曲线积分和路径的无关性

§ 22.2曲线积分和路径的无关性

引言

第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关， 而且也与所沿的积分路径有关。对同一

个起点和同一个重点， 沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的。

在什么样的 条件下第二类曲线积分与积分路径无关而仅与曲线的起点和重点有关呢？下面我们在平面 中情形来讨论这个问题。

定理1：若函数P x,y ，Q x, y 在区域D 上有连续的偏导数，

D 是单连通区域，则 F 列命题等价：

⑴对D 内任意一条闭曲线C ，有

P x,y dx Q x, y dy 0。

C

⑵对D 内任意一条闭曲线I ，曲线积分

P x, y dx Q x, y dy

I

与路径无关（只依赖曲线的端点）。

⑶存在可微函数 U x, y ，使得D 内成立dU Pdx Qdy ；

P Q

⑷ 在D 内处处成立。

y x

定义1：当曲线积分和路径无关时， 即满足上面的诸条件时，

如令点A x o ,y o 固定而点 B x, y 为区域内任意一点，那么

x,y

U x, y Pdx Qdy x o ,y o

在D 内连续并且单值。这个函数 U x,y 称为Pdx Qdy 的原函数。

原函数的求法:

（1）U x,y x P x, y dx x y

Q x

0, y dy C ；

y o

或

x y

（2）U x, y P x,y ° dx Q x, y dy C 。

y o 例1 :求原函数u

(1) x2 2xy y2 dx x2 2xy y2 dy；

2 2

(2) 2xcosy y sinx dx 2ycosx x siny dy。

定义2：只绕奇点M —周的闭路上的积分值叫做区域D的循环常数，记为。于是，对D内任一闭路C

C Pdx Qdy n ,

这里n为沿逆时针方向绕M的圈数。

例2：证明；xd x 今关于奇点的循环常数是0,0，从而积分与路径无关。

x y