最新整理《数学分析续论》模拟试题一.doc

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《 数学分析续论 》模拟试题(一)

一、 单项选择题(56⨯')

(1)设

{}n a 为单调数列,若存在一收敛子列

{}j

n a ,这时

有 ............[ ]

A.j n j n n a a ∞

→∞

→=lim lim ; B.{}

n a 不一定收敛; C.{}

n a 不一定有界; D.当且仅当预先假设了{}

n a 为有界数列时,才有A成立. (

)

(x f 在

R 上为一连续函数,则

有 ..............................[ ]

A.当I 为开区间时)(I f 必为开区间; B.当)(I f 为闭区间时I 必为闭区间;

C.当)(I f 为开区间时I 必为开区间; D.以上A、B、C都不一定成立. (3)设

)

(x f 在某去心邻域

)

(0x U 内可导.这时

有 .....................[ ]

A.若A x f x x ='→)(lim 0

存在,则A x f =')(0;B.若f 在0x 连续,则A 成

立;

C.若A x f =')(0存在,则A x f x x ='→)(lim 0

;D.以上A、B、C都不一定成

立. (

)

(x f 在

]

,[b a 上可积,则

有 ..................................[ ]

A.)(x f 在],[b a 上必定连续; B.)(x f 在],[b a 上至多只有有限个间断点;

C.)(x f 的间断点不能处处稠密; D.)(x f 在],[b a 上的连续点必定处处稠密. (

∑∞

=1

n n

u 为一正项级数.这时

有 ..................................[ ]

A.若0lim =∞

→n n u ,则

∑∞

=1

n n

u 收敛; B.若

∑∞

=1

n n

u 收敛,则

1lim

1

<+∞→n n n u u ;

C .若 ∑∞

=1n n u 收敛,则1lim

<∞

→n

n n u ; D.以上A、B、C都不一定成立.

二、计算题(401⨯')

(1)试求下列极限:

①⎪⎭

⎝⎛-+-+++∞→n n n n 3)12(31lim ; ② ⎰⎰⎪⎭

⎝⎛∞+→x

t x t x t

t 022

02

2lim d e

d e .

(2)设

⎥⎥

⎥⎦

⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=

⎥⎦

⎢⎣⎡=+x y u f u y x u y x arctan e )(,21,220. 试求)()(0u f u f ''与. (3)试求由曲线 12-=x y ,直线2=x ,以及二坐标轴所围曲

边梯形的面积 S .

(4)用条件极值方法(Lagrange 乘数法)导出从固定点),(00y x 到直线

0=++C y B x A 的距离计算公式.

三、证明题(301⨯')

(1)设)()(x g x f 与在],[b a 上都连续.试证:若

)()(,)()(b g b f a g a f ><,

则必存在),(0b a x ∈,满足)()(00x g x f =.

(2)证明x x x f ln )(=在其定义域上为一严格凸函数,并导出不等式:

c b a c

b a

c b a c b a <⎪

⎫ ⎝⎛++++3, 其中 c b a ,,均为正数.( 提示:利用詹森不等式.)

(3) 证明:

=

+-0

4

12)1(n n n .

解 答

一、[答](1)A; (2)C; (3)B; (4)D; (5)D.

二、[解] (1) ① 333lim 3)12(31lim -=+-=⎪⎭

⎝⎛-+-+++∞→∞→n n n n n n n ;

.

022lim

d 2lim

d 2lim

d e

d e lim

2

2

2

2

2

2

2

2

2020

22

0====⎪⎭

⎝⎛∞

+→∞

+→∞

+→∞

+→⎰⎰⎰⎰x x x x x t x x

x

t x x x

t x

t x x t t

t

t e

e e

e e e e

(2) ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-='⎥⎥⎥⎦

⎢⎢⎢

⎡++-='++5

15

2

42)(,e 2e 2)(5

5

022222222e e u f y x x

y x y y x u f y x y x .

(3)所围曲边梯形如右图所示.其面积为

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