二面角及其度量(上课用)
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直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线. 射线 射线
思考：平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部 分叫什么名称？
α
l
平面内的一条直线，把这个平面分成两部分， 每一部分都叫做半平面。
在平面几何中“角”是怎样定义的？
答：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角．
从一条直线出发的两个半平面所组成的空间图形称为什么？
一、二Baidu Nhomakorabea角定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，每 个半平面叫做二面角的面。
半 平 面
半
l平
面
l
二、二面角的表示方法：
B
∠AOB
O
二面角－AB－
A
A
C
B
l
B
A
二面角－ l－
D
二面角C－AB－ D
2
2
2 6 a 6 a
2
2
2a)2 ＝ 1
3
∴∠A1OC＝arccos
1 3
。
故二面角
A1－BD－C1
的大小为
arccos 1
3
。
例3：已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，
线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且
都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，
CD=2 17 cm，求二面角的度数
互相垂直的平面就是相交成直二面角的两个平面
10
作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
ι
α
β
p
A
B
B
ι
pβ
α
A
β
B
p
O
α
ι
A
—几何法
二面角
练习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
直圆所在的平面，C是圆上任一点，
则二面角P-BC-A的平面角为:
β
A1
α
另一个角的两边分别平行且方
向相同，则这两个角相等。
以二面角的棱上任意一点为端点，在两
个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两
条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角必须满足：
A O
l
B
1）点在棱上 2）线在面内
3）与棱垂直
五、二面角的范围：
规定：二面角的范围是 0,180
平面角是直角的二面角叫做直二面角
C
∠ACP
A
2、已知P为二面角 内一 β
点，且P到两个半平面的距离都等 B
于P到棱的距离的一半，则这个二
面角的度数是多少？ 60º
O
ι
B
p Aα
例1、已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上 的射影为点A/， ⊿ABC的面积是S， ⊿A/BC的面积是S/，设二面角A-BC-A/为
求证： S / = S COS
射影面积法
B
D
M
C
A
是不找平面角
求二面角的
A/
一种方法!
回忆：
1.异面直线所成角：
cos
rr | cos a,b |
2.直线与平面所成角： r uuur
sin | cos n, AB |
rC
rD
a
a
A r
D1
bB
Ar
n
B
O r n
六、向量法求二面角：
1.方向向量法（依据定义）
B
A lC
解：（方法一） 如图建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 1
平面A1BD的法向量 n1 (1,1,1)
平面C1BD的法向量 n2 (1,1,1)
cos
n1, n2
1 3
cos 1
3
arccos1
3
例 2、如图所示，在正方体 AC1 中，求二面 角 A1－BD－C1 的大小。
解：（方法二）
几何法
例4 已知ABCD为直角梯形，DAB ABC 90,
SA垂直于平面ABCD，SA AB BC 1, AD 1 . 2
求：平面SAB与SCD的夹角的正切。
z
2
S
n
一题多解：
2
1）公式法；
y
2）几何法；
B
C 3）向量法；
A
D
x
例5．已知E, F分别是正方体ABCD－A1B1 C1D1的棱BC和CD的中点，求： （1）A1D与EF所成角的大小； 60° 1 （2）A1F与平面B1EB所成角的大小；arcsin 3 （3）二面角C－D1B1－B的大小。 arccos 6
分别作垂直于棱的射线，则这两条射线
？ 所成的角叫做二面角的平面角。
∠A O B
∠A1O1B1
小结： 1.二面角就是用它的平面角来
度量的。一个二面角的平面角多大，我
O
。
B
们就说这个二面角是多少度的二面角。
A
2.二面角的平面角与点（或垂直平面） O1 。
B1
的位置无任何关系，只与二面角的张 角大小等有角关定。理 若一个角的两边与
D
uuur uuur
A
解：设 AC, BD =x，由已知 CA⊥AB，AB⊥BD 得
B
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
AC AB BD AB 0, CA, BD 180 x ，
C
E
uuur uuur uuur uuur
因此| CD |2 (CA AB BD)2 =
3
5
三、二面角的画法
请同学们把自己的课本打开一定的角度，并改变 放法
归纳出两种画法：平卧式 和 直立式
四、二面角的度量
请同学们将书本打开、合上， 注意观察这一过程中两个面的相对位置 发现：各二面角的“开合程度”，即大小不一 样
想一想：该怎样度量二面角的大小呢？还用量 角器吗？
从二面角的棱上任一点在两个半平面内
由正方体的面对角线长都相等可知，△A1BD 与△ C1BD 是全等的正三角形， 取 BD 的中点 O，连结 A1O、C1O，则 A1O⊥BD，C1O ⊥BD，
∴∠A1OC 就是二面角 A1－BD－C1 的平面角。
∵A1C1＝
2 a，A1O＝C1O＝
3 2
2 a＝ 6 a
2
(
∴cos∠A1OC ＝
6 a)2 ( 6 a)2 (
uur
n2
ur uur
n1，unu2r
n1
uur
n1
l
l
ur uur
ur uur
cos cos n1, n2 cos cos n1, n2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；
同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
例 2、如图所示，在正方体 AC1 中，求二面 角 A1－BD－C1 的大小。
uuur uuur uuur
uuur uuur
| CA |2 | AB |2 | BD |2 2 | CA | | BD | cos(180 x)
代入已知线段的长度，
得 (2 17)2 62 42 82 2 6 8 ( cos x) ，
解得 cosx= 1 ，得 x=60°. 2
因此所求的二面角的度数是 60°.
D
cos cos
uuur uuur AB, CD
uuur uuur AB CD uuur uuur
AB CD
注意：向量AB,CD的方向： 起点都在棱上，也可共起点
2.法向量法
ur uur n1，n2
二面角的范围： [0, ]
uur uur
uur n1，n2
n2
uur uur
n1，n2
思考：平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部 分叫什么名称？
α
l
平面内的一条直线，把这个平面分成两部分， 每一部分都叫做半平面。
在平面几何中“角”是怎样定义的？
答：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角．
从一条直线出发的两个半平面所组成的空间图形称为什么？
一、二Baidu Nhomakorabea角定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，每 个半平面叫做二面角的面。
半 平 面
半
l平
面
l
二、二面角的表示方法：
B
∠AOB
O
二面角－AB－
A
A
C
B
l
B
A
二面角－ l－
D
二面角C－AB－ D
2
2
2 6 a 6 a
2
2
2a)2 ＝ 1
3
∴∠A1OC＝arccos
1 3
。
故二面角
A1－BD－C1
的大小为
arccos 1
3
。
例3：已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，
线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且
都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，
CD=2 17 cm，求二面角的度数
互相垂直的平面就是相交成直二面角的两个平面
10
作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
ι
α
β
p
A
B
B
ι
pβ
α
A
β
B
p
O
α
ι
A
—几何法
二面角
练习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
直圆所在的平面，C是圆上任一点，
则二面角P-BC-A的平面角为:
β
A1
α
另一个角的两边分别平行且方
向相同，则这两个角相等。
以二面角的棱上任意一点为端点，在两
个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两
条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角必须满足：
A O
l
B
1）点在棱上 2）线在面内
3）与棱垂直
五、二面角的范围：
规定：二面角的范围是 0,180
平面角是直角的二面角叫做直二面角
C
∠ACP
A
2、已知P为二面角 内一 β
点，且P到两个半平面的距离都等 B
于P到棱的距离的一半，则这个二
面角的度数是多少？ 60º
O
ι
B
p Aα
例1、已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上 的射影为点A/， ⊿ABC的面积是S， ⊿A/BC的面积是S/，设二面角A-BC-A/为
求证： S / = S COS
射影面积法
B
D
M
C
A
是不找平面角
求二面角的
A/
一种方法!
回忆：
1.异面直线所成角：
cos
rr | cos a,b |
2.直线与平面所成角： r uuur
sin | cos n, AB |
rC
rD
a
a
A r
D1
bB
Ar
n
B
O r n
六、向量法求二面角：
1.方向向量法（依据定义）
B
A lC
解：（方法一） 如图建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 1
平面A1BD的法向量 n1 (1,1,1)
平面C1BD的法向量 n2 (1,1,1)
cos
n1, n2
1 3
cos 1
3
arccos1
3
例 2、如图所示，在正方体 AC1 中，求二面 角 A1－BD－C1 的大小。
解：（方法二）
几何法
例4 已知ABCD为直角梯形，DAB ABC 90,
SA垂直于平面ABCD，SA AB BC 1, AD 1 . 2
求：平面SAB与SCD的夹角的正切。
z
2
S
n
一题多解：
2
1）公式法；
y
2）几何法；
B
C 3）向量法；
A
D
x
例5．已知E, F分别是正方体ABCD－A1B1 C1D1的棱BC和CD的中点，求： （1）A1D与EF所成角的大小； 60° 1 （2）A1F与平面B1EB所成角的大小；arcsin 3 （3）二面角C－D1B1－B的大小。 arccos 6
分别作垂直于棱的射线，则这两条射线
？ 所成的角叫做二面角的平面角。
∠A O B
∠A1O1B1
小结： 1.二面角就是用它的平面角来
度量的。一个二面角的平面角多大，我
O
。
B
们就说这个二面角是多少度的二面角。
A
2.二面角的平面角与点（或垂直平面） O1 。
B1
的位置无任何关系，只与二面角的张 角大小等有角关定。理 若一个角的两边与
D
uuur uuur
A
解：设 AC, BD =x，由已知 CA⊥AB，AB⊥BD 得
B
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
AC AB BD AB 0, CA, BD 180 x ，
C
E
uuur uuur uuur uuur
因此| CD |2 (CA AB BD)2 =
3
5
三、二面角的画法
请同学们把自己的课本打开一定的角度，并改变 放法
归纳出两种画法：平卧式 和 直立式
四、二面角的度量
请同学们将书本打开、合上， 注意观察这一过程中两个面的相对位置 发现：各二面角的“开合程度”，即大小不一 样
想一想：该怎样度量二面角的大小呢？还用量 角器吗？
从二面角的棱上任一点在两个半平面内
由正方体的面对角线长都相等可知，△A1BD 与△ C1BD 是全等的正三角形， 取 BD 的中点 O，连结 A1O、C1O，则 A1O⊥BD，C1O ⊥BD，
∴∠A1OC 就是二面角 A1－BD－C1 的平面角。
∵A1C1＝
2 a，A1O＝C1O＝
3 2
2 a＝ 6 a
2
(
∴cos∠A1OC ＝
6 a)2 ( 6 a)2 (
uur
n2
ur uur
n1，unu2r
n1
uur
n1
l
l
ur uur
ur uur
cos cos n1, n2 cos cos n1, n2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；
同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
例 2、如图所示，在正方体 AC1 中，求二面 角 A1－BD－C1 的大小。
uuur uuur uuur
uuur uuur
| CA |2 | AB |2 | BD |2 2 | CA | | BD | cos(180 x)
代入已知线段的长度，
得 (2 17)2 62 42 82 2 6 8 ( cos x) ，
解得 cosx= 1 ，得 x=60°. 2
因此所求的二面角的度数是 60°.
D
cos cos
uuur uuur AB, CD
uuur uuur AB CD uuur uuur
AB CD
注意：向量AB,CD的方向： 起点都在棱上，也可共起点
2.法向量法
ur uur n1，n2
二面角的范围： [0, ]
uur uur
uur n1，n2
n2
uur uur
n1，n2