ．32C ．63D ．64二、多选题9．下列选项中能满足数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的有（）A ．11(1)2n n a ++=-B ．πsin2n n a =C ．()21πcos2n n a -=D ．10n n a n ⎧=⎨⎩，是奇数，是偶数10．已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，下面叙述正确的是（）A ．当10a >时，数列{}n a 是递增数列B ．当10a >时，数列{}n a 是递减数列C ．当10a <时，数列{}n a 是递增数列D ．当10a <时，数列{}n a 是递减数列11．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若1317310,0a a S +><，则（）A ．0d >B ．0d <C ．当15n =时，n S 取得最大值D ．当16n =时，n S 取得最大值三、填空题12．ABC V 的三内角,,A B C 成等差数列，且40A C -=︒，则A =.13．已知数列{}n a 满足()*122,n n a a n n -=≥∈N ，且11a =，则n a =.14．已知两点(3,4)A 、(5,6)B -，则直线AB 的斜截式方程是．四、解答题15．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求这四个数构成的数列.16．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，60a =，376a a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若0n S <，求n 的最小值.17．已知数列{}n a 中，12a =，123n n a a +=+，且3n n b a =+，（1）证明数列{bn }是等比数列；（2）求数列{an }的通项公式.18．已知数列为等差数列，136a a +=，416S =．(1)求数列的通项公式：(2)设2n an n b a =+，求数列的前n 项和n T ．19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，()221n n a a n *=+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S ；(3)若13n n b -=，令n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．。
云南省玉溪第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题
云南省玉溪第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列说法中，正确的有（）A ．过点()1,2P 且在x 、y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B ．直线10x +=的倾斜角为60o C ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-D ．过点()5,4并且倾斜角为90 的直线方程为40y -=2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，1123AC xAB yBC zC C =++，则x y z ++=（）A ．1B ．76C ．56D ．233．设{},,i j k 是单位正交基底，已知向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()8,6,4，其中a i j =+，b j k =+ ，c k i =+ ，则向量p在基底{},,i j k 下的坐标是（）A ．()12,14,10B ．()10,12,14C ．()14,12,10D ．()4,3,24．已知()2,1,0a b +=- ，()0,3,2a b -=-，则cos ,a b 的值为（）A ．13B ．3C ．3D ．35．已知()()()0,0,0,1,1,1,1,2,2A B M -，则M 到直线AB 的距离为（）AB C ．1D 6．已知圆的方程为2220x y x +-=，(),M x y 为圆上任意一点，则21y x --的取值范围是（）A ．⎡⎣B ．[]1,1-C ．(),-∞+∞D ．(][),11,-∞-+∞ 7．在空间直角坐标系中，向量()2,1,a m =-，()4,2,4b =- ，下列结论正确的是（）A ．若//a b r r，则2m =B ．若a b ⊥ ，则52m =-C ．若,a b 为钝角，则52m <D ．若a 在b 上的投影向量为16b，则4m =8．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得()f x =的最小值为()A ．B ．C ．4D ．89．关于方程22220x y ax ay ++-=表示的圆，下列叙述中正确的是（）A ．圆心在直线y x =-上B ．其圆心在x 轴上C ．过原点D二、多选题10．对于直线1:230l ax y a ++=，()2:3130l x a y a +-+-=.以下说法正确的有（）A ．12//l l 的充要条件是3a =B ．12l l ⊥的充要条件是25a =C ．直线2l 一定经过点()1,1M -D ．点()1,3P 到直线1l 的距离的最大值为511．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论正确的是（）A ．直线1BD ⊥平面11AC DB ．三棱锥11P ACD -的体积为定值C ．异面直线AP 与1AD 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．直线1C P 与平面11AC D 三、填空题12．两平行直线3450x y ++=和6200x my ++=间的距离是.13．点()2,0P 关于直线l ：10x y ++=的对称点Q 的坐标为.14．给定两个不共线的空间向量a 与b，定义叉乘运算：a b ⨯ .规定：（i ）a b ⨯ 为同时与a ，b垂直的向量；（ii ）a ，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；（iii ）sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =.给出下列四个结论：①1AB AD AA ⨯=；②AB AD AD AB ⨯=⨯ ；③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ；④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅.其中，正确结论的序号是.四、解答题15．已知ABC V 的三个顶点分别为()()()1,0,3,2,0,3A B C -．(1)求AB 边上的高所在直线的方程；(2)求ABC V 的面积．16．如图，在梯形ABCD 中，π,22,,,2AD BC ABC AB BC AD E F G ∠====∥分别为边AB ，,CD BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ．(1)证明：BD EG ⊥；(2)求BD 与平面ABF 所成角的正弦值．17．已知圆M 经过原点和点()3,1-，且它的圆心M 在直线250x y +-=上.(1)求圆M 的方程；(2)若点D 为圆M 上的动点，定点()2,0C ，求线段CD 的中点P 的轨迹方程.18．如图在四棱锥A BCDE -中，//CD EB ，1CD =，2EB =，CB BE ⊥，AE AB BC ===，AD =，O 是AE 的中点.(1)试在AB 上确定点F 的位置，使C 、D 、O 、F 四点共面，并证明；(2)求点O 到平面ACD 的距离；(3)在棱BE 上是否存在点M ，使得半平面ADM 与半平面ABC 所成二面角的余弦值为，若存在，求:EM MB ，若不存在，说明理由.19．A 是直线PQ 外一点，点M 在直线PQ 上（点M 与点,P Q 任一点均不重合），我们称如下操作为“由A 点对PQ 施以视角运算”：若点M 在线段PQ 上，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠∠=；若点M 在线段PQ 外，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠∠=-.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，点D 在射线BC 上.(1)若AD 是角A 的平分线，且3b c =，由A 点对BC 施以视角运算，求(),;B C D 的值；(2)若60,4,A a AB AD ==⊥ ，由A 点对BC 施以视角运算，(),;2B C D =-ABC V 的周长；(3)若120A =o ，4=AD ，由A 点对BC 施以视角运算，(),;cB C D b=，求4b c +的最小值.。
2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题(含解析)
2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）1B. C. D. 3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π35. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与 所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（ ）6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 11291409112314037. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（ ）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AA P 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m⊥m αβ= l α∥l m∥10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF 的最小值为11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 16.如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.17.我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.2024-2025学年广东省深圳市高二上学期第一次月考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A B C ABC '''-A ABC '-A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体【正确答案】B【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，A B C ABC '''-A BC 'A ABC '-剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．A 'BCCB ''A BCC B '''-故选：B2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）1B. C. D. 【正确答案】A【分析】利用三角形的面积公式可得出正四面体的表面积.【详解】棱长为的正四面体的表面积为.1221141sin 604122S =⨯⨯⨯=⨯⨯= 故选：A.3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中1111ABCD A B C D -,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 点，则（）A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线HE GF HE 1BB C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面HE 1CC HE BF 【正确答案】C【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，的延长线必过此点，,HE GF 可判断选项中的线线位置关系.【详解】延长，1111,,,AA BB CC DD 由正四棱台的性质可得侧棱的延长线交于同一点，设该交点为.1111,,,AA BB CC DD P分别为棱的中点，,,,E F G H 1111,,,A D B C BC AD 延长，则的延长线必过点，,HE GF ,HE GF P 则直线与直线相交于点；与直线相交于点；与直线相交于点HE GF P 1BB P 1CC P；与直线是异面直线.BF 故选：C.4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）π3πA. C. 2π3【正确答案】D【分析】先利用圆锥的侧面积公式求出母线长，进而求出高，再利用圆锥的体积公式求解．【详解】设圆锥的母线长为，高为，半径为， l h r 则且，故2ππS r ==底=π3πS r l ⨯⨯=侧1,3r l ==，h ∴===圆锥的体积为．∴21π13⨯⨯⨯=故选：D ．5. 已知正方体中，E 为中点，则异面直线与 所成角的余弦值1111ABCD A B C D -11B C 1BA CE 为（ ）【正确答案】D【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），1CD 1D E1D CE ∠然后在中用余弦定理即可解得.1D CE 【详解】连接，，如图：1CD 1D E因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线1111ABCD A B C D -11//CDBA 1D CE ∠与 所成角，1BA CE 设正方体的棱长为，，a1CD===，1,CE D E ======在中，，1D CE 2221111cos 2CD CE DE D CE CD CE +-∠=⋅⋅==所以异面直线与 .1BA CE故选：D.6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台1111ABCD A B C D-1114,2,AB A B AA ===的体积为（）A. B. C. D. 1129140911231403【正确答案】A【分析】作出截面，过点作，结合等腰梯形的性质得到高，再计算体积即可.1A 1A E AC ⊥【详解】过作出截面如图所示，过点作，垂足为，11,AC A C 1A 1A E AC ⊥E 易知为正四棱台的高，1A E 1111ABCD A B C D - 因为，1124,ABA B ==所以由勾股定理得，11AC A C==又，11CC AA ==则在等腰梯形中，，11ACCA AE =所以，143A E ===所以所求体积为.11111114112((1643339ABCD A B C D V S S A E =⨯++⋅=⨯++⨯=故选.A7. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则10=葛藤最少长（ ）A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺【正确答案】C【分析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为（尺），高为尺，则葛2120藤的最少长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果.【详解】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，矩形的高（即圆木长）为尺，矩形的底边长为（尺），207321⨯=（尺）.29=故选：C.8. 如图所示，在正方体中，E ，F 分别为，AB 上的中点，且1111ABCD A B C D -1AAP 点是正方形内的动点，若平面，则P 点的轨迹长度为EF =11ABB A 1C P ∥1CD EF （）A. B. D. 3ππ【正确答案】C【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF 是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P 点11EGC D 1C G 1D E 1C H CF 的轨迹.【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接，11A B H 1B B G 11,,,,GH C H C G EG HF则∥，，且∥，，11A B EG 11A B EG =11A B 11C D 1111A B C D =可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥，EG 11C D 11EG C D =11EGC D 1C G 1D E 且平面，平面，可得∥平面，1C G ⊄1CD EF 1D E ⊄1CD EF 1C G 1CD EF 同理可得：∥平面，1C H 1CD EF 且，平面，可知平面∥平面，111C H C G C = 11,C H C G ⊂1C GH 1C GH 1CD EF 又因为P 点是正方形内的动点，平面，11ABB A 1C P ∥1CD EF 所以点在线段上，M GH由题意可知：，可得，1111,22GH A B EF A B ==GH EF ==所以P 故选：C.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9. 已知，是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的αβ是（）A. 若，，则B. 若，，，则αβ⊥l β⊥l α∥m β⊥l m ∥l α⊂αβ⊥C. 若，，，则 D. 若，，则αβ∥m α⊥l β⊂l m ⊥m αβ= l α∥l m∥【正确答案】BC【分析】根据空间中垂直关系的转化可判断ABC 的正误，根据线面平行定义可判断D 的正误.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；αβ⊥l β⊥l α∥l α⊂对于B ，若，，则，而，故，故B 正确；m β⊥l m ∥l β⊥l α⊂αβ⊥对于C ，若，，则，而，故，故C 正确；αβ∥m α⊥m β⊥l β⊂l m ⊥对于D ，若，，则或异面，故D 错误，m αβ= l α∥l m ∥,l m 故选：BC10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），1111ABCD A B C D -，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC2AB BC ==15A A =()14D H DH =于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B. 棱与水面所在平面平行11A D C. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF的最小值为【正确答案】ABD【分析】由棱柱的概述判断A ；由线面平行判定定理判断B ；计算可判断C ；利用基EFGH S 本不等式可判断D.【详解】由棱柱的定义知，选项A 正确；对于选项B ，由于，，所以，且不在水面所在平面11A D BC ∥BC FG ∥11A D FG ∥11A D 内，所以棱与水面所在平面平行，选项B 正确；11A D 对于选项C ，在图（1）中，，在图（2）中，4EFGH S FG EF BC AB =⋅=⋅=，选项C 错误；4EFGH S FG EF AB BC =⋅>⋅=对于选项D ，，所以．12212V BE BF BC =⨯⨯=⋅⋅⋅△4BE BF ⋅=，当且仅当时，等号成立，22228EF BE BF BE BF =+≥⋅=2BE BF ==所以EF 的最小值为，选项D正确．故选：ABD ．11. 半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A. 平面EABBF ⊥B. 该二十四等边体的体积为203C. 该二十四等边体外接球的表面积为6πD. PN 与平面EBFN【正确答案】BD【分析】A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】对于A ，假设A 对，即平面，于是，BF ⊥EAB BF AB ⊥，但六边形为正六边形，，矛盾，90ABF ∠=︒ABFPQH 120ABF ∠=︒所以A 错误；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为，3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=所以B 对；对于C ，取正方形对角线交点，ACPM O即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为，其表面积为，所以C 错误；R =24π8πR =对于D ，因为在平面内射影为，PN EBFN NS 所以与平面所成角即为，PN EBFN PNS ∠其正弦值为，所以D 对．PS PN==故选：BD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC 的直观图，则三角形 ABC 的面积是_______.【正确答案】2【分析】画出原图形可得答案.【详解】由直观图画出原图，如图，可得是等腰三角形，且，ABC V 2,2BC OA ==所以三角形的面积.ABC 12222S =⨯⨯=故答案为:2.13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．10π【正确答案】29π【分析】先利用侧面积求出圆柱的高，再求出球的半径可得表面积.【详解】设圆柱的高为，其外接球的半径为，h R 由圆柱的底面半径为1，侧面积为，得，解得，10π2π10πh =5h =由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处，因此.R ==24π29πS R ==故29π14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.R h 2πS Rh =如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形,C D AB ππ,63AOC BOD ∠∠==的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.COD πCOD AB【正确答案】)61π+【分析】首先求出，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点作交DOC ∠C CE AB ⊥于点，过点作交于点，即可求出，将扇AB E D DF AB ⊥AB F ,,,,,CE OE AE OF BF DF 形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部DOC AB R 分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积.【详解】因为，所以，设圆的半径为，ππ,63AOC BOD ∠∠==π2DOC ∠=R 又，解得（负值舍去），2COD 1ππ22S R =⨯⨯=扇形2R =过点作交于点，过点作交于点，C CE AB ⊥AB ED DF AB ⊥AB F 则，ππsin1,cos 66CE OC OE OC ====所以，同理可得，2AE R OE =-=-1DF OF ==将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中，上下截去两个球COD AB 2R =缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中上面球缺的高，上面圆锥的底面半径，高为，12h =-11r=1h ='下面球缺的高，下面圆锥的底面半径，21h =2r =21h ='则上面球冠的表面积，(112π2π228πs Rh ==⨯⨯-=-下面球冠的表面积，球的表面积，222π2π214πs Rh ==⨯⨯=24π16πS R ==球上面圆锥的侧面积，下面圆锥的侧面积111ππ122πS rl ==⨯⨯='，222ππ2S r l ==='所以几何体的表面积.())''121116π8π4π2π61πS S S S S S =--++=---++=+球故答案为.)61π+关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积要合理转化.四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，111ABC A B C -E F G H AB AC 11A B 的中点.11A C（1）求证：，，，四点共面；B C H G （2）求证：平面平面；//BCHG 1A EF 【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）证明出，得到四点共面；//GH BC （2）先得到，，证明出线面平行，面面平行.1//A E BG //GH EF 【小问1详解】∵，分别是，的中点，G H 11A B 11A C ∴是的中位线，∴，GH 111A B C △11//GH B C又在三棱柱中，，∴，111ABC A B C -11//B C BC //GH BC ∴，，，四点共面.B C H G 【小问2详解】∵在三棱柱中，，，111ABC A B C -11//A B AB 11A B AB =∴，，1//A G EB 1111122A G A B AB EB ===∴四边形是平行四边形，∴，1A EBG 1//A E BG ∵平面，平面，∴平面.1A E ⊂1A EF BG ⊂/1A EF //BG 1A EF 又，是，的中点，所以，又.E F AB AC //EF BC //GH BC 所以，//GH EF ∵平面，平面，∴平面.EF ⊂1A EF GH ⊂/1A EF //GH 1A EF 又，平面，BG GH G = ,BG GH ⊂BCHG 所以平面平面.//BCHG 1A EF 16. 如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若，Q 为PB 的中点，求三棱锥的体积；2PA AM BM ===Q ABM -（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.【正确答案】（1）23（2）证明见解析 （3）证明见解析【分析】（1）先得到，根据Q 为PB 的中点，故1433P AMB AMB V S PA -=⋅= ；1223Q ABM P AMB V V --==（2）由线线垂直，得到线面垂直，即BM ⊥平面PAM .，故BM ⊥AN ，又AN ⊥PM ，从而得到线面垂直；（3）由(1)知AN ⊥平面PBM ，故AN ⊥PB ，又AQ ⊥PB ，故PB ⊥平面ANQ ，得到答案.【小问1详解】因为AB 为⊙O 的直径，所以⊥，AM BM 又，故，2AM BM ==122AMB S AM BM =⋅= 又PA 垂直于⊙O 所在的平面，，2PA =故，11422333P AMB AMB V S PA -=⋅=⨯⨯= 因为Q 为PB 的中点，所以.11422233Q ABM P AMB V V --==⨯=【小问2详解】∵AB 为⊙O 的直径，∴AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ，BM 平面ABM ，⊂∴PA ⊥BM .又∵，PA ，AM 平面PAM ，PA AM A = ⊂∴BM ⊥平面PAM .又AN 平面PAM ，∴BM ⊥AN .⊂又AN ⊥PM ，且，BM ，PM 平面PBM ，BM PM M = ⊂∴AN ⊥平面PBM .【小问3详解】由(1)知AN ⊥平面PBM ，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB .又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，AN ，AQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥平面ANQ .又NQ 平面ANQ ，⊂∴PB ⊥NQ .17. 我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．A BCD -AB ⊥,BCD BC CD ⊥（1）证明：三棱锥为鳖臑；A BCD -（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为E AD ,P Q ,BC BE DPQ ACD ．l ①证明：直线平面；//PQ ACD ②判断与的位置关系，并证明你的结论．PQ l 【正确答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②平行，证明见解析.【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可求解；（2）①利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；②利用①的结论及线面平行的性质定理即可求解.【小问1详解】∵，BC CD ⊥∴为直角三角形，BCD △∵平面，且平面，平面，平面，AB ⊥BCD BD ⊂BCD ⊂BC BCD CD ⊂BCD∴，，，AB BC ⊥AB BD ⊥AB CD ⊥∴和为直角三角形，ABC V ABD △∵，平面，平面，BC AB B ⋂=BC ⊂ABC AB ⊂ABC ∴平面，CD ⊥ABC 又∵平面，AC ⊂ABC ∴，CD AD ⊥∴为直角三角形，ACD ∴三棱锥为鳖曘.A BCD -【小问2详解】①连接，∵点分别为的中点，CE ,P Q ,BC BE ∴，//PQ CE 且平面，平面，PQ ⊄ACD CE ⊂ACD 所以直线平面，//PQ ACD ②平行，证明：平面，平面，平面平面=，//PQ ACD PQ ⊂DPQ DPQ ⋂ACD l 所以.//PQ l 18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD 为平行四边形，且SD ⊥ABCD ，.60BAD ∠=︒224AB BC SD ===（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说SA 明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.【正确答案】（1）即为要画的线，理由见解析；,ED EB （2（3【分析】（1）要使截面与平行，考虑构造线线平行，取的中点，取的对SA S C E ABCD 称中心,连接,证明即得截面；O OE //SA OE BDE （2）分别计算的三边，再利用三角形面积公式计算即得；BDE （3）利用等体积求出点到平面的距离，再由线面所成角的定义即可求得.C BDE 【小问1详解】如图，取的中点，连接,则即为要画的线.S C E ,,ED EB ,ED EB理由如下：连接与交于点，连接.BD AC O OE 因四边形ABCD 为平行四边形，则点为的中点，故,O AC //SA OE 又因平面,平面,故有平面；SA ⊄BDE OE ⊂BDE SA ∥BDE 【小问2详解】如图中，过点作于点，连接,E EF DC ⊥FBF 因平面,平面，则,SD ⊥ABCD CD ⊂ABCD SD CD ⊥故,平面,,//EF SD ⊥EF ABCD 112EF SD ==12DE SC ===因，则,12,60,22CFDC DCB BC ==∠== 2BF =因平面，则，故,BF ⊂ABCD EF FB ⊥BE ==又由余弦定理，，故得.22224224cos6012BD =+-⨯⨯=BD =又，O 为BD 中点，则，DE DB =OE BD ⊥于是截面的面积为；12BDE S =⨯= 【小问3详解】过点作平面，交平面于点,连接,C CH ⊥BDE BDE H EH则即直线与截面所成的角.CEH ∠S C BDE 由可得，,E BCD C BED V V --=1133BCD BED S EF S CH ⨯=⨯即得：，则BCD BED S EF CH S ⨯===sin CH CEH EC ∠===即直线SC 与平面BDE 思路点睛：本题主要考查运用线面平行的判定方法解决实际问题和线面所成角的求法，属于较难题.解题的思路在于充分利用平行四边形对角线性质、等腰三角形三线合一，三角形中位线性质等方法寻找线线平行；对于线面所成角问题，除了定义法作图求解外，对于不易找到点在平面的射影时，可考虑运用等体积转化求解.19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，2π角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲π3率均为.如图，在直三棱柱中，点A 的曲率为，M 为的π2π3π3-⨯=111ABC A B C -2π31CC 中点，且.AB AC =（1）判断的形状，并说明理由；ABC V （2）若，求点到平面的距离；124AA AB ==B 1AB M （3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有.利用此定理2D L M -+=试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.【正确答案】（1）为等边三角形，理由见解析ABC V （2（3）证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，，即可根据曲率的定义求解，1AA AC ⊥1AA AB ⊥（2）利用等体积法，结合锥体体积公式即可求解，（3）根据则多面体的棱数，顶点数，以及内角之和，即可根据曲率的定义求解.【小问1详解】因为在直三棱柱中，111ABC A B C -平面，平面，1AA ⊥ABC ,AC AB ⊂ABC 所以，，1AA AC ⊥1AA AB ⊥所以点A 的曲率为，得，π2ππ2232BAC -⨯-∠=π3BAC ∠=因为，所以为等边三角形.AB AC =ABC V【小问2详解】取中点D ，连接、，BC AD AM 因为D 为的中点，所以，BC AD BC ⊥因为平面，平面，所以，1BB ⊥ABC AD ⊂ABC 1BB AD ⊥因为，平面，所以平面；1BB BC B = 1,AA AB ⊂11ABB A AD ⊥11BB C C 所以是三棱锥的高.AD 1A BB M -设点到平面的距离为，则有，即.B 1AB M h 11B AB M A BB M V V --=11AB M BB M S h S AD =⋅在中有，同理计算得，11Rt AA B△1AB ==1AM B M BM ===.AD =所以，，112AB M S =⨯=114242BB M S =⨯⨯=所以.h ==【小问3详解】证明：设多面体有M 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，1,2,,M ⋅⋅⋅设第号多边形有条边，i ()1i M ≤≤i L 则多面体共有条棱，122ML L L L ++⋅⋅⋅+=由题意，多面体共有个顶点，12222ML L L D M L M ++⋅⋅⋅+=-+=-+号多边形的内角之和为，i π2πi L -所以所有多边形的内角之和为，()12π2πM L L L M ++⋅⋅⋅+-所以多面体的总曲率为()122ππ2πM D L L L M ⎡⎤-++⋅⋅⋅+-⎣⎦.()12122π2π2π4π2M M L L L M L L L M ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎡⎤=-+-++⋅⋅⋅+-= ⎪⎣⎦⎝⎭所以简单多面体的总曲率为.4π。
四川省南充2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
南充高中高2023级上期第一次月考数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.4.考试结束后将答题卡交回.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.“2sin 2θ=”是“π4θ=”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】判断“sin 2θ=”和“π4θ=”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】当2sin 2θ=时，π2π,Z 4k k θ=+∈或3π2π,Z 4k k θ=+∈，推不出π4θ=；当π4θ=时，必有2sin 2θ=，故“sin 2θ=”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：C2.设l ，m 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若//l α，//m α，则//l mB.若//l α，//l β，则//αβC.若l α⊥，m α⊥，则//l mD.若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可.【详解】对选项A ，若//l α，//m α，则l 与m 的位置关系是平行，相交和异面，故A 错误.对选项B ，若//l α，//l β，则α与β的位置关系是平行和相交，故B 错误.对选项C ，若l α⊥，m α⊥，则根据线面垂直的性质得l 与m 的位置关系是平行，故C 正确.对选项D ，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β的位置关系是平行和相交，故D 错误.故选：C3.若sin 2αα-+=，则tan(π)α-=（）A. B.C.3D.3-【答案】C 【解析】【分析】由sin 2αα-+=两边同时平方，从而利用sin tan cos =aa a可以实现角α的弦切互化，【详解】由sin 2αα-+=两边同时平方，可得22sin cos 3cos 4αααα-+=，∴222222sin cos 3cos tan 34sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++，解得tan 3α=-.()tan tan 3παα∴-=-=.故选：C.4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB A C 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（）A.23B.33C.23D.13【解析】【分析】以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()1(2,0,2),(1,1,0),(2,2,0),1,1,2A M B N ，所以()1(1,1,2),1,1,2MA BN =-=--设向量1MA 与BN的夹角为θ，则1142cos 63MA BN MA BNθ⋅===⋅，所以直线1A M 和BN 夹角的余弦值为23，故选：C ．5.在三棱锥S ABC -中，()()20SC SA BS SC SA ++⋅-=，则ABC V 是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】由向量的线性运算得到2,SC SA BS BC BA SC SA BC BA ++=+-=- ，从而说明22BC BA = ，即可求解.【详解】()()22,SC SA BS SC SA SB SC SB SA SB BC BA SC SA AC BC BA ++=+-=-+-=+-==- ，()()()()2220SC SA SB SC SA BC BA BC BA BC BA ∴+-⋅-=+⋅-=-= ，BC BA ∴=，即BC BA =，所以ABC V 是等腰三角形.故选：C6.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（）A.38B.29C.59D.34【答案】B 【解析】【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，用列举法即可求解.【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，(),x y 代表依次摸出的卡片，{},,,x y A B C ∈，则基本事件分别为：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A C B A B B B C C A C B C C ，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：()(),,,A B B A ，所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是29.故选：B.7.已知函数()3f x x =，若正实数a ，b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为（）A.1B.3C.6D.9【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得49a b +=，再结合基本不等式“1”的代换可得解.【详解】由已知()3f x x =，定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，则()f x 是R 上的奇函数，且函数()3f x x =在R 上单调递增，又()()490f a f b +-=，即()()()499f a f b f b =--=-，则49a b =-，即49a b +=，且0a >，0b >，所以()1111114144415999a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又44a b b a +≥=，即()11141554199a b a b b a ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即32a =，3b =时，等号成立，即11a b+的最小值为1.故选：A.8.已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC V 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈=，则集合T 所表示的曲线长度为（）A.5πB.2πC.3D.π【答案】B 【解析】【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后即可求解.【详解】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且23632BO =⨯⨯=，故PO ==因为5PQ =，故1OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，集合T 所表示的曲线长度为2π故选：B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部份分分，有选错的得0分.）9.函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.2ω=B.π6ϕ=C.()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据三角函数的图象，先求得ω，然后求得ϕ，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】()()5ππ2ππ,π,2,sin 22632T T f x x ωϕω=-=∴==∴==+，π2sin π133f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ2π7π,22636ϕϕ-<<<+<，所以2πππ,326ϕϕ+==-，所以A 选项正确，B 选项错误.()ππππsin 2,2π,,66122k f x x x k x k ⎛⎫=--==+∈ ⎪⎝⎭Z ，当0k =时，得π12x =，所以()f x 关于π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 选项正确，11111πππππ2π22π,ππ,26263k x k k x k k -+<-<+-+<<+∈Z ，当11k =时，得()f x 在54π,π63⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，则()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以D 选项正确.故选：ACD10.对于随机事件A 和事件B ，()0.3P A =，()0.4P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()0.3P AB =B.若A 与B 互斥，则()0.7P A B ⋃=C.若A 与B 相互独立，则()0.12P AB =D.若A 与B 相互独立，则()0.7P A B ⋃=【答案】BC 【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】对于A ：若A 与B 互斥，则()0P AB =，故A 错误；对于B ：若A 与B 互斥，则()()()0.7P A B P A P B =+= ，故B 正确；对于C ：若A 与B 相互独立，则()()()0.12P AB P A P B ==，故C 正确；对于D ：若A 与B 相互独立，则()()()()0.30.40.30.40.58P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-⨯=，故D 错误.故选：BC11.如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列结论中正确的有（）A.(a ∃∈，使12MN CE=B.线段MN 存在最小值，最小值为23C.直线MN 与平面ABEF 所成的角恒为45°D.(a ∀∈，都存在过MN 且与平面BEC 平行的平面【分析】利用向量的线性运算可得()1MN a BC aBE =-+，结合向量的模的计算可判断B 的正误，结合向量夹角的计算可判断C 的正误，结合共面向量可判断D 的正误.【详解】因为四边形ABCD 正方形，故CB AB ⊥，而平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，CB ⊂平面ABCD ，故CB ⊥平面ABEF ，而BE ⊂平面ABEF ，故CB BE ⊥.设MC AC λ=，则= BN BF λ，其中()0,1λ=，由题设可得MN MC CB BN AC CB BF λλ=++=++，()()()1BC BA CB BA BE BC BE λλλλ=-+++=-+，对于A ，当12λ=即2a =时，111222MN BC BE CE =-+= ，故A 正确；对于B ，()22222111221222MN λλλλλ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，故22MN ≥，当且仅当12λ=即2a =时等号成立，故min 22MN =，故B 错误；对于C ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+，而平面ABEF 的法向量为BC 且()211MN BC BC λλ⋅=-=-，故cos ,MN BC =，此值不是常数，故直线MN 与平面ABEF 所成的角不恒为定值，故C 错误；对于D ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+ ，故,,MN BC BE为共面向量，而MN ⊄平面BCE ，故//MN 平面BCE ，故D 正确；故选：AD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.复数2i12iz +=-的共轭复数z =______．【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念可求解.【详解】因为2i 12i z +=-()()()()2i 12i 12i 12i ++=-+5i i 5==，所以z =i -.故答案为：i-13.已知向量()2,1,1a =- ，()1,,1b x = ，()1,2,1c =-- ，当a b ⊥ 时，向量b 在向量c上的投影向量为________．（用坐标表示）【答案】()1,2,1-【解析】【分析】先根据向量垂直得到方程，求出3x =，再利用投影向量公式求出答案.【详解】因为a b ⊥ ，所以210a b x ⋅=-+=，所以3x =．因为()1,3,1b = ，所以b 在c 上的投影向量为()1,2,1||||b c cc c c ⋅⋅=-=-．故答案为：()1,2,1-14.已知在ABC V 中，满足)34AB AC AB ACAB AC AB AC++=+,点M 为线段AB 上的一个动点，若MA MC ⋅ 取最小值3-时，则BC 边的中线长为______．【答案】1112【解析】【分析】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，根据题意可推得||3,||4AD AN == ，2π3ADE ∠=，进一步根据MA MC ⋅ 取最小值3-时，求得对应的AC =AB =，由此即可得解.【详解】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，则//,//AD EN AN DE ，四边形ADEN为平行四边形，||||3||3,||4,||4||||AB AD AD AN AE AC AN =====，22343712πcos 23423ADE ADE +-∴∠==-⇒∠=⨯⨯，又四边形ADEN 为平行四边形，3πBAC ∴∠=，设,,0,0MA AD AC AN λμλμ==≤≥，()()296MA MC MA MA AC AD AD AN λλμλλμ⋅=⋅+=⋅+=+，由题意2963λλμ+≥-即29630λλμ++≥恒成立，且存在,R λμ∈使得29630λλμ++=成立，其次29630λλμ++=当且仅当2296303Δ361080λλλμμμ⎧⎧=-++=⎪⇔⎨⎨=-=⎩⎪=⎩，此时AC ==AB ==所以BC边的中线长为122AB AC +===.故答案为：2.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图,四边形ABCD 为矩形,且2AD =,1AB =,PA ⊥平面ABCD ,1PA =,E 为BC 的中点．（1）求证：PE DE ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的外接球体积．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接AE ，由线面垂直得到PA DE ⊥，再由线面垂直的判定定理得到DE ⊥平面PAE ，即可证明；（2）由底面为矩形利用长方体的性质可得四棱锥外接球的半径，再由体积公式计算体积.【小问1详解】连结,AE E 为BC 的中点,1EC CD ==，∴DCE △为等腰直角三角形,则45DEC ∠=︒，同理可得45AEB ∠=︒，∴90AED ∠=︒，∴DE AE ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，且DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥，又∵AE PA A = ，,AE PA ⊂平面PAE ，∴DE ⊥平面PAE ，又PE ⊂平面PAE ，∴DE PE ⊥．【小问2详解】∵PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，∴P ABCD -的外接球直径2R =∴2R =，故：3344ππ332V R ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，∴四棱锥P ABCD -．16.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos a B b A b c -=+.（1）求角A 的值；（2）若a ABC = ，求,b c .【答案】（1）2π3（2）2，2【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；（2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可.【小问1详解】cos cos a B b A b c -=+ ，由正弦定理可得：sin cos sin cos sin sin A B B A B C -=+，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ，sin cos sin cos sin sin cos cos sin A B B A B A B A B ∴-=++，即2sin cos sin B A B -=，sin 0B ≠ ，1cos 2A ∴=-，(0,π)A ∈ ，2π3A ∴=.【小问2详解】由题意，1sin 24ABC S bc A bc ===△，所以4bc =，由222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，得()2216b c a bc +=+=，所以4b c +=，解得：2b c ==.17.全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实践技能考试中“合格”的概率依次为12，23，23，所有考试是否合格互不影响.（1）求甲没有获得执业医师证书的概率；（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.【答案】（1）35（2）13【解析】【分析】（1）先根据对立事件的概率公式结合独立事件概率乘积公式计算；（2）先应用对立事件的概率公式及独立事件概率乘积公式应用互斥事件求和计算；【小问1详解】记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件1A ，1B ，1C ，在实践考试中合格依次为2A ，2B ，2C ，设甲没有获得执业医师证书的概率为P124131()1525P P A A =-=-⨯=.【小问2详解】甲、乙、丙获得执业医师证书依次为12A A ，12B B ，12C C ，并且1A 与2A ，1B 与2B ，1C 与2C 相互独立，则()12412525P A A =⨯=，()12321432P B B =⨯=，()12224339P C C =⨯=,由于事件12A A ，12B B ，12C C 彼此相互独立，“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：()()()()()()()()()121212121212121212A A B B C C A A B B C C A A B B C C ++，概率为212142141(1)(1)(1)52952952934P =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=.18.为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,50，50,60，…，90,100得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在50,60的平均成绩是56，方差是7，落在60,70的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2s ．【答案】（1）0.030（2）84（3）平均数为62；方差为23【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，（2）根据百分位数的计算公式即可求解，（3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平均数；再由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩的总方差，即可求解.【小问1详解】由每组小矩形的面积之和为1得，0.050.10.2100.250.11a +++++=，解得0.030a =．【小问2详解】成绩落在[)40,80内的频率为0.050.10.20.30.65+++=，落在[)40,90内的频率为0.050.10.20.30.250.9++++=，显然第75百分位数[)80,90m ∈，由()0.65800.0250.75m +-⨯=，解得84m =，所以第75百分位数为84；【小问3详解】由频率分布直方图知，成绩在[)50,60的市民人数为1000.110⨯=，成绩在[)60,70的市民人数为1000.220⨯=，所以10562065621020z ⨯+⨯==+；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为()(){}222110756622046562231020s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦+.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，且ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB AA B ∠=∠=．（1）若1A BC 为等边三角形，证明：平面1AAB ⊥平面ABC ；（2）若二面角1A AB C --的平面角为π3，求以下各值：①求点1B 到平面1A CB 的距离；②求平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）①2217，②277【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形及等边三角形的性质可得各边长，再根据勾股定理证明线线垂直，根据线线垂直可证线面垂直，进而可证面面垂直；（2）根据二面角的定义可值1CEA 为等边三角形，①利用等体积转化法可得点到平面距离；②根据二面角的定义可得两平面夹角.【小问1详解】设AB 的中点为E ，连接CE ，1A E ，如图所示，因为ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB A AB ∠=∠=，故1cos 452BC A B AB ==⋅︒=CE AB ⊥，且112CE AB ==，1112A E AB ==，因为1A BC 为等边三角形，故12==AC BC ，故22211A C CE A E =+，即1CE A E ⊥，又AB ，1A E ⊂平面1AA B ，1A E AB E ⋂=，故CE ⊥平面1AA B ，且CE ⊂平面ABC ，故平面1AA B ⊥平面ABC ；【小问2详解】①由（1）知，CE AB ⊥，1A E AB ⊥，且平面1AA B ⋂平面ABC AB =，故1CEA ∠即二面角1A AB C --的平面角，即1π3CEA ∠=，故1CEA 为等边三角形，则111CA CE A E ===，因为CE AB ⊥，1A E AB ⊥，1A E CE E ⋂=，且CE ，1A E ⊂平面1CEA ，所以AB ⊥平面1CEA ，设线段1A E 中点为F ，则1CF A E ⊥，AB CF ⊥，又AB ，1A E ⊂平面11ABB A ，1AB A E E = ，CF ∴⊥平面11ABB A ，又在三角形1CEA中易知：2CF =，∴11111112133226C A BB A BB V CF S -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，又在三角形1A BC 中，由11AC =，1BC A B ==则22211113cos 24BC A B A CA BC BC AB +-∠==⋅，1sin 4A BC ∠=，则11117sin 24A BC S AB BC A BC =⋅⋅∠= ，设点1B 到平面1A CB 的距离为d ，又由1111113C A BB B A BC A BC V V S d --==⋅⋅△，可得7d =，即求点1B 到平面1A CB 的距离为2217；②由①知，AB ⊥平面1CEA ，而11//AB A B ，故11A B ⊥平面1CEA ，且1A C ⊂平面1CEA ，故111A B AC ⊥，则2211115B C A B AC =+=，设1AC 和1B C 的中点分别为M ，N ，连接MN ，BN ，BM，则11//MN A B ，11112MN A B ==，1MN AC ⊥，又因为12BC A B ==1BM A C ⊥，且MN ⊂平面11A B C ，BM ⊂平面1A BC ，故BMN ∠即二面角11B A C B --的平面角，且222211722BM BC CM BC A C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，因为112BB AA BC ===，故1BN B C ⊥，则222211322BN BC CN BC B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以222731744cos 277212BM MN BN BMN BM MN +-+-∠==⋅⨯⨯，故平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值为277．。
2024-2025学年吉林省长春市高二上学期第一次月考数学检测试题(含解析)
2024-2025学年吉林省长春市高二上学期第一次月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．在空间直角坐标系中，已知点，点则（ ）Oxyz ()1,3,5P ()1,3,5Q --A ．点和点关于轴对称B ．点和点关于轴对称P Q x P Q y C ．点和点关于轴对称D ．点和点关于原点中心对称P Q z P Q 2．向量，若，则（ ）()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- a ∥b A ．B ．1x y ==11,22x y ==-C ．D ．13,62x y ==-12,63x y =-=3．直三棱柱中，若，则（ ）111ABC A B C -1,,CA a CB b CC c === 1A B =A ．B ．a b c +-r r ra b c -+r r rC ．D ．a b c -++ a b c -+- 4．下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（ ）,,a b c A ．两两垂直B ．,,a b c b cλ= C ．D ．a mb nc =+a b c ++=5．已知，则直线恒过定点（ ）2b a c =+0ax by c ++=A ．B ．(1,2)-(1,2)C ．D ．(1,2)-(1,2)--6．已知：，：，则两圆的位1C 2222416160x y x y +++-=2C 22228840x y x y ++--=置关系为（ ）A ．相切B ．外离C ．相交D ．内含7．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且P 22:11612x y C +=l 22:430M x y x +-+= 与交于两点，则的取值范围是（ ）M ,A B PA PB ⋅A ．B ．C ．D ．[]3,35[]2,34[]2,36[]4,368．已知圆和圆交于两点，点在圆221:2470C x y x y +---=222:(3)(1)12C x y +++=P 上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ）1C Q 2C A ．圆和圆关于直线对称1C 2C 8650x y +-=B ．圆和圆的公共弦长为1C 2CC ．的取值范围为PQ0,5⎡+⎣D ．若为直线上的动点，则的最小值为M 80-+=x y PM MQ+-二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，，则下列正确的是（ ）()1,2,0a =-()2,4,0b =-A ．B ．//a ba b⊥ C ．D ．在方向上的投影向量为2b a = a b ()1,2,0-10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．点到直线的距离是122CQ AB AD AA =--+1C CQ C ．D ．异面直线与所成角的正切值为43CQ = CQ BD 11．已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ）,x y 22410x y x +-+=A ．的最大值为B ．的最大值为y x -2-22x y +7+C ．的最大值为D ．的最小值为y x x y+2三、填空题（本大题共3小题）12．O 为空间任意一点，若，若ABCP 四点共面，则3148OP OA OB tOC=++ t =．13．已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则()2,0A -()2,0B P AP BP 34-动点的轨迹方程为．P 14．已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆P 221:(5)4C x y -+=P 的两条切线，切点分别为，直线222:2C x y ax +-220(25)a a a +-+=<<,PM PN M N 、分别交轴于两点，则 ， ．,PM PN x (1,0),(4,0)A B ||||PA PB =||MN =四、解答题（本大题共5小题）15．分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的离心率为，短轴长为23e =(2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程.C 2212x y +=31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭C 16．已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上．C ()()1,4,3,6A B C 340x y -=(1)求圆的方程；C (2)已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的一般式方程．l ()1,1l C l 17．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，ABCD ADEF，，，，，平面，//BC AD //EF AD 4=AD AB =2BC EF ==AF =FB ⊥ABCD 为上一点，且，连接、、M AD FM AD ⊥BD BE BM(1)证明：平面；⊥BC BFM (2)求平面与平面的夹角的余弦值.ABF DBE18．已知圆与圆内切．()222:0O x y r r +=>22:220E x y x y +--=(1)求的值．r (2)直线与圆交于两点，若，求的值；:1l y kx =+O ,M N 7OM ON ⋅=-k (3)过点作倾斜角互补的两条直线分别与圆相交，所得的弦为和，若E O AB CD ，求实数的最大值．AB CDλ=λ19．已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫a bO OA a = OB b = AOB ∠做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向a b ,a ba b a b ⨯ 量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面a b sin ,a b a b a b ⨯=⋅ P ABCD -为矩形，底面，，为上一点，.ABCD PD ⊥ABCD 4DP DA ==E AD AD BP ⨯=(1)求的长；AB (2)若为的中点，求二面角的余弦值；E AD P EB A --(3)若为上一点，且满足，求.M PB AD BP EM λ⨯=λ答案1．【正确答案】B【详解】由题得点与点的横坐标与竖坐标互为相反数，纵坐标相同，P Q 所以点和点关于轴对称,P Q y 故选：B.2．【正确答案】C【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值.,x y ,x y 【详解】因为，所以，由题意可得，a b ∥a b λ=()()()2,1,31,2,9,2,9x y y λλλλ=-=-所以则.2,12,39,x y λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩131632x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩故选C.【思路导引】根据题目条件列出关于的方程组，解方程组即可得到答案.a∥b ,x y 3．【正确答案】D【详解】.()11111A A B B a b B A B cCC C CB =+=-+=-+--+ 故选：D ．4．【正确答案】A【详解】由基底定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底.,,a b c对于A ，因为非零向量两两垂直，所以非零向量不共面，可构成空间的一,,a b c ,,a b c 组基底，故A 正确；对于B ，，则共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以b c λ=,b c 与共面，故B 错误；a,b c 对于C ，由共面定理可知非零向量共面，故C 错误；,,a b c 对于D ，即，故由共面定理可知非零向量共面，故D 错误.0a b c ++= a b c =--,,a b c 故选：A.5．【正确答案】A【分析】由题意可得，可得定点坐标.(1)(2)0a x b y -++=【详解】因为，所以，2b a c =+2c b a =-由，可得，所以，0ax by c ++=(2)0ax by b a ++-=(1)(2)0a x b y -++=当时，所以对为任意实数均成立,1,2x y ==-(11)(22)0a b -+-+=,a b 故直线过定点.(1,2)-故选A.6．【正确答案】C 【详解】因为可化为22221:22416160,2880C x y x y x y x y +++-=+++-= ,则，半径，()()221425x y +++=()11,4C --15r =因为可化为，22222:228840,4420C x y x y x y x y ++--=++--= ()()222210x y ++-=则，半径()22,2C -2r =则，因为.1C =122155r r r r -=<<+=+故选：C.7．【正确答案】A【详解】，即，22:430M x y x +-+= ()2221x y -+=则圆心，半径为.(2,0)M 1椭圆方程，,22:11612x y C +=2216,12a b ==则，22216124,2c a b c =-=-==则圆心为椭圆的焦点，(2,0)M 由题意的圆的直径，且AB 2AB = 如图，连接，由题意知为中点，则，PM M AB MA MB =-可得()()()()PA PB PM MA PM MB PM MB PM MB ⋅=+⋅+=-+ .2221PM MB PM =-=- 点为椭圆上任意一点，P 22:11612x y C +=则，，min 2PM a c =-= max 6PM a c =+= 由，26PM ≤≤ 得.21PA PB PM ⋅=- []3,35∈故选：A.8．【正确答案】D【详解】对于A ，和圆，221:2470C x y x y +---=222:(3)(1)12C x y +++=圆心和半径分别是，()()12121,2,3,1,C C R R --==则两圆心中点为，11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线，1C 2C 8650x y +-=12C C 但两圆心中点不在直线上，故A 错误；11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭8650x y +-=对于B ，到直线的距离，1C 8650x y ++=81255102d ++==故公共弦长为，B错误；=对于C ，圆心距为，当点和重合时，的值最小，5=P QPQ当四点共线时，的值最大为12,,,P Q C CPQ 5+故的取值范围为，C 错误；PQ0,5⎡+⎣对于D ，如图，设关于直线对称点为，1C 80-+=x y (),A m n则解得即关于直线对称点为，21,11280,22n mm n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩6,9,m n =-⎧⎨=⎩1C 80-+=x y ()6,9A -连接交直线于点，此时最小，2AC M PM MQ +122PM MQ MC MC C A +≥+-=-==即的最小值为，D 正确.PM MQ+故选：D.9．【正确答案】ACD【详解】ABC 选项，由题意得，故且，AC 正确，B 错误；2b a= //a b2b a= D 选项，在，Da b ()01,2,=-正确.故选：ACD10．【正确答案】ABC 【详解】依题意得，12CQ CB BQ AD BA =+=-+()11222AD AA AB AB AD AA =-+-=--+ 故A 正确；如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，1A 111(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,1),(1,1,1),B C D Q C E -------，(1,1,1),(0,1,1),(1,0,1)G B D -----对于BC ，，1(1,2,1),(1,2,2)QC CQ =--=-所以，设，3CQ==173QC CQ m CQ ⋅==- 则点到直线的距离BC 正确；1C CQd ==对于D ，因为，(1,2,2),(1,1,0)CQ BD ---==所以cos ,CQ BD 〈〉==tan ,CQ BD 〈〉= 所以异面直线与所成角的正切值为D 错误．CQ BD 故选：ABC ．11．【正确答案】ABD【详解】根据题意，方程，即，22410x y x +-+=22(2)3x y -+=表示圆心为，半径为(2,0)对于A ，设，即，y x z -=0x y z -+=直线与圆有公共点，0x y z -+=22(2)3x y -+=所以≤22z ≤≤则的最大值为，故A 正确；z y x =-2-对于B ，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离，t =22(2)3x y -+=所以的最大值为，t 2故的最大值为B 正确；22x y +22(27t ==+对于C ，设，则，直线与圆有公共点，yk x =0kx y -=0kx y -=22(2)3x y -+=则，解得的最大值为C 错误；≤k ≤≤yx 对于D ，设，作出图象为正方形，作出圆，如图，m x y=+22(2)3x y -+=由图象可知，正方形与圆有公共点A 时，有最小值m 2即的最小值为，故D 正确；x y+2故选：ABD12．【正确答案】/0.12518【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共OP xOA yOB zOC =++ A B C 线，若、、、四点共面，则，A B C P 1x y z ++=因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面，O 3148OP OA OB tOC=++ A B C P所以，，解得.31148t ++=18t =故答案为.1813．【正确答案】221(2)43x y x +=≠±【详解】设动点的坐标为，又，，P (,)x y ()2,0A -()2,0B 所以的斜率，的斜率，AP (2)2AP y k x x =≠-+BP (2)2BP yk x x =≠-由题意可得，3(2)224y y x x x ⨯=-≠±+-化简，得点的轨迹方程为.P 221(2)43x y x +=≠±故221(2)43x y x +=≠±14．【正确答案】 2,【详解】圆的标准方程为，圆心，2C 22()2(2)x a y a a -+=->()2,0C a 则为的角平分线，所以．2PC APB ∠22AC PA BC PB=设，则，()00,P x y ()22054x y -+=所以，则，2PAPB===222AC BC =即，解得，则，()124a a -=-3a =222:(3)1C x y -+=所以点与重合，N ()4,0B 此时，可得，221,30C M MAC =∠=52M ⎛ ⎝．故；215．【正确答案】(1)或；22114480x y +=22114480y x +=(2).22143x y +=【详解】（1）由题得，222212328c a a b b a b c c ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎪⎩所以椭圆的标准方程为或.22114480x y +=22114480y x +=（2）椭圆满足，故该椭圆焦点坐标为，2212x y +=1c ==()1,0±因为椭圆与有相同的焦点，且经过点，C 2212x y +=31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以可设椭圆方程为，且，解得，C 22221x y a b +=22222231211ab a b ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭+=⎨⎪⎪=+⎩4241740a a -+=故，解得（舍去）或，故.()()224140aa --=214a =24a =2213b a =-=所以椭圆的标准方程为.C 22143x y +=16．【正确答案】(1)()()224310x y -+-=(2)或10x -=512170x y +-=【详解】（1）由题意，则的中点为，且，()()1,4,3,6A B AB (2,5)64131AB k -==-故线段中垂线的斜率为，AB 1-则中垂线的方程为，即，5(2)y x -=--70x y +-=联立，解得，即圆心，34070x y x y -=⎧⎨+-=⎩43x y =⎧⎨=⎩()4,3C 则半径r CA ===故圆的方程为.C ()()224310x y -+-=（2）当直线斜率不存在时，直线的方程为，l 1x =圆心到直线的距离为，由半径，(4,3)C 3r =则直线截圆所得的弦长，满足题意；l C 2=当直线斜率存在时，设直线方程为，l l 1(x 1)y k -=-化为一般式得，10kx y k -+-=由直线截圆所得的弦长，半径.l C 2r =1则圆心到直线的距离，又圆心，3d ==(4,3)由点到直线的距离公式得，3d 解得，故直线方程为，512k =-l 51(1)12y x -=--化为一般式方程为.512170x y +-=综上所述，直线的方程为或.l 10x -=512170x y +-=17．【正确答案】(1)证明见详解；【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可；（2）作，垂足为，根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，EN AD ⊥N 利用勾股定理，因此可以以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空BM BC BF x y z 间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为平面，又平面，FB ⊥ABCD AD ⊂ABCD 所以.又，且，FB AD ⊥FM AD ⊥FB FM F ⋂=所以平面.因为，所以平面.AD ⊥BFM //BC AD ⊥BC BFM （2）作，垂足为.则.又，EN AD ⊥N //FM EN //EF AD 所以四边形是平行四边形，又，FMNE EN AD ⊥所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，且，，FMNE ADEF 4=AD 2EF =所以.1AM =由（1）知平面，所以.又，AD ⊥BFM BM AD⊥AB =所以.在中，1BM =Rt AFMFM ==在中，.Rt FMB 3FB ==所以由上可知，能以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间BM BC BF x y z 直角坐标系.则，，，，，所以，，(1,1,0)A --(0,0,0)B (0,0,3)F (1,3,0)D -(0,2,3)E (1,1,0)AB =，，，设平面的法向量为，(0,0,3)BF = (1,3,0)BD =- (0,2,3)BE =ABF ()111,,m x y z = 由，得可取.00m AB m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 1110,0,x y z +=⎧⎨=⎩(1,1,0)m =- 设平面的法向量为，BDE ()222,,n x y z =由，得，可取.00n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222230,230,x y y z -+=⎧⎨-+=⎩(9,3,2)n = 因此，.cos ,m n m n m n ⋅===依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为ABFDBE 18．【正确答案】(1)r =(2)；1k =±(3)max λ=【详解】（1）由题意得，，O (0,0)()()2222220112x y x y x y +--=⇒-+-=故圆心，圆E 的半径为()1,1E 因为，故在圆E 上，()()2201012-+-=O (0,0)所以圆O 的半径，且r >OE r ==r =（2）由（1）知，联立，22:8O x y +=()2222812701x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩设，则恒成立，()()1122,,,M x y N x y ()22Δ42810k k =++>且，12122227,11k x x x x k k +=-=-++所以，()2222121212222721811111k k k y y k x x k x x k k k -=+++=--+=+++所以，解得.221212222718681711O k k x x y O y k k k M N ⋅=---+=-+==+++-1k =±（3）如图，因为直线和直线倾斜角互补，AB CD所以当直线斜率不存在时，此时直线的斜率也不存在，AB CD 此时，，AB CD=1AB CDλ==当直线的斜率为0时，直线的斜率为0，不满足倾斜角互补，AB CD 当直线斜率存在且不为0时，设直线 即，AB ():11AB y k x -=-10kx y k --+=圆心O 到直线的距离为AB d故AB ===由直线方程得直线的方程为即，AB CD ()11y k x -=--10kx y k +--=同理得CD =则，AB CD λ====当，，0k>AB CDλ====因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，()1f x x x =+(0,1)(1,+∞)所以时，，0x >()())[)1,2,f x f ∞∞⎡∈+=+⎣所以时，故，0k >[)17212,k k ∞⎛⎫+-∈+ ⎪⎝⎭4411,1372k k ⎛⎤+∈ ⎥⎛⎫⎝⎦+- ⎪⎝⎭所以，λ⎛= ⎝当，0k <AB CDλ====由上知时，故，0k <()[)17216,k k ∞⎡⎤⎛⎫-+-+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()431,14172k k ⎡⎫-∈⎪⎢⎡⎤⎛⎫⎣⎭-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以.λ⎫=⎪⎪⎭综上，max λ=19．【正确答案】(1)2(2)13-(3)10【分析】（1）首先说明为直线与所成的角，即，设PBC ∠AD PB ,AD BP PBC=∠，根据所给定义得到方程，解得即可；()0AB x x =>（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，为二ABCD D DF BE ⊥BE F PF PFD ∠面角的平面角，由锐角三角函数求出，设二面角的平面P EB D --cos PFD ∠P EB A --角为，则，利用诱导公式计算可得；θπPFD θ=-∠（3）依题意可得平面，在平面内过点作，垂足为，即EM ⊥PBC PDC D DN PC ⊥N 可证明平面，在平面内过点作交于点，在上取点DN ⊥PBC PBC N //MN BC PB M DA，使得，连接，即可得到四边形为平行四边形，求出，即E DE MN =EM DEMN DN可得解.【详解】（1）因为底面为矩形，底面，ABCD PD ⊥ABCD 所以，，又底面，所以，//AD BC BC DC ⊥BC ⊂ABCD PD BC ⊥又，平面，所以平面，PD DC D = ,PD DC ⊂PDC BC ⊥PDC 又平面，所以，PC ⊂PDC BC PC ⊥所以为直线与所成的角，即，PBC ∠AD PB ,AD BP PBC=∠设，则，()0AB x x =>PC ==PB ==在中Rt PBC s n i PCPBC PB ∠==又，解得（负值已舍去），AD BP ⨯==2x =所以；2AB =（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，ABCD D DF BE ⊥BE F PF 因为底面，底面，所以，又，PD ⊥ABCD BF ⊂ABCD PD BF ⊥DF PD D = 平面，所以平面，又平面，所以，,DF PD ⊂PDF BF ⊥PDF PF ⊂PDF BF PF ⊥所以为二面角的平面角，PFD ∠P EB D --因为为的中点，E AD所以π2sin4DF ==PF ==所以，1cos 3DF PFD PF ∠===设二面角的平面角为，则，P EB A --θπPFD θ=-∠所以，()1cos cos πcos 3PFD PFD θ=-∠=-∠=-即二面角的余弦值为；P EB A --13-（3）依题意，，又，()AD BP AD⨯⊥ ()AD BP BP⨯⊥ AD BP EM λ⨯= 所以，，又，所以，EM AD ⊥EM BP ⊥//AD BC EM BC ⊥又，平面，所以平面，PB BC B = ,PB BC ⊂PBC EM ⊥PBC 在平面内过点作，垂足为，PDC D DN PC ⊥N 由平面，平面，所以，BC ⊥PDC DN ⊂PDC BC DN ⊥又，平面，所以平面，PC BC C = ,PC BC ⊂PBC DN ⊥PBC 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接PBC N //MN BC PB M DA E DE MN =，EM 所以且，所以四边形为平行四边形，//DE MN DE MN =DEMN 所以，又，即EM DN =DN ==EM=所以.10AD BP EMλ⨯===【关键点拨】本题关键是理解并应用所给定义，第三问关键是转化为求.DN。
天津市南开大学附属中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷
天津市南开大学附属中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知全集{}0,2,4,6,8,10U =，集合{}0,2,4A =，{}0,6,8B =，则()U A B ⋂=ð（）A ．{}0B ．{}6,8C ．{}0,6,8D ．{}2,4,6,82．在空间直角坐标系中，点(3,1,5)M -，关于x 轴对称的点的坐标是A ．()3,1,5---B ．()3,1,5--C ．()3,1,5-D ．()3,1,5--3．以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（）A ．()1,0,0a = ，()0,2,0b = ，1(,2c = B ．()1,0,0a =，()0,1,0b = ，()0,0,2c = C ．()1,0,1= a ，()0,1,1b = ，()2,1,2c =D ．()1,1,1a = ，()0,1,0b = ，()1,0,2c =4．已知{},,a b c 是空间的一组基底，其中23AB a b =- ，AC a c =- ，2AD b c λ=+.若A ，B ，C ，D 四点共面，则λ=（）A ．34-B ．34C ．43D ．43-5．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA = ,则EF等于A ．121+232OA OB OC-B ．211+322OA OB OC-+C ．111222OA OB OC+-D ．211322OA OB OC--6．若直线1x ya b-=过第一、三、四象限，则实数,a b 满足（）A ．0,0a b <<B ．0,0a b <>C ．0,0a b >>D ．0,0a b ><7．已知直线l 的一个方向向量为ππsin ,cos 33p ⎛⎫= ⎝⎭ ，则直线l 的倾斜角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．4π38．已知直线310kx y k --+=，当k 变化时，所有直线都恒过点（）A ．()0,0B ．()0,1C ．()2,1D ．()3,19．已知()2,4A ，()1,1B 两点，直线l 过点()0,2C 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为（）A ．(][),11,-∞-+∞B ．(][),22,-∞-+∞UC ．[]1,1-D ．[]22-,10．若曲线y =()21y k x =++仅有一个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．{}11,03⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．{}11,03⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ 二、填空题11．已知空间向量()2,3,4a = ，()1,0,1b =- ，那么a 在b上的投影向量为.12．已知向量(2,,1),(2,1,1)a t b =--= ，若a与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是．13．已知直线12:3450,:6850l x y l x y +-=++=则1l 与2l 的距离d =.14．在棱长为2的正方体ABCD A B C D -₁₁₁₁中E BC ，为中点，则点1B 到直线1A E 的距离为15．已知(,0),(,0)(0),A m B m m ->若圆22:68210C x y x y ++-+=上存在点P ，使得222||||4PA PB m +=，则m 的范围．三、解答题16．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，7,8,5a b c ===．(1)求角A 的值；(2)求sin B 的值．17．已知直线1:(4)(6)160l m x m y +++-=与直线2:6(1)80l x m y +--=．(1)当m 为何值时，1l 与2l 相交；(2)当m 为何值时，1l 与2l 平行，并求1l 与2l 的距离；(3)当m 为何值时，1l 与2l 垂直．18．已知点M (3，1)，圆O 1：(x ﹣1)2+(y ﹣2)2=4.（1）若直线ax ﹣y +4=0与圆O 1相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为a 的值；（2）求过点M 的圆O 1的切线方程.19．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,60AB AD AA A AB A AD BAD ===∠=∠=∠=︒．(1)证明：1AC BD ⊥；(2)求1AC 的长；(3)求直线1BD 与AC 所成角的余弦值．20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥π,2QA PDA PDC ∠∠==，且22AD PD QA ===.(1)求证：QB∥平面PDC；--的平面角大小.(2)求二面角C PB Q(3)已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB H的位置.。
2024—2025学年山东省济宁市嘉祥县第一中学高二上学期第一次月考数学试卷
2024—2025学年山东省济宁市嘉祥县第一中学高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题(★★) 1. 若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（）A．B．C．D．(★★) 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（）A．B．C．D．(★★) 3. 如果事件互斥，记，分别为事件的对立事件，那么（）A．是必然事件B．是必然事件C．与一定互斥D．与不可能互斥(★★) 4. 甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为（）A． 0.9B． 0.8C． 0.7D． 0.2(★★★) 5. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到平面的距离为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 在四棱柱中，，，则（）A．B．C．D．(★★) 10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（）A．在轴上的截距为B．过定点C．若，则或D．若，则(★★★) 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（）A．与平面的夹角的正弦值为B．点到的距离为C．线段的长度的最大值为D．与的数量积的范围是三、填空题(★★★) 12. 已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______(★★) 13. 已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为 ________________ .(★★★) 14. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为 _______ .四、解答题(★★) 15. 菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点.(1)求边所在直线的方程；(2)求对角线所在直线的方程.(★★) 16. 亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分布直方图如图所示，(1)求频率分布直方图中的值；(2)估计这600名学生成绩的中位数；(3)根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率．(★★) 17. 如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为，的中点．(1)证明：；(2)若点M是线段上的点，且，判断点M是否在平面内，并证明你的结论；(★★★) 18. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上.(1)求证：平面；(2)若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值.(★★★) 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．(1)证明：平面；(2)若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．。
河南省实验中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷
河南省实验中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题1310y --=的倾斜角为（ ） A ．30oB ．135oC ．60oD ．150o2．如图，空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r，点M 在OA 上，且23OM OA =u u u u r u u u r ，点N 为BC 中点，则MN u u u u r等于（ ）A ．111222a b c +-r r rB ．211322a b c -++r r rC ．221332a b c +-r r rD ．221332a b c -+-r r r3．已知直线1:10l ax y +-=与22:0l x ay a +-=平行，则a =（ ） A ．1B ．1-C ．0D ．1或1-4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB AC 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（ ）A B C ．23D ．135．直线1:l y ax b =+与直线()2:0,l y bx a ab a b =+≠≠在同一平面直角坐标系内的图形可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．6．两圆221x y +=与222210x y x y ++-+=的公共弦长为（ ）A B C ．12D ．17．已知实数x ，y 满足方程y yx的最大值为（ ） A ．0B ．1CD ．28．已知点P 为直线1:260l mx y m --+=与直线2:260()l x my m m +--=∈R 的交点，点Q 为圆22:(3)(3)8C x y +++=上的动点，则||PQ 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．若三条直线123:210,:10,:220l x y l x y l x ay a -+=+-=++-=不能围成一个三角形，则实数a 的值可以为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．210．已知直线:10l kx y k --+=与圆22:40C x y y +-=，则下列说法正确的是（ ）A ．圆C 的半径为4B ．直线l 过定点(1,1)C ．直线l 与圆 C 的相交弦长的最小值为D ．直线l 与圆 C 的交点为,A B ，则ABC V 面积的最大值为211．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，点P 在线段1B C 上运动，则（ ）A ．直线AP 与1A D 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．三棱锥11P ACD -C ．190BPD ∠≥oD ．PB PD +的最小值为2三、填空题12．直线1:210l x y -+=与直线2:4230l x y --=之间的距离为．13．已知向量()()2,1,2,4,2,a b t =-=-r r的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为． 14．已知点P 为直线:20+-=l x y 上的动点，过点P 作圆22:220C x x y y +++=的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，当PC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为．四、解答题15．已知向量()()2,1,,1,4,1a m b =-=r r ，且a b ⊥r r ． (1)求2a b +r r的值；(2)求向量2a b +r r 与a b -r r 夹角的余弦值．16．已知平面上有两点()1,0A -，()10B ,和直线20l x y -+=:. (1)求过点()10B ,的圆()()22344x y -+-=的切线的方程； (2)动点P 在直线l 上运动，求PA PB +的最小值. 17．已知直线():120R l kx y k k ---=∈过定点P ． (1)求过点P 且在两坐标轴上截距相等的直线方程；(2)设Q 为22:230C x y y +--=上的一个动点，求PQ 中点M 的的轨迹方程．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，22PD DC AD ===，E 是PC 的中点．(1)求证：PA ∥平面EDB ；(2)求平面EDB 与平面PAD 夹角的余弦值；(3)在棱PB 上是否存在一点F ，使直线EF 与平面EDB ，若存在，求出求线段BF 的长；若不存在，说明理由．19．常用测量距离的方式有3种．设()()1122,,,A x y B x y ，定义欧几里得距离(),D A B ()1212,M A B x x y y =-+-，定义余弦距离()(),1cos ,e A B A B =-，其中()cos ,cos ,A B OA OB =<>u u u r u u u r（O 为坐标原点）． (1)若()()1,2,2,1A B ，求,A B 之间的曼哈顿距离(),M A B 和余弦距离(),e A B ；(2)若2),(C x D --，求(),e C D 的取值范围； (3)动点P 在直线22y x =-上，动点Q 在函数2y x =图象上，求(),M P Q 的最小值.。
福建师大附中2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
福建师大附中2024-2025学年第一学期高二第一次月考数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1. 若角α的终边上一点的坐标为(11)−，，则cos α=( )A. 1−B.C.D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.【详解】∵角α的终边上一点的坐标为(11)−，，它与原点的距离r=，∴cos x r α==， 故选：C.2. 下列函数中，在区间()1,2上为增函数的是 A. 1y x=B. y x =C. 21y x =−+D. 243y x x =−+【答案】B 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性判断出各选项中函数在区间()1,2上的单调性，可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数1y x=在区间()1,2上为减函数； 对于B 选项，当()1,2x ∈时，y x =，则函数y x =在区间()1,2上为增函数；对于C 选项，函数21y x =−+在区间()1,2上为减函数； 对于D 选项，二次函数243y x x =−+在区间()1,2上为减函数. 故选B.【点睛】本题考查基本初等函数在区间上的单调性的判断，熟悉一次、二次、反比例函数的单调性是解题的关键，考查推理能力，属于基础题.3. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（ ）A. 甲班众数小于乙班众数B. 乙班成绩的75百分位数为79C. 甲班的中位数为74D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值【答案】D 【解析】【分析】根据已知数据图，判断A ；根据频率分布直方图计算乙班成绩的75百分位数，判断B ；求出甲班的中位数，判断C ；求出两个班级的平均分，即可判断D.【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79， 由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A 错误； 对于乙班物理成绩的频率分布直方图，前三个矩形的面积之和为(0.0200.0250.030)100.75++×=， 故乙班成绩的75百分位数为80，由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个， 故甲班的中位数为79，C 错误； 甲班平均数57258596768269279687882899874.820x ×++++×+×+×++×++=甲，乙班平均数估计值为10550.02650.025750.03+850.02950.00571.57= 4.8x =×+×+××+×=<乙（）， 即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D 正确， 故选：D 4.的直三棱柱111ABC A B C −中，ABC 为等边三角形，且ABC的外接圆半径为 ） A. 12π B. 8π C. 6π D. 3π【答案】A为【解析】【分析】由棱柱体积求得棱柱的高，然后求得外接球的半径，得表面积．【详解】设ABC 的边长为a ，由ABC可得2πsin3a =，故a =则ABC的面积2S.可得11S AA AA ⋅==1AA =， 设三棱柱外接球的半径为R，则2221723233AA R =+=+=， 故该三棱柱外接球的表面积为24π12πR =. 故选：A ．5. 已知函数()()()sin 20f x x ϕπϕ=+−<<，将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象关于y 轴对称，则关于函数()f x ，下列命题正确的是 A. 函数()f x 在区间,63ππ−上有最小值 B. 函数()f x 的一条对称轴为12x π=C. 函数()f x 在区间,63ππ−上单调递增 D. 函数()f x 的一个对称点为,03π【答案】C 【解析】【分析】根据平移关系求出函数的解析式，结合函数的奇偶性求出φ的值，利用三角函数的性质进行判断即可．【详解】将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到2[2]233y sin x sin x ππϕϕ=++=++（）（），此时函数为偶函数， 则232k k Z ππϕπ+=+∈，， 即06k k Z πϕππϕ=−+∈− ，，＜＜，∴当0k =时，6，πϕ=−则26f x sin x π=−（）（），当63x ππ−＜＜时22233262x x πππππ−−−，＜＜，＜＜， 则此时函数()f x 在区间,63ππ − 上单调递增，且()f x 在区间,63ππ−上没有最小值， 故C 正确， 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数性质判断，结合三角函数的平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键．6. 如图，在三棱锥P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC =6BC =，D ，E ，F ，G 分别为PB ，AB ，AC ，PC 的中点，Q 为DE 上一点，AQ GQ ⊥，当AQG 的面积取得最小值时，三棱锥Q AEF −外接球的表面积为（ ）A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π【答案】B 【解析】【分析】连接GF ，GD ，根据中位线性质得到线线平行关系，再利用线面垂直的性质得到线线垂直，设EQ x =，DQ y =，根据222AQ GQ AG +=得到()2221697x y x y +++=++，得到12AQG S AQ GQ =⋅= ，再根据基本不等式即可求出最值，再转化为长方体外接球问题即可.【详解】连接GF ，GD ，因为D ，E ，F ，G 分别为PB ，AB ，AC ，PC 的中点，的所以2//,11,//,2GF GF PA PA DE PA PA DE ==，1//,2GD BC GD BC =，1//,2EF BC EF BC =，则//GF DE ，因为PA ⊥平面ABC ， 所以GF ⊥平面ABC ，DE ⊥平面ABC ，AE ⊂ 平面ABC ，所以DE AE ⊥，所以DE GD ⊥，AF ⊂ 平面ABC ，所以GF AF ⊥．设EQ x =，DQ y =，则AQ ，GQ ，AG ==，因为AQ GQ ⊥，所以222AQ GQ AG +=，即()2221697x y x y +++=++， 整理得9xy =，所以12AQGS AQ GQ =⋅= 由基本不等式得2216924216y x xy +≥=，当且仅当43y x =，即x =y =所以当AQC S 取得最小值时，EQ =，DQ =． 因为AF EF ⊥，QE ⊥平面AEF ，所以可将三棱锥Q AEF −补形为如图所示的长方体，则三棱锥Q AEF −的外接球即该长方体的外接球，易知该长方体外接球的直径为AQ =，故三棱锥Q AEF −，故三棱锥Q AEF −外接球的表面积为4π728π×=，故选：B ．【点睛】方法点睛：求解有关三棱锥外接球的问题时，常见方法有两种：一种是补形，解题时要认真分析图形，看能否把三棱锥补形成一个正方体（长方体），若能，则正方体（长方体）的顶点均在外接球的球面上，正方体（长方体）的体对角线为外接球的直径；另一种是直接法，三棱锥中过任意两个面的外接圆圆心的垂线的交点即三棱锥外接球的球心．7. 、，外接球表面积为20π，则正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D.12或32【答案】C 【解析】【分析】在正四棱台1111ABCD A B C D −中，取截面11AAC C ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，分析可知球心在直线1OO 上，对球心的位置进行分类讨论，求出1OO 的长，利用线面角的定义可求得结果.【详解】在正四棱台1111ABCD A B C D −中，设其上底面为正方形ABCD ，下底面为正方形1111D C B A ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，由正四棱台的几何性质可知，1OO ⊥平面1111D C B A ，取截面11AAC C ， 则正四棱台的外接球球心E 在直线1O O 上，分以下两种情况讨论： ①E 在AC 、11A C 的同侧，如下图所示：设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得R =由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，且2AC ==，11114A C B =，所以，2OE =，11EO ，所以，11211OO EO EO =−=−=， 过点A 在平面11AAC C 内作11AF AC ⊥， 因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，则四边形1AOO F 为矩形，且11AF OO ==，11O FAO ==，111211A F AO O F =−=−=， 因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠， 且11tan 1AFAA F A F∠==； ②若球心E 在线段1OO 上，如下图所示：设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得R =由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，且2AC ==，11114A C B =，所以，2OE =，11EO ，所以，11213OO EO EO =+=+=， 过点A 在平面11AAC C 内作11AF A C ⊥，因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，则四边形1AOO F 为矩形，且13AF OO ==，11O FAO ==，111211A F AO O F =−=−=， 因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠， 且11tan 3AFAA F A F∠==. 综上所述，正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为1或3. 故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=.8. 在ΔΔΔΔΔΔΔΔ中，BC CA CA AB ⋅=⋅ ，2BA BC += ，且233B ππ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是A [2,1)− B. 2,13C. 22,3 −D. 22,3−【答案】D 【解析】【分析】由BC CA CA AB ⋅=⋅，可以得到()0CA BC BA ⋅+= ，利用平面向量加法的几何意义，可以构造平行四边形BCDA ，根据()0CA BC BA ⋅+=，可知平行四边形BCDA 是菱形，这样在Rt BOA ∆中，可以求出菱形的边长，求出BA BC ⋅的表达式，利用233B ππ≤≤，构造函数，最后求出BA BC ⋅的取值范围.【详解】()0()0BC CA CA AB CA BC AB CA BC BA ⋅=⋅⇒⋅−=⇒⋅+=，以,BC BA 为邻边作平行四.边形BCDA ，如下图：所以BC BA BD += ，因此0CA BD CA BD ⋅=⇒⊥,所以平行四边形BCDA 是菱形，设CA BD O ∩=，2BA BC +=，所以=21BD BO ⇒=，在Rt BOA ∆中， 1cos cos 2BO ABO AB ABC AB ∠=⇒=∠ 212cos ()cos 1cos cos 2ABCy ABC ABC AB A C C B B ∠==⋅∠=⋅∠+∠ ， 设211cos [,]3322x ABC ABC x ππ=∠≤∠≤∴∈− ， 所以当11[,]22x ∈− 时，'22201(1)x y y x x =⇒=>++，21x y x =+是增函数，故2[2,]3y ∈−，因此本题选D.【点睛】本题考查了平面加法的几何意义、以及平面向量数量积的取值范围问题，利用菱形的性质、余弦的升幂公式、构造函数是解题的关键.二、多选题（每小题6分，共18分）9. 一组样本数据12,,,n x x x …的平均数为()0x x ≠，标准差为s ．另一组样本数据122,,,n n n x x x ++…，的平均数为3x ，标准差为s ．两组数据合成一组新数据1212,,,,,,n n n x x x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅，新数据的平均数为y ，标准差为s ′，则（ ） A. 2y x > B. 2y x = C. s s ′> D. s s ′=【答案】BC 【解析】【分析】由平均数与标准差的定义求解判断． 【详解】由题意322nx n xyx n+⋅=， 222222121()()()nn k k ns x x x x x x x nx ==−+−++−=−∑，同理222222211(3)9nnkkk n k n ns xn x xnx=+=+=−⋅=−∑∑ 两式相加得22221210nk k ns x nx ==−∑，22222221122(2)8nnkk k k ns x n x x nx ==′=−⋅=−∑∑，所以2222ns ns ′>，s s ′>． 故选：BC ．10. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点E ，F 分别为棱BC 与11D C 的中点，则下列选项正确的有（ ）A. 1//A B 平面1AECB. EF 与1BC 所成的角为30°C. ⊥EF 平面1B ACD. 平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D −的截面面积为 【答案】ABD 【解析】【分析】设点M 为棱11A D 的中点，得到四边形1AEC M 为平行四边形，利用线面平行的判定定理，证得1//A B 平面1AEC ，可判定A 正确；再得到四边形1AEC M 为菱形，求得截面的面积，可判定D 正确；设1CC 的中点为N ，证得1//EN BC ，得到NEF ∠为EF 与1BC 所成的角，利用余弦定理求得cos NEF ∠，可判定B 正确；假设⊥EF 平面1B AC 正确，得到1EF B C ⊥，结合11FC B C ⊥，证得1B C ⊥平面1EFC ，得到11B C EC ⊥，进而判定C 错误．【详解】如图1所示，设点M 为棱11A D 的中点，则1MC AE ，平行且相等，所以四边形1AEC M 为平行四边形，又1//A B ME ，1⊄A B 平面1AEC ，ME ⊂平面1AEC ，所以1//A B 平面1AEC ，故A 正确； 由上可知，四边形1AEC M 为平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D −的截面，易得11AE EC C M MA ====，故四边形1AEC M 为菱形，又其对角线EM =，1AC =12××，故D 正确； 设1CC 的中点为N ，连接,EN FN ，因为,E N 分别为BC 与1CC 的中点，所以1//EN BC ，故NEF ∠为EF 与1BC 所成的角，又EN FN ==，EF =由余弦定理可得222cos 2EN EF NF NEF EN EF +−∠==⋅ 所以EF 与1BC 所成的角为30°，故B 正确；如图2所示，假设⊥EF 平面1B AC 正确，则1EF B C ⊥，又11FC B C ⊥，1EF FC F ∩=，所以1B C ⊥平面1EFC ，得11B C EC ⊥． 在正方形11B C CB 中，11B C EC ⊥，显然不成立，所以假设错误， 即⊥EF 平面1B AC 错误，故C 错误． 故选：ABD ．11. 已知,a b 均为正数且11a b a b+=+，下列不等式正确的有（ ）A. 23+≥B.2+≥C. 3a +≥D.23a b a+≥ 【答案】BCD 【解析】【分析】由已知条件可得1ab =，然后逐个分析判断即可 【详解】由11a b a b+=+，得a b a b ab ++=，所以()()0ab a b a b +−+=，()(1)0a b ab +−= 因为,a b 均为正数，所以1ab =，对于A ，2≥===，即ab 时取等号，所以A 错误，对于B 2+≥=，即1a b ==时取等号，所以B 正确，对于C ，因为1ab =，所以1a b=，所以13a b +=+≥=，=，即1a b ==时取等号，所以C 正确，对于D ，因为1ab =，所以22223a a ba b b b a ab++==++≥，当且仅当2a b =，即1a b ==时取等号，所以D 正确，故选：BCD三、填空题（每小题5分，共15分）12. 已知1x >−，则41x x ++的最小值为___________. 【答案】3 【解析】【分析】由1x >−可得10x +>，将41x x ++整理为4111++−+x x ，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为1x >−，所以10x +>，所以441111x x x x +=++−++13≥−=， 当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号， 所以41x x ++的最小值为3， 故答案为：3【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 13. 已知函数222log ,1()32,1x a x f x x ax a x + =++<， ①若a ＝1，f （x ）的最小值是_____；②若f （x ）恰好有2个零点，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】 ①. ﹣14 ②. 1(1,][0,)2−−+∞ 【解析】【分析】（1）对分段函数的两段函数分别求最小值，然后比较可得； （2）结合函数性质与解方程()0f x =，可得结论．【详解】（1）由题意22log 1,1()32,1x x f x x x x +≥ =++< ， 1x ≥时，2()log 1f x x =+单调递增，min ()(1)1f x f ==， 1x <时，2231()32()24f x x x x =++=+−，min 31()()24f x f =−=−， 所以32x =−时，min 1()4f x =−；（2）若0a =，则22log ,1(),1x x f x x x ≥ = <，恰有两个零点0和1，满足题意，若0a >，则1x ≥时，2()log 0f x x a a =+≥>无零点， 但1x <时，22()32f x x ax a =++有两个零点a −和2a −，满足题意，当0a <时，则1x ≥时，2()log f x x a =+是增函数，min ()0f x a =<，有一个零点， 1x <时，由22()320f x x ax a =++=得x a =−或2x a =−，因为()f x 只有两个零点，所以121a a −< −≥，解得112a −<≤−， 综上，a 的取值范围是1(1,][0,)2−−+∞ ．【点睛】本题考查求分段函数的最值，由分段函数的零点个数求参数取值范围．解题时需分类讨论，按分段函数的定义分类讨论．14. 如图所示，在△ABC 中，AB =AC =2，AD DC = ，2DE EB =，AE 的延长线交BC 边于点F ，若45AF BC ⋅=− ，则AE AC ⋅= ____.【答案】229【解析】【分析】过点D 做DG AF ,可得16EF AF =，15BF BC =，4155AF AB AC =+ 由45AF BC ⋅=− 可得2cos 3BAC ∠=，可得541()655AE ACAB AC AC ⋅=+⋅ ，代入可得答案. 【详解】解：如图，过点D 做DG AF ,易得：13EF BE DG BD ==,13EF DG =,12DG CD AF AC ==,故12DG AF =,可得：16EF AF =， 同理：12BF BE FG ED ==,11FG AD GC CD ==,可得15BF BC =, 1141()5555AF AB BF AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+ ,由45AF BC ⋅=− ，可得22411424()()555555AB AC AC AB AC AB AB AC +⋅−=−+⋅=− , 可得：14244422cos 5555BAC ×−×+××∠=−,可得：2cos 3BAC ∠=， 255412122122()2246655353369AE AC AF AC AB AC AC AB AC AC ⋅=⋅=+⋅=⋅+=×××+×= ,故答案为：229. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出DG AF 是解题的关键.四、解答题（共77分）15. 如图1，在平面四边形PBCD 中，已知BC PB ⊥，PD CD ⊥，6PB =，2BC =，2DP CD =，DA PB ⊥于点A .将PAD △沿AD 折起使得PA ⊥平面ABCD ，如图2，设MD PD λ=（01λ≤≤）.（1）若23λ=，求证：PB //平面MAC ； （2）若直线AM 与平面PCD，求λ的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）12λ= 【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用空间向量的坐标表示，表示出线面夹角的余弦值即可求解. 【小问1详解】在平面四边形PBCD 中，BC PB ⊥，6PB =，2BC =，所以CP =tan BPC ∠= 又PD CD ⊥，2DP CD =，所以CD =，PD =，1tan 2DPC ∠=， 所以()1123tan tan 111123BPD BPC DPC +∠=∠+∠==−×，所以45BPD ∠=°. 所以在Rt PAD △中，易得4PA AD ==. 因为DA PB ⊥，BC PB ⊥，所以//AD BC .在四棱锥P ABCD −中，连接BD ，设BD AC F ∩=，连接MF ，因为23λ=，所以2DMMP =， 又2AD DFBC FB==，所以MF PB ∥. 因为MF ⊂平面MAC ，PB ⊄平面MAC ，所以PB ∥平面MAC .【小问2详解】由题意易知AB ，AD ，AP 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()0,0,4P ， 则()2,2,0CD =− ，()0,4,4PD =−.设平面PCD 法向量为(),,n x y z =，则00n CD n PD ⋅= ⋅=，即220440x y y z −+= −= ， 令1x =，得11y z == ，即()1,1,1n = . 由MD PD λ=，得()0,4,4MD λλ=− ， 故()0,44,4M λλ−，()0,44,4AM λλ=−.由直线AM 与平面PCD，的得cos ,AM n AM n AM n⋅==，解得12λ=. 16. 如图，直三棱柱111ABC A B C −的体积为1，AB BC ⊥，2AB =，1BC =．（1）求证：11BC A C ；（2）求二面角11B A C B −−的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）法一：由线面垂直证明即可；法二：用空间直角坐标系证明即可；（2）法一：过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，由已知得出BHO ∠为二面角11B A C B −−的平面角，求解即可；法二：建立空间直角坐标系求解． 【小问1详解】直三棱柱111ABC A B C −的体积为：111121122V AB BC AA AA =×⋅⋅=×××=， 则11AA BC ==，四边形11BCC B 为正方形，法一：在直棱柱111ABC A B C −中，1BB ⊥面ABC ，11AB A B ∥， 又AB ⊂平面ABC ，则1AB BB ⊥，因为AB BC ⊥，1AB BB ⊥，1BB BC B = ，1,BB BC ⊂平面11BCC B ， 所以AB ⊥平面11BCC B ，又1BC⊂平面11BCC B ， 所以1AB BC ⊥，因为11AB A B ∥，所以11A B ⊥1BC ， 在正方形11BCC B 中，有11BC B C ⊥，因为11BC B C ⊥，11A B ⊥1B C ，1111A B B C B = ，111,A B B C ⊂平面11A CB ， 所以1⊥BC 平面11A CB ，又1A C ⊂平面11A CB ， 所以11BC A C ．法二：直棱柱111ABC A B C −，1BB ⊥平面ABC ，又AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，1BB 所在直线为x 轴，y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则()0,0,0B ，()10,0,1B ，()1,0,0C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，1(1,0,1)BC =，1(1,2,1)A C =−− ，11110(2)1(1)0BC A C ⋅=×+×−+×−=，所以11BC A C ．【小问2详解】由（1）得11BC A C ，设11B C BC O = ，在11A B C 中，过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，因为1OH A C ⊥，11BC A C ，1,OH BC ⊂平面BHO ，且1OH BC O ∩=， 所以1A C ⊥平面BHO ，又BH ⊂平面BHO ，所以1AC BH ⊥，所以BHO ∠为二面角11B A C B −−的平面角， 因为11Rt Rt COH CA B ∽△△，111CA CO OH A B =，得OH = 又在Rt BOH中，BO =BH =，cos OH BHO BH ∠=， 所以二面角11B A C B −−法二：()0,0,0B ，()10,0,1B ，()C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，(1,0,0)BC =，1(0,2,1)BA = ，设平面1BCA 的法向量：1111(,,)n x y z = ， 则111111020n BC x n BA y z ⋅== ⋅+ ，取11y =，得1(0,1,2)n =− ，1(1,0,1)B C=−，11(0,2,0)B A = ，设面11B CA 的法向量2222(,,)n x y z = ， 则21222112020n B C x z n B A y ⋅=−= ⋅== ，取21x =，得2(1,0,1)n = ， 设二面角11B A C B −−的大小为θ，则：121212|||cos ||cos ,|||||n n n n n n θ⋅=<>==因为θ为锐角，所以二面角11B A C B −−17. 如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD=BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；． 【解析】【详解】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面ABC ，则AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．由几何关系可知∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．计算可得12MNcos DMN DM∠==．则异面直线BC 与MD（Ⅲ）连接CM ．由题意可知CM ⊥平面ABD ．则∠CDM 为直线CD 与平面ABD所成的角．计算可得CMsin CDM CD∠=．即直线CD 与平面ABD． 详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM =1，故DMAD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt △DAN 中，AN =1，故DN．在等腰三角形DMN 中，MN =1，可得12cos MN DMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD（Ⅲ）连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CMABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．Rt △CAD 中，CD=4．在Rt △CMD中，sin CM CDM CD ∠=． 所以，直线CD 与平面ABD点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．18. 棱柱1111ABCD A B C D −的所有棱长都等于4，60ABC ∠=°，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=°.（1）证明：1DB AA ⊥；（2）求二面角1D AA B −−的平面角的余弦值；（3）在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）35；（3）点P 在1C C 的延长线上且使1C C CP =. 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合10AA BD ⋅=，即可证得1DB AA ⊥；在（2）分别求得平面1AA D 和平面1AA B 的一个法向量，解向量的夹角公式，即可求解；（3）设1CP CC λ= ，求得BP 的坐标和平面11DA C 的法向量，结合30n BP ⋅= ，求得1λ=−，即可得到结论.【详解】由题意，连接BD 交AC 于O ，则BD AC ⊥，连接1A O ，在1AAO 中，14AA =，2AO =，160AAO ∠=°，∴2221112cos 60AO AA AO AA AO =+−=°⋅22211AO A O AA +=， ∴1A O AO ⊥，由于平面11AA C C ⊥平面ABCD ，所以1A O ⊥底面ABCD ，所以以OB 、OC 、1OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,2,0A −，()B ，()0,2,0C，()D −，(10,0,A ， （1）由于()BD =−，(10,2,AA =，()2,0AB = ， 则10AA BD ⋅= ，∴1BD AA ⊥.（2）设平面1AA D 的法向量()2,,n x y z = ，则21200n AA n AD ⋅= ⋅=，即0y y += + ，取1x =，可得()21n =− ， 同理，可得平面1AA B的法向量()11,n = ， 所以1212123cos 5n n n n n n ⋅⋅==− ， 又由图可知成钝角，所以二面角1D A A B −−的平面角的余弦值是35. （3）假设在直线1CC 上存在点P ，使//BP 平面11DA C ，设1CP CC λ= ，(),,P x y z ，则()(,2,0,2,x y z λ−=，得(0,22,)P λ+，(22,)BP λ−+， 设3n ⊥ 平面11DA C ，则31131n A C n DA ⊥ ⊥ ，设()3333,,n x y z = ，得到333200y = +=，不妨取()31,0,1n =− ，又因为//BP 平面11DA C ，则30n BP ⋅= 即0−=得1λ=−.即点P 在1C C 的延长线上且使1C C CP =.【点睛】本题主要考查了空间向量在线面位置关系的判定与证明中的应用，以及直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记空间向量与线面位置关系的关系，以及线面角的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19. 已知非空集合A 是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意()f x A ∈，()f x 均存在反函数1()f x −，且1()f x A −∈；②对任意()f x A ∈，方程()f x x =均有解；③对任意()f x 、()g x A ∈，若函数()g x 为定义在R 上的一次函数，则(())f g x A ∈.（1）若1()()2x f x =，()23g x x =−，均在集合A 中，求证：函数12()log (23)h x x A =−∈； （2）若函数2()1x a f x x +=+（1x ≥）在集合A 中，求实数a 的取值范围； （3）若集合A 中的函数均为定义在R 上的一次函数，求证：存在一个实数0x ，使得对一切()f x A ∈，均有00()f x x =.【答案】（1）见详解；（2）[]1,3a ∈；（3）见详解； 【解析】【分析】（1）由1()()2x f x A =∈，根据性质①可得112()log f x x A −=∈，且存在00x >，使得 1002log x x =，由()23g x x A =−∈，且为一次函数，根据性质③即可证明.（2）由性质②，方程()211x a x x x +=≥+，即a x =在[)1,x ∈+∞上有解，可得1a ≥，变形21()1211x a a f x x x x ++==++−++，[)()1,x ∈+∞.与2的关系分类讨论，利用基本不等式的性质即可求解.（3）任取()1f x ax b =+，()2f x cx d A =+∈，由性质①,0a c ≠，不妨设,1a c ≠，（若1a =，则0b =，()1f x x =）， 由性质③函数()()()()12g x f f x acx ad b A ==++∈， 由性质①：()()1x bc d h x A ac −−+=∈，由性质③：()()()()()1()acx bd b bc d ad b bc d h g x x A ac ac−++−++−+===∈ 由性质②方程：()()ad b bc d x x ac+−++=，可得ad b bc d +=+，即11b d a c =−−，即可得证. 【详解】（1）由1()()2x f x A =∈，根据性质①可得112()log f x x A −=∈，且存在00x >，使得 1002log x x =，由()23g x x A =−∈，且为一次函数，根据性质③可得：()()112()log (23)hx x f g x A −=−=∈.（2）由性质②，方程()211x a x x x +=≥+，即a x =在[)1,x ∈+∞上有解，1a ∴≥， 由22111()12111x a x a a f x x x x x +−+++===++−+++[)()1,x ∈+∞,2>，3a >时，112a −>，且()112a f f − =， ∴此时()f x 没有反函数，即不满足性质①.2≤，13a ≤≤时，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，∴此时()f x 有反函数，即满足性质①.综上：[]1,3a ∈.（3）任取()1f x ax b =+，()2f x cx d A =+∈，由性质①,0a c ≠，不妨设,1a c ≠，（若1a =，则0b =，()1f x x =），由性质③函数()()()()12g x f f x acx ad b A ==++∈， 由性质①：()()1x bc d h x A ac −−+=∈，由性质③：()()()()()1()acx bd b bc d ad b bc d h g x x A ac ac−++−++−+===∈ 由性质②方程：()()ad b bc d x x ac+−++=， ∴ad b bc d +=+，即11b d ac =−−， ()1f x x =，可得ax b x +=，1b x a =−, ()2f x x =，可得cx d x +=，1d x c =−, 由此可知：对于任意两个函数()1f x ，()2f x ，存在相同的0x 满足：()()10020f x x f x =，∴存在一个实数0x ，使得对一切()f x A ∈，均有00()f x x =.质，难度较大.。
重庆市铜梁2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案
高二上学期第一次月考数学试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.某工厂生产的产品的合格率是99.99%，这说明（）A.该厂生产的10000件产品中不合格的产品一定有1件B.该厂生产的10000件产品中合格的产品一定有9999件C.该厂生产的10000件产品中没有不合格的产品D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%【答案】D 【解析】【分析】由概率的定义逐一分析即可.【详解】对于A ：该厂生产的10000件产品中不合格的产品不一定有1件，可能是多件或者没有，故A 错误；对于B ：该厂生产的10000件产品中合格的产品不一定是9999件，故B 错误；对于C ：该厂生产的10000件产品中可能有不合格产品，故C 错误；对于D ：该厂生产的产品合格的可能性是99.99%，故D 正确；故选：D.2.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（）A.0.42B.0.12C.0.18D.0.28【答案】B 【解析】【分析】由两人考试相互独立和达到优秀的概率可得．【详解】所求概率为()()10.610.70.12-⨯-=.故选B.【点睛】本题考查相互独立事件概率计算公式，属于基础题．3.在一次随机试验中，彼此互斥的事件,,,A B C D 发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是（）A.A B 与C 是互斥事件，也是对立事件B.B C ⋃与D 是互斥事件，也是对立事件C.A C U 与B D 是互斥事件，但不是对立事件D.A 与B C D 是互斥事件，也是对立事件【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件的定义和对立事件的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】A 中，因为,,,A B C D 彼此互斥，故A B 与C 是互斥事件，而()()0.71P A B P C ⋃+=<，故A B 与C 不是对立事件，故A 错误；B 中，因为,,,A B C D 彼此互斥，故B C ⋃与D 是互斥事件，而()()0.81P C B P D ⋃+=<，故B C ⋃与D 不是对立事件，故B 错误；C 中，因为,,,A B C D 彼此互斥，故A C U 与B D 是互斥事件，而()()1P A C P B D ⋃+⋃=，故A C U 与B D 是对立事件，故C 错误；D 中，因为,,,A B C D 彼此互斥，故A 与B C D 互斥事件，而()()1P A P B C D +⋃⋃=，故A 与B C D 是对立事件，故D 正确；故选：D.4.如图，在四面体OABC 中，点M 在棱OA 上，且满足2OM MA =，点N ，G 分别是线段BC ，MN 的中点，则用向量OA ，OB ，OC 表示向量OG应为（）A.111344OG OA OB OC=++ B.111344OG OA OB OC=-+C.111344OG OA OB OC=-- D.111344OG OA OB OC=+- 【答案】A 【解析】【分析】利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可．【详解】因为2OM MA =，所以23OM OA =，因为点N ，G 分别是线段BC ，MN 的中点，所以111211111()222322344OG OM ON OA OB OC OA OB OC =+=⨯+⨯+=++，所以111344OG OA OB OC =++ ．故选：A ．5.已知随机事件A 和B 互斥，且()0.7P A B ⋃=，()0.2P B =，则()P A =A.0.5 B.0.1 C.0.7 D.0.8【答案】A 【解析】【分析】由()()()+0.7P A B P B P A ⋃==，可求出()P A ，进而可求出()P A .【详解】因为事件A 和B 互斥，所以()()()+0.7P A B P B P A ⋃==,则()=0.7-0.2=0.5P A ，故()()1-0.5P A P A ==.故答案为A.【点睛】本题考查了互斥事件概率加法公式，考查了对立事件的概率求法，考查了计算求解能力，属于基础题．6.已知正四面体D ABC -的各棱长为1，点E 是AB 的中点，则EC AD ⋅的值为（）A.14B.14-C.34D.34-【答案】A 【解析】【分析】把EC 表示为AC AE -，然后再求数量积．【详解】由题意，四面体D ABC -是正四面体，每个面都是正三角形，∴EC AD ⋅ ()AC AE AD AC AD AE AD =-⋅=⋅-⋅ 1111cos 601cos 6024=⨯⨯︒-⨯⨯︒=．故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是把EC 表示为AC AE -，然后计算即可．7.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为35和p ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920．假设甲、乙两人射击互不影响，则p 值为（）A.35B.45 C.34D.14【答案】C 【解析】【分析】根据独立事件概率乘法公式，结合各射击一次得分之和为2的概率构造方程求解即可.【详解】记甲、乙两人各射击一次的得分之和为X ，则()()33319211555520P X p p p ⎛⎫==⨯-+-=-= ⎪⎝⎭，解得：34p =.故选：C.8.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中{},1,2,3,4,5,6a b ∈，若1a b -≤，就称“甲、乙心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A.19B.29C.718D.49【答案】D 【解析】【分析】由题意，样本点总数为36，可列举出满足条件的样本点共16个，由古典概型的概率公式，即得解【详解】记“|a －b |≤1”为事件A ，由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，则事件A 包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16个，而依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等．因此他们“心有灵犀”的概率P ＝1636＝49.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球的概率为12【答案】ACD 【解析】【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A ;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D.【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件1A ，从“乙袋中摸出一个红球”为事件2A ，则()113P A =，()212P A =，对于A 选项，2个球都是红球为12A A ，其概率为111326⨯=，故A 选项正确，对于B 选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为15166-=，故B 选项错误，对于C 选项，2个球至少有一个红球的概率为()()1221211323P A P A -=-⨯=，故C 选项正确，对于D 选项，2个球中恰有1个红球的概率为1211232132⨯+⨯=，故D 选项正确．故选：ACD ．10.下列各对事件中，M 、N 是相互独立事件的有（）A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M =“出现的点数为奇数”，事件N =“出现的点数为偶数”B.袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M =“第1次摸到红球”，事件N =“第2次摸到红球”C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M =“第1枚为正面”，事件N =“两枚结果相同”D.一枚硬币掷两次，事件M =“第一次为正面”，事件N =“第二次为反面”【答案】CD 【解析】【分析】利用独立事件的定义可判断AC 选项；利用事件的关系可判断BD 选项.【详解】对于A 选项，掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M =“出现的点数为奇数”，事件N =“出现的点数为偶数”，则事件MN =“出现的点数为奇数且为偶数”，所以，()0P MN =，又因为()()12P M P N ==，所以，()()()P MN P M P N ≠⋅，所以，M 、N 不相互独立，A 不满足；对于B 选项，袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M =“第1次摸到红球”，事件N =“第2次摸到红球”，由题意可知，事件M 的发生影响事件N 的发生，故M 、N 不相互独立，B 不满足；对于C 选项，分别抛掷2枚相同的硬币，事件M =“第1枚为正面”，事件N =“两枚结果相同”，则事件MN =“两枚硬币都正面向上”，则()14P MN =，又因为()12P M =，()2142P N ==，则()()()P MN P M P N =⋅，所以，M 、N 相互独立，C 满足；对于D 选项，一枚硬币掷两次，事件M =“第一次为正面”，事件N =“第二次为反面”，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此，M 、N 相互独立，D 满足.故选：CD.11.若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()()2,45P A a P B a =-=-，则实数a 的值可以是（）A.1312 B.54C.43D.3124【答案】CD 【解析】【分析】由互斥事件的概率性质列不等式组求解即可；【详解】解:由题意可知()()()()01011P A P B P A P B ⎧<<⎪<<⎨⎪+≤⎩，即0210451 331a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-≤⎩，即12534243a a a ⎧⎪<<⎪⎪<<⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得5443a <≤，故选：CD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.平行六面体1111ABCD A B C D -中，若11BC xAB yAC z AA =++，则x y z --=______．【答案】3-【解析】【分析】画出图象，根据向量的加、减法的法则求解即可．【详解】 111BC AC AB AA AC AB →→→→→=-=+-,11BC xAB yAC z AA =++ ,∴1,1,1x y z =-==，则3x y z --=-.故答案为：-3.13.在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为715，取得两个绿玻璃球的概率为115，则取得两个同颜色的玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________．【答案】①.815②.1415【解析】【分析】“取得两个同颜色的球”是由“取得两个红球”与“取得两个绿球”的和事件，利用互斥事件的概率公式求出概率；“至少取得一个红球”与“取得两个绿球”为对立事件，利用对立事件的概率公式求出概率．【详解】取得两个同颜色的玻璃球包括两个红玻璃球或两个绿玻璃球故取得两个同颜色的玻璃球的概率1718151515P =+=；“至少取得一个红玻璃球”的对立事件是“取得两个绿玻璃球”故至少取得一个红玻璃球的概率211411515P =-=故答案为：815；1415【点睛】本题考查互斥事件的概率公式；对立事件的概率公式，属于基础题．14.在一次三人象棋对抗赛中,甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲的概率为0.6,比赛顺序如下:第一局,甲对乙;第二局,第一局胜者对丙;第三局,第二局胜者对第一局败者;第四局,第三局胜者对第二局败者.则乙连胜四局的概率为____.【答案】0.09.【解析】【分析】当乙连胜四局时，对阵情况是第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜，然后利用概率公式进行求解即可【详解】当乙连胜四局时，对阵情况如下：第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜．所求概率为P 1=（1﹣0.4）2×0.52=0.32=0.09∴乙连胜四局的概率为0.09【点睛】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I 号和II 号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果，（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；（2）求下列事件的概率：A =“两个点数之和是5”；B =“两个点数相等”；C =“I 号骰子的点数大于II 号骰子的点数”.【答案】（1）(){}{},,1,2,3,4,5,6m n m n Ω=∈，是古典概型（2）19;16;512【解析】【分析】（1）确定样本空间中试验结果是不是有限的，每个试验结果是不是等可能的即可．（2）用列举法再写出事件,,A B C 所含基本事件的个数，从而可计算出概率．【详解】解：（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I 号骰子的每一个结果都可与II 号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字m 表示I 号骰子出现的点数是m ，数字n 表示II 号骰子出现的点数是n ，则数组(),m n 表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间(){}{},,1,2,3,4,5,6m n m n Ω=∈，其中共有36个样本点.由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.（2）因为()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1A =，所以()4n A =，从而()()()41369n A P A n===Ω；因为()()()()()(){}1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6B =，所以()6n B =，从而()()()61366n B P B n ===Ω；因为()()()()()()()()()()()()()()(){}2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3,5,1,5,2,5,3,5,4,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5C =，所以()15n C =，从而()()()1553612n C P C n ===Ω；【点睛】本题考查样本空间，考查古典概型，属于基础题．16.某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；（2）若采用分层抽样的方法，从打分在[)40,60的受访学生中随机抽取5人了解情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人至少有一人评分在[)40,50的概率.【答案】（1）0.006a =，680人（2）710【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，即可求出a ，再估计出满意度打分不低于70分的人数；（2）首先求出打分在[)40,50和[)50,60内人数，再用列举法列出所有可能结果，最后根据古典概型的概率公式计算可得.【小问1详解】由频率分布直方图可知，()0.0040.0180.02220.028101a +++⨯+⨯=，解得0.006a =.该校学生满意度打分不低于70分的人数为()10000.280.220.18680⨯++=.【小问2详解】由频率分布直方图可知，打分在[)40,50和[)50,60内的频率分别为0.04和0.06，抽取的5人采用分层抽样的方法，在[)40,50内的人数为2人，在[)50,60内的人数为3人.设[)40,50内的2人打分分别为1a ，2a ，[)50,60内的3人打分分别为1A ，2A ，3A ，则从[)40,60的受访学生中随机抽取2人，2人打分的基本事件有：()()()121112,,,,,a a a A a A ，()()()()13212223,,,,a A a A a A a A ,,,，()()()121323,,,,,A A A A A A 共10种.其中两人都在[)50,60内的可能结果为()()()121323,,,,,A A A A A A ，则这2人至少有一人打分在[)40,50的概率3711010P =-=.17.如图，正三棱柱111ABC A B C -.（1）设侧棱长为1，求证：11AB BC ⊥；（2）设1AB 与1BC 的夹角为3π，求侧棱的长．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）根据空间向量的线性运算表示1AB 与1BC ，结合向量数量积的运算律计算11AB BC ⋅ ，即可得证；（2）根据向量数量积的运算律表示数量积及模长，根据夹角可得模长.【小问1详解】由已知得11AB AB BB =+ ，11111BC BB B C BB BC =+=+ ，1BB ⊥ 平面ABC ，10BB AB ∴⋅= ，10BB BC ⋅= ，又ABC 是正三角形，2,,33AB BC BA BC ππππ∴=-=-= ,()()21111111AB BC AB BB BB BC AB BB AB BC BB BB BC ∴⋅=+⋅+=⋅+⋅++⋅2110cos ,0102AB BC AB BC BB ⎛⎫=+⋅⋅++=-+= ⎪⎝⎭；11AB BC ∴⊥；【小问2详解】由（1）得221111cos ,1AB BC AB BC AB BC BB BB ⋅=⋅⋅+=- ，又1AB =，1BC = 211111211111cos ,22BB AB BC AB BC AB BC BB -⋅∴===⋅+ ，解得12BB = ，即侧棱长为2.18.已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值.（1）OQ PQ xPC yPA =++ ；（2）PA xPO yPQ PD =++ .【答案】（1）12x y ==-（2）2x =，2y =-【解析】【分析】（1）利用向量的三角形法则及其向量相等即可得出．（2）利用向量的三角形法则及其向量相等即可得出．由图可知，()111222OQ PQ PO PQ PA PC PQ PA PC =-=-+=-- ，12x y ∴==-．【小问2详解】2PA PC PO += ，2PA PO PC ∴=- .2PC PD PQ += ，2PC PQ PD ∴=- ，()2222PA PO PQ PD PO PQ PD ∴=--=-+ .2x ∴=，2y =-．19.甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.（1）写出甲、乙抽到牌的所有情况；（2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？（3）甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？【答案】（1）答案见解析（2）23（3）游戏不公平，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意写出所有抽牌情况即可；（2）由古典概率计算即可；（3）找到甲抽到的牌的数字比乙的大的情况，再由古典概率计算，比较大小即可；分别用2，3，4，4'表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有情况为()()()()()()()()()()()()2,3,2,4,2,4,3,2,3,4,3,4,4,2,4,3,4,4,4,2,4,3,4,4''''''，共12种不同的情况.【小问2详解】甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到牌的数字比3大的概率是23，【小问3详解】甲抽到的牌的数字比乙的大，有()()()()()3,2,4,2,4,3,4,2,4,3''，共5种情况，因此甲胜的概率为512，乙胜的概率为712.因此512＜712，所以此游戏不公平.。
湖南省郴州市部分学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案
高二数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一、二册占60%，选择性必修第一册第一章至第二章第4节占40%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,4,5B =，则()UB A ⋂=ð（）A.{}3B.{}4C.{}1,4 D.{}1,5【答案】D 【解析】【分析】利用补集与交集的定义可求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，所以{}U 1,3,5A =ð，又因为{}1,4,5B =，(){}{}{}U 51,3,51,4,51,A B == ð.故选：D.2.已知复数1i z a =+（0a >），且3z =，则a =（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数的模的定义即可求解.【详解】因为1i z a =+，3z =3=，解得a =±，因为0a >，所以a =故选：D,3.已知1sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.9B.19-C.79-D.9-【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数关系得出余弦值，再结合诱导公式化简后应用二倍角正弦公式计算即可.【详解】因为221sin ,sin cos 13ααα=+=,又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 3α===,所以π12242cos 2sin22sin cos 22339αααα⎛⎫-===⨯⨯ ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A5.在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B AC B --的正切值为（）A.2B.3C.3D.【答案】D 【解析】【分析】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，可得1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，求解即可.【详解】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，由正方体1111ABCD A B C D -，可得11,AB B C AB BC ==，所以1,B M AC BM AC ⊥⊥，所以1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可得AC =，所以BM =在1Rt B B M 中，11tan B B B MB BM =∠==,所以二面角1B AC B --.故答案为：D.6.已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P的轨迹方程为（）A.()()22232x y -+-= B.()()22231x y -+-=C.()()22341x y -+-= D.()()22552x y -+-=【答案】B 【解析】【分析】设出动点P 和动点A 的坐标，找到动点P 和动点A 坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.【详解】设(,)P x y ，11(,)A x y ，由中点坐标公式得1134,22x y x y ++==，所以1123,24x x y y =-=-，故(23,2)A x y --4，因为A 在圆()()22124x y -+-=上运动，所以()()222312424x y --+--=，化简得()()22231x y -+-=，故B 正确.故选：B7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵111ABC A B C -中，π2ABC ∠=，1AB BC AA ==，,,D E F 分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.【详解】在从左往右第一个图中，因为π2ABC ∠=，所以AB BC ⊥，因为侧棱垂直于底面，所以1AA ⊥面ABC ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系，设12AB BC AA ===，因为,,D E F 分别是所在棱的中点，所以(0,0,0),(0,1,0),(1,0,2),(1,1,0)B E D F所以(1,1,0)BF = ，(1,1,2)DE =-- ，故110BF DE ⋅=-+=，即BF DE ⊥得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,2),(0,1,1)B E D F ，所以(0,1,1)BF = ，(0,1,2)DE =-，故121BF DE ⋅=-=-，所以,BF DE 不垂直，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,1,2)B E D F ，故(1,1,2)BF = ，(0,1,0)DE = ，即1BF DE ⋅=，所以,BF DE 不垂直，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有1个，故B 正确.故选：B8.已知过点()1,1P 的直线l 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点，则22OA OB+的最小值为（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知直线l 的斜率存在设为(0)k k <，分别解出,A B 两点的坐标，表示出22OA OB +的表达式由基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意知直线l 的斜率存在．设直线的斜率为(0)k k <，直线l 的方程为1(x 1)y k -=-，则1(1,0),(0,1)A B k k--，所以222222121(1)(1)112OA OB k k kk k k+=-+-=-++-+22212(2)28k k k k =+--++≥++=，当且仅当22212,k k k k-=-=，即1k =-时，取等号.所以22OA OB +的最小值为8.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.9.已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π85x =对称C.()f x 的图象关于点π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.()f x 的值域为[]1,1-【答案】ABD 【解析】【分析】求得最小正周期判断A ；求得对称轴判断B ；求得对称中心判断C ；求得值域判断D.【详解】因为()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，可得ππ,Z 28k x k =+∈，所以()f x 图象的对称轴为ππ,Z 28k x k =+∈，当1k =时，图象的关于π85x =对称，故B 正确；由Z 2ππ,4k x k =∈+，可得ππ,Z 28k x k =-∈，所以()f x 图象的对称中心为ππ(,0),Z 28k k -∈，当0k =时，图象的关于点()π8,0-对称，故C 不正确；由()πsin 2[1,1]4f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]1,1-，故D 正确.故选：ABD.10.若数据1x ，2x ，3x 和数据4x ，5x ，6x 的平均数、方差、极差均相等，则（）A.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的平均数相等B.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的方差相等C.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的极差相等D.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的中位数相等【答案】ABC 【解析】【分析】运用平均数，方差，极差，中位数的计算方法和公式计算，通过已知两组数据的平均数、方差、极差均相等这个条件，来分析这两组数据组合后的相关统计量与原数据的关系.【详解】设数据123,,x x x 的平均数为x ，数据456,,x x x 的平均数也为x .那么数据123456,,,,,x x x x x x 的平均数为123456()()3366x x x x x x x xx ++++++==，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的平均数相等，A 选项正确.设数据123,,x x x 的方差为2s ，数据456,,x x x 的方差也为2s .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其方差计算为2222221234561[()((()()()]6x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-2222221234561[3(()(())3(((())]6x x x x x x x x x x x x =⨯-+-+-+⨯-+-+-2221(33)6s s s =+=,所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的方差相等，B 选项正确.设数据123,,x x x 的极差为R ，数据456,,x x x 的极差也为R .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是R ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的极差相等，C 选项正确.设数据123,,x x x 按从小到大排列为123x x x ≤≤，中位数为2x .设数据456,,x x x 按从小到大排列为456x x x ≤≤，中位数为5x .对于数据123456,,,,,x x x x x x 按从小到大排列后，中位数不一定是2x ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的中位数不一定相等，D 选项错误.故选：ABC11.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为6的菱形，1AA ⊥平面ABCD ，13AA =，π3DAB ∠=，点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++，其中λ，μ，[]0,1t ∈，则（）A.当P 为底面1111D C B A 的中心时，53t λμ++=B.当1t λμ++=时，AP 长度的最小值为2C.当1t λμ++=时，AP 长度的最大值为6D.当221t λμλμ++==时，1A P为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断.【详解】对于A ，当P 为底面1111D C B A 的中心时，由1AP AB AD t AA λμ=++ ，则11,,122t λμ===故2t λμ++=，故A 错误；对于B ，当1t λμ++=时，()22222222112·AP AB AD t AA AB AD t AA AB ADλμλμλμ=++=+++()()222223693636936t t λμλμλμλμ=+++=++-22245723636457236362t t t t λμλμ+⎛⎫=-+-≥-+- ⎪⎝⎭223273654273644t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭当且仅当13,84t λμ===，取最小值为2，故B 正确;对于C ，当1t λμ++=时，1AP AB AD t AA λμ=++，则点P 在1A BD 及内部，而AP是以A 为球心，以AP 为半径的球面被平面1A BD 所截图形在四棱柱1111ABCD A B C D -及内的部分，当=1=0t λμ=，时，=6AP ，当=0=10t λμ=，，时，=6AP ，可得1A P最大值为6，故C 正确；对于D ，221t λμλμ++==，()22223693636945AP t λμλμ=+++=+= ，而11=A P A A AP +，所以()22222111111=+2·=+2A P A A AP A A AP A A AP A A AB AD t AA λμ++⋅++ 22211=29452936A A AP t A A +-=+-⨯= ，则16A P = 为定值，故D 正确.故答案选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()1,2a =- ，(),4b m =-.若()a ab ⊥+ ，则m =__________.【答案】3-【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算结合平面向量垂直的性质建立方程，求解参数即可.【详解】因为向量()1,2a =- ，(),4b m =- ，所以()1,2a b m +=--，因为()a ab ⊥+，所以(1)40m ---=，解得3m =-.故答案为：3-13.已知在正四棱台1111ABCD A B C D -中，()0,4,0AB = ，()13,1,1CB =- ，()112,0,0A D =-，则异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值为__________.【答案】19【解析】【分析】利用向量的线性运算求得1DB，根据向量的夹角公式可求异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值.【详解】111(0,4,0)(3,1,1)(3,3,1)DB DC CB AB CB =+=+=+-=，所以111111111·cos ,19·DB A D DB A D DB A D ==-，所以异面直线1DB 与11A D所成角的余弦值为19.故答案为：1914.已知函数()21xg x =-，若函数()()()()()2121f x g x a g x a =+--+⎡⎤⎣⎦有三个零点，则a 的取值范围为__________.【答案】()2,1--【解析】【分析】令()0f x =，可得()2g x =或()1g x a =--，函数有三个零点，则需方程()1g x a =--有两个解，则=与1y a =--的图象有两个交点，数形结合可求解.【详解】令()0f x =，可得()()()()21210g x a g x a ⎡⎤+--+=⎣⎦，所以()()()[2][1]0g x g x a -++=，所以()2g x =或()1g x a =--，由()2g x =，又()21xg x =-，可得212x -=，解得21x =-或23x =，方程21x =-无解，方程23x =有一解，故()2g x =有一解，要使函数()()()()()2121f x g x a g x a ⎡⎤=+--+⎣⎦有三个零点，则()1g x a =--有两解，即=与1y a =--的图象有两个交点，作出函数=的图象的示图如下：由图象可得011a <--<，解得21a -<<-.所以a 的取值范围为(2,1)--.故答案为：(2,1)--.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b a B +=．（1）若π2A =，求B ；（2）若a =1b =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π4（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合内角和定理与两角和与差的正弦公式化简等式得sin sin()B A B =-，代入π2A =求解可得；（2）由sin sin()B A B =-根据角的范围得2A B =，由正弦定理结合二倍角公式可得2cos 2B =，从而得π4B =，再利用余弦定理求边c ，由面积公式可求结果.【小问1详解】因为2cos c b a B +=，所以由正弦定理得，sin sin 2sin cos C B A B +=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+代入上式得，所以()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ，由π2A =，则B 为锐角，且c sin s os n π2i B B B ⎛⎫-= ⎭=⎪⎝，所以π4B =.【小问2详解】由（1）知，()sin sin B A B =-，因为a =1b =，所以A B >，则0πA B <-<，π02B <<，故B A B =-，或πB A B A +-==（舍去）.所以2A B =，又a =1b =，由正弦定理得sin sin 22cos sin sin A B aB B B b====，则2cos 2B =，则π4B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则2122c =+-，化简得2210c c -+=，解得1c =，所以111sin 2222ABC S ac B === .故ABC V 的面积为12.16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为12.（1）求甲连续打四局比赛的概率；（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；（3）求第四局甲轮空的概率.【答案】（1）18（2）14（3）38【解析】【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率；（2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可；（3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可.【小问1详解】若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率311(28=；【小问2详解】在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率111(1(1)224-⨯-=；【小问3详解】甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，第1种情况的概率111(1)(1224-⨯-=；第2种情况的概率1111(12228⨯⨯-=；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为113488+=.17.如图，在几何体PABCD 中，PA ⊥平面ABC ，//PA DC ，AB AC ⊥，2PA AC AB DC ===，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点.（1）证明：//EF 平面PAC ．（2）证明：AB EF ⊥.（3）求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）先证AB ⊥平面PACD ，得到AB PC ⊥，结合（1）中的结论，可得AB EF ⊥.（3）问题转化为直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.设1CD =，表示CP 的长，利用体积法求C 到平面PBD 的距离，则问题可解.【小问1详解】如图，连接CP .在BCP 中，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点，所以//EF CP ,，又EF ⊄平面PAC ，CP ⊂平面PAC .所以//EF 平面PAC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又AB AC ⊥,,PA AC ⊂平面PAC ，且PA AC A = ，所以AB ⊥平面PAC .因为CP ⊂平面PAC ，所以AB CP ⊥.又因为//EF CP ，所以AB EF ⊥.【小问3详解】因为//EF CP ，所以直线EF 与平面PBD 所成角与直线PC 与平面PBD 所成角相等，设为θ.不妨设1CD =，则=PC 设C 到平面PBD 的距离为h .则13C PBD PBD V S h -=⋅ .又11212333C PBDB PCD PCD V V S AB --==⋅=⨯⨯= .在PBD △中，PB =BD PD ==，所以12PBD S =⨯= .所以33C PBD PBD V h S -=== .所以63sin θ6h PC ===.故直线EF 与平面PBD.18.设A 是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a ，b ，c A Î，使得a b b c -=-，则称A 为“等差集”．（1）若集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，且B 是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B ；（2）若集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，求m 的值；（3）已知正整数3n ≥，证明：{}23,,,,nx x x x ⋅⋅⋅不是“等差集”．【答案】（1）答案见解析（2）2m =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可；（2）根据等差集定义应用a b b c -=-，即2a c b +=逐个计算判断即可；（3）应用反证法证明集合不是等差集.【小问1详解】因为集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，存在3个不同的元素a ，b ，c B ∈，使得a b b c -=-，则{}1,3,5,9B =或{}1,3,5B =或{}1,5,9B =.【小问2详解】因为集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，所以221m m =+-或2211m m =+-或()2221m m +=-,计算可得12m -±=或0m =或2m =或14m =，又因为m 正整数,所以2m =.【小问3详解】假设{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅是“等差集”，则存在{},,1,2,3,,,m n q n m n q ∈<< ,2n m q x x x =+成立，化简可得2m n q n x x --=+,0m n x ->因为*N ,1x q n ∈-≥,所以21q n x x ->≥≥,所以=1与{}22,,,,nx x x x ⋅⋅⋅集合的互异性矛盾，所以{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅不是“等差集”．【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明.19.过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．（1）已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：13y x k=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．（2）在OPM 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线，直线OM 与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫-⎪⎝⎭定积直线，求点P 的坐标．（3）已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．【答案】（1）存在，理由见解析（2）()1,2（3）[)0,8【解析】【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论；（2）设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，利用定积直线的定义可得01x λ=或1-，进而2003x x λ-=，计算即可；（3）设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y x t-=-+，其中0t ≠，计算得12d d =，利用基本不等式可求12d d 的取值范围.【小问1详解】存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，理由如下：由题意可得1133k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，由()013y kx k y x k ⎧=≠⎪⎨=-⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，故存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，且13μ=-．【小问2详解】设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，直线PM 的斜率为2λ-．依题意得()2022x λλ⋅-=-，得2201x λ=，即01x λ=或1-．直线OM 的方程为y x λ=，因为点()200,3M x x -在直线OM 上，所以2003x x λ-=．因为点M 在第一象限，所以20031x x λ-==，解得02x =或2-（舍去），12λ=，()2,1M ，所以直线OP 的方程为12y x x λ==，直线PM 的方程为()2213y x x λ=--+=-+，由23y x y x =⎧⎨=-+⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，即点P 的坐标为()1,2．【小问3详解】设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y xt-=-+，其中0t ≠，则12d d ===2216171725t t ++≥=，当且仅当2216t t =，即24t =时，等号成立，所以08≤<，即1208d d ≤<，故12d d 的取值范围为[)0,8．【点睛】思路点睛：理解新定义题型的含义，利用定积直线的定义进行计算求解，考查了运算求解能力，以及基本不等式的应用.。
鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考(10月)月考数学试卷
鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）月考数学试卷一、单选题1310y -+=的倾斜角是（ ） A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m ≤- B ．1m <- C ．1m ≥-D ．1m >-3．已知直线l 的一个方向向量为()1,2,1m =-r ，平面α的一个法向量为1,1,2n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，若//l α，则x =（ ）A ．52B ．52-C ．12-D ．124．已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若1l ∥2l ，则a =（ ） A ．1-或2B ．1C ．1或2-D ．2-5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB AC 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（ ）A B C ．23D ．126．当点()2,1P --到直线()()():131240l x y λλλλ+++--=∈R 的距离最大时，直线l 的一般式方程是（ ） A ．3250x y +-= B ．2310x y -+= C ．250x y ++=D ．2320x y -+=7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,,,BAC AB AC AA G E F ∠=︒===分别是棱111,A B CC 和AB 的中点，点D 是线段AC 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段AD 的长度是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．138．如图，在四裬锥P ABCD -中，PA ⊥平面,90,ABCD BAD BC ∠=o ∥AD ，12,2PA AB BC AD Q ====是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角Q PD A --的平面角大小为π3，若点M 是PC 中点，则四棱锥M ADQ -体积的最大值是（ ）A B ．43C D ．1二、多选题9．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法正确的是（ ）A ．A 点的坐标为 2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为510．如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有,A B 两点，,,C AC l D αβ∈⊥∈，BD l ⊥，若2,AC AB BD CD ====，则（ ）A ．直线AB 与CD 所成角的余弦值为45o B ．二面角l αβ--的大小为60oC ．三棱锥A BCD -的体积为D ．直线CD 与平面β11．如图，M 为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的一个动点，则（ ）A ．当M 在平面1111D CB A 内运动时，四棱锥M ABCD -的体积是定值 B ．当M 在直线11AC 上运动时，BM 与AC 所成角的取值范围为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．使得直线MA 与平面ABCD 所成的角为60°的点M D ．若N 为棱11A B 的中点，当M 在底面ABCD 内运动，且//MN 平面11B CD 时，MN 的三、填空题12．已知空间直角坐标系中的三点()2,0,2A 、()0,0,1B 、()2,2,2C ，则点A 到直线BC 的距离为．13．一条光线从点(4,0)A -射出，经直线10x y +-=反射到圆22:(2)2C x y ++=上，则光线经过的最短路径的长度为．14．已知梯形CEPD 如图1所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．已知当点F 满足(01)AF AB λλ=<<u u u r u u u r 时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为．图1 图2四、解答题15．已知直线l 的方程为：()()211740m x m y m +++--=. (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点，当AOB V 面积最小时，求AOB V 的周长. 16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11AC 的中点.(1)求异面直线AE 与1B C 所成角的余弦值； (2)求三棱锥1A B CE -的体积.17．已知圆满足：截y 轴所得弦长为2；被x 轴分成两段弧，其弧长的比为3:1， (1)若圆心在直线20x y -=上，求圆的标准方程；(2)在满足条件的所有圆中，求圆心到直线1:20x y -=的距离最小的圆的方程．18．如图，PD ⊥平面,,ABCD AD CD AB ⊥∥,CD PQ ∥,222CD AD CD DP PQ AB =====，点,,E F M 分别为,,AP CD BQ 的中点.(1)求证：EF ∥平面CPM ；(2)求平面QPM 与平面CPM 夹角的余弦值；(3)若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求N 到平面CPM 的距离.19．如图，在ABC V 中，,2,AC BC AC BC D ⊥==是AC 中点，E F ､分别是BA BC ､边上的动点，且EF ∥AC ；将BEF △沿EF 折起，将点B 折至点P 的位置，得到四棱锥P ACFE -；(1)求证：EF PC ⊥；(2)若2BE AE =，二面角P EF C --是直二面角，求二面角P CE F --的正弦值； (3)当PD AE ⊥时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.。
重庆市北碚区朝阳中学2024-2025学年高二(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年重庆市北碚区朝阳中学高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设空间向量a =(1,2,−1)，b =(−2,−4,k)，若a //b ，则实数k 的值为( )A. 2B. −10C. −2D. 102.已知空间向量p =2a−3b +3c ，q =3a +b +c ，则p +q 以{a ,b ,c }为单位正交基底时的坐标为( )A. (5,−3,4)B. (5,−2,4)C. (2,−3,3)D. (3,1,1)3.点A(2,3−μ,−1+v)关于x 轴的对称点为A′(λ,7,−6)，则( )A. λ=−2，μ=−1，v =−5B. λ=2，μ=−4，v =−5C. λ=2，μ=10，v =8D. λ=2，μ=10，v =74.已知空间向量a =(1,0,3),b =(2,1,0),c =(5,2,z)，若a ,b ,c 共面，则实数z 的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 35.已知a =(−1,2,1),b =(2,−2,0)，则a 在b 方向上的投影为( )A. − 6B. 6C. −3 22D. 3 226.如图，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB =5，AD =3，AA′=7，∠BAD =60°，∠BAA′=∠DAA′=45°，则AC′的长为( )A. 98+56 2B. 98−56 2C. 89+56 2D. 89−56 27.已知向量a =(2,−1,3)，b =(−4,2,t)的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为( )A. (−∞,−6)B. (−∞,−6)∪(−6,103)C. (103,+∞) D. (−∞,103)8.如图，已知正四棱锥P−ABCD 的所有棱长均为1，E 为PC 的中点，则线段PA 上的动点M 到直线BE 的距离的最小值为( )A. 33 B. 22C. 13D. 12二、多选题：本题共3小题，共18分。
重庆市开州中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题
重庆市开州中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．直线10x +=的倾斜角为A ．6πB ． 3πC ．23πD ．56π2．已知()()0,1,1,0,0,1a b == ，则a在b 上的投影向量为（）A ．()1,0,0B ．()0,0,1C ．()0,1,0D ．110,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭3．“3m =”是“直线1:2(1)(3)750l m x m y m ++-+-=与直线2:(3)250l m x y -+-=垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a = ，AD b = ，1AA c =，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且1:1:4CN CA =，则向量MN可表示为（）A ．12a b c++ B ．1144a b c++C ．131484a b c-- D ．313444a b c+- 5．已知在平面直角坐标系Oxy 中，()2,0A -，()4,0B .点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（）A ．曲线C 的方程为()22416x y -+=B ．曲线C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为10C ．曲线C 上存在点M ，使得2MO MA=D ．曲线C 上的点到直线34130x y --=的最大距离为96．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若E ，F 分别是上底棱的中点，则点A 到平面B 1D 1EF 的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域224x y +≤．其中黑色阴影区域在y 轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则当224x y +≤时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（）A ．()22(sgn())10x x y x +--≤B ．()22(sgn())10y x y y -+-≤C ．()22(sgn())10x x y x +--≥D ．()22(sgn())10y x y y -+-≥8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆229x y +=上两动点，点()1,1P ，且PA PB ⊥，则AB 的最大值为（）A．3B．3C．4D．4+二、多选题9．已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()211740+++--=m x m y m .则以下几个命题正确的有（）A ．直线l 恒过定点()3,1B ．圆C 被y轴截得的弦长为C ．直线l 与圆C 恒相交D ．直线l 被圆C 截得最短弦长时，直线l 的方程为250x y +-=10．下列四个命题是真命题的是（）A ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=B ．已知()0,2A，()3,1B -，点P 为x 轴上一动点，则PA PB -C ．已知()1,1A ，()2,3B -，()1,2C --，过A 作直线l 与线段BC 相交，则直线l 斜率的取值范围为23,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．经过两条直线1l ：40x y +-=和2l ：20x y -+=的交点，且与直线210x y +-=平行的直线方程为270x y +-=11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1BB ，1CC 的中点，G 是棱11B C 上的一个动点，M 为侧面11BB C C 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．点G 到平面AEF 的距离为定值B ．若1D M MC ⊥，则BM 的最小值为2C ．若11111=++AG xA A y A E z A D uuu r uuu r uuu r uuuu r ，且1x y z ++=，则点G 到直线AFD ．直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值的取值范围为1510⎥⎣⎦三、填空题12．已知圆1C ：()()22225x a y -++=，圆2C ：()()2214x y a +++=，若圆1C 与圆2C 内切，则实数a 的值是.13．已知直线1l ：10x ay ++=，2l ：()1220a x y a +++=，当12//l l 时，直线1l 与2l 之间的距离是．14．现有四棱锥P ABCD -（如图），底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD .1==PA AB ，3AD =，点E ，F 分别在棱AB ，BC 上.当空间四边形PEFD 的周长最小时，异面直线PE 与DF 所成角的余弦值为.四、解答题15．已知圆C 的圆心为()1,0，直线10x y ++=与圆C 相切.（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过点()2,2，被圆C 所截得的弦长为2，求直线l 的方程.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，,E F 分别为,PA BC 的中点．(1)证明：//EF 平面PCD ．(2)若PD ⊥平面ABCD ，120ADC ︒∠=，且24PD AD ==，求直线AF 与平面DEF 所成角的正弦值．17．过点()4,2P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于A ，B 两点.(1)当AOB V 面积最小时，求直线l 的方程；(2)当PA PB ⋅取到最小值时，求直线l 的方程.18．如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，点M ，N 别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ⋂=，AC MN G ⋂=．沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置，连接PA 、PB 、PD ，得到如图2所示的五棱锥P —ABMND ．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)当四棱锥P —MNDB 体积最大时，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QMN 与平面PMN 夹角的余弦值为1010若存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．19．已知圆W 经过(3,3),(2,A B C -三点．(1)求圆W 的方程．(2)已知直线l 与圆W 交于M ，N （异于A 点）两点，若直线,AM AN 的斜率之积为2，试问直线l 是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．。
四川省德阳市绵竹市南轩中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷
四川省德阳市绵竹市南轩中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知复数13i24iz -=+（i 是虚数单位），则z 对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是（）A ．98B ．99C ．99.5D ．1003．设m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题为真命题的是（）A ．若m α⊥，n β⊥，//m n ，则αβ⊥B ．若m αβ⋂=，//n α，//n β，则//m nC ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则v/D ．若αβ⊥，//m α，//n β，则m n⊥4．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 和BD 的交点，若AB a=，AD b = ，1AA c =，则下列式子中与1MB 相等的是（）A ．1122a b c-+ B ．1122a b c+-C ．1122-++a b c D ．1122a b c --+5．某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中错误的是（）A ．快递行业从业人员中，“90后”占一半以上B ．快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20%C ．快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多D ．快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多6．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60A =︒，1b =则sin sin sin a b cA B C++=++（）A ．B C D 7．如图，电路中A 、B 、C 三个电子元件正常工作的概率分别为()13P A =，()12P B =，()35P C =，则该电路正常工作的概率为（）A ．415B ．815C ．715D ．7128．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A ．平均数为3，中位数为2B ．中位数为3，众数为2C ．平均数为2，方差为2.5D ．中位数为3，方差为2.8二、多选题9．已知向量()()2,1,1,1,,2a x b y ==-，则（）A ．若1,24x y ==-，则//a b r r B ．若1,1x y ==，则a b⊥C ．若1,12x y ==，则cos ,a b = D ．若1,12x y ==，则向量a 在向量b 上的投影向量112,,333c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭10．已知甲罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3；乙罐中有两个相同的小球，标号为1，2，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和小于4”，事件B =“抽取的两个小球标号之积为偶数”，事件C =“抽取的两个小球标号之积大于3”，则（）A ．事件A 发生的概率为12B ．事件A B 发生的概率为23C ．事件A ，C 是互斥事件D ．事件B ，C 相互独立11．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是棱AD ，1DD ，CD 的中点，则下列说法正确的有（）A ．直线1A G 与直线1C E 共面B ．113D BEF V -=C ．二面角11D AC B --的平面角余弦值为13D ．过点B ，E ，F 的平面，截正方体的截面面积为9三、填空题12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是11,,DD BD BB 的中点．则EF 与CG 所成角的余弦值为．13．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率34，乙中靶的概率为m ，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为720，则m =.14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记(0CM BN a a ==<<，当MN 的长最小时，平面MNA 与平面MNB 夹角的正弦值为.四、解答题15．甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为34.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.16．某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；70,80三层中抽取一个容量(2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从50,60，60,70，[)为6的样本，再从这6人中随机抽取两人.求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率.-中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥17．如图，在四棱锥P ABCD底面ABCD，M是PD的中点．(1)求证：AM⊥平面PCD；(2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值．-中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，18．如图，在四棱锥P ABCD且PA PD(1)求证：//(2)求证：平面PAB⊥平面PDC；(3)求直线EF与平面ABCD所成角的大小．19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12CC =.P 为1B C 上一动点，记11B P B C λ= .(1)求线段PA 的最小值；(2)当PA 取最小值时，求三棱锥C APB -的体积；(3)当1A P //平面1ACD 时，求λ的值.。
山东省聊城颐中外国语学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题
山东省聊城颐中外国语学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．点(3,8,5)P --关于平面xOy 对称的点的坐标是（）A ．()3,8,5--B ．(3,8,5)-C ．(3,8,5)D ．(3,8,5)--2．已知点()1,1,2A -在平面α上，其法向量()2,1,2n =-，则下列点不在平面α上的是（）A ．()2,3,3B ．()3,7,4C ．()1,7,1--D ．()2,0,1-3．如图，在三棱锥O ABC -中，设,,OA a OB b OC c === ，若,2AN NB BM MC ==，则MN =（）A ．112263a b c+-B ．112263a b c-+C ．111263a b c-- D ．111263a b c++ 4．已知点()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1A B C ，则平面ABC 的法向量可以是（）A ．()1,1,1B ．1(1,,1)2-C ．1(0,,0)2D ．()1,0,1-5．设,R x y ∈，向量()()(),1,1,1,1,,2,2,2,a x b y c ==-=-且,//b a c c ⊥ ，则x y +的值为（）A ．-1B ．1C ．2D ．36．设向量()3,2,1a =-- 是直线l 的方向向量，()1,2,1n =--是平面α的法向量，则（）A ．l α⊥B ．//l α或l α⊂C ．//l αD ．l α⊂7．已知点(1,1,2),(2,0,1),(1,2,0)A B C -，则点C 到直线A 的距离为（）A B ．13C D 8．已知菱形ABCD ，π3DAB ∠=，将DAC 沿对角线AC 折起，使以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大，此时异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．34-B ．2C ．34D ．4二、多选题9．给出下列命题，其中正确命题有（）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知a b ⊥，则,a b 与任何向量都不构成空间的一个基底C ．已知向量//a b，则,a b 与任何向量都不能构成空间的一个基底D ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN不能构成空间的一个基底，则,,,A B M N 共面10．已知()2,0,4A ，()1,1,3B ，()1,1,2C --，则（）A ．()4,2,7AB AC +=--B ．29BC =C ．若向量()2,2,2m =- ，则//m ABD ．若向量()1,2,1m = ，则m AB⊥11．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122,AA AB O ==为四边形11DCC D 对角线的交点，点E 在线段1D D 上运动（不含端点），下列结论正确的是（）A ．直线AO 与直线1CC 所成角的余弦值为23B ．点1B 到平面1AOD 的距离为43C ．线段1D D 上存在点E ，使得1A E ⊥平面1AOD D三、填空题12．已知点100111()()(0)11B C D ''，，，，，，，，，若点E 的坐标为()2m -，1，，且点B C D E ''，，，四点共面，则实数m 的值为.13．已知向量(9,8,5)a = ，(2,1,1)b =-- ，则向量a在向量b 上的投影向量的坐标是．14．已知()0,2,1n =是平面α的法向量，点()1,0,3Q 在平面α内，则点()2,2,2P 到平面α的距离为.四、解答题15．已知空间三点()2,0,2A -，()1,1,2B -，()3,0,4C -，设,b AC a AB == .(1)求a和b的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka b + 与2ka b -互相垂直，求k 的值．16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是面1AB ，面11A C 的中心．求证：//EF 平面1ACD ．17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点．在棱1CC 上是否存在一点Q ，使得平面1//D BQ 平面PAO ？若存在，指出点Q 的位置；若不存在，请说明理由．18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AB BC CC ===，点E 是DC 的中点．(1)求点1B 到直线1AD 距离：(2)求证：平面1AD E ⊥平面1BB E ．19．已知四棱锥P ABCD -中，底面是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E F G O 、、、分别是PC PD BC AD 、、、的中点．(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)已知点M 是线段PG 上的动点，并且到平面EFG GM 的长．。
宁波镇海中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(原卷)
2026届高二数学秋季月考卷第一期考试范围：大部分学校已经学习过的内容：考试时间：120分钟：满分：150分 注意事项：1.答题前填写好自已的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知向量()2,4a = ，()1,1b =− ，则2a b −= A. ()5,7 B. ()5,9C. ()3,7D. ()3,9 2. 已知直线12:320,:310l x y l x ay −+=−−=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 12 C. 12− D. 1−3. 已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ）A. (),20−∞B. (),5−∞C. ()5,+∞D. ()20,+∞ 4. 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A. 若a b ，与α所成的角相等，则aa ∥bbB. 若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则aa ∥bbC. 若a b a b αβ⊂⊂ ，，，则αβ∥D. 若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥5. 直线3y kx =+与圆()()22324x y −+−=相交于M 、N两点，若MN = ，则k 等于（ ） A 0 B. 23− C. 23−或0 D. 34−或0 6. 过点()1,3P 作直线l ，若l 经过点(),0A a 和()0,B b ，且,a b 均为正整数，则这样的直线l 可以作出（ ），A 1条 B. 2条 C. 3条D. 无数条..7. 已知长方体1111ABCD A B C D −中，12AA AB ==，若棱AB 上存在点P ，使得1D P PC ⊥，则AD 的取值范围是（ ）A. [)1,2B. (C. (]0,1D. ()0,28. 已知点P 在直线3y x =−−上运动，M 是圆221x y +=上的动点，N 是圆22(9)(2)16x y −+−=上的动点，则PM PN +的最小值为（ ）A. 13B. 11C. 9D. 8二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9. 三条直线0x y +=，0x y −=，3x ay +=构成三角形，则a 的值不能为（ ） A. 1B. 2C. 1−D. －210. 正方体1111ABCD A B C D −中，下列结论正确是（ ）A. 直线1AD 与直线11A C 所成角为3π B. 直线1AD 与平面ABCD 所成角为3π C. 二面角1D AB D −−的大小为4πD. 平面11AB D ⊥平面11B D C 11. 已知圆22:(1)(1)4M x y −+−=，直线:20,l x y P ++=为直线l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA PB ､，切点为A B ､，则下列各选项正确的是（ ）A. 四边形MAPB 面积的最小值为4B. 四边形MAPB 面积的最大值为8C. 当APB ∠最大时，2PA =D. 当APB ∠最大时，直线AB 的方程为0x y +=第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知直线1:230l mx y m ++−=，2:10l mx y m +−+=，则直线1l 与2l 之间的距离最大值为______. 13. 已知三棱锥P ABC −中，23APB ∠=π，PA PB ==，5AC =，4BC =，且平面PAB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．的14. 若点A （x ，y ）满足C ：（x +3）2+（y +4）2≤25，点B 是直线3x +4y =12上的动点，则对定点P （6，1）而言，|PA PB +|的最小值为_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知直线:230m x y −−=与直线:30n x y +−=的交点为P . （1）若直线l 过点P ，且点A (1,3)和点B (3,2)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程；（2）若直线l 1过点P 且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△ABO 的面积为4，求直线l 1的方程．16. 某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥S ABCD −的高是长方体1111ABCD A B C D −高的12，且底面正方形ABCD 的边长为4，12AA =．（1）求1AC 的长及该长方体的外接球的体积；（2）求正四棱锥的斜高和体积．17. 已知：圆C 过点()0,1D ，()2,1E −，(F −，P 是直线1:2l y x =−上的任意一点，直线2:1=+l y x 与圆C 交于A 、B 两点.（1）求圆C 的方程；（2）求22PA PB +最小值.的18. 平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()221:314C x y ++−=和圆()()222:454C x y −+−=．（1）若直线l 过点()1,0A −，且与圆1C 相切，求直线l 的方程； （2）设P 为直线32x =−上的点，满足：过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等．试求满足条件的点P 的坐标．19. 如图，已知直三棱柱111A B C ABC −中，90ABC ∠=°且12AB BC BB ===，D 、E 、F 分别为AC 、BC 、1B B 的中点，G 为线段DE 上一动点.（1）求1C F 与平面111A B C 所成角的正切值；（2）证明：11C F AG ⊥； （3）求锐二面角111C AG B −−的余弦值的最大值.在。
浙江省宁波市2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷含答案
2026届高二数学秋季月考卷第一期（答案在最后）考试范围：大部分学校已经学习过的内容：考试时间：120分钟：满分：150分注意事项：1.答题前填写好自已的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量()2,4a =，()1,1b =- ，则2a b -=A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,9【答案】A 【解析】【详解】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=（5，7），故选A.考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.2.已知直线12:320,:310l x y l x ay -+=--=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（）A.1B.12C.12-D.1-【答案】D 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，代入121k k =-g 求解即可.【详解】当0a =时，直线1:320l x y -+=的斜率113k =，直线2:310l x ay --=的斜率不存在，此时两条直线不垂直；当0a ≠时，直线1:320l x y -+=的斜率113k =，直线2:310l x ay --=的斜率23k a=，因为12l l ⊥，所以121k k =-g ，所以13113a a⨯==-，解得：1a =-.故选：D.3.已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（）A.(),20-∞ B.(),5-∞ C.()5,+∞ D.()20,+∞【答案】B 【解析】【分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可.【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +->，解得5m <.因此，实数m 的取值范围是(),5-∞.故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.4.设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A.若a b ，与α所成的角相等，则∥B.若a αβ∥，b∥，αβ∥，则∥C.若a b a b αβ⊂⊂ ，，，则αβ∥D.若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥r r【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误；B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误；C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误；故选D.5.直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M 、N 两点，若MN =，则k 等于（）A.0B.23-C.23-或0 D.34-或0【答案】D 【解析】【分析】求出MN 到圆心的距离和圆心(3,2)到直线3y kx =+的距离，即可求出k 的值.【详解】由题意，∵MN =，∴MN 到圆心的距离为1=，∴圆心(3,2)到直线3y kx =+的距离为：1=，即229611k k k ++=+.解得：0k =或34-，故选：D.6.过点()1,3P 作直线l ，若l 经过点(),0A a 和()0,B b ，且,a b 均为正整数，则这样的直线l 可以作出（），A.1条B.2条C.3条D.无数条【答案】B 【解析】【分析】假设直线截距式方程，代入已知点坐标可得,a b 之间关系，根据,a b 为正整数可分析得到结果.【详解】,a b 均为正整数，∴可设直线:1x yl a b+=，将()1,3P 代入直线方程得：131a b+=，当3b =时，10a =，方程无解，3331333b b a b b b -+∴===+---，a *∈N ，303b ≠-，33b *∴∈-N ，31b ∴-=或33b -=，44b a =⎧∴⎨=⎩或62b a =⎧⎨=⎩，即满足题意的直线l 方程有2条.故选：B.7.已知长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，若棱AB 上存在点P ，使得1D P PC ⊥，则AD 的取值范围是（）A.[)1,2 B.(C.(]0,1 D.()0,2【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设AD a =，求出1D P 、CP，利用10D P CP ⋅= ，求出a 的范围．【详解】解：如图建立坐标系，设(0)AD a a =>，(02)AP x x =<<，则(),,2P a x ，()0,2,2C ，()10,0,0D ，∴()1,,2D P a x = ，(),2,0CP a x =-，1D P PC ⊥ ，∴10D P CP ⋅=，即2(2)0a x x +-=，所以a =，当02x <<时，所以(]2(1)10,1x --+∈，所以(]0,1a ∈．故选：C ．8.已知点P 在直线3y x =--上运动，M 是圆221x y +=上的动点，N 是圆22(9)(2)16x y -+-=上的动点，则PM PN +的最小值为（）A.13B.11C.9D.8【答案】D 【解析】【分析】根据圆的性质可得5PM PN PO PC +≥+-，故求PM PN +的最小值，转化为求PC PO +的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.【详解】如图所示，圆22(9)(2)16x y -+-=的圆心为()9,2C ，半径为4，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，可知44,11PC PN PC PO PM PO -≤≤+-≤≤+，所以5PM PN PO PC +≥+-，故求PM PN +的最小值，转化为求PC PO +的最小值，设()0,0O 关于直线3y x =--的对称点为G ，设G 坐标为(),m n ，则1322nm n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得33m n =-⎧⎨=-⎩，故()3,3G --，因为PO PG =，可得13PO PC PG PC GC +=+≥=，当,,P G C 三点共线时，等号成立，所以PM PN +的最小值为1358-=.故选：D.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.三条直线0x y +=，0x y -=，3x ay +=构成三角形，则a 的值不能为（）A.1B.2C.1-D.－2【答案】AC【解析】【分析】由三条直线可构成三角形可知，直线3x ay +=不经过两条直线的交点，且与两条直线任意一条不平行.【详解】直线0x y +=与0x y -=都经过原点，而无论a 为何值，直线3x ay +=总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线3x ay +=与另两条直线不平行，所以1a ≠±．故选：AC.10.正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（）A.直线1AD 与直线11A C 所成角为3π B.直线1AD 与平面ABCD 所成角为3πC.二面角1D AB D --的大小为4π D.平面11AB D ⊥平面11B D C【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1AC B ,利用1ABC 为正三角形，即可判断；选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=，即可判断；选项C ：二面角1D AB D --的平面角为14DAD π∠=，即可判断；选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，可以判断出AOC ∠即为二面角11A B D C --的平面角.在三角形ACO 中，求出各边长，可以判断出90AOC ∠≠︒，即可判断.【详解】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1BC 与11A C 所成角，1ABC 为正三角形，所以该角为3π；故A 正确.选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=；故B 错误.选项C ：二面角1D AB D --的平面角为14DAD π∠=；故C 正确.选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，因为11AD AB =，所以11AO B D ⊥.同理可证：11CO B D ⊥,所以AOC ∠即为二面角11A B D C --的平面角。
吉林省2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷含答案
2024—2025学年上学期高二年级数学学科阶段验收考试试卷（答案在最后）考试时间：90分钟满分：120分命题人：一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若随机试验的样本空间为{}Ω0,1,2=，则下列说法不正确的是（）A.事件{}1,2P =是随机事件B.事件{}0,1,2Q =是必然事件C.事件{}1,2M =--是不可能事件D.事件{}1,0-是随机事件【答案】D 【解析】【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可.【详解】随机试验的样本空间为{}Ω0,1,2=，则事件{}1,2P =是随机事件，故A 正确；事件{}0,1,2Q =是必然事件，故B 正确；事件{}1,2M =--是不可能事件，故C 正确；事件{}1,0-是不可能事件，故D 错误.故选：D2.已知点()1,0A ，(1,B -，则直线AB 的倾斜角为（）A.5π6B.2π3C.π3 D.π6【答案】B 【解析】【分析】由两点坐标求出斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求【详解】0tan 11AB k α-===--，()0,πα∈，故直线AB 的倾斜角2π3α=.故选：B3.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（）A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【答案】A 【解析】【分析】由独立事件概率乘法公式可得.【详解】记甲、乙、丙投中分别即为事件123,,A A A ，由题知()()()()()()1231230.6,0.4P A P A P A P A P A P A ======，则3人中至少有2人投中的概率为：()()()()123123123123P P A A A P A A A P A A A P A A A =+++320.630.60.40.648=+⨯⨯=.故选：A.4.设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()131,,+252P A P B P A B ===，则()P AB =（）A.13B.15C.25D.110【答案】D 【解析】【分析】先利用和事件的概率公式求出()P AB ，然后利用()()()P AB P A P AB =-求解即可.【详解】因为1()2P A =，3()5P B =，所以()251,()2P A P B ==，又()()()()()122512P A B P A P B P AB P AB +=+-=+-=，所以()25P AB =，所以()()()1102512P P P A AB A B ==-=-.故选：D.5.若()2,2,1A ，()0,0,1B ，()2,0,0C ，则点A 到直线BC 的距离为（）A.5B.5C.5D.5【答案】A 【解析】【分析】由题意得()2,2,0BA = ，()2,0,1BC =-，再根据点线距离的向量公式即可求解.【详解】()2,2,0BA = ，()2,0,1BC =- ，则BA 在BC上的投影向量的模为BA BC BC⋅= 则点A 到直线BC5=．故选：A.6.某乒乓球队在长春训练基地进行封闭式集训，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流．．．．发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为14，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．则该局打4个球甲赢的概率为（）A.13B.16C.112 D.524【答案】C 【解析】【分析】由于连胜两局者赢，则可写出四局的结果，计算即可.【详解】由于连胜两局者赢，甲先发球可分为：该局：第一个球甲赢、第二个球乙赢、第三个球甲赢、第四个球甲赢，则概率为22133231441⨯⨯⨯=；故选：C.7.据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T 表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（）A.13B.12C.23D.35【答案】B 【解析】【分析】根据6根算筹，分为五类情况：51,42,33,24,15+++++，逐一分类求解满足要求的两位数，即可求解概率.【详解】根据题意可知：一共6根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为51,42,33,24,15+++++一共五类情况；第一类：51+，即十位用5根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是5或者9，个位为1，则两位数为51或者91；第二类：42+，即十位用4根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是4或者8，个位可能为2或者6，故两位数可能42，46，82，86；第三类：33+，即十位用3根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是3或者7，个位可能为3或者7，故两位数可能是33，37，73，77；第四类：24+，即十位用2根算筹，个位用4根算筹，那么十位为2或6，个位可能为4或者8，则该两位数为24或者28或者64或者68，第五类：15+，即十位用1根算筹，个位用5根算筹，那十位是1，个位为5或者9，则两位数为15或者19；综上可知：用6根算筹组成的满足题意的所有的两位数有：15，19，24，28，33，37，42，46，51，64，68，73，77，82，86，91共计16个，则不小于50的有：51，64，68，73，77，82，86，91共计8个，故概率为81=162，故选：B.8.正三棱柱111ABC A B C -中，12,3,AB AA O ==为BC 的中点，M 为棱11B C 上的动点，N 为棱AM上的动点，且MN MOMO MA=，则线段MN 长度的取值范围为（）A.4⎡⎫⎢⎣⎭B.,27⎢⎣⎦C.34747⎢⎣⎦D.【答案】B 【解析】【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段MN 的表达式，利用函数求最值即可.【详解】因为正三棱柱11ABC A B C -中,O 为BC 的中点，取11B C 中点Q ，连接OQ ，如图，以O 为原点，,,OC OA OQ 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()((110,0,0,,1,0,,1,0,O A B C -，因为M 是棱11B C上一动点，设(M a ，且[1,1]a ∈-，所以(()0OM OA a ⋅=⋅=，则OA OM ⊥，因为ON AM ⊥，且MN MOMO MA=所以在直角三角形OMA 中可得：~OMN AMO 即222MO MN MA===，于是令tt =∈，2233tt t t-==-，t ∈，又符合函数3=-y t t 为增增符合，所以在t ∈上为增函数，所以当t =min 32t t ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，即线段MN 长度的最小值为62，当t =时，max 37t t ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，即线段MN长度的最大值为7，故选：B.【点睛】关键点睛：1.找到~OMN AMO ，再利用函数单调性求出最值.2.建系，设出动点(M a ，利用空间向量法求出ON AM ⊥，再结合线线关系求线段MN 的表达式，利用函数求最值即可.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中正确的是（）A.若表示两个空间向量的有向线段的终点不同，则这两个向量可能相等；B.在所有棱长都相等的直平行六面体1111ABCD A B C D -中，BD ⊥平面11ACC A ；C.对于空间三个非零向量,,a b c，一定有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 成立；D.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是棱11A D ，AB 的中点，则异面直线MD 与NC 所成角的余弦值为25．【答案】ABD 【解析】【分析】由相等向量的概念即可判断选项A ，利用线面垂直的判定定理证明即可判断选项B ，由数量积的性质即可判断选项C ，建立空间直角坐标系利用向量的坐标即可计算异面直线MD 与NC 所成角的余弦值判断选项D.【详解】若表示两个空间向量的有向线段的终点不同，而当两向量方向和长度相等时，这两个向量相等；故A 正确；在所有棱长都相等的直平行六面体1111ABCD A B C D -中，即直棱柱1111ABCD A B C D -中底面为菱形，因为BD AC ⊥，1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又1AA AC A = ，所以BD ⊥平面11ACC A ；故B 正确；对于空间三个非零向量,,a b c ，有()a b c c λ⋅⋅= ，()a b c a μ⋅⋅=，所以不一定有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅成立，故C错误；建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,2M ，()2,1,0N ，()0,2,0C ，所以()1,0,2DM = ，()2,1,0NC =-，所以2cos ,5DM NC ==-，所以异面直线MD 与NC 所成角的余弦值为25，故D 正确.故选：ABD.10.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x 表示第一次抛掷骰子的点数，数字y 表示第二次抛掷骰子的点数，用(),x y 表示一次试验的结果．记事件A =“7x y +=”，事件B =“3x ≤”，事件C =“()21N xy k k *=-∈”，则（）A.()14P C =B.A 与B 相互独立C.A 与C 为对立事件D.B 与C 相互独立【答案】AB 【解析】【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得．【详解】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为6636⨯=个；其中事件A =“7x y +=”包含的样本点有：()1,6，()2,5，()3,4，()4,3，()5,2，()6,1共6个；事件C =“()*21Nxy k k =-∈”，包含的样本点有：()1,1，()3,3，()5,5，()1,3，()1,5，()3,1，()3,5，()5,1，()5,3共9个，事件B =“3x ≤”，包含的样本点有：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，()3,5，()3,6共18个，对于A ，()91364P C ==，故A 正确；对于B ，事件AB 包含的样本点有()1,6，()2,5，()3,4共3个，所以()()()6118131,,3663623612P A P B P AB ======，所以()()()P A P B P AB =，所以A 与B 相互独立，故B 正确；对于C ，A C U 包含的样本点个数满足691536+=<，所以A 与C 不为对立事件，故C 错误；对于D ，事件BC 包含的样本点有：()1,1，()1,3，()1,5，()3,1，()3,3，()3,5，共6个，而()14P C =，()12P B =，()61366P BC ==，从而()()()1816P P P BC B C ≠==，所以B 与C 不相互独立，故D 错误.故选：AB.11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 上一点，且12B P PB =，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）A.若1D Q ∥平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条长为3的线段B.存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PD C.三棱锥1Q A PD -的最大体积为518D.若12D Q =，且1D Q 与平面1A PD 所成的角为θ，则sin θ【答案】ACD 【解析】【分析】在111,BC CC 取点,E F ，使得1112,2C E B E C F CF ==，证得平面//DEF 平面1A PD ，进而得到1//D Q 平面1A PD ，可判定A 正确；以1D 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面1A PD 的一个法向量(3,2,3)m =-，根据1D Q m λ= ，得出矛盾，可判定B 不正确；利用向量的数量积的运算及三角形的面积公式，求得16A PD S =,在求得点Q 到平面1A PD的最大距离max d =，结合体积公式，可判定C 正确；根据题意，求得点点Q 的轨迹，结合线面角的公式，求得11(,1,)22Q 时，取得最大值，进而可判定D 正确.【详解】对于A 中，如图所示，分别在111,BC CC 取点,E F ，使得1112,2C E B E C F CF ==，可得1//EF B C ，因为11//A D B C ，所以1//EF A D ，因为1A D ⊂平面1A PD ，EF ⊄平面1A PD ，所以//EF 平面1A PD ，又由11//D F A P ，且1A P ⊂平面1A PD ，1D F ⊄平面1A PD ，所以1//D F 平面1A PD ，又因为1EF D F F ⋂=，且1,EF D F ⊂平面DEF ，所以平面//DEF 平面1A PD ，且平面DEF ⋂平面11BCC B EF =，若1//D Q 平面1A PD ，则动点Q 的轨迹为线段EF ，且223EF =，所以A 正确；对于B 中，以1D 为原点，以11111,,D A D C D D 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得12(1,0,0),(0,0,1),(1,1,)3A D P ，则112(1,0,1),(0,1,)3A D A P =-= ，设(,1,)(01,01)Q x z x z ≤≤≤≤，可得1(,1,)D Q x z =，设(,,)m a b c = 是平面1A PD 的一个法向量，则110203m A D a c m A P b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3c =，可得3,2z b ==-，所以(3,2,3)m =-，若1D Q ⊥平面1A PD ，则1//D Q m，所以存在R λ∈，使得1D Q m λ= ，则3[0,1]2x z ==-∉，所以不存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PD ，所以B 错误；对于C 中，由112(1,0,1),(0,1,3A D A P =-=，可得1111132,33A D A P A D A P ==⋅=，则11cos ,A D A P =11sin ,A D A P = ，所以111111sin 2236A PD S A D A P DA P =⋅∠=⨯ ,要使得三棱锥1Q A PD -的体积最大，只需点Q 到平面1A PD 的距离最大，由1(1,1,)AQ x z =- ，可得点Q 到平面1A PD的距离1)5A Q m d x z m ⋅==+-，因为01,01x z ≤≤≤≤，所以当0x z +=时，即点Q 与点1C重合时，可得max d =，所以三棱锥1Q A PD -的最大体积为111533618A PD S =⋅=，所以C 正确；对于D 中，在正方体中，可得11D C ⊥平面11BCC B ，且1C Q ⊂平面11BCC B ，所以111D C C Q ⊥，则12C Q ==，所以点Q 的轨迹是以1C为圆心，以2为半径的圆弧，其圆心角为π2，则1(,0,)C Q x z =，所以12C Q == ，即2212x z +=，又由1(,1,)D Q x z =，设1D Q 与平面1A PD 所成的角θ，所以111sin cos ,m D Q m D Q m D Qθ⋅===，因为2212x z +=，可得222()2()x z x z +≤+，当且仅当x z =时，等号成立，所以1x z +≤，即12x z ==时，1D Q 与平面1A PD 所成的角最大值，sin θ=D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略：1、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，第14题第一个空2分，第二个空3分，共15分．12.已知()3,2,1a =- ，()2,1,2b =r，当()()2ka b a b +⊥- 时，实数k 的值为____________．【答案】6【解析】【分析】由题意依次算得22,,a b a b ⋅ 的值，然后根据()()2ka b a b +⊥-列方程即可求解.【详解】因为()3,2,1a =-，()2,1,2b = ，所以()2294114,4149,3221126a ba b =++==++=⋅=⋅+⋅+-⋅=，因为()()2ka b a b +⊥-，所以()()()()22221214186122120ka b a b ka b k a b k k k +⋅-=-+-⋅=-+-=-=，解得6k =.故答案为：6.13.柜子里有3双不同的鞋子，分别用121212,,,,,a a b b c c 表示6只鞋，从中有放回地．．．．取出2只，记事件M =“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件M 的概率是____________．【答案】13【解析】【分析】列举法写出试验的样本空间，根据古典概型的概率公式直接可得解.【详解】设111,,a b c 表示三只左鞋，222,,a b c 表示三只右鞋，则从中有放回取出2只的所有可能为：()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a c ()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,b a b a b b b b b c b c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,b a b a b b b b b c b c ()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,c a c a c b c b c c c c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,c a c a c b c b c c c c ，共计36种，其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的有12种，()121363P M ∴==.故答案为：13.14.已知正四面体ABCD 的棱切球1T （正四面体的中心与球心重合，六条棱与球面相切）的半径为1，则该正四面体的内切球2T 的半径为______；若动点,M N 分别在1T 与2T 的球面上运动，且满足MN x AB y AC z AD =++，则2x y z ++的最大值为______．【答案】①.3②.26+【解析】【分析】第一空：将正四面体ABCD 放入正方体中，由等体积法可知，只需求出正四面体的表面积以及体积即可列式求解该正四面体的内切球2T 的半径；第二空：由不等式可知，()maxmin222MN x y z AT MN x y z x y z AT AT AT++++≤++==≤，只需求出max MN 、minAT 即可.【详解】第一空：连接,AD EF ，设交点为M ，则M 是AD 中点，如图所示，将正四面体ABCD 放入正方体中，由对称性可知正方体中心就是正四面体ABCD 的中心，设正方体棱长为2a ，则棱切球球心到正四面体ABCD 的六条棱的距离都等于a ，设正四面体ABCD 的棱切球1T 的半径为1r ，所以11r a ==，正方体棱长为2，AD =，而正四面体ABCD 的体积为1182224222323A BCD V -⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，正四面体ABCD的表面积为(21422A BCD S -=⨯⨯⨯=设该正四面体的内切球2T 的半径为r，则由等体积法可知，1833⨯=，解得33r =；第二空：取任意一点T ，使得()22x y z AT MN xAB y AC z AD xAO y AC z AD ++==++=++，所以点T 在面OCD 内（其中O 是AB 中点），所以()13213x y z AT MN r r ++=≤+=+，而点A 到平面OCD 的距离为d AO ==所以()1232226x y z AT x y z x y z AT+++++≤++=≤+，等号成立当且仅当2x y z ++是正数且,T O重合且13MN =+ ，综上所述，2x y z ++的最大值为26+.故答案为：33，2626+.【点睛】关键点点睛：第二空的关键是得出()maxmin222MN x y z AT MN x y z x y z AT AT AT++++≤++==≤，由此即可顺利得解.四、解答题：本大题共4小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2A M MB B N NC ==．设1,,AB a AC b AA c ===．（1）试用,,a b c 表示向量MN；（2）若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=∠=∠====，求异面直线MN 与AC 的夹角的余弦值．【答案】（1）122333a b c-++（2）11【解析】【分析】（1）由空间向量的基本定理求解即可；（2）先用基向量,,a b c 表示AC 与MN ，然后求解MN 与AC 以及数量积MN AC ⋅，然后计算夹角的余弦值即可.【小问1详解】由图可得：()()1111111112123333MN MB BB B N A B AA B C AB AA AA AC AB=++=++=-++- 1122122333333AB AC AA a b c =-++=-++.【小问2详解】由（1）可知122333MN a b c =-++ ，因为11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=∠=∠====，所以0a b ⋅=，12a c ⋅= ，12b c ⋅= ，2222212214444814424110333999999999999MN a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=-++=++-⋅-⋅+⋅=++--+= ⎪⎝⎭ ，所以113MN = ，AC b = ，1AC =，212212221·133333333MN AC a b c b a b b c b ⎛⎫⋅=-++=-⋅++⋅=+= ⎪⎝⎭所以cos ,11MN AC MN AC MN AC⋅==，所以异面直线MN 与AC的夹角的余弦值为11.16.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，,E F 分别为1BB ，1CC的中点．（1）证明：1A F ∥平面CDE ；（2）求三棱锥1A CDE -的体积；（3）求直线1A E 与平面CDE 所成的角．【答案】（1）证明过程见解析（2）16（3）π6【解析】【分析】（1）借助正四棱柱的性质可建立空间直角坐标系，求出空间向量1A F与平面CDE 的法向量后，借助空间向量计算即可得；（2）求出空间向量1A E与平面CDE 的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得直线1A E 与平面CDE 所成的角的正弦值，进一步求得三棱锥的高以及底面积即可得解.（3）由（2）可知直线1A E 与平面CDE 所成的角的正弦值，从而即可得解.【小问1详解】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB ，AD ，1AA 两两垂直，且122AA AB ==，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,2A.因为E ，F 分别为11,BB CC 的中点，所以()1,0,1E ，()1,1,1F ，则()1,0,0CD =- ，()0,1,1CE =- ，()11,1,1A F =-，设平面CDE 的法向量为(),,m x y z = ，则00CD m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则有0x =，1z =，即()0,1,1m =，因为()11011110A F m ⋅=⨯+⨯+-⨯= ，所以1A F m ⊥ ，又1⊄A F 平面CDE ，所以1//A F 平面CDE ；【小问2详解】由（1）可知，()11,0,1A E =-，1111cos ,2A E m A E m A E m⋅==-，所以1A E 与平面CDE 所成角的正弦值为12.注意到1A E =所以点1A 到平面CDE122=，而()1,0,0CD =- ，()0,1,1CE =-，从而0CD CE =⋅，1,CD CE == 所以CD CE ⊥，三角形CDE的面积为1122⨯=，所以三棱锥1A CDE -的体积为113226⨯⨯=；【小问3详解】由（2）可知，1A E 与平面CDE 所成角的正弦值为12，所以直线1A E 与平面CDE 所成的角为π6.17.2023年10月31日，东北师大附中以“邂逅数学之美，闪耀科技之光”为主题的第17届科技节在自由、青华两校区开幕.在科技节中数学教研室组织开展了“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：游戏一游戏二游戏三箱子中球的颜色和数量大小质地完全相同的红球4个，白球2个（红球编号为“1，2，3，4”，白球编号为“5，6”）取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个红球获胜编号之和不超过m 获胜（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；（2）甲同学先玩了游戏一，当m 为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．【答案】（1）13，49（2）m 可能取值为7,8,9,10,11【解析】【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解；（2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解.【小问1详解】设事件A 表示“游戏一获胜”，B 表示“游戏二获胜”，C 表示“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为{}1Ω1,2,3,4,5,6=，则()1Ω6n =，()2n A =，()2163P A ∴==，所以游戏一获胜的概率为13．游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间(){}21Ω,,Ωx y x y =∈，则()2Ω36n =，而(){}{},,1,2,3,4B x y x y =∈，所以()16n B =，()164369P B ∴==，所以游戏二获胜的概率为49．【小问2详解】设M 表示“先玩游戏二，获得书券”，N 表示“先玩游戏三，获得书券”，则M ABC ABC ABC =⋃⋃，且ABC ，ABC ，ABC 互斥，,,A B C 相互独立，()()()()()P M P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ∴=⋃⋃=++()()()()()()()()()11P A P B P C P A P B P C P A P B P C ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦()()()1424141393939P C P C P C ⎡⎤=⨯-+⨯+⨯⎣⎦()482727P C =+，则N AC B ACB ACB =⋃⋃，且,AC B ACB ACB 互斥，,,A B C 相互独立，()P N =()()()()P ACB ACB ACB P ACB P ACB P ACB ⋃⋃=++()()()()()()()()()11P A P C P B P A P C P B P A P C P B ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦()()()152414393939P C P C P C =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()1727P C =，若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大，则()()P N P M >，即()()1748272727P C P C >+，解得()49P C >，设游戏三中两次取球的编号和为X ，则()26113C 15P X ===，()26114C 15P X ===，()26225C 15P X ===，()26226C 15P X ===，()26337C 15P X ===，()26228C 15P X ===，()26229C 15P X ===，()261110C 15P X ===，()261111C 15P X ===，所以当3m =时，()()143159P C P X ===<，不合题意；当4m =时，()()()2434159P C P X P X ==+==<，不合题意；当5m =时，()()()()44345159P C P X P X P X ==+=+==<，不合题意；当6m =时，()()()()()643456159P C P X P X P X P X ==+=+=+==<，不合题意；当7m =时，()()()()()()9434567159P C P X P X P X P X P X ==+=+=+=+==>，符合题意；所以当7m ≥时，都有()49P C >，所以符合题意的m 的取值有7,8,9,10,11.18.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ，A 、B 、C 为球面上的三点，设a O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，劣弧BC 的长度记为a ，同理，圆b O ，c O 的劣弧AC 、AB 的长度分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．如果二面角,,C OA B A OB C B OC A ------的大小分别为,,αβγ，那么球面三角形的面积为()2++πABC S R αβγ=- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，AC BC ⊥，设1AOC θ∠=，2BOC θ∠=，3AOB θ∠=．①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，,(0,1]BE BD λλ=∈，S 为AC 的中点，T 为BC 的中点．设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求cos θ的最大值及此时平面AEC 截球O 的面积．【答案】（1）2π2R （2）①证明见解析；②cos 5θ=，253π78R 【解析】【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点E ，再利用空间向量求球心O 到平面AEC 距离，结合球的性质分析求解.【小问1详解】若平面,,OAB OAC OBC 两两垂直，有π2αβγ===，所以球面三角形ABC 面积为()22ππ2ABC S R R αβγ=++-= 球面.【小问2详解】①证明：由余弦定理有：2222122222222232cos 2cos 2cos AC R R R BC R R R AB R R R θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，且222AC BC AB +=，消掉2R ，可得123cos cos cos 1θθθ+-=；②由AD 是球的直径，则,AB BD AC CD ⊥⊥，且AC BC ⊥，CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面BCD ，所以AC ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，则AC BD ⊥，且AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，可得BD ⊥平面ABC ，由直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=，不妨先令R =，则2AD AB BD BC AC =====，由AC BC ⊥，AC BD ⊥，BC BD ⊥，以C 为坐标原点，以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设(,BE t t =∈，则())()0,2,0,,0,0,0,A B C D ，可得()20,1,0,,0,02S T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，)26,,1,22E t O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则),22CB CO ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，,1,0,22ST TE t ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面OBC 法向量()111,,m x y z =，则11110022m CB m CO x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取12z =-，则110y x ==，可得()2m =- ，设平面EST 法向量()222,,n x y z =，则222202202n ST x y n TE x tz ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取2x =，则22,1y t z ==-，可得),,1n t =- ，因为cos cos ,m n m n m n θ⋅======，令(]1,1,13m m=+∈，则()2218mt t-==，可得()2221888293129621218m mt m mm mm+===≤=+-+--+-+，当且仅当3,m t==取等．则cosθ5=，此时点E，可得CE=，()0,2,0CA=，设平面AEC中的法向量(),,k x yz=，则20k CE zk CA y⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩，取1x=，则0,y z==-，可得(1,0,k=-，可得球心O到平面AEC距离为AO kdk⋅==设平面AEC截球O圆半径为r，则2225326r R d=-=，所以截面圆面积为225353πππ2678r R==.【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路:直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角ϕ求得，即sin cosθϕ=.2.利用空间向量求点到平面距离的方法:设A为平面α内的一点，B为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离AB ndn⋅=.。
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的直线 l 交椭圆 C 于
A, B 两点，若 AB 中点坐标为 (1, 1) ，则 C 的方程为（ ）
A． x2 y2 1 45 36
B． x2 y2 1 18 9
C． x2 y2 1 45 9
D． x2 y2 1 72 36
6．已知 P 为圆 C : (x 5)2 y2 1 上一个动点，Q 为双曲线 x2 y2 1 渐近线上
D． 3 3
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第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分。
13．若直线 x y 2m 0 与两坐标轴围成的三角形面积不小于 8，则实数 m 的取值范
围为________．
14．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的右焦点为
100
4
动点，则线段 PQ 长度的最小值为（ ）
9
A．
10
B．1
C．2
21
D．
10
试卷第 1页，总 4页
7．若直线 2ax by 2 0(a 0, b 0) 始终平分圆 x2 y2 2x 4 y 1 0 的圆周，
则 1 2 的最小值为（ ） ab
A． 3 2 2
B． 3 2 3
1．直线 y ax 1 的图象可能是( ) a
A．
B．
C．
D．
2．圆 x2 y2 4x 6y 9 0 的圆心到直线 ax y 1 0 的距离为 2，则 a （ ）
A． 4 3
B． 3 4
C． 2
D．2
3．若双曲线 C ： x2 y2 1的一条渐近线方程为 3x 2 y 0 ，则 m （ ） m
的大小.
21．已知椭圆
C
:
x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心率是
1 2
x
，原点到直线
a
y b
1的距离
等于 2 21 ． 7
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若直线 l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点（A，B 不是左右顶点），且以 AB
为直径的圆过椭圆 C 的右顶点．求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
线的离心率为（ ）
A． 2 1
B． 3 1
C． 6 1
D． 3 1 2
11．已知 F1 ，F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 PF1 PF2 ，
线段
PF1 的垂直平分线过
F2
，若椭圆的离心率为 e1
，双曲线的离心率为 e2
，则
2 e1
e2 2
的最小值为（ ）
A． 6
B．3
C．6
22.已知椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
C．4
D．5
8．椭圆 E :
x2 a2
y2 3
1(a
0) 的右焦点为 F，直线
y
x m 与椭圆 E 交于 A，B 两点，
若 FAB 周长的最大值是 8，则 m 的值等于（ ）
A．0
B．1
C． 3
D．2
9．已知
M(x0，y0)是双曲线
C：x2－y2＝1 2
上的一点，F1，F2
是
C
的两个焦点．若M→F1·M→F2
（2）当 l1//l2 时，求直线 l1 与 l2 之间的距离．
18．已知曲线 C 是动点 M
到两个定点 O0, 0 、 A 3, 0 距离之比为
1 2
的点的轨迹.
（1）求曲线 C 的方程；
（2）求过点 N 1,3 且与曲线 C 相切的直线方程.
19．已知椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 的长轴长是焦距的 2
A． 4 9
9
B．
4
C． 2 3
D． 3 2
4．已知方程
|
x2 m | 1
2
y2 m
1表示焦点在
y
轴上的椭圆，则
m
的取值范围是（
）
A． (, 2) B． (1, 2)
C． (, 1) (1, 2)
D．
(,
1)
பைடு நூலகம்1,
3 2
5.已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的焦距为
6，过右焦点 F
＜0，则 y0 的取值范围是( )
－ 3， 3 A. 3 3
－ 3， 3 B. 6 6
－2 2，2 2 C. 3 3
－2 3，2 3 D. 3 3
10．已知点 P
为双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的右支上一点，F1 ，F2 为双曲线的左、
右焦点，若 OP OF2 OP OF2 0 （为坐标原点），且 PF1 3 PF2 ，则双曲
，若椭圆上
存在一点 P 使
a
c
，则该椭圆离心率的取值范围为
.
sin PF1F2 sin PF2F1
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知直线 l1 : ax 3y 1 0,l2 : x (a 2) y a 0 ．
（1）若 l1 l2 ，求实数 a 的值；
D． 3
12．已知 F
是双曲线 E:
x2 a2
-
y2 b2
1
(a 0, b 0) 的左焦点，过点 F 且倾斜角为 30°
的直线与曲线 E 的两条渐近线依次交于 A ， B 两点，若 A 是线段 FB 的中点，且 C 是 线段 AB 的中点，则直线 OC 的斜率为（ ）
A． 3
B． 3
C． 3 3
高二数学试题（理科） 满分 150 分，测试时间 120 分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自的姓名、班级、考号等信息准确规范填写在答题卡指定位置。 2．请将答案正确填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
倍，且过点
1,
3 2 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设
P
x,
y
为椭圆
C
上的动点，F
为椭圆
C
的右焦点，点
P
满足
PP
4
x,
0
．证
PP
明： 为定值.
PF
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20．已知双曲线的方程是 4x2 9 y2 36 .
（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点，点 P 在双曲线上，且 PF1 PF2 16 ，求 F1PF2
F，若过点
F
且倾斜角为 60°的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．
15.若圆 x2 y2 25 与圆 x2 y2 6x 8y m 0 的公共弦长为 8， m ________.
16.已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左、右焦点分别为 F1(c, 0), F2 (c, 0)