二次函数与定点问题
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例题教学
例题 如图，已知直线 AB：y=kx+2k+4 与抛物线 y= ������ 2 交于 AB 两点。 （1）直线 AB 总经过一个定点 C，请直接写出点 C 的坐标； O （2）若在抛物线上存在定点 D，使∠ADB=90 ，求点 D 到直线 AB 的最大 距离。 分析： （1）由于直线 AB 过定点 y C，故点 C 的坐标与参数 K 无关，因此，直线 AB 1 2 B y = ∙x 的解析式中含 K 的项的 M 2 系数为 0，故可求 C C （-2,4） 。 O A （2）∠ADB=90 是第一个切入点，自 然会想到作垂线构造相似三角形， D F E 结合根与系数的关系解题；点 D 为定点是第二个切入点，说明点 O D 的坐标与点 A、B 的坐标无关， x 由此可求点 D 的坐标。又 C 为定 点， 故 CD 的长度可求， 而 D 到直 线 AB 的距离 DM≤DC， 故 DM 的最 大值为 CD 长。
当堂检测
1 抛物线 y=������ 2 -4x+5,对称轴交 X 轴于 P，直线 EF 交抛物线于 E、F，交对称轴 于 H，且∠EPH=∠FPH。 求证：EF 恒过定点
y
y = x2
4∙x + 5
N H E M
F
O
P
Hale Waihona Puke Baidu
x
分析： （1）切入点是 ∠EPH=∠FPH， 为 此可作垂线构造 相似三角形，由 对应边成比例可 得到交点的坐标 关系； （2 ）定点的坐标 与点 E、 F 的位置 无关，也就是与 K 无关，由此可 求出定点的坐标； （3 ）根与系数的 关系的综合运用
联立
2
y=kx+2k+4
2
则xA+xB=2k
xAxB=-4k-8
D（2,2）
∴ 2k(m-2)+m -4=0 又点 D 为定点，故坐标与 K 无关， ∴m=2， 由勾股定理易求 CD=2 5， ∴CD 的最大值为 2 5 ∴CD≤2 5
方法归纳
二次函数与定点问题的解题方法：①定点的坐标与参数无关，整合含有 参数的项，令其系数为 0，可求出 定点的坐标； ②结合二次函数， 将几何条件转化为 代数条件，构建方程或方程组，利 用根与系数的关系解决问题
B A
P
M O
Q x
课堂小结
（1）学生的收获与疑惑 （2）教师点评：数学思想与方法 （1）定点问题的基本方法： （2）根与系数的关系的综合运用：几何条件 代数条件 坐标关系 根与系数的关系 交点的
1 2
当堂检测
2 已知抛物线 y= ������ 2 ,以 M（-2,1）为直角顶点作抛物线的内接直角三角形 MAB ，
4 1
（M、A、B 均在抛物线上） 。 求证：直线 AB 过定点，并求出该定点的坐标。
y 1 2 y = ∙x 4
分析： （1） 此题的切入点是 O ∠AMB=90 ，可通 过作垂线构造相似 三角形， 得到交点的 坐标关系； （2）根与系数关系 的综合运用； （3）定点的坐标与 点 A、B 无关，即与 K 无关。
例题教学
解： （1）∵y=kx+2k+4=k（x+2）+4 令 x+2=0，则 x=-2，y=4 ∴C（-2,4） （2）过点 D 作 X 轴的平行线，分别过 A、B 作此平行线的垂线，垂足分别为 1 E、F。设 D（a， ������2 ） 。 1 2 2 yA- a a-xA 2 AE ED 易证△AED∽DFB，则 = ， ∴ = DF BF xB-a yB- 1 a2 1 2 1 2 2 x A - a 2 a-xA 2 2 = x x x +x m+m =4 ( ) ∴ ∴ A B+ A B 1 1 2 xB-a 2 1 2 2 xB - 2 a y= x
例题 如图，已知直线 AB：y=kx+2k+4 与抛物线 y= ������ 2 交于 AB 两点。 （1）直线 AB 总经过一个定点 C，请直接写出点 C 的坐标； O （2）若在抛物线上存在定点 D，使∠ADB=90 ，求点 D 到直线 AB 的最大 距离。 分析： （1）由于直线 AB 过定点 y C，故点 C 的坐标与参数 K 无关，因此，直线 AB 1 2 B y = ∙x 的解析式中含 K 的项的 M 2 系数为 0，故可求 C C （-2,4） 。 O A （2）∠ADB=90 是第一个切入点，自 然会想到作垂线构造相似三角形， D F E 结合根与系数的关系解题；点 D 为定点是第二个切入点，说明点 O D 的坐标与点 A、B 的坐标无关， x 由此可求点 D 的坐标。又 C 为定 点， 故 CD 的长度可求， 而 D 到直 线 AB 的距离 DM≤DC， 故 DM 的最 大值为 CD 长。
当堂检测
1 抛物线 y=������ 2 -4x+5,对称轴交 X 轴于 P，直线 EF 交抛物线于 E、F，交对称轴 于 H，且∠EPH=∠FPH。 求证：EF 恒过定点
y
y = x2
4∙x + 5
N H E M
F
O
P
Hale Waihona Puke Baidu
x
分析： （1）切入点是 ∠EPH=∠FPH， 为 此可作垂线构造 相似三角形，由 对应边成比例可 得到交点的坐标 关系； （2 ）定点的坐标 与点 E、 F 的位置 无关，也就是与 K 无关，由此可 求出定点的坐标； （3 ）根与系数的 关系的综合运用
联立
2
y=kx+2k+4
2
则xA+xB=2k
xAxB=-4k-8
D（2,2）
∴ 2k(m-2)+m -4=0 又点 D 为定点，故坐标与 K 无关， ∴m=2， 由勾股定理易求 CD=2 5， ∴CD 的最大值为 2 5 ∴CD≤2 5
方法归纳
二次函数与定点问题的解题方法：①定点的坐标与参数无关，整合含有 参数的项，令其系数为 0，可求出 定点的坐标； ②结合二次函数， 将几何条件转化为 代数条件，构建方程或方程组，利 用根与系数的关系解决问题
B A
P
M O
Q x
课堂小结
（1）学生的收获与疑惑 （2）教师点评：数学思想与方法 （1）定点问题的基本方法： （2）根与系数的关系的综合运用：几何条件 代数条件 坐标关系 根与系数的关系 交点的
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当堂检测
2 已知抛物线 y= ������ 2 ,以 M（-2,1）为直角顶点作抛物线的内接直角三角形 MAB ，
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（M、A、B 均在抛物线上） 。 求证：直线 AB 过定点，并求出该定点的坐标。
y 1 2 y = ∙x 4
分析： （1） 此题的切入点是 O ∠AMB=90 ，可通 过作垂线构造相似 三角形， 得到交点的 坐标关系； （2）根与系数关系 的综合运用； （3）定点的坐标与 点 A、B 无关，即与 K 无关。
例题教学
解： （1）∵y=kx+2k+4=k（x+2）+4 令 x+2=0，则 x=-2，y=4 ∴C（-2,4） （2）过点 D 作 X 轴的平行线，分别过 A、B 作此平行线的垂线，垂足分别为 1 E、F。设 D（a， ������2 ） 。 1 2 2 yA- a a-xA 2 AE ED 易证△AED∽DFB，则 = ， ∴ = DF BF xB-a yB- 1 a2 1 2 1 2 2 x A - a 2 a-xA 2 2 = x x x +x m+m =4 ( ) ∴ ∴ A B+ A B 1 1 2 xB-a 2 1 2 2 xB - 2 a y= x