拉格朗日插值法实现秘密共享
【计算机应用】_拉格朗日插值_期刊发文热词逐年推荐_20140728
2012年 序号 1 2 3 4
科研热词 推荐指数 非整数步长 1 边缘检测 1 拉格朗日插值 1 riemann-liouville分数阶微分 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
科研热词 非线性 门限秘密共享 编码 混沌算法 有限状态自动机 有限域 拉格朗日插值多项式 图像秘密分享 一次一密
2008年 序号 1 2 3 4 5
科研热词 秘密共享 拉格朗日插值多项式 安全性 多重 动态
推荐指数 1 1 1 1 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
科研热词 门限方案 精馏塔设计 秘密共享 火焰 漩涡 流体模拟 汽液平衡 曲线拟合 拉格朗日算法 拉格朗日插值法 图形处理器 可验证 光滑粒子流体动力学 光滑粒子动力学 光滑半径 jordan矩阵
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4
科研热词 推荐指数 陷门 1 拉格朗日插值多项式 1 带关键字检索的公钥加密方案 1 多关键字 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8
2011年 科研热词 拉格朗日插值 铁谱图像 金属磨粒 自适应开关 椒盐噪声 曲线拟合 均值滤波 图像去噪 推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1
《拉格朗日插值法》课件
在数值分析中的应用
数值积分
01
拉格朗日插值法可用于数值积分，通过插值多项式逼近被积函
数，进而求得积分的近似值。
数值微分
02
利用拉格朗日插值法可以近似求得函数的导数值，用于数值微
分计算。
求解常微分方程
03
通过构造插值多项式，可以将常微分方程转化为代数方程组，
进而求解微分方程的近似解。
在数据拟合中的应用
重要性
拉格朗日插值法是数值分析中的基础方法之一，它为解决各种实际问题提供了重要的数学工具。通过 拉格朗日插值法，我们可以更好地理解和逼近数据，从而为进一步的数值分析和科学计算提供基础。
拉格朗日插值法的历史和发展
历史
拉格朗日插值法由意大利数学家约瑟夫·拉格朗日于18世纪提出。在此之前，人们已经意识到可以通过已知的数 据点来逼近未知的函数值，但缺乏系统的数学方法。拉格朗日的插值法为这个问题提供了一个完整的解决方案， 并在随后的几个世纪中得到了广泛的应用和发展。
深入研究拉格朗日多项式的性质
拉格朗日多项式是拉格朗日插值法的基础，但其性质仍有许多未知之处。未来的研究可以深入探索拉格 朗日多项式的性质，以期为插值法的发展提供新的思路和方法。
THANK YOU
多项式形式
插值多项式的一般形式为 (L(x) = sum_{i=0}^{n} y_i l_i(x))，其中 (l_i(x)) 是拉格朗日插值基函数。
求解插值多项式的系数
系数求解
通过已知的数据点和构造的插值多项 式，求解出多项式的系数。
求解方法
常用的求解方法是高斯消元法或追赶 法，通过求解线性方程组得到插值多 项式的系数。
《拉格朗日插值法》ppt课件
• 引言 • 拉格朗日插值法的基本概念 • 拉格朗日插值法的实现步骤 • 拉格朗日插值法的优缺点分析 • 拉格朗日插值法的应用实例 • 总结与展望
拉格朗日插值法实验心得
拉格朗日插值法实验心得嘿，朋友们！今天来和你们聊聊拉格朗日插值法实验心得。
你们知道吗，拉格朗日插值法就像是一把神奇的钥匙，能打开很多数据秘密的大门。
刚开始接触它的时候，我就觉得这玩意儿可真有意思啊！就好像是在一堆杂乱无章的数字中寻找某种规律，然后把它们串起来，变成一条漂亮的曲线。
做这个实验的时候啊，我就像是一个侦探，在数字的海洋里寻找线索。
每一个数据点都像是一个小提示，等着我去发现它背后的故事。
有时候会遇到一些很棘手的情况，那些数据就像调皮的小孩子，就是不乖乖听话，让我好一番折腾呢！我记得有一次，我怎么都算不对结果，急得我抓耳挠腮的。
我就想啊，这拉格朗日插值法怎么就这么难搞呢！但我这人吧，就是不服输，我就不信我搞不定它。
于是我又重新仔细地检查每一个步骤，嘿，还真让我发现了一个小错误。
你说这像不像我们在生活中遇到困难，只要不放弃，总能找到解决办法？还有啊，拉格朗日插值法让我明白了细节的重要性。
一个小数点的位置错了，那整个结果可能就全变了呀！这就好比是盖房子，一块砖没放好，可能整座房子就不牢固了。
这可真是容不得一点马虎呀！而且啊，做这个实验可不能心急。
你得慢慢地、一步一步地来，就像煲汤一样，得小火慢炖，才能熬出好味道。
要是着急忙慌的，那肯定是做不好的。
经过一次次的实验，我对拉格朗日插值法越来越熟悉，也越来越有心得。
它真的是让我又爱又恨啊！爱的是它能带给我探索的乐趣和成功的喜悦，恨的是有时候真的好难搞呀！但不管怎么说，我从中学到了好多东西呢。
我觉得啊，拉格朗日插值法就像是一个隐藏在数学世界里的宝藏，等待着我们去挖掘。
只要我们有耐心，有毅力，就一定能找到属于我们自己的宝藏。
这可不是随便说说的哦，是我亲身经历得出的结论呢！所以啊，大家也别害怕它，勇敢地去尝试吧，说不定你会发现一个全新的世界呢！原创不易，请尊重原创，谢谢!。
基于双变量单向函数的门限可变秘密共享方案
基于双变量单向函数的门限可变秘密共享方案黄科华;陈和风【摘要】利用双变量单向函数和拉格朗日插值公式构造了一个门限秘密共享方案,该方案可以按照事先预定的门限来进行秘密共享(门限可变),不需要使用到安全信道,用户的份额不会暴露,可以多次使用,是一个完美的秘密共享方案.【期刊名称】《唐山师范学院学报》【年(卷),期】2018(040)006【总页数】3页(P41-43)【关键词】门限可变秘密共享方案;双变量函数;拉格朗日插值公式【作者】黄科华;陈和风【作者单位】泉州幼儿师范高等专科学校初等教育系,福建泉州 362000;集美大学计算机工程学院,福建厦门 361021【正文语种】中文【中图分类】O1-0为安全起见，银行保险柜的钥匙不能由一个人单独保存，必须由多个人，每个人掌握一部分钥匙。
当足够多的人集中在一起的时候，才能打开保险柜。
解决类似问题的方案我们称之为秘密共享方案（SecretSharingScheme，SSS）。
一个秘密共享方案由以下几个部分组成：D：可信中心或者密钥分发者：合成密钥参与者集合P、密钥集合S、准入结构（由可合成密钥的集合组成）G、分配算法和合成算法。
(t,n)门限秘密共享方案是比较流行的秘密共享方案，它指的是n个参与者中，t个或者大于t个成员合作可以合成密钥，而少于t个人合作得不到密钥的任何信息的秘密共享方案。
Shamir和Blakley于1979年分别独立提出了基于拉格朗日插值公式和线性集合投影方法的(t,n)门限秘密共享方案[1,2]。
此后有一些研究者对方案进行了改进[3-6]。
这些方案都存在着一些不足之处，如：（1）需要使用到安全信道来传输密钥份额；（2）份额只能使用一次，如果要合成新密钥，还需重新再次发送份额；（3）准入结构较为单一，确定完就无法改变等。
针对这些不足，有的研究者提出了多秘密共享方案[7-8]、可验证秘密共享方案[9]、加权秘密共享方案等[10]。
在解密之前，有可能需要对门限值进行改变，如系统安全等级升高或者下降、成员的份额泄露或者信任度降低等。
图模型中的抗欺骗秘密共享方案
关 键词 ： 密共 享 ； 问结 构 ； 秘 访 置换 ； 拉格 朗 日插 值 法
即 司：
０ 引言
秘 密共享 的思 想在信 息 安全 ， 数字签 名 ， 电子
① Ｖ ∈Ａ， ３Ｙ∈Ａ， 使得 ， Ｙ相邻 ；
②Ｖ ∈Ａ ３ ∈Ａ 使得 ，间在 Ｇ ， ｚ ， ｚ 中存在长
（） １
即图 Ｇ中任何 顶点 的顶 点度 均不超 过 ｎ一２ 令 Ｐ， 于 Ｖ ∈Ａ， Ⅳ （ 表 示顶 点 对 令 。 ） 的邻 点集合 ． 虑集 合 Ａ使 它 满 足下 列 性 质 之一 考
收稿 日期 ：Ｏｏ一 ９— ９ ２ ｌ ０ ２ 哈 尔滨 师 范 大 学 科 技 发 展 预 研 项 目资助 （８ Ｇ一１ ） ０ ＸＹ ３
（ 哈尔滨师范大学 ）
【 摘要】 利用图结构提 出了一个抗欺骗秘 密共享方案， 该方案是在原有方案基
础上 ， 重新 定义 了一个访 问结构 ， 使得 授权 参 与者个数 更具有 一般性 ； 享分发 阶段 ， 共
在每个参与者保存的共享中， 任何子密钥都没有单独 出现 ， 出现的只是子密钥的差， 增加 了方案的安全性 ； 同时引入非线性置换 ， 在一定程度上能够抵抗不诚 实参与者的
用 ） 其他 位 置元素 修改 为 ： ， 口 （ ， （ ， Ｐ 和 Ｊ 相邻 ｌ ＝ Ｊ）一 后） 若 ｉ Ｐ ｉ ｝ ，
①， 则对于 ＶＰ ＥＡ， Ｐ ∈Ａ 使得 Ｐ ， ， ｉ 相邻 ， Ｐ 首先 考虑 与 Ｐ ， 均不 相 邻 的顶 点 ， Ｐ 其集 合 记 为 Ｃ 为 了便 于讨 论 ， 与顶 点 Ｐ 相对应 的子 密钥 记 ， 将 为 ， ， Ｃ， ＶＰ ∈ 考虑 ， 用 共 享 分 量 中 相应 列 利 （ ） （村 １ ｉ ≤ ｔ ≤ 可根据拉格 ｓ ， ｓ） ≤ ． ， １≤ ，
一句话解释拉格朗日插值法
一句话解释拉格朗日插值法嘿，朋友！咱们今天来聊聊拉格朗日插值法。
啥是拉格朗日插值法呢？简单来说，它就像是一个神奇的魔法，能根据你给的几个关键点，画出一条漂亮的曲线来。
想象一下，你有几个分散的星星，就像是几个已知的数据点。
而拉格朗日插值法呢，就像是一根神奇的线，把这些星星串起来，变成了一条璀璨的星河。
比如说，你知道某个函数在几个特定的点上的值，就像你知道在星期一、星期三、星期五你的体重分别是多少。
那拉格朗日插值法就能帮你猜猜，在星期二、星期四或者其他日子，你的体重可能是多少。
这是不是有点像拼图？只不过拼的不是图案，而是数据点之间的空缺。
你给了几块拼图，拉格朗日插值法就努力帮你把中间缺失的部分补全。
咱再打个比方，拉格朗日插值法就像一个超级厉害的厨师。
你给他几种特定的食材和它们的用量，他就能根据这些，推测出在不同的搭配下，能做出什么样的美味。
那这个魔法是怎么施展的呢？其实就是通过一些复杂但又有趣的公式和计算。
可别被这些公式吓到，就像爬山的时候别被眼前的陡坡吓住，一步一步来，总能登顶。
它的公式看起来可能有点让人头疼，但仔细琢磨琢磨，也没那么可怕。
就像解一道谜题，一开始觉得毫无头绪，慢慢找线索，突然就豁然开朗了。
拉格朗日插值法在很多领域都大显身手呢！比如在数学建模里，帮我们预测未来的趋势；在工程中，解决各种复杂的问题。
总之，拉格朗日插值法就是这样一个神奇又实用的工具，能让我们从离散的数据点中找到连续的规律，是不是很厉害？。
一种基于Lagrange插值多项式的密钥共享方法
一种基于Lagrange插值多项式的密钥共享方法
王英
【期刊名称】《太原师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2005(004)002
【摘要】在现代密码体制中,数据的加密算法是公开的,数据的安全性主要取决于对密钥的保护.文章利用拉格朗日多项式插值法来讨论密钥的保护问题,给出了基于密钥片的(t,n)门限方案对所产生密钥进行保护的原理,并给出了相应的实例.
【总页数】4页(P12-14,30)
【作者】王英
【作者单位】湖南税务高等专科学校,基础部,湖南,长沙,410116
【正文语种】中文
【中图分类】O172;TP30
【相关文献】
1.无线局域网中一种基于共享秘密的认证和密钥协商协议 [J], 王斌;吕欣美
2.无线传感器网络中一种基于共享密钥的节点鉴别机制 [J], 竹锦霞;涂朴
3.一种基于移动Ad Hoc网络的共享密钥管理机制 [J], 张迎宾;史浩山
4.一种新的共享密钥安全协议设计方法 [J], 华东明;侯紫峰;韦卫;吴秋新
5.一种实用的密钥共享方法 [J], 谢建全
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基于有限域newton插值理论设计的三类新秘密共享方案
第一章 绪论秘密共享是密码技术研究的一个很重要的方向, 是信息安全和数据保密的重要手段, 利用秘密共享来保管秘密信息, 一方面有利于防止权利过于集中而遭到滥用, 另一方面有利于保护秘密的安全性和完整性. 秘密共享技术在密钥管理、银行网络管理、数据安全及导弹控制与发射等方面都有着重要的应用, 同时它与身份认证、数字签名和其他密码技术结合可形成有重要应用价值的密码算法, 这密码算法进一步拓宽了秘密共享体制的应用领域. 综上所述, 对秘密共享的研究不仅具有非常重要的理论意义, 而且在我国社会和经济领域具有非常重要的应用前景.1. 1本论文的研究背景在现实生活中, 一些重要的信息如打开原子弹发射装置的秘密信息或开启银行金库的密钥信息, 这些领域的安全保密是极其重要的. 如果这些信息仅由一人掌管, 很容易引起秘密的篡改、损坏和丢失. 如何保管这些信息就涉及到秘密共享. 秘密共享是密钥管理的一个很重要的课题, 尤其当人类生活越来越依赖电子通信, 使用电子的方式来存储信息的做法也愈来愈普遍. 随之产生对如何管理各种不同信息的加解密钥, 也成了很大问题. 为操作起见, 所有的子密钥用一个主密钥来加以保护. 若将这主密钥单独交给一位系统管理员保管, 在操作上可能有以下弊端: ①每次都必须这位管理员出席方能得到这主密钥; ②若这主密钥保管者发生意外, 不幸丧生, 这主密钥将从此失落, 影响系统操作; ③若这位主密钥保管者将此主密钥出卖, 将危害系统安全.另一种变通的方法是将主密钥复制多份, 交给多位系统管理员保管, 这虽然减少主密钥失落的机会, 却对系统安全的危害有增无减. 因为任何一位系统管理员都有可能将此主密钥出卖. 若系统管理员选定这个主密钥K 后, 打造n 份不同的子密钥,1,2,,i K i n =, 交给n 位系统管理员保管, 一人一份子密钥. 只有当所有系统管理员“全部到齐”聚集所有子密钥, 才能导出这主密钥K=12K n K K ⊕⊕⊕. 这样的管理策略虽提高了系统的安全性, 但却造成操作上不便, 因为只有管理员“全部到齐”, 才能导出主密钥K , 作为密钥研究者追求的目标, 就在系统效率与系统安全之间找到一个合适的平衡点. (),t n 门限秘密共享方案的提出很好地解决了这些问题. (),t n 门限秘密共享方案是在1979年Shamir [1]和Blakley [2]首次分别基于Lagrange 插值理论和射影几何理论提出的, 要求n 个人中任意t 个人或t 个以上合作可导出主密钥K , 而少于t 个人合作均不能推导出主密钥K. 使用(),t n门限秘密共享方案具备以下几个优点: ①即使攻击者设法获取了不多于1t-个的子密钥, 也不能恢复出主密钥K; ②即使由于自然灾害或其他因素导致不多于n t-个子密钥被毁坏或丢失, 也不会影响密钥K的恢复; ③防止由于权力过分集中而被滥用; ④可保证密钥的完整性和安全性等. 秘密共享技术在信息安全方面有着非常广泛的应用,如密钥管理、数据安全、银行网络管理以及导弹控制发射等方面. 此外, 秘密共享技术与密码学的其它技术也紧密相系, 如秘密共享技术与数字签名、身份认证等技术结合可形成有广泛应用价值的密码算法和安全协议. 因此, 对秘密共享的研究具有很重要的理论意义和应用价值.1. 2国内外研究现状分析自从1979年后, 许多学者对(),t n门限秘密共享方案进行了深入的研究, 提出了多种类型的秘密共享方案[3-5]. 但基本都存在以下缺点:①参与者进行欺骗, 即某些参与者在重构秘密时提供假的密钥, 致使包含该参与者的授权子集的其他参与者不能得到真正的密钥.②秘密共享组织者进行欺骗, 即秘密共享组织者在分发子密钥时, 可能会分发假的子密钥或不分发子密钥给某些参与者, 致使某些参与者不能共享秘密.③秘密共享组织者与参与者之间需要一安全通道, 维护一条安全通道会提高成本, 也会成为攻击者的目标, 降低方案的安全性.④参与者的子密钥只能使用一次, 即秘密重构后参与者的子密钥不能使用, 参与者的子密钥须重新选择.⑤一次秘密共享只能共享一个秘密,不能共享多个秘密.针对前三点不足,学者们提出了可验证秘密共享方案, 可验证秘密共享方案是在通常的秘密共享方案的基础上附加了一个验证算法和公开承诺. 如果在运行算法和公开承诺时, 参与者与组织者之间不需要相互交换信息, 则称为是非交互的可验证秘密共享方案; 否则称为交互式可验证秘密共享方案. 1985年 B. Chor等首次提出了可验证秘密共享（VSS）方案[6]. 该方案是一个交互式可验证秘密共享方案, 且需要构造专门的验证算法和通讯量较高, 因而效率不是很高. 1987年,Feldman[7]基于Shamir (),t n门限秘密共享方案和离散对数计算的困难性首次提出了非交互的可验证秘密共享协议(Feldman-VSS), 该协议理论上能够n-个不诚实参与者的合谋攻击; 后来, 抵抗包括秘密共享组织者在内的()1Pederson 提出了一个非交互式的无条件安全的可验证秘密共享协议(Pederson-VSS)[8-9]; 针对秘密共享组织者与秘密共享参与者相互进行勾结的情况, 于是Stadler等人于1996年提出了公开可验证秘密共享方案（PVSS）[10], PVSS不仅可以防止参与者进行欺骗, 还可以防止秘密分发者进行欺骗.针对参与者的密钥只能使用一次, 不能多次使用问题,即秘密重构后需要更新参与者的密钥, 于是学者们提出了多重秘密共享方案 [11-13]. 但多重秘密共享方案在一次秘密共享过程中只能共享一个秘密, 而对于一次秘密共享过程中共享多个秘密的应用场合, 比如在研究无条件安全的多步计算的通信复杂度[14]等场合, 需要重复秘密分发和秘密重构, 重复计算量比较大、计算成本高等. 2000年, 多秘密共享方案首次由Chien 等[15]基于系统分组码提出, 此方案在一次共享过程中可以共享多个秘密, 且参与者的子密钥可以重用. Yang [16]等和Pang [17]等分别基于Shamir (),t n 门限方案给出了Chien 等的方案的另一种实现. 1995 年 Harn [18]等人首次将多重秘密共享和可验证秘密共享相结合, 首次提出了一个可验证的多重秘密共享方案, 多重秘密共享与可验证秘密共享相结合能够提高参与者子密钥的利用率, 并能很好解决一般秘密共享方案中存在的欺诈问题, 非常适应社会信息化的快速发展, 对于拓展秘密共享的实际应用有着很强的促进作用. 为了降低了系统的计算复杂度、计算成本、重复计算量等, 学者们提出了可验证多秘密共享方案[19].有限域Lagrange 插值多项式[20-21]的优点是格式整齐和规范, 插值多项式特别容易建立. 缺点是若要增加一组整数数据()()11,n n x y GF p ++∈, 或删除某一个整数数据()(),i i x y GF p ∈, 则须重新构造基函数, 先前的运算不能利用; 且形式不易简化, 计算工作量大等. 现有的方案大多是基于Langrange 插值理论实现, 这些方案在处理静态秘密共享时非常优秀, 但在动态更新, 重构秘密时开销很大. 而有限域Newton 插值多项式形式易于简化, 计算量小, 且易于增加或减少一个节点, 弥补了有限域Lagrange 插值多项式的不足. 有限域Newton 插值多项式在密码学中也有着广泛的应用, Laih [22]等人针对现有基于有限域Lagrange 插值多项式设计的方案不能有效地增加或删除使用者, 当增加或删除使用者时, 须重新计算所有的锁值, 此牵一发动动全身是相当不经济的. 针对这个问题, Laih 等人利用有限域Newton 插值多项式易于增加或减少一个节点, 形式易于简化等优点, 成功基于Newton 插值理论设计一个单钥匙-锁存取控制方案, 此方案非常易于增加使用者, 而原来使用者的锁值不用更改. 刘建生[23]等人结合中国剩余定理、门限方案、有限域Newton 插值理论设计了一个有限域Newton 插值理论在金字塔型信息隐藏中的应用方案, 并给出一个信息隐藏、信息恢复算法和算例等.1. 3本论文章节组织结构本论文的章节组织结构如下:第一章: 阐述本课题的研究背景和意义、分析了本课题的国内外研究现状.第二章: 介绍本论文研究工作要用到的一些数学基础知识和密码学知识, 为后面的研究奠定了基础.第三章: 分析、研究有限域多秘密共享方案相关知识及应用, 提出了一个多秘密共享方案的数学模型, 并基于有限域Newton插值理论、(),t n门限方案设计了一个门限可变的多秘密共享方案.第四章: 分析、研究了可验证秘密共享方案相关知识及应用, 提出了一个可验证秘密共享方案数学模型, 并基于有限域Newton插值公式设计了一个可验证的秘密共享方案.第五章: 分析、研究了可验证多秘密共享相关知识及应用, 本章结合了Feldman可验证秘密共享的设计思想, 提出了一个可验证多秘密共享方案数学模型, 并基于有限域Newton插值公式设计了一个可验证的多秘密共享方案.第二章 秘密共享技术的理论基础和常用技术2. 1数学基础在近代密码学中需要使用到许多的数学理论, 例如数论、信息论、复杂度理论、组合论及线性代数等数学理论, 均为设计密码系统及协议不可缺的工具. 此外, 在分析密码系统及协议时, 这些理论提供我们证明, 为这些密码系统或协议提供足够安全的保障. 下面对有限域理论、中国剩余定理、离散对数等知识进行简单介绍.2. 1. 1有限域理论基础和常用离散对数问题定义 2. 1[24] F 是至少含有两个元素的集合, 对F 定义了两种运算“+”和“*”, 并且满足以下三条件的代数系统,,*F +称为域.(1)F 的元素关于运算“+”构成一个交换群（Abelian Group ）, 且具有单位元素0.(2)F 中的非零元素关于运算“*”也构成一个交换群.(3)对于,,a b c F ∈, 分配律成立. 即: ()***a b c a c b c +=+. 如果域F 的元素有限个, 则称之为有限域. 反之称为无限域.定义2. 2 （离散对数）[25] 设p 是素数, a 是p 的本原元, 即121,,,p a a a -在mod p 下产生1到1p -的所有的值, 所以对{}1,2,,1b p ∀∈-, 有唯一的{}1,2,,1i p ∈-使得mod i b a p ≡. 称i 为模p 下以a 为底b 的离散对数, 记为()log mod b a i p ≡.当,,a p i 已知时, 可比较容易地求出b , 但如果已知,,a b p , 求i 则非常困难.目前最快的求离散对数算法的时间复杂度为: ()()2133exp ln ln ln O p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以当p 很大时, 该算法也是不可行的.定义2. 3 （素数）[25] 如果p 的因子只有±1或±p 称整数p 为素数. 定理2. 1 (中国剩余定理)[25] 假定12,,,k m m m 为两两互素的正整数,1ki i M m ==∏, 则一次同余方程组:()()()1122mod mod mod k k x a m x a m x a m ≡⎧⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩对模M 有惟一解: ()112212mod k k k M M Mx e a e a e a M m m m ⎛⎫≡+++ ⎪⎝⎭,其中i e 满足()()1mod 1,2,,i i iMe m i k m ≡=.定理2. 2 (欧拉定理)[24] 若(),1a n =, 则()1mod n a n φ≡. 其中()n φ 为欧拉函 数, 为小于n 且与n 互素的正整数的个数.定义2. 4 (Euclid 算法)[28] 若Z 是整数集合, ,,0a b b ∈Z >, 则存在唯一的整数,q r 使得:,0.a qb r r b =+≤< (2-1)当0r =时, 我们定义b 整除a , 记为|b a ; 当0r ≠时, 则b 不整除a , 记为|b a /. 注: 如果,a b +∈Z , 则以(),a b 记为a 与b 的最大公约数. 由(2-1)式知()(),,a b b r =.111212211323322111111,0,,0,,0,,0,,0.n n n n n n n n n n n a q b r r b b q r r r r r q r r r r r q r r r r r q r r r ----+++=+<<⎧⎪=+<<⎪⎪=+<<⎪⎨⎪⎪=+<<⎪=+=⎪⎩ 我们容易得到(),n r a b =.定义2. 5 （乘法逆元）[24-25] 已知a 及n 且(),1a n =, 若存在x 使得1mod ax xa n ≡≡成立, 则称x 为a 在mod n 的乘法逆元, 记作1mod x a n -≡.求乘法逆元可通过以下两种方法:方法一: 已知()n φ, 则由欧拉定理可知()11m o d na a n φ-≡. 因此,()11mod n aa n φ--≡（通常, 若n 为素数, 则()1n n φ=-; 若n 为合数, 则()n φ难求）.方法二: 利用Euclid 算法.在中学数学中, 我们熟知利用欧几里德算法求两整数a 及n 的最大公因子即gcd(,)a n . 如果gcd(,)1mod a n n ≡, 则a 在mod n 下有乘法逆元, 即存在x ()x n <,使得1mod ax n ≡.Knuth [26]已证明, 利用欧几里德算法求模n 乘法逆元, 平均需()0.843l n 1.47n +次除法. 而利用方法一的欧拉定理, 平均约需21.5log 2n -乘法. 因此, 求乘法逆元以方法二为佳. 2. 1. 2有限域插值理论首先介绍有限域Lagrange 插值理论定义2. 6 (基函数)[27] 对于给定的素数q 和数据(,)(),1,2,,,i i x y GF q i n ∈=i x 互不相等, 形如:()()()()()()()()()01110111()mod ()i i n i i i i i i i i n x x x x x x x x x x l x q x x x x x x x x x x -+-+-----≡----- 的1n +个n 次多项式01,,,n l l l 称为有限域Lagrange 插值以01,,,n x x x 为节点的n 次基函数. 这里1mod i jq x x -可表示为()1mod i j x x q --, 即i j x x -关于模q 的乘法逆元.定理 2. 3[27] 对于给定的离散数据(,)(),1,2,,,i i x y GF q i n ∈= i x 互不相等.可构造n 次多项式()()0mod ni i i f x y l x q =≡∑, 使得()mod i i f x y q ≡,0,1,2,,i n =.其次介绍有限域Nenton 插值理论.定义2. 7 (Nenton 基函数)[27] 设对于给定的素数q 和数据(,)(),i i x y GF q ∈1,2,,,i n = i x 互不相等, 形如:()()()()()()()0110111mod mod ,1,2,,.i i i i x qx x x x x x x x x x q i n ϕϕϕ---≡≡-≡---=则01,,,n ϕϕϕ称为有限域Nenton 插值以01,,,n x x x 为节点的基函数.定义2. 8 (均差)[27] 对于给定的素数q 和数据(,)(),1,2,,,i i x y GF q i n ∈= ix 互不相等,其中()mod i i y N x q ≡. 递推定义如下: 0阶均差: []()mod i i N x N x q ≡;1阶均差: 1,([][])*()mod i j i j i j N x x N x N x x x q -⎡⎤≡--⎣⎦;k 阶均差: [][][]1010110,,,(,,,,)*()mod k k k k N x x x N x x N x x x x q --≡--.这里1()i j x x --是()i j x x -模q 的乘法逆元.定理 2. 4[27] 对于给定的离散数据(,)(),1,2,,,i i x y GF q i n ∈= i x 互不相等.可构造的n 次多项式为:()()()()()01020101()()mod n n N x a a x x a x x x x a x x x x q -≡+-+--++--即: ()()()()001122()()mod n n N x a x a x a x a x q ϕϕϕϕ≡++++满足()mod i i N x y q ≡, 且系数为均差:[][][]0010101,,,,,,,n n a N x a N x x a N x x x ≡≡≡.通常要列出均差表来计算出Nenton 插值多项式的系数,0,1,2,,i a i n =, 其其中表中对角线上元素分别对应于01,,,n a a a .可以比较出Lagrange 插值法与Newton 插值法的便利情形如下: 情形一: 在实数域[27]上, 已知实数数据(,)i i x y ,0,,i n =. 得离散数据表：构造n 次多项式()f x , 满足()i i f x y =, 0,1,2,,i n =.此时, 通过Lagrange 插值法和Newton 插值法均可构造n 次多项式()f x . (1) Lagrange 插值法构造方法为:()()0ni i i f x y l x ==∑, 其中()i l x 为基函数.(2) Newton 插值法构造方法为:0102010()(()()()()())n n f x a a x x a x x x x a x x x x =+-+--++--,基中[][][]0010101,,,,,,,n n a f x a f x x a f x x x ===.情形二: 在有限域上,已知素数q 及整数数据(,)()i i x y GF q ∈, 0,1,,i n =.构造n 次多项式 ()f x , 满足()(mod )i i f x y q ≡, 0,1,2,,i n =.通过Lagrange 插值法和Newton 插值法均可构造n 次多项式()f x , 其中有限域Lagrange 插值法为:()()0mod ni i i f x y l x q =≡∑,这里, ()i l x 为基函数, 这里的“除法”为乘法逆元, 即1mod i jq x x -代之以()1mo d i j x x q --.有限域Newton 插值法为:()2012(mod )n n f x a a x a x a x q ≡++++,基中[][][]00101011mod ,,mod ,,,,,mod n n a f x q a f x x q a f x x x q -≡≡≡.有限域Lagrange 插值法和有限域Newton 插值法在密码学中有着广泛的应用. 经典的Shamir (),t n 门限秘密共享就是基于有限域Lagrange 插值法实现的, Lain 等人设计的单钥匙—锁存取控制方案是基于有限域Newton 插值法实现的.情形三: 在有限域上, 若增加数据11(,)n n x y ++()GF q ∈, 得离散数据表:构造一个1n +次多项式()mod y f x q ≡, 满足()(mod )i i f x y q ≡,0,1,2,,1i n =+. 此时均可通过Lagrange 插值法和Newton 插值法构造多项式.利用Lagrange 插值法需重新全部构造基函数()i l x , 而Newton 插值法只需计算均差1n a +，而均差01,,,n a a a 仍能保留, 不用计算. 则[]101,,,mod n n a f x x x q +≡.很明显此时利用Newton 插值法比Lagrange 插值法方便. 且此处的Lagrange 插值法和Newton 插值法在实数域也适应.情形四: 在有限域上, 若删除数据(,)j j x y ()GF q ∈,0,1,2,,i n =,得离散数构造一个1n -次多项式()mod y f x q ≡, 满足()(mod )i i f x y q ≡, 0,1,1,i j =-1,,j n +. 当j n =时, 利用Lagrange 插值法需全部重新构造基函数()i l x , 而Newton 插值法只需删除均差n a . 当j n ≠时, 利用Lagrange 插值法需全部重新构造基函数, 而Newton 插值法只需重新构造均差11,,,j j n a a a +-, 而011,,,j a a a -仍能保留不用计算. 且此处的Lagrange 插值法和Newton 插值法在实数域也适应.2. 2密码学基础和常用秘密共享技术使用传统的密码体制[28]进行秘密通信,要求不同用户约定不同的密钥. 这样,若n 个用户都能够秘密地交换信息, 则每个用户将需要2n C 个密钥. 当n 非常大时将无法在互联网上进行通信. 这种巨大的密钥量也给密钥的分配与管理带来极大的困难. 1976年, 由Diffie 和Hellman [29]提出的公钥密码体制解决了这个问题,他们指出解密密钥和加密密钥分开, 将解密密钥保密, 加密密钥公开.则每个用户只拥有两个密钥加密密钥(公钥)和解密密钥(私钥), 并且把所有公钥均记录在类似电话号码本的密钥本中. 这种密码体制的安全性是从已知的公钥、加密算法与信道上截获的密文不能得到明文或私钥. 其中加、解密变换B E , B D 满足如下三个条件:(1) B D 是B E 的逆变换, 即m M ∀∈,（M 为明文空间）, 均有()()()B B BD c DE m m ==.(2)在已知B 的公钥与私钥的条件下, B E 与B D 均为多项式时间的确定性算法.(3)对m M ∀∈, 找到算法B D *, 使得()()B B D E m m *=是非常困难的, 因为在现有的资源与算法下, 寻找B D *是不现实的. 2. 2. 1 RSA 密码体制1978年, R. Rivest, A. Shamir 和L. Adleman [30]提出了RSA 密码算法,这种算法是基于数论构造的、也是迄今为止理论上最为成熟完善的公钥密码体制, 该体制已得到广泛的应用. 分为RSA 加密算法和RSA 数字签名算法. 此算法由密钥的产生阶段、加密阶段、解密阶段构成, 下面对RSA 加密算法进行描述.⑴密钥的产生阶段①选两个保密的大素数p 和q ;②计算n p q =⨯, ()()()11n p q ϕ=--, 其中()n ϕ是n 的欧拉函数值; ③选一整数e , 满足()1e n ϕ<<, 且()()gcd ,1n e ϕ=;④计算d , d 满足()1mod()de n ϕ≡, 即d 是e 在模()n ϕ下的乘法逆元, 因()()gcd ,1n e ϕ=, 则它的乘法逆元一定存在;⑤{},e n 作为公钥公开, {},d n 作为私钥私藏.⑵加密阶段加密时首先将明文比特串分组, 使得每个分组对应的十进制小于n , 即分组长度小于2log n . 设分组明文为m , 作加密运算得密文: (mod )ec m n ≡⑶解密阶段由加密阶段知密文为c , 则由解密运算得明文为: (mod )d m c n ≡.2. 2. 2 Shamir (),t n 门限方案定义2. 9 ((),t n 门限方案)[25] 设秘密S 被分成n 个子秘密, 每一个参与者持有一个子秘密, 满足:①由t 个或多于t 个参与者所持有的子秘密可重构秘密S ; ②由少于t 个参与者所持有的子秘密无法重构秘密S . 称这种方案为(),t n 门限方案, 其中t 称为该方案的门限值.1979年, Shamir (),t n 方案首次由Shamir 基于Lagrange 插值多项式提出. 它通过构造一个1t -次多项式()f x , 满足 ()0f S =, 每个参与者的子秘密为满足该多项式()f x 的一个坐标点. 由Lagrange 插值定理可知, 至少任意t 个子秘密可以重构该多项式()f x 而恢复秘密S , 而1t -个或更少的子秘密不能重构该多项式()f x , 因而得不到关于秘密S 的任何信息. 由于此方案简单且实用, 因此现有大多数秘密共享方案都是基于Shamir 的方案, 下面进行介绍.⑴初始化阶段设()GF q 是一有限域. 其中q 是一大素数, 满足1q n ≥+, 组织者在有限域()GF q 内选择n 个整数(1,2,,i x i n =, 将i x 分发给个不同的参与者(1,2,,)i P i n ==, i x 的值通常不公开.⑵秘密分发阶段秘密S 是在{}()\0GF q 上均匀选取的一个随机数, 表示为S {}()\0GF q ∈, 组织者要将秘密S 在n 个不同参与者(1,2,,)i P i n =中共享, 首先, 秘密共享组织者构造1t -次多项式()f x : 111()mod .t t f x S a x a x q --≡+++其中{}()\0i a GF q ∈ (1,2,,1)i t =-且i a 随机选取的整数. 组织者计算子秘密()i f x (1,2,,1)i t =-, 并将其分配给参与者i P 作为i P 的子秘密.⑶秘密恢复阶段如果任意t 个参与者(1,2,,)i P i n =要想得到秘密S , 可由{}(,())1,2,,i i x f x i t =构造如下线性方程组:101111110121221011()mod ()mod ()mod t t t t t tt t t a a x a x f x q a a x a x f x q a a x a x f x q------⎧+++≡⎪+++≡⎪⎨⎪⎪+++≡⎩求解或由Lagrange 插值公式构造如下的多项式:111()()()()mod tti j i j i j i jf x f x x x x x q -==≠≡--∑∏从而可得(0)mod S f q ≡.第三章 基于Newton 插值理论设计的多秘密共享方案所谓多秘密共享方案是指在一次秘密共享过程中能共享多个秘密的秘密共享方案. 现有大多数(),t n 门限方案[31-32]在一次秘密共享过程只能共享一个秘密, 随着现代社会数字化、信息化的发展, 在许多应用中对于一次共享多个秘密的应用场合, 比如研究无条件安全的多步计算的通信复杂度、adhoc 网络、无线传感器等. 这些方案重复计算量仍比较大, 于是学者们提出了多秘密共享方案[33-36], 即一次秘密共享过程中能实施多个秘密的共享.本章基于(),t n 门限方案、有限域Newton 插值理论成功设计了一个门限可变的多秘密共享方案. 本方案一次秘密共享就能共享多个秘密; 本方案可通过调整()r N d 的数量, 来调整门限值t 的大小, 即秘密共享组织者可根据秘密的重要性可动态调整门限值t .由于本方案是基于有限域Newton 插值理论设计的, 则方便秘密共享组织者在秘密更新时快速地增加或减少秘密, 方便参与者在秘密恢复阶段时快速地增加或删除参与者. 最后本方案给出了数值算例, 数值算例验证其正确性.3.1 基于Newton 插值法设计的动态多秘密共享方案的数学模型Lagrange 插值的优点是插值多项式特别易于建立. 缺点是新增节点时原有多项式不能利用, 形式不易简化, 计算工作量大等. Newton 插值则从改进Lagrange 插值多项式的形式入手, 以便增加或删除节点和节省计算量等. 现有的多秘密共享方案大多数基于Lagrange 插值多项式实现的, 如Pang [17]等人的多秘密共享方案, 在更新秘密时, 秘密共享组织者需重新计算所有的基函数, 原来的计算一点也不能利用, 不方便秘密共享组织者在秘密分发阶段增加或减少秘密; 当发现欺骗者时, 参与者需重新计算所有的基函数, 原来的计算一点也能利用, 不方便参与者在秘密恢复阶段增加或删除参与者. 本章对Pang 等人方案的改进,并基于Newton 插值多项式成功设计了一门限可变的多秘密共享方案. 本章设计的门限可变的多秘密共享数学模型如下:已知q 是一大素数, 满足1q n ≥+. 秘密共享组织者欲让n 个参与者(1,2,,)i P i n =共享的多个秘密为12,,,k m m m ()k t >, 且要求n 个参与者中的至少t 个参与者到场才能实现.首先, 秘密共享组织者由()()()121,2,,,,k m m k m ,利用Newton 插值多项式构造一个1k -次多项式:01()N x a a x ≡++11mod k k a x q --+,()i a GF q ∈()0,1,,1i k =-.满足(),1,2,3,,i N i m i k ≡=.其次, 秘密共享组织者利用这个1k -次多项式()N x 得到下列信息表:,k t -),,(,k t d N -最后, 至少t 个参与者能共享这k 个秘密, (不妨设12,,t P P P ). 则由参与者提供()()11,,,t t x y x y 及在公告牌上下载的()()11(,),,(,)k t k t d N d d N d --共k 个数据利用Newton 插值多项式能恢复多项式:01()N x a a x ≡++11mod k k a x q --+.因此参与者共享的k 个秘密为()mod ,1,2,,i m N i q i k ≡=.3. 2 基于 Newton 插值理论设计的动态多秘密共享方案基于上述数学模型设计的动态多秘密共享方案如下:⑴秘密分发阶段秘密共享组织者在有限域()GF q 内随机选择n 个整数(1,2,,)i x i n =作为参与者的身份标识, 将i x 通过公开通道分发给个不同的参与者(1,2,,)i P i n =, ix 的值通常不公开.Step1.1 秘密共享组织者由离散数据()()()121,2,,,,k m m k m ,利用Newton 插值多项式构造一个1k -次多项式:01()N x a a x ≡++11mod k k a x q --+,()i a GF q ∈()0,1,,1i k =-.Step1.2 秘密共享组织者计算子秘密()mod i i y N x q ≡(1,2,,1)i t =-, 并将i y 通过安全通道将其发送给参与者i P 作为i P 的子秘密(保密).Step1.3 秘密共享组织者在有限域()GF q 内随机选取k t -个整数r d (1,2,,r k t =-）,其中,0,1,,r r i d k d x i n >≠=且. 并计算()r N d , 在公告牌上公布(){},1,2,,r r d N d r k t =-.⑵秘密恢复阶段至少t 个参与者就能共享这k 个秘密, 不妨设为12,,,t P P P .Step2.1 t 个参与者提供自己的子秘密{}(,)1,2,,i i x y i t =后, 并从公告牌上下载()()11(,),,(,)k t k t d N d d N d --, 即由{}(,)1,2,,i i x y i t =及在公告牌下载的(){},1,2,,rrd N d r k t =-共k 个点利用Newton 插值多项式可恢复多项式:01()N x a a x ≡++11mod k k a x q --+,()i a GF q ∈()0,1,,1i k =-Step2.2 则参与者能一次共享k 个秘密, 即()mod ,1,2,,i m N i q i k ≡=.3. 3 数值算例已知391q =是一大素数, 秘密共享组织者欲让5n =个参与者恢复的4个秘密为: 1128m =,267m =,3175m =,48m =,且要求5个参与者中的至少3t =个参与者到场才能实现.例1 基于 Newton 插值理论设计的动态多秘密共享方案的数学模型 首先, 秘密共享组织者由离散数据()()()()1,1282,67,3,175,4,8,利用Newton 插值多项式构造一个3次多项式: 23()20240333317mod391N x x x x ≡+++.其次, 秘密共享组织者利用这个3次多项式()N x 得到下列离散数据表:最后, 至少3个参与者就能共享这4个秘密, 假设为123,,P P P , 则由参与者提供的()()35,145,327,42,()387,131及下载()11,372共4个数据, 利用Newton 插值法恢复多项式()N x :23()20240333317mod391N x x x x ≡+++.因此参与者共享的4个秘密为()1128mod391N ≡,()267mod391,N ≡()3175mod391,N ≡()48mod391N ≡.例2 基于 Newton 插值理论设计的动态多秘密共享方案⑴秘密分发阶段秘密共享组织者在有限域()391GF 内随机选取5个整数作为参与者的身份标识, 不妨设1234535,327,387,16,89x x x x x =====. 将i x 分发给个不同的参与者(1,2,,5)i P i ==, i x 的值通常不公开.Step1.1 秘密共享组织者利用()()()()1,128,2,67,3,175,4,8利用Newton 插值多项式构造一个多项式()N x , 其均差表如下:因此0128mod391a ≡,1330mod391a ≡,2280mod391a ≡,3317mod391a ≡. 则()128330(1)280(1)(2)317(1)(2)(3)mod(391)N x x x x x x x ≡+-+--+---,化简得23()20240333317mod391N x x x x ≡+++.满足(1)128mod391N ≡,()267mod391N ≡,(3)175mod391N ≡,()48mod391N ≡.Step1.2 秘密共享组织者计算()()1135145mod391y N x N ≡≡≡, 同理可得242mod 391y ≡,3131mod391y ≡,4272mod391y ≡,5178mod391y ≡.秘密共享组织者将12345,,,,y y y y y 通过安全通道分别发送给12345,,,,P P P P P (保密).Step3: 秘密共享组织者在有限域()391GF 内随机选取一个整数111d =, 并计算()()111N d N ≡≡372mod391. 并在公告牌上公布()11,372.⑵秘密恢复阶段为了重构秘密, 由(),t n 门限方案知, 至少需要3个参与者合作, 假设任意3。
秘密分享
动态秘密共享方案通过在不改变秘密的情况下解 决了秘密共享方案在周期上的安全性问题。 动态秘密共 享方案在保证秘密不变的情况下周期性的更换子秘密， 从而使得每次更换子秘密后攻击者在前一个周期内所 获得的信息完全失效。 更新周期一般是一个比较短的时 间，这就使得攻击者必须在一个较短的时间段内，攻破 至少 t 个成员，才能获得原秘密。动态秘密共享还要保 证过期的子秘密所包含的信息不回对未来秘密的构造 产生不安全的影响。 这样就能在很大程度上提高系统的 安全性。
秘密分享的概念是由 Shamir 在 1979 年提出的。 其 基本思想是将秘密分解为多个碎片并将这些碎片分发 给不同的人掌管，在秘密丢失的情况下，这些人中的某 些特定子集可以通过将他们拥有的碎片凑在一起以恢 复整个秘密。
秘密分享的概念
一般的， 一个由秘密分发者 D 和参与者 P1， P2,· · · ， Pn 构成的(t,n)秘密分享体制包含下面两个协议： (1)秘密分发协议 碎片 si，i = 1,· · ·,n。 (2)秘密重构协议 原秘密 s。 在这个协议中，任意不少于 t 个参与者一起合作，以自己的碎片 si 作为输入，重构 在这个协议中，秘密分发者 D， 在 n 个参与者中分享秘密 s,每个参与者 Pi 获得一个
同样的，在秘密重构协议中，如果参与者 Pi 没有 使用正确的碎片 si，而是使用一个随机值，那么最终重 构出的秘密将没有任何意义。如果只重构过程中， Pi 是唯一一个没有使用正确碎片的参与者， 那么他就能够 使用其他 t-1 个参与者的正确碎片计算出被分享的真正 秘密。正是由于存在上述攻击，我们需要设计更强的秘 密分享体制以抵抗这种潜在的攻击方式。
( x 3)( x 5) ( x 3)( x 5) 5 5 5 (3 1 mod19) ( x 3)( x 5) (2 3)(2 5) (1)(3) 5 13( x 3)( x 5) 65( x 3)( x 5)
shamir 原理简单介绍
shamir 原理简单介绍
Shamir的门限方案是一种基于拉格朗日插值多项式的密码学方案，用于实现秘密共享。
其基本原理是将一个秘密密钥切分成多个部分，并分发给不同的参与方。
当满足指定的门限条件时，参与方才能合作将密钥还原出来。
这样做的好处是即使有部分参与方失效或者被攻击，仍然可以保证密钥的安全性。
Shamir门限方案的核心原理是将秘密密钥作为常数项，构造一个t-1次多项式，其中t是门限值。
然后选择一个有限域和t-1个随机数作为插值多项式的系数，在每个参与方上计算对应的多项式值，并将其作为该参与方的私密分享。
通过任意t个参与方的合作运算，可以通过插值多项式重建密钥。
Shamir门限方案具有很高的安全性，因为即使少于t个参与方联合也不能得到共享秘密的任何信息。
此外，Shamir门限方案还具有灵活性和可扩展性，可以根据实际需求调整门限值和参与方数量。
一类新的秘密共享方案安全性分析及其改进
一类新的秘密共享方案安全性分析及其改进庄锋茂;胡慧丹;林昌露【摘要】经安全分析发现(3,7)-门限秘密共享方案以及(7,7)-门限秘密共享方案无法确保秘密共享的隐私性,且(3,7)-门限秘密共享方案不满足秘密共享的的正确性.为了克服这些安全隐患,改进了(3,7)-门限秘密共享方案使其能够满足秘密共享的安全性要求.在改进的方案中,通过加入一些随机值以减弱共享之间的相关性并确保了方案的隐私性,通过计算一些公开值来保证方案的正确性.【期刊名称】《武夷学院学报》【年(卷),期】2018(037)012【总页数】5页(P17-21)【关键词】门限秘密共享;格雷码;异或运算;安全分析【作者】庄锋茂;胡慧丹;林昌露【作者单位】福建体育职业技术学院公共基础部,福建福州 350003;福建师范大学数学与信息学院,福建福州 350117;福建师范大学数学与信息学院,福建福州350117【正文语种】中文【中图分类】TP3931979年，Shamir[1]利用拉格朗日插值多项式提出了（t，n）-门限的秘密共享方案.在该方案中，一个诚实的第三方将秘密拆分成n份共享,并将每一份共享秘密地分发给n位不同的参与者；其中，任意t个或大于t个参与者的合作能重构出秘密（正确性），而任意小于t个参与者的合作得不到关于秘密的任何消息（隐私性）.同年,Blakley[2]借助几何的方法提出了不同的秘密共享方案.1983年，Mignotte[3]和Asmuth-Bloom[4]借助中国剩余定理提出了新的门限秘密共享方案.为了丰富秘密共享方案，许多的学者利用不同的数学工具，如：二进制序列，格，二元对称多项式，双线性映射，等等，分别地提出了各种秘密共享方案[5-9]，以满足不同的应用需求.2017年,Deepika和Sreekumar[10]基于格雷码和异或运算提出了一类新的秘密共享方案.其中利用格雷码技术实现秘密分发，而用异或运算实现安全的秘密重构.作者称该方案无信息丢失且可应用于视觉密码学中.显然，参与者仅仅需要进行异或运算就能还原出秘密，与传统的其他方案比较，该方按可大量地减少了参与者的计算量.通过详细的安全性分析发现，该方案存在安全漏洞并给出了具体的攻击方式，进而给出了一个改进的安全方案.在改进方案中，我们在共享生成阶段添加了随机值用以破坏共享之间的关联性；通过一些公开值实现了方案的正确性.1 预备知识1.1 格雷码格雷码是一类循环二进制单位距离码，它是任意两个相邻的码字只有一位二进制数不同的编码,它与奇偶校验码同属可靠性编码.1.2 异或运算异或也叫半加运算，其运算法则相当于不带进位的二进制加法，二进制下1表示真，0表示假，则异或的运算法则为：0⊕0=0，1⊕0=0⊕1=1，1⊕1=1.1.3 二进制码转换成格雷码二进制码转换成格雷码，其法则是保留二进制码的最高位作为格雷码的最高位，而次高位格雷码为二进制码的高位与次高位相异或，而格雷码其余各位与次高位的求法类似.例如：某二进制数为：Bn-1Bn-2…B2B1B0其对应的格雷码为：Gn-1Gn-2…G2G1G0具体地，最高位保留Gn-1=Bn-1，其他各位数Gi=Bi+1⊕Bi，其中 i=0，1，…，n-2.2 Deepika-Sreekumar的秘密共享方案Deepika和Sreekumar[10]借助格雷码与异或运算提出一类新的秘密共享方案，该方案不同于基于多项式的秘密共享方案和基于中国剩余定理的秘密共享方案.该方案利用简单的异或运算实现了秘密的重构，这可大量地减低了每位参与用户的计算量.本节主要简要回顾Deepika-Sreekumar的秘密共享方案.具体地，Deepika和Sreekumar给出了该类型秘密共享方案的两种构造：一种是（7,7）-门限秘密共享方案，即只有7个参与者都拿出他们的共享才能重构出秘密；另一种是（3,7）-门限秘密共享方案，即仅有三个特定的参与者就可还原秘密.这两种情形的秘密共享方案的共享的生成算法是一样的，但是它们的秘密恢复算法不一样.具体步骤如下所示.2.1 共享的生成算法第一步：输入主秘密S，将S转化为二进制数.第二步：将秘密S转化成它所对应的格雷码G.第二步：计算共享S1，S1=G；将秘密S1转化成它所对应的格雷码G1.第三步：计算共享S2，S2=G1；将秘密S2转化成它所对应的格雷码G2.第四步：计算共享S3，S3=G2；将秘密S3转化成它所对应的格雷码G3.第五步：计算共享S4，S4=G3；将秘密S4转化成它所对应的格雷码G4.第六步：计算共享S5，S5=G4；将秘密S5转化成它所对应的格雷码G5.第七步：计算共享S6，S6=G5；将秘密S6转化成它所对应的格雷码G6.第八步：计算共享S7，S7=G6第九步：将二进制 S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7转化为十进，输出十进制的 7 个共享 S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，并秘密地分发给7位不同的参与者.2.2 （3，7）-门限秘密共享方案的重构算法1）第一阶段第一步：输入 S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7.第二步：判定共享的下标i是否整除2；如果i-2=0，则Si是授权集里的共享；否则Si不是授权集里的共享.第三步：输出共享 S2，S4，S6.2）第二阶段第一步：输入 S2，S4，S6,并将 S2，S4，S6 转化为二进制数.第二步：计算S2⊕S4⊕S6.第三步：将M转化为十进制数.第四步：输出秘密S=M.2.3 （7，7）-门限秘密共享方案的重构算法第一步：输入S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，并将S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7转化为二进制数.第二步：计算S1⊕S2⊕S3⊕S4⊕S5⊕S6⊕S7=M.第三步：将M转化为十进制数.第四步：输出秘密S=M.3 安全漏洞分析本节将通过具体实例来阐述Deepika和Sreekumar提出的两种情形的门限秘密共享方案存在严重的安全漏洞.将指出它们无法满足门限秘密共享方案的最基本的隐私性与正确性要求.不失一般性,假设秘密S=860，通过执行“共享的生成算法”得到秘密S的二进制形式S=1101011100，以及7个共享：S1=1011110010，S2=1110011011，S3=1001010110，S4=1101111101，S5=1011010011，S6=1110111010，S7=1001110111.3.1 隐私性分析将分析 Deepika 和 Sreekumar设计的（3，7）-门限秘密共享方案与（7，7）-门限秘密共享方案均无法确保其隐私性：1）每个参与者利用所持有的一个共享都可以恢复秘密；2）参与者能获得其他参与者的共享.3.1.1 参与者P1利用S1得到秘密S参与者P1可通过执行以下的两个步骤成功地获得秘密.第一步：P1可以得到S的格雷码G=S1=1011110010.第二步：设 S=B9B8B7B6B5B4B3B2B1B0，G=G9G8G7G6G5 G4G3G2G1G0,其中B9=G9=1,B8=B9⊕G8=1⊕0=1，B7=B8⊕G7=1⊕1=0，B6=B7⊕G6=0⊕1=1，B5=B6⊕G5=1⊕1=0，B4=B5⊕G4=0⊕1=1，B3=B4⊕G3=1⊕0=1，B2=B3⊕G2=1⊕0=1，B1=B2⊕G1=1⊕1=0，B0=B1⊕G0=0⊕0=0，易知，参与者P1通过以上计算可获得秘密S.3.1.2 参与者Pi获得其他参与者Pj的共享参与者Pii=（2,3,…,7）不仅能得到秘密S，还能得到其他参与者Pj（j＜i）的共享.具体地，参与者Pii=（2,3,…,7）通过以下的步骤成功地获得其他参与者Pj（j＜i）的共享，且可恢复出秘密.第一步：Pi可以获得Pi-1的共享Si-1的格雷码Gi-1=Si.第二步：设,其中从而获得共享Si-1.第三步：Pi重复的执行i-1次步骤1,2即可得到Si-2,Si-3,…,S1,S，并可正确地恢复出秘密S.3.2 正确性分析本节仅对Deepika和Sreekumar提出的（3,7）-门限秘密共享方案不满足正确性要求给出详细的分析.即该方案不满足任意3个或大于3个参与者能正确地恢复秘密；小于3个参与者无法还原秘密.由于（7,7）-门限秘密共享方案中7个参与者全部参与能还原出秘密，因此 Deepika和 Sreekumar提出的（7,7）-门限秘密共享方案满足正确性.通过以下例子说明（3,7）-门限秘密共享存在的缺陷，具体步骤如下所示：设参与者P1,P2,P3去重构秘密，参与者P1,P2,P3利用所得到的三个共享S1=1011110010，S2=1110011011，和S3=1001010110进行异或运算去还原秘密.首先对S1和S2进行异或运算得结果m1=S1⊕S2=1011110010⊕1110011011=010*******，然后再将m1和S3进行异或运算得到结果m2=m1⊕S3=010*******⊕1001010110=11001111111.我们发现通过共享，S1,S2和S3所得到的结果m2≠S.具体的重构秘密的运算过程如下所示.设参与者P1,P2,P4,P6去重构秘密,参与者P1,P2,P4,P6利用所得到的四个共享S1=1011110010，S2=1110011011，S4=1101111101 和 S6=1110111010 执行重构算法去还原秘密.首先需要对S1=1011110010和S2=1110011011执行异或运算得到结果m3=S1⊕S2=010*******，然后再对 m3=101101001和S4=1101111101执行异或运算得到结果m4=m3⊕S4=1000010100，最后计算m4⊕S6得到结果 m6=0110101110.我们发现通过共享 S1，S2，S4和 S6所得到的结果m5≠S.具体的运算过程如下所示.通过以上的两个例子说明Deepika和Sreekumar所提出的（3,7）-门限秘密共享方案无法满足任意的三个或大于三个参与者都能还原出真正的秘密这个性质.4 方案改进本节将改进Deepika和Sreekumar的秘密共享方案，仅对提出（3,7）-门限秘密共享方案的给出具体的改进.在改进的方案中，在重构阶段也仅只需要做异或运算，且满足正确性和隐私性.该改进方案的共享生成算法和秘密恢复算法分别描述如下.4.1 共享生成算法第一步：可信第三方执行第2.1节中“生成算法”过程中将秘密 S 生成 7 个伪共享 S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7.第二步：第三方任意的选择7个随机值K1，K2，K3，K4，K5，K6，K7, 将 K1，K2，K3，K4，K5，K6，K7, 转化为二进制数,再计算共享Y1=S1⊕K1，Y2=S2⊕K2，Y3=S3⊕K3，Y4=S4⊕K4，Y5=S5⊕K5，Y6=S6⊕K6，Y7=S7⊕K7.第三步：第三方计算公开值Ai1i2i3.具体地，Ai1i2i3=Yi1⊕Yi2⊕Yi3⊕S，其中这里 S 为秘密且｛i1,i2,i3｝是{1,2,…,7}的任意3元子集，公开哈希值H（S），其中H为安全的哈希函数.第四步：第三方通过安全的信道将 Y1，Y2，Y3，Y4，Y5，Y6，Y7 传输给参与者 U1，U2，U3，U4，U5，U6，U7.4.2 秘密重构算法假设任意三位参与者Ui1,Ui2,Ui3重构秘密S,利用公开值Ai1i2i3和三个共享Yi1,Yi2,Yi3即可计算秘密.5 安全性分析本节将通过两个定理来论证改进的秘密共享方案满足正确性和隐私性要求.定理 1（正确性）：在改进方案中，任意3个或大于3个的参与者利用手中的共享执行秘密重构算法可以重构出正确的秘密.证明：假设任意3个或大于3个参与者重构秘密S，他们可以利用公开的值Ai1i2i3，通过秘密重构算法可容易恢复出秘密.在重构的过程中，参与重构的参与者只需执行异或运算计算消息就能恢复秘密.若H（S'）=H（S），则所恢复的消息通过了分享秘密的验证.这也表明计算的消息就是正确的秘密，即S'=S.定理2（隐私性）：在改进的方案中，小于3个参与者利用手中的共享执行秘密重构算法无法恢复秘密.证明：不失一般性，假定参与者U1,U2拟重构秘密S.由于参与者U1,U2只有共享Y1,Y2但没有公开值A1,2，因此参与者无法利用公开值A1,2执行秘密重构算法，这使得秘密重构算法无法正确的计算Y1⊕Y2⊕A1,2并恢复正确的秘密.此外，参与者U1或U2各自均无法通过公开值或自己的共享份额计算得到其他参与者的共享.其原因是，他们各自的共享中包含了一个随机值，即Y1=S1⊕K1和Y2=S2⊕K2中分别含有随机值K1和K2，且这随机值只有分发者知道，而任何一个参与者不仅不知道与自己共享相关的随机值，而且无法预测得到与其他参与者相关的那个随机值的任何信息.6 总结本文对Deepika和Sreekumar所提出的两种秘密共享方案给出了具体的安全性分析.分析结果表明：他们所提出的方案中每个参与者仅仅通过自己的共享可以还原秘密，同时还能得到其他参与者的共享，即无法达到隐私性.同时通过两个具体的例子说明他们设计的（3,7）-门限的秘密共享方案无法保证正确性.最后，本文对（3,7）-门限的秘密共享方案给出了的一种改进的方案，并确保了改进的方案能达到秘密共享的隐私性及正确性.【相关文献】[1]SHAMIR A.How to share a secret[J].Communication of the ACM,1979,22 （11）：612-613.[2]BLAKLEY G R.Safeguarding cryptographic keys [C].In Proceedings of AFIPS'79,Computer Conf：AFIPS Press,1979,313-317.[3]MIGNOTTE M.How to share a secret[C].In Proceeding of the Workshop on Cryptography：Heidelberg,LCNS 149,1983,371-375.[4]ASMUTH C,BLOOM J.A modular approach to key safeguarding [J].IEEE transactions on information theory,1983,29 （2）：208-210.[5]程叶霞,杜跃进,杨凯,等.一种基于二进制序列的秘密共享新方法[J].电信科学,2015,31 （11）：29-35.[6]张红军,刘珂,牟占生.基于格的门限秘密共享算法[J].计算机工程,2016,42 （6）：139-143+150.[7]顾为玉,苗付友,何晓婷.基于二元对称多项式的公平秘密共享方案 [J].计算机工程与应用,2016,52（13）：38-42+109.[8]张尚韬.一种基于椭圆曲线自双线性映射的多秘密共享方案 [J].海南师范大学学报（自然科学版）,2016,29 （01）：36-39.[9]宋海龙,王伟平.基于精确再生码的秘密共享方案[J].中南大学学报（自然科学版）,2017,48 （4）：984-989.[10]DEEPIKA M P,SREEKUMAR A.Secret sharing using gray code and XOR operation [C].In Proceedings of the Second International Conference on Electrical,Computer and Communication Technologies （ICECCT）,2017：1-5.。
用拉格朗日插值法求 shamir secret sharing的python代码 -回复
用拉格朗日插值法求shamir secret sharing的python代码-回复如何使用拉格朗日插值法实现Shamir秘密共享的Python代码Shamir秘密共享是一种密码学技术，用于将秘密拆分为多个部分，使得只有当所有部分被汇聚在一起时方能恢复原始秘密。
这种技术非常有用，特别是在需要对敏感的私人数据进行保护的情况下。
在本文中，我们将学习如何使用拉格朗日插值法实现Shamir秘密共享的Python代码。
1. Shamir秘密共享简介Shamir秘密共享是由Adi Shamir在1979年提出的一种密码学技术。
该技术的核心思想是将秘密S拆分为n个部分，并设置一个阈值t，只有当收集到至少t个部分时，才能恢复原始秘密。
Shamir秘密共享的主要应用领域包括多方计算和密钥管理等。
2. 拉格朗日插值法简介拉格朗日插值法是一种用于确定通过一组离散点的多项式函数的方法。
具体来说，给定n个不同的点和n个对应的值，拉格朗日插值法可以用唯一的多项式函数表示通过这些点的曲线。
在Shamir秘密共享中，我们可以使用拉格朗日插值法来计算多项式函数。
现在，我们来实现Shamir秘密共享的Python代码。
首先，我们需要导入必要的库。
在这种情况下，我们将使用SymPy库来处理多项式和代数运算。
pythonfrom sympy import symbols, Lagrange接下来，我们定义Shamir秘密共享的主要类。
pythonclass ShamirSecretSharing:def __init__(self, t, n, p):self.t = t # 阈值self.n = n # 总共的部分self.p = p # 质数用于计算# 创建随机多项式def create_polynomial(self, secret):coefficients = [secret] + [random.randint(1, self.p - 1) for _ in range(self.t - 1)]return coefficients# 通过插入点计算多项式def calculate_polynomial(self, polynomial, x):secret = sum([coefficient * xi for i, coefficient in enumerate(polynomial)])return secret# 生成共享部分def generate_shares(self, secret):polynomial = self.create_polynomial(secret)shares = []for i in range(1, self.n + 1):share = (i, self.calculate_polynomial(polynomial, i))shares.append(share)return shares# 通过阈值t恢复秘密def recover_secret(self, shares):x = symbols('x')polynomial = Lagrange(points=shares[:self.t], x=x)secret = self.calculate_polynomial(polynomial, 0)return secret在上述代码中，我们定义了一个ShamirSecretSharing类，并在构造函数中定义了阈值t、总部分n和质数p。
一个可公开验证的多重秘密共享门限方案
l)门 限 秘 密 共 享 方 案 ,可 以 共 享 多 个 秘 密 .
[
1]
任何在实际中应用的密码方案及其 算 法 都 应 该 具 有 抵 抗 攻 击 的 能 力,Shami
r秘 密 共 享 方 案 和 其 他
秘密共享方案是在秘密分发者和参与者都可信的前提假设下设计的,这样就导致了秘密共享方案在实际应
收稿日期:2019 07 01
基金项目:贵州省教育厅青年科技人才成长项目(黔教合 KY 字[
2016]
130;贵州省科学技术基金项目 (黔科合 J字[
2014]
2125 号 );国
家自然科学基金项目(
61462016).
作者简介:蔡兆政,硕士,主要从事编码理论和密码学的研究 .
通信作者: 包小敏,博士,教授 .
与 者 联 合 可 以 重 构 多 项 式 ,得 到 的 常 数 项 即 为 分 享 的 秘 密 .反 之 ,任 何 小 于t 个 参 与 者 的 集 合 不 能 重 构
多 项 式 ,从 而 不 能 获 得 秘 密 .文 献[
2]利 用 线 性 投 影 几 何 原 理 的 性 质 构 造 的 门 限 方 案 ,t 个t-1 维 超 平
案 ,但 是 该 方 案 需 要 将 子 秘 密 通 过 秘 密 信 道 发 送 给 参 与 者 ,在 动 态 秘 密 共 享 情 形 下 ,秘 密 共 享 者 的 工 作
量较 大 ,同 时 维 护 秘 密 信 道 增 加 了 通 信 开 支 .本 文 提 出 了 一 个 安 全 有 效 的 可 公 开 验 证 的 (
t,n)多 重 秘 密
[
17]
,不 需 要 维 护 秘 密 信 道 而 增 加 通 信 成 本 ;计 算 的
拉格朗日插值方法
拉格朗日插值方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊拉格朗日插值方法。
这玩意儿啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解决好多有趣的问题呢！你想想看，有时候我们就像在走一条弯弯曲曲的小路，只知道几个关键点，却想知道这条路上其他地方的情况。
拉格朗日插值方法就像是给我们装上了翅膀，让我们能在这些点之间自由翱翔，找到那些我们想知道的信息。
比如说，我们知道了几个地方的温度，那其他地方的温度大概是多少呢？这时候拉格朗日插值方法就大显身手啦！它能通过这些已知的点，构建出一个超级厉害的公式，然后算出其他地方的数值。
是不是很神奇？它其实就跟拼图差不多。
我们有几块拼图，然后通过一些巧妙的办法，把其他缺失的部分给补出来，让整个画面变得完整清晰。
拉格朗日插值方法不就是这样嘛，用已知的点去填补那些未知的空白。
而且啊，这方法特别实用。
就好比你要去一个陌生的地方，你知道了几个标志性的地点，那你就能大概猜到其他地方在哪儿，该怎么走。
拉格朗日插值方法就是我们在数学世界里的导航仪呀！咱再打个比方，拉格朗日插值方法就像是一位超级大厨，那些已知的点就是各种食材，通过大厨的精心烹饪，就能做出一道美味的菜肴，也就是我们想要的结果。
那怎么用这个神奇的方法呢？其实也不难，只要掌握了一些基本的步骤，就跟走路一样简单。
先确定那些已知的点，然后按照公式一步一步来，就像搭积木一样，一块一块地往上搭，最后就能搭出我们想要的东西啦。
这拉格朗日插值方法啊，真的是数学世界里的一颗璀璨明珠！它能让我们在面对那些看似复杂的问题时，找到解决的办法。
它就像是我们的秘密武器，只要我们掌握了它，就能在数学的战场上勇往直前！所以啊，大家可别小瞧了它，好好去研究研究，你一定会发现它的无穷魅力！。
图模型中的抗欺骗秘密共享方案
图模型中的抗欺骗秘密共享方案贡岩岩;刘焕平【摘要】利用图结构提出了一个抗欺骗秘密共享方案,该方案是在原有方案基础上,重新定义了一个访问结构,使得授权参与者个数更具有一般性;共享分发阶段,在每个参与者保存的共享中,任何子密钥都没有单独出现,出现的只是子密钥的差,增加了方案的安全性;同时引入非线性置换,在一定程度上能够抵抗不诚实参与者的欺骗行为.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2010(026)003【总页数】3页(P31-33)【关键词】秘密共享;访问结构;置换;拉格朗日插值法【作者】贡岩岩;刘焕平【作者单位】哈尔滨师范大学;哈尔滨师范大学【正文语种】中文秘密共享的思想在信息安全,数字签名,电子拍卖,电子选举等领域有着广泛的应用.一个秘密共享方案是指在所有的参与者中共享一个秘密K的方法,每个参与者保存一部分共享,其中只有授权的参与者集合,才可以利用他们的共享恢复出秘密,任何非授权的参与者集合不能得到关于秘密的任何信息.根据秘密共享的以上特点,该文先定义一个访问结构,然后借助于图论和高等代数中的思想方法,提出了一个抗欺骗秘密共享方案.令P={P1,P2,…,Pn}表示n个参与者的集合,令G是一个无环无重边连通图,且G以集合P为顶点集,即V(G)=P,一个有限集合到自身的一个一一变换叫置换,文中引入非线性置换来抵抗不诚实参与者的欺骗行为.在方案中,为了防止一个参与者单独恢复出秘密,总假定:dG(Pi)≤n-2,∀Pi∈V(G)=P,1≤i≤n即图G中任何顶点的顶点度均不超过n-2令A⊆P,对于∀x∈A,令NG(x)表示顶点x的邻点集合.考虑集合A使它满足下列性质之一即可:对于这样集合A,定义一个访问结构如下:定义1 访问结构Γ={B⊆P|A⊆B,A∈Γ0},其中Γ0={A⊆P|A满足上面性质之一},Γ0称为访问结构Γ的基,Γ中的每个子集称为授权子集,Γ0中的每个子集称为极小授权子集.令主密钥K=k1+k2+…+kn(modq),其中ki是Fq中任意随机整数,1≤i≤n,且满足存在不全为零的随机整数a1,…,an∈Fq,其中a1+ a2+…+an<q,使得其中σ:Fq→Fq是随机选择的非线性置换,σ是公开的,因为 Shamir(t,n)门限方案中要求必须有q≥n+1,方案可看作是 Shamir(t,n)门限方案更一般的情况,所以假设q≥n+1。
基于拉格朗日插值多项式的秘密图像共享方案
基于拉格朗日插值多项式的秘密图像共享方案
吕超;余梅生;刘艳芳
【期刊名称】《华中科技大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2005()z1
【摘要】利用拉格朗日插值多项式的不同构造方法,提出了可实现单幅或多幅图像秘密共享的(r,n)门限方案.解决了图像共享过程中诸如图像质量损失以及恢复秘密时的防欺诈等问题,并成功地将应用于灰度图像的方案相应地扩展到彩色图像上.利用该方案,在有图像质量损失的情况下,恢复图像的PPSNR(Peaks of theSignal-to-Noise Ratio)值均大于30 dB,而无质量损失情况下,恢复图像与原图相同.给出了实验结果和一些参数在特殊取值时的分析结果,提出了在实际共享图像时选取参数的建议.该方案在对共享图像质量有较高要求的场合有一定实用价值.
【总页数】4页(P285-288)
【关键词】图像;秘密共享;(r,n)门限方案;拉格朗日插值多项式
【作者】吕超;余梅生;刘艳芳
【作者单位】燕山大学信息科学与工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】TP309.7
【相关文献】
1.基于拉格朗日插值多项式的彩色图像分存方案 [J], 陈桂强;王丽琴;李玉鉴
2.基于拉格朗日插值多项式的层次式组密钥分发方案 [J], 周杰;邹仕第;黎明;高雪
松;曹玮
3.基于拉格朗日插值多项式的层次式组密钥分发方案 [J], 周杰;邹仕第;黎明;高雪松;曹玮
4.有限域上基于拉格朗日插值多项式渐进图像传输 [J], 刘易麟
5.基于LKH树和拉格朗日插值多项式的会议密钥分发方案 [J], 周杰;李慧芬
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用拉格朗日插值法求 shamir secret sharing的python代码 -回复
用拉格朗日插值法求shamir secret sharing的python代码-回复拉格朗日插值法是一种常用的多项式插值方法，可以用于恢复由Shamir 秘密分配算法生成的秘密分享。
在本文中，我们将逐步介绍如何使用Python编写一个实现Shamir秘密分享恢复的程序，并使用拉格朗日插值法恢复秘密。
首先，让我们简要介绍Shamir秘密分享算法。
该算法由Adi Shamir于1979年提出，用于将一个秘密分割成多份分享，这些分享可以分配给不同的人，只有持有特定份额的人才可以通过组合份额来恢复原始秘密。
以下是Shamir秘密分享算法的步骤：1.选择一个素数域，并确定阈值和参与方数量，其中阈值是指恢复秘密所需的最小份额数量。
2.选择一个随机多项式，该多项式的常数项即为秘密。
多项式的次数必须小于素数域的大小。
3.计算多项式在每个参与方的份额上的值，并将这些值作为他们的份额分享给参与方。
4.恢复秘密所需的最小份额数量的参与方可以使用拉格朗日插值法来重建多项式，并计算出秘密的值。
下面是一个使用拉格朗日插值法恢复Shamir秘密分享的Python代码的示例：pythonfrom sympy import symbols, Poly, lagrange# 通过拉格朗日插值法恢复Shamir秘密分享def recover_secret(shares, prime):# 获取份额的数量和阈值threshold = len(shares)n = threshold# 创建符号变量x = symbols('x')# 创建一个空的多项式poly = Poly(0, x)# 恢复多项式for i in range(threshold):# 计算拉格朗日插值基函数L = 1for j in range(threshold):if j != i:L *= (x - shares[j][0]) / (shares[i][0] - shares[j][0]) # 将拉格朗日插值基函数与份额相乘并添加到多项式中poly += L * shares[i][1]# 使用模运算计算多项式在0处的值以获取秘密secret = poly.subs(x, 0) primereturn secret# 示例用法shares = [(2, 15), (4, 45), (7, 98)] # 模拟三个份额prime = 101 # 素数域secret = recover_secret(shares, prime)print(secret) # 输出原始秘密的值在上面的代码中，我们首先导入了所需的库sympy中的symbols、Poly 和lagrange函数。