第3章：单自由度系统的振动汇总

兰州理工大学李有堂编著机械振动理论与应用第3 章单自由度系统的振动3.1 振动系统模型及其简化一、单自由度系统的基本模型☐平动运动系统☐摆动运动系统☐m：质块☐c：阻尼器☐k：弹簧二、单自由度系统模型的简化内容：将机构模型简化为力学模型本质：离散化；近似；机床及其基础电动机和粱( )连杆机构飞轮机构3.2 单自由度系统的自由振动一、单自由度线性系统的运动微分方程及其系统特性✓牛顿运动定律✓定轴转动方程✓能量原理✓拉格朗日方程1、牛顿运动定律法)()()()(t F t F t F t xm d s --= )()(t xc t Fd =)()(s t kx t F =)()()()(t F t kx t x c t xm =++●单自由度线性系统的运动微分方程●这是一个二阶常系数、非齐次线性微分方程●方程的左边完全由系统参数m 、c 、k 所决定，反映了振动系统本身的自然特性●方程的右边则是外加的驱动力F (t )，反映了振动系统的输入特性。

)()()()(t F t kx t x c t xm =++)()()(t F t F t xm d s --= )]()([)(t y t x c t F d -=)()()()()(t ky t y c t kx t x c t xm +=++ )()()()(t F t kx t x c t xm =++ )]()([)(t y t x k t F s -=弹簧和阻尼器垂直放置，系统受到重力的影响，弹簧被压缩或伸长，其静变形量δst 为：kmg /st =δmg t x c t x k t F t x m stst -----=-])([])([)(])([st δδδ 0st st ==δδ )()()()(t F t kx t x c t x m =++ mg k =stδ振动系统的动态特性✓单自由度线性系统的微分运动方程是一个二阶常系数、非齐次线性微分方程✓方程的左边由系统参数m、c和k决定，反映振动系统本身的自然特性，右边的项反映振动系统的输入特性和系统与输入的相互联系方式✓线性系统中，可忽略恒力及其引起的静位移2、Lagrange 方程法(a)(b)( )( )( )( )( )( )Q yU y T y T t =+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d d d d d d d d 0d d d d d d =+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y U yT t ()0d d=+U T t普遍形式具有定常约束的系统定常约束的保守系统二、振动系统的线性化处理按照牛顿运动定律隔振垫的支反力N (t )是机器的位移和速度的函数按Taylor 级数展开省略高阶项)()()(t N t F t xm -= ),(xx f N = +∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=nn nn n nx xn f x x n f x x f x x f f N !)0,0(!)0,0()0,0()0,0()0,0(x xf x x f f N ∂∂+∂∂+≈)0,0()0,0()0,0(常量，是恒力x xf x x f f N ∂∂+∂∂+≈)0,0()0,0()0,0(c xf k xf =∂∂=∂∂ )0,0()0,0(xc kx N +≈)()()()(t F t kx t x c t xm =++ )()()(t N t F t xm -=例题：一个质量为m 的均匀半圆柱体在水平面上作无滑动的往复运动，如图所示，圆柱体的半径为R ，重心在c 点，oc =r ，物体对重心的回转半径为l ，试导出系统的运动微分方程。

解：设半圆柱体的角位移为θ(t )，瞬时与水平面的接触点为b ，对b 取矩有由余弦定理0)(=+bb M t I θ )(222bc l m bc m I I c b +=+=)(cos 2222t rR R r bc θ-+=对于微小振动从而得到)(sin t mgr M b θ=0)(sin )()](cos 2[222=+-++t mgr t t rR R r l m θθθ 0)()(])([22=+-+t gr t r R l θθ1)(cos ≈t θ)()(sin t t θθ≈三、单自由度无阻尼系统的自由振动1、自由振动的微分方程对无阻尼的自由振动，c =0，F (t )=0，从而得到无阻尼自由振动的运动微分方程为：记：无阻尼振动的标准方程)()()()(t F t kx t x c t xm =++ 0)()(=+t kx t xm mk n/2=ω0)()(2=+t x t xnω设方程的特解为rtet x =)(得到特征方程特征根为：得到运动方程的通解，即自由振动的运动规律22=+nr ωnr ωi 1+=nr ωi 2-=tA t A t x n n ωωsin cos )(21+=t A t A t xn n n n ωωωωcos sin )(21+-= t A t A t xn nn nωωωωsin cos )(2221--=正弦和余弦函数是周期函数可见，物体的运动是振动，系统自由振动的角频率为ωn ，周期为振动的周期只决定于物体质量m 和弹性常数k ，质量大而弹簧软的系统振动周期长，质量小而弹簧硬的系统振动周期短。

tt t n n n n ωωπωπωsin )]/2(sin[)2sin(=+=+tt t n n n n ωωπωπωcos )]/2(cos[)2cos(=+=+nωπ2gk mT st n δππωπ222===单位时间内的振动次数称为频率。

频率是弹性系统的自然属性，称自然频率。

在运动规律中A 1和A 2是待定常数，由运动的初始条件决定，若记初始条件为：x (0)=x 0，从而得到系统的振动方程为mk T f n ππω212/1===tA t A t x n n ωωsin cos )(21+=0)0(v x= 01x A =nv A ω/02=tv t x t x n nn ωωωsin cos )(00+=)cos()(ψω-=t A t x n 2020⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n v x A ω001x v tg n ωψ-=tv t x t x n n n ωωωsin cos )(00+=2、无阻尼自由振动的特性✓1) 单自由度无阻尼系统的自由振动是以正弦或余弦函数，即谐波函数表示，故称为谐波振动，该系统称为谐振子。

✓2) 自由振动的角频率，即系统的自然频率，仅由系统本身的参数确定，与外界激励和初始条件无关。

✓3) 无阻尼自由振动具有“等时性”，即线性系统自由振动的周期由系统本身的参数所确定，与外界激励和初始条件无关。

这说明自由振动显示了系统内在的特性, 这种现象说明谐波振动具有“等时性”。

t v t x t x n n n ωωωsin cos )(00+=)cos()(ψω-=t A t x nt v t x t x n n n ωωωsin cos )(00+=)cos()(ψω-=t A t x n✓4)自由振动的振幅A和初相角ψ由初始条件所决定。

✓5)单自由度无阻尼系统的自由振动是等幅振动，这意味着系统一旦受到初始激励的作用，就将按振幅A始终振动下去。

✓6)振动包括两部分，一部分与余弦成正比的振动，决定于初位移，另一部分与正弦成正比的振动，决定于初速度。

推离平衡位置，不给初位移，只有第一部分，在平衡位置给初速度，只有第二部分。

3、谐波振动的几种表示方法谐波振动常用的几种表示方法：☐三角函数表示法☐旋转向量表示法☐复数表示法三角函数表示法)cos()(ψω-=t A t x n )2/cos()(πψωω+-=t A t xn n )cos()(2πψωω+-=t A t x n n旋转向量表示法)cos()cos()cos(2211ϕωϕωϕω-+-=-t A t A tX复数表示法i )]sin(i )[cos(b a t t z z +=-+-=ϕωϕω )cos()Re(ϕω-=t z z )sin()Im(ϕω-=t z z t t t e A e Ae Ae z ωωϕϕωi 0i i )(i ===-- t eA z ωωi 0)i (= t e A z ωωi 20)i (= 复速度复速度4、等效刚度建立系统的力学模型，需要确定系统的等效质量和等效刚度刚度是指系统在某点沿指定方向产生单位位移(角位移)时，在该点沿同一方向所要施加的力(力矩)。

✓拉压刚度✓弯曲刚度✓扭转刚度✓组合刚度1)拉压刚度由材料力学由刚度定义拉压刚度为EAlFx x=∆lEAxFk xx=∆=lEAkx=由材料力学由刚度定义弯曲刚度为EIlFy y33=∆33lEIyFk yy=∆=3EIk=由材料力学由刚度定义扭转刚度为PxGIlM=∆θlGIMk Px=∆=θθGIk P=4)组合刚度若干个弹簧串联或并联起来使用，需要将若干个弹簧折算成一个等效弹簧来处理，这种等效弹簧的刚度与原系统组合弹簧的刚度相等，称为等效刚度，也称为组合刚度。

211s2s1eq2(c)(b)s2s1(a)✓串联弹簧的等效刚度∑=+=ieq k k k k 111121xk x k x k eq ==2211xx x =+21211s2s1eq2(c)(b)s2s1(a)✓并联弹簧的等效刚度xx x ==21xk x k k eq =+)(21∑=+=ieq k k k k 21例题：求图示各振动系统的自然频率解：(a)根据串并联弹簧系统的特点，k1的两根谈弹簧为并联，等效刚度为2k1，而等效后2k1弹簧又与k2是串联。

111+=(b )当质块m 发生位移x 时，弹簧k 1、k 2和k 3同时发生位移x ，则3个弹簧是并联关系，则有212122k k k k k +=)2(22121k k m k k mk n +==ω321k k k k ++=mk k k n 321++==ω(c)该系统是悬臂梁和弹簧的组合系统，B 点处的变形为EImgl y B 33=33lEI y mg k B B ==1111k k k B +=31133k l EI I Ek k k k k k B +=+=)3(331k l EI m I Ek m k n +==ω5、等效质量1）弹簧的等效质量如图所示的质量-弹簧系统，弹簧在平衡时的长度为l ，线密度为ρ(kg/m)，求系统的等效质量。

质块的运动方程为两边乘以得到0)()(=+t x mk t x)(t x0)()()()(=+t x t x mkt x t x动能势能总能量方程表示能量守恒。

振动位移x (t )最大时，在平衡位置，x (t )=0，Cm t kx t x m =+)(21)(2122 0)(=t xCm t kx =)(212max Cm t x m =)(212max 常数====+Cm t x m t kx t kx t x m )(1)(1)(1)(12max 2max 22 两边积分得到C t x m k t x =+)(21)(2122弹簧dξ段的动能为整根弹簧的动能为等效质量为()ξξρd l x 2/21 ()22203213/21/21xm x l d l x T l s '===⎰ρξξρse m m l m m 3131+=+=ρ2）弹性梁的等效质量如图所示的弹性梁系统，其长度为L ，弯曲刚度为EI ，在梁的悬伸端放一质量为m 的物体，梁的质量为m ’，密度为ρ，试确定系统的等效质量在距o 点为l 处的静挠度为整段梁的动能为332123LlLl x st-=δ23311x L L ρ弹性梁的等效质量为整个系统的等效质量为不计梁的质量时，系统的自然频率为考虑梁的质量时，系统的自然频率为m m s '=14033m m m m m s e '+=+=14033mL EIn 33=ω⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=m m L EIn 1403333ω例：如图所示系统，假定盘很薄，并且做无滑动的纯滚动。