行列式和线性方程组的求解-精
线性代数知识点归纳
线性代数复习要点第一部分 行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算精品文档，你值得期待行列式的定义 1. 行列式的计算：① (定义法)1212121112121222()1212()n n nn n j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑LL L L L M M M L1②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.1122,,0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++=⎨≠⎪⎩L③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.11221122***0**0*00nnnnb b A b b b b ==L M O L④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A OAA O A BO B O BBO A AA B B O B O*==**=-1⑤ 关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a O a a a a a a a Oa O ---*==-K N N1⑥ 范德蒙德行列式：()1222212111112n i j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L111 ⑦ a b -型公式：1[(1)]()n a b b bb a b ba nb a b b b a b b b b a-=+--LLLM M M O M L⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法.(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法)2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；3. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ij M A A M ++=-=-第二部分 矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解1. 矩阵的定义 由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L L M M M L称为m n ⨯矩阵. 记作：()ijm nA a ⨯=或m n A ⨯① 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ② 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③ 矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数λ与矩阵A 的乘积记作A λ 或A λ，规定为()ij A a λλ=.c. 矩阵与矩阵相乘：设()ij m s A a ⨯=, ()ij s n B b ⨯=,则()ij m n C AB c ⨯==， 其中12121122(,,,)j j ij i i is i j i j is sj sj b b c a a a a b a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式00AB BAAB A ==⇒=或B=0不成立.a. 分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭b. 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；11112111111211221222221222221212000000n n n n m m m mn m m m m m mn a b b b a b a b a b a b b b a b a b a b B a b b b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L L L L L M M O M M M O M M M O M LLLc. 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.11121111121212122221212222121122000000n m n n m n m m mn m m m m mn b b b a a b a b a b b b b a a b a b a b B b b b a a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L L L L L M M O M M M O M M M O M LLLd. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. ④ 方阵的幂的性质：mnm nA A A+=， ()()m n mnA A =⑤ 矩阵的转置：把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作TA . a. 对称矩阵和反对称矩阵: A 是对称矩阵TA A =.A 是反对称矩阵T A A =-.b. 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑥ 伴随矩阵： ()1121112222*12n Tn ijn n nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭LL M M M L，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A -=, 11AA --=.分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *(1)(1)mn mn A A B B B A**⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 逆矩阵的求法 方阵A 可逆 0A ≠.①伴随矩阵法 1A A A *-= ○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 L L 主换位副变号 ② 初等变换法 1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换③ 分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A O C B B CAB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ④1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤ 配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义1AB BA E A B -==⇒=）3.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖 线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时， 4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：① 对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ； ② 对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .注意： 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.5.关于A 矩阵秩的描述：①、()=r A r ，A 中有r 阶子式不为0，1+r 阶子式 (存在的话) 全部为0； ②、()<r A r ，A 的r 阶子式全部为0； ③、()≥r A r ，A 中存在r 阶子式不为0； ☻矩阵的秩的性质：① ()A O r A ≠⇔≥1; ()0A O r A =⇔=;0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n② ()()()TTr A r A r A A ==③ ()()r kA r A k =≠ 其中0④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤ ()r AB ≤{}min (),()r A r B⑥ 若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦ 若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B OA AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩在矩阵乘法中有右消去律.⑧ ()rr E O E O r A r A A O O O O ⎛⎫⎛⎫=⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨ ()r A B ±≤()()r A r B +, {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + ⑩ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭☻求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法6 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→MM 初等行变换(I)的解法：构造()() A E B X ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 初等列变换(II)的解法：构造T T T TA XB X X=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得第三部分 线性方程组1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩4. 向量空间5.线性方程组的解的判定6. 线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） （2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）1.线性表示：对于给定向量组12,,,,n βαααL ，若存在一组数12,,,n k k k L 使得1122n n k k k βααα=+++L ， 则称β是12,,,n αααL 的线性组合，或称称β可由12,,,n αααL 的线性表示.线性表示的判别定理:β可由12,,,n αααL 的线性表示由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L 有解②、1112111212222212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M O M M M Ln n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax a a a x b β③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭LM （全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ）； ④、1122n n a x a x a x β+++=L （线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数） 2. 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭LL L M M M L ⇔i i A c β= ，(,,)i s =L 1,2 ⇔i β为i Ax c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=L ⇔12,,,s c c c L 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，A 为系数矩阵.即： 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M M M M L ⇔11112212121122222211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L3.线性相关性判别方法：法1法2法3推论♣线性相关性判别法（归纳）♣线性相关性的性质①零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一 4. 最大无关组相关知识向量组的秩 向量组12,,,n αααL 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααL 矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为B .向量组等价 12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅% ① 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.② 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系③ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .④ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价； ⑤ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑥ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑦ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ⑧ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关；5. 线性方程组理论线性方程组的矩阵式Ax β= 向量式 1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M M M M L其中 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M 1（1）解得判别定理（2）线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪+++=⇔+++=⎪⎪+++=⇔+++=⎩L L L L L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则 也是的解 是的解(3) 判断12,,,s ηηηL 是Ax ο=的基础解系的条件：① 12,,,s ηηηL 线性无关；② 12,,,s ηηηL 都是Ax ο=的解； ③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.(4) 求非齐次线性方程组Ax = b 的通解的步骤12112(1()(2)()()(3)(4)10,,...,(5)A b r A b r A r n n r Ax b Ax Ax b x k k ααααααα==<-====++0n-r 0) 将增广矩阵通过初等行变换化为；当时，把不是首非零元所在列对应的个变量作为自由元；令所有自由元为零，求得的一个；不计最后一列，分别令一个自由元为，其余自由元 为零，得到的{};写出非齐次线性方程组的阶梯形矩阵特解基础 解系 通解 212...,,...,n r n rn r k k k k α---++其中为任意常数.（5）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.√ 若η*是Ax β=的一个解，1,,,s ξξξL 是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη*L 线性无关√ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）⇔()()A r r A r B B ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 且有结果：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）； 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）.第四部分 方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1.①n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.②1(,)ni i i a b αβ===∑③(,)0αβ=. 记为：αβ⊥④21ni i a α====∑⑤1α==. 即长度为1的向量.2. 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且② 对称性：(,)(,)αββα=③ 线性性：1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)k k αβαβ=3. ① 设A 是一个n 阶方阵, 若存在数λ和n 维非零列向量x , 使得 Ax x λ=，则称λ是方阵A 的一个特征值，x 为方阵A 的对应于特征值λ的一个特征向量. ②0E A λ-=（或0A E λ-=）.③()E A λϕλ-=（或()A E λϕλ-=）.④ ()ϕλ是矩阵A 的特征多项式⇒()A O ϕ=⑤ 12n A λλλ=L1ni A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A ⑥ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.⑦ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.⑧ ()1r A =⇔A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M 、21122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A 的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 23n λλλ====L 0.○注()12,,,Tn a a a L 为A 各行的公比，()12,,,nb b b L 为A 各列的公比. ⑨ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ，()f A 是多项式,则:① 若A 满足()f A O =⇒A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0②()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ；12()()()()n f A f f f λλλ=L .⑩ A 与TA 有相同的特征值，但特征向量不一定相同. 4. 特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量.设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,,i n r ξξξ-L 其中()i i r r A E λ=-. 则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++L 其中12,,,i n r k k k -L 为任意不全为零的数.5. ①1P AP B -= （P 为可逆矩阵） ②1P AP B -= （P 为正交矩阵）③A 与对角阵Λ相似.（称Λ是A 6. 相似矩阵的性质： ①E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.○注α是A 关于0λ的特征向量,1P α-是B 关于0λ的特征向量. ②A B =tr tr③A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ④ ()()r A r B =⑤若A 与B 相似, 则A 的多项式()f A 与B 的多项式()f A 相似. 7. 矩阵对角化的判定方法① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O .② A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--=，其中i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量.○注：当iλ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基础解系的个数.③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化. 8. 实对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 不同特征值对应的特征向量必定正交；○注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； ③ 一定有n 个线性无关的特征向量. 若A 有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--； ④ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ⑤ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； ⑥ 两个实对称矩阵相似⇔有相同的特征值. 9. 正交矩阵 TAA E =正交矩阵的性质：① 1T A A -=；② T TAA A A E ==；③ 正交阵的行列式等于1或-1；④ A 是正交阵,则TA ，1A -也是正交阵；⑤两个正交阵之积仍是正交阵；⑥A 的行（列）向量都是单位正交向量组.10.11.123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ=222βηβ=333βηβ=技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。
利用行列式的性质求解线性方程组
利用行列式的性质求解线性方程组在线性代数中，线性方程组是一组关于未知数的线性方程的集合。
求解线性方程组的传统方法包括高斯消元法、克拉默法则等。
而利用行列式的性质求解线性方程组则是一种更为简便和高效的方法。
本文将介绍利用行列式的性质来求解线性方程组的方法及其应用。
1. 行列式的定义及性质行列式是一个矩阵所固有的一个数值，用于描述线性变换对于面积（或体积）的影响。
行列式的定义如下：设A为一个n阶矩阵，其行列式记为det(A)或|A|，定义为：det(A) = a11a22...ann - a12a21...an1 + a13a21...an2 - ... + (-1)^(n+1)a1na2n...an(n-1)行列式具有以下性质：（1）行列式与其转置矩阵的值相等：det(A) = det(A^T)（2）如果A的某两行（或两列）元素对应相等，则行列式的值为0。
（3）如果A的某行或某列的元素全为0，则行列式的值为0。
（4）若A的某行（或某列）的元素均乘以常数k，则行列式的值变为原来的k倍，即k * det(A)。
（5）若A的某行（或某列）的元素经过线性组合得到另一行（或另一列），则行列式的值不变。
2. 利用行列式求解线性方程组对于线性方程组Ax = b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量，我们可以利用行列式的性质来求解。
设A为一个n阶方阵，b为n维向量。
当det(A)≠0时，方程组有唯一解，可以通过以下方法求解：x = A^(-1) * b其中A^(-1)为矩阵A的逆矩阵。
当det(A) = 0时，方程组可能有无穷多个解或无解。
我们可以进一步利用行列式的性质来判断具体的解的情况。
3. 判断线性方程组的解对于线性方程组Ax = b，当det(A) = 0时，可以通过计算方阵A的秩和增广矩阵[A|b]的秩来判断方程组的解的情况。
（1）当rank(A) = rank([A|b]) = n时，方程组无解。
行列式的性质及求解方法
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
行列式的计算方法及其应用
行列式的计算方法及其应用行列式是线性代数中一种非常重要的概念，出现在许多领域中，如数学、物理、工程等。
它是一个方阵中各个元素的代数和，具有非常重要的几何和代数特征，因此也是线性代数学习的基础之一。
一、行列式的定义设有n阶行列式，写成如下形式：$$\Delta_n = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\\vdots &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &\cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$其中，$a_{ij}$代表矩阵中第i行第j列的元素。
行列式的定义是这样的：设$A$为$n$阶方阵，$a_{i,j}$是$A$的元素，那么行列式$\Delta(A)$定义为：$$\Delta(A) =\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma\cdot{a_{1,{\sigma(1)}}}\cdot{a_{2,{\sigma(2)}}}\cdots{a_ {n,{\sigma(n)}}}}$$其中，$\sum_{\sigma}$代表对所有$n$个元素的所有排列求和，$\sigma$是一个排列，并且$\sigma(k)$表示k在$\sigma$中的位置。
二、行列式的计算方法计算行列式有三种方法：直接定义法、代数余子式法和高斯消元法。
直接定义法随着矩阵维度的增加，计算量呈指数级增长，因此较少使用。
代数余子式法和高斯消元法可以将计算行列式的时间复杂度降低到$O(n^3)$，被广泛应用于实际问题中。
1. 直接定义法直接定义法是按照定义计算行列式的方法。
第一章(行列式和线性方程组的求解)
几何与代数主讲: 张小向第一章行列式和线性方程组的求解第一节二阶, 三阶行列式第二节n阶行列式的概念第三节行列式的性质第四节线性方程组的求解第五节用Matlab解题学代数方程组多项式的次数未知量的个数方程的个数线性代数线性方程组未知已知涉及的函数多项式一次≥1≥1线性方程组的应用: 平面的位置关系电路化学方程式配平交通流量营养配方搜索引擎投入产出模型……W. Leontief [美](1905.8.5-1999.2.5)1973Nobel 经济学奖投入(元)产出(元)煤运费电0.20.31煤0.50.11运费0.60.10.11电订单(元)60000100000 x y0.9x-0.65y= 60000-0.32x+ 0.89y= 100000§1.1 二阶, 三阶行列式历史上,行列式因线性方程组的求解而被发明G. W. Leibniz [德](1646.7.1~1716.11.14)S. Takakazu[日](1642?~1708.10.24)(a11a22-a12a21)x1= b1a22-a12b2(a11a22-a12a21)x2= a11b2-b1a 21⇒当a11a22-a12a21≠0时,a11x1+ a12x2= b1a21x1+ a22x2= b 2x1=b1a 22-a 12b 2a 11a 22-a 12a 21, x2= a11a22-a12a21a11b2-b1a21.a11 a12a21a 22记D= ,b1a12b2a 22D1= ,a11 b1a21b2D2= ,则当D= a11a22-a12a21≠0时,,=D1D =D2D.a11x1+ a12x2= b1a21x1+ a22x2= b2x1=b1a22-a12b2a11a22-a12a21有唯一确定的解x2= a11a22-a12a21a11b2-b1a21= 33+ a 1231+ 32-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33-.对角线法则a 11 a 12 a 21a 22= a 11a 22-a 12a 21a 11a 12a 13a 21a 22 a 23 a 31a 32a 33a 13a 21a 32 a 11 a 22 a 33 a 23a 31 32 a 13a 22a 31a11a12a13a21a22a23a31a32a 33记D = ,则当D 0时,a11x1+ a12x2+ a13x3= b1a21x1+ a22x2+ a23x3= b2a31x1+ a32x2+ a33x3= b3,D1Dx1=有唯一确定的解b1a12a13b2a22a23b3a32a33D1= ,a11b1a13a21b2a23a31b3a33D2= ,a11a12b1a21a22b2a31a32b3D3= ,,D2Dx2= .D3Dx3=§1.2 n 阶行列式的概念110 0120 00 0 1-10 0 12仿照三阶行列式的对角线法则可得1⨯2⨯1⨯2-1⨯1⨯(-1)⨯1= 4+1 = 5.310 0520 000 1-130 123⨯2⨯1⨯2-1⨯5⨯(-1)⨯1= 12+5 = 17.但方程组⎧⎨⎩x 1+ x 2= 3x 1+ 2x 2= 5x 3-x 4= 0有唯一解⎧⎨⎩x 1= 1x 2= 2x 3= 1≠175一. 排列的逆序数与奇偶性1.全排列(简称排列)P n = n 个不同元素的所有排列的种数= 1⨯2⨯…⨯(n -1)⨯n 例如, 1, 2有个全排列: 1 23, 13 2, 3 1 2, 2 13, 23 1, 3 2 112, 21. 1, 2, 3有个全排列:2 6 =n !2. 逆序数先规定一个标准次序偶排列如自然次序: 1 2 3 4 … (n 1) n n = 6时, 1 2 3 4 5 6 ——标准次序1 4 2 3 5 6 ——有逆序4 2 4 32 个3 23 2 1456 ——有逆序2 13 1 3 个逆序数奇排列例1. 求下列排列的逆序数(1) 32514,(2) (2n )(2n -2)…4213…(2n -3)(2n -1). 3. 对换/邻对换注: ①任一邻对换都改变排列的奇偶性.②任一对换都可通过奇数次邻对换来实现.1 53 42 6 32 1 4 5 6 13 245 61 2 4 35 6定理 1.1. 每一个对换都改变排列的奇偶性. ☺ ☹ ☹ ☺ ☺ ☹ 1 ☺ ☹ 2 ☺ ☹ 3 ☺☹ 4 ☹☺ 5 ☹ ☺ 6 ☹ ☺ 7☹ ☺ 89☺ ☹ ☺ ☹ 1 ☺ ☹ 2 ☺☹ 3 ☹☺ 4 ☹ ☺ 5 ☹ ☺ 6☹ ☺ 7推论. n 2时, n 个元素的所有排列中, 奇、偶排列各占一半, 即各有n !/2个.二. n 阶行列式的定义1.三阶行列式的特点每一项都是三个元素的乘积.a 11 a 12a 13 a 21a 22 a 23a 31 a 32 a 33= a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33-a 13a 22a 31.每一项的三个元素都位于不同的行和列. 行列式的6项恰好对应于1, 2, 3的6种排列.各项系数与对应的列指标的排列的奇偶性有关.()()=-∑1231231231231j j j j j j j j j a a a τa 11 a 12a 13 a 21a 22 a 23a 31 a 32 a 33j 1j 2j 3的逆序数对所有不同的三级排列j 1j 2j 3求和()()=-∑121212121j j j j j j a a τa 11 a 12a 21a 222. n 阶行列式的定义a 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn()()=-∑121212121 n nnj j j j j nj j j j a a a τ注: 当n = 1时, 一阶行列式|a 11| = a 11,这与绝对值符号的意义是不一样的.例如, 四阶行列式中, 负a 12a 23a 34a 411234a a 13a 14222331324144a 14a 23a 32a 41前面带____号,正a 11121314 a 21a 22a 23a 24a 31a 32a 33a 34a 41a 42a 43a 44a 31a 22a 13a 44前面带____号.负没有,a 11a 22a 31a 44前面带____号, a a a a3. 几个特殊的行列式λ1 0 ... 00λ2 0… … … …0 0 … λn0 … 0 λ10 … λ20… … … …λn … 0 0= λ1λ2…λn , (1) 对角行列式λ1λ2…λn .= (-1) n (n -1) 2(2) 上(下)三角形行列式a 11 a12 (1)0a22 ... a 2n ... ... ... ...00... a nn a11 0 0a21a22 0… … … …a n 1 a n2 … a nn = a 11 a 22…a nn . = a11 a22…a nn.事实上, 只有pi i(i= 1,2,…n)时,1212np p npa a a才有可能不为0.若有某个pk> k, 则必然有若有某个p l< l,否则1+2+…+n= p1+p2+…+p n>1+2+…+n, 矛盾!例2. 确定四阶行列式中a a a a 前面的符号.i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 1a a a a →a a a a i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 11j 12j 23j 34j 4''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4) ''''(-1)例2. 确定四阶行列式中a a a a 前面的符号.i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 1①τ(i 1i 2i 3i 4)奇τ( j 1 j 2 j 3 j 4)奇②τ(i 1i 2i 3i 4)奇τ( j 1 j 2 j 3 j 4)偶③τ(i 1i 2i 3i 4)偶τ( j 1 j 2 j 3 j 4)奇④τ(i 1i 2i 3i 4)偶τ( j 1 j 2 j 3 j 4)偶经过一次对换后奇奇偶偶偶奇奇偶τ(i 1i 2i 3i 4)''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4)''''τ(i 1i 2i 3i 4)''''τ( j 1j 2 j 3 j 4)''''τ(i 1i 2i 3i 4)''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4)''''τ(i 1i 2i 3i 4)''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4)''''τ(i 1i 2i 3i 4) + ''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4) 的奇偶性相同''''τ(i 1i 2i 3i 4) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4) 的奇偶性与例2. 确定四阶行列式中a a a a 前面的符号.i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 1τ(i 1i 2i 3i 4) + ''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4) 的奇偶性相同''''τ(i 1i 2i 3i 4) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4) 的奇偶性与τ(i 1i 2i 3i 4) + ''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4) ''''τ(i 1i 2i 3i 4) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4)(-1)= (-1)例2. 确定四阶行列式中a a a a 前面的符号.i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 1τ(i 1i 2i 3i 4) + ''''τ( j 1 j 2 j 3 j 4) ''''τ(i 1i 2i 3i 4) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4)(-1)= (-1)a a a a →a a a a i 4j 4i 3j 3i 2j 2i 1j 11j 12j 23j 34j 4''''τ(i 1i 2i 3i 4) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4)= (-1)τ(1234) + τ( j 1 j 2 j 3 j 4) ''''= (-1)τ( j 1 j 2 j 3 j 4) ''''(-1)4. n 阶行列式的另外一种定义a 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn()()=-∑112221121 n nn i i i i i i i ni i a a a τ性质1. DT = D .记D = 行列式D T 称为D 的转置. 记bij= a ji , 则D Ta 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n… … … …a n 1 a n 2 … a nna 11a 21… a n 1a 12a 22… a n 2… … … …a 1n a 2n … a nn, D T=()()=-∑1212121 n n j j nj j j j b b b τ()()=-∑1212121 n n j j j j j nj a a a τ5. 行列式的转置= D .§1.3 行列式的性质一. 行列式的基本性质a 11 a 12… a 1n k a 21k a 22 … k a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn()()()=-∑121231231 n n j j j j j j nj k a a a a τ()()=-∑121231231 n nj j j j j j nj k a a a a τa 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … … a n 1 a n 2 … a nna 11 a 12… a 1n k a 21k a 22 … k a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn()()()=-∑121231231 n n j j j j j j nj k a a a a τ()()=-∑121231231 n nj j j j j j nj k a a a a τa 11 a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … …a n 1 a n 2 … a nn= k .性质2. 行列式的某一行(列)的公因子可以提到行列式记号外.k a11 k a12… k a1n k a21k a22 … k a2n … … … …k a n1 k a n2 … k a nna11 a12 (1)a21a22 (2)… … … …a n1 a n2 … a nn = ___.k na 11+b 11a 12… a 1n a 21+b 21a 22 … a 2n … … … …a n 1+b n 1a n 2 … a nn()()()=-+∑111221121 n n i i i i i n i i a a a b τ()()=-∑1212211 n n i i i i i i n a a a τ()()+-∑1212211 n n i i i i i i nb a a τa 11+b 11a 12… a 1n a 21+b 21a 22 … a 2n … … … …a n 1+b n 1a n 2 … a nn()()()=-+∑111221121 n n i i i i i ni i a a a b τb 11a 12… a 1n b 21a 22 … a 2n … … … …b n 1a n 2 … a nn+ . a 11a 12… a 1n a 21a 22 … a 2n … … … …a n 1a n 2 … a nn =性质3. 行列式可按某一行(列)拆成两个行列式之和. a + u b +vc +xd + y = [ ].+ a b c d (A)u v x y 例3. + u b x d (B)u v x y + a b cd a v c y + a b + v cd + y u b + v x d + y()()-∑1122331232131j j j j j j j j j a a a τa 31 a 32 a 33 a 21a 22 a 23a 11 a 12a 13 a 11 a 12a 13a 21a 22 a 23a 31 a 32 a 33→b 11 b 12 b 13 b 21b 22 b 23b 31 b 32b 33()()-∑3122311321j j j j j j b b b τ()()-∑3122313121j j j j j j a a a τ()()-∑3122131321j j j j j j a a a τ()()--∑1322131321j j j j j j a a a τ()()-∑3322113212131j j j j j j j j j a a a τ()()-∑1122331232131j j j j j j j j j a a a τ()()-∑3322113212131j j j j j j j j j a a a τ(-1)τ(123)a 11a 22a 33(-1)τ(321)a 13a 22a 31+ (-1)τ(132)a 11a 23a 32+ (-1)τ(231)a 12a 23a 31+ (-1)τ(213)a 12a 21a 33+ (-1)τ(312)a 13a 21a 32+ (-1)τ(231)a 12a 23a 31+ (-1)τ(312)a 13a 21a 32+ (-1)τ(321)a 32a 22a 31+ (-1)τ(132)a 11a 23a 32+ (-1)τ(213)a 12a 21a 33+ (-1)τ(123)a 11a 22a 33性质4. 互换行列式中的两行(列), 值变号. ()()-∑1122331232131j j j j j j j j j a a a τa 31 a 32 a 33 a 21a 22 a 23a 11 a 12a 13 a 11 a 12a 13a 21a 22 a 23a 31 a 32 a 33 →b 11 b 12 b 13 b 21b 22 b 23b 31 b 32b 33()()-∑3122311321j j j j j j b b b τ()()-∑3122313121j j j j j j a a a τ()()-∑3122131321j j j j j j a a a τ()()--∑1322131321j j j j j j a a a τ()()-∑3322113212131j j j j j j j j j a a a τ例4.= _____. 3 2 1 01 5 6 -20 -1 7 3 1 01 01 5 6 -2 0 -1 7 3 1 0=-3 2 -1 0 3 2 -1 0 -1 0 3 2 -1 0 推论. 若行列式D 中有两行(列)完全相同, 则D = 0.6 4 -2 0 1 5 6 - 20 - 1 7 3 3 2 - 1 0 例5.= _____. 3 2 -1 01 5 6 -2 0 -1 7 3 3 2 -1 0=2性质5. 若行列式D 中有两行(列)成比例,则D = 0.例6.111213a21a22a23a31a32a33⨯k→a11a12a13a21a22a23a31+k a11a32+k a12a33+k a13=a11a12a13a21a22a23a31a32a33+ 0=a11a12a13a21a22a23a31a32a33+a11a12a13a21a22a23k a11k a12k a13例6.性质6. 将行列式中某一行(列)的k 倍加到另一行(列), 所得的行列式与原行列式的值相等.111213a 21a 22a 23a 31a 32a 33k = a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31+k a 11a 32+k a 12a 33+k a 13例7. (1) 1 2 34 5 67 8 9⨯(-1)=1 2 33 3 37 8 9⨯(-1)= 1 2 33 3 36 6 6= 0.(2) 1 1 11 2 11 1 3⨯(-1)=1 1 10 1 01 1 3⨯(-1)= 1 1 10 1 00 0 2= 2.(3)⨯(-1)1 1 ... 1 1 a (1)1 1 … a= (a +n -1)… …… =a +n -1 a +n -1...a +n -11 a (1)1 1 … a ………n ⨯na 1 … 1 1 a … 1 1 1 … a ………(4)1 0 λ+1-5 λ+2 -3λ-3 1 -2= -λ-3 1 -2-5 λ+2 -31 0 λ+1⨯51 0 λ+10 λ+2 5λ+2λ-3 1 -2= -⨯(3-λ)1 0 λ+10 λ+2 5λ+20 1 -λ2+2λ+1= -⨯(-λ-2) 1 0 λ+1 0 λ+2 5λ+20 1 -λ2+2λ+1 = -1 0 λ+1 0 1 -λ2+2λ+1 0 λ+2 5λ+2 = 1 0 λ+10 1 -λ2+2λ+10 0 λ3= = λ3.(其中a 1a 2…a n ≠0).(5) 1+a 1 1 … 1 1 1+a 2… 1… … … …1 1 … 1+a n= 1 1 1 … 101+a 1 1 … 1 0 1 1+a 2… 1…… … … …0 1 1 … 1+a n⨯(-1)…= 1 1 1 (1)01+a1 1 (1)0 1 1+a2 (1)…… … … …0 1 1 … 1+a n⨯(-1)…1 1 1 (1)-1a10 0-10 a2 0…… … ……-10 0 … a n= ―伞形”行列式Il veit!= 1 1 1 … 1-1a 10 … 0 -10 a 2… 0…… … ……-10 0 … a n⨯(-1/a 1)…⨯(-1/a 2)⨯(-1/a n )注意已知条件: a 1a 2…a n ≠0,否则不能1/a 1, …, 1/a n != [1+ ∑(1/a i )]a 1a 2a n .… n= 1+∑(1/a i )00...0-1a 10 0-10 a 2… 0…… … ……-10 0 … a n i = 1 n例8. 证明n阶级(n≥2)范德蒙(Vandermonde)D n = 1 1 (1)x 1x 2… x nx12x22… x n2… … … …x1n -1x2n-1 … x n n -1= ∏(x j-x i).1≤i<j≤n行列式注: ①有些书上将上述转化过程用r k↔r j, c k↔c j, r i+k r j , c i+k c j等记号表示, 并写在等号的上方或下方.但这样不够直观.②为了不引起混淆, 每步最好只进行一个操作. 例如:a b c da+c b+dc da+c b+d-a -b r1+r2a b c da bc-a d-bc dc-a d-br1+r2r2-r1r2-r1例9. 设D = a 11 … a 1m a m 1 … a mmD 1=……, 证明: D = D 1D 2.证明: 对D 1施行r i +k r j 这类运算, 把D 1化为下三角形行列式:= p 11p m 1…p mm…...= p 11 …p mm , b 11 …b 1nb n 1 …b nnD 2=,……a 11 …a 1m 0 … 0 ……………………,a m 1... a mm 0 0c 11 …c 1m b 11 …b 1nc n 1 …c nm b n 1 …b nna 11 … a 1m a m 1 … a mmD 1=……。
线性代数下的行列式和矩阵
线性代数下的行列式和矩阵线性方程组一般有 m 个常数项，n 个未知数，m * n 个系数。
若常数项全为 0 ，则为齐次线性方程组；若未知数全为0 ，则称为零解。
于是我们考虑的问题是：齐次方程组：1.是否存在非零解，以及存在的条件2.通解的结构与性质3.解法非齐次方程组：1.是否有解，以及有解的条件是什么2.有多少解以及对应解数量的条件是什么3.多解的结构与性质4.解法行列式二，三阶行列式行列式的初始作用是解线性方程组！例如：最简单的二元线性方程组\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{aligned} \right.\Rightarrow 消元 \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}x_1 = \frac{b_1a_{22} - b_2a_{12}}{a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}} \\ x_1 = \frac{b_2a_{21} -b_1a_{21}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \end{aligned} \right.可以得出结论，答案是由方程的四个系数和常数决定的。
所以记住四个系数作为行列式，指定行列式的值是上式的分母:\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}于是有了这么一个行列式之后，我们就可以得到：D = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \ D_1 = \begin{bmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{bmatrix} \ D_2 = \begin{bmatrix}a_{21} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{bmatrix} \\Rightarrow \\ x_1 = \frac{D_1}D, x_2 = \frac{D_2}D同理可以推广到三元线性方程组，定义三阶行列式。
线性代数详细知识点
线性代数 第一章 行列式§1 二阶和三阶行列式一、二元一次线性方程组与二阶行列式结论：如果112212210a a a a -≠，则二元线性方程组 11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩的解为122122*********b a a b x a a a a -=-，1121212112121a b b a x a b b a -=-。
定义：设11122122,,,a a a a ，记11221221a a a a -为11122122a a a a 。
称11122122a a a a 为二阶行列式有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为112222111122122b a b a x a a a a =，111122211122122a b a b x a a a a =二、三阶行列式与三元一次线性方程组定义：111213212223313233a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---定理：如果1112132122233132330a a a D a a a a a a =≠，则***123(,,)x x x 是下面的三元线性方程组的解111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩当且仅当*1x =112132222333233/b a a b a a D b a a ,*2x =111132122331333/a b a a b a D a b a ,*3x =111212122231323/a a b a a b D a a b 其中111213212223313233a a a a a a a a a 为系数行列式。
线性方程组在行列式和矩阵计算中的应用
线性方程组在行列式和矩阵计算中的应用行列式的计算是线性方程组求解的关键步骤之一、对于n个未知数的线性方程组，行列式的值为一个关于这n个未知数的多项式。
通过计算行列式的值，可以判断线性方程组的解的情况。
如果行列式的值不为零，那么线性方程组有唯一解；如果行列式的值为零，那么线性方程组无解或有无穷多解。
因此，行列式的计算是判断线性方程组解的存在性和求解的条件之一在矩阵计算中，行列式的计算也扮演着重要的角色。
矩阵与行列式之间有着密切的关系。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式记作，A，或det(A)。
行列式可以看作是矩阵A的性质的一种度量。
通过计算行列式，可以获得矩阵A的一些重要信息。
通过矩阵的行列式计算，可以判断矩阵的可逆性。
如果一个矩阵的行列式不为零，那么这个矩阵是可逆的；如果一个矩阵的行列式为零，那么这个矩阵是不可逆的。
矩阵的可逆性是在线性方程组的求解过程中非常重要的性质。
可逆矩阵可以通过求逆矩阵的方法求解线性方程组，得到唯一解；而不可逆矩阵则无法求解线性方程组。
当然，行列式和矩阵计算在线性方程组求解中还具有很多其他的应用。
例如，通过求解矩阵的秩可以判断线性方程组的解的个数；通过求解矩阵的特征值和特征向量可以获得线性方程组的一些特征信息；通过矩阵的转置、加法和乘法等运算，可以对线性方程组进行推导和变换，进一步简化方程组的求解过程。
此外，行列式和矩阵计算还在众多科学领域中发挥着重要的作用。
它们在物理、工程、计算机科学、经济学等领域的模型建立和数据分析中起着关键的作用。
例如，在计算机图形学和计算机视觉中，矩阵和行列式可以用来表示和处理图像的变换和特征；在经济学和金融学中，矩阵和行列式可以用来建立经济模型和计算投资组合的风险。
总而言之，线性方程组在行列式和矩阵计算中有着广泛的应用。
通过行列式和矩阵的计算，可以解决线性方程组的求解问题，同时也可以得到方程组的一些重要性质和特征。
行列式和矩阵计算不仅在数学中具有重要地位，而且在其他科学领域中也发挥着关键的作用。
行列式和线性方程组的求解
行列式在解线性方程组中的优势与局限性
优势
行列式可以用来判断线性方程组的解的情况，如是否有解、解的个数等，同时也可以用于求解某些特 定类型的线性方程组。
局限性
对于一些复杂或大规模的线性方程组，直接利用行列式求解可能比较困难或计算量较大，此时需要考 虑其他方法或工具进行求解。
THANKS
谢谢
当线性方程组的系数行列式不为零时，克拉默法则适用。
克拉默法则的原理基于代数余子式的概念，通过代数余子式的计算，可以得出系数和常数项之间的关系。
应用克拉默法则的步骤
第一步
计算系数行列式D，确保D≠0。
第二步
根据D的值，计算每个未知数的系数行列式Di（i=1,2,3...n）。
第三步
根据Di的值，计算每个未知数的代数余子式Ai。
迭代法
通过迭代过程逐步逼近方程组的解，常用的迭代法有雅可比法、高斯 -赛德尔迭代法和松弛法等。
03
CHAPTER
高斯消元法求解线性方程组
消元过程
初始化
将线性方程组转化为增广矩阵形式，并存储在矩阵中。
消元
通过行变换将增广矩阵中的某一行或某一列的元素化 为零，以便消除该行或列中的未知数。
迭代
重复上述步骤，直到所有未知数都被消除。
回带过程
确定主元
在回带过程中，选择主元是为了保证计算的稳定性 和准确性。主元应选择绝对值最大的元素。
回带
从最后一行开始，将已求解的未知数代入增广矩阵 中，并计算出其他未知数的值。
迭代
重复上述步骤，直到所有未知数的值都被计算出来。
算法的优缺点
优点
高斯消元法是一种简单、直观且易于理 解的算法，适用于大多数线性方程组。 它能够精确求解方程组，且在主元选择 合适的情况下具有较高的计算效率和稳 定性。
几何与代数-线性方程组的求解与矩阵运算
有唯一解 有无数解 无解
第一章 行列式和线性方程组的求解
x1 + 3x2 + 2x3 = -1 -5x2 - 3x3 = 5 2x3 = 8
§1.4 线性方程组的求解
有唯一解
其增广矩阵为
1 3 2 -1
~~
0 -5 -3 5 = [A, b]
0028
A~的非零行数 记为r(A~);
(A~,b~) 的非零行数 记为r(A~ ,b~);
解 1 -1 -3 1
2 -2 1 -1
4 -4 -5 1
r2 -2r1 r3 -4r1 r4 -r1
§1.4 线性方程组的求解
1 -1 -3 1
0 0 7 -3
0 0 7 -3
r3 – r2 r4 – r2 1/7r2
1 -1 4 -2 1 -1 -3 1
0 0 7 -3 1 -1 0 -2/7
0 0 1 -3/7 r1 +3r2 0 0 1 -3/7
有非零解
a11 a12 … a1n
a21 …
a22 … a2n ………
= 0.
an1 an2 … ann
第一章 习题解析
第一章 行列式和线性方程组的求解
习题解析
a11 … a1m 0 … 0
a11 … a1m
…
…
选择7. 设D =
……
…
…
am1 … amm 0 … 0 c11 … c1m b11 … b1n
0 000
0 000
0 000
0 000
通解为 x1 = x2 + 2/7x4 (+0), x3 = 3/7x4 (+0), 其 中x2, x4为自由未知量.
行列式和线性方程组之间的关系
行列式和线性方程组之间的关系一前言线性方程组是线性代数的基本内容。
它不仅是数学中非常重要的基础理论，也是科学研究、工程技术、社会和生产实践中常用的数学工具。
本文介绍了行列式的基本概念和一些典型的计算方法。
下一篇文章将介绍基本的消除方法。
二低阶行列式行列式概念来源于求解线性方程组，对于一个二元线性方程组：a_11 * x+a_12 * y = b_1; a_21 * x + a_22 * y = b2利用消元法可知，当 a_11*a_22 - a_12*a21 != 0 时，这个方程组有唯一解。
我们记：同样的，针对三阶行列式，我们有以下的计算方式：计算过程可以利用，下面的方式表达其中实线是主对角线，虚线是次对角线。
但是，需要提醒的针对3阶以上的行列式，并不是主对角线相乘-次对角线的计算方式。
例子：使用matlab计算一个行列式数值：构建一个行列式数值，然后计算det（D），即可计算行列式（矩阵）的行列式数值。
三高阶行列式在讲高阶行列式之前，我们需要插一个小概念:逆序数。
定义1：有n个自然数1，2，3，... ，n按任意次数排列成一列所得的n元数串i1, i2, ..., in称为一个n级排列。
对于一个给定的正整数n，一共有n！个不同的n级排列（排列组合方式）。
定义2：在n级排列i1, i2, ..., in中，排在第k个数ik 前面，但是比ik大的数的个数成为ik在这个排列中的逆序数。
排列i1, i2, ..., in中各个元素逆序数之和称为这个排列的逆序数。
逆序数为奇数称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
奇排列和偶排列是计算高阶行列式元素符号的必备知识。
这里我们也可以给出n^2个数的行列式的计算方法：其中，为该其中一种元素排列的逆序数。
四行列式的性质（1）用数k乘以行列式的某一行（列）的所有元素相当于k 乘以该行列式（和矩阵有很大不同）（2）如果行列式某一行（列）的元素是两组数之和，那么该行列式可以写成两个行列式之和（3）互换行列式的两行（列），行列式+-符号互换（4）如果行列式中两行（列）元素对应成比例，那么该行列式的值为0（5）如果将行列式某行（列）改成该行（列）与另一行（列）的k倍之和，行列式数值不变。
行列式与解线性方程组
= a11 a22 - a12 a21
= b1 a22 a33 + a12 a23 b3 +
可知 , 其数学表达式共有 2 ( 2 = 2 ! ) 项 , 1 项带正号 1 2! 项带负号 1 = ; 每项 2 个因子 , 分别来自 D 的 2 不同的行和不同的列 , 2 个因子的第 1 下标的数码 排成自然顺序后 , 第 2 下标恰为 2 个数码 1, 2 的某 个全排列 (共 2 = 2 ! 个全排列 ) , 逆序数 σ ( 12 ) = 0 (偶数 ) 的项带正号 , 逆序数 σ ( 21 ) = 1 (奇数 ) 的项 带负号 。 分析 3 阶行列式 ( 8 ) 式
这本来是一个纯代数问题如果我们把这个纯代数问题与几何结合起来在求解线性方程组的过程中从整体上考虑系数与常数项的关系就产生了求解线性方程组的行列式理论和矩阵理论
中国人民公安大学学报 (自然科学版 )
2010 年第 1 期 No. 1 2010 Journal of Chinese Peop leπ s Public Security University ( Science and Technology)
显然 , 线性方程组的解与其系数和常数项有关 。 这本来是一个纯代数问题 , 如果我们把这个纯代数 问题与几何结合起来 , 在求解线性方程组的过程中 从整体上考虑系数与常数项的关系 , 就产生了求解 线性方程组的行列式理论和矩阵理论 。
1 标准形式的 2 元线性方程组
= b1 a22 - b2 a12 , = a11 b2 - a21 b1 。
- a12 a21 ≠0, 则得线性方程组 ( 1 ) 式的惟一解及求解
于是 , 2 元线性方程组 ( 1 ) 式的求解公式 ( 2 ) 式 就可以写成容易记忆的公式
行列式的计算方法与其在线性方程组的简单应用
本科生毕业论文题 目： 行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用姓 名： 学 号： 系 别：年 级: 专 业：摘 要《高等代数》是数学专业学生的一门必修基础课程。
行列式的计算是高等代数中的重点、难点，特别是n 阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。
计算n 阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。
当看到一个貌似非常复杂的n 阶行列式时，仔细观察，会发现其实它们的元素在行或列的排列方式上都有某些规律。
掌握住这些规律，选择合适的计算方法，能使我们在极短的时间内达到事半功倍的效果！本文首先介绍n阶行列式的定义、性质，再归纳总结行列式的各种计算方法、技巧及其在线性方程组中的初步应用。
行列式是线性方程组理论的一个组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广。
它不仅是解线性方程组的重要工具，而且在其它一些学科分支中也有广泛的应用。
关键词：n阶行列式计算方法归纳线性方程组ABST RACTAlgebra is a courses of mathematics specialized compulsory of the basic mathematic. The determinant's calculation is the most difficulty in higher algebra, especially, the n order determinant's calculation, alway is student's difficulty in the learning process, so ,it is difficult to master for ours . There are a lot of calculations ofn order determinant in method , but when we say a problem of the calculation of n order determinant, according to its characteristics, selecting the appropriate method to solving is a very good idea. When you see a seemingly so complex n order determinant, we should observe them carefully,and we will find that their elements are arranged in rows or columns have some regularity. Grasping of these laws, finding a appropriate calculation method,it can help us to achieve a multiplier effect in a very short time! This paper mainly introduces the definition of n order determinant, nature, and calculation methods, the skills of calculation of n order determinant and application in linear equation group. Determinant is an important theory in linear equations and it is an indispensable part of linear equations, determinant is also the middle school mathematics' content raise and promotion. It is not only the solution of linear equations of the important tool, but also in some other branch has a wide range of applications.Key words: n order determinant calculation method induce linear equations目录引言 (1)1 n阶行列式的定义 (3)2 n阶行列式的性质 (3)3 计算n阶行列式的具体方法与技巧 (4)3.1 利用行列式定义直接计算 (4)3.2 利用行列式的性质计算 (5)3.3 化为三角形行列式 (6)3.4 降阶法 (7)3.5 逆推公式法 (8)3.6 利用范德蒙德行列式 (9)3.7 加边法（升阶法） (9)3.8 数学归纳法 (10)3.9 拆开法 (11)4 行列式在线性方程组中的初步应用 (11)4.1 克拉默（Gramer）法则 (12)4.2 克拉默（Gramer）法则的应用 (12)4.2.1 用克拉默（Gramer）法则解线性方程组 (13)4.2.2 克拉默法则及其推论在几何上的应用 (14)结论 (16)参考文献 (17)致谢 (18)引 言解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学中所学的代数中，解方程占有重要的地位.因此这个问题是读者所熟悉的.比如说，如果我们知道了一段导线的电阻r ，它的两端的电位差v ，那么通过这段导线的电流强度i ，就可以有关系式v ir =求出来.这就是所谓解一元一次方程的问题.在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组.线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容. 对于二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a bx a x a ，当021122211≠-a a a a 时，次方程组有惟一解，即 211222112122211a a a a b a a b x --=， 211222111122112a a a a ba b a x --=.我们称21122211a a a a -为二级行列式，用符号表示为 21122211a a a a -=22211211a a a a于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式 22211211a a a a 0≠时，该方程组有惟一解，即.,222112112211112222112112221211a a a a ba b a x a a a a a b a b x ==对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.,,333323213123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a称代数式312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++为三级行列式，用符号表示为：312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=333231232221131211a a a a a a a a a .我们有：当三级行列式=d 333231232221131211a a a a a a a a a 0≠时，上述三元线性方程组有惟一解，解为 d d x 11=，d dx 22=，d d x 33= 其中3332323222131211a a b a a b a a b d = ，3333123221131112a b a a b a a b a d =，3323122*********b a a b a a b a a d =在本论文中我们将把这个结果推广到n 元线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111的情形.为此，我们首先要给出n 阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是本论文的主要内容.1 n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nna a a a a a a a a (212222111211)等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a ...2121（1）的代数和，这里j 1j 2…j n 是1,2,…,n 的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：当j 1j 2…j n 是偶排列时，（1）带正号，当j 1j 2…j n 是奇排列时，（1）带有负号.这一定义可以写成nnn n nna a a a a a a a a ..................212222111211=∑Γ-nnn j j j nj j j j j j a a a ...21)...(212121...)1(这里∑nj j j ...21表示对所有阶排列求和.定义表明，为了计算n 阶行列式，首先作所有有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积。
行列式的求解方法
行列式的求解方法行列式是矩阵所具备的的一个重要的数学性质，它可以为我们解决很多的线性代数问题。
在数学和工程的应用中，行列式常常应用于解决线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、线性变换、矩阵的可逆性等问题上。
本文将对行列式的定义、基本性质、计算方法以及相关的应用等方面进行详细的讲解。
一、行列式的定义行列式是由数学家Cramer所发明的。
行列式又叫矩阵行列式，是由一个n*n的方阵中所计算出来的一个标量值。
对于二阶方阵$\bold A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$，其行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$对于更高阶的n阶矩阵，则可以采用逐步消元的方法来进行求解。
对于一般的n*n阶矩阵A的行列式，我们可以采用下面的定义进行计算：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{i_1,i_2,\cdots,i_n} (-1)^{N(i_1,i_2,\cdots,i_n)}a_{1i_1}a_{2i_2}\cdots a_{ni_n} $$其中，$N(i_1,i_2,\cdots,i_n)$表示将$i_1,i_2,\cdots,i_n$从小到大排列时所需的逆序对个数，$a_{1i_1}a_{2i_2}\cdotsa_{ni_n}$为行列式的元素积。
系数行列式与方程组解的关系
系数行列式与方程组解的关系在数学中，系数行列式与方程组解之间存在着密切的关系。
系数行列式是由方程组的系数组成的行列式，而方程组解则是满足方程组的一组值。
本文将探讨系数行列式与方程组解之间的关系，并介绍一些相关的概念和定理。
一、系数行列式的定义与性质系数行列式是由方程组的系数组成的行列式，它可以用来判断方程组的解的情况。
具体而言，对于一个n元线性方程组：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn其中，a11, a12, ..., ann为方程组的系数，x1, x2, ..., xn为未知数，b1, b2, ..., bn为常数。
那么，方程组的系数行列式可以表示为：D = |a11 a12 ... a1n||a21 a22 ... a2n||... ... ... ...||an1 an2 ... ann|系数行列式具有以下几个性质：1. 若D≠0，则方程组有唯一解；2. 若D=0，则方程组无解或有无穷多解。
二、克拉默法则克拉默法则是一种通过系数行列式来求解方程组的方法。
该方法的基本思想是，通过计算系数行列式的值来判断方程组的解的情况，并进一步求解方程组的解。
对于一个n元线性方程组，假设其系数行列式为D，而将第i个未知数的系数替换为方程右侧的常数列向量(b1, b2, ..., bn)得到的新的行列式为Di。
那么，根据克拉默法则可得：xi = Di / D其中，xi为方程组的第i个未知数的解。
三、系数行列式与方程组解的关系系数行列式与方程组解之间存在着一一对应的关系。
具体而言，对于一个n元线性方程组，其系数行列式D的值决定了方程组的解的情况：1. 若D≠0，则方程组有唯一解。
在这种情况下，可以通过克拉默法则求解方程组的解。
2. 若D=0，则方程组无解或有无穷多解。
矩阵与行列式线性方程组的求解与矩阵的运算
矩阵与行列式线性方程组的求解与矩阵的运算矩阵和行列式是线性代数中非常重要的概念，它们在数学和工程领域中具有广泛的应用。
本文将讨论矩阵与行列式的基本知识，以及它们在线性方程组求解和矩阵运算中的应用。
一、矩阵和行列式的定义1. 矩阵的定义：矩阵是由数个数按照矩阵形式排列组成的一种数学对象。
矩阵由m行n列的元素组成，通常用大写字母表示矩阵，如A。
矩阵中的每个元素用小写字母表示，如a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
2. 行列式的定义：行列式是一个按特定规则计算出的标量值。
行列式可以理解为一个方阵的属性，它的值可以告诉我们这个方阵的一些重要信息，比如是否可逆、是否为奇偶数等。
二、矩阵运算矩阵的运算包括加法、减法、数乘和乘法四种基本运算。
1. 矩阵加法和减法：若两个矩阵A和B的行数和列数相等，那么可以对应元素进行加法和减法运算，得到的结果矩阵的元素等于对应位置的两个矩阵的元素之和或之差。
2. 数乘：数乘是指将矩阵的每一个元素都乘以一个数。
即若A是一个m行n列的矩阵，k是一个数，那么kA是一个m行n列的矩阵，它的每个元素等于k乘以对应位置上的元素。
3. 矩阵乘法：若矩阵A是一个m行n列的矩阵，矩阵B是一个n 行p列的矩阵，那么矩阵A乘以矩阵B得到的结果是一个m行p列的矩阵，其中新矩阵的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行和矩阵B 的第j列对应元素的乘积之和。
三、线性方程组的求解线性方程组可以用矩阵和行列式的方法进行求解。
对于一个m个方程、n个未知数的线性方程组Ax=b，其中A是一个m行n列的系数矩阵，x是一个n行1列的未知数向量，b是一个m行1列的常数向量。
通过矩阵和行列式的运算，我们可以将线性方程组的求解转化为求解矩阵方程Ax=b。
若矩阵A可逆，即矩阵A的行列式不为0，那么方程组的唯一解为x=A^(-1)b，其中A^(-1)是矩阵A的逆矩阵。
如果矩阵A不可逆，即矩阵A的行列式为0，那么方程组可能有无穷多个解或者无解。
二阶、三阶行列式及n阶行列式的概念
( ji ) (ij ) 1
(2)不相邻对换
ik1 ks j jk1 ksi
需要进行 2s+1 次相邻对换. 所以对换改变排列的奇偶性.
定理2 全部 n(2)阶排列中奇偶排列 各占一半. 证 设 n !个 n 阶排列中有s(t)个奇(偶)排列
s t n!
D3 D1 D2 x1 , x2 , x2 D D D
3 0 4 1 1 2 4 1 1 4 1 2 3 2 1 2 1 0 10
问题：4 阶行列式应如何定义?
a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
a11 a12 a a a a 0 D 11 22 12 21 a21 a22
b1 a12 D1 b1a22 a12b2 b2 a22
a11 b1 D2 a11b2 b1a21 a21 b2
当系数行列式 D 0时,则方程组有 唯一解,其解可表示为: D1 D2 x1 , x2 D D
为 3！项代数和; 每项为取自不同行列的3个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定.
n阶行列式定义: 定义
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn
此行列式可简记为 de t (aij )nn 或 det(aij ).
归纳如下：
为 n!项代数和; 每项为取自不同行列的n个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定. 注 用定义只能计算一些简单的行列式.
线性方程组的求解
§1.4 线性方程组的求解
1211 2 0 0 1 4 3 (1)
0 0 0 0 a4
1 2 0 3 1 001 4 3
列
§1.4 线性方程组的求解
a11 a12 … a1n
1.定义. sn矩阵
a21 a22 … a2n …………
行
as1 as2 … asn
简记为 A = (aij) sn. 元素 aij (1 i s, 1 j n)
元素都是实数——实矩阵
元素都是复数——复矩阵
注: 今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵 都是实矩阵.
线性方程组有解判别定理
§1.4 线性方程组的求解
定理. 设ARmn, bRm, 则
(1) 当 r(A, b) = r(A) + 1 时, Ax = b无解;
(2) 当 r(A) = r(A, b) = n 时, Ax = b有唯一解;
(3) 当 r(A) = r(A, b) < n 时, Ax = b有无穷多个解, 且通解中含有 n r(A) 个自由未知量.
a22 … a2n ………
= 0.
an1 an2 … ann
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.4 线性方程组的求解
例. 设有线性方程组
2x3 8x4 = 6 x1 + 2x2 + x3 + x4 = 2 2x1 + 4x2 + 2x3 + 2x4 = a
(1) a为何值时, 此方程组有无穷多解? 并求其通解.
问题：不同的初等行变换所得到的阶梯阵 的阶梯数一定相同吗？
必相同！要由第二章矩阵的秩的知识来严格证明.
第一章 行列式和线性方程组的求解
三阶行列式与线性方程组图文
图形化表示方法
三阶行列式的图形化表示
通过几何图形（如立方体、平行六面体等）来表示三阶行列式的各个元素，使得行列式的求解过程更 加直观。
线性方程组的图形化表示
通过平面直角坐标系或空间直角坐标系，将线性方程组的解表示为图形上的点、线或面，使得方程组 的解更加直观。
直观理解两者关系
要点一
通过图形化表示，可以直观地看 出三阶行列式与线性方程组之…
线性方程组的概念
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，用于求解多个未知数的 值。
三阶行列式与线性方程组的关系
三阶行列式可以用于判断线性方程组是否有解，以及求解线性方程组 中的未知数。
常见误区及注意事项
将三阶行列式与二阶行列式混淆，导致计算错误。需 要注意三阶行列式的计算规则与二阶行列式有所不同。
列式相似。
矩阵理论
行列式是矩阵理论中的重要概念， 高阶行列式的研究有助于深入理
解矩阵的性质和运算。
线性代数
在线性代数中，行列式与矩阵、 线性方程组等概念紧密相关，高 阶行列式的研究有助于解决更复
杂的线性代数问题。
与其他数学分支的联系
01
微分学
在多元函数微分学中，雅可比行列式（一种特殊的三阶行列式）用于表
矩阵基础
了解矩阵的基本概念、运算和性质，如矩阵的加法、数乘 、转置等。这些知识将为学习三阶行列式打下基础。
代数运算
具备基本的代数运算能力，如加法、减法、乘法、除法等 ，以及因式分解、整式运算等技巧。这些技能在计算三阶 行列式时将发挥重要作用。
02 三阶行列式基础
三阶行列式定义
表示方法
通常使用双竖线 || 或方括号 [] 表示 ，如 |a11 a12 a13| 或 [a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33]。