电路 状态方程

§15-8 状态方程
动态网络的分析方法，按照描述网络的微分方程 可分为输入输出法和状态变量 法。
+ uL L iL
C
e(t)
uL uC e(t )
iC
+
- uc R
uL
L
diL dt
uo
iL
iC
uC R
iC
C
duC dt
LC
d 2uC dt 2
L R
duC dt
uC
e(t )
U0(S) H(S) E(S)
3.输出方程
L iL
iC
+
C - uc R
e(t)
uo
特点：(1)代数方程 (2)用状态变量和输入量 表示输出量
uL uC e(t )
iC
uC R
iL
uR uC
iR
uC R
i
uL
c
1
1
R
uR i R
1
1
R
0
1
1
uc
0
e(t
)
0
i
L
0
0
0
一般形式： [Y]=[C][X]+[D][V] m*n m*r
X
(0)
uC
(0)
3
iL(0) 0
(2)左端为状态变量的一阶导数
(3)右端含状态变量和输入量
•
一般形式： [X ] [A][X ][B][V ]
\
\
nn nr
[ X ] [ x1 , x2 , xn ]T
•
[X
]
[ dx1
,
dx2
,
dxn
]T
dt dt dt
n:状态变量个数 r：输入激励数
+
u2
+⑥
us
1F uC 6
①
③- ④
5u2 ⑤
列写以
uc i L
为变量的状态方程。
dt diL2
dt
0
1 L1 1 L2
1 C
R1 L1
R1 L2
1
C
R1 L1
R1 R2
uC
i
L1
i
L2
0
1 L1 1
L2
L2
0
0 R2
us
i
s
L2
2.拓扑法 基本思想：
(1)每个元件为一支路，线性电路以iL ,uc为状态变量。 (2)选一棵特有树使
ic= - (iL1 +iL2) iR = is +iL2 uL1= uc -(iL1 +iL2 )R1 +us
LL2 C1ddidLdtdid2uLtt1CuCuiL C1 (i L(iL1i2L1 iuiLLC21i)LR2 )1R1
uS
uS
R2
iR
(iS iL2
)
duC
dt diL1
Y (t), (t t0 )
例： L
e(t)
iL
C
iC
+
- uc R
已知: R=3
e(t) 20sin(t 30)
uC (0 ) 3V uo iL (0 ) 0A
求： iC (0 )，uL(0 )，iR (0 )，uR (0 )
解：由
uR (0 ) 3V
uC (0 ) 3V iL(0 ) 0 e(0)=10V
可求出
uL(0 ) 7V
iR (0 ) 1A iC (0 ) 1A
同理可推 广至任一时刻 t1
t 可由 e( ) 1 u t( ) 求出 c1 iL (t1)
uR (t1)
uL(t1) iR (t1) ic (t1)
uC、iL 称为状态变量。它们的初值和激励e(t)一起可
以确定该电路在任何时刻的性状。
duC
dt diL
dt
1 R2 1
状态方程为：
1 R1
uC
i
L
1 R2 0
0 R1
uS
i
S
duC
dt diL
1
R2C 1
dt L
1
1
C R1
L
uC
i
L
R2C 0
0 R1
uS
i
S
L
② 4 1H iL
dt RC c
d i L uc e(t )
dt
LL
状态方程
d uc uc i L
dt RC c
d i L uc e(t )
dt L L
矩阵形式：
d uc
dt
d iL
R11C
dt L
1 C 0
uc i L
0 1 L
e(t
)
特点：
(1)联立一阶微分方程组
is
R1
C3
L4 R2
us
is
1 34
5
2
6
(3) ic =iL+iR2
C duC dt
iL iR2
(4) uL = uR1-uc
L diL dt
uR1
uC
R1
C3
us
L4 R2
(5)
C duC dt
iL iR2
L diL dt
uR1
uC
is 消去方程中非状态量 iR2 和 uR1。
-
iC C
R1
+ us
-
+
uC iL2 L2
设uc , iL1， iL2为状态变量
L1
iL1
R2
is
C duC dt
iC
iR
L1
diL1 dt
uL1
C
duC dt
iL1 iL2
L1
diL1 dt
uC
iC R1
uS
L2
diL2 dt
uL2
L2
diL2 dt
uL1 R2iR
消去非状态量
-+
在树支中
C
uS
L
iS
在连支中
(3)对单电容基本割集（树支割集）列写KCL方程，方程
中包括 C duC 项。 dt
(4)对单电感基本回路（单连支回路）列写KVL方程，方程 中包括 L diL 项。
dt
(5)消去非状态量;
(6)整理得状态方程。
例：
R1
C3
us
L4 R2
(1) (2)
1 34
Hale Waihona Puke Baidu
5
2
6
由此例可知：
(1)状态变量和储能元件有关；
(2)有几个独立的储能元件，就有几个状态变量 。
2.状态方程 对状态变量列出的一阶微分方程为状态方程。
L
e(t)
iL
C
iC
+
- uc R
设uc、iL为状态变量
则：
ic
c
d uc dt
iL
uc
R
uo
uL
L diL dt
e(t) uC
整理得
d uc uc i L
iR2= uR2/ R2 uR2 = - uc+ us
uR1=R1 iR1 iR1 = - iL+ is
iR2 = (- uc+ us)/ R2 uR1 =R1(- iL+ is )
整理得： C duC dt
uC R2
iL
uS R2
L diL dt
uC
R1iL
R1iS
矩
阵形式为：
C L
一. 基本概念
(1)状态变量
在分析网络(或系统)时，在网络内部选一组最少数量的 特定变量X，X=[X1,X2……Xn]T ，只要知道这组变量在某一 时刻值X(t0),再知道输入e(t)就可以确定t0及t0以后任何时刻网 络的性状(响应)，称这一组最少数目的特定变量为状态变量。
X (t0 ) e(t ), (t t0 )
m为输出变量数
二. 状态方程的列写
1.直观法 基本思想： (1) 线性电路以iL ,uc为状态变量。 (2)对含有电容的支路，选择一个节点列出KCL方程，
在方程中包括duc 项； dt
(3)对含有电感的支路，选择一个回路列出KVL方程，
在方程中包括diL 项； dt
(4)保留状态变量和输入激励，消去非状态变量。