数系的扩充和复数的引入(公开课)
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数系的扩充和复数的概念课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
实数a与数i相加记为：a+i 实数b与数i相乘记为：bi ，并规定0• i =0 实数a与 bi相加记为：a+bi （3）实数与i进行四则运算时，原有的加法、乘法运算 律仍然成立。
新知研学 2、复数的概念
我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数。 通常用字母 z 表示。
全体复数组成的集合叫做复数集，记作C。
z= a + bi（a∈R，b∈R）
实部 虚部 其中 i 为虚数单位。
Байду номын сангаас
新知研学
即学即练 说出下列复数的实部和虚部：
1 3i 2
2 3i
5i - 2
2 i - 3i 0 2
虚部为0
实数
虚部不为0
虚数
纯虚数 虚部不为0，实部为0
新知研学
思考:复数集C和实数集R之间有什么关系？ 实数集R是复数集C的真子集
若在复数集中任取两个数a bi, c di(a,b,c, d R)
a bi c di
注意：一般对两个虚数只能说相等或不相等； 不能比较大小。
学以致用
例1. 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z是实数； （2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z是虚数；
虚数集
纯虚数集
实数集
新知研学
即学即练 说出下列各数中，哪些是实数，哪些是
虚数，哪些是纯虚数：
2 7
实数
0.618
2i
实数 纯虚7 数
0
i
实数 纯虚数
i2 5i+8 3 9 2i i 1 3
新知研学 2、复数的概念
我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数。 通常用字母 z 表示。
全体复数组成的集合叫做复数集，记作C。
z= a + bi（a∈R，b∈R）
实部 虚部 其中 i 为虚数单位。
Байду номын сангаас
新知研学
即学即练 说出下列复数的实部和虚部：
1 3i 2
2 3i
5i - 2
2 i - 3i 0 2
虚部为0
实数
虚部不为0
虚数
纯虚数 虚部不为0，实部为0
新知研学
思考:复数集C和实数集R之间有什么关系？ 实数集R是复数集C的真子集
若在复数集中任取两个数a bi, c di(a,b,c, d R)
a bi c di
注意：一般对两个虚数只能说相等或不相等； 不能比较大小。
学以致用
例1. 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z是实数； （2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z是虚数；
虚数集
纯虚数集
实数集
新知研学
即学即练 说出下列各数中，哪些是实数，哪些是
虚数，哪些是纯虚数：
2 7
实数
0.618
2i
实数 纯虚7 数
0
i
实数 纯虚数
i2 5i+8 3 9 2i i 1 3
7.1.1数系的扩充和复数的概念课件(人教版)
A.2，3
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
B.2，-3
C.-2，3
( B )
D.-2，-3
分析：两个复数相等，即这两个复数的实部和虚部分别对应相等，
得到等式求解.
解析：由2+bi与a-3i相等，得a=2，b=-3.故
实数a，b的值分别为2，-3.
五、举例应用 掌握定义
【例6】若关于x的方程3x²- x-1=(10-x-2x²)i有实根，求实
问题2：两个复数有大小关系吗？探究5：复数z=a+bi在什么条件下是实数、虚数？
四、定义辨析 强化理解
辨析1：若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( × )
提示：只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.
辨析2：复数z1=3i，z2=2i，则z1>z2. ( × )
提示：复数不能比较大小，只有相等和不相等之分.
辨析3：复数z=bi(b∈R)是纯虚数.
( × )
提示：只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.
辨析4：实数集与复数集的交集是实数集.( √ )
提示：因为实数和虚数统称为复数，故实数集与复数
集的交集是实数集.
五、举例应用 掌握定义
【例1】复数3-i的实部和虚部分别是( C )
A.3和1
B.3和i
C.3和-1
所以ቊ
≠ 0.
解得y=3.
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
²−−6
+(m²-2m-15)i.当m为何值时，
+3
(1)z是虚数；(2)z是纯虚数.
分析：解决复数分类问题的关键是找出等价条件，
列出方程(组).
五、举例应用 掌握定义
【例4】 已知复数z=
7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件(共52张PPT)
A.充分不必要条件 C.充要条件
√B.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
解析 因为a，b∈R，当“a＝0”时，“复数a＋bi是纯虚数”不一定 成立，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R. 而当“复数a＋bi是纯虚数”时，“a＝0”一定成立. 所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件.
(1)虚数；
解 当mm＋2－32≠m0－，15≠0，即m≠5且m≠－3时，z是虚数.
(2)纯虚数；
解 当m2m－＋m3－6＝0， 即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数. m2－2m－15≠0，
(3)实数. 解 当mm＋2－32≠m0－，15＝0， 即 m＝5 时，z 是实数.
延伸探究 本例中条件不变，当m为何值时，z>0.
12345
4.已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，则实数x＝__1__，y＝___1__. 解析 ∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴x22x－y＝y22＝，0， 解得xy＝ ＝11， ， 或xy＝＝－－11，(舍).
12345
5.已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}， 则实数a＝_－__1___. 解析 由题意，得(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3， ∴aa22－ －53aa－ －61＝ ＝03， ， 解得 a＝－1.
4.若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 020i＝2－bi，则a2＋bi等于
A.2 020＋2i
B.2 020＋4i
C.2＋2 020i
√D.4－2 020i
解析 因为a＋2 020i＝2－bi， 所以a＝2，－b＝2 020， 即a＝2，b＝－2 020， 所以a2＋bi＝4－2 020i.
【高中数学】数系的扩充和复数的概念课件 2022-2023学年高一人教A版(2019)必修第二册
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数.
解：(1) 当m 1 Hale Waihona Puke 0,即m 1 时,复数z是实数.
(2) 当m 1 0,即m 1 时,复数z是虚数.
(3) 当m 1 0,且m 1 0，即m 1 时,复数z是纯虚数.
4. 复数相等
=a+bi， = c+di (a,b,c,d∈R)，若 = 则
当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
举个例子
1
1
1
3 2i, 3i, 3 i, 0.2i都是虚数,它们的实部分别是3, ,- 3 ,0,
2
2
2
1
虚部分别是 2, 3 , ,- 0.2,并且其中只有 0.2i是纯虚数.
2
练习2. 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. 为什么？
使这个方程有解吗？
数系的扩充：
引入一个
新的数集
正整数集N
自然数集N
整数集Z
0
负整数集
有理数集Q
分数集
实数集R
无理数集
？
？
解方程
x2+1=0
复数的概念：
为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一
个新数i，使得x=i 是方程x2+1=0的解，此时 i2= -1 .
纯虚数集
课后作业：
1.课本P73.习题7.1第1~3题
2.《优化设计——课后训练》练习
2. 复数的代数形式
复数通常用字母z表示，即z=a+bi (a, b∈R)，以后不作特殊说明时，复
（2）虚数；
（3）纯虚数.
解：(1) 当m 1 Hale Waihona Puke 0,即m 1 时,复数z是实数.
(2) 当m 1 0,即m 1 时,复数z是虚数.
(3) 当m 1 0,且m 1 0，即m 1 时,复数z是纯虚数.
4. 复数相等
=a+bi， = c+di (a,b,c,d∈R)，若 = 则
当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
举个例子
1
1
1
3 2i, 3i, 3 i, 0.2i都是虚数,它们的实部分别是3, ,- 3 ,0,
2
2
2
1
虚部分别是 2, 3 , ,- 0.2,并且其中只有 0.2i是纯虚数.
2
练习2. 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. 为什么？
使这个方程有解吗？
数系的扩充：
引入一个
新的数集
正整数集N
自然数集N
整数集Z
0
负整数集
有理数集Q
分数集
实数集R
无理数集
？
？
解方程
x2+1=0
复数的概念：
为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一
个新数i，使得x=i 是方程x2+1=0的解，此时 i2= -1 .
纯虚数集
课后作业：
1.课本P73.习题7.1第1~3题
2.《优化设计——课后训练》练习
2. 复数的代数形式
复数通常用字母z表示，即z=a+bi (a, b∈R)，以后不作特殊说明时，复
第四节 数系的扩充与复数的引入课件
A．eπi＋1＝0 B．|eix|＝1 C．cos x＝eix－2e－ix D．e12i在复平面内对应的点位于第二象限
①实数；②虚数；③纯虚数． (2)实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－14)i的点 ①位于第四象限；②位于第一、三象限；③位于直线y＝x上．
解：(1)①当m2－3m＝0，即m＝0或m＝3时，所给复数是实数． ②当m2－3m≠0，即m≠0且m≠3时，所给复数是虚数．
m2＋m－6＝0， m－2≠0，
解得m＝－
3，故选D.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 复数的分类问题
1．将复数(非标准形式)化为a＋bi(a，b∈R)的形式， 实数⇔b＝0 纯虚数⇔a＝0，b≠0 非纯虚数⇔a≠0，b≠0 2.ac＋＋dbii为实数(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则 ac＝bd(c，d≠0)；a与c或b与d同时为0.
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2019全国卷Ⅰ]设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
( C) A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
[解析] 由已知条件，可得z＝x＋yi. ∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1， ∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
的点的坐标为( A )
A．(－1，－1)
B．(－1,1)
C．(1,2)
D．(1，－2)
[解析]
z＝－
1 i
－1＝－1＋i，
－ z
＝－1－i，则在复平面内，
－ z
对应点的坐标为
(－1，－1)．故选A.
①实数；②虚数；③纯虚数． (2)实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－14)i的点 ①位于第四象限；②位于第一、三象限；③位于直线y＝x上．
解：(1)①当m2－3m＝0，即m＝0或m＝3时，所给复数是实数． ②当m2－3m≠0，即m≠0且m≠3时，所给复数是虚数．
m2＋m－6＝0， m－2≠0，
解得m＝－
3，故选D.
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 复数的分类问题
1．将复数(非标准形式)化为a＋bi(a，b∈R)的形式， 实数⇔b＝0 纯虚数⇔a＝0，b≠0 非纯虚数⇔a≠0，b≠0 2.ac＋＋dbii为实数(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则 ac＝bd(c，d≠0)；a与c或b与d同时为0.
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
1．[2019全国卷Ⅰ]设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
( C) A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
[解析] 由已知条件，可得z＝x＋yi. ∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1， ∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
的点的坐标为( A )
A．(－1，－1)
B．(－1,1)
C．(1,2)
D．(1，－2)
[解析]
z＝－
1 i
－1＝－1＋i，
－ z
＝－1－i，则在复平面内，
－ z
对应点的坐标为
(－1，－1)．故选A.
5.1 数系的扩充与复数的引入 课件(北师大选修2-2)
一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量 OZ ＝ (a，b) 是一一对应的．
2．复数的模 设复数 z＝a＋bi(a， b∈R)在复平面内对应的点是 Z(a， b)，点 Z 到 原点的距离 |OZ|叫作复数 z 的模或绝对值， 记
a2＋b2 . 作|z|，显然，|z|＝
1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，b∈R这一条
答案：0或2
1 9．求复数 z1＝6＋8i 及 z2＝－ － 2i 的模，并比较它们的 2 模的大小．
1 解：∵z1＝6＋8i，z2＝－ － 2i， 2 ∴|z1|＝ 62＋82＝10， |z2|＝
1 － 2＋－ 2
3 2 ＝ . 2
2
3 ∵10> ， 2 ∴|z1|>|z2|.
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明 确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚 数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0. 2．复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对
应，可知复数z＝a＋bi(a，b∈R)、复平面内的点Z(a，b)和
平面向量 OZ 之间的关系可用图表示．
解析： 复数 z1， 2 对应的点分别为 Z1(1， 3)， 2(1， 3)， z Z － 关于 x 轴对称． 答案：A
6．已知平面直角坐标系中O是原点，向量 OA ，OB 对应 的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量 BA 的坐标是
( A．(－5,5) C．(5,5) B．(5，－5) D．(－5，－5) )
OB 对应的复数分别记作z1＝2－3i，z2 解析：向量 OA ，
＝－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向
量 OA ＝(2，－3)， OB ＝(－3,2)．
人教版数学 选修1-2 1 数系的扩充和复数的概念(共14张ppt)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
复数公开课教案教学设计课件
段长度之间的比值，其结果也必
然是整数之比。
毕氏学派的弟子希帕索斯发
现了一个惊人的事实，若正方形
边长是1，则对角线的长不是一
个有理数，这与“万物皆为数”
(指有理数)的哲理大相径庭。
毕达哥拉斯
希帕索斯最终为此付出生命
(约公元前560-480年)
的代价，将一腔热血献祭给了第 一次数学危机。
度量计算的需要
无理数
②当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.
③当
k2－3k－4＝0， k2－5k－6≠0
时，z是纯虚数，解得k＝4.
④当 kk22－－35kk－－46＝＝00，时，z＝0，解得k＝－1.
解决复数分类问题的方法与步骤： (1)化标准式：看看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实 部和虚部； (2)定条件：复数的分类问题，只需要转化成实部和虚部应满足的 条件问题.
复数与数系的扩充
(1)形如a＋bi(a，b∈R) 的数叫做复数,通常用字母 z 表示.
Z= a ＋ b i (a，b∈R)
实部
虚部
i2= -1
i 叫虚数单位
(2)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用C 表示.
C＝{a＋bi|a，b∈R}
练习：请说出下列复数的实部和虚部
3+4i , -5i , 0 , 2i-5
复数的分类
实数b＝0
复数(a＋bi，a，b∈R)
虚数b≠0
纯虚数a＝0 非纯虚数a≠0
实数R虚数 纯虚数 Nhomakorabea典型例题
例 1：当实数m 取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i 是下列数？
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
数系的扩充与复数的引入公开课课件
控制工程
在控制工程中，复数用于描述系统的传递函数和稳定性，对于系统分析和设计至关重要。
感谢您的观看
THANKS
微积分中的连续性讨论
在微积分中，连续性是一个重要的概念。在实数范围内，连续性可以通过极限来定义和讨论。但在处理一些涉及无穷大或无 穷小的数学问题时，实数范围的局限性可能会限制讨论的深入。
通过引入复数，可以扩展连续性的定义和讨论范围。例如，在复变函数中，函数在复平面上的连续性和可导性得到了广泛的 研究和应用。这使得复数在处理涉及连续性和无穷大/无穷小的数学问题时更加有效和精确。
无理数是不能表示为两个整数的比的 无限不循环小数。
虽然无理数系能够表示无理数，但它 无法表示某些超越无理数，如某些高 阶无穷小量和高阶无穷大量。
无理数系的作用
无理数系使得数学能够处理所有的无 理数，如常见的圆周率π和自然对数 的底数e。
02
复数的引入
复数的定义
总结词
复数是实数域的扩充，由实部和虚部组成，表示为a+bi的形式，其中a和b是实 数，i是虚数单位。
04
复数在物理中的应用
交流电的分析
交流电的频率和相位分析
复数可以用于表示交流电的电压和电流，通过分析复数的模和辐角，可以得出电压和电流的有效值和 相位信息。
阻抗匹配
在电子和电气工程中，阻抗匹配是非常重要的概念。利用复数表示阻抗，可以方便地分析电路中的电 压和电流关系，实现阻抗匹配。
波动方程的求解
算符和矩阵
在量子力学中，算符和矩阵是非 常重要的概念。利用复数表示算 符和矩阵，可以简化计算过程， 并方便地描述量子态的变化。
05
复数的历史与文化背景
复数在数学史中的地位
数学发展里程碑
在控制工程中，复数用于描述系统的传递函数和稳定性，对于系统分析和设计至关重要。
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THANKS
微积分中的连续性讨论
在微积分中，连续性是一个重要的概念。在实数范围内，连续性可以通过极限来定义和讨论。但在处理一些涉及无穷大或无 穷小的数学问题时，实数范围的局限性可能会限制讨论的深入。
通过引入复数，可以扩展连续性的定义和讨论范围。例如，在复变函数中，函数在复平面上的连续性和可导性得到了广泛的 研究和应用。这使得复数在处理涉及连续性和无穷大/无穷小的数学问题时更加有效和精确。
无理数是不能表示为两个整数的比的 无限不循环小数。
虽然无理数系能够表示无理数，但它 无法表示某些超越无理数，如某些高 阶无穷小量和高阶无穷大量。
无理数系的作用
无理数系使得数学能够处理所有的无 理数，如常见的圆周率π和自然对数 的底数e。
02
复数的引入
复数的定义
总结词
复数是实数域的扩充，由实部和虚部组成，表示为a+bi的形式，其中a和b是实 数，i是虚数单位。
04
复数在物理中的应用
交流电的分析
交流电的频率和相位分析
复数可以用于表示交流电的电压和电流，通过分析复数的模和辐角，可以得出电压和电流的有效值和 相位信息。
阻抗匹配
在电子和电气工程中，阻抗匹配是非常重要的概念。利用复数表示阻抗，可以方便地分析电路中的电 压和电流关系，实现阻抗匹配。
波动方程的求解
算符和矩阵
在量子力学中，算符和矩阵是非 常重要的概念。利用复数表示算 符和矩阵，可以简化计算过程， 并方便地描述量子态的变化。
05
复数的历史与文化背景
复数在数学史中的地位
数学发展里程碑
最新人教A版高一数学必修二课件：7.1.1数系的扩充和复数的概念
【答案】(1)－3
【解析】∵z<0，∴mm2＋－19＜＝00.， ∴m＝－3.
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数学 必修第二册 配人版A版
第六章 平面向第量七及章其应复用数
(2)解：设 a 是原方程的实根，则 a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋ a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，所以 a2＋a＋3m＝0 且 2a＋1＝0.所以 a＝－12且 －122－12＋3m＝0.所以 m＝112.
z (2)表示方法：复数通常用字母___表示，即_z_＝__a_＋__b__i (a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形
式．
2．复数集 (1)定义：__全__体__复__数____所成的集合叫做复数集．
(2)表示：通常用大写字母_C__表示，即_C__＝__{_a_＋__b_i_|_a_，__b__∈__R_}．
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第六章 平面向第量七及章其应复用数
1．设a，b∈R时，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
故x22x＋＋x1＋＝30m，>0， 解得xm＝>1－12.12，
所以实数 m 的取值范围为112，＋∞.
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第六章 平面向第量七及章其应复用数
数系的扩充和复数的引入 PPT课件
当b= 0 时，z为实数
复 数 的 概 念
3i
2i i
5
5i+4 3 2i
当b ≠0 时，z为虚数
当a=请0把且复b 数≠0时，
z为纯虚数
分分类
非纯虚数的虚数：
a ≠ 0,b ≠ 0
特别的，当a= 0 且b= 0 时，z=0
概 复数集、虚数集、实
念 数集、纯虚数集之间
复数集
的关系
虚数集
R C
纯虚数集
扩 充
负整数 整数Z
自然数N
【问题1】
在自然数集中方程 x 4 0 有解吗?
【问题2】
在整数集中方程 3x 4 0 有解吗?
数 系
【问题3】
的
在有理集中方程 x2 3 0 有解吗?
扩
充 【问题4】
在实数集中方程 x2 1 0 有解吗?
解方程 x2 1？, x
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新
y
| z | = a2 b2
z=a+bi Z (a,b)
| z || z | a2 b2
O
x
例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
思考： (1)复数的模能否比较大小？ (2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (3)满足|z|=5(z∈C)的这z值些有复几个数？对应的点
入
1637年，法国
数学家笛卡尔把这
i
样的数叫做“虚数”
的
引 入
笛卡尔 (R.Descartes,1596--1661)
复 数 的 概 念
3i
2i i
5
5i+4 3 2i
当b ≠0 时，z为虚数
当a=请0把且复b 数≠0时，
z为纯虚数
分分类
非纯虚数的虚数：
a ≠ 0,b ≠ 0
特别的，当a= 0 且b= 0 时，z=0
概 复数集、虚数集、实
念 数集、纯虚数集之间
复数集
的关系
虚数集
R C
纯虚数集
扩 充
负整数 整数Z
自然数N
【问题1】
在自然数集中方程 x 4 0 有解吗?
【问题2】
在整数集中方程 3x 4 0 有解吗?
数 系
【问题3】
的
在有理集中方程 x2 3 0 有解吗?
扩
充 【问题4】
在实数集中方程 x2 1 0 有解吗?
解方程 x2 1？, x
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新
y
| z | = a2 b2
z=a+bi Z (a,b)
| z || z | a2 b2
O
x
例3 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
思考： (1)复数的模能否比较大小？ (2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (3)满足|z|=5(z∈C)的这z值些有复几个数？对应的点
入
1637年，法国
数学家笛卡尔把这
i
样的数叫做“虚数”
的
引 入
笛卡尔 (R.Descartes,1596--1661)
7.1.1 数系的扩充和复数的概念 (超好用的优秀公开课获奖课件)高一下学期数学(人教A版2019
(1) i 2 1 ；
(2)实数可以与i 进行四则运算,在进行四则运算时,
原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律 和分配律)仍然成立.
注：数单位i是瑞士数学家欧拉最早引用的，它取自 imaginary(想象的，假想的)一词的词头.
实数 a+bi
实际应用
由它所创造的复变函数理论，成为解决电磁理论， 航空理论，原子能及核物理等尖端科学的数学工具.
分 配 、 测 量 中 的产 等生 分了
分 数
为了解决度量正方形对角线长的问题产生了 ——无理数(无限不循环小数).
一个学生画了一个边长为1的正方形.
设对角线长为x.
x 2 12 12 根2据勾股定理
可见对角线的长度是 存在的，可它是多少
其实，这就是后来人 们发现的“无理数”
2.数学内部发展的需要
2+3i与1+2i不能比较大小.
[例2]已知(3x 2 y) (5x y)i 17 2i,求实数x, y的值.
解
: 由复数相等得53xx
2 y
y 17 ,
2
解得xy
1 .
7
[变式]x是实数, y是纯虚数,(2x 1) (3 y)i y i,求x, y的值.
解 : 设y bi(b R), 2x 1 (3 bi)i (2x 1 b) 3i (b 1)i.
正方形对角 线的度量
解决x2
2
0
引入无理数(根号)
实数集R
算协调一致.
如：Q中的加/乘法交换律、结合律等 R中也适用
解决x2 1 0 引入？数 ？数集
探究点2 复数的概念
解决方程x2+1=0在实数集中无解的问题:
为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个新数 i ， 把 i 叫做虚数单位，并且规定：
7-1-1数系的扩充和复数的概念(教学课件) -高中数学人教A版(2019)必修第二册
探究新知
设：实数可以与i进行加法和乘法的运算：
实数a与数i的相加计为__a____i___
实数b与数i的相加乘为___b__i____
实数a与数i和实数b的相乘的结果计为__a____b__i_______
结论：实数与i进行加法与乘法运算时，原有的加法， 乘法的运算依然成立
形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数. 全体复数所构成的集合C={a+bi |a,b∈R}叫做复数集.
练习巩固
变式训练2：求满足下列条件的实数 x, y的值： (1)(x y) ( y 1)i (2x 3y) (2 y 1)i (2)(x y 3) (x 2)i 0
探究新知
没有复数，便没有电磁学 ，便没有量子力学，便没有 近代文明！
——华裔数学家 陈省身
探究新知
它，曾是数学领域中一个飘荡了数百年的幽灵. 笛卡儿第一次提出了它的名字，却引来一片困惑， 很多大数学家都不承认它. 欧拉说：“对于这类数，我们只能断言，它们既不是 什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么 都不是少些什么，它们纯属虚幻．” 它的名字叫虚数.
i是数学家欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）最早引 入的，它取自imaginary（想象的，假想的）一词的词头， i2=i·i.
把新引进的数i添加到实数集中，我们希望数i与和实数 之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和 乘法都满足交换律、结合律以及乘法对加法满足分配律，那 么，实数系是经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？
（3）当
m2
m2
m
2 1
0,
0,
即m 2 时，复数z 是纯虚数．
应用举例
数系的扩充和复数的概念公开课
复数的相等
a+bi=c+di (a, b,c,dR)
a=c b=d
3.1.1数系的扩充和 复数的概念
数 系 的 扩 充
计数的需要 解方程x+3=1 解方程3 x=5
解方程x2=2
无理数 分数 负整数
实数
有理数
整数
自然数
数 系 的 扩 充
负整数
RQZ源自N无理数 分数实数
有理数
整数
自然数
2 解方程x =－1
发现此方程在实数集无解，说明现有的数集不能满足 我们的需求，那么我们必须把数集进一步扩充
2-3i 0
实部 虚部
2
-3
0
1 4 i 2 3 1 2
6i
0
6
纯虚 数
i
2
-1
0
4 3
0
实数
分类 虚数 实数
虚数
例 2:
实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i 是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解：（1）当 m 1 0 ，即 m 1 时，复数z 是实数．
问题解决:
为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个 新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： (1) i 21 ； (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时, 原有的加法与乘法的运算律包括交换律、结合律 和分配律)仍然成立.
动 动 手
下列这些数与虚数单位i经过了哪些运算？
2 i， 2i， (2 3)i， 2 3i， 2 3, 2 3
特别地， a bi 0 a 0, b 0 作用
1.判断两个复数是否相等； 2.求复数值的依据.