高中数学教案 选修4-5教案 第二讲 证明不等式的基本方法 三 反证法与放缩法

三 反证法与放缩法

☆学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法;

2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式 ☻知识情景：

1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．

20. 综合法和分析法．

30. 反证法、换元法、放缩法

2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,

通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法.

用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒ 3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,

直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),

从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.

这是一种执 索 的思考和证明方法.

用分析法证明不等式的逻辑关系： ☻新知建构：

1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；

第二步 作出与所证不等式相反的假定；

第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.

分析：反设x y +1≥2，y x +1≥2 ∵x , y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。 例2 已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 .

12 ( ) n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已

论成立的充分条件知.21,1,2,0, 1中至少有一个小于试证且已知例x

y y x y x y x ++>+>.

,0,0,0.0.0,0

)(,0,

0,00,0)2(.0,0,0,0)1(.

00,0,

,,,:所以原命题成立同理可证综上所述也不可能

相矛盾这和已知于是又可得那么由如果不可能矛盾与则如果两种情况讨论和下面分不妨先设正数即其中至少有一个不是不全是正数假设证明>>><∴>++<++=++>-=+∴>++<><=∴>==<=≤c b a a ca bc ab bc c b a ca bc ab a c b c b a bc abc a a abc abc a a a a c b a

2. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.

常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，

②将分子或分母放大（或缩小）如：

2111(1)(1)

n n n n n <<+- ③应用“糖水不等式”：“若0a b <<，0m >，则a a m b b m +<+”

④利用基本不等式，如：2lg 3lg 5()lg 4⋅<=<=；

⑤利用函数的单调性 ⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈； ⑦绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +；

⑧利用常用结论：如：

2

=()*,1k N k ∈>，

2

=<=()*,1k N k ∈>

⑨应用贝努利不等式：2(1)(1)11.12n n n n x nx x x nx -+=++++>+⨯ 例3 若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<

c a

d d b d c c a c b b d b a a 证明：记m =c

a d d

b d

c c a c b b

d b a a +++++++++++ ∵a , b , c , d ∈R +

∴1=+++++++++++++++>

c b a

d d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++

d d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立。