高一数学必修一课件：函数的奇偶性
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2024-2025学年高一数学必修第一册(人教B版)函数的奇偶性(综合)-课件
例 8 已知函数 = 2 + 4 + 6, 求证: 的图像关于直线 = −2对称.
y
分析 只需要证明图像上所有的点关于直线的
对称点还在图像上即可.
O
x ＝ －2
x
例 8 已知函数 = 2 + 4 + 6, 求证: 的图像关于直线 = −2对称.
证明 在 的图像上任取点 0, 0 , 设 P 关于 = −2对
图所示, 若 f (2) = 0, 则使得 ≥ 0的 x 的取值范围是____________.
y
5
－5
－2
O
2
x
例 1′ 已知函数()是定义在 −5,5 上的奇函数, 它在 −5,0 上是增函数,
−2,0 ⋃ 2,5
若 2 = 0, 则使得 ≥ 0的 x 的取值范围是____________.
y
称的点为 1, 1 .
由
0+1
= −2,得
2
1
1 = 0
= −4 − 0, 即 −4 − 0, 0 .
Q(－4 －x0 ,y0 )
P(x0 ,y0 )
∵ −4 − 0 = −4 − 0 2 + 4 −4 − 0 + 6 = 20 + 40 + 6,
而0 = 0 =
分析 先将不等式变形成 1 > 2 的形式, 再利用函数 的单调性
去掉 “f ”, 得到1和2的大小关系, 即关于 m的不等式.
例 4 设函数 定义域为 −2,2 , 且在区间 0,2 上为减函数.
(1) 若 为奇函数, 且 + − 1 > 0, 则实数 m的范围为_______;
高一数学人教A版必修1课件1321函数的奇偶性
总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化 为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导， 求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：
人教版高中数学必修1《奇偶性》PPT课件
• (二)基本知能小试
• 1．判断正误：
•(1)f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是
偶函数．
()
•(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数
y＝f(x)一定是奇函数．
()
•(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函 数就是偶函数．( )
()
•A．－1
B．0
•C．1
D．无法确定
• 解析：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a ＝1.
•答案：C
• 4．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1， 则当x<0时，f(x)＝________.
• 解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝－ f(x)，所以f(x)＝－x
又 f(0)＝0，所以 f(x)＝x－1x＋x－x，1，x≥x0<，0.
• 3．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x， 求函数f(x)，g(x)的解析式．
• 解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
• ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
• 由f(x)＋g(x)＝2x＋x2，
• [方法技巧]
• 比较大小的求解策略
• (1)若自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性 比较大小．
• 3．2.2 奇偶性
明确目标
发展素养
1.理解奇函数、偶函数的定义，了解 1.借助奇(偶)函数的特征，培养直
奇函数、偶函数图象的特征．
观想象素养．
2.掌握判断函数奇偶性的方法，会根 2.借助函数奇偶性的判断方法，
高中数学人教B版 必修第一册 函数的奇偶性 课件
1 = + 3 + 5
3 =+1
2 = 2 + 1
4 = 2 , ∈ [−1,3]
【解析】 (1)定义域：R
− = − + −
3
+ (−)5
= − + 3 + 5 = −()
所以该函数为奇函数.
(2) 非奇非偶函数 ( − 与()即不相等也不为相反数)
x
O
x
1、对定义域中的每一个
x，-x是也在定义域内；
2、都有f(x)=f(-x)
新课
1.偶函数的定义
如果对于函数f(x)的定义域为A.如果对任意的x∈A，都有
f(-x)= f(x)，
那么称函数y=f(x)是偶函数.
新课
偶函数的判定：
（1）下列说法是否正确，为什么？
① 若f (－2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数．
∴ 3 < (1)
课堂小结
1. 定义：如果对于函数f(x)的定义域为A.如果对任意的x∈A，
都有 f(-x)= f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数.
如果对于函数f(x)的定义域为A.如果对任意的x∈A，
都有f(-x)= -f(x)，那么称函数y=f(x)是奇函数.
2. 性质： ①偶函数的定义域关于原点对称图象关于y轴对称;
0
x
0
x
0
x
新课
2、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即
① 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.
② 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.
3、奇、偶函数性质：
①偶函数的定义域关于原点对称图象关于y轴对称;
3 =+1
2 = 2 + 1
4 = 2 , ∈ [−1,3]
【解析】 (1)定义域：R
− = − + −
3
+ (−)5
= − + 3 + 5 = −()
所以该函数为奇函数.
(2) 非奇非偶函数 ( − 与()即不相等也不为相反数)
x
O
x
1、对定义域中的每一个
x，-x是也在定义域内；
2、都有f(x)=f(-x)
新课
1.偶函数的定义
如果对于函数f(x)的定义域为A.如果对任意的x∈A，都有
f(-x)= f(x)，
那么称函数y=f(x)是偶函数.
新课
偶函数的判定：
（1）下列说法是否正确，为什么？
① 若f (－2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数．
∴ 3 < (1)
课堂小结
1. 定义：如果对于函数f(x)的定义域为A.如果对任意的x∈A，
都有 f(-x)= f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数.
如果对于函数f(x)的定义域为A.如果对任意的x∈A，
都有f(-x)= -f(x)，那么称函数y=f(x)是奇函数.
2. 性质： ①偶函数的定义域关于原点对称图象关于y轴对称;
0
x
0
x
0
x
新课
2、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即
① 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.
② 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.
3、奇、偶函数性质：
①偶函数的定义域关于原点对称图象关于y轴对称;
高中数学人教A版 必修1《3.2.2函数的奇偶性》课件（16张PPT）
一看
二找
三判断
看定义域 是否关于 原点对称
找 f x与
f x的
下结
关系
论
函数奇偶性的判断
变式训练1 判断下列函数的奇偶性：——定义法
（1）f x 4 x2 （2）f x x2x 1
x 1
（3）f x 0
按照奇偶性将函数分类为：
①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④既奇又偶函数
函数奇偶性的判断 ——图象直观感知
利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以 及复合函数的奇偶性判断.
f x
偶
偶
奇
奇
gx
偶
奇
奇
偶
f x gx
f x gx
f x gx
f g(x)
研究题 借助几何画板绘制大量函数图象并归纳函数的单调
性与函数的奇偶性的关系。来自f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)
不同点
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
补充：奇偶性是函数在其定义域上的整体性质
函数奇偶性的判断
例6 判断下列函数的奇偶性： ——定义法
（1）f x x4
偶函数 （2） f x x5 奇函数
（3）f x x 1
x
奇函数
（4）
f
x
1 x2
偶函数
归纳： 根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
f x x2
…
9
4
1
0
14
…
9
gx 2 | x | … -1
0
1
2
1
0
…
-1
f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1
几何画板
当自变量取一对相反数时， 相应的两个函数值相等
高一数学人必修一课件时函数奇偶性的定义与判定
06
函数奇偶性的深入理解
奇偶性与函数周期性的关系
奇偶性是函数周期性的一种特 殊表现
奇偶性函数必定有周期性，但 周期性函数不一定有奇偶性
奇偶性函数周期性的判断可以 通过观察函数的图像或解析式 来实现
奇偶性函数周期性的应用在解 决实际问题中具有重要意义， 如信号处理、控制系统设计等
奇偶性与函数单调性的关系
反函数法：通过反函数判断其奇偶 性
图像法：通过观察函数图像判断其 奇偶性
02
复合函数法：通过复合函数判断其 奇偶性
04
特殊值法：通过特殊值判断其奇偶 性
06
04
函数奇偶性的性质
奇偶性对函数图像的影响
奇函数：关于原点对称，图像关于y轴对称 偶函数：关于y轴对称，图像关于x轴对称 非奇非偶函数：既不关于原点对称，也不关于y轴对称 奇偶性对函数图像的影响：决定了函数图像的对称性和周期性
奇偶性对函数值的影响
奇函数：f(-x)=-f(x)，函数值关于原点对称
偶函数：f(-x)=f(x)，函数值关于y轴对称
非奇非偶函数：既不是奇函数也不是偶函数 奇偶性对函数图像的影响：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关 于y轴对称，非奇非偶函数的图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。
奇偶性对函数运算的影响
函数奇偶性的定义 与判定
汇报人：
目录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 函 数 奇 偶 性 的 定 义 03 函 数 奇 偶 性 的 判 定 方 法 04 函 数 奇 偶 性 的 性 质 05 函 数 奇 偶 性 的 应 用 06 函 数 奇 偶 性 的 深 入 理 解
01
添加章节标题
在解决实际问题中的应用
3.2.2函数的奇偶性-高一数学课件(人教A版必修第一册)
且对任意的x∈[-7,-5],-x∈[5,7],由题意可得6= f(5) ≤ f(-x) ≤ f(7)
则6= f(-5) ≤ f(x) ≤ f(7)
因此，f(x) 在[-7,-5]上是减函数，最小值是6
方法小结
• 偶函数 y 轴两侧的函数单调性相反；
• 奇函数原点两侧的函数单调性相同；
题型三 利用奇偶性和单调性比较大小
则f(x)在[-7,-5]上是( C )
A.增函数，最大值是6
B.增函数，最小值是6
C.减函数，最小值是6
D.减函数，最大值是6
解析：任取x1、x2∈[-7,-5]且 x1<x2，即-7≤ x1< x2≤-5，则5≤-x2<-x1≤7，
由题意可得 f(-x2) < f(-x1)，由偶函数的性质可得 f(x1) > f(x2)，
题型二 奇偶性的应用
例2 已知函数 f(x)=x5-ax3+bx+2，f(-5)=17，则f(5)的
-13
值是________
解析：∵g(x)=x5-ax3+bx是奇函数,
∴g(-x)=-g(x),
∵f(-5)=17=g(-5)+2,
∴g(5)=-15,
∴f(5)=g(5)+2=-15+2=-13
x(x-1)
当x>0时，f(x)=________
解析：当x>0时，-x<0，
所以f(-x)=-x(-x+1)=x(x-1)，
因为f(x)是偶函数，
所以当x>0时，f(x)=f(-x)=x(x-1)
题型一 利用函数奇偶性求解析式
例1(2) 已知f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，
则6= f(-5) ≤ f(x) ≤ f(7)
因此，f(x) 在[-7,-5]上是减函数，最小值是6
方法小结
• 偶函数 y 轴两侧的函数单调性相反；
• 奇函数原点两侧的函数单调性相同；
题型三 利用奇偶性和单调性比较大小
则f(x)在[-7,-5]上是( C )
A.增函数，最大值是6
B.增函数，最小值是6
C.减函数，最小值是6
D.减函数，最大值是6
解析：任取x1、x2∈[-7,-5]且 x1<x2，即-7≤ x1< x2≤-5，则5≤-x2<-x1≤7，
由题意可得 f(-x2) < f(-x1)，由偶函数的性质可得 f(x1) > f(x2)，
题型二 奇偶性的应用
例2 已知函数 f(x)=x5-ax3+bx+2，f(-5)=17，则f(5)的
-13
值是________
解析：∵g(x)=x5-ax3+bx是奇函数,
∴g(-x)=-g(x),
∵f(-5)=17=g(-5)+2,
∴g(5)=-15,
∴f(5)=g(5)+2=-15+2=-13
x(x-1)
当x>0时，f(x)=________
解析：当x>0时，-x<0，
所以f(-x)=-x(-x+1)=x(x-1)，
因为f(x)是偶函数，
所以当x>0时，f(x)=f(-x)=x(x-1)
题型一 利用函数奇偶性求解析式
例1(2) 已知f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，
高中数学必修一教学课件函数的奇偶性 (共17张PPT)
点 A 关于 y 轴的对称点A1 的坐标是 ( x0 , f ( x0 ))
点 A1 在函数 y f ( x) 图像上吗？ 点 A1 坐标还可以表示为 ( x0 , f ( x0 ))
A1
0
A( x0 , y0 )
y f ( x)
f (-x)= f (x) 对于定义域内的任意实数x，都有 f (-x)= f (x)，这样的函数称为偶函数。
三、判断下列函数的奇偶性 例1 ：f ( x) x4 3x2
解 :Q 函数定义域为R，关于原点对称。 又 Q f ( x) ( x)4 3( x)2 x 4 3x 2 f ( x)
f ( x)是偶函数。
2 (1) f ( x ) x , x [3, 2) 例2.
A1
0
A( x0 , y0 ) 探究：如何用数学语言刻画
函数图像关于y轴对称呢？
点 A 关于 y 轴的对称点A1 的坐标是 ( x0 , f ( x0 ))
点 A1 在函数 y f ( x) 图像上吗？
y f ( x)
A1
0
A( x0 , y0 ) 探究：如何用数学语言刻画
函数图像关于y轴对称呢？
解: 函数的定义域是[3, 2)， 不关于原点对称。
f ( x)是非奇非偶函数。
判断函数奇偶性的步骤：
(1)先求定义域，看是否关于f (-x)= f (x)，则函数称为偶函数。 若f (-x)=- f (x)，则函数称为奇函数。
四、归纳小结 1.两个定义
A1
点 A 关于原点对称的坐标 A1 是 ( x0 , f ( x0 )) 点 A1 在函数 y f ( x) 图像上吗？ 点 A1 坐标还可以表示为 ( x0 , f ( x0 ))
高一上学期数学人教A版必修第一册3.2.2函数的奇偶性课件
例：奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数 f(x)的增区间为________，f(x)<0的解集为________
练习：如图，已知偶函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}， 且 f(3)＝0，则不等式 f(x)＜0 的解集为________．
变式：已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区
对于
，有
对于
，有
偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I， 且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
思考：对于定义在R上的函数f(x)，若f(－3)＝f(3)，
那么这个函数是偶函数吗？
偶函数
图像关于y轴对称
代数特征 几何特征
定义中，
的常见变形有：
视察函数
和函数
的图像，你能发现这两
3
总结提炼：
谢谢
总结提炼：
练习：定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间 [0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等 式中成立的有________．(填序号) ①f(a)>f(－b)； ②f(－a)>f(b)； ③g(a)>g(－b)； ④g(－a)<g(b)；⑤g(－a)>f(－a)．
间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则
xf(x)<0的解集为________．
总结提炼：
例：(1)已知函数y=f(x)是定义在（-1,1)的奇函数，且是 减函数，则不等式f(1-x)+f(1-3x)<0的解集为 _________
(2)已知偶函数f(x)在区间(0,+)上单调递增， 则满足f(2x-1)<f( 1 )的x取值范围是________
北师大版高中数学必修1第二章4.1函数的奇偶性课件PPT
3
∵函数 = − 定义域为 = ≠ 0 ，
且对任意 ∈ ，
3
3
3
3
有 − = −
= ， − = − − = .
−
∴ − = − ，所以函数为奇函数.
2
+ 1.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
练习1：画出下列函数的图象，并判断其奇偶性：
3
1
(1) = − ;
则有 = .
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
二、偶函数的概念
偶函数的概念：
设函数 = 的定义域，如果对任意的 ∈ ，有− ∈ ，
且 − = ()，那么就称函数 = 为偶函数.偶函数的图象
关于轴对称，反之亦然.
例如：证明函数 = 2 为奇函数.
−, > 等.
例如：函数 = 3 −1 < < 2 不是奇函数.
函数 = 2 −1 < ≤ 1 不是偶函数.
函数 = 0既是奇函数又是是奇函数.
函数 = 1是偶函数.
函数 = 3 0 ≤ ≤ 0 既是奇函数又是是奇函数.
注意：在研究函数时，如果知道它是奇函数或偶函数，就可以先研
∴ − ≠ − ， − ≠ ，
所以函数既不是奇函数也不是偶函数.
2
+ 1.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考交流：利用定义判断函数的奇偶性
思考1：根据定义，判断下列函数的奇偶性：
2 +1+−1
2 + , ≤ 0
(1) = ቊ 2
(2) = 2
有 − = −2 −
∵函数 = − 定义域为 = ≠ 0 ，
且对任意 ∈ ，
3
3
3
3
有 − = −
= ， − = − − = .
−
∴ − = − ，所以函数为奇函数.
2
+ 1.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
练习1：画出下列函数的图象，并判断其奇偶性：
3
1
(1) = − ;
则有 = .
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
二、偶函数的概念
偶函数的概念：
设函数 = 的定义域，如果对任意的 ∈ ，有− ∈ ，
且 − = ()，那么就称函数 = 为偶函数.偶函数的图象
关于轴对称，反之亦然.
例如：证明函数 = 2 为奇函数.
−, > 等.
例如：函数 = 3 −1 < < 2 不是奇函数.
函数 = 2 −1 < ≤ 1 不是偶函数.
函数 = 0既是奇函数又是是奇函数.
函数 = 1是偶函数.
函数 = 3 0 ≤ ≤ 0 既是奇函数又是是奇函数.
注意：在研究函数时，如果知道它是奇函数或偶函数，就可以先研
∴ − ≠ − ， − ≠ ，
所以函数既不是奇函数也不是偶函数.
2
+ 1.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考交流：利用定义判断函数的奇偶性
思考1：根据定义，判断下列函数的奇偶性：
2 +1+−1
2 + , ≤ 0
(1) = ቊ 2
(2) = 2
有 − = −2 −
高中数学必修一课件：奇偶性(第1课时)
(3)∵定义域为[－1，2]且定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数． (4)f(x)＝x2＋x＋1的定义域为R，∀x∈R都有－x∈R且f(－x)＝x2－x＋1， ∴f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)． ∴f(x)为非奇非偶函数．
(5)由x2－1≠0，得x≠±1，
∴f(x)＝
1 x2－1
【分析】 讨论函数的奇偶性首先要确定函数的定义域，如果定义域不关 于原点对称，那么可判定为非奇非偶函数，如果定义域关于原点对称，那么看 f(－x)＝±f(x)(或f(－x)±f(x)＝0)是否成立．
【解析】 (1)f(x)的定义域为R，∀x∈R，都有－x∈R，
且f(－x)＝－x5－x3－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)如图2是偶函数y＝f(x)的部分图象，比较f(1)与f(3)的大小的结果为 __f(_3)_>_f(_1)__．
【解析】 ∵偶函数f(x)满足f(－3)>f(－1)， ∴f(3)>f(1)．
(3)已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所
有实根之和是( D )
课后巩固
1．函数f(x)＝x2＋ x的奇偶性为( D )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析 定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称．
2．【多选题】下列函数中是偶函数的是( AD )
A．y＝x4－3
B．y＝x2，x∈(－3，3]
C．y＝－x－3x
D．y＝x2－1 1
3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)( B )
探究2 (1)如果函数图象经过原点，那么此函数不论是奇函数还是偶函数， 其图象与x轴的交点个数必为奇数．如果函数图象不经过原点，那么此函数不论 是奇函数还是偶函数，其函数图象与x轴的交点个数必为偶数．
(5)由x2－1≠0，得x≠±1，
∴f(x)＝
1 x2－1
【分析】 讨论函数的奇偶性首先要确定函数的定义域，如果定义域不关 于原点对称，那么可判定为非奇非偶函数，如果定义域关于原点对称，那么看 f(－x)＝±f(x)(或f(－x)±f(x)＝0)是否成立．
【解析】 (1)f(x)的定义域为R，∀x∈R，都有－x∈R，
且f(－x)＝－x5－x3－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)如图2是偶函数y＝f(x)的部分图象，比较f(1)与f(3)的大小的结果为 __f(_3)_>_f(_1)__．
【解析】 ∵偶函数f(x)满足f(－3)>f(－1)， ∴f(3)>f(1)．
(3)已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所
有实根之和是( D )
课后巩固
1．函数f(x)＝x2＋ x的奇偶性为( D )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析 定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称．
2．【多选题】下列函数中是偶函数的是( AD )
A．y＝x4－3
B．y＝x2，x∈(－3，3]
C．y＝－x－3x
D．y＝x2－1 1
3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)( B )
探究2 (1)如果函数图象经过原点，那么此函数不论是奇函数还是偶函数， 其图象与x轴的交点个数必为奇数．如果函数图象不经过原点，那么此函数不论 是奇函数还是偶函数，其函数图象与x轴的交点个数必为偶数．
高中数学必修第一册人教A版《3.2函数的奇偶性---奇偶性的应用》名师课件
定义域关于原点对称
如果函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对
称图形；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.
如果函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心
的中心对称图形；若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数.
人教A版同步教材名师课件
函数的奇偶性
---函数奇偶性的应用
探究新知
; ()()
−
= − ||; ()() =
−
.
|+|−
思路
分析
本题考查利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性.解题的关键是确定函数的定
义域是否关于原点对称，然后化简函数解析式，验证()与 − 的关系.
解析
(1)∵函数()的定义域是{| ≠ 1}，关于原点不对称，
解析
(1)函数的定义域为{| ≠ 0} ，关于原点对称，对于定义域内的每一个都有(−) =
1
1
3
3
− − = − − = −()，从而函数()为奇函数.
−
(2) 函 数 的 定 义 域 为 R ， 关 于 原 点 对 称 ， 对 于 定 义 域 内 的 每 一 个 都 有 − =
的图象,有什么共同特征么？
两个函数图象都关于原点成中心对称图形.
探究新知
奇函数
一般地，设函数()的定义域为 ，如果∀ ∈ ，都有
− ∈ ，且 − = −()，那么函数()就叫做奇函数
(odd function).
典例讲解
例1.判断下列函数的奇偶性：
()() =
∴()既不是奇函数也不是偶函数.
(2) ∵函数()的定义域是R，关于坐标原点对称.
3.2.2函数的奇偶性(课件)高一数学(湘教版2019必修第一册)
1
. ( ， + ∞)
2
答案：.
1
. (−∞， )
2
).
1
. ( ，2)
2
1
. [−2， )
2
课堂小结&作业
小结：
1.偶函数、奇函数的定义及其几何意义；
2.判断奇偶函数的思路；
3.各题型的注意事项.
作业：
1.课本P83的1、2、3题；
2.课本P84的习题3.2的4、5、6、7、11、12、13题.
2
3
. (2) < (− ) < (−1)
2
3
. (2) < (−1) < (− )
2
3
. (−1) < (− ) < (2)
2
解：据题意得： () 为偶函数，且在区间 （ − ∞， − 1] 上是增函数.
∴(2) = (−2) .
3
又∵−2 < − < −1
2
∴(−2) <
∵()为上的偶函数
∴当 > 0时，() = (−) = ( + 1).
练习
方法技巧：
利用函数奇偶性求分段函数的解析式
(1)定义域：根据已知定义域(正或负)的解析式，写出另一边的解析式.
(2)写成分段函数的形式，通常不会出现 = 0，如果出现也需要特殊说明.
练习
变3.已知函数()是上的奇函数，且当 ∈ （0， + ∞）时，() =
同理可证：奇函数就是满足条件(−) = −()的函数.
上面的讨论概括如下：
(1)如果对一切使 () 有定义的 ， (−) 也有定义，并且 (−) = ()成立，
则称()为偶函数；
. ( ， + ∞)
2
答案：.
1
. (−∞， )
2
).
1
. ( ，2)
2
1
. [−2， )
2
课堂小结&作业
小结：
1.偶函数、奇函数的定义及其几何意义；
2.判断奇偶函数的思路；
3.各题型的注意事项.
作业：
1.课本P83的1、2、3题；
2.课本P84的习题3.2的4、5、6、7、11、12、13题.
2
3
. (2) < (− ) < (−1)
2
3
. (2) < (−1) < (− )
2
3
. (−1) < (− ) < (2)
2
解：据题意得： () 为偶函数，且在区间 （ − ∞， − 1] 上是增函数.
∴(2) = (−2) .
3
又∵−2 < − < −1
2
∴(−2) <
∵()为上的偶函数
∴当 > 0时，() = (−) = ( + 1).
练习
方法技巧：
利用函数奇偶性求分段函数的解析式
(1)定义域：根据已知定义域(正或负)的解析式，写出另一边的解析式.
(2)写成分段函数的形式，通常不会出现 = 0，如果出现也需要特殊说明.
练习
变3.已知函数()是上的奇函数，且当 ∈ （0， + ∞）时，() =
同理可证：奇函数就是满足条件(−) = −()的函数.
上面的讨论概括如下：
(1)如果对一切使 () 有定义的 ， (−) 也有定义，并且 (−) = ()成立，
则称()为偶函数；
高一数学人教版必修一函数的奇偶性 PPT课件 图文
猜想： f(x)f(x)
x ..3.2 1 0 1 2 3..
... f (x) x2
941
0
14
9..
偶函数的定义
一般地，如果对函数 f (x) 的定义域内任意一个 x, 都有f (x) f (x)， 那么函数 f (x)就叫偶函数 .
类比&探究
f(1)f(1) f(2)f(2) f(3)f(3)
1.3.2函数的奇偶性
必修1（人教版）
故宫
女子跳水10米跳台决赛，正反跳映衬对称美
数学&生活
生活中的对称美引入我们的数学领 域中，它又是怎样的情况呢？
请同学们观察下列函数图形，说出 他们各有怎样的对称性？
问题与思考
以上函数图像有什么共同特征呢？ 哈哈，我来回答
以上函数图像都关于y轴对称
把图像关于y轴对称函数称为偶函数
问题与思考
以上函数图像有什么共同特征 呢？
以上函数图像都关于原点对称
把图像关于原点对称函数称为奇函数
根据下列函数图象,判断其奇偶性.
y
y
o
奇函数
x
o
x 偶函数
y
b
oLeabharlann x 偶函数yo
x 奇函数
观察 & 发现
f(1)1f(1)
f(2)4f(2)
f( 3)9f(3) ……
2.两个性质:
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。 一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称。
3. 判断函数奇偶性的方法和步骤
我来总结
判断函数的奇偶性，注意定 义域优先
1.
课堂小结
f ( x )是 函数f (x)的图像 对函数 f (x)的定义
5.2.1 函数的奇偶性(课件)高一数学(沪教版2020必修第一册)
f(x)+g(x) f(x)-g(x) 偶函数 偶函数
不能确定奇偶性 奇函数 奇函数
f(x)g(x) 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数
题型总结
题型一 奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(2)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2；
【解】 (1)因为 x∈R， 所以－x∈R，又因为 f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|) ＝－f(x)， 所以 f(x)为奇函数. (2)因为函数 f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且 f(x)＝0， 所以 f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数.
综上，f
(x
)＝
－x2＋2x，x≥0， －x2－2x，x<0.
11.已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且当 x≥0 时，f(x)＝－x2＋2x. (1)求出函数 f(x)在 R 上的解析式； (2)画出函数 f(x)的图象； (3)根据图象，写出函数 f(x)的值域.
(2)函数 f(x)的图象如图所示：
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合. 解:(2)由图象知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
题型三 利用奇偶性求参数
例3 若函数 f(x)＝ax2＋bx ＋3a＋b 是偶函数，且定义域为 [a－ 1，2a]，则 a
＝
，b＝
.
因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a－1＝－2a，解得 a＝13. 又函数 f(x)＝1x2＋bx＋b＋1 为二次函数，结合偶函数图象的特点，
，
f(0)＝
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[来源:学科网ZXXK]
• 由函数的奇偶性可将函数分成哪几类？ • 练习：P36 1、2
• 小结：奇偶函数的概念及图象的特征；函 数奇偶性的判定；由奇偶性将函数分类。
科网ZXXK][来源:学来自• 作业：P39 A组 6
B组3
•谢谢！
• 让学生盖住答案完成例5，并与解答对照。 • 问：1、例题的解答为什么都要给出函数的 定义域；这些定义域有什么共同特点？ • 2、如何判断一个函数的奇偶性。
x
• • • •
例：判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)=5 （2）f(x)= -x （3）f(x)＝3x－1 （4）f(x)＝x2—2x—1 (5) ）f(x)=0
函数的奇偶性
光泽一中高一数学组：程子荣
• 1、什么函数叫偶函数；请大家找定义中的 关键词； • 2、偶函数的图象有什么明显特征； • 3、奇函数呢？
[来源:]
• 与学生共同完成P35思考题 • （1）判断函数f(x)=x3+x的奇偶性。 • （2）如果图1.3-10是函数f(x)=x3+x图象的一部 分，请根据f(x)d的奇偶性画出它在y轴左边的图 象。
• 由函数的奇偶性可将函数分成哪几类？ • 练习：P36 1、2
• 小结：奇偶函数的概念及图象的特征；函 数奇偶性的判定；由奇偶性将函数分类。
科网ZXXK][来源:学来自• 作业：P39 A组 6
B组3
•谢谢！
• 让学生盖住答案完成例5，并与解答对照。 • 问：1、例题的解答为什么都要给出函数的 定义域；这些定义域有什么共同特点？ • 2、如何判断一个函数的奇偶性。
x
• • • •
例：判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)=5 （2）f(x)= -x （3）f(x)＝3x－1 （4）f(x)＝x2—2x—1 (5) ）f(x)=0
函数的奇偶性
光泽一中高一数学组：程子荣
• 1、什么函数叫偶函数；请大家找定义中的 关键词； • 2、偶函数的图象有什么明显特征； • 3、奇函数呢？
[来源:]
• 与学生共同完成P35思考题 • （1）判断函数f(x)=x3+x的奇偶性。 • （2）如果图1.3-10是函数f(x)=x3+x图象的一部 分，请根据f(x)d的奇偶性画出它在y轴左边的图 象。