最新整理《数学分析续论》模拟试题一.doc
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《 数学分析续论 》模拟试题(一)
一、 单项选择题(56⨯')
(1)设
{}n a 为单调数列,若存在一收敛子列
{}j
n a ,这时
有 ............[ ]
A.j n j n n a a ∞
→∞
→=lim lim ; B.{}
n a 不一定收敛; C.{}
n a 不一定有界; D.当且仅当预先假设了{}
n a 为有界数列时,才有A成立. (
2
)
设
)
(x f 在
R 上为一连续函数,则
有 ..............................[ ]
A.当I 为开区间时)(I f 必为开区间; B.当)(I f 为闭区间时I 必为闭区间;
C.当)(I f 为开区间时I 必为开区间; D.以上A、B、C都不一定成立. (3)设
)
(x f 在某去心邻域
)
(0x U 内可导.这时
有 .....................[ ]
A.若A x f x x ='→)(lim 0
存在,则A x f =')(0;B.若f 在0x 连续,则A 成
立;
C.若A x f =')(0存在,则A x f x x ='→)(lim 0
;D.以上A、B、C都不一定成
立. (
4
)
设
)
(x f 在
]
,[b a 上可积,则
有 ..................................[ ]
A.)(x f 在],[b a 上必定连续; B.)(x f 在],[b a 上至多只有有限个间断点;
C.)(x f 的间断点不能处处稠密; D.)(x f 在],[b a 上的连续点必定处处稠密. (
5
)
设
∑∞
=1
n n
u 为一正项级数.这时
有 ..................................[ ]
A.若0lim =∞
→n n u ,则
∑∞
=1
n n
u 收敛; B.若
∑∞
=1
n n
u 收敛,则
1lim
1
<+∞→n n n u u ;
C .若 ∑∞
=1n n u 收敛,则1lim
<∞
→n
n n u ; D.以上A、B、C都不一定成立.
二、计算题(401⨯')
(1)试求下列极限:
①⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-+++∞→n n n n 3)12(31lim ; ② ⎰⎰⎪⎭
⎫
⎝⎛∞+→x
t x t x t
t 022
02
2lim d e
d e .
(2)设
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=+x y u f u y x u y x arctan e )(,21,220. 试求)()(0u f u f ''与. (3)试求由曲线 12-=x y ,直线2=x ,以及二坐标轴所围曲
边梯形的面积 S .
(4)用条件极值方法(Lagrange 乘数法)导出从固定点),(00y x 到直线
0=++C y B x A 的距离计算公式.
三、证明题(301⨯')
(1)设)()(x g x f 与在],[b a 上都连续.试证:若
)()(,)()(b g b f a g a f ><,
则必存在),(0b a x ∈,满足)()(00x g x f =.
(2)证明x x x f ln )(=在其定义域上为一严格凸函数,并导出不等式:
c b a c
b a
c b a c b a <⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++++3, 其中 c b a ,,均为正数.( 提示:利用詹森不等式.)
(3) 证明:
∑
∞
=π
=
+-0
4
12)1(n n n .
解 答
一、[答](1)A; (2)C; (3)B; (4)D; (5)D.
二、[解] (1) ① 333lim 3)12(31lim -=+-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-+++∞→∞→n n n n n n n ;
②
.
022lim
d 2lim
d 2lim
d e
d e lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2020
22
0====⎪⎭
⎫
⎝⎛∞
+→∞
+→∞
+→∞
+→⎰⎰⎰⎰x x x x x t x x
x
t x x x
t x
t x x t t
t
t e
e e
e e e e
(2) ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-='⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡++-='++5
15
2
42)(,e 2e 2)(5
5
022222222e e u f y x x
y x y y x u f y x y x .
(3)所围曲边梯形如右图所示.其面积为