板材优化下料的数学模型的研究
基于粒子群与模拟退火算法的板材优化下料
Ｂ Ｏ Ｑ－ｉ— ａ ＪＡ Ｇ Ｊ ｇ ｑｎ ＩＳ Ｎ ｈ － ｉ ＬＡ Ｇ Ｙ ｎ ｃｕ Ａ ｉｊ ｂ ｏ． Ｎ ｉ — ｉｇ，Ｏ Ｇ Ｃ ｕ ｙ１ Ｉ Ｎ ａ ～ ｈ ｎ ｎ Ｉ ｎ ，
１ 蒙古 民族 大学 数 学与计算机科学学院 ， 内 内蒙古 通辽 ０ ８４ ２０３
２吉林大 学 计算机科 学与技术 学院 ， ． 长春 １０ １ ３０２
Ｋｅ ｏ ｄ ：Ｐ ｒｃ ｗ ｒ ｐｉ ｚｔ ｎ Ｐ ０）ａ ｏｉ ｍ；ｉ １ｔ ｎ ｅｌ ｇ Ｓ ｙ ｗ ｒ ｓ ａｔｌ Ｓ ａｍ ０ ｔ ａ ｏ （ Ｓ ｉｅ ｍｉ ｉ １ ｒｈ Ｓｍｕａ ｄ Ａ ｎ ａ ｎ （Ａ）印ｐ０ｃｅ ；ｕｔ ｇ ｓ ｃ ｒｂｅ ｇ ｔ ｅ ｉ ｒａｈ ｓｃ ｔｎ ｔ ｋ ｐｏｌｍ ｉ ｏ
１ 引言
二维板材 下料问题可 以描 述为如何把事先 确定大 小的矩 形小块放置在大 的有 限的矩形板材上 。 或者说如何从大的矩形 板材 上切割出符 合要求 的小 的矩形块 。 非截断切割是不必从矩 形 的一条边直线切割到相对的边 。 板材 下料 问题 的 目标是最小 化 没有使 用的面积 。由于节省原材料和避免工业损失 的需要 ， 下料问题 已经成为玻璃 、 钢铁 、 木材 、 张和纺织 等工 业生产过 纸 程 中一个 非常 重要 的研究课题 。这个 问题属于混合优化 问题 ， 因此需要在所有可能解 中找到一个最优解 ， 该解 使得有一系列 约束的 目标 函数达到最优或准最优 。
板材数模论文(1)
数学建模〔一〕、装箱设计问题〔二〕、板材玻璃下料问题组员：日期：板材玻璃下料问题摘要该问题属于优化问题中的排样问题。
排样下料问题在很多工业领域中都有广泛的应用，解决好排样问题，可以提高材料的利用率。
本文解决的是玻璃板材的最优化下料策略，不同的下料策略形成不同的线性规划模型。
在充分理解题意的基础上，以使用原材料张数最少、材料利用率最高为目标，采用逐级优化的方法，进行下料方案的筛选。
在第一题中，对每块原材料进行两个层次的切割。
首先按照零件需求量选用由大面积到小面积下料的两个方向排料优选的下料策略，成品料的长在原材料的长和宽两个方向上分别排列，求出最优解；其次采用由大面积到小面积下料中成品料的长和宽在原材料的长、宽两个方向套裁排料优选，而对每次切割的余料按同种方法再进行一次切割。
算出所需原材料的块数和利用率，求出最正确下料方案。
按照原材料的利用率，筛选出最正确的下料方案为按照零件需求量，进行几种零件的配套优选下料方案，所选方案是原材料的长对成品的宽，所求需要原材料的块数为579，利用率为95.03%。
第二题的求解以第一题相似，当有两种规格的原材料时，在第一题的基础上，通过控制第一种规格原材料的基础上，来选取两种材料的最正确组合。
求得需要规格为2100cm×1650cm的原材料447块，需要规格为2000cm×1500cm的原材料146块，共计593块，利用率为%。
此模型可以推广到更多板材排样下料领域的应用，通过逐级优化和组合原理，确定各种切割方式，然后再进行优化问题的求解。
关键词：优化排样板材下料最优化一·问题重述在大型建筑工程中，需要大量使用玻璃材料，如门窗等。
在作材料预算时，需要求出原材料的张数。
已知板材玻璃原材料和下料后的成品料均为矩形。
由于玻璃材料特点，切割玻璃时，刀具只能走直线，且中间不能拐弯或停顿，即每切一刀均将玻璃板一分为二。
切割次序和方法的不同、各种规格搭配〔即下料策略〕不同，材料的消耗将不同。
一种可变规格板材下料的优化方法
和 板 材 利 用 率 相 关 ，卵 越 大 利 用 率 越 高 ，所 用 板
材 相对越 少 ，材料 成本 相对 越低 。
２ 优 化方法
可 变 规 格 板 材 下 料 一 般 流 程 如 图 １所 示 ，下
料 优化 需 要 确 定 使 用 何 种 板 材 、每 种 板 材 的 使 用
由于 该 类 组 合 优 化 问 题 属 于 ＮＰ 难 问题 ，不 一
存 在 多项 式 时 间 的算 法 ，但 遗 传 算 法 在 求 解 这 类
问题 上 效 果 突 出 。鉴 于 此 ，本 文 针 对 可 变 规 格板 材 下料 问题 ，以下 料方 案 对应 的 成本 最优 为 目标 ，
化 箱 子 的 序列 选 择 也 没 有协 调优 化 箱 子 之 间的 装 箱效果 。
率和 板 材 使 用 数 量 。本 文 以板 材 成本 统 一 考 虑 板 材 利 用 率 和 使 用数 量 。为 增 强 对板 材 使 用 数 量 的 控 制 ，引 进 板材 加 工 过 程 的 中 间成 本 。 中 间成 本
调 整 后 剩余 零 件 重 新 排 样 ，尺 个 零 件 加 入后 续 零 件序 列并 在后 续板 材上重 新排 样 。 如 果 调 整 效 果 不 优 ， 以 当前 调 整 结 果 为 基 础 进 一 步 调 整存 在 更 优 的可 能 性 ，可 以按 概 率 接 收
２１ 板 材 序列优 化 ＿
搜 索 合 适 零 件 对 可 能 存 在 的 孔 洞 空 域 加 以填 充 。 排 样 受 零 件 面 积 的 影 响 ，排 样 后 期 随 小 型零 件 的
减 少 ，孔 洞 空域 逐 步 增 加 。一 张 板 材 完全 排 满 后 再 排 放 下 一 张 会使 后续 板 材 利 用 率 逐 渐 降 低 。如 果 在 当前 限 制 某 些后 续 搜 索零 件 的 插 入 ，后 续 的 排样 效果 可 以趋于 更优 。
数学建模_板材成本控制问题
板材成本控制问题摘要排样下料问题在很多工业领域中都有广泛应用，解决好排样问题，可以提高材料的利用率，板材下料成本控制问题是经典的优化问题，本文解决的是在板材面积和长宽比以及用材面积给定的情况下，根据不同的用材规格要求，确定最大的用材数y与l的关系。
在充分理解题意的基础上，本文通过建立非线性规划模型，利用LINGO软件求解，选出最优下料方案。
问题一中有一种下料方案，建立非线性规划模型并利用LINGO软件求解得出，当l=1、n=25时，最大用材数y=25问题二中有三种下料方案，第一种方案将圆形看做正方形排样，最优结果同问题一；第二种方案用材在板材上横向排样，排样会出现三种情况；第三种方案用材在板材上纵向排样，同样会出现三种情况；每种情况都可以建立非线性规划模型确定最大用材数y与l的关系，再利用LINGGO软件求解。
问题三中因为矩形用材长宽比为2:1比较特殊，两块矩形用材拼一块儿课形成正方形，所以只有两种下料方案，第一种方案用材在板材上纵向排样，此种排样结果会有两种情况；第二种方案用材在板材上纵向排样，此种排样结果同样会有两种情况。
每种情况都可以建立非线性规划模型确定最大用材数y与l的关系，再利用LINGGO软件求解。
问题四排样方案同问题三，问题四中矩形用材的长宽比在1到2之间最优排样方案会比问题三多，由于求解过程繁琐只对问题三中的两种方案加以求解。
关键词：非线性规划分向排样奇偶排列图表分析目录一．问题重述 (2)二．符号说明 (2)三．问题分析 (2)问题一问题二问题三问题四四．模型假设 (8)五．模型建立与求解 (8)六．模型评价 (21)参考文献 (21)一．问题重述板材下料成本控制问题是经典的优化问题。
考虑一块面积为A，长宽比为l的板材。
现在需要切割成面积为B的用材。
16/25≤=≤，不妨假设n为整数。
请根据下列n A B需求，建立实际问题的数学建模，确定最大的用材数y与l的关系。
问题一：用材为正方形，12≤≤，确定最大的用材数y与l的关系。
复杂下料问题的优化模型及求解方法研究
复杂下料问题的优化模型及求解方法研究xx年xx月xx日CATALOGUE目录•引言•复杂下料问题的数学模型•优化求解方法•实验与验证•结论与展望•参考文献01引言随着制造业的快速发展，下料问题已成为制约企业生产效率提高的关键因素之一。
在生产实践中，由于材料种类繁多、尺寸差异大、切割方式各异等因素，导致下料问题变得异常复杂和困难。
因此，研究复杂下料问题的优化模型及求解方法具有重要的现实意义。
意义阐述通过对复杂下料问题的深入研究，可以为企业提供更加精准的下料方案，提高原材料的利用率和生产效率，降低生产成本，同时也有助于推动制造业的数字化、智能化发展。
背景介绍研究背景与意义VS研究现状与问题现状概述目前，国内外学者已对下料问题进行了广泛的研究，提出了许多不同的优化模型和求解方法。
然而，在实际应用中，这些方法往往难以取得理想的效果，特别是在处理复杂下料问题时，存在着求解速度慢、求解精度低、鲁棒性差等问题。
存在的问题现有的优化模型和求解方法在下料问题中的主要问题包括：1)模型建立不够精确，导致求解结果与实际生产需求存在较大偏差；2)求解算法效率低下，无法在短时间内得出优化结果；3)对于复杂下料问题的处理能力不足，难以满足实际生产中的多样化需求。
本研究旨在解决复杂下料问题的优化模型及求解方法，主要研究内容包括：1)建立精确的数学模型，以提高模型的预测能力和鲁棒性；2)设计高效的求解算法，以提高求解速度和精度；3)结合实际生产需求，对模型和算法进行实验验证和性能评估。
本研究将采用理论分析和实验验证相结合的方法，具体包括：1)对复杂下料问题进行数学建模，建立相应的优化模型；2)设计相应的求解算法，包括遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等；3)通过实验验证和性能评估，对模型和算法进行优化和改进。
研究内容研究方法研究内容与方法02复杂下料问题的数学模型复杂下料问题是在满足一系列限制条件下，从给定的物料清单中选择最优的切割方案，以达到成本最低、材料浪费最少的目标。
关于板材优化下料方案研究
板材优化下料方案研究下料问题(Cutting Stock Problem)是一个应用范围很广的热门研究问题，它的特殊情况是装箱问题。
人造板材下料方案影响着产品生产成本、报价和和材料采购。
特别对于同规格、大批量的产品来说，企业总要花大量人力核算下料方案，微小的调整就有可能节约可观的原材料费用。
无论是人工经验排料，还是计算机辅助排料都难以达到一个最优的程度，小批量生产中需要多种规格家具混合计算，加之下料存在的主要问题是计算时间和空间呈指数增长，并且假定供排料的矩形件总数是无限的，这使市场上现有行业软件也黯然失色。
如何结合板式家具的结构和加工工艺，通过计算机辅助得到更优解呢？本文针对这个展开论述。
1 板式家具的结构分析下料中难度最大的为实心压板部件和覆面空心结构板等异形部件，对于骨料、尺寸过小的部件在下料时往往要经过尺寸上的合并处理。
下面按实际生产中各种因素进一步细分，讨论家具结构对下料方案的影响。
1.1 板材分类排料方案所需数据是根据板材的规格分批处理的，不能将不同材料的零件放在一起排序，每个零件必须标明所用材料规格。
排料前首先要对不同品种、不同规格的板材进行分类，然后按各个不同类别单独计算用量。
中密度纤维板常用作骨架材料，由于其没有方向性，细小板条都可以用来做骨架，故中纤板的利用率极高。
有纹理的胶合板和二次加工板价格较贵，用于外表显著的部位，其利用率相对较低，这是板材下料中需要重点解决的问题。
对于没有纹理的加工板，常用于隐蔽的零部件。
由于大多二次加工板表面有光滑的保丽纸或者华丽纸，其在厚度方面上是不能用来压板的，一般情况下，用作骨架的中纤板允许存在一定偏差，饰面板和普夹板则视其加工工艺而定。
1.2 纹理定向指有纹理的板材在排料时需要考虑零件的方向性，分为定向和非定向两种。
定向要求纹理与零件某一长度方向一致。
一般情况下，家具高度方向上为顺纹理，具体到各个部件也不尽相同。
如大班台的侧板高度方向为顺纹理；抽屉面板同样如此，但对于抽屉面板本身来说，自身长度方向是与顺纹理方向垂直的；抽屉底板在深度方向纹理要与面板纹理相呼应。
关于钢材下料问题的数学建模论文
B 题 钢管下料问题摘要应客户要求，某钢厂用两类同规格但不同长度的钢管切割出四种不同长度的成品钢管。
故该原料下料问题为典型的优化模型。
钢厂在切割钢管时，又要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，故我们先分别列出两种原料钢管出现频率较高的切割模式，每一问都需要针对不同钢管节约要求分别求出5种切割模式的最佳组合。
第一问要求余料最少，在切割模式的选择方面，我们尽量要求余料为零，并在此基础上要求切割得成品钢管除满足客户要求外，多余客户要求的钢管数也要尽可能的少，运用Lingo 软件求出余料最少时，需要65根A 类钢管采用4种切割模式切割，需要40根B 类钢管采用2种切割模式切割，总余料为20米。
第二问要求总根数最少，故我们只要求总根数最少，在这里我们分了两种情况：有余料时，需A 类钢管65根，采用5种切割模式，需B 类钢管38根，采用4种切割模式，余料各为2米；无余料时，需A 类钢管75根，采用3种切割模式，需B 类钢管39根，采用4种切割模式。
第三问我们运用Lingo 软件求出较优解为当m=0.4时最大收益h=a-159，具体切割模式见模型求解部分。
为了找到替代比例与最大收益的关系，我们分别给m 赋值为0、10%、20%、30%、40%时，用Lingo 解得各自的最大收益，并用四次拟合的方法大致算出了最大收益z 和替代比例m 的关系，为4322083.31416.7279.1715.833160h a m m m m =+-+--（a 为总售出额）。
第四问就是将钢厂下料问题一般化，将本文中模型进行推广，得出了可普遍应用的一般化模型。
关键词：优化模型、整数规划模型、线性规划模型、非线性规划模型、Lingo 、四次拟合问题重述某钢厂主要生产两种结构用无缝钢管，两类钢管除长度不同外规格无差别，A 类型钢管长度为19米，B 类型钢管长度为29米。
假设某单位要订购该钢厂的一批钢管，要求钢厂将原料钢管按照客户订单的要求进行切割成不同长度，具体如下：钢厂在切割钢管时，要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，建立数学模型解决下列问题： （1）在满足订单要求的前提下，如何切割才能使余料最省；（2）在满足订单要求的前提下，如何切割才能使耗费原料钢管的数量最少；（3）如果B 类钢管的单价是A 类钢管的2.5倍，又目前钢厂B 类钢管产量不足，如果客户要求将B 类钢管中的5米、7米和8米三种长度的订货量必须全部满足，而B 类中3米的订货量中可以有不超过40%的部分用A 类代替，又该如何切割，才能使钢厂的收益最大，并给出替代比例与最大收益之间的关系。
板材优化下料方案研究
板材优化下料方案研究随着制造业的发展和生产成本的不断上升，对板材的合理利用成为求职的热点之一、由于板材的价格和质量直接影响到企业的利润和竞争力，因此研究板材优化下料方案具有重要意义。
本文将从板材的下料原则、下料方法和下料系统等方面对板材优化下料方案进行研究。
首先，板材的下料原则是合理利用板材的面积，减少浪费。
为了达到这个目标，要先了解板材的类型、规格和特性，然后根据产品的尺寸及数量，选择合适的下料方案。
常见的下料原则有最小套料原则、最小余料原则、最大利用率原则等。
其中，最小套料原则是指在保证产品尺寸和数量的前提下，尽量减小板材的面积；最小余料原则是指在保证产品尺寸和数量的前提下，尽量减少板材的浪费；最大利用率原则是指在保证产品尺寸和数量的前提下，尽量提高板材的利用率。
其次，板材的下料方法是实现下料原则的关键。
常见的下料方法有手工下料、数控下料和优化下料。
手工下料是传统的下料方法，由操作工根据图纸和经验进行下料；数控下料是利用数控设备根据图纸和参数进行下料，可以提高下料的精度和效率；优化下料是通过计算机软件进行下料方案的优化，可以实现自动化和智能化。
其中，手工下料适用于小批量生产和特殊形状的下料；数控下料适用于大批量生产和精密尺寸的下料；优化下料适用于中小批量生产，可以综合考虑产品尺寸、板材规格和下料效果等因素，实现最佳下料方案。
最后，下料系统是实现优化下料方案的支撑技术。
下料系统是指利用计算机软件对板材进行自动下料的系统，可以实现下料方案的优化和生产计划的调度。
下料系统主要包括板材库存管理、下料方案生成、下料方案评价和下料方案调整等功能。
其中，板材库存管理是指对板材的规格、数量和位置进行管理，通过对库存的分析和预测，实现下料方案的合理安排；下料方案生成是指根据产品的尺寸和数量，以及板材的规格和利用率等要求，生成符合要求的下料方案；下料方案评价是指对下料方案进行评价和分析，比较不同方案的优劣，提供合理的决策依据；下料方案调整是指根据实际生产情况，对下料方案进行调整和优化，及时地满足生产需求。
板材下料问题
板材下料问题 Prepared on 22 November 2020板材玻璃的下料问题摘要“下料问题（cutting stock problem）”就是指在给定板材宽度和长度的情况下，如何将具有一定种类和数量的矩形件排放到板材上，使所需的板材数量最少的问题，该问题广泛存在于工业生产中。
本文运用优化理论，建立了矩形件优化排样数学模型，并提出了基于启发式算法的一刀切约束条件下二维板材下料算法。
关键词下料二维下料问题优化启发式算法矩形件排样一刀切一、问题的重述在大型建筑工程中，需要大量使用玻璃材料，如门窗等。
在作材料预算时，需要求出原材料的张数。
已知板材玻璃原材料和下料后的成品均为矩形。
由于玻璃材料的特点，切割玻璃时，刀具只能走直线，且中间不能拐弯或者停顿，即每切一刀均将玻璃板一分为二。
切割次序和方法的不同、各种规格搭配（即下料策略）不同，材料的消耗将不同。
工程实际需要解决如下问题，在给定一组材料规格尺寸后：（1）在原材料只有一种规格的情况下（例如长为2100cm，宽为1650㎝），给出最优下料策略，此时所需要材料张数最小。
（2）在原材料为两种规格的情况下（例如2100cm*1650cm和2000cm×1500cm），给出最优下料策略，使所需材料的张数最小，且利用率（实际使用总面积与原材料总面积之比）尽量高。
（3）下表是一些成品料及所需块数（长×宽×块数）分别以一种原材料2100cm×1650cm及两种原材料规格2100cm×1650cm,2000cm×1500cm为例，分别给出（1）和（2）的算法及数字结果，并给出两种情况下的利用率。
二、问题的分析本问题属于二维下料问题，该问题已被证明为是NP完全问题。
由于任何NP完全问题都不能用任何已知的多项式算法求解，所以我们建立一个排样的算法模型。
由题目要求该算法首先要满足生产工艺，即要满足“一刀切”，即从板材的一端，沿直线方向切割到另一端。
一类优化下料数学模型存在的问题及对策
一类优化下料数学模型存在的问题及对策优化下料是传统制造行业最为实用的算法之一，随着技术的进步，已被广泛地应用到工厂中，在其中，一类优化下料数学模型（CO-Packing）特别被广泛采用，其目的在于最小化原材料的废弃，减少产品成本，并且能够满足客户的要求。
然而，目前一类优化下料数学模型也存在着许多问题，损害了其在行业的应用。
首先，由于一类优化下料数学模型的求解过程极其耗费时间，无法在实际生产过程中得到及时的解决，从而导致产品的滞后性问题，给企业造成不良的影响。
其次，一类优化下料数学模型不具备良好的扩展性，不能有效解决更复杂的问题，也限制了其应用范围。
最后，由于一类优化下料数学模型不能实时响应产品的变化，在实际应用时，容易出现产品设计缺陷带来的质量问题，无法满足客户的需求。
针对上述存在的问题，应采取一系列对策，以最大化CO-Packing 模型的运用。
首先，采用智能计算技术，消除一类优化下料数学模型的求解耗费的时间，使其能够更快的响应生产需求，提高产品质量。
其次，采用可扩展的算法，可以有效求解复杂问题，增加CO-Packing 模型的应用范围。
最后，通过实时监测数据，快速调整CO-Packing模型，实现系统的最优化，提高产品的质量，满足客户的要求。
综上，一类优化下料数学模型CO-Packing是一类非常重要的技术，用于简化任务的复杂度，为企业带来更多的利润。
然而，它也存在许多问题，需要采取一系列的对策以解决。
可以采用智能计算技术以及可扩展的算法，通过实时数据监测调整CO-Packing模型，使其能够更加及时、有效地响应生产需求，达到最佳结果。
只有实施这些措施，才能充分发挥一类优化下料数学模型CO-Packing的优势，使其在企业中得到更广泛的应用。
板材弯曲成形过程仿真及参数优化研究
板材弯曲成形过程仿真及参数优化研究板材弯曲成形是现代制造行业中的一项重要技术，常用于制造汽车、飞机、火箭等产品中的各种零部件。
传统的板材成形方法主要依靠工人的经验和技艺，在操作过程中需要反复试验和调整，耗费时间和精力。
而针对这种情况，先进的数值仿真技术能够有效提高成形质量，同时节省时间和成本。
板材弯曲成形过程仿真是指利用计算机技术和数学建模，对材料在弯曲过程中的形变和各种力学参数进行模拟。
通过模拟数据，可以预测各种成形参数的变化过程，优化模具、材料和加工工艺等，提高成形质量和生产效率。
在板材弯曲成形仿真中，最主要的就是对材料的力学特性进行建模。
目前常采用的材料模型有线性弹性模型、双线性弹性模型、带有极限弯曲角（FLD）的等效塑性模型等。
这些模型可以模拟材料在不同应力下的变形情况，同时考虑材料的强度和韧性等特性，提高成形过程的仿真精度。
针对板材弯曲成形过程的仿真，最主要的就是建立有限元模型。
有限元模型是通过将实际材料分割为分数个小体积，再计算每个小体积中的各种物理参数，最终得到全局的应力、应变、变形等信息。
有限元模型可以对各种复杂的几何形状进行建模，同时能够客观地评估不同材料和加工工艺的效果。
在进行仿真计算时还需要制定具体的边界条件，包括材料的厚度、压边力、摩擦系数、初始应力等。
将这些参数输入有限元模型中进行计算，可以得到模拟结果，如成形后的弯曲角度、残余应力、裂纹形式、变形能量等。
优化板材弯曲成形参数的目的是为了最大限度地提高成形效率和质量。
最常用的方法是基于有限元模型的参数优化。
通过对有限元模型中的各种参数进行调整，包括材料参数、模具参数、加工工艺参数等，可以找到最优的成形效果。
这种方法可以避免传统的试验方法中的试错过程，同时节省时间和成本。
总之，在板材弯曲成形的过程中，仿真技术和参数优化是必不可少的。
正是借助这些方法，才能够提高成形效率和质量，减少由于试验试错而带来的资源浪费。
同时，随着计算机硬件和软件的不断发展，板材成形仿真技术将成为制造业和科技领域的重要趋势和方向。
板材下料算法
板材下料算法引言在制造业中，板材下料是一个重要的环节。
合理利用板材，减少浪费，不仅可以提高生产效率，降低成本，还可以减少对环境的影响。
因此，开发一种高效的板材下料算法是非常有必要的。
本文将就板材下料算法进行全面、详细、完整且深入地探讨。
传统的板材下料方法在传统的板材下料方法中，人工根据经验进行下料，这种方法的缺点非常明显：人工下料效率低下，容易出错且浪费材料。
由于人工下料的结果往往无法达到最佳利用率，因此需要一种自动化的下料算法来取代传统方法。
板材下料算法的意义与目标开发一种高效的板材下料算法，可以解决传统方法中存在的问题，提高下料效率，减少材料浪费，并确保产品质量。
其主要目标包括： 1. 最大限度地利用板材，减少浪费 2. 优化下料方案，提高下料效率 3. 确保下料后的板材尺寸满足要求板材下料算法的基本原理板材下料算法基于数学模型和优化算法，其基本原理如下： 1. 根据产品的尺寸要求和板材的规格，确定下料方案的约束条件 2. 将板材划分为若干个小块，每块的尺寸等于一个产品的尺寸 3. 使用优化算法搜索最优的下料方案，即使得浪费最小的方案 4. 对最优方案进行评估，判断是否满足规格要求 5. 若满足规格要求，则生成下料指令板材下料算法的常用优化算法在板材下料算法中，常用的优化算法有以下几种： 1. 贪心算法：从一个空白的板材开始，按照一定的策略依次放置产品，直到不能再放置为止。
该算法只考虑当前状态下的最佳选择，效率较高。
2. 回溯算法：在每一步都尝试所有可能的放置方式，并根据评估函数选择最优的放置方式。
由于需要尝试所有可能的情况，回溯算法效率较低，但能够找到最优解。
3. 遗传算法：将每个解视为一个个体，并通过基因交叉和变异操作来搜索最优解。
遗传算法适用于问题复杂、解空间巨大的情况。
板材下料算法的实现步骤1.输入产品的尺寸要求和板材的规格2.确定下料方案的约束条件，如最大浪费面积、最大下料时间等3.将板材划分为若干个小块，每块的尺寸等于一个产品的尺寸4.使用优化算法搜索最优的下料方案5.对最优方案进行评估，判断是否满足规格要求6.若满足规格要求，则生成下料指令板材下料算法的案例分析假设有一个产品A，尺寸为100mm×200mm，需要下料1000个。
最优下料问题的数学模型
x
k 1
ki
3 ○
（4）下料能力约束条件为： 每天的最大下料能力有： K j 100 2） ．目标函数的建立 目标函数的建立是为求得 k max 的最小值，因此建立如下：
min k max m l i x ki L, k 1,2, , k max i 1 k max x ki di, i 1,2, , m k 1 x ki Z
wi W , i 1,, m ，则问题称为一维下料问题。
一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提 高经济效益。其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来 完成任务。因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。此 外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。因此实用 下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需 求任务, 同时下料方式数也尽量地小.请你们为某企业考虑下面两个问题。 1、建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题，制 定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原 材料数，所采用的下料方式数和废料总长度.单一原材料的长度为 3000mm, 需要完成一 项有53种不同长度零件的下料任务. 具体数据见表一， 其中 li 为需求零件的长度，ni 为 需求零件的数量. 此外，在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm. 据估计，该企 业每天最大下料能力是100块 ，要求在4天内完成的零件标号( i )为: 5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48; 要求不迟于6天完成的零件标号( i ) 为:4,11,24,29,32,38,40,46,50. (提示：可分层建模。 (1).先考虑用材料既少,下料方式又少的模型, 或先仅考虑所用材料最少的模型及 增加一种下料方式大致相当于使原材料总损耗增加0.08%情况下的最佳方案。
木料加工数学建模与算法分析
木料加工数学建模与算法分析摘要：家具加工厂对于木料的处理是要尽量提高木料使用率。
首先我们介绍木料使用的原则，接下来以一个加工厂收到的一批木料为研究对象，分析木料使用情况，先给出算法描述，然后根据算法描述，分别给出第三类搭配方案，根据第三类搭配方案确定出第二类搭配方案，根据第二类搭配方案，确定出第一类搭配方案，并用表格形式列举出来。
最后我们对此算法进行了评价。
此方案方便人工操作，提高了木料利用率。
关键词：木料加工；算法；降级；利用率；原料一、问题描述家具加工行业是我国的传统产业之一，出口品种和出口质量都是我国家具出口的亮点。
木材加工厂（wood processing）以木材为原料，主要用化学、机械或者人工方法进行的加工，其产品仍保持木材的基本特性。
比如最常见的就是我们平时使用的家具都属于这一类产品。
在森林工业中，木材加工业和林产化学加工同为森林采伐运输的后续工业，是木材资源综合利用的重要部门。
另外一些废旧木料回收企业和家具加工厂合作也可以提高木料利用率。
我国家具行业的整体档次较高，约80%的家具企业为中小型企业.一方面，随着城市中高收入人口数量和高档酒店宾馆等日益增加，人们对高档家具需求的增加和消费观念大幅升级，高档家具和个性化家具的需求逐渐提高。
另一方面，城镇化的发展导致一些低产的农村人口进入城市，带给家具行业新一轮的低端需求。
为了提高生产效率和原料利用率，公司打算改变搭配方案，先丈量所有原料，建立一个原料表。
根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。
二、变量及符号说明n1：表示原材料长度在3-6.5dm范围内的木料捆数；n2：表示原材料长度在7-13.5dm范围内的木料捆数；n3：表示原材料长度在14-∞范围内的木料捆数。
N：各种规格木料的捆数总和。
x1：原材料满足第一种类别后的剩余材料的长度范围（求最优解）；x2：原材料满足第二类别后的剩余材料的长度范围（考虑降级）；x3：原材料满足第三类别后的剩余材料的长度范围（考虑降级）；b1i第一种类别的成品每捆中含有各档原材料的数量（i≤8，i∈Z）；b2i第二类别的成品每捆中含有各档原材料的数量（i≤14，i∈Z）；b3i第三类别的成品每捆中含有各档原材料的数量（i≤24，i∈Z）。
板材玻璃下料问题
板材玻璃下料问题摘要本文针对板材下料问题的特点，尽可能的提高板材的利用率，减少资源浪费，建立了模型，其合理性和实用性都比较好。
针对问题一：我们根据一原二维下料问题建立了3个模型模型一：穷举法计算所有可能的Xij，将剩下所有可能的下料方法全部列出，然后参考背包问题列出优化模型，利用matlab的函数linprog()进行求解。
但由于题目所给的板材样式过多，计算机容量和速度决定此方法不可行。
模型二：用动态规划的方法进行求解，从成品料的面积大的开始遍历尽可能多的重复使用最优的一种方法进行下料，利用matlab求解，其中只考虑面积大的开始遍历，而没有过多考虑利用率问题。
模型三：但是在遍历时是从成品料1开始，根据成品料的利用率选择能使原材料的利用率最大的成品料，这种方案是利用率提高，效果很好。
针对问题二：此问题是多原二维下料问题，我们在第一问基础上，用动态规划和“一刀切”思想，将原来那些能在新的成品料实现的方案，在新的成品料下实现，来实现张数最小，其提高利用率，由matlab求的结果基本符合实际。
最后，总结了问题的意义，并考虑问题的拓展。
关键字：下料问题，MATLAB求解，背包问题，动态规划问题重述情况分析：建筑工程中，需要大量使用玻璃材料，如门窗。
再作材料预算时，需要求原材料的张数。
已知板材玻璃原材料和下料后的成品料均为矩形。
由于玻璃材料的特点，切割玻璃时，刀具只能走直线，且中间不能拐弯或停顿，即每切一刀将玻璃一分为二。
切割次序和方法不同，各种规格搭配（即下料决策）不同，材料的消耗不同。
相关信息：附件1：成品料规格及所需快数解决的问题：（1）在原材料只有一种规格的情况下（例如长为2100cm，宽为1650cm)，给出最优情况下的决策，时所需要材料的张数最少。
（2）在原材料为两种规格的情况下（例如2100cm*1650cm和2000cm*1500cm），给出最优下料决策，使所需要材料张数最少，且利用率（实际使用总面积与原材料总面积只比）尽量高。
数学建模——下料问题
运用 lingo 求解可得如下结果：
最优解仍然保持不变，为 23 根，同时，这也验证了优化模型的可行性。
4 模型的优缺点与推广 优点：本模型具有求解速度快，适应性好等优点，当客户改变要求时，通过修 改限制条件可快速得出结果，改变加工模式，减少不必要的损失。 缺点：该模型存在一定的局限性，局限性体现在，当客户提出时间要求时，无 法进行优化。 推广：可以解决类似下料问题的生产问题。 5 参考文献 [1]顾梦君， 利伟立， 陈秋晓.实用下料问题的最优算法[J].中山大学研究生学报， 2005,26（2）：92-93 [2]李丹俊，曾锐等.实用下料优化问题模型建立及解法[J].数学的实践与认识， 2005,35（7）：43-44 [3]姜启源.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2012:252-253
下料问题
摘要
本文以最少投入成本和满足客户要求为目标，利用线性规划方法，建立了 数学优化模型。 根据题意，首先作出适当的假设，由假设和题目条件得到目标函数和限制 条件，再用 lingo 软件求得最优解。最后对模型进行检验和进一步分析可得到最 终最优的钢材切割模式分配为： 模式 1 将每根原料钢管切割 1 根 290mm， 1 根 215mm， 1 根 355mm， 2 根 455mm， 原料钢管共 16 根 模式 2 将每根原料钢管切割 2 根 215mm，3 根 455mm，原料钢管共 6 根 模式 3 将每根原料钢管切割 5 根 355mm，原料钢管共 1 根 模式 4 原料钢管总共为 0 根 本模型具有操作简便，运算速度快等优点，适合解决下料问题。 关键词：线性规划；下料；切割模式；费用 1 介绍 1.1 背景 在生产生活中，钢材下料是在机械、行业、造纸、服装、木材等行业、企业 都会遇到的实际难题， 这包括怎样最大限度的节省原材料以节省投入成本以及提 高原材料的利用率[1]，企业为了使得自身利益的最大化，通常制定一系列的提高 效益的生产计划。所以如何优化下料问题是重中之重。一维下料问题是下料问题 中的基础问题[2]，本文也是在此背景基础上，通过建立优化模型来解决下料的具 体问题。 1.2 问题重述 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂 进货时得到的原料钢管长度是 1850mm。 现有一客户需要 15 根 290mm、 28 根 215mm、 21 根 350mm 和 30 根 455mm 的钢管.为了简化生产过程,规定所使用的切割模式的 种类不能超过 4 种， 使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的 1/10 增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的 2/10 增加费用， 依次类推，且每次切割模式下的切割次数不能太多(一根原料钢管最多生产 5 根 产品)。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过 100mm。
下料问题数学模型研究
第5卷第4期1996年12月运筹与管理OPERATIONS RESEARCH AND MANAGEMENT SCIENCEVol. 5, No. 4Dec. 1996下料问题数学模型研究卢厚清袁永生(工程兵工程学院，南京.210007)(河海大学数理系数学室，南京，210098) 摘要本文讨论了关于合理下料问题线性规则模型的建立，给出了该问题正确的线性规划模型，用反例说明了某些模型的错误并进行了分析。
关键词线性规划;数学模型;合理下料1 合理下料问题及其数学模型合理下料问题:设用某原材料下零件A,, A2,...... 9A，的毛坯，根据过去经验在一件原材料上有B,,BZ,"', B。
种不同的下料方式，每种下料方式可得各种毛坯个数，每种零件的需要量及余料见下表1，问应怎样安排下料方式，才能既满足需要又使用的原料数量最少?表1设X，表示第j种下料方式所消耗的原材料根数。
则该问题的数学模型为:若记则该数学模型可记为:2错误模型及原因分析2.1将不等式约束改为等式约束所建立的模型为错误模型若把合理下料问题的数学模型写成:CX=b (LP2)X>O,X取整数则该数学模型为错误的，反例如下:例1用长100米的条钢来做4套筋架子，每套架子需90米条钢一根、18米条钢二根，问最少需多少根定长为100米的条钢才能做成，见表2。
设XI ,X:分别表示第1,2种下料方式所消耗的原材料根数。
若用上述LP2的方法建模，该问题的数学模型为:xl,x2>0，且为整数很显然该整数线性规划无解。
而对应的下料问题应当是有解的，这就说明该模型是不完全正确的。
命题1对合理下料问题，下面两线性规划问题的最优值相等、最优解相同。
命题1说明:对合理下料问题，在决策变量没有整数约束的条件下，约束取等号和取大于等于是等价的。
即两种约束所得的线性规划最优解相同，最优值相等。
但加上整数约束后，上述两个线性规划就不等价了，故数学模型LP2是错误的。
基于板材排板方案的建模分析
基于板材排板方案的建模分析摘要：针对企业生产中对生产效率影响较大的材料利用率及排料效率低，对板材类排料问题的数学模型进行了分析，提出排料优化的建模思路和排料方式逻辑原则，为后续排料优化实现提供算法基础。
0引言下料问题是材料切割填充问题，是运筹学的重要分支之一。
在工程制造领域，材料的下料方案是降低产品成本、提升产品竞争力的关键，更是简化切割过程的基础要素。
因此，随着企业生产规模的扩大，如何形成优化材料的下料方案，即形成合理规划毛坯在原材料的排板布局方案，是提高材料利用率的提高材料利用率、降低原材料消耗，的关键问题。
本文针对专用车辆领域中对于板材类订单需求较大的背景下，给出板材类的下料排板方式的思考，并以板材切割中材料利用率最高为优化目标函数，以最基本的算法规则为基础，以各零件板材放置无重叠且不超越原材料规格尺寸等为约束条件，建立板材类排板方式的数学模型。
1板材类下料问题的概述1.1 板材原材料与零件本文中板材原材料是指板材原始规格或者外协提供规格尺寸；零件为产品中需求的此原材料的板材零件。
两者的价值体现在其面积的大小。
1.2排板方式（Cutting pattern）排板方式是排板问题（cutting problem）的解，指需求零件在一张板材原材料上的排列布局，可确定零件数量、排板方式、排列位置。
排板方式的评价涉及两个属性：价值和材料利用率。
其中排板方式的价值通常是指板材中所包含的毛坯价值（利润），材料利用率一毛坯总面积/板材面积。
当毛坯价值与面积相等时，排板方式的材料利用率一排板方式的价值/板材的面积。
1.3 排板方案（Cutting plan）排板方案是下料问题的解，是排板方式的集合，可由一种或多种排板方式组成，并给出每种排板方式的使用频率。
排板方案应满足全部的毛坯需求，并且所用的板材数量应小于或等于其库存数量。
此外，组成排板方案的排板方式应满足相应的切割工艺要求。
因此，板材的排料实质是规划零件在板材上的排列布局，从材料上剪切出所需零件供产品加工和制造使用。
自动排料数学优化算法
自动排料数学优化算法1.引言1.1 概述概述自动排料数学优化算法是一种用于解决排料问题的数学算法。
在工业生产过程中，排料是指将不同形状和尺寸的原材料进行合理的排列和摆放，以最大限度地利用空间和减少废料的技术。
传统的排料方法往往依靠人工经验和直觉，并且效率低下，容易造成浪费。
然而，随着科技的进步和自动化技术的应用，自动排料数学优化算法逐渐成为解决排料问题的重要工具。
该算法利用数学模型和优化原理，通过精确计算和分析排料方案，实现自动化的排料过程。
它能够准确地确定原材料的最佳摆放位置和顺序，以最小化废料的产生，并且能够实时进行调整和优化。
自动排料数学优化算法的核心思想是将排料问题抽象为一个数学模型，并运用数学的优化方法来求解最优解。
它考虑了原材料的形状、尺寸、数量等因素，同时考虑了排料布局的约束条件，如空间限制、安全要求等。
通过对这些因素进行量化和分析，算法能够找到最佳的排料方案，从而提高生产效率和降低成本。
本文将首先介绍现有的排料问题及其存在的挑战，然后详细介绍自动排料数学优化算法的原理和方法。
最后，我们将对算法的效果进行评价，并展望它在实际应用中的前景。
通过阅读本文，读者将了解到自动排料数学优化算法的重要性和应用价值，以及其在工业生产中的实际应用。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构来进行叙述和分析自动排料数学优化算法的相关内容：1. 算法综述：首先，我们将简要介绍自动排料的概念和背景，阐述自动排料在工业生产中的重要性和应用价值。
同时，我们还将探讨目前存在的排料问题和传统方法的局限性，引出对数学优化算法的需求和研究动机。
2. 数学优化算法原理和方法：此部分将呈现数学优化算法在自动排料中的基本原理和核心思想。
我们将介绍常用的数学模型和算法，如线性规划、整数规划、动态规划等，并详细阐述它们的适用范围、优缺点以及实际应用中的注意事项。
3. 基于数学优化算法的自动排料系统设计：在此部分，我们将探讨如何将数学优化算法应用于自动排料系统的设计中。