正弦定理和余弦定理复习课教学设计
高三数学总复习 正弦定理和余弦定理教案
高三数学总复习 正弦定理和余弦定理教案教学目标：1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式． ②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形．③能解决与三角形有关的实际问题．教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解．②将实际问题转化为解斜三角形．教学过程一、基础回顾1、正余弦定理正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ；c 2＝a 2＋b 2－2abcosC2、变形式①a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；(其中R 是△ABC 外接圆半径)②a ∶b ∶c ＝sinA ：sinB ：sinB③cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3、三角形中的常见结论(1) A ＋B ＋C ＝π.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB.(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)； ② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R； ③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)； ④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12(a ＋b ＋c)． 二、基础自测1、在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．2、在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝________．3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2bcosC ，则此三角形一定是________三角形．4、已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则∠C＝________．5、在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cosC ＝13，则△ABC 的面积为________．三、典例分析例1 (2013·惠州模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 解：(1)由正弦定理，得asin B ＝bsin A ，又asin Asin B ＋bcos 2A ＝2a ，∴bsin 2A ＋bcos 2A ＝2a ，即b ＝2a ，因此b a ＝ 2. (2)由c 2＝b 2＋3a 2及余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（1＋3）a 2c， (*) 又由(1)知，b ＝2a ，∴b 2＝2a 2，因此c 2＝(2＋3)a 2，c ＝2＋3a ＝3＋12 a. 代入(*)式，得cos B ＝22， 又0＜B ＜π，所以B ＝π4. 规律方法：1．运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条件和目标．若已知两边与夹角，则用余弦定理；若已知两角和一边，则用正弦定理．2．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．例2、(2013·合肥模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A 2，cos 2A)，且m ·n ＝72. (1)求角A 的大小； (2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A2，cos 2A )， ∴m ·n ＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3. 又∵m ·n ＝72， ∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝12. ∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3，∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc . ① 又∵b ＋c ＝23，∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝3， 于是a ＝b ＝c ＝3，即△ABC 为等边三角形．规律方法：判定三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化．无论使用哪种方法，不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．例3、(2012·课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acos C ＋3asin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c.解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，则sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C . 所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin(A －π6)＝12. 又0<A <π，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. ① 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.② 由①②联立，得b ＝c ＝2.四、练习 变式练习1：(2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsin A ＝3acos B.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．变式练习2：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C.(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状五、作业布置六、板书设计1、正余弦定理2、变形式3、三角形中常用结论典例分析七、教学反思。
江苏正弦定理和余弦定理教案
江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标：1. 让学生了解正弦定理和余弦定理的定义及应用。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。
3. 通过对正弦定理和余弦定理的学习，提高学生的数学思维能力和创新能力。
二、教学内容：1. 正弦定理的定义及证明。
2. 余弦定理的定义及证明。
3. 正弦定理和余弦定理的应用。
4. 相关例题解析。
5. 实践练习。
三、教学重点与难点：1. 正弦定理和余弦定理的推导过程。
2. 灵活运用正弦定理和余弦定理解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解正弦定理和余弦定理的定义、证明及应用。
2. 利用多媒体展示相关例题，进行解析。
3. 开展小组讨论，让学生互动交流，巩固所学知识。
4. 布置实践练习题，巩固所学内容。
五、教学过程：1. 引入：通过回顾三角形的基本知识，引导学生思考正弦定理和余弦定理的定义。
2. 讲解：详细讲解正弦定理和余弦定理的定义、证明及应用。
3. 例题解析：利用多媒体展示相关例题，进行解析，让学生掌握解题技巧。
4. 小组讨论：让学生围绕例题展开讨论，互相交流解题思路。
5. 实践练习：布置实践练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
6. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点知识点。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。
8. 课后反思：教师对本节课的教学效果进行反思，为下一步教学做好准备。
六、教学评价：1. 课后作业：通过课后作业的完成情况，评估学生对正弦定理和余弦定理的理解和应用能力。
2. 课堂练习：通过课堂练习的实时反馈，了解学生在学习过程中的掌握情况，及时调整教学方法。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和思考深度，评估他们的合作能力和问题解决能力。
4. 期中期末考试：通过期中期末考试的正弦定理和余弦定理部分，全面评估学生的学习成果。
七、教学资源：1. 教材：选用权威的数学教材，提供正弦定理和余弦定理的基础知识。
2. 多媒体课件：制作精美的多媒体课件，通过动画、图像等形式直观展示正弦定理和余弦定理的应用。
正弦定理教案优秀5篇
正弦定理教案优秀5篇《正弦定理、余弦定理》教学设计篇一一、教学内容：本节课主要通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用数学实验猜想发现正弦定理，并从理论上加以证实，最后进行简单的应用。
二、教材分析：1、教材地位与作用：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书。
数学必修5》（A 版）第一章中，是在高二学生学习了三角等知识之后安排的，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，而定理本身的应用（定理应用放在下一节专门研究）又十分广泛，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证实，感受“类比--猜想--证实”的科学研究问题的思路和方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
2、教学重点和难点：重点是正弦定理的发现和证实；难点是三角形外接圆法证实。
三、教学目标：1、知识目标：把握正弦定理，理解证实过程。
2、能力目标：（1）通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。
（2）增强学生的协作能力和数学交流能力。
（3）发展学生的创新意识和创新能力。
3、情感态度与价值观：（1）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的爱好。
（2）通过实例的社会意义，培养学生的爱国主义情感和为祖国努力学习的责任心。
四、教学设想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己→←所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。
让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。
高中数学优质课《正弦定理和余弦定理复习课》公开课优秀教案
高中数学优质课《正弦定理和余弦定理复习课》公开课教案教学目标：1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式．②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形． ③能解决与三角形有关的实际问题．教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解． ②将实际问题转化为解斜三角形． 教学过程 一、知识点回顾1、正弦定理CcB b A a sin sin sin ==2R = 变 形C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===sin sin sin ::::A B C a b c =面积公式：B ac C ab A bc S ABCsin 21sin 21sin 21===∆ 2、余弦定理 A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=3、正、余弦定理的作用：解三角形（边角互化）二、随堂练习三、例题讲解例1、 (2012·广州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．四、巩固练习1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A.63 B.223 C ．－63 D ．－2232．(2011·课标全国卷)△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 例2、(2011·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab . (1)求sin Csin A的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .1．(教材改编题)已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2五、课堂小结 正弦定理和余弦定理公式及变形 六、课后作业课堂新坐标1-10七、板书设计正弦定理和余弦定理1、正余弦定理2、正余弦定理3、正、余弦定理的作用4、例题讲解2．(2011·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12 C ．－1 D ．13.在△ABC 中，b ，c 是角B 、C 的对边，且cos 2A2＝b ＋c2c ．试判定△ABC 的形状．4. (2012·河源质检)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →； (2)若c －b ＝1，求a 的值．。
江苏正弦定理和余弦定理教案
江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标1. 让学生掌握正弦定理和余弦定理的定义及表达式。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，深入理解正弦定理和余弦定理的内在联系。
二、教学内容1. 正弦定理：在三角形中，各边的长度与其对角的正弦值成比例。
2. 余弦定理：在三角形中，各边的平方和等于其他两边平方和与这两边夹角余弦值的乘积的两倍。
三、教学重点与难点1. 教学重点：正弦定理和余弦定理的定义及应用。
2. 教学难点：正弦定理和余弦定理的推导过程及其在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，探索正弦定理和余弦定理。
2. 利用多媒体课件，直观展示正弦定理和余弦定理的推导过程。
3. 设计具有代表性的例题，讲解正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的应用。
4. 组织学生进行小组讨论和探究，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示三角形模型，引导学生思考三角形中的几何关系。
2. 探究正弦定理：让学生观察三角形模型，引导学生发现各边长度与对角正弦值的关系，进而总结出正弦定理。
3. 验证正弦定理：让学生运用正弦定理解决具体问题，验证其正确性。
4. 探究余弦定理：引导学生观察三角形模型，发现各边平方和与夹角余弦值的关系，总结出余弦定理。
5. 验证余弦定理：让学生运用余弦定理解决具体问题，验证其正确性。
6. 总结正弦定理和余弦定理：引导学生对比总结两个定理的异同点。
7. 巩固练习：设计具有针对性的练习题，让学生巩固正弦定理和余弦定理的应用。
8. 拓展与应用：引导学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题，提高学生的应用能力。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对正弦定理和余弦定理的理解程度，以及运用这两个定理解决问题的能力。
2. 练习题：通过布置练习题，检验学生对正弦定理和余弦定理的掌握情况。
《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计
《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计教材分析这是高三一轮复习，内容是必修5第一章解三角形。
本章内容准备复习两课时。
本节课是第一课时。
标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后应落实在解三角形的应用上。
通过本节学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理解三角形。
（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法判断三角形形状的问题。
本章内容与三角函数、向量联系密切。
作为复习课一方面将本章知识作一个梳理，另一方面通过整理归纳帮助学生进一步达到相应的学习目标。
学情分析学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。
教学目标知识目标：（1）学生通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦、余弦定理的内容及其证明方法；会运用正、余弦定理与三角形内角和定理，面积公式解斜三角形的两类基本问题。
（2）学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形综合问题。
能力目标：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。
情感目标：通过生活实例探究回顾三角函数、正余弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值，在教学过程中激发学生的探索精神。
教学方法探究式教学、讲练结合重点难点1、正、余弦定理的对于解解三角形的合理选择；2、正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
教学策略1、重视多种教学方法有效整合；2、重视提出问题、解决问题策略的指导。
3、重视加强前后知识的密切联系。
4、重视加强数学实践能力的培养。
5、注意避免过于繁琐的形式化训练6、教学过程体现“实践→认识→实践”。
正弦定理和余弦定理教学设计
《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计二、实施教学过程∠=，请你帮忙计算出BAC45,75∠=，如果需要在以45,75BAC圆的区域内规划观光区，请求解出这个外接圆区域的面积。
变∠=，如果需要对三角形BAC45,75区域的面积.3. 三角形常用675°45°由acos A =bcos B =ccos C ，利用正弦定理可得sin A cos A =sin B cos B =sin Ccos C ，即tan A =tan B =tan C ,A =B =C ，△ABC 是等边三角形，A 正确；由正弦定理可得sin A cos A =sin B cos B ⇒sin 2A =sin 2B ，2A 2B 或2A +2B =π， △ABC 是等腰或直角三角形，B 不正确；由正弦定理可得sin B cos C +sin C cos B =sin B ，即sin (B +C )=sin B ,sin A =sin B ， 则A =B,ΔABC 等腰三角形，C 正确；由正弦定理可得cos C =a 2+b 2−c 22ab >0，角C 为锐角，角,A B 不一定是锐角，D 不正确，故选AC.【设计意图】通过这道题，归纳判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.分析新高考的变化，提出应对的策略。
多选题，重基础，公式的多方向，多角度的变形使用。
【例2】在○1√3cos C (a cos B +b cos A )=c sin C ，○2a sin A+B2=c sin A ,○3(sin B −sin A )2=sin 2C −sin B sin A 这三个条件中任选一个，补充在下面问 题中已知ΔABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，当 时，求sin A ⋅sin B 的最大值.【解析】【分析】根据正弦定理或余弦定理计算得到3C π=，再计算11sin sin 2s 264in A B A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⋅，得到最值.【详解】若选①，则由正弦定理()3cos sin cos sin cos sin sin C A B B A C C +=，20,A ⎛∈ ⎝法二：设∆22b a ∴+-ABC的周长为设计意图：通过此题，让学生体验：三角函数式的化简要遵循“三看”原则重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等。
解三角形 正弦定理和余弦定理复习学案教师版
第 1 页解三角形正弦定理和余弦定理复习学案一、正、余弦定理解三角形的基本问题例1 在△ABC 中，(1)已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A 、C 、c ；(2)已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．点拨 (1)已知两边及其中一边对角，先利用正弦定理求出角A ，再求其余的量． (2)先由sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ，求出a ∶b ∶c ，再由余弦定理求出最大角．解 (1)由正弦定理及已知条件有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32，∵a >b ，∴A >B ＝45°，∴A ＝60°或120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22，当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22(2)根据正弦定理可知a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10， ∴边c 最大，即角C 最大．设a ＝(3＋1)k ，b ＝(3－1)k ，c ＝10k ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3＋1)2＋(3－1)2－(10)22(3＋1)(3－1)＝－12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3回顾归纳 已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．►变式训练1 (1)△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠C ＝30°，求△ABC 的面积；(2)已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4，b ＝5，S ＝53，求c 的长度．解 (1)1sin 30°＝3sin B ，∴sin B ＝32，∴B ＝60°或120°，当B ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝32.当B ＝120°时，A ＝30°，∴S △ABC ＝12×3×1×sin 30°＝34.综上，△ABC 的面积为32或34.(2)∵S ＝12ab sin C ，∴sin C ＝32，于是C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝21，∴c ＝21；当C ＝120°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab ＝61， ∴c ＝61.∴c 的长度为21或61. 二、正、余弦定理在三角形中的应用例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长．已知b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc .第 2 页(1)求∠A 的大；(2)求b sin Bc 的值．点拨 (1)利用cos A ＝b 2＋c 2－a22bc 求解；(2)利用正弦定理对代数式b sin Bc进行转化．解 (1)∵b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc ，∴a 2－c 2＝b 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.(2)方法一 在△ABC 中，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ，∵b 2＝ac ，∴b a ＝cb.∴sin B ＝b sin A a ＝c ·sin A b ，∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32.方法二 在△ABC 中，由面积公式得：12bc sin A ＝12ac sin B∵b 2＝ac ，∴bc sin A ＝b 2sin B ，∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32.回顾归纳 (1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础．如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系．(2)要注意利用△ABC 中A ＋B ＋C ＝π，以及由此推得的一些基本关系式：sin(B ＋C )＝sinA ，cos(B ＋C )＝－cos A ，tan(B ＋C )＝－tan A ，sin B ＋C 2＝cos A2等，进行三角变换的运算．►变式训练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72.(1)求∠A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值．解 (1)∵B ＋C ＝180°－A ，∴B ＋C 2＝90°－A2.由4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72，得4cos 2A 2－cos 2A ＝72，即2(1＋cos A )－(2cos 2 A －1)＝72.整理得4cos 2A －4cos A ＋1＝0.∴cos A ＝120°<A <180°，∴A ＝60°.(2)由A ＝60°，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∵a ＝3，∴b 2＋c 2－bc ＝3.又b ＋c ＝3，∴b 2＋c 2＋2bc ＝9，∴bc ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝3bc ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝1. 三、正、余弦定理在实际问题中的应用例3 A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB ＝BC ＝1 km ，从这三点分别遥望一座电视发射塔P ，A 见塔在东北方向，B 见塔在正东方向，C 见塔在南偏东60°方向．求塔到直路的距离．解如图所示，过C、B、P分别作CM⊥l，BN⊥l，PQ⊥l，垂足分别为M、N 、Q.设BN=x，则PQ=x，PA=2x.∵AB=BC，∴CM=2BN=2x，PC=2x.在△PAC中，由余弦定理得AC2=PA2+PC2-2PA·PC·cos 75°，即4=2x2+4x2-42x2·624-，解得x2=2(43)13+，过P作PD⊥AC，垂足为D，则线段PD的长为塔到直路的距离．在△PAC中，由于12AC·PD=12PA·PC·sin 75°，得PD020sin7522sin752P A P C xAC⋅⋅⋅==，=2(43)62753213413+++⋅⋅=(km)．答塔到直路的距离为75313+km.回顾归纳(1)解斜三角形应用题的程序是：①准确地理解题意；②正确地作出图形(或准确地理解图形)；③把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形；④根据实际意义和精确度的要求给出答案．(2)利用解斜三角形解决有关测量的问题时，其关键在于透彻理解题目中的有关测量术语．►变式训练3如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，设乙船按方位角为θ的方向沿直线前往B处救援，求sin θ的值．解在△ABC中，AB=20，AC=10，∠BAC=120°，由余弦定理知：BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=202+102-2×20×10×12⎛⎫-⎪⎝⎭=700.∴BC=107第3 页第 4 页由正弦定理得sin sin A B B C A C B B A C=∠∠，∴sin ∠ACB=A B B C·sin ∠BAC=·sin 120°=7.∴cos ∠ACB=7.∴sin θ=sin(∠ACB+30°)=sin ∠ACB ·cos 30°+cos ∠ACB ·sin 30°=7×2+7×12=14，.课堂小结：1．正弦定理揭示了三角形的两边和对角的关系，因此，可解决两类问题： (1)已知两角和其中任一边，求其他两边和一角，此时有一组解． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他解，其解不确定． 2．余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对应边的关系，是勾股定理的推广，它能解决以下两个问题：(1)已知三边，求其他三角，其解是唯一的．(2)已知两边及它们的夹角，求第三边及其他两角，此时也只有一解．3．正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生了联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆)提供了理论基础，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．课后作业一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对答案 C 解析 sin B ＝b ·sin A a ＝22，且b <a ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 答案 C 解析 cos A cos B >sin A sin B ⇔cos(A ＋B )>0，∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角．3．(2008·福建)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D 解析 ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.4．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( ) A ．25 B ．51 C ．49 3 D ．49第 5 页答案 D 解析 S △ABC ＝12AC ×AB ×sin 60°＝12×16×AB ×32＝2203，∴AB ＝55.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos 60°＝552＋162－2×16×55×12＝2 401∴BC ＝49.5．(2012·广东东莞模拟)△ABC 中，下列结论：①a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A 解析 ①由a 2>b 2＋c 2知A 为钝角，①正确；②由a 2＝b 2＋c 2＋bc 知A ＝120°，②错；③由a 2＋b 2>c 2，仅能判断C 为锐角，A 、B 未知，③错；④由A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，知A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2，④错．所以仅①正确．二、填空题6．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________．答案 6 cm 2解析 由5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝－35，x 2＝2.∵x 2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－35得sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6 (cm 2)．7．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A＝______.答案 2393.解析 由S ＝12sin A ＝121×c ×32＝3，∴c ＝4.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13.∴a sin A ＝13sin 60°＝2393. 8．一艘船以20 km/h 的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1 h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 等于________．解析 如图所示，sin 45sin 30BCAC =，∴BC=sin 30A C ×sin 45°=20122⨯， (km)．9．(2012·广东广州一模)已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，第 6 页cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×3517，∴b ＝17.10．在△ABC 中，已知AB ＝463，cos B ＝66，AC 上的中线BD ＝5，求sin A 的值．解 设E 为BC 的中点．连接DE ，则DE ∥AB ，且DE ＝12AB ＝263，设BE ＝x .在△BDE 中利用余弦定理可得：BD 2＝BE 2＋ED 2－2BE ·ED cos ∠BED ，5＝x 2＋83＋2×263×66x ，解得x ＝1，x ＝－73(舍去)．故BC ＝2，从而AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝283AC ＝2213.又sin B ＝306，故2sin A ＝2213306，sin A ＝7014.11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且4sin 2A ＋B2－cos 2C ＝72.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)∵A ＋B ＋C ＝180°，由4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，得4cos 2C 2－cos 2C ＝72， ∴4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72，整理，得4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝12，∵0°<C <180°，∴C ＝60°.(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即7＝a 2＋b 2－ab ，∴7＝(a ＋b )2－3ab ， 由条件a ＋b ＝5，得7＝25－3ab ，ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.。
高三数学总复习---正弦定理和余弦定理教案
第七讲 正弦定理和余弦定理教学目标：1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式． ②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形． 教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解．②将实际问题转化为解斜三角形．课型及课时：复习课，2课时（第一课时）教学过程一、教材回顾，追根溯源1、正余弦定理正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理 a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 变形式①a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；(其中R 是△ABC 外接圆半径)②a ∶b ∶c ＝sinA ：sinB ：sinB③cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab. 2、正、余弦定理的作用正弦定理主要解决以下两类问题：（1）已知两角及任一边求解三角形； （2）已知两边及其一边的对角求解三角形。
余弦定理主要解决以下三类问题：（1）已知两边及其夹角求解三角形； （2）已知三边求解三角形。
（3）已知两边及其一边的对角求解三角形。
3、 △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)； ② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R； ③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)； ④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12(a ＋b ＋c)． 二、走进考纲，解读高考三、双基自测，夯实基础1、（教材习题改编）在△ABC 中，A ＝45°，C ＝30°，c ＝6，则a 等于( )A ．3 2B ．62C ． 2 6D ．3 62、（教材习题改编）在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°3、已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则c ＝_______四、直击高考，突破考点高频考点：利用正、余弦定理解三角形，三角形的面积公式利用正、余弦定理解三角形和三角形的面积公式都是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．高考对该考点的考查有以下两个命题角度：(1)由已知求边、角、面积；(2)已知面积求边、角、周长等．例1 （2017高考全国乙卷）17．（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2B AC +=． （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．跟踪训练 1、(2016·高考全国卷乙，T17)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长.【解】 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C ．可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.2、(2017·重庆第一次适应性测试)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(B＋C)＝－33sin 2A．(1)求A；(2)设a＝7，b＝5，求△ABC的面积．[解] (1)由cos(B＋C)＝－33sin 2A可得，－cos A＝－33sin 2A，所以cos A＝33×2sin A cos A，因为△ABC为锐角三角形，所以cos A≠0，故sinA＝32，从而A＝π3.(2)因为A＝π3，故cos A＝12，由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bc cos A，即49＝25＋c2－5c，所以c2－5c－24＝0，解得c＝－3(舍去)，c＝8，所以△ABC的面积为12bc sin A＝12×5×8×32＝10 3.五、归纳小结，掌握技巧解题策略(1)解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到。
《正余弦定理复习课》教案
《正余弦定理复习课》教案教材：人教A版必修5第一章授课教师：浙江省温州中学邹琼艳一、教学目标1.知识与技能：(1)正弦定理和余弦定理结合起来，能够很好地解决三角形的问题，注意定理的变式及合理选用公式；(2)掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；(3)掌握三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；(4)能运用两个定理转化三角形中的一些边角关系式。
2.过程与方法：(1)体会解三角形的实质就是由正弦定理与余弦定理联立得到方程组，由方程的思想求解未知的边角；(2)通过引导学生分析，解答两个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3. 情感、态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
二、教学重点、难点重点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
三、教学过程【例题】已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知c=8,C=60o【问1】你能否解此三角形？【设计意图】此问主要是想让学生抓住问题的本质，三角形中六个基本元素，任何一条正余弦定理的公式都对着四个未知量，所以必须要有三个已知量才能求解。
渗透解三角形问题中的方程思想。
【问2】若固定A、B两点，符合题意的点C的运动轨迹是什么？【设计意图】此问的目的之二是回顾正弦定理的内容，三角形中一边和其对角确定，该三角形的外接圆半径是确定的，学生容易回答点C的轨迹是以AB为60o圆周角所对弦、半径确定的圆；同时利用几何画板的优势，把图形静与动的相对关系淋漓尽致地体现在学生的面前，让学生对图形有较强的把握，A、B、C三点共圆的图形可对接下来一些问题的研究提供数形结合的依据。
正弦定理和余弦定理：复习教案
铭智教育一对一个性化教案学生姓名教师姓名授课日期授课时段课题正弦定理和余弦定理重难点1.正弦定理和余弦定理2.正弦定理和余弦定理的灵活应用教学步骤及教学内1．正弦定理：asin A＝bsin B＝csin C＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c ＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bc cos_A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C．余弦定理可以变形：cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝a2＋c2－b22ac，cos C＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角教育要对民族的未来负责教育要对民族的未来负责容图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解[难点正本 疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．1． 在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.答案 2解析 由正弦定理及等比性质知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ， 而由A ＝60°，a ＝3，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R ＝a sin A ＝3sin 60°＝2.2． (2012·福建)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．答案 －24解析 设三角形的三边长从小到大依次为a ，b ，c ， 由题意得b ＝2a ，c ＝2a . 在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22×a ×2a＝－24.教育要对民族的未来负责3． (2012·重庆)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c＝________. 答案145解析 在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665. 由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.4． (2011·课标全国)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．答案 27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27.教育要对民族的未来负责5． 已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D.22答案 C解析 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝8，∴sin C ＝c8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝116abc ＝116×162＝ 2.题型一 利用正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .思维启迪：已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断．解 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32. ∵a >b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin Csin B ＝6－22.探究提高 (1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________． 答案 π6教育要对民族的未来负责解析 ∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.由正弦定理知：sin A ＝a sin B b ＝12，又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.题型二 利用余弦定理求解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．思维启迪：由cos B cos C ＝－b2a ＋c ，利用余弦定理转化为边的关系求解．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ， 整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵0<B <π，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， ∴13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.教育要对民族的未来负责探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解 (1)由2cos 2A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4， 故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用例3 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪：利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.教育要对民族的未来负责又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.探究提高 在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0， 当cos A ＝0时，∵0<A <π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ， 由正弦定理得a ＝b ，教育要对民族的未来负责即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．代数化简或三角运算不当致误典例：(12分)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．审题视角 (1)先对等式化简，整理成以单角的形式表示．(2)判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以 下两种不同方式切入：一、根据余弦定理，进行角化边；二、根据正弦定理，进行边化 角．规范解答解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．[4分]方法一 由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .[8分]在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分] 方法二 由正弦定理、余弦定理得： a 2bb 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，[6分] ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，教育要对民族的未来负责∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0.[10分] 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分]温馨提醒 (1)利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断．(2)本题也可分析式子的结构特征，从式子看具有明显的对称性，可判断图形为等腰或直角三角形． (3)易错分析：①方法一中由sin 2A ＝sin 2B 直接得到A ＝B ，其实学生忽略了2A 与2B 互补的情况，由于计算问题出错而结论错误．方法二中由c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)不少同学直接得到c 2＝a 2＋b 2，其实是学生忽略了a 2－b 2＝0的情况，由于化简不当致误．②结论表述不规范．正确结论是△ABC 为等腰三角形或直角三角形，而不少学生回答为：等腰直角三角形．高考中的解三角形问题典例：(12分)(2012·辽宁)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列．(1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．考点分析 本题考查三角形的性质和正弦定理、余弦定理，考查转化能力和运算求解能力． 解题策略 根据三角形内角和定理可直接求得B ；利用正弦定理或余弦定理转化到只含角或只含边的式子，然后求解． 规范解答解 (1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°， 所以cos B ＝12.[4分](2)方法一 由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，[8分] 所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.[12分]教育要对民族的未来负责方法二 由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝12，解得a ＝c ，[8分]所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34.[12分]解后反思 (1)在解三角形的有关问题中，对所给的边角关系式一般要先化为只含边之间的关系或只含角之间的关系，再进行判断．(2)在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个定理以及变形的方向.方法与技巧1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C － 2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明． 失误与防范1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·广东)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.32答案 B教育要对民族的未来负责解析 在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A， ∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.2． (2011·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )A ．－12B.12C ．－1D ．1答案 D解析 ∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin B sin B ， 即sin A cos A －sin 2B ＝0，∴sin A cos A －(1－cos 2B )＝0， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝1.3． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形答案 C解析 因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，因此三角形一定是等腰三角形．4． (2012·湖南)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)．∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 二、填空题(每小题5分，共15分)教育要对民族的未来负责5． (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.答案523解析 根据正弦定理应有a sin A ＝b sin B， ∴a ＝b sin Asin B ＝5×1322＝523.6． (2011·福建)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．答案 2解析 由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， ∴3＝12×2·AC ·32，∴AC ＝2，∴△ABC 为正三角形．∴AB ＝2.7． 在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________.答案 4或5解析 设BC ＝x ，则由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C 得5＝25＋x 2－2·5·x ·910，即x 2－9x＋20＝0，解得x ＝4或x ＝5. 三、解答题(共22分)8． (10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．解 (1)∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，∴sin A ＝45.又AB →·AC →＝3，∴bc cos A ＝3，∴bc ＝5.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×45＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，教务处签字：日期：年月日课后评价一、学生对于本次课的评价○特别满意○满意○一般○差二、教师评定1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差作业布置.s.5.u.根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A＝36－10－10×35＝20，∴a＝2 5.教育要对民族的未来负责教师留言教师签字：家长意见家长签字：日期：年月日教育要对民族的未来负责。
正弦定理和余弦定理教案(启发式)
正弦定理、余弦定理教案 ●教学目标(一)知识目标1.三角形形状的判断依据；2.利用正、余弦定理进行边角互换.(二)能力目标1.进一步熟悉正、余弦定理内容；2.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；4.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式.(三)德育目标通过正、余弦定理在边角互换时所发挥的桥梁作用来反映事物之间的内在联系；通过三角恒等式的证明来反映事物外在形式可以相互转化而内在实质的不变性. ●教学重点利用正、余弦定理进行边角互换. ●教学难点1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向；2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求. ●教学方法 启发引导式1.启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2.引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用. ●教具准备 投影仪、幻灯片 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin === 余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=abc b a C cab ac B bca cb A Cab b a c B ca a c b 2cos 2cos 2cos cos 2,cos 2222222222222222-+=-+=-+=-+=-+=第二张：例题1、2(记作§5.9.3 B) ［例1］已知△ABC ，B Ｄ为B 的平分线，求证：AB ∶BC ＝A Ｄ∶ＤC［例2］在△ABC 中，求证：a 2sin2B ＋b 2sin2A ＝2ab sin C第三张：例3、例4(记作§5.9.3 C)［例3］已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且满足(sin A ＋sin B ）2－sin 2C＝3sin A sin B 求证：A ＋B ＝120°［例4］在△ABC 中，b cos A ＝a cos B 试判断三角形的形状●教学过程Ⅰ.复习回顾师：前面两节课，我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容，并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面，我们先来回顾一下正、余弦定理的内容(给出投影片§5.9.3 A ).从投影片大家可以看出，正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系，运用定理可以进行边与角之间的转换，这一节，我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用.Ⅱ.讲授新课师：下面，我们来看投影片上的例题.(给出投影片§5.9.3 B).［例1］分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B 的平分线BD 将△ABC 分成了两个三角形：△ABD 与△CBD ，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB ∶AD ＝BC ∶DC ，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为DBCDC BDC BC ABD AD ABD AB sin sin ,sin sin ==，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.证明：在△ABD 内，利用正弦定理得：ABDADB AD AB ABD AD ADB AB sin sin sin sin ==即 在△BCD 内，利用正弦定理得：.sin sin ,sin sin DBCBDC DC BC DBC DC BDC BC ==即 ∵BD 是B 的平分线.∴∠ABD ＝∠DBC ∴sin ABD ＝sin DBC .∵∠ADB ＋∠BDC ＝180°∴sin ADB ＝sin （180°－∠BDC ）＝sin BDC∴CD BC DBC BDC ABD ADB AD AB ===sin sin sin sin ∴DCAD BC AB = 评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.［例2］分析：此题所证结论包含关于△ABC 的边角关系，证明时可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系，若是余弦形式则通过余弦定理；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理.另外，此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式，如sin2B ＝2sin B ·cos B 等，以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形.证明一： (化为三角函数)a 2sin2B ＋b 2sin2A＝（2Ｒsin A ）2·2sin B ·cos B ＋（2Ｒsin B ）2·2sin A ·cos A＝8Ｒ2sin A ·sin B （sin A cos B ＋cos A sin B )＝8Ｒ2sin A sin B sin C＝2·2Ｒsin A ·2Ｒsin B ·sin C＝2ab sin C所以原式得证.证明二： (化为边的式子)左边＝a 2·2sin B cos B ＋b 2·2sin A ·cos A ＝a 2·bc a c b R a b ac b c a R b 2222222222222-+⋅⋅+-+⋅ ＝)(2222222a c b b c a Rcab -++-+ ＝C ab Rc ab c RC ab sin 222222=⋅=⋅ 评述：由边向角转化，通常利用正弦定理的变形式：a ＝2Ｒsin A ，b ＝2Ｒsin B ，c ＝2Ｒsin C ，在转化为角的关系式后，要注意三角函数公式的运用，在此题用到了正弦二倍角公式sin2A ＝2sin A ·cos A ，正弦两角和公式sin （A ＋B ）＝sin A ·cos B ＋cos A ·sin B ；由角向边转化，要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二.三角形的有关证明问题，主要围绕三角形的边和角的三角函数展开，从某种意义上来看，这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.（给出幻灯片§5.9.3 C ）［例3］分析：要证A ＋B ＝120°，由于A ＋B ＋C ＝180°，只要证明C ＝60°，而已知条件为三角函数关系，故应考虑向三角函数的转化，又在0°～180°之间，余弦值所对应角惟一，故可证明cos C ＝21，而由余弦定理cos C ＝ab c b a 2222-+，所以应考虑把已知的角的关系式转化为边的关系.证明：由(sin A ＋sin B ）2－sin 2C ＝3sin A ·sin B可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A ·sin B又∵sin A ＝R a 2，sin B ＝R b 2，sin C ＝Rc 2， ∴R b R a R c R b R a 22444222222⋅=-+ 整理得a 2＋b 2－c 2＝ab∴cos C ＝212222=-+ab c b a 又0°＜C ＜180° ∴C ＝60°∴A ＋B ＝180°－C ＝120°评述： (1)有关三角形内角的证明，选择余弦值与正弦值相比较，要省去取舍的麻烦.但注意在根据三角函数值求角时，应先确定角的范围； (2)在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a ＝2R ·sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，这一转化技巧，要求学生熟练掌握.［例4］分析：三角形形状的判断，可以根据角的关系，也可根据边的关系，所以在已知条件的运用上，可以考虑两种途径：将边转化为角，将角转化为边，下面，我们从这两个角度进行分析.解法一：利用余弦定理将角化为边.∵b cos A ＝a cos B∴b ·acb c a a bc a c b 22222222-+⋅=-+ ∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2∴a 2＝b 2∴a ＝b故此三角形是等腰三角形.解法二：利用正弦定理将边转化为角.∵b cos A ＝a cos B又b ＝2Ｒsin B ，a ＝2Ｒsin A∴2Ｒsin B cos A ＝2Ｒsin A cos B∴sin A cos B －cos A sin B ＝0∴sin （A －B ）＝0∵0＜A ，B ＜π，∴－π＜A －B ＜π∴A －B ＝0 即A ＝B故此三角形是等腰三角形.评述： (1)在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理；(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sin B cos A ＝sin A cos B 两端同除以sin A sin B 得cot A ＝cot B ，再由0＜A ，B ＜π，而得A ＝B .师：为巩固本节所学的解题方法，下面我们进行课堂练习.Ⅲ.课堂练习1.在△ABC 中，证明下列各式：（1）（a 2－b 2－c 2）tan A ＋（a 2－b 2＋c 2）tan B ＝0 (2) .112cos 2cos 2222b a b B a A -=- 证明：(1)左边＝（a 2－b 2－c 2）BB c b a A A cos sin )(cos sin 222+-+ 右边==+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++-+-+-=-+⋅⋅+-+-+⋅⋅--=0)11()(2222)(22)(222222222222222222222222Rabc b c a b c a a c b a c b R abc b c a ac R b c b a a c b bc R a c b a 故原命题得证.右边左边=-=+--=+--=---=22222222222222222211)2(2)2(211sin )2(sin 2sin )2(sin 2)11(sin 21sin 21)2(b a R R b a BR B A R A b a b B a A 故原命题得证.评述：（1）在(1)题证明时应注意两点：一是切化弦的思路，二是结合正、余弦定理将角的关系转化为边的关系；（2）(2)题证明过程中用到了余弦二倍角的公式，而此公式有三种形式cos2A ＝cos 2A －sin 2A ＝2cos 2A －1＝1－2sin 2A ，由于考虑到等式右端为边的关系，故选用第三种形式，在转化为边的关系时较为简便.2.在△ABC 中，已知sin B ·sin C ＝cos 22A ，试判断此三角形的类型. 解：∵sinB ·sinC ＝cos 22A ∴sinB ·sinC ＝2cos 1A + ∴2sin B ·sin C ＝1＋cos ［180°－（B ＋C ）］将cos （B ＋C ）＝cos B cos C －sin B sin C 代入上式得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1∴cos （B －C ）＝1又0＜B ，C ＜π，∴－π＜B －C ＜π∴B －C ＝0 ∴B ＝C故此三角形是等腰三角形.评述： (1)此题在证明过程中，要用到余弦二倍角公式cos A ＝2cos 22A －1的逆用，要求学生注意.(2)由于已知条件就是三角函数关系式，故无需向边的关系转化，而是进行三角函数式的恒等变形.Ⅳ.课时小结师：通过本节学习，我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断.其中，要求大家重点体会正、余弦定理的边角转换功能.Ⅴ.课后作业(一)补充作业1.在△ABC 中，已知)sin()sin(sin sin C B B A C A --=，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列. 证明：由已知得sin （B ＋C ）sin （B －C ）＝sin （A ＋B ）·sin （A －B ）cos2B －cos2C ＝cos2A －cos2B2cos2B ＝cos2A ＋cos2C22cos 122cos 122cos 12B A B -+-=-⋅ ∴2sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C由正弦定理可得2b 2＝a 2＋c 2即a 2，b 2，c 2成等差数列.2.在△ABC 中，A ＝30°，cos B ＝2sin B －3sin C . (1)求证：△ABC 为等腰三角形；(提示B ＝C ＝75°)(2)设D 为△ABC 外接圆的直径BE 与AC 的交点，且AB ＝2，求AD ∶DC 的值. 答案：（1）略 （2）1∶3(二)1.预习内容课本5.9 正弦定理、余弦定理2.预习提纲(1)复习正、余弦定理内容(2)总结正、余弦定理适用题型●板书设计§5.9.3 正弦定理、余弦定理(三)一、三角形问题证明思路 二、三角形形状判定依据三、学生练习1.向边转化 1.等腰三角形：a ＝b 或A ＝B四、补充作业利用正、余弦定理 2.直角三角形：a 2＋b 2＝c 22.向角转化 或C ＝90°利用正弦定理 3.钝角三角形：C ＞90°●备课资料1.正余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它.其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决.［例1］已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且32sin sin =B A ，求B B A +的值. 解：∵23sin sin ,sin sin ,sin sin ==∴=B A b a B A B b A a 又(这是角的关系)，∴23=b a (这是边的关系).于是，由合比定理得.25223=+=+b b a ［例2］已知△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别是A 、B 、C ，且a 、b 、c 成等差数列.求证：sin A ＋sin C ＝2sin B证明：∵a 、b 、c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b (这是边的关系)①又BA b a C cB b A a sin sin ,sin sin sin =∴==② BC b c sin sin =③ 将②、③代入①，得b BC b B A b 2sin sin sin sin =+整理得sin A ＋sin C ＝2sin B (这是角的关系).2.正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：［例3］求sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°的值.解：原式＝sin 220°＋sin 210°－2sin20°sin10°cos150°∵20°＋10°＋150°＝180°，∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角.设这三个内角所对的边依次是a 、b 、c ，由余弦定理得：a 2＋b 2－2ab cos150°＝c 2（※）而由正弦定理知：a ＝2Ｒsin20°，b ＝2Ｒsin10°，c ＝2Ｒsin150°，代入(※)式得：sin 220°＋sin 210°－2sin20°sin10°cos150°＝sin 2150°＝41 ∴原式＝41. ●教学后记。
教学设计正弦定理与余弦定理的综合运用
ABC 中，若 a 2 c2 b2 ac, 且 a 3 1 ,
2.
c 2 求∠C 的大小。
3 .在 A B C中 ， 若 B = 3 0 , A B 6 3 , A C 6, 求 ABC面 积 .
B C
b 2a
c
, 求 B的大小。
解法一： 由正弦定理得：（化边为角）
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C,
代入
cos B cos C
b 2a
c
得：
cos B cos C
sin B 2sin A sin
C
,
即2 sin A cos B sin C cos B cos C sin B 0
abc
sin A sin B sin C 2R（R 是三角形外接圆半径）
余弦定理：
a2 b 2 c 2 2bc cos A
b2 a 2 c 2 2ac cos B
c2 a 2 b2 2ab cos C
正弦定理的变式
a 2 R sin A, b 2 R sin B ,
sin A a , 2R sin B b , 2R
△ABC 中，已知 a=2，求 bcosC＋ccosB 的值。 解:（化角为边）由余弦定理得：
a2 b2 c2
a2 c2 b2
bcosC＋ccosB＝b· 2ab ＋c· 2ac
a2 b2 c2 2a
a2 c2 b2 2a
a
2
解法二:（化边为角） 由正弦定理得：
bcosC＋ccosB ＝ 2R sin B cos C 2R sin C cos B
a2 c2 b2
2 ab
b
2 ac
人教版高中必修51.1正弦定理和余弦定理课程设计
人教版高中必修5-1.1 正弦定理和余弦定理课程设计一、引言正弦定理和余弦定理是高中数学中的基础概念，在解决三角形相关问题时经常会用到。
本课程设计将围绕正弦定理和余弦定理展开，旨在通过讲解和丰富的实例，帮助学生深入理解这两个概念，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学目标本课程设计主要的教学目标包括：1.理解正弦定理和余弦定理的定义和含义，并能运用正确公式计算相关量；2.能解决使用正弦定理和余弦定理求解三角形中各角度和边长的问题，并能熟练运用所学知识解决类似问题；3.培养学生对数学概念的深刻理解，提高数学分析、解题和推理的能力。
三、教学重点和难点1. 教学重点•正弦定理和余弦定理的定义和含义；•正弦定理和余弦定理的公式和运用；•求解三角形相关问题的思路和方法。
2. 教学难点•正弦定理和余弦定理的理解与运用；•正弦定理和余弦定理的推导过程说明；•如何分析实际问题，确定合适的求解方法。
四、教学内容和方法1. 教学内容1) 正弦定理•正弦定理的概念和含义；•正弦定理的公式和运用；•正弦定理的推导过程说明；•正弦定理的实际应用。
2) 余弦定理•余弦定理的概念和含义；•余弦定理的公式和运用；•余弦定理的推导过程说明；•余弦定理的实际应用。
2. 教学方法本课程设计将采用以下教学方法：•讲授法：通过对正弦定理和余弦定理的原理、公式和运用的讲解，向学生阐述相关概念并理解其原理；•实例分析法：通过较为典型的实例分析、讨论问题，帮助学生理解正弦定理和余弦定理的实际应用；•独立思考法：通过举例让学生通过自己的思考和分析实际问题，确定求解方法解决问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。
五、教学评价教学评价主要从以下方面进行：•学生课堂发言和问题讨论表现；•学生课后作业完成情况；•学生课后课程练习题完成情况以及参与竞赛、奥数活动表现；•学生在考试中的表现。
六、教学资源为了更好地实行授课过程中，需要准备以下资源：•课程讲义；•课件尠存储设备：如电脑、U盘等；•相关参考资料：如教材、习题集等。
高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇
高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇教案是讲课的前提，是讲好课的基础，教案则备课的具体表现形式。
它可以反映教师在整个教学中的总体设计和思路尤其是教学态度认真与否的重要尺度。
以下是小编为大家整理的高中《正弦和余弦定理》数学教案，感谢您的欣赏。
高中《正弦和余弦定理》数学教案1教学目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程一、复习准备：1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2.讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1.教学三角形的解的讨论：①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化②用如下图示分析解的情况.(A为锐角时)②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.2.教学正弦定理与余弦定理的活用：①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别→求角余弦，由符号进行判断③出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角→再思考：又如何将角化为边3.小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、巩固练习：3.作业：教材P11B组1、2题.高中《正弦和余弦定理》数学教案2一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。
(2)重点、难点。
重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。
正余弦定理完美教案
正余弦定理完美教案第一章：正弦定理简介1.1 学习目标了解正弦定理的定义和基本性质学会运用正弦定理解决实际问题1.2 教学内容正弦定理的定义及公式正弦定理与三角形内角和的关系正弦定理在实际问题中的应用1.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理的规律1.4 教学步骤1. 引入正弦定理的概念，引导学生了解正弦定理的定义和公式2. 通过示例，讲解正弦定理在解决实际问题中的应用3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理的理解和应用能力第二章：余弦定理简介2.1 学习目标了解余弦定理的定义和基本性质学会运用余弦定理解决实际问题2.2 教学内容余弦定理的定义及公式余弦定理与三角形内角和的关系余弦定理在实际问题中的应用2.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现余弦定理的规律2.4 教学步骤1. 引入余弦定理的概念，引导学生了解余弦定理的定义和公式2. 通过示例，讲解余弦定理在解决实际问题中的应用3. 安排练习题，巩固学生对余弦定理的理解和应用能力第三章：正弦定理与余弦定理的综合应用3.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决综合问题理解正弦定理和余弦定理之间的关系3.2 教学内容正弦定理和余弦定理的综合应用正弦定理和余弦定理之间的关系3.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理和余弦定理之间的关系3.4 教学步骤1. 通过示例，讲解正弦定理和余弦定理在解决综合问题中的应用2. 引导学生发现正弦定理和余弦定理之间的关系3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理和余弦定理的综合应用能力第四章：正弦定理和余弦定理在几何中的应用4.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决几何问题理解正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.2 教学内容正弦定理和余弦定理在几何中的应用正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.4 教学步骤1. 通过示例，讲解正弦定理和余弦定理在几何问题中的应用2. 引导学生理解正弦定理和余弦定理在几何中的重要性3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理和余弦定理在几何中的应用能力第五章：正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用5.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决实际问题理解正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.2 教学内容正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.4 教学步骤1. 通过示例，讲解正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用2. 引导学生理解正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用第六章：正弦定理和余弦定理的综合练习6.1 学习目标巩固正弦定理和余弦定理的基本概念提高运用正弦定理和余弦定理解决综合问题的能力6.2 教学内容综合练习题，涵盖正弦定理和余弦定理的应用分析解题思路和方法6.3 教学方法提供综合练习题，引导学生独立解答分析解题思路，讨论解题方法6.4 教学步骤1. 提供综合练习题，要求学生独立解答2. 分析解题思路，引导学生运用正弦定理和余弦定理解决问题3. 讨论解题方法，总结正弦定理和余弦定理的应用技巧第七章：正弦定理和余弦定理在三角形中的应用7.1 学习目标深入学习正弦定理和余弦定理在三角形中的应用掌握正弦定理和余弦定理在解决三角形问题时的灵活运用7.2 教学内容正弦定理和余弦定理在三角形中的应用案例三角形特殊角度时的定理特殊性质7.3 教学方法采用案例教学，通过具体三角形问题讲解定理的应用引导学生通过几何画图工具直观理解定理的应用7.4 教学步骤1. 通过具体三角形问题，展示正弦定理和余弦定理的应用2. 引导学生利用几何画图工具，直观理解定理的应用过程3. 安排练习题，巩固学生对定理在三角形中应用的理解第八章：正弦定理和余弦定理在复杂三角形中的应用8.1 学习目标学习正弦定理和余弦定理在复杂三角形中的应用培养学生解决复杂三角形问题的能力8.2 教学内容复杂三角形问题中正弦定理和余弦定理的运用练习题及解题策略8.3 教学方法采用问题解决法，引导学生思考和探讨提供练习题，让学生通过实际操作解决问题8.4 教学步骤1. 引入复杂三角形问题，引导学生思考如何应用定理2. 提供练习题，让学生独立解决3. 讨论解题策略，引导学生总结解题技巧第九章：正弦定理和余弦定理在实际工程中的应用9.1 学习目标学习正弦定理和余弦定理在实际工程中的应用培养学生解决实际工程问题的能力9.2 教学内容正弦定理和余弦定理在工程测量、建筑等方面的应用案例实际工程问题中的解题方法9.3 教学方法采用案例教学，通过实际工程案例讲解定理的应用引导学生通过实际操作，理解定理在工程中的应用9.4 教学步骤1. 通过实际工程案例，展示正弦定理和余弦定理的应用2. 引导学生参与实际操作，理解定理在工程中的应用过程3. 安排练习题，巩固学生对定理在实际工程中应用的理解第十章：总结与复习10.1 学习目标总结正弦定理和余弦定理的主要内容和应用复习本门课程的知识点，为考试做好准备10.2 教学内容复习正弦定理和余弦定理的基本概念、性质和应用总结解题方法和技巧10.3 教学方法通过复习讲义和练习题，引导学生复习和巩固知识点组织复习课堂，鼓励学生提问和讨论10.4 教学步骤1. 发放复习讲义，让学生提前预习2. 组织复习课堂，引导学生复习重点知识点3. 提供练习题，让学生通过实际操作巩固知识点重点和难点解析第六章：正弦定理和余弦定理的综合练习环节：分析解题思路和方法重点和难点解析：此环节需要重点关注解题思路的培养和方法的多样性。
《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计
正弦定理和余弦定理复习课教学设计一、教学目标本次复习课的教学目标主要包括：1.复习正弦定理和余弦定理的概念与公式；2.掌握应用正弦定理和余弦定理解决相关问题的方法；3.加深学生对三角函数的理解和应用能力。
二、教学准备教学准备包括：1.教学课件：包括正弦定理和余弦定理的公式推导和相关例题；2.教学工具：黑板、彩色粉笔、计算器。
三、教学内容与步骤本次复习课采用讲授和练习相结合的教学方法，具体内容与步骤如下：1. 复习正弦定理•教师介绍正弦定理的概念和公式，并通过数学推导进行解释；•教师通过几个简单的几何图形，引导学生理解正弦定理的几何意义；•教师给出一些常见的例题，并让学生根据正弦定理计算未知边长或角度。
2. 复习余弦定理•教师介绍余弦定理的概念和公式，并通过数学推导进行解释；•教师通过几个简单的几何图形，引导学生理解余弦定理的几何意义；•教师给出一些常见的例题，并让学生根据余弦定理计算未知边长或角度。
3. 应用正弦定理和余弦定理解决相关问题•教师给出一些综合性的例题，要求学生运用正弦定理和余弦定理解决；•教师引导学生分析题目，确定解题思路，并进行详细解析；•学生在黑板上演示解题过程，并对整个过程进行讨论和总结。
四、教学总结与评价本次复习课通过对正弦定理和余弦定理的复习，加深了学生对这两个重要定理的理解和应用能力。
在分析和解决问题的过程中，学生逐渐形成了逻辑思维和数学推导的能力，提高了解决实际问题的能力。
通过本次复习课，看到了学生们对正弦定理和余弦定理有了更深入的理解，并且在解决问题时愈发独立和自信。
然而，仍然存在一些学生对推导过程理解不够深入的情况，需要进一步巩固。
为了进一步提高学生的学习效果和解决问题的能力，建议课后学生进行相关习题的练习和巩固。
同时，希望学生主动参与课堂讨论和提问，积极与教师互动，共同提高学习效果。
注意：文档中无法展示数学公式，故省略了实际的公式，但在教学中需要详细讲解和推导相关公式，以保证学生对正弦定理和余弦定理的理解和掌握。
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《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计
教材分析：这是高三第一轮复习，内容是必修5第一章解三角形。
课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后应落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够熟练运用正弦定理，余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
本章内容与三角函数，向量联系密切。
作为复习课一方面将本章知识作为一个梳理，另一方面通过整理归纳帮助学生进一步达到相应的学习目标。
学情分析：学生通过必修5的学习，对正弦定理，余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。
教学目标知识目标：（1）学生通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，余弦定理的内容及其证明方法；会运用正，余弦定理与三角形内角和定理，面积公式解斜三角形的两类基本问题；（2）学生能够熟练运用正弦定理，余弦定理等知识和方法测量一些不可到达的物体的高度或距离；解决一些有关计算角度，航行，工件的计算等实际问题；（3）学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形综合问题。
能力目标：培养学生提出问题，正确分析问题，独立解决问题的能力，培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。
情感目标：通过三角函数，正余弦定理，向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
激发学生学习数学的兴趣，体会数学的应用价值，在教学过程中激发学生的探索精神。
教学方法：引导发现法，讲授法，讲练结合，变式训练法
重点难点：（1）正余弦定理的探索和证明及其基本应用
（2）正余弦定理与三角形的有关性质和综合运用
（3）正余弦定理与向量，不等式等其他知识的综合运用
教学资源：多媒体课件，实物投影仪
教学过程
（一）复习回顾，知识梳理
1．正弦定理
abc＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)．CBA sinsinsin2．余弦定理222222222－2ab cos＋bC c－2ac cos B，c＝ba＝bc＋bc－2cos A，a＝a＋222222222c＋c－bbab＋c－a－a＋或cos A＝，cos B＝，cos C＝.
ab222acbc3．三角形中的常见结论
(1)A＋B＋C＝π.
在三角形中大边对大角，大角对大边．(2)．
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3) (4)有关三角形内角的常用三角函数
关系式B)＝－cos C；B)＝sin C；cos(A＋sin(A＋BA＋BA＋CC.
cos；cos＝sintan(A＋B)＝－tan C; sin＝2222 (5)△ABC的面积公式有：1 ；a边上的高)①S＝a·h(h表示2abc111 ；A＝sin ab sin C＝acB＝bc sin②S＝
R24221 ．为内切圆半径)(a＋b＋c)(r③S＝r 2.
>sin BB?a>b?sin A(6)在△ABC中，A> 4.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（. 2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题已知三边，求三个角；（1）
已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（2）
课堂典例讲练（二）
________. C，＝105°，则b＝1](1)在△ABC中，若a＝4，B＝30°[例) ，则角A等于(a＝1，b＝2，B＝45°已知△(2)ABC中，B．90°150°A．
D．30°60°C．
ACB解析：(1)已知两角和一边只有一解，由＝105°得，＝30°，＝45°，Ba4sin30°sin b2. ＝由正弦定理得，2＝＝A sin45°sin21 根据正弦定理得＝，(2)A sin45°sin1AabAA D.
<，∴＝30°，故选∴sin为锐角，∴＝，∵2，4b21，、、BC所对的边，又＝c＝分别为角、
在锐角△[例2]ABC中，ab、cA
则23.且BC边上的高AD＝________.
＝a(2)C(1)角＝________；DDBCAABCAD线在则△解析：为锐角三角形，过作⊥于点，BC上，段．
332CC sin ＝60°.＝＝，则241222aa ，又由余弦定理可知(21)＝4＋·－2·4· 22
aCaaaa 5. ＝60°，边长为1(舍，∴)＝5或．因此所求角即＝－－4－5＝0 的形状．[例3] 根据所给条件，判断△ABC cos(1)若aA ＝b cos B ，则△ABC 形状为________．cab ＝＝，则△(2)若ABC 形状为________．
CBA coscoscos (1)由余弦定理得解析：222222bbacca －＋－＋422422bccabAbBabaa ＝，cos －?＝·()＝0cos ·()?＋
－ acbc 22
2222222222bacabcbaba 0 －－－－)＝0∴＝－∴(＝－0)(或222bbcaa 或＝∴＋＝ABC 是等腰三角形或直角三角形．∴△CBA sinsinsin (2)由正弦定理得＝＝
CBA coscoscos ABCCABCACBBA ，∵、
，∴△、)∈tan ＝(0，π，∴＝＝即tan ＝tan 为等边三角形．
BcbAABCabcBCa ＋＝5＋、，的对边，且已知△[例4] ＝中，、4、分别为角，、tan ABCCCB ) ，则△的面积为( ＋3＝3tan ·tantan33
A. B ． 34333 D. C. 44CBBC ＋tan ·tan3＋＝tan 解析：∵3tan ，CBCB )tan3(1＝－－tan ∴tan ?·tan ＋CB tan ＋tan CB tan(＝－3＋，)3＝－? CB ·tantan1－ACB ∴＝120°，∴＋＝60°，222 ，bc cos bc ＋A －25baA 将＝60°，＝4，＋c ＝代入a ＝3311，故选＝C.
＝sin AbcS ∴3bc ·2－22516得＝－bcbc ，∴＝，△ABC
224
（三）变式训练．
bcABCAB ________. ＝61.在△＝30°，中，(1)若，则＝105°，＝ABCbAa ) 4，则△(2)若 ＝30°，解的情况为＝3，( ＝ B ．两解A ．一解
D ．无法判定 C ．无解
222BacbcacbABCABCa ，则角、3，若2.(1) 在△、中，角＋、＝、－的对边分别为)
的值为(
ππ A.B.
36π5ππ2π C. 或 或D. 3366abccaABCABCbca ，的内角、、＝、所对边分别为、、成等比数列，且、2.若△(2)B )
＝( 则cos
31 B. A. 4422 D. C.3422ABCABCcab 一1＋y 相离，则△＝的三边，直线ax ＋by ＋c ＝3.(1)若0、与圆、是△x )
定是(
B ．等边三角形A ．直角三角形 ．锐角三角形 D ．钝角三角形
C B c ＋a 2ABCBCABCA 的形状为)、c 分别为角的对边、，则△、(2)在△cos 中，＝(a 、b
c 22)
( ．正三角形A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰三角形 D →→ACABABCA 1＝60°，，1)4.（在△·中，已知＝ABC ________则△．面积为AABCBC 边的长是( ＝60°，则 20，面积是103，若△ (2))
的周长等于A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
课时小节
(1)已知两角和一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可；
(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论．这是易错的地方，也是常考查的地方；
）解三角形时，找三边一角之间的关系，常用余弦定理，两边两角之间的关系常用3（．
正弦定理；
（4）根据已知条件，适当选取定理，化边为角或化角为边，进行边角互化，是解决这类问题的基本途径．
《导与练》相关章节课时训练课后作业。