3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

复数代数形式的四则运算

3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

预习课本P107～108，思考并完成下列问题

(1)复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？

(2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？

1．复数的加、减法法则

设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)， 则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ， z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 2．复数加法运算律

设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1， (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 3．复数加、减法的几何意义

设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→

为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→

的终点并指向OZ 1――→

的向量所对应的复数．

[点睛] 对复数加、减法几何意义的理解

它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处

理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )

(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )

(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×

2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2等于( ) A ．8i B ．6 C ．6＋8i D ．6－8i

答案：B

3．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( ) A ．0 B ．2i C ．6 D ．6－2i

答案：D

4．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA ――→和OB ――→

，其中O 为坐标原点，则|AB ――→

|等于( )

A. 2 B ．2 C.10 D ．4

答案：B

[典例] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.

(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.

[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.

(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，

所以⎩⎪⎨⎪⎧

5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，

解得x ＝1，y ＝0，

所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，

所以|z 1＋z 2|＝ 2. [答案] (1)－2－i (2) 2

复数代数形式的加、减法运算技巧

(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．

(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．

(3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．

[活学活用]

已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.

解析：由条件知z 1＋z 2＝a 2

－2a －3＋(a 2

－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧

a 2－2a －3＝0，

a 2

－1≠0，

解得a ＝3.

答案：3

复数加减运算的几何意义

[典例]

表示0,3+2i ，-2+4i.求：

(1) AO ――→

表示的复数； (2)对角线CA ――→

表示的复数； (3)对角线OB ――→

表示的复数．

[解] (1)因为AO ――→＝－OA ――→，所以AO ――→

表示的复数为－3－2i.

(2)因为CA ――→＝OA ――→－－OC ――→，所以对角线CA ――→

表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.

(3)因为对角线OB ――→＝OA ――→＋OC ――→，所以对角线OB ――→

表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.

复数与向量的对应关系的两个关注点

(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)是与以原点为起点，Z (a ，b )为终点的向量一一对应的． (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．

[活学活用]

复平面内三点A ，B ，C ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA ――→

对应的复数为1＋2i ，向量BC ――→

对应的复数为3－i ，求点C 对应的复数．

解：∵BA ――→对应的复数为1＋2i ，BC ――→

对应的复数为3－i. ∴AC ――→＝BC ――→－BA ――→

对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又∵OC ――→＝OA ――→＋AC ――→，

∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.

[典例] ) A ．1 B.12 C ．2

D. 5

(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．

[解析] (1)设复数-i ，i ，-1-i 在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3， 因为|z+i|+|z-i|=2，

|Z1Z2|=2，所以点Z 的集合为线段Z1Z2.

问题转化为：动点Z 在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|=1. 所以|z+i+1|min=1. [答案] A

(2)解：如图所示， |OM ――→

|＝(－3)2＋(－1)2＝2. 所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.

[一题多变]

1．[变条件、变设问]若本例题(2)条件改为已知|z |＝1且z ∈C ，求|z －2－2i|(i 为虚数单