第9章 真空中的静电场 作业习题解答

第9章真空中的静电场 习题解答9－5 一无限长均匀带电细棒被弯成如习题9－5图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆心O 点处的场强为零。

解：设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强。

在圆弧上取一弧元d s =R d φ，所带的电量为 d q = λd s在圆心处产生的场强的大小为2200d d d d 44q s E kr R Rλλϕπεπε=== 由于弧是对称的，场强只剩x 分量，取x 轴方向为正，场强为d E x = -d E cos φ总场强为2/20/2cos d 4x E Rπθθλϕϕπε--=⎰2/20/2sin 4Rπθθλϕπε--=0sin 22R λθπε=方向沿着x 轴正向。

再计算两根半无限长带电直线在圆心O 产生的场强．根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O 点产生的场强大小为04E Rλπε'=由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O 点产生的合场强为02cos cos 222xE E R θλθπε''==方向沿着x 轴负向 当O 点合场强为零时，必有x xE E '=，可得 tan θ/2 = 1 因此 θ/2 = π/4， 所以 θ = π/29－6 一宽为b 的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ，如习题9－6图所示。

试求平板所在平面内，离薄板边缘距离为a 的P 点处的场强。

解： 建立坐标系。

在平面薄板上取一宽度为d x 的带电直线，电荷的线密度为d λ = σd x根据直线带电线的场强公式02E rλπε=得带电直线在P 点产生的场强为00d d d 22(/2)xE rb a x λσπεπε==+-其方向沿x 轴正向。

由于每条无限长直线在P 点的产生的场强方向相同，所以总为/20/21d 2/2b b E x b a x σπε-=+-⎰ /2/2ln(/2)2b b b a x σπε--=+-0ln(1)2baσπε=+ ① 场强方向沿x 轴正向。

9－7 有一半径为r 的半球面,均匀地带有电荷,电荷面密度为σ,求球心处的电场强度。

解: 如图所示，在球面上任取一面元ϕθθd d sin d 2r S =，其上带电量为ϕθθσσd d sin d d 2r S q =⋅=，电荷元q d 在球心处产生的场强的大小为22020d d sin 41d 41d rr r q E ϕθθσπεπε== 方向如图。

由对称性分析可知，球心处场强方向竖直向下，其大小为20204 d cos sin 4d cos d εσθθθπεσϕθππ====⎰⎰⎰E E E z 9－10 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1和R 2(R 2 > R 1)，带有等量异号电荷，单位长度的电量分别为λ和-λ，求（1）r < R 1；（2） R 1 < r < R 2；（3）r > R 2处各点的场强。

解：由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性。

（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E = 0，（r < R 1）（2）在两个圆柱之间做一长度为l ，半径为r 的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = λl 穿过高斯面的电通量为⎰⎰==⋅=ΦSSe rl E EdS S d E π2根据高斯定理Φe = q /ε0，所以02E rλπε=， (R 1 < r < R 2) （3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以E = 0，（r > R 2）9－12 一个均匀带电圆盘，半径为R ，电荷面密度为σ，求：(1) 轴线上任一点的电势（用x 表示该点至圆盘中心的距离）； (2) 利用电场强度与电势的关系求轴线上的场强分布。

解：如图所示，将均匀带电圆盘视为一系列连续分布的同心带电细圆环所组成，距O 点r 处取一宽为dr 的细圆环，其带电量为rdr d dq 2S πσσ⋅==，dq 在P 点处产生的电势为22122212001d 12d d 4()4()q r rV r x r x σππεπε==++ 所以，整个带电圆盘在P 点产生的电势为2212002d d )4()2R r r V V x r x σπσπεε===+⎰⎰轴线上的场强分布为)1(2d d 220xR xx V E x +-=-=εσ9－13 一半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ，若在球内挖去一块半径为R '<R 的小球体，如习题9－13图所示，试求两球心O 与O '处的电场强度，并证明小球空腔内的电场为均强电场．解： 挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为-ρ的小球体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的叠加。

对于一个半径为R ，电荷体密度为ρ的球体来说，当场点P 在球内时，过P 点作一半径为r 的同心球形高斯面，根据高斯定理可得2301443E r r ππρε=P 点场强大小为 03E r ρε=当点P 在球外时，过P 点作半径为r 的同心球形高斯面，根据高斯定理可得2301443E r R ππρε=P 点场强大小为 3203R E r ρε=O 点在大球体中心、小球体之外．大球体在O 点产生的场强为零，小球在O 点产生的场强大小为 320`3O R E aρε= 方向由O 指向O `。

O`点在小球体中心、大球体之内．小球体在O`点产生的场强为零，大球在O 点产生的场强大小为 `03O E a ρε=方向也由O 指向O `证明：在小球内任一点P ，大球和小球产生的场强大小分别为03r E r ρε=`0`3r E r ρε= 方向如图所示设两场强之间的夹角为θ，合场强的平方为 222``2cos r r r r E E E E E θ=++2220()(`2`cos )3r r rr ρθε=++ 根据余弦定理得222`2`cos()a r r rr πθ=+-- 所以 03E a ρε=可见，空腔内任意点的电场是一个常量。

还可以证明，场强的方向沿着O 到O `的方向。

因此空腔内的电场为匀强电场。

9－16 一半径为R 的均匀带电球面，带电量为Q 。

若规定该球面上电势值为零，则无限远处的电势为多少？解：带电球面在外部产生的场强为204Q E r πε=，由于d d R R R U U E r ∞∞∞-=⋅=⎰⎰E l 200d 44RRQQr r r πεπε∞∞-==⎰04Q Rπε=当U R = 0时，04Q U Rπε∞=-9－20 电量q 均匀分布在长为2L 的细直线上，试求：（1）带电直线延长线上离中点为r 处的电势； （2）带电直线中垂线上离中点为r 处的电势； （3）由电势梯度算出上述两点的场强。

解：电荷的线密度为λ = q/2L（1）建立坐标系，在细线上取一线元d l ，所带的电量为d q = λd l根据点电荷的电势公式，它在P 1点产生的电势为101d d 4lU r lλπε=-总电势为10d 4L L l U r l λπε-=-⎰0ln()4Ll Lr l λπε=--=-0ln8q r LLr Lπε+=- （2）建立坐标系，在细线上取一线元d l ，所带的电量为d q = λd l ，在线的垂直平分线上的P 2点产生的电势为2221/20d d 4()lU r l λπε=+， 积分得2221/201d 4()LLU l r l λπε-=+⎰)4Ll Ll λπε=-=08q Lπε=04q Lπε=（3）P 1点的场强大小为11U E r ∂=-∂011()8q L r L r L πε=--+22014q r L πε=-， ① 方向沿着x 轴正向。

P 2点的场强为22U E r ∂=-∂01[4q L r πε== ②方向沿着y 轴正向。

9－21 如习题9－21图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为R 1和R 2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为ρ，试计算：（1）A ，B 两点的电势；（2）利用电势梯度求A ，B 两点的场强。

解：（1）A 点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A 点的电势就等于球心O 点的电势。

在半径为r 的球壳处取一厚度为d r 的薄壳，其体积为d V = 4πr 2d r包含的电量为d q = ρd V = 4πρr 2d r 在球心处产生的电势为00d d d 4O q U r r rρπεε==球心处的总电势为2122210d ()2R O R U r r R R ρρεε==-⎰ 这就是A 点的电势U A 。

过B 点作一球面，B 的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的。

球面外的电荷在B 点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得22120()2B U R r ρε=- 球面内的电荷在B 点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B 点产生的电势。

球壳在球面内的体积为3314()3B V r R π=- 包含的电量为 Q = ρV这些电荷集中在球心时在B 点产生的电势为332100()43B BBQ U r R r r ρπεε==- B 点的电势为U B = U 1 + U 2322120(32)6B BR R r r ρε=--．（2）A 点的场强为0AA AU E r ∂=-=∂． B 点的场强为 3120()3B B B B BU R E r r r ρε∂=-=-∂。