二次函数与不等式

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二次函数的方程与不等式的应用

二次函数的方程与不等式的应用在数学中，二次函数是一个常见且重要的函数类型。

它的方程和不等式在各个领域都有广泛的应用。

本文将探讨二次函数方程和不等式的一些常见应用。

一、最值问题二次函数的图像是一个抛物线，它通常有一个最值点，即极值点。

通过求解二次函数的方程，可以找到这个最值点的横坐标。

具体步骤如下：1. 设二次函数的方程为f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0；2. 求解方程f'(x)=0，得到x的值；3. 将这个x代入原方程中，计算出对应的y的值。

例如，考虑二次函数f(x)=2x^2-3x+1。

首先，求解f'(x)=0，得到x=3/4。

然后，将x=3/4代入原方程，计算得到f(3/4)=5/8。

因此，二次函数f(x)的最小值为5/8。

二、零点问题在解决实际问题中，常常需要找到一个函数的零点，即使得函数等于零的横坐标。

对于二次函数，求解零点的方法是通过解方程f(x)=0来实现。

以下是具体步骤：1. 设二次函数的方程为f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0；2. 求解方程f(x)=0，得到x的值。

例如，考虑二次函数f(x)=x^2-2x-3。

求解方程f(x)=0，可以分解成(x-3)(x+1)=0，得到x=3或x=-1。

因此，二次函数f(x)的零点为x=3和x=-1。

三、不等式问题除了求解方程，二次函数的方程和不等式还可以用来解决不等式问题。

通过找到二次函数的图像与x轴的交点，可以确定二次函数的零点，进而求解不等式。

具体步骤如下：1. 设二次函数的方程为f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0；2. 将f(x)进行因式分解，得到f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)，其中x_1和x_2为函数的零点；3. 根据二次函数的图像特性，确定f(x)在x_1和x_2之间的正负变化情况；4. 根据不等式的符号，解决不等式问题。

例如，考虑二次函数f(x)=x^2-2x-3。

首先，找到函数的零点，即x=3和x=-1。

二次函数的像与不等式二次函数的像与不等式的求解与应用

二次函数的像与不等式二次函数的像与不等式的求解与应用二次函数的像与不等式的求解与应用二次函数是数学中常见的一类函数，其形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

在二次函数中，我们可以通过观察和解方程的方式来求解像和不等式的问题，并应用于实际生活和工作中。

本文将深入探讨二次函数的像与不等式的求解方法及其应用。

一、二次函数的像1.顶点形式二次函数可以通过顶点形式来表示，即y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)表示顶点的坐标。

通过观察顶点坐标，我们可以判断二次函数的像：- 当a > 0时，二次函数开口向上，并且顶点是最低点，即像是一个U型；- 当a < 0时，二次函数开口向下，并且顶点是最高点，即像是一个倒置的U型。

2.标准形式二次函数也可以通过标准形式来表示，即y = ax^2 + bx + c。

在标准形式下，我们可以通过求解二次函数的判别式来判断像的情况：- 当判别式D = b^2 - 4ac > 0时，二次函数与x轴有两个交点，即像是一个开口向上或向下的抛物线；- 当D = b^2 - 4ac = 0时，二次函数与x轴有一个交点，即像是一个与x轴相切的抛物线；- 当D = b^2 - 4ac < 0时，二次函数与x轴没有交点，即像是一个不与x轴相交的抛物线。

二、二次函数不等式的求解与应用1.二次函数不等式的解法在解二次函数的不等式时，我们可以将不等式转化为二次函数的形式，然后根据二次函数的像来判断不等式的解集。

举例来说，对于不等式y ≤ ax^2 + bx + c，我们可以按照以下步骤求解：1）将不等式转化为二次函数的形式，得到ax^2 + bx + (c - y) ≤ 0；2）根据二次函数的形式来判断二次函数的像，找出满足不等式的x 的范围；3）根据判断得到的x的范围，表示出不等式的解集。

2.二次函数不等式的应用二次函数不等式的求解方法在实际生活和工作中有广泛的应用。

二次函数与不等式的关系

二次函数与不等式的关系二次函数是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

不等式是数学中的一种比较关系，表示两个数或者两个表达式之间的大小关系。

本文将探讨二次函数与不等式的关系，并分析二次函数不等式的求解方法。

一、二次函数的图像二次函数的图像通常是一条开口向上或向下的抛物线。

开口向上的抛物线a > 0，开口向下的抛物线a < 0。

当a > 0时，二次函数的最小值存在；当a < 0时，二次函数的最大值存在。

二、一元二次不等式的解法一元二次不等式的一般形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0。

解一元二次不等式的关键在于确定抛物线与x轴的交点，并判断抛物线在x轴的上方还是下方。

1. 求解开口向上的二次函数不等式当a > 0时，二次函数图像开口向上。

首先，找到二次函数与x轴的交点，即确定二次函数的零点。

设二次函数的零点为x1和x2，其中x1 < x2。

若存在实数x使得x1 < x < x2，则二次函数在该区间内为正，即满足不等式。

2. 求解开口向下的二次函数不等式当a < 0时，二次函数图像开口向下。

同样地，需要找到二次函数与x轴的交点，并确定二次函数的零点。

设二次函数的零点为x1和x2，其中x1 < x2。

若存在实数x使得x < x1或x > x2，则二次函数在该区间内为正，即满足不等式。

三、二元二次不等式的解法二元二次不等式是含有两个未知量的不等式，形如ax^2 + by^2 + cx + dy + e > 0或ax^2 + by^2 + cx + dy + e < 0。

解二元二次不等式的方法之一是利用配方将其转化为一元二次不等式。

具体步骤如下：1. 将二元二次不等式化简为一元二次不等式，例如通过平方完成配方；2. 根据一元二次不等式的解法，求解得到满足不等式的区间；3. 将解得的区间带入原二元二次不等式，确定满足不等式的解集。

二次函数的方程与不等式的解法与应用

二次函数的方程与不等式的解法与应用一、二次函数的方程的解法二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

对于二次函数的方程，我们可以采取以下几种解法：1. 因式分解法当二次函数的方程可以通过因式分解的方式得到解时，我们可以尝试利用因式分解来求解。

具体步骤如下：（1）将二次函数方程转化为标准形式：f(x) = ax^2 + bx + c = 0；（2）对二次函数进行因式分解，将方程写成（px + q）（rx + s）= 0；（3）令px + q = 0和rx + s = 0，解得x的值。

2. 完全平方公式法对于形如f(x) = ax^2 + bx + c = 0的二次函数方程，当其可以通过完全平方公式的方式求解时，我们可以利用下面的公式进行计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示两个解。

通过代入给定的a、b、c的值，我们可以得到方程的解。

3. 直接运用求根公式法对于任意二次函数方程f(x) = ax^2 + bx + c = 0，我们可以直接应用求根公式来求解。

求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a通过代入给定的a、b、c的值，我们可以得到方程的解。

二、二次函数的不等式的解法与方程不同，二次函数的不等式的解法需要考虑到其图像在坐标轴上的位置。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以采用下列方法解二次函数的不等式：1. 利用图像法首先，我们需要画出二次函数的图像。

通过观察图像，我们可以判断二次函数在哪些区间满足不等式。

比如，当a > 0时，图像开口向上，二次函数在顶点上方满足大于零的不等式；当a < 0时，图像开口向下，二次函数在顶点下方满足小于零的不等式。

2. 利用解方程法我们可以先将二次函数的不等式转化为方程，然后求出方程的解，最后确定不等式的解的区间。

二次函数与不等式知识点总结

二次函数与不等式知识点总结在数学的学习中，二次函数和不等式都是非常重要的知识点。

二次函数是一种数学函数，其表达式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

不等式是数学中关系的一种表达方式，用于描述两个数或两个算式之间的大小关系。

本文将对二次函数与不等式的相关知识点进行总结。

1. 二次函数的基本形式二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。

其中，a决定了二次函数的开口方向以及抛物线的开口程度，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

b和c分别决定了函数图像在x轴和y轴上的平移。

2. 二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，在数轴上表示为(x,y)。

顶点的横坐标为x=-b/(2a)，纵坐标为y=f(x)。

3. 二次函数的对称轴二次函数的对称轴是通过抛物线顶点并垂直于x轴的一条直线，其方程为x=-b/(2a)。

对称轴将抛物线分为两个对称的部分。

4. 二次函数的零点二次函数的零点是使函数值为0的x值，可以通过解二次方程ax^2+bx+c=0来求得。

其中，判别式Δ=b^2-4ac可以判断方程的解的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程无实根。

5. 不等式的基本性质不等式中的关系符号包括大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)、小于等于(≤)以及不等于(≠)。

不等式的解是满足不等式的数值范围，可以是实数或整数。

6. 不等式的解集表示不等式的解集可以用区间表示，常见的有开区间、闭区间和半开半闭区间。

例如，表示不等式x>1的解集可以表示为(1, +∞)，表示不等式x≥-2的解集可以表示为[-2, +∞)。

7. 一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有二次项及其系数的一元不等式。

常用的解法包括关于不等式的变形、利用不等式的性质以及绘制函数图像等方法。

二次函数图像和性质以及不等式

驶向胜利的彼岸
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x
y=-x2
…
…
-3
-9
-2
-4
-1
-1
0
0
1
-1
2
-4
3
-9
…
…
你能根据表格中的数据作出猜想吗
？
做一做
描点,连线
-4 -3 -2 -1
y 2 0
驶向胜利的彼岸
-1 -2
-4 -6
1
2
3
4
x
?
-8 -10
y=-x2
做一做
观察图象,回答问题串
数形结合,直观感受
•在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：
x y=x2 … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 … …
做一做
描点,连线
y
10 8 6 4
y 2 0
驶向胜利的彼岸
描点,连线
-4 -3 -2 -1
（1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
1 2 3 4 x -1 （2)图象与x轴有交点吗？如果有 ,交点坐标是什么? -2
（3)当x<0时,随着x的值增大 -4,y 的值如何变化？当x>0呢？（4)当x取什么值时,y的值最小 ?最小值是什么？你是如何 -6 知道的？
2 y= x
?
-4 -3 -2 -1
2 1 0 -2 1 2 3 4 x
议一议
观察图象,回答问题串
y

二次函数与像的不等式解与区间判断

二次函数与像的不等式解与区间判断二次函数是一种常见的函数形式，其一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c （其中a、b、c为常数，且a ≠ 0）。

本文将讨论二次函数的像的不等式解以及如何判断像所在的区间。

一、二次函数的不等式解二次函数的不等式解指的是满足二次函数不等式的x值范围。

设二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，要求满足f(x) > 0或f(x) < 0的x值范围。

1. 解二次函数不等式f(x) > 0对于f(x) > 0，我们需要找出函数图像在x轴上方的x值范围。

有两种方法可以解决这个问题：方法一：利用一元二次函数的图像特性。

根据二次函数的图像形状，我们可以推断出对于开口向上的二次函数，函数图像在抛物线的两侧都是在x轴上方的。

因此，我们可以通过求解f(x) = 0的两个根（即x轴上的交点）之间的x值范围来确定函数图像在x轴上方的x值范围。

方法二：使用二次函数的顶点坐标。

对于一元二次函数f(x) = ax^2+ bx + c，其顶点坐标为（h，k），其中h = -b/(2a)，k = f(h)。

当a > 0时，二次函数开口向上，顶点坐标代表了函数图像的最低点。

因此，对于f(x) > 0，我们可以找出顶点坐标，然后得到函数图像在顶点坐标两侧的x值范围。

2. 解二次函数不等式f(x) < 0对于f(x) < 0，我们需要找出函数图像在x轴下方的x值范围。

同样地，我们可以使用上述的两种方法来解决这个问题。

二、区间判断在了解了二次函数的不等式解之后，我们可以进一步判断像所在的区间。

根据二次函数的不等式解，我们可以得到函数图像在x轴上方或下方的x值范围。

1. 定义区间根据二次函数的不等式解，我们可以将x值范围表示为一个区间。

当f(x) > 0时，我们可以表示为（a，b）或[a，b]；当f(x) < 0时，我们可以表示为（-∞，a）∪(b，+∞)或[-∞，a]∪[b，+∞]。

二次函数方程与不等式

二次函数方程与不等式二次函数是高中数学中一个重要的内容，它是一种函数类型，其定义域是实数集，表达式为y = ax^2+ bx + c，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。

二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，它在数学建模、物理学、经济学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍二次函数方程与不等式的相关概念和求解方法。

一、二次函数方程二次函数方程是指二次函数与某个数值相等的方程，通常可以表示为y = ax^2+ bx + c = 0。

解二次函数方程需要先确定方程的解的个数，然后进行求解。

1. 判别式的求解对于一般的二次函数方程ax^2+ bx + c = 0，可以用判别式Δ = b^2 -4ac来判断方程的解的情况。

根据Δ的取值，可以将解的情况分为三类：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根；- 当Δ < 0时，方程没有实根，但有两个共轭虚根。

根据判别式的值，可以确定二次函数方程的解的情况，并进一步进行求解。

2. 求解二次函数方程的方法（1）因式分解法对于一些特殊的二次函数方程，可以通过因式分解的方法求解。

例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到方程的解x = 2或x = 3。

（2）配方法对于一般的二次函数方程ax^2+ bx + c = 0，可以使用配方法进行求解。

配方法的基本思想是通过添加和减去适当的常数，将二次函数化为完全平方的形式，然后求解得到方程的解。

具体的求解步骤可以参考相关的数学教材或参考资料。

（3）求解公式二次函数方程还可以使用求根公式来求解。

根据求根公式x = (-b ±√Δ) / 2a，可以直接计算出方程的解。

需要注意的是，求根公式只适用于有实根的情况，对于无实根的情况需要采用其他方法进行求解。

二、二次函数不等式二次函数不等式是指二次函数与某个数值的大小关系的不等式，通常可以表示为y > ax^2+ bx + c或y < ax^2+ bx + c。

二次函数与不等式知识点总结

二次函数与不等式知识点总结在数学的学习中，二次函数与不等式是非常重要的知识点，它们不仅在数学学科中有着广泛的应用，在实际生活中也常常能帮助我们解决各种问题。

下面就来对二次函数与不等式的相关知识点进行一个全面的总结。

一、二次函数的基本概念二次函数的一般形式为：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a ＼neq 0$），其中$a$、＄b$、＄c$是常数。

＄a$决定了二次函数图象的开口方向和开口大小。

当$a ＞ 0$时，图象开口向上；当$a ＜ 0$时，图象开口向下。

＄｜a|＄越大，开口越小。

＄b$和$a$一起决定了对称轴的位置，对称轴的方程为$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。

＄c$是二次函数图象与$y$轴的交点纵坐标，即当$x ＝ 0$时，＄y ＝ c$。

二、二次函数的图象和性质1、图象二次函数的图象是一条抛物线。

当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上，有最低点；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下，有最高点。

2、顶点坐标顶点坐标为$（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＄。

3、增减性当$a ＞ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而增大。

当$a ＜ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而减小。

三、二次函数的三种表达式1、一般式：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$2、顶点式：＄y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$，其中顶点坐标为$（h, k)＄3、交点式：＄y ＝ a(x x_1)（x x_2)＄，其中$x_1$和$x_2$是二次函数与$x$轴交点的横坐标四、不等式的基本概念不等式是用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）表示两个数或表达式之间关系的式子。

五、一元二次不等式形如$ax^2 ＋ bx ＋ c ＞ 0$（或< 0、≥ 0、≤ 0）（＄a ＼neq 0$）的不等式称为一元二次不等式。

【例题讲解】二次函数与不等式的关系例完整版课件

解：（3）∵二次函数的顶点坐标为（2，2）
∴若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根
则k的取值范围为k＜2
y
3 2
1
- -1 O 2 -1
总结
1、不等式ax2+bx+c＞0的解集就是函数y＝ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围 2、ax2+bx+c=k的根的问题可以转化成二次函数y＝ax2+bx+c 的图象与直线y=k的交点问题
• 例.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
• （1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
分析可转化为二次函数与x轴的交点问题
：
即y＝ax2+bx+c与x轴（直线y=0）两个不同交点的横坐标
解：（1）∵函数图象与x轴的两个交点坐标为（1，0）（3，0 ） ∴方程的两个根为x1＝1，x2＝3
y=2 1 2 3 4x来自再见y3 2
1
- -1 O 2 -1
1 2 3 4x
• 例.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
• （1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
• （2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
分析：可转化为二次函数图象与x轴的位置关系即y＝ax2+bx+c的图象在x轴（或直线y=0）的上方图象对应的x范围
y
3 2
1
- -1 O 2 -1
1 2 3 4x
解：（2）由图可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集为1＜x＜3

二次函数与方程、不等式

二、二次函数的图象
有关知识: 图象形状; 对称轴; 顶点坐标; 与 x 轴交点坐标; 截 x 轴线段长.
三、二次函数的性质
b 1.当 a>0 时, 抛物线开口向上, 函数在(-∞, - ]上单调递 2a 减, 在[- b , +∞)上单调递增, 当 x= - b 时, f(x) 取得最小值, 2a 2a 为 4ac-b2 . 4a b 2.当 a<0 时, 抛物线开口向下, 函数在(-∞, - ]上单调递 2a 增, 在[- b , +∞)上单调递减, 当 x= - b 时, f(x) 取得最大值, 2a 2a 为 4ac-b2 . 4a
f(x)=ax2+bx+c<0(a>0) 在 [m, n] 上恒成立. f(m)<0 f(n)<0.
b <n m< - 2 a 2-4ac≥0 △ = b 7.方程 f(x)=0 的两实根都在区间(m, n)内 f(m)>0 f(n)>0. 8.方程 f(x)=0 的两实根中, 有且只有一个在区间(m, n)内. f(n)=0 f(m)=0 f(m)f(n)<0, 或 b < m+ n , 或 m+ n b < n. m< - 2 < a 2 2a 2 思考方程的两根有且只有一个在区间[m, n]上时等价于? 9.方程 f(x)=0 的两根分别在区间(m, n)和(p, q)(n<p)内. f(m)>0 注涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分 f(n)<0 布问题, 一般情况下要从四个方面考虑: f(p)<0 ① f(x) 图象的开口方向; f(q)>0. ②方程 f(x)=0的判别式; ③ f(x) 图象的对称轴与区间的关系; ④区间端点处函数值的符号. f(k)>0.

6、二次函数与方程不等式的关系

第四讲二次函数的图像与性质(一)【知识梳理】1、二次函数与一元二次方程的关系遇到抛物线与x轴的交点存在某种关系时，可综合应用一元二次方程根的判别式，根与系数的关系及二次函数的性质进行解答。

2、二次函数与不等式的关系（1）a>0：大于0取两边，小于0取中间。

（2）a<0：大于0取中间，小于0取两边。

例1.已知二次函数y=ax2-2x-2的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是例2.函数的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的取值和交点坐标分别是什么？例3.已知抛物线与x轴相交于A(x1,0) ,B(x2,0)，且x1≠x2。

（1）求a的取值范围，并证明A,B两点都在原点左侧；（2）若抛物线与y轴相交于C，且OA+OB-OC=-2,求a的值。

例4.已知抛物线y=ax2+bx+c，其顶点在x轴上方，经过点（-4,5）,它与y轴相交于点C（0,3），与x轴交于A，B两点，且方程ax2+bx+c=0的两根的平方和等于40.（1）求抛物线的解析式。

（2）抛物线上是否存在x轴上方的一点P，使S△PAB=2S△CAB？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

例5.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax 2 +bx+c=0的两个根；（2）写出不等式ax 2 +bx+c>0的解集；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax 2 +bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

例6.已知函数y1＝x2与函数y2的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（）．A.＜x＜2 B．x＞2或x＜C．－2＜x＜D．x＜－2或x＞变式练习：1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标(－1，－3.2)及部分图象(如图所示)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝( )A．－1.3 B．－2.3 C．－0.3 D．－3.32．二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解为x1＝3，则另一个解x2＝____．(第1题) (第2题) (第3题)3．如图所示，一次函数y1＝kx＋n(k≠0)与二次函数y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为( )A．－1≤x≤9 B．－1≤x＜9 C．－1＜x≤9 D．x≤－1或x≥94．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( ) A．x＜2 B．x＞－3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1(第4题) (第5题)5.二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像如图，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．6.已知抛物线y＝ax2-2x＋1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限7、y=ax2+bx+c中，a<0，抛物线与x轴有两个交点A（2，0）B（-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________8.如果抛物线y=x2-mx+5m2与x轴有交点，则m______课后练习1.如图，二次函数的图象经过原点，顶点的纵坐标为，若一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.则方程A. B.C. D.A. B.C. D.4.下列二次函数的图象与轴有两个交点的是（）A. B.C. D.5.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是.6.已知抛物线与x轴交于A，B两点。

考点08 二次函数与方程不等式之间的关系(解析版)

考点八二次函数与方程不等式之间的关系知识点拓展一、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），当y =0时，就变成了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）．2．ax 2+bx +c =0（a ≠0）的解是抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标．3．（1）b 2–4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个交点；（2）b 2–4ac =0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b 2–4ac <0⇔方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．考向一二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b 2–4ac 决定.1．当Δ>0，即抛物线与x 轴有两个交点时，方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．2．当Δ=0，即抛物线与x 轴有一个交点（即顶点）时，方程ax 2+bx +c =0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．3．当Δ<0，即抛物线与x 轴无交点时，方程ax 2+bx +c =0无实数根，此时抛物线在x 轴的上方（a >0时）或在x 轴的下方（a <0时）．典例引领1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()22y x k =--+（k 是常数）与x 轴交于A 、B 两，其中点A 的坐标为()1,0，点P 在此抛物线上，其横坐标为()1m m >，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点B 的坐标；(3)当点P 在x 轴上方，且PQ AQ +的值随m 的增大而增大时，求m 的取值范围；(4)当抛物线上点A 与点P 之间的部分（包括点P ）的最高点到y 轴的距离等于3PQ 时，直(1)若6AB =，5AC =，求(2)若2b a =-，3c =，（ⅰ）当0a >，请判断此时抛物线点的情况；（ⅱ）已知点(),P a y 和点(1)已知一次函数的图象过点(2)当03x ≤≤时，对于x 的每一个值，函数2y x b =-+（b 为常数）的值大于函数256y x x =-+的值，直接写出b 的取值范围．【答案】(1)26y x =-+(2)6b >【分析】（1）令0y =，则2560x x -+=，可求()30B ，，当0x =，则2566y x x =-+=，可求()06C ，，待定系数法求一次函数解析式即可；（2）由题意知，2y x b =-+的图象与直线BC 平行，如图，结合图象求解作答即可．【详解】（1）解：令0y =，则2560x x -+=，解得，2x =或3x =，∴()30B ，，当0x =，则2566y x x =-+=，即()06C ，，设一次函数解析式为y kx b =+，将()30B ，，()06C ，代入得，306k b b +=⎧⎨=⎩，解得，26k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为26y x =-+；（2）解：由题意知，2y x b =-+的图象与直线BC 平行，如图，∵当03x ≤≤时，对于x 的每一个值，2625x x b x +>-+-，∴由图可知：6b >．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式．熟练掌握二次函数与x 轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式是解题的关键．变式拓展5．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象经过()1,0-、()3,0、()03-，三点．(1)求二次函数的解析式；(2)方程2ax bx c m ++=有两个实数根，m 的取值范围为__________．(3)不等式23ax bx c x ++>-的解集为__________；【答案】(1)2=23y x x --(2)4m ≥-(3)0x <或3x >【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、二次函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键．（1）利用待定系数法，设二次函数的解析式为()()13y a x x =+-，进而代值求解a 值即可；（2）先求得二次函数的最小值，再结合图象，求得使直线y m =与二次函数图象有两个交点时的m 值的取值范围即可；（3）先判断出二次函数2y ax bx c =++的图象与直线3y x =-的交点坐标为()0.3-，()3,0，（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y＝kx 23+（k≠0＝10时，求k的值；（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值1(1)求直线AB 的函数表达式及点(2)点P 是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点AB 交于点D ，设点【答案】(1)4y x =-(2)m 的值为2，3或∵2PD =，∴2542m m -+=解得∵01m <<∴5172m -=如图，当点P 在直线∵2PD =，∴2542m m -+=解得∴二次函数表达式为：232y x x =-+，令0y =，得：2320x x -+=，解得：1x =或2x =，∴二次函数图像与x 轴有两个公共点的坐标是：()1,0，()2,0，又点A 坐标为()1,0，∴点B 坐标为()2,0．。

二次函数与不等式的应用

二次函数与不等式的应用二次函数是数学中一种常见的函数形式，广泛应用于各个领域。

而不等式则是描述数值关系的重要工具，常用于解决实际问题。

本文将探讨二次函数与不等式之间的联系，以及二次函数在不等式应用中的具体问题。

一、二次函数的基本形式二次函数是一种以二次项为特征的函数形式，通常表达为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，a ≠ 0。

二次函数的图像通常为一个抛物线，开口的方向取决于a的正负，a>0时开口向上，a<0时开口向下。

二、解二次不等式解二次不等式时，常用到二次函数的性质。

不等式的解即为二次函数图像所在的区间。

解二次不等式的一般步骤如下：1. 将二次不等式转化为对应的二次函数不等式，即将不等式右侧移项得到函数形式。

2. 判断二次函数的图像开口方向，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

3. 找出二次函数的顶点坐标，即x = -b/2a，其中b、a分别为二次函数的系数。

4. 根据二次函数的开口方向和顶点坐标，确定函数图像所在的区间。

5. 根据区间的表示形式，得出二次不等式的解集。

三、二次函数与应用问题1. 最值问题二次函数在应用中常常涉及求函数的最值。

当二次函数开口向上时，最值为最小值；当二次函数开口向下时，最值为最大值。

可以通过求解极值点或者判断二次函数的开口方向来确定最值。

2. 区间问题二次函数与不等式结合，可以用于描述某一变量的取值范围。

例如，某个物体从地面抛出，可以应用二次函数表示其高度，进而通过不等式描述物体的高度范围。

3. 面积问题二次函数还可以应用于求解图形的面积。

例如，矩形的长和宽可以通过二次函数表示，求解二次函数的最值即可得到最大或最小的矩形面积。

4. 预测问题二次函数在预测和估计问题中得到广泛应用。

例如，通过已知的数据点拟合二次函数，可以用该函数进行未来数值的预测。

四、实例分析以下通过实例来具体说明二次函数与不等式的应用。

二次函数与不等式

二次函数与不等式
二次函数与不等式是高等数学中的重要概念，它们在科学、工程和经济领域等都有广泛的应用。

本文将介绍二次函数与不等式的基本概念，以及它们在实际应用中的重要性。

首先，我们来介绍二次函数。

二次函数是指形如 y = ax2
+ bx + c 的多项式函数，其中a、b和c是实数，a不等于
0，x是一个未知变量。

二次函数的极大值或极小值可以
通过求解函数的导数来确定，二次函数的极值点可以求出它的最大值和最小值。

其次，我们来介绍不等式。

不等式是指形如 f(x) < g(x) 或
f(x) > g(x) 的一种数学关系，其中 f(x) 和 g(x) 是两个函数，x
是一个未知变量。

不等式可以帮助我们找出符合条件的 x 的取值范围，从而解决实际问题。

最后，我们来看二次函数与不等式在实际应用中的重要性。

二次函数可以用来拟合各种实际问题，如测量数据和社会统计数据等，从而分析实际问题的特征和趋势。

不等式可以用来确定一个变量的取值范围，从而解决实际问题，如求解线性规划问题、控制系统设计等。

综上所述，二次函数与不等式都是高等数学中重要的概念，它们在实际应用中有着重要的作用。

二次函数可以用来拟合实际问题，不等式可以用来解决实际问题。

初中数学知识点二次函数的方程与不等式

初中数学知识点二次函数的方程与不等式初中数学知识点：二次函数的方程与不等式二次函数在初中数学中是一个重要的知识点，它在数学中的应用非常广泛。

本文将介绍二次函数的方程与不等式，让我们一起来深入了解这个知识点。

一、二次函数的方程二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

为了求解二次函数的方程，我们需要先将其转化为标准形式。

标准形式为f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。

求解二次函数的方程的一般步骤如下：1. 将二次函数转化为标准形式；2. 判断顶点坐标(h, k)并记录；3. 根据顶点坐标和对称性质，解出方程的根；4. 根据所求得的根，画出函数的图像。

举个例子，假设我们有二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1，我们按照上述步骤来求解方程：1. 将函数转化为标准形式：f(x) = (x + 1)^2 + 0；2. 根据标准形式，顶点坐标为(-1, 0)；3. 根据顶点坐标和对称性质，方程的根为x = -1；4. 根据所求得的根，我们可以在坐标系中以(-1, 0)为顶点画出函数的图像。

二、二次函数的不等式求解二次函数的不等式时，我们需要先将其转化为标准形式，然后利用图像的特征来解决问题。

解决二次函数的不等式的一般步骤如下：1. 将二次函数转化为标准形式；2. 判断顶点坐标(h, k)并记录；3. 根据顶点坐标和对称性质，确定函数的凹凸性；4. 根据图像的凹凸性和所给条件，判断不等式的解集。

继续上面的例子，假设我们有二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1，并求解不等式f(x) > 0：1. 将函数转化为标准形式：f(x) = (x + 1)^2 + 0；2. 根据标准形式，顶点坐标为(-1, 0)；3. 根据顶点坐标和对称性质，函数是开口向上的，也就是凹函数；4. 根据图像的凹性和不等式f(x) > 0，我们可以判断当x < -1或x > -1时，不等式成立。